GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 6 કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર in Gujarati

Solving these GSEB Std 11 Physics MCQ Gujarati Medium Chapter 6 કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર will make you revise all the fundamental concepts which are essential to attempt the exam.

GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 6 કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર in Gujarati

નીચેના દરેક પ્રશ્નના ઉત્તર માટે આપેલા વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરી લખો :
પ્રશ્ન 1.
એક સ્પ્રિંગ પર 3.92 N જેટલું બળ લગાડતાં તે તેની સામાન્ય સ્થિતિમાંથી 1 cm જેટલું સંકોચન અનુભવે છે, તો સ્પ્રિંગનું સંકોચન 10 cm જેટલું હોય, ત્યારે તેની સ્થિતિ-ઊર્જા કેટલી હશે?
A. 1.96 J
B. 2.45 J
C. 19.6J
D. 196.0 J
ઉત્તર:
A. 1.96 J
Hint : F = 3.92 N, x = 1 cm = 10^-2 m
F = kx
∴ k = \(\frac{F}{x}=\frac{3.92}{10^{-2}}\)
સ્પ્રિંગ 10 cm (= 10 × 10^-2m) જેટલી સંકોચન પામતા તેમાં સંગૃહીત સ્થિતિ-ઊર્જા,
V = \(\frac{1}{2}\) kx²
= \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{3.92}{10^{-2}}\)) (10 × 10^-2)² = 1.96 J

પ્રશ્ન 2.
100 kg દળના એક પદાર્થને 60 m ઊંચાઈએ 1 મિનિટમાં લઈ જવા માટે કેટલો પાવર જોઈએ? (g = 9.8 m/s²)
A. 100 W
B. 980 W
C. 9.8 W
D. 1980 W
ઉત્તર:
B. 980 W
Hint : m = 100 kg, h = 60 m,
t = 1 મિનિટ = 60 s, g = 9.8 m s^-2
પદાર્થને h ઊંચાઈએ લઈ જતાં થતું કાર્ય,
W = mgh = 100 × 9.8 × 60
∴ પાવર P = \(\frac{W}{t}=\frac{100 \times 60 \times 9.8}{60}\) = 980 W

પ્રશ્ન 3.
એક પદાર્થ પર (- 4, 2, 6) N બળ લગાડતાં તે Y-અક્ષની દિશામાં 2m જેટલું સ્થાનાંતર કરે છે, તો પદાર્થ પર થયેલું કાર્ય શોધો.
A. 2 J
B. 4 J
C. 1 J
D. 4.5 J
ઉત્તર:
B. 4 J
Hint : \(\vec{F}\)(- 4, 2, 6) N = 4î + 2ĵ + 6k̂સ્થાનાંતર
Y-અક્ષની દિશામાં 2m જેટલું થાય છે.
∴ \(\vec{d}\) = 2ĵ
∴ W = \(\vec{F}\) · \(\vec{d}\)
= (- 4î + 2ĵ + 6k̂) · (2ĵ)
= – 8 (î · ĵ) + 4(ĵ · ĵ) + 12(k̂· ĵ)
∴ W = 4 J (∵ î · Ĵ = k̂· ĵ = 0 અને ĵ · ĵ = 1

પ્રશ્ન 4.
એક બસનું દળ 2000 kg છે. તેમાં 50 km/hનો વેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે કેટલું કાર્ય કરવું પડશે?
A. 1.6 × 10⁵ J
B. 1.6 × 10⁶ J
C. 1.93 × 10⁵ J
D. 193 J
ઉત્તર:
C. 1.93 × 10⁵ J
Hint : m = 2000 kg,
υ = 50 km/h = \(\frac{50 \times 1000}{3600} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
કાર્ય = ગતિ-ઊર્જામાં ફેરફાર
= \(\frac{1}{2}\) × mυ²
= \(\frac{1}{2}\) × 2000 × (\(\frac{50 \times 1000}{3600}\))²
= 1.93 × 10⁵ J

પ્રશ્ન 5.
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ-ઊર્જા તેની શરૂઆતની ગતિ-ઊર્જા કરતાં \(\frac{3}{4}\) ગણી થાય છે, તો પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્તકોણ ……………….. છે.
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
ઉત્તર:
C. 60°
Hint : (V)_H = \(\frac{3}{4}\) K_i
∴ mgH = \(\frac{3}{4}\) (\(\frac{1}{2}\)mυ₀²)
∴ g · (\(\frac{υ_0^2 \sin ^2 \theta_0}{2 g}\)) = \(\frac{3}{8}\)υ₀²
∴ sin² θ₀ = \(\frac{3}{4}\)
∴ sin θ₀ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ sin θ₀ = 60°

પ્રશ્ન 6.
અચળ પાવર ધરાવતા મશીન દ્વારા એક પદાર્થને સુરેખ ગતિ કરાવી ખસેડવામાં આવે છે. t સમયમાં પદાર્થને પ્રાપ્ત થતો વેગ …………………. ના સમપ્રમાણમાં છે.
A. \(t^{\frac{3}{4}}\)
B. \(t^{\frac{3}{2}}\)
C. \(t^{\frac{1}{4}}\)
D. \(t^{\frac{1}{2}}\)
ઉત્તર:
D. \(t^{\frac{1}{2}}\)
Hint : પાવર P = Fυ = અચળ = k₁ (ધારો કે)
∴ (ma) υ = k₁
∴ m \(\frac{d υ}{d t}\) υ = k₁
∴ υ = dυ = (\(\frac{k_1}{m}\)) dt
સંકલન કરતાં,
∫ υ dυ = ∫\(\frac{k_1}{m}\) dt
= ∫ k₂ dt (જ્યાં, k₂ = \(\frac{k_1}{m}\) = અચળાંક)
∴ \(\frac{v^2}{2}\) = k₂t
∴ υ = \(\left(\sqrt{2 k_2}\right) t^{\frac{1}{2}}\)
∴ υ ∝ \(t^{\frac{1}{2}}\)
નોંધ : ઉપરના પ્રશ્નમાં જો પદાર્થે કાપેલ અંતર (x) …………….. ના સમપ્રમાણમાં હશે તેમ પૂછ્યું હોય, તો નીચે મુજબ ગણતરી કરવી :

પ્રશ્ન 7.
એક પદાર્થ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય તેવા પ્રતિપ્રવેગની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે. x જેટલા સ્થાનાંતર દરમિયાન તેની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ઘટાડો ………………. ના સમપ્રમાણમાં છે.
A. x²
B. e^x
C. x
D. log e^x
ઉત્તર :
A. x²
Hint :

∴ ગુમાવાતી ઊર્જા ∝ x²
(અહીં ઋણ નિશાની ઊર્જા ગુમાવાય છે તેમ દર્શાવે છે.)
બીજી રીત :
અહીં, આપેલ શરત સરળ આવર્તગતિ માટે લાગુ પડે છે (a = – ω₀² y).

• જેમ પદાર્થ મધ્યમાન સ્થાન (y = 0)થી ઉપરના કે નીચેના અંતિમ છેડા તરફ ગતિ કરે છે, તેમ તેની સ્થિતિ-ઊર્જા U = \(t^{\frac{1}{2}}\) ky² મુજબ વધે છે અને તેના પ્રમાણમાં ગતિ-ઊર્જા ઘટે છે.
• તેથી અહીં ગતિ-ઊર્જા K માં થતો ઘટાડો ∝ x² થાય.

પ્રશ્ન 8.
એક m દળવાળા સ્થિર પદાર્થને અચળ પ્રવેગ આપતાં તે T સમયમાં υ જેટલો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. સમયના પદમાં પદાર્થને મળતો તત્કાલીન પાવર ……………….. છે.
A. \(\frac{m υ^2}{T^2}\) t
B. \(\frac{m υ^2}{T^2}\)²
C. \(\frac{m υ^2 t}{2 T^2}\)
D. \(\frac{m υ^2 t^2}{2 T^2}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{m υ^2}{T^2}\) t
Hint : તત્કાલીન પાવર P = Fυ
= (ma) υ
= (ma) (at)
= ma² t
= m (\(\frac{υ}{T}\))² t = \(\frac{m υ^2}{T^2}\) t

પ્રશ્ન 9.
100 m ઊંચાઈવાળી ટેકરી પર 20 kg દળવાળો એક ઘડો સ્થિર છે. ત્યાંથી ગતિની શરૂઆત કરી જમીન પર આવી તે બીજી 30 m મીટર ઊંચી ટેકરી પર ચઢે છે અને ફરીથી ગતિ કરીને જમીનથી 20 m ઊંચાઈએ આવેલા સમક્ષિતિજ આધાર પર આવે છે. આ સમયે તેનો વેગ …………….. હશે. (ઘર્ષણ-બળ અવગણો.) (g = 10 m s^-2)
A. 40 m/s
B. 20 m/s
C. 10m/s
D. 10\(\sqrt{30}\) m/s
ઉત્તર:
A. 40 m/s
Hint :

• અહીં ઘર્ષણબળ હાજર નથી. વળી ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર સંરક્ષી છે. તેથી યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણનો નિયમ વાપરીને C પાસે વેગ υ_C નીચે મુજબ શોધી શકાય :
• A પાસે યાંત્રિક ઊર્જા E_A = mg (100) + 0
  C પાસે યાંત્રિક ઊર્જા E_C = mg (20) + \(\frac{1}{2}\) mυ_C²
• હવે, E_A = E_C
  ∴ 100 mg = 20 mg + \(\frac{1}{2}\) mυ_C²
  ∴ 1600 = υ_C²
  ∴ υ_C = 40 m/s

પ્રશ્ન 10.
એક દળ રહિત દોરીના છેડે M kg દળવાળો પદાર્થ લટકાવેલ છે. તે તેની મૂળ શિરોલંબ સ્થિતિ સાથે 45નો ખૂણો બનાવે તેટલું સ્થાનાંતર કરી શકે તે માટે જરૂરી
સમક્ષિતિજ બળ ……………….. છે.
A. Mg (√2 + 1)
B. Mg √2
C. Mg / √2
D. Mg (√2 – 1)
ઉત્તર:
D. Mg (√2 – 1)
Hint :

• સમક્ષિતિજ બળ F વડે થતું કાર્ય,
  W = Fd = F × l sin θ ………… (1)
• M દળના પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો વધારો
  = Mgh = Mg (l – l cos θ) = Mgl (1 – cos θ) ……….. (2)
  સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
  F l sin θ = Mgl (1 – cos θ)
  ∴ Fl (\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) = Mgl (1 – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) (∵ θ = 45°)
  ∴ F = Mg (√2 – 1)

પ્રશ્ન 11.
એક બાળકના હાથમાં ગૅસ ભરેલ ફુગ્ગો છે. આ ફુગ્ગાને છોડી દેતાં તે ઉપરની દિશામાં ગતિ કરે છે, તો તેની સ્થિતિ-ઊર્જામાં ……………… .
A. વધારો થાય
B. પહેલાં વધારો અને પછી ઘટાડો થાય
C. ઘટાડો થાય
D. અચળ રહે
ઉત્તર:
C. ઘટાડો થાય
Hint : ફુગ્ગામાં ભરેલો ગૅસ હવા કરતાં હલકો હોય છે. જ્યારે બાળક ફુગ્ગાને છોડી દે છે ત્યારે તેના પર હવાનું ઉત્લાવક બળ (ઊર્ધ્વદાબ) લાગે છે.

તેથી સમગ્ર તંત્ર, એટલે કે ગૅસ ભરેલ ફુગ્ગો પોતે કાર્ય કરે છે અને તેથી તંત્રની સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે.

પ્રશ્ન 12.
સંરક્ષી બળ \(\vec{F}\) માટે ……………… .
A. ≠ 0
B. < 0 C. > 0
D. = 0
ઉત્તર:
D. = 0
Hint : સંરક્ષી બળોની બાબતમાં બંધમાર્ગ પર કોઈ પદાર્થને ગતિ કરાવતાં સંરક્ષી બળ વડે થતું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

પ્રશ્ન 13.
X-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરવા માટે મુક્ત એવા એક 1 kg દળના પદાર્થ માટે સ્થિતિ-ઊર્જા નીચેના સૂત્રથી મળે છે :
V (x) = (\(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\)) J
તેની યાંત્રિક ઊર્જા 2J છે, તો તેની મહત્તમ ઝડપ ……………. m/s છે.
A. \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)
B. √2
C. \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D. 2
ઉત્તર:
A. \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Hint : સ્થિતિ-ઊર્જા V (x) = \(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\)

• મહત્તમ ગતિ-ઊર્જા માટે, પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ન્યૂનતમ હોવી જોઈએ. (∵ યાંત્રિક ઊર્જા-સંરક્ષણના નિયમને આધારે E = V + K = અચળ)
• Vની ન્યૂનતમ કિંમત માટે \(\frac{d V}{d x}\) = 0 અને \(\frac{d^2 V}{d x^2}\) > 0 હોવું જરૂરી છે.
• હવે, \(\frac{d V}{d x}\) = (\(\frac{4 x^3}{4}-\frac{2 x}{2}\))
  હવે, \(\frac{d V}{d x}\) = 0 લેતાં, 0 = (\(\frac{4 x^3}{4}-\frac{2 x}{2}\))
  ∴ x³ – x = 0
  ∴ x (x² – 1) = 0
  આમ, x = 0 m પાસે, x = + 1 m પાસે અને x = – 1 m પાસે \(\frac{d V}{d x}\) = 0 થશે.
  હવે, \(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = 3x² – 1 થાય છે.
• x = 1 m અને x = – 1 m માટે \(\frac{d^2 V}{d x^2}\) > 0 થશે જ્યારે x = 0 m માટે \(\frac{d^2 V}{d x^2}\) < 0 થશે.
• તેનો અર્થ x = 1 m અને x = – 1 m પાસે પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ન્યૂનતમ હશે.
• V (x)ના આપેલ સૂત્રમાં x = 1m કે x = – 1 m મૂકતાં, ન્યૂનતમ સ્થિતિ-ઊર્જા મળશે.
  ∴ ન્યૂનતમ સ્થિતિ-ઊર્જા V_min = [latex]\frac{(1)^4}{4}-\frac{(1)^2}{2}[/latex] J
  = [\(\frac{1}{4}\) – \(\frac{1}{2}\)] J
  = – \(\frac{1}{4}\) J
  હવે, (મહત્તમ ગતિ-ઊર્જા)
  = (કુલ ઊર્જા એટલે કે યાંત્રિક ઊર્જા) – (ન્યૂનતમ સ્થિતિ-ઊર્જા)
  ∴ \(\frac{1}{2}\) mυ²_max = 2 – (- \(\frac{1}{4}\)) = \(\frac{9}{4}\)
  ∴ υ²_max = \(\frac{9}{2}\) (∵ m = 1 kg)
  ∴ υ²_max = \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) m / s

પ્રશ્ન 14.
એક મશીન દ્વારા ખસેડાતા પદાર્થની t સમયે ગતિ-ઊર્જા સમયના સમપ્રમાણમાં છે, તો t સમય દરમિયાન પદાર્થ દ્વારા કપાતું અંતર ………………….. ના સમપ્રમાણમાં હશે.
A. \(t^{\frac{3}{2}}\)
B. \(t^{\frac{2}{3}}\)
C. \(t^{\frac{1}{4}}\)
D. \(t^{\frac{1}{2}}\)
ઉત્તર:
A. \(t^{\frac{3}{2}}\)
Hint : ગતિ-ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર = [K]
= M¹L²T^-2

• અહીં, K ∝ t
  તેથી M¹L² T^-2 ∝ T લખાય.
  ∴ M¹L² ∝ \(\frac{T}{T^{-2}}\)
  ∴ L² ∝ T³ (∵ દળ m = અચળ)
  ∴ L ∝ \(t^{\frac{3}{2}}\)
• આમ, t સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થ દ્વારા કપાતું
  અંતર \(t^{\frac{3}{2}}\) ના સમપ્રમાણમાં હશે.

નોંધ : જો ઉપરના પ્રશ્નમાં પદાર્થ પર લાગતું બળ ……………….. ના સમપ્રમાણમાં છે તેમ પૂછ્યું હોય, તો નીચે મુજબ ગણતરી કરવી :

• બળનું પારિમાણિક સૂત્ર = [F] = M¹L¹T^-2
  અહીં, L ∝ \(T^{\frac{3}{2}}\) છે.
  આથી M¹L¹T^-2 ∝ M¹(\(T^{\frac{3}{2}}\))T^-2 થાય.
  ∴ [F] ∝ \(T^{-\frac{1}{2}}\) (∵દળ m = અચળ)
  ∴ |F| ∝ \(\frac{1}{\mathrm{~T}^{\frac{1}{2}}}\)
• આમ, પદાર્થ પર લાગતું બળ \(t^{-\frac{1}{2}}\)ના સમપ્રમાણમાં છે.

પ્રશ્ન 15.
1 kg દળ ધરાવતો એક પદાર્થ 20m/sના વેગથી ઊર્ધ્વ- દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. 18mની ઊંચાઈએ પહોંચીને તે ક્ષણ પૂરતો સ્થિર થાય છે, તો હવાના ઘર્ષણને કારણે કેટલી ઊર્જા ગુમાવશે? (g = 10 m/s²)
A. 20 J
B. 30 J
C. 40 J
D. 10 J
ઉત્તર:
A. 20 J
Hint :
(પદાર્થે હવાના ઘર્ષણને કારણે ગુમાવેલી ઊર્જા) = (પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા) – (મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થો પ્રાપ્ત કરેલ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા)
= \(\frac{1}{2}\) mυ² -mgh
= \(\frac{1}{2}\) × 1 × (20)² – 1 × 10 × 18
= 200 – 180 = 20 J

પ્રશ્ન 16.
સુરેખ માર્ગે ગતિ કરતાં કણ પર લાગતાં બળ F માટે F – d આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. F બળ લાગતું હોય તેવો કણ સીધી રેખા પર ગતિ કરે છે, તો તેના ગતિપથના પહેલા એક meter જેટલા સ્થાનાંતર દરમિયાન બળની અસર હેઠળ થતું કાર્ય કેટલું હશે?
A. 5 J
B. 10 J
C. 15 J
D. 2.5 J

ઉત્તર :
D. 2.5 J
Hint : W = F વિરુદ્ધ dના આલેખમાં Δ OAD નું ક્ષેત્રફળ
= \(\frac{1}{2}\) × પાયો × વેધ
= \(\frac{1}{2}\)× 1 × 5 = 2.5 J

પ્રશ્ન 17.
10 m ની ઊંચાઈએથી 5 kg દળ ધરાવતાં પદાર્થને જમીન તરફ મુક્તપતન કરાવવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષી બળ વડે થતું કાર્ય શું હોઈ શકે? (g = 9.8 m / s²)
A. – 490 J
B. + 490 J
C. – 980 J
D. + 980 J
ઉત્તર:
B. + 490 J
Hint : અહીં, પદાર્થ 10 m ની ઊંચાઈએથી મુક્તપતન કરે છે. તેથી તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ \(\vec{F}\) = m\(\vec{g}\) = – mgĵ અધોદિશામાં અને પદાર્થનું સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) = – 10ĵ પણ અધોદિશામાં જ છે.
તેથી પદાર્થ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય,
W = m\(\vec{g}\) · \(\vec{d}\)
= – (5 × 9.8) (- 10) (ĵ · ĵ)
= + 490 J

પ્રશ્ન 18.
સમક્ષિતિજ સાથે 15° ખૂણો બનાવતી લીસી સપાટી પર 2 N વજન ધરાવતાં લાકડાના બ્લૉકને 10m જેટલો ઉપર તરફ અચળ ઝડપે ખસેડવામાં આવે તો થતું કાર્ય કેટલું હશે?
A. 4.36 J
B. 5.17 kJ
C. 8.91 kJ
D. 9.82 kJ
ઉત્તર:
B. 5.17 J
Hint : W = (mg sin θ) d
= (2 × 10³) sin 15° × 10
= 2 × 10³ × 0.2588 × 10
≈ 5176 ≈ 5.176 kJ

પ્રશ્ન 19.
10 kg દળ ધરાવતો નળાકાર 10m/sના પ્રારંભિક વેગથી એક સમતલ ઉપર સરકી રહ્યો છે. નળાકાર અને સપાટી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.5 છે, તો નળાકાર સ્થિર થાય તે પહેલાં ………………….. અંતર કાપશે. (g = 10m/s² લો.)
A. 12.5 m
B. 5 m
C. 7.5 m
D. 10 m
ઉત્તર :
D. 10 m
Hint : સમક્ષિતિજ સમતલ પર સરકતાં નળાકાર પર લાગતું સ્થિત ઘર્ષણબળ f_s = μ _sN = μ_s (mg) છે.
હવે, આ સ્થિત ઘર્ષણબળ વડે થતું કાર્ય
W = f_sd = K_f – K_i = – K_i(∵ K_f = 0)
∴ μ_smg (d) = – K_i
∴ d = \(\frac{\frac{1}{2} m υ_0^2}{\mu_{\mathrm{s}} m g}\) (ઋણ નિશાની અવગણતાં)
∴ d = \(\frac{υ_0^2}{2 \mu_s g}\)
= \(\frac{(10)^2}{2 \times 0.5 \times 10}\) = 10 m

પ્રશ્ન 20.
એક-પારિમાણિક કિસ્સામાં બળ F અને સ્થાન x વચ્ચેનો સંબંધ નીચેની આકૃતિ મુજબ છે :

x = 1 cmથી x = 5 cm સુધીના સ્થાનાંતર માટે બળ વડે થતું કાર્ય ગણો.
A. 20 erg
B. 60 erg
C. 70 erg
D. 700 erg
ઉત્તર:
A. 20 erg
Hint : અહીં,
W_{1 → 5} = W₁ + W₂ + W₃ + W₄ + W₅
=10 (1) + 20 (1) – 20 (1) + 10 (1) + 0
= 20 erg

પ્રશ્ન 21.
m₁ અને m₂ દળ ધરાવતાં બે પદાર્થોની ગતિ-ઊર્જા સમાન છે. જો તેમનાં વેગમાન અનુક્રમે P₁ અને p₂ હોય, તો P₁ અને p₂ નો ગુણોત્તર શું થાય?
A. m₁ : m₂
B. m₂ : m₁
C. \(\sqrt{m_1}: \sqrt{m_2}\)
D. m₁² : m₂²
ઉત્તર :
C. \(\sqrt{m_1}: \sqrt{m_2}\)
Hint : K = \(\frac{p^2}{2 m}\) ⇒ p = \(\sqrt{2 K m}\)
અહીં બંને પદાર્થો માટે K સમાન હોવાથી, p ∝ √m
∴ \(\frac{p_1}{p_2}=\frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_2}}\)
∴ p₁ : P₂ = \(\sqrt{m_1}: \sqrt{m_2}\)

પ્રશ્ન 22.
10 cmની શિરોલંબ ઊંચાઈ સુધી પહોંચી શકે તેવો સાદા લોલકનો ગોળો તેના મધ્યમાન સ્થાને પહોંચે ત્યારે તેનો વેગ કેટલો થશે? (g = 9.8 m/s² લો.)
A. 0.6 m/s
B. 1.4m/s
C. 1.8m/s
D. 2.2 m/s
ઉત્તર:
B. 1.4 m/s
Hint :

mgh = \(\frac{1}{2}\) mυ² પરથી, υ = \(\sqrt{2 g h}\)
∴ υ = \(\sqrt{2 \times 9.8 \times 10 \times 10^{-2}}\) = 1.4m/s

પ્રશ્ન 23.
સુરેખ ગતિ માટે બળ-સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે, જ્યાં આલેખના ભાગો વર્તુળાકાર છે, તો t = 0 s થી 8 s વચ્ચે રેખીય વેગમાનની ગણતરી કરો.

A. – 2π ન્યૂટન સેકન્ડ
B. 0 ન્યૂટન સેકન્ડ
C. + 4π ન્યૂટન સેકન્ડ
D. – 6π ન્યૂટન સેકન્ડ
ઉત્તર:
B. 0 ન્યૂટન સેકન્ડ
Hint : \(\vec{F}=\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\) પરથી, \(\vec{F}\) Δ t = Δ \(\vec{P}\) થાય.

હવે, \(\vec{F}\) → t ના આલેખ દ્વારા ઘેરાતા બંધ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ રેખીય વેગમાનનો ફેરફાર Δ \(\vec{P}\) આપે છે.

અહીં, આપેલ આલેખમાં 0 sથી 8 s સુધીના સમયગાળા માટે \(\vec{F}\) → t ના આલેખ દ્વારા ઘેરાતા બંધ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય મળે છે. તેથી પદાર્થ દ્વારા મેળવાતું ચોખ્ખું વેગમાન શૂન્ય છે, કારણ કે વેગમાન સદિશ રાશિ છે.

પ્રશ્ન 24.
ρ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીને એક એન્જિન પંપ વડે A આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા પાઇપમાં સતત ધકેલવામાં આવે છે. જો પાઇપમાં પ્રવાહીનાં વહેણનો વેગ υ હોય, તો પ્રવાહીને મળતી ગતિ-ઊર્જાનો દર ……………. .
A. \(\frac{1}{2}\) A ρ υ³
B. \(\frac{1}{2}\) Aρ υ²
C. \(\frac{1}{2}\) A ρ υ
D. A ρ υ
ઉત્તર:
A. \(\frac{1}{2}\) A ρ υ³
Hint :

પ્રશ્ન 25.
એક બૉલને ટાવરની ટોચ ઉપરથી મુક્તપતન કરાવવામાં આવે છે, તો બૉલ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પ્રથમ, દ્વિતીય, તૃતીય સેકન્ડમાં થતું કાર્ય કેટલું હશે?
A. 1 : 2 : 3
B. 1 : 4 : 9
C. 1 : 3 : 5
D. 1 : 5 : 3
ઉત્તર :
C. 1 : 3 : 5
Hint : જ્યારે hઊંચાઈના ટાવર પરથી બૉલને મુક્તપતન કરાવવામાં આવે, તો nth second દરમિયાન તેણે કાપેલું અંતર h_n
= \(\frac{g}{2}\) (2n – 1) (∵ υ₀ = 0) હોય છે.
તેથી બૉલે પ્રથમ 1 s દરમિયાન કાપેલ અંતર,
h₁ = \(\frac{g}{2}\) (2 × 1 – 1) = \(\frac{g}{2}\)
દ્વિતીય સેકન્ડ દરમિયાન કાપેલ અંતર,
h₂ = \(\frac{g}{2}\) (2 × 2 – 1) = \(\frac{3 g}{2}\)
તૃતીય સેકન્ડ દરમિયાન કાપેલ અંતર,
h₃ = \(\frac{g}{2}\) (2 × 3 – 1) = \(\frac{5 g}{2}\)
હવે, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા અનુરૂપ સ્થાનાંતર દરમિયાન થતાં કાર્યોનો ગુણોત્તર
= mgh₁ : mgh₂ : mgh₃
= h₁ : h₂ : h₃
= \(\frac{g}{2}: \frac{3 g}{2}: \frac{5 g}{2}\)
= 1 : 3 : 5

પ્રશ્ન 26.
100 g દળ ધરાવતાં એક પદાર્થને શિરોલંબ દિશામાં ઉપર તરફ 5 m/s ના વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈ પર પહોંચે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય કેટલું થશે? (g = 10 m/s² લો.)
A. – 1.25 J
B. 1.25 J
C. 0.5 J
D. – 0.5 J
ઉત્તર:
A.
– 1.25 J
Hint: જ્યારે પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએ આવેલા સ્થાને પહોંચે છે ત્યારે તેને આપેલ સમગ્ર પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં ફેરવાય છે.
∴ મહત્તમ ઊંચાઈએ પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા
= \(\frac{1}{2}\) mυ²
= \(\frac{1}{2}\) × 100 × 10^-3 × (5)²
= 1.25 J
હવે, પદાર્થની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેનું સ્થાનાંતર અને તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે. તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય = – 1.25 J કહેવાય.

પ્રશ્ન 27.
3 kg દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતાં બળની અસર હેઠળ થતું સ્થાનાંતર (મીટરમાં) s = \(\frac{t^3}{3}\) વડે આપી શકાય છે, તો પ્રથમ બે સેકન્ડમાં બળ વડે થતું કાર્ય શોધો.
A. 2 J
B. 3.8 J
C. 5.2 J
D. 24 J
ઉત્તર:
D. 24 J
Hint :

પ્રશ્ન 28.
10 kg દળ ધરાવતા, સ્થિર સ્થિતિમાં રહેલા એક પદાર્થ ૫૨, એકબીજા સાથે લંબ હોય તેવાં 4N અને 3N બળ એકસાથે લાગે છે, તો 10s બાદ પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા કેટલી થાય?
A. 100 J
B. 300 J
C. 50 J
D. 125 J
ઉત્તર :
D. 125 J
Hint : અહીં, 4 N અને 3 N બળો પરસ્પર લંબ છે. તેથી તેમનું પરિણામી બળ F = \(\sqrt{3^2+4^2}\) = 5 N
a = \(\frac{F}{m}=\frac{5}{10}\) = 0.5 m/s²
અહીં, υ₀ = 0 છે.
તેથી υ = υ₀ + at પરથી υ = at
હવે, W = \(\frac{1}{2}\) mυ² – \(\frac{1}{2}\) mυ₀²
= \(\frac{1}{2}\) m (at)² – 0
= \(\frac{1}{2}\) × 10 × (0.5 × 10)²
= 125 J

પ્રશ્ન 29.
લીસી, સમક્ષિતિજ સપાટી પર 1.5 m /s વેગથી ગતિ કરતો 0.5 kg દળવાળો એક પદાર્થ, k = 50 N/m સ્પ્રિંગ-અચળાંક ધરાવતી દળ રહિત સ્પ્રિંગ સાથે સંઘાત અનુભવે છે, તો સ્પ્રિંગ વધુમાં વધુ કેટલી દબાશે?
A. 0.15 m
B. 0.12 m
C. 1.5 m
D. 0.5 m
ઉત્તર:
A. 0.15 m
Hint : પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા = સ્પ્રિંગમાં સંગૃહીત સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ-ઊર્જા
∴ \(\frac{1}{2}\) mυ² = \(\frac{1}{2}\) kx²
∴ x² = \(\frac{m}{k}\) υ²
∴ x = υ \(\sqrt{\frac{m}{k}}\)
= 1.5 \(\sqrt{\frac{0.5}{50}}\)
= 0.15 m

પ્રશ્ન 30.
જો 4 m/s જેટલા પ્રારંભિક વેગથી એક પદાર્થને ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. કઈ ઊંચાઈએ તેની ગતિ-ઊર્જા ઘટીને પ્રારંભની ગતિ-ઊર્જા કરતાં અડધી થશે? (g = 10m s^-2 લો.)
A. 4m
B. 2 m
C. 1 m
D. 0.4 m
ઉત્તર:
D. 0.4 m
Hint : પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા = \(\frac{1}{2}\) mυ²
= \(\frac{1}{2}\) m (4)²
= 8 m
હવે, ધારો કે જમીનથી ‘h’ ઊંચાઈએ તેની ગતિ-ઊર્જા અડધી થાય છે, તો h ઊંચાઈએ તેની ગતિ-ઊર્જા = \(\frac{8 m}{2}\)
= 4m
પણ h ઊંચાઈએ તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા mgh હોય છે.
તેથી mgh = 4m થાય. (∵યાંત્રિક ઊર્જા-સંરક્ષણનો નિયમ)
∴ h = \(\frac{4}{g}\) = \(\frac{4}{10}\) = 0.4m

પ્રશ્ન 31.
10 kg દળ ધરાવતો પદાર્થ X-અક્ષ પર ગતિ કરે છે, તેના પ્રવેગને સ્થાનના વિધેય તરીકે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. x = 0 cmથી x = 8 cm માટે બળ વડે પદાર્થ ૫૨ થતું કાર્ય શું થશે?

A. 8 × 10^-2 joule
B. 16 × 10^-2 joule
C. 4 × 10^-4 joule
D. 1.6 × 10^-3 joule
ઉત્તર:
A. 8 × 10^-2 joule
Hint : અહીં, a → xના આલેખ દ્વારા ઘેરાતા બંધ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ = (a) (x)
= \(\frac{1}{2}\) (8 × 10^-2) (20 × 10^-2)
= 80 × 10^-4m²/s²
હવે, કાર્ય W = Fx
= max
= 10 × (80 × 10^-4)
= 8 × 10^-2 J

પ્રશ્ન 32.
0.1 kg દળ ધરાવતા કણ પર લાગતું બળ F આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અંતર x સાથે બદલાય છે. જો કણ x = 0 mથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ કરતો હોય, તો x = 12 m પાસે તેનો વેગ શું હશે?

A. 0 m/s
B. 20 √2 m/s
C. 20 √3 m/s
D. 40 m/s
ઉત્તર :
D. 40 m/s
Hint : W = ΔK પરથી,
(F) (x) = \(\frac{1}{2}\) mυ² – 0 = \(\frac{1}{2}\) mυ² (∵ υ₀ = 0 છે.) …………. (1)
હવે, Fx = બળ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરના આલેખ દ્વારા ઘેરાતા બંધ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ
∴ Fx = [(\(\frac{1}{2}\) × 4 × 10) + (4 × 10) + (\(\frac{1}{2}\) × 4 × 10]
= 80 J
આ F (x) નું મૂલ્ય સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
\(\frac{1}{2}\) mυ² = 80
∴ υ² = \(\frac{160}{0.1}\) = 1600
∴ υ = 40 m/s

પ્રશ્ન 33.
આલેખમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક પદાર્થ ૫૨ લાગતાં બળ વડે કાર્ય થાય છે. શરૂઆતના 20m કપાતા અંતર દરમિયાન થતું કુલ કાર્ય ગણો.

A. 225 J
B. 200 J
C. 400 J
D. 175 J
ઉત્તર:
B. 200 J
Hint : શરૂઆતના 20 m જેટલા સ્થાનાંતર માટેનું કાર્ય W = F વિરુદ્ધ x ના આલેખ દ્વારા ઘેરાતા બંધ ગાળા OABCDOનું ક્ષેત્રફળ
= [(\(\frac{1}{2}\) × 5 × 10) + (10 × 10) + (\(\frac{1}{2}\) × 5 × 10) + (5 × 10)]
= [25 + 100 + 25 + 50]
= 200 J

પ્રશ્ન 34.
લાકડાના એક બ્લૉકમાં 3cm સુધી પ્રવેશી જતો એક પદાર્થ તેનો અડધો વેગ ગુમાવે છે, તો તે સ્થિર થાય ત્યાં સુધી કેટલો વધુ અંદર જશે?
A. 1 cm
B. 2 cm
C. 3 cm
D. 4 cm
ઉત્તર :
A. 1 cm
Hint : પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ₁ = υ₀
આ પદાર્થ લાકડાના બ્લૉકની અંદર 3 cm જાય ત્યારે તેનો વેગ υ₁ = \(\frac{υ_0}{2}\) થાય છે.
∴ υ₁² = υ₀² = 2ax
∴ (\(\frac{υ_0}{2}\))² – υ₀² = 2a(3) (∵ x = 3 cm)
υ₀²(\(\frac{-3}{4}\)) = 6a
∴ a = – \(\frac{υ_0^2}{8}\)
હવે, બ્લૉકની અંદર પદાર્થ 3 cm જેટલું અંતર કાપ્યા બાદ વધારાનું x’ અંતર કાપે છે, ત્યારે તેનો વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
એટલે કે υ’² – υ₁² 2ax’ સૂત્રમાં υ’ = 0,
υ₁ = \(\frac{υ_0}{2}\) અને a = – \(\frac{υ_0^2}{8}\) મૂકતાં,
0 – (\(\frac{υ_0}{2}\))² = 2 (- \(\frac{υ_0^2}{8}\)) x’
∴ – \(\frac{υ_0^2}{4}\) = – \(\frac{υ_0^2}{4}\) x’
∴ x’ = 1 cm

પ્રશ્ન 35.
આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ સાદા લોલકના ગોળાને A પાસેથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. જો ગોળાનું દળ અને લોલકની લંબાઈ અનુક્રમે m અને l હોય, તો તે B પાસે કેટલી ગતિ-ઊર્જા મેળવશે?

A. \(\frac{\mathrm{mgl}}{2}\)
B. \(\frac{m g l}{\sqrt{2}}\)
C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) mgl
D. \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) mgl
ઉત્તર:
C. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) mgl
Hint :

અહીં, h = l cos 30° છે.
જ્યારે ગોળો Aથી B પર આવે છે, ત્યારે તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ઘટાડો
= mgh = mg (l cos 30°)
ઉપરોક્ત સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ઘટાડો ગોળાની ગતિ-ઊર્જાના સ્વરૂપમાં મળે છે.
તેથી B પાસે ગોળાને મળેલી ગતિ-ઊર્જા
= mg (l cos 30°)
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) mgl

પ્રશ્ન 36.
4 m/s ના વેગથી સમક્ષિતિજ સપાટી પર સરકતો 2 kgનો બ્લૉક દબાણ રહિત સ્પ્રિંગને અથડાય છે. બ્લૉક સ્થિર થાય ત્યાં સુધી સ્પ્રિંગ દબાય છે. જો ગતિક ઘર્ષણબળ 15 N અને સ્પ્રિંગનો સ્વિંગ-અચળાંક 10,000 N/m હોય, તો બ્લૉક વડે સ્પ્રિંગ કેટલા cm દબાશે?
A. 5.5
B. 2.5
C. 11.0
D. 8.5
ઉત્તર:
A. 5.5
Hint : \(\frac{1}{2}\) mυ² – f_kx = \(\frac{1}{2}\) kx²
∴ \(\frac{1}{2}\) × 2 × 4² – 15 × x = \(\frac{1}{2}\) × 10⁴x²
∴ x = 5.5 × 10^-2m = 5.5 cm

પ્રશ્ન 37.
1250 kg દળવાળી એક કાર 30m/s જેટલી ઝડપે ગતિ કરે છે. તેનું એન્જિન 30 kW પાવર આપે છે. જો સપાટીનું અવરોધક બળ 750 N હોય, તો ગાડીમાં કેટલો મહત્તમ પ્રવેગ મળતો હશે?
A. \(\frac{1}{3}\) m/s²
B. \(\frac{1}{4}\) m/s²
C. \(\frac{1}{5}\) m/s²
D. \(\frac{1}{6}\) m/s²
ઉત્તર:
C. \(\frac{1}{5}\) m/s²
Hint : કારના એન્જિન વડે કાર પર લાગતું બળ,

પ્રશ્ન 38.
1000 kg દળ ધરાવતી એક કાર નિયમિત પ્રવેગથી, તેની સ્થિર સ્થિતિમાંથી 54 km/hourનો વેગ 5 s માં મેળવે છે. આ સમયગાળામાં તેનો સરેરાશ પાવર કેટલો હશે?
(ઘર્ષણબળ અવગણો.)
A. 2000 W
B. 22500 W
C. 5000 W
D. 2250 W
ઉત્તર :
B. 22500 W
Hint :

(∵ υ = 54 km/h = 15 m/s)
= 22500 W

પ્રશ્ન 39.
એક પદાર્થને (3î + 4ĵ + 5k̂) m જેટલું સ્થાનાંતર કરાવવા તેને 4 s માટે (2î + 3ĵ + 4k̂)N જેટલું બળ આપવું પડે છે, તો કેટલો પાવર વપરાયો કહેવાય?
A. 9.5 W
B. 7.5 W
C. 6.5 W
D. 4.5 W
ઉત્તર:
A. 9.5 W
Hint : P = \(\frac{W}{t}=\frac{\vec{F} \cdot \vec{d}}{t}\)
= \(\frac{(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}+5 \hat{k})}{4}\)
= \(\frac{6+12+20}{4}\) = 9.5 W

પ્રશ્ન 40.
એક છોકરાને એક સફરજનમાંથી 21 kJ ઊર્જા મળે છે. જો છોકરાની કાર્યક્ષમતા 28% હોય, તો આ ઊર્જા વડે તે કેટલી ઊંચાઈ ચઢી શકે? (છોકરાનું દળ 40 kg છે.)
A. 22.5 m
B. 15m
C. 1 m
D. 5 m
ઉત્તર:
B. 15 m
Hint : એક સફરજનની ઊર્જા = 21 kJ = 21 × 10³J
છોકરાની કાર્યક્ષમતા η = 28% = 0.28
છોકરાનું દળ m = 40 kg
છોકરાને મળતી ખરેખર ઊર્જા
= 0.28 × 21000 = 5880 J …………. (1)
h જેટલી ઊંચાઈ ચઢવા માટે છોકરા દ્વારા વપરાતી ઊર્જા
= mgh
= 40 × 9.8 × h …………. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
40 × 9.8 × h = 5880
∴ h = \(\frac{5880}{40 \times 9.8}\) = 15m

પ્રશ્ન 41.
બે સમાન સ્પ્રિંગ A અને B છે. પરંતુ સ્પ્રિંગ A, સ્પ્રિંગ B કરતાં વધુ કડક છે. (k_A > k_B). બંને સ્પ્રિંગોને ખેંચીને એકસ૨ખું સ્થાનાંતર કરાવતાં થતાં કાર્યોને W_A અને W_B વડે દર્શાવી શકાય છે અને બંને સ્પ્રિંગ પર સમાન બળ લગાડતાં થતું કાર્ય W’_A અને W’_B વડે દર્શાવીએ, તો નીચેનાંમાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
A. W_A > W_B અને W’_A = W’_B
B. W_A > W_B અને W’_A < W’_B
C. W_A > W_B અને W’_A > W’_B
D. W_A < W_B અને W’_A < W’_B
ઉત્તર:
B. W_A > W_B અને W’_A < W’_B
Hint : અહીં, k_A > k_B છે.

• હવે, બંને સ્પ્રિંગોને એકસરખું સ્થાનાંતર કરાવતાં,
  W_A = \(\frac {1}{2}\) k_Ax² અને W_B = \(\frac {1}{2}\) k_Bx² મળે.
  (∵ X_A = X_B = x)
  પરંતુ k_A > k_B હોવાથી W_A > W_B થાય.
• હવે, બંને સ્પ્રિંગો પર એકસરખું બળ લગાડતાં,
  W’_A = \(\frac{1}{2} \frac{F^2}{k_{\mathrm{A}}}\) અને W’_A = \(\frac{1}{2} \frac{F^2}{k_{\mathrm{B}}}\) મળે.
  (∵ F_A = F_B = F)
  પણ, k_A > k_B હોવાથી W’_A < W’_B થાય.

પ્રશ્ન 42.
બંદૂકની એક ગોળી શિરોલંબ ઊભા મૂકેલા પાટિયા(plank)માંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તેનો વેગ મૂળ વેગનાં 20મા ભાગ જેટલો ઘટે છે, તો ગોળીને રોકવા માટે ઓછામાં ઓછી કેટલી સંખ્યાનાં આવાં પાટિયાં જોઈએ ?
A. 5
B. 10
C. 11
D. 20
ઉત્તર:
C. 11
Hint : ધારો કે, એક ઊભા મૂકેલા પાટિયાની જાડાઈ t છે. હવે જો ગોળી (bullet) ‘u’ વેગથી પાટિયા સાથે અથડાય તો આ પાટિયામાંથી બહાર નીકળતી વખતે તેનો વેગ υ = u – \(\frac{u}{20}=\frac{19}{20}\) u

હવે, υ² – u² = 2ad પરથી,
(\(\frac {19}{20}\))² – u² = 2at (∵ d = t)
∴ – \(\frac{u^2}{2 a t}=\frac{400}{39}\) ……….. (1)
હવે, જો ઉપરની આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબના એક પાટિયાના બદલે ‘n’ પાટિયાઓ ગોઠવવામાં આવે તો nમા પાટિયામાંથી બહાર નીકળતી વખતે ગોળીનો અંતિમ વેગ શૂન્ય થાય છે તેવું ધારતાં,
υ² – u² = 2ad પરથી,
0 – u² = 2a (nt)
∴ n = –\(\frac{u^2}{2 a t}\) ……….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
n = \(\frac {400}{39}\) = 10.25
અહીં ‘n’નું મૂલ્ય 10 કરતાં મોટું મળે છે. તેથી n = 11 પાટિયાઓ લેવામાં આવે તો આ ગોળીને રોકી શકાય.

પ્રશ્ન 43.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, સ્થાન x સાથે બદલાતું જતું બળ F એક કણ ઉપર લાગે છે. x = 0 m સ્થાને કણ પાસેની ગતિ- ઊર્જા 25 J હોય, તો x = 16m સ્થાને કણની ગતિ-ઊર્જા ગણો.

A. 45 J
B. 30 J
C. 70 J
D. 135 J
ઉત્તર:
A. 45 J
Hint :
થતું કાર્ય W = યોગ્ય ચિહ્ન સાથે F વિરુદ્ધ x ના આલેખ દ્વારા ઘેરાતા બંધ ગાળાનું ક્ષેત્રફળ
∴ W = (Δ ABCનું ક્ષેત્રફળ) + (લંબચોરસ CDEFનું ક્ષેત્રફળ) + (લંબચોરસ FGHI નું ક્ષેત્રફળ) + (લંબચોરસ IJKLનું ક્ષેત્રફળ)
∴ W = [\(\frac{1}{2}\) × 6 × 10] + [4 × (- 5)] + [4 × 5] + [2 × (- 5)]
= 30 – 20 + 20 – 10 = 20 J ……….. (1)
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય પરથી,
K – K₀ = W ⇒ (K)_{x = 16 m} – (K₀)_{x = 0 m} = W
∴ (K)_{x = 16 m} = K₀)_{x = 0 m} + W
= 25 J + 20 J (સમીકરણ (1) વાપરતાં)
= 45 J

પ્રશ્ન 44.
એકસમાન A અને B દડાઓ એકબીજા સાથે સ્થિતિસ્થાપક head on અથડામણ કરે છે. અથડામણ પહેલાં તેમના વેગ અનુક્રમે + 0.5 m/s અને − 0.3 m/s હોય, તો અથડામણ બાદ તેમના વેગ અનુકમે –
A. + 0.5 m/s અને + 0.3m/s
B. – 0.5 m/s અને – 0.3m/s
C. + 0.3 m/s અને − 0.5 m/s
D. – 0.3 m/s અને + 0.5 m/s
ઉત્તર:
D. – 0.3 m/s અને +0.5 m/s
Hint : અહીં, m_A = m_B, υ_Ai = 0.5 m/s અને
υ_Bi = – 0.3 m/s છે.
હવે, રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,
m_Aυ_Ai + m_Bυ_Bi = m_Aυ_Af + m_Bυ_Bf…… (1)
∴ (+ 0.5) + (-0.3) = ‘Af + VBf
ગતિ-ઊર્જાના સંરક્ષણ પરથી,
\(\frac{1}{2}\)m_Aυ_Ai² + \(\frac{1}{2}\) m_Bυ_Bi²
= \(\frac{1}{2}\) m_Aυ_Af² + \(\frac{1}{2}\) m_Bυ_Bf²
∴ (+ 0.5)² + (- 0.3)² = υ_Af² + υ_Bf² …………. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) ઉકેલતાં,
υ_Af = – 0.3 m/s, υ_Bf = + 0.5 m/s
બીજી રીત :
સ્થિતિસ્થાપક head on અથડામણમાં એકસરખા પદાર્થોના વેગોનો પરસ્પર વિનિમય થતો હોય છે. તેથી
υ_Af = – 0.3m/s અને = υ_Bf + 0.5 m/s થાય.

પ્રશ્ન 45.
સ્થિર સ્થિતિમાં રહેલ ‘m’ દળના પદાર્થ પર અચળ બળ લાગે છે. પરિણામે તે ‘d’ જેટલું અંતર કાપે છે, તો તેની ગતિ-ઊર્જા K ……………….. ના સમપ્રમાણમાં હશે.
A. m
B. m⁰
C. √m
D. \(\frac{1}{\sqrt{m}}\)
ઉત્તર:
B. m⁰
Hint : υ² – υ₀² = 2ad પરથી,
υ² – (0)² = 2 (\(\frac{F}{m}\)) d
∴ υ² = \(\)
∴ ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\) mυ² = \(\frac{1}{2}\) m × \(\) = (F) d
∴ ગતિ-ઊર્જા K, દળ mથી સ્વતંત્ર છે અથવા K ∝ m⁰ થાય.

પ્રશ્ન 46.
બે પરમાણુઓથી બનેલા તંત્રની સ્થિતિ-ઊર્જા
V (x) = \(\frac{a}{x^{12}}-\frac{b}{x^6}\) વડે આપવામાં આવે છે; જ્યાં a અને b ધન અચળાંકો છે અને x એ બે પરમાણુ વચ્ચેનું અંતર છે, તો બે પરમાણુઓની સ્થિર સંતુલિત અવસ્થામાં ………………..
A. x = \(\left(\frac{2 a}{b}\right)^{\frac{1}{6}}\)
B. x = \(\left(\frac{11 a}{5 b}\right)^{\frac{1}{6}}\)
C. x = 0
D. x = \(\left(\frac{a}{2 b}\right)^{\frac{1}{6}}\)
ઉત્તર:
A. x = \(\left(\frac{2 a}{b}\right)^{\frac{1}{6}}\)
Hint : V (x) = \(\frac{a}{x^{12}}-\frac{b}{x^6}\)
હવે, બે પરમાણુઓની સ્થિર સંતુલિત સ્થિતિ માટે બંને વચ્ચે લાગતું પરિણામી બળ F = 0 થવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 47.
1 kgદળવાળા સ્ફોટક પદાર્થને ઊર્ધ્વદિશામાં 100 m s^-1ના વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. 5 s બાદ તે બે ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે. 400g દળવાળો એક ટુકડો અધોદિશામાં 25 m s^-1ના વેગથી ફેંકાય છે, તો બીજા ટુકડાનો વેગ ………………. . (g = 10 m s^-2 લો.)
A. 40 m s^-1 ↑
B. 40 m s^-1↓
C. 100 m s^-1↑
D. 60 m s^-1↑
ઉત્તર:
C. 100 m s^-1↑
Hint : 5s બાદ સ્ફોટક પદાર્થનો વેગ,
υ = υ₀ – gt
= 100 – 10 × 5
= 50 m s^-1
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,
1 × 50 = 0.4 × (- 25) + 0.6 υ’
∴ 60 = 0.6 υ’
∴ υ’ = 100 m s^-1 ઊર્ધ્વદિશામાં (↑)

પ્રશ્ન 48.
K જેટલી ગતિ-ઊર્જાથી એક કણને સમક્ષિતિજ દિશા સાથે 45° ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, તો ગતિમાર્ગ પર મહત્તમ ઊંચાઈએ આવેલ બિંદુ આગળ તેની ગતિ-ઊર્જા ………………… .
A. \(\frac{K}{\sqrt{2}}\)
B. \(\frac{K}{2}\)
C. 2K
D. K
ઉત્તર:
B. \(\frac{K}{2}\)
Hint : મહત્તમ ઊંચાઈએ આવેલ બિંદુ આગળ કણનો વેગ
= υ cos θ
જ્યાં, υ = પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ આગળ કણનો વેગ
= υ cos 45°
= \(\frac{υ}{\sqrt{2}}\)
∴ મહત્તમ ઊંચાઈએ આવેલ બિંદુ આગળ ગતિ-ઊર્જા,
K’ = \(\frac{1}{2}\) m (\(\frac{υ}{\sqrt{2}}\))²
= \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{1}{2}\) mυ²) = \(\frac{1}{2}\)K

પ્રશ્ન 49.
એક બાળક હીંચકા પર બેસીને દોલન ક૨ે છે ત્યારે તેની ન્યૂનતમ ઊંચાઈ અને મહત્તમ ઊંચાઈ 0.75 m અને 2 m છે, તો તેની મહત્તમ ઝડપ ………………. .
A. 10 m/s
B. 5 m/s
C. 8m/s
D. 15 m/s
ઉત્તર:
B. 5 m/s
Hint : ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં ઘટાડો = ગતિ-ઊર્જામાં વધારો
∴ mg (2) – mg (0.75) = \(\frac{1}{2}\) mυ²_max – 0
∴ υ_max = \(\sqrt{2 g(1.25)}\) = 5 m/s

પ્રશ્ન 50.
30 kg દળવાળો સ્થિર બૉમ્બ વિસ્ફોટ પામે છે. પરિણામે 18 kg અને 12 kg દળના બે ટુકડા થાય છે. 18 kg દળવાળા ટુકડાનો વેગ 6m s^-1 છે, તો બીજા ટુકડાની ગતિ-ઊર્જા …………….. .
A. 324 J
B. 486 J
C. 256 J
D. 524 J
ઉત્તર:
B. 486 J
Hint : રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,
30 × 0 = 18 × 6 + 12 × υ
∴ – 108 = 12υ
∴ υ = – 9 m/s
અહીં, ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બીજો ટુકડો વિરુદ્ધ દિશામાં ફેંકાય છે.
હવે, બીજા ટુકડાની ગતિ-ઊર્જા =\(\frac{1}{2}\) mυ²
= \(\frac{1}{2}\) × 12 × (- 9)²
= 486 J

પ્રશ્ન 51.
10m ઊંચાઈના એક ઘર્ષણવાળા ઢાળની સપાટી પર 2 kg દળના પદાર્થને તળિયેથી ટોચ પર લઈ જવા માટે 300 J કાર્ય કરવું પડે છે, તો ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય …………………….. .
(g = 10 m s^-2 લો.)
A. 1000 J
B. 200 J
C. 100 J
ઉત્તર:
C. 100 J
D. 0
Hint : અહીં, પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો વધારો
= mgh
= 2 × 10 × 10 = 200 J
હવે, થયેલ કુલ કાર્ય = મેળવેલ ગતિ-ઊર્જા
= 300 J
∴ ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલ કાર્ય = 300 – 200 = 100 J

પ્રશ્ન 52.
60 m જેટલી ઊંચાઈ પરથી પાણી 15kg/sના દરથી ટર્બાઇન પર પડે છે અને પરિણામે ટર્બાઇન ચાલે છે. ઘર્ષણબળોને લીધે 10% જેટલી ઊર્જા ગુમાવાય છે, તો ટર્બાઇન વડે કેટલો પાવર ઉદ્ભવી શકે? (g = 10 m s^-2)
A. 12.3 W
B. 7.0 W
C. 8.1 kW
D. 10.2 kW
ઉત્તર:
C. 8.1 kW
Hint : દર સેકન્ડે ટર્બાઇન પર પડતા પાણીનું દળ
\(\frac{m}{t}\) = 15 kg/s, h = 60 m
અહીં, 10 % ઊર્જાનો વ્યય થાય છે. તેથી 90 % ઊર્જા વપરાય છે. તેથી
ઉદ્ભવતો સાચો પાવર = 90 % (\(\frac{m g h}{t}\))
= (\(\frac{90}{100}\)) (15) (10) (60)
= 8100 W = 8.1 W

પ્રશ્ન 53.
એક 200 g દળની ગોળી એક 4 kg દળવાળી બંદૂકમાંથી છોડવામાં આવે છે. પરિણામે ઉદ્ભવતી ઊર્જા 1.05 J છે, તો ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ ………………… .
A. 40 m s^-1
B. 120 m s^-1
C. 100 m s^-1
D. 80 m s^-1
ઉત્તર:
C. 100 m s^-1
Hint : રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,

પ્રશ્ન 54.
એક વિસ્ફોટ વડે એક ખડક (rock) તોડવામાં આવે છે. પરિણામે તેના ત્રણ ટુકડાઓ થાય છે. બે ટુકડાઓ પરસ્પર લંબરૂપે ફેંકાય છે. તેમાંનો 1 kg દળવાળો એક ટુકડો 12 m s^-1 જેટલા વેગથી અને 2 kg દળવાળો બીજો ટુકડો 8m s^-1 જેટલા વેગથી ફેંકાતો હોય છે. જો ત્રીજો ટુકડો 4 m s^-1 જેટલા વેગથી ફંગોળાતો હોય, તો તેનું દળ ………………. .
A. 7 kg
B. 17 kg
C. 3 kg
D. 5 kg
ઉત્તર :
D. 5 kg
Hint : અહીં પરસ્પર લંબરૂપે ફંગોળાતા બે ટુકડાઓના પરિણામી
વેગમાનનું મૂલ્ય = \(\sqrt{(1 \times 12)^2+(2 \times 8)^2}\)
= 20 kg m s^-1
હવે, રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ત્રીજા ટુકડાના વેગમાનનું મૂલ્ય 20 kg m s^-1 હોવું જોઈએ અને તે બે ટુકડાઓના પરિણામી વેગમાનની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફંગોળાતો હોવો જોઈએ, તો જ કુલ પ્રારંભિક વેગમાન જેટલું જ કુલ અંતિમ વેગમાન શૂન્ય મળે.
આમ, હવે ત્રીજા ટુકડાના વેગમાનનું મૂલ્ય,
p₃ = m₃υ₃ 20 kg m s^-1
પણ, υ₃ = 4 m s^-1 છે.
∴ m₃ = \(\frac{20}{4}\) = 5 kg થાય.

પ્રશ્ન 55.
એક એન્જિન હૉસ પાઇપ મારફતે પાણીને ફેંકે છે. પાઇપમાંથી પસાર થતું પાણી પાઇપમાંથી 2 m/s જેટલા વેગથી બહાર નીકળે છે. પાઇપની અંદર એકમ લંબાઈદીઠ પાણીનું દળ 100 kg/m છે, તો એન્જિનનો પાવર કેટલો હશે?
A. 400 W
B. 200 W
C. 100 W
D. 800 W
ઉત્તર:
D. 800 W
Hint : પાઇપની અંદર એકમ લંબાઈદીઠ પાણીનું દળ
= (\(\frac{m}{d}\)) = 100 kg/m
પાણીનો વેગ υ = 2 m/s
એન્જિનનો પાવર P = Fυ
= (ma) υ
= m (\(\frac{υ}{t}\)) υ
= m (\(\frac{υ}{t}\)) υ × \(\frac{d}{d}\)
= (\(\frac{m}{d}\)) υ³
= 100 × (2)³
= 800 W

પ્રશ્ન 56.
M દળવાળો કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિની શરૂઆત કરી અચળપ્રવેગી ગતિ ધારણ કરે છે. જો t સમયમાં કણે પ્રાપ્ત કરેલો વેગ છ હોય, તો કણને અપાયેલો સરેરાશ પાવર ………………….. .
A. \(\frac{M υ^2}{t}\)
B. \(\frac{1}{2}\left(\frac{M υ^2}{t^2}\right)\)
C. \(\frac{M υ^2}{t^2}\)
D. \(\frac{1}{2}\left(\frac{M υ^2}{t^2}\right)\)
ઉત્તર :
D. \(\frac{1}{2}\left(\frac{M υ^2}{t^2}\right)\)
Hint :

પ્રશ્ન 57.
એક 2 m લંબાઈની નિયમિત ચેઇનને ટેબલ પર એવી રીતે ગોઠવી છે કે તેની 60 cm લંબાઈ ટેબલની ધારથી નીચે તરફ મુક્તપણે લટકી રહી છે. આ ચેઇનનું કુલ દળ 4 kg છે. આ ચેઇનને સમગ્રપણે ટેબલ પર ખેંચીને લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય કેટલું હશે?
A. 7.2 J
B. 3.6 J
C. 120 J
D. 1200 J
ઉત્તર:
B. 3.6 J
Hint :

• ચેઇનના લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર ટેબલની ધારથી નીચે તરફ 0.3m અંતરે ‘C’ બિંદુ પાસે હશે. … h = 0.3 m
• હવે, ચેઇનના લટકતા ભાગનું દળ = \(\frac{4 \times 0.6}{2}\)
  = 1.2 kg
• કાર્ય W = mgh
  = 1.2 × 10 × 0.3
  = 3.6 J

પ્રશ્ન 58.
એક m દળવાળો દડો તેના જેવા જ એક સ્થિર દડા સાથે અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે. અથડામણ બાદ પહેલો દડો \(\frac{υ}{\sqrt{3}}\) જેટલી ઝડપે મૂળ દિશા સાથે લંબરૂપે ગતિ કરવા લાગે છે, તો અથડામણ બાદ બીજા દડાની ઝડપ શોધો.
A. \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) υ
B. \(\frac{υ}{\sqrt{3}}\) υ
C. υ
D. 3 υ
ઉત્તર:
A. \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) υ
Hint :

ધારો કે, અથડામણ બાદ બીજા દડાની ઝડપ υ₂ છે.
અહીં, વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
: X-અક્ષની દિશામાં m υ₂ cos θ = mυ ……. (1)
Y-અક્ષની દિશામાં mυ₂ sin θ = \(\frac{m υ}{\sqrt{3}}\) ………… (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
(mυ₂ cos θ)² + (υ₂ sin θ)² = (mυ)² + (\(\frac{m υ}{\sqrt{3}}\))²
∴ m²υ₂² = \(\frac{4 m^2 υ^2}{3}\)
∴ υ₂ = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) υ

પ્રશ્ન 59.
એક કણને સમક્ષિતિજ દિશા સાથે 60°ના ખૂણે K જેટલી ગતિ- ઊર્જાથી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, તો મહત્તમ ઊંચાઈએ તેની ગતિ-ઊર્જા ……………….. .
A. \(\frac{K}{4}\)
B. K
C. શૂન્ય
D. \(\frac{K}{4}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{K}{4}\)
Hint : પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ પાસે કણની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા,
K = \(\frac{1}{2}\) mυ²
મહત્તમ ઊંચાઈએ આવેલા સ્થાન આગળ ગતિ-ઊર્જા,
K’ = \(\frac{1}{2}\) m (υ cos θ)²
∴ K’ = \(\frac{1}{2}\) mυ² cos² θ
= K cos² 60°
= \(\frac{K}{4}\)

પ્રશ્ન 60.
0.50 kg દળનો બ્લૉક 2.00 m s^-1 ના વેગથી ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર ગતિ કરે છે. તે 1.00 kg દળના બીજા સ્થિર બ્લૉક સાથે અથડાય છે ત્યારે તે બંને બ્લૉક્સ એક સંયુક્ત પદાર્થ તરીકે ગતિ કરે છે, તો આ અથડામણ દરમિયાન ગુમાવાતી ગતિ-ઊર્જા કેટલી હશે?
A. 0.34 J
B. 0.16 J
C. 1.00 J
D. 0.67 J
ઉત્તર:
D. 0.67 J
Hint : રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,
mu = (M + m) υ
∴ 0.5 × 2.00 = (1 + 0.50) υ
∴ υ = \(\frac{1.00}{1.50}\)
પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા = \(\frac{1}{2}\) mu²
= \(\frac{1}{2}\) × 0.50 × (2.00)²
= 1.00 J
અંતિમ ગતિ-ઊર્જા = \(\frac{1}{2}\) (M + m)υ²
= \(\frac{1}{2}\) × (1.50) × (\(\frac{1.00}{1.50}\))²
= \(\frac{1.00}{3.00}\) = 0.33
∴ ગુમાવેલી ગતિ-ઊર્જા = 1.00 – 0.33 = 0.67 J

પ્રશ્ન 61.
100 hpનું એન્જિન ધરાવતી એક કાર 72 \(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) ના વેગથી દોડે છે, તો એન્જિન વડે કાર પર લાગતો ધક્કો …………………. N છે.
A. 3730
B. 3550
C. 3839
D. 3333
ઉત્તર:
A. 3730
Hint : પાવર P = 100 hp
= 100 × 746 W (∵ 1 hp = 746 W)
વેગ υ = 72 \(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\) = 72 × \(\frac{5}{18}\) m s^-1 =
= 20 m s^-1
હવે, P = Fυ
∴ F = \(\frac{P}{υ}=\frac{100 \times 746}{20}\) = 3780 N

પ્રશ્ન 62.
પાણીના એક ધોધમાંથી ટર્બાઇનની બ્લેડ પ૨ દ૨ સેકન્ડે 100 kg પાણી પડે છે. જો ધોધની ઊંચાઈ 100 m હોય, તો ટર્બાઇનને મળતો પાવર લગભગ ………………. હશે.
A. 100 kW
B. 10 kW
C. 1 kW
D. 100 W
ઉત્તર:
A. 100 W
Hint : ટર્બાઇનને દર સેકન્ડે મળતી ઊર્જા, એટલે કે પાવર
P = \(\frac{W}{t}\)
= \(\frac{m g h}{t}\)
= 100 (kg s^-1) × 10 (m s^-2) × 100 (m)
∴ 10⁵Js^-1
= 100 kW

પ્રશ્ન 63.
એક કણનું રેખીય વેગમાન \(\vec{P}\) = 2 cos θ î + 2 sin θ ĵ છે, તો કણ પર લાગતા બળ \(\vec{F}\) અને તેના વેગમાન \(\vec{P}\) વચ્ચેનો ખૂણો …………………… છે.
A. 65°
B. 90°
C. 150°
D. 180°
ઉત્તર:
B. 90°
Hint : બળ \(\vec{F}=\frac{d \vec{p}}{d t}\)
= \(\frac{d}{d t}\) = (2 cos θ î + 2 sin θ ĵ)
= – 2 sin θ î + 2 cos θ ĵ
હવે, \(\vec{F}\) . \(\vec{P}\) = |\(\vec{F}\)||\(\vec{P}\)| cos θ
જ્યાં, θ = \(\vec{F}\) અને \(\vec{P}\) વચ્ચેનો ખૂણો
∴ cos θ = \(\frac{\vec{F} \cdot \vec{p}}{|\vec{F}||\vec{p}|}\) = 0
(∵ અહીં \(\vec{F}\) . \(\vec{P}\) = 0 થાય છે.)
∴ θ = 90°

પ્રશ્ન 64.
0.2 ઘર્ષણાંક ધરાવતી સમક્ષિતિજ સપાટી પર 5 kg દળનો પદાર્થ પડેલો છે. તેને 25 Nના સમક્ષિતિજ બળ વડે 10m જેટલું અંતર ખેંચવામાં આવે છે, તો પદાર્થે મેળવેલ ગતિ-ઊર્જા J હશે. (g = 10 m s^-2)
A. 200
B. 150
C. 100
D. 50
ઉત્તર:
B. 150
Hint : અહીં, ઘર્ષણબળ f = µmg
= 0.2 × 5 × 10 = 10 N
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ = F – f
= 25 – 10
= 15 N
હવે, પદાર્થે મેળવેલ ગતિ-ઊર્જા
= પરિણામી બળ વડે થતું કાર્ય
= 15 × 10
= 150 J

પ્રશ્ન 65.
0.06 kg જેટલું સમાન દળ ધરાવતાં બે ગોળાઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં 4 m s^-1 જેટલા વેગથી ગતિ કરતાં કરતાં સંઘાત અનુભવે છે. સંઘાત બાદ તેઓ તેટલી જ ઝડપથી વિરુદ્ધ દિશામાં પાછા ફરતાં જણાય છે, તો કોઈ એક ગોળાએ બીજા ગોળા પર લગાડેલ બળનો આઘાત ……… kg ms^-1 હશે.
A. 0.48
B. 0.24
C. 0.72
D. 1.08
ઉત્તર:
A. 0.48
Hint : એક ગોળાના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર
= mυ₂ – mυ₁
= m (υ₂ – υ₁)
= 0.06 [4 – (- 4)] 0.48 kg m s^-1
હવે, ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ પરથી,
F = \(\frac{d p}{d t}\) તેથી dp = Fdt થાય.
∴ એક ગોળા પર, બીજા ગોળાને લીધે લાગતો બળનો આઘાત = 0.48 kg m s^-1 કહેવાય.

પ્રશ્ન 66.
એક પદાર્થનો વેગ 20 m s^-1થી વધારીને 40 m s^-1 જેટલો કરવા માટેની જરૂરી ઊર્જા અને તે પદાર્થનો વેગ 0 m s^-1થી વધારીને 20 m s^-1 જેટલો કરવા માટેની જરૂરી ઊર્જાનો ગુણોત્તર ……………….. છે.
A. 2 : 1
B. 3 : 1
C. 4 : 1
D. 1 : 1
ઉત્તર :
B. 3 : 1
Hint : એક પરિસ્થિતિ માટે E₁ = \(\frac{1}{2}\) m (40² – 20²)
= 600 (m)
બીજી પરિસ્થિતિ માટે E₂ = \(\frac{1}{2}\) m (20² – 0²)
= 200 (m)
∴ \(\frac{E_1}{E_2}=\frac{600(m)}{200(m)}=\frac{3}{1}\)

પ્રશ્ન 67.
2 kg દળવાળા પદાર્થનું સ્થાનાંતર સમય સાથે x = (2t⁴ + 5) m સૂત્ર મુજબ બદલાય છે, તો સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિની શરૂઆત કર્યા બાદ 1 sને અંતે તેની ગતિ-ઊર્જા કેટલી હશે?
A. 8 J
B. 64 J
C. 32 J
D. 16 J
ઉત્તર:
B. 64 J
Hint : અહીં, x = 2t⁴ + 5 ∴ ઝડપ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 8t³
તેથી 1 s બાદ તેની ઝડપ υ = 8 × (1)³ = 8ms^-1
∴ ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\) mυ² = \(\frac{1}{2}\) × 2 × (8)² = 64 J

પ્રશ્ન 68.
એક માણસ જ્યારે પોતાની ઝડપમાં 1 ms^-1 જેટલો વધારો કરે છે ત્યારે તેની ગતિ-ઊર્જામાં 44% જેટલો વધારો થાય છે, તો આ માણસની પ્રારંભિક (મૂળ) ઝડપ …………………. ms^-1 હશે.
A. 1
B. 2
C. 5
D. 4
ઉત્તર :
C. 5
Hint :

પ્રશ્ન 69.
એક ટ્રક અને એક કાર એકસરખા વેગથી ગતિ કરે છે. બંને ઉપર એકસરખા મૂલ્યનું Breaking Force લગાડતાં તેઓ ચોક્કસ અંતર કાપીને સ્થિર થઈ જાય છે, તો …
A. ટ્રકે ઓછું અંતર કાપ્યું હશે.
B. કા૨ે ઓછું અંતર કાપ્યું હશે.
C. બંનેએ એકસરખું અંતર કાપ્યું હશે.
D. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ.
ઉત્તર:
B. કા૨ે ઓછું અંતર કાપ્યું હશે.
Hint : ટ્રકની ગતિ-ઊર્જા વધુ હશે. તેથી તેણે વધારે અંતર કાપ્યું હશે.
[ટ્રકનું દળ m₁, કારના દળ m₂ કરતાં વધુ છે. તેથી Breaking Forceના સૂત્ર F = ma પરથી અહીં ટ્રકનો પ્રતિપ્રવેગ (મૂલ્ય) ઓછો હશે. તેથી Stopping Distanceના સૂત્ર d = \(\frac{v_0^2}{2 a}\) પરથી ટ્રકે કાપેલું અંતર d₁ વધુ હશે.

પ્રશ્ન 70.
500 kg દળની એક લિફ્ટ 2 m s^-2જેટલા પ્રવેગથી નીચે ઊતરે છે. જો આ સંજોગોમાં લિફ્ટ 10m નીચે ઊતરે, તો લિફ્ટના કૅબલમાંના તણાવ વડે થતું કાર્ય શોધો.
(g = 10 m s^-2 લો.)
A. – 40,000 J
B. 60,000 J
D. – 60,000 J
C. 40,000 J
ઉત્તર :
A. – 40,000 J
Hint : અહીં, લિફ્ટ નીચે તરફ ઊતરે છે.
તેથી mg > T છે.
∴ mg – T = ma
∴ T = m (g – a)

આકૃતિ પરથી,
\(\vec{T}\) = m (g – a) ĵ તથા
\(\vec{d}\) = – 10 ĵ થાય.
હવે.
W = \(\vec{T}\) · \(\vec{d}\)
= m (g – a) ĵ · (- 10) ĵ
= 500 (10 – 2) (- 10) (∵ ĵ · ĵ = 1)
= – 40,000 J

પ્રશ્ન 71.
સાયક્લોટ્રૉન નામના સાધન વડે એક પ્રોટોનને 3 × 10⁶ m s^-1ની ઝડપ પ્રાપ્ત થાય છે. જો પ્રોટોન પ્રારંભમાં સ્થિર હોય, તો પ્રોટોન પર લાગતાં (વિદ્યુત) બળ વડે થતું કાર્ય …………….. J હશે. અહીં ઊર્જાનો વ્યય અવગણો અને પ્રોટોનનું દળ 1.67 × 10^-27 kg લો.
A. 5.7 × 10^-15
B. 7.5 × 10^-15
C. 5.7 × 10^-19
D. 7.5 × 10^-19
ઉત્તર:
B. 7.5 × 10^-15
Hint : અહીં, ઊર્જાનો વ્યય અવગણવાનો હોવાથી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય વાપરી શકાય. આ પ્રમેય અનુસાર,
W = Δ K = K_f – K_i = K_f (∵ K_i = 0 છે.)
= \(\frac{1}{2}\) m_pυ_p²
= \(\frac{1}{2}\) × 1.67 × 10^-27 × (3 × 10⁶)²
= 7.5 × 10^-15 J

પ્રશ્ન 72.
2000 N/m બળ-અચળાંકવાળી સ્પ્રિંગ પર, અમુક ઊંચાઈએથી 300 g દળવાળો એક બ્લૉક પડે છે અને સ્પ્રિંગને ચોંટી જાય છે. આમ થવાથી સ્પ્રિંગનું 10 cm જેટલું સંકોચન થાય છે. જો g 10 m s^-2 હોય, તો આ પદાર્થ કેટલી ઊંચાઈએથી નીચે પડતો હશે? બધાં ઘર્ષણબળો અવગણો.
A. 8.2 m
B. 3.2 m
C. 2.3 m
D. 2.8 m
ઉત્તર:
B. 3.2 m
Hint : ધારો કે, પદાર્થ h જેટલી ઊંચાઈએથી નીચે પડે છે. યાંત્રિક ઊર્જા-સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતાં,

પ્રશ્ન 73.

ઉપરની આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ્પ્રિંગો 1 અને 2 માટે બળ-અચળાંકો અનુક્રમે k₁ અને k₂ છે તથા k₁ = 2k₂ છે. આ બંને સ્પ્રિંગોના ચાર અલગ અલગ છેડાઓ પર સમાન બળ F લગાડીને તેમને ખેંચવામાં આવે છે. જો સ્પ્રિંગ 1માં સંગ્રહ પામતી ઊર્જા V₁ હોય, તો સ્પ્રિંગ 2માં સંગ્રહ પામતી ઊર્જા V₂ = ………….. હશે.
A. \(\frac{V_1}{2}\)
B. 2V₁
C. V₁
D. 4V₁
ઉત્તર:
B. 2V₁
Hint : અહીં, બંને સ્પ્રિંગોમાં સમાન તણાવ બળ F પ્રવર્તે છે. તેથી F = k₁x₁ = k₂x₂
∴ 2x₁ = x₂
હવે, V₁ = \(\frac{1}{2}\) k₁x₁² અને V₂ = \(\frac{1}{2}\) k₂x₂²
∴ \(\frac{V_2}{V_1}=\frac{k_2 x_2^2}{k_1 x_1^2}=\frac{k_2 \times\left(2 x_1\right)^2}{\left(2 k_2\right) \times x_1^2}\) = 2
∴ V₂ = 2V₁

પ્રશ્ન 74.
3 × 10⁷ kg દળ ધરાવતાં એક વહાણ (ship) પર 5 × 10⁴ N જેટલું બળ લાગતાં, તે 3m જેટલું અંતર કાપે છે, તો 3m અંતર કાપ્યા બાદ તેની ઝડપ કેટલી હશે? વહાણ શરૂઆતમાં સ્થિર છે અને પાણીના અવરોધીય બળને અવગણો.
A. 1.5 m s^-1
B. 50 m s^-1
C. 0.1 m s^-1
D. 0.5 m s^-1
ઉત્તર:
C. 0.1 m s^-1
Hint : અવરોધકીય બળોની ગેરહાજરીમાં કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય વાપરતાં થયેલ કાર્ય W = ગતિ-ઊર્જામાં ફેરફાર ΔK
∴ Fd = \(\frac{1}{2}\) mυ² – 0
∴ υ = \(\sqrt{\frac{2 F d}{m}}\)
= \(\sqrt{\frac{2 \times 5 \times 10^4 \times 3}{3 \times 10^7}}\)
= 0.1 m s^-1

પ્રશ્ન 75.
એક ગોળીને રાઇફલમાંથી છોડવામાં આવે છે. જો રાઇફલ મુક્ત રીતે recoil થતી હોય, તો રાઇફલની ગતિ-ઊર્જા ….
A. ગોળીની ગતિ-ઊર્જા કરતાં વધારે હશે.
B. ગોળીની ગતિ-ઊર્જા કરતાં ઓછી હશે.
C. ગોળીની ગતિ-ઊર્જા જેટલી જ હશે.
D. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
ઉત્તર:
B. ગોળીની ગતિ-ઊર્જા કરતાં ઓછી હશે.
Hint : રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,
વેગમાન p (રાઇફલ) = વેગમાન p (ગોળી)
હવે, ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{p^2}{2 m}\) પરથી,
રાઇફલની ગતિ-ઊર્જા K_r = \(\frac{p^2}{2 m_{\mathrm{r}}}\) અને
ગોળીની ગતિ-ઊર્જા K_b = \(\frac{p^2}{2 m_{\mathrm{b}}}\)
હવે, m_r > m_b હોવાથી K_r < K_b થાય.

પ્રશ્ન 76.
નીચેનામાંથી કયા કિસ્સામાં સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે?
A. સ્પ્રિંગને દબાવવામાં આવે છે ત્યારે
B. સ્પ્રિંગને ખેંચવામાં આવે છે ત્યારે
C. પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધમાં ગતિ કરાવવામાં આવે છે ત્યારે
D. પાણીમાં જ્યારે હવાનો પરપોટો ઉપર ચઢે છે ત્યારે
ઉત્તર:
D. પાણીમાં જ્યારે હવાનો પરપોટો ઉપર ચઢે છે ત્યારે
Hint : પાણીની અંદર રહેલા હવાના પરપોટા પર ઉપર તરફ ઉત્ખાવક બળ લાગે છે, જે પરપોટાના વજન કરતાં વધારે હોય છે.
તેથી અહીં પરિણામી બળ \(\vec{F}\) = (F) ĵ થવાનું અને પરપોટો ઉપર તરફ ચઢે છે.
તેથી \(\overrightarrow{d y}\) = (dy) ĵ થાય.
આમ, સ્થિતિ-ઊર્જાના સૂત્ર V = \(-\int \vec{F} \cdot \overrightarrow{d y}\)
= – ∫ (F) ĵ · (dy) ĵ
= – ∫ F dy
પરથી કહી શકાય કે પરપોટાની ગતિ થતી હોય ત્યારે તેની સ્થિતિ-ઊર્જા V શૂન્યથી ઋણ બનતી જાય છે. આમ, અહીં સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે.

પ્રશ્ન 77.
એક એન્જિન 5 sમાં 100 kg પાણીને 10m જેટલી ઊંચાઈ સુધી ચઢાવે છે. જો આ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા 60% જેટલી હોય, તો એન્જિનનો પાવર P_E = ………………. W હશે.
(g = 10 m s^-2 લો.)
A. 3333
B. 33.33
C. 333.3
D. 333.3 × 10²
ઉત્તર :
A. 3333
Hint : પાણીને 5 sમાં મળતી ઊર્જા = mgh
= 100 × 10 × 10
= 10⁴J
∴ પાણીને 1 s માં મળતી ઊર્જા અર્થાત્ પાણીને મળતો
પાવર P_W = \(\frac{10,000}{5}\) = 2000 W
હવે, એન્જિનની કાર્યક્ષમતા,

પ્રશ્ન 78.
એક m દળવાળા બૉલને υ જેટલા વેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે, તો t = (\(\frac{υ}{19.6}\))s સમયને અંતે તેની નવી ગતિ-ઊર્જા કેટલા ગણી થઈ હશે?
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{1}{5}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{1}{4}\)
Hint :

પ્રશ્ન 79.
એક હીંચકો સમતોલન સ્થિતિમાં 1 m જેટલી ઊંચાઈએ છે અને મહત્તમ સ્થાનાંતરિત સ્થિતિમાં 6m જેટલી ઊંચાઈએ છે, તો સમતોલન સ્થિતિમાં આ હીંચકા પર બેઠેલ બાળકની સમક્ષિતિજ દિશામાંની ઝડપ કેટલી હશે? (g = 10 m s^-2 લો.)
A. 8 m s^-1
B. 10 m s^-1
C. 12 m s^-1
D. 14 m s^-1
ઉત્તર:
B. 10 m s^-1
Hint : અહીં, 6mg – mg = \(\frac{1}{2}\) mυ² થાય.
∴ 5mg = \(\frac{1}{2}\) mυ²
∴ 5g = \(\frac{v^2}{2}\)
∴ 2 × 5 × 10 = υ²
∴ υ = 10 m s^-1

પ્રશ્ન 80.
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિ-ઊર્જા તેની પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ પાસેની ગતિ-ઊર્જા કરતાં અડધી છે, તો પ્રક્ષિપ્ત કોણ θ = ……………… હશે.
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
ઉત્તર:
B. 45°
Hint : અહીં, (મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિ-ઊર્જા) = \(\frac{1}{2}\) (પ્રક્ષિપ્ત બિંદુએ ગતિ-ઊર્જા)
∴ \(\frac{1}{2}\) m (υ cos θ)² = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{1}{2}\) mυ²)
∴ cos² θ = \(\frac{1}{2}\)
∴ cos θ = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ θ = 45°

પ્રશ્ન 81.
2.05 × 10⁶ kg દળની ટ્રેન પર એન્જિન વડે બળ લાગવાના કારણે તેની ઝડપ 5 મિનિટમાં 5m s^-1 થી વધીને 25 m s^-1 જેટલી થાય છે, તો આ એન્જિનનો પાવર ………… MW હશે.
A. 10.25
B. 2.05
C. 5
D. 6
ઉત્તર:
B. 2.05
Hint : પાવર P = \(\frac{W}{t}=\frac{\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m v_0^2}{t}\)
= \(\frac{\frac{1}{2}\left(25^2-5^2\right) \times 2.05 \times 10^6}{5 \times 60}\) = 2.05 MW

પ્રશ્ન 82.
20 kg દળવાળો પદાર્થ 10 m s^-1 જેટલા વેગથી ગતિ કરીને સ્થિર સ્થિતિમાંના 5 kg દળના પદાર્થ સાથે સંઘાત અનુભવે છે. સંઘાતને લીધે તેઓ એકબીજાને ચોંટી જાય છે, તો આ સંયુક્ત પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા ……………….. J હશે.
A. 600
B. 800
C. 1000
D. 1200
ઉત્તર:
B. 800
Hint : રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ લેતાં,
m₁υ₁ + m₂υ₂ = (m₁ + m₂) υ
∴ 20 × 10 + 5 × 0 = (20 + 5) υ
∴ υ = 8m s^-1
સંયુક્ત પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા,
K = \(\frac{1}{2}\)(m₁ + m₂) υ²
= \(\frac{1}{2}\) × (20 + 5) × 8²
= 800 J

પ્રશ્ન 83.
એક પદાર્થના વેગમાં 2 m s^-1 જેટલો વધારો કરતાં તેની ગતિ-ઊર્જા ચાર ગણી થાય છે, તો પદાર્થની પ્રારંભિક ઝડપ ……………. ms^-1 હશે.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
ઉત્તર:
B. 2
Hint : \(\frac{1}{2}\) m (υ + 2)² = 4 × \(\frac{1}{2}\) mυ²
∴ (υ + 2)² = 4υ²
∴ υ + 2 = 2υ
∴ υ = 2 m s^-1

પ્રશ્ન 84.
5 kg દળવાળા પદાર્થનું રેખીય વેગમાન 10 kg m s^-1 છે. જ્યારે તેના પર ગતિની દિશામાં 0.2 Nજેટલું બળ 10s સુધી લગાડવામાં આવે, તો તેની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે?
A. 2.2 J
B. 4.4 J
C. 3.3 J
D. 1.1 J
ઉત્તર :
B. 4.4 J
Hint : અહીં, પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ
υ₀ = \(\frac{p}{m}=\frac{10}{5}\) = 2 m s^-1 છે. તેનો અંતિમ વેગ
υ = υ₀ + at પરથી,
υ = 2.4 m s^-1 (α = \(\frac{F}{m}=\frac{0.2}{5}\) = 0.04 m s^-2)
પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર
= \(\frac{1}{2}\) m (υ² – υ₀²)
= \(\frac{1}{2}\) × 5 [(2.4)² – 2²]
= \(\frac{1}{2}\) × 5 [5.76 – 4]
= 4.4 J

પ્રશ્ન 85.
R જેટલા અવરોધક બળની હાજરીમાં એક m દળની કાર, a જેટલા પ્રવેગથી સમક્ષિતિજ સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરે છે. જ્યારે તેનો વેગ υ હોય ત્યારે કારના એન્જિન વડે 1 sમાં કાર પર થયેલું કાર્ય કેટલું હશે?
A. Rυ
B. (ma) υ
C. (R + ma) υ
D. (R – ma) υ
ઉત્તર:
C. (R + ma) υ
Hint : અહીં, કાર પર લાગતું કુલ બળ F = ma + R તેથી એન્જિન વડે પૂરો પડતો પાવર P = Fυ
∴ P = (ma + R) υ

પ્રશ્ન 86.
250 m ઊંચાઈના ટાવરની ટોચ પરથી 3 kg દળના એક પદાર્થને મુક્તપતન કરાવવામાં આવે છે, તો 3s બાદ તેની ગતિ-ઊર્જા …………….. J હશે.
A. 1126
B. 1048
C. 735
D. 1296.5
ઉત્તર:
D. 1296.5
Hint : અહીં, υ = υ₀ + gt
= 0 + (9.8) × 3
= 29.4 m/s
ગતિ-ઊર્જા = \(\frac{1}{2}\) mυ²
= \(\frac{1}{2}\) × 3 × (29.4)²
= 1296.5 J

પ્રશ્ન 87.
એક ટ્રેન પર એકસરખું અવરોધક બળ લગાડતાં તે 80 m અંતર કાપીને સ્થિર બની જાય છે. હવે જો ટ્રેનની ઝડપ બમણી કરવામાં આવે, તો તેટલા જ અવરોધક બળની અસર હેઠળ ટ્રેન ……………… અંતર કાપીને સ્થિર થશે.
A. 80 m
B. 160 m
C. 40 m
D. 320 m
ઉત્તર :
D. 320 m
Hint : અહીં, Fx = \(\frac{1}{2}\) mυ² પરથી, x ∝ υ² થાય.
તેથી જો ઝડપ બમણી થાય, તો અંતર 4 ગણું થાય.

પ્રશ્ન 88.
2 kg અને 4 kg દળના બે દડાઓને 60 ફૂટ ઊંચા મકાન પરથી મુક્ત પતન કરાવવામાં આવે છે. જમીન તરફ 30 ફૂટનું અંતર કાપ્યા બાદ તેમની ગતિ-ઊર્જાઓનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
A. 1 : 2
B. 1 : √2
C. √2 : 1
D. 1 : 4
ઉત્તર:
A. 1 : 2
Hint : υ² = υ₀² + 2ad સૂત્રમાં υ₀ = 0, a = g અને d = 30 ફૂટ મૂકતાં,
υ² = 0 + 2 × g × 30 થાય.
તેથી બંને દડાઓ દ્વારા પ્રાપ્ત થતો વેગ છ સમાન હશે.
હવે, K = \(\frac{1}{2}\) mυ² પરથી,
K ∝ m (∵ υ = અચળ)
∴ \(\frac{K_1}{K_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

પ્રશ્ન 89.
2 kg દળનો ધાતુનો ગોળો 36 km/hr ની ઝડપે ગતિ કરે છે. તે 3 kg ના સ્થિર પડેલા ગોળા સાથે સંઘાત કરે છે. જો સંઘાત બાદ બંને ગોળાઓ એકસાથે ગતિ કરતાં હોય, તો ગતિ-ઊર્જામાં થતો ઘટાડો ………………. J હશે.
A. 40
B. 60
C. 100
D. 140
ઉત્તર:
B. 60
Hint : વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
m₁υ₁ + m₂υ₂ = (m₁ + m₂) υ
∴ 2 × 10 + 3 × 0 = (2 + 3) υ
∴ υ = 4m s^-1
હવે, પ્રારંભિક કુલ ગતિ-ઊર્જા,
K_i = \(\frac{1}{2}\) m₁υ₁²
= \(\frac{1}{2}\) × 2 × 10²
= 100 J
અંતિમ કુલ ગતિ-ઊર્જા K_f = \(\frac{1}{2}\) (m₁ + m₂) υ²
= \(\frac{1}{2}\) (2 + 3) × 4²
= 40 J
∴ ગતિ-ઊર્જામાં ઘટાડો = K_i – K_f
= 100 – 40
= 60 J

પ્રશ્ન 90.
એક લોલકનો ગોળો જ્યારે તેના દોલન પથના મધ્યમાન સ્થાનેથી પસાર થાય છે, ત્યારે તેનો વેગ 4 m s^-1 છે. હવે જ્યા૨ે લોલકના ગોળાનું કોણીય સ્થાનાંતર 30° થાય ત્યારે ત્યાં ગોળાનો વેગ કેટલો હશે? લોલકની લંબાઈ 1m છે અને g = 10 m s^-2 લો.
A. 6.3 m s^-1
B. 3.6 m s^-1
C. 2.5 m s^-1
D. 1.6 m s^-1
ઉત્તર:
B. 3.6 ms^-1
Hint :

ગોળાની મધ્યમાન સ્થાને (A બિંદુએ) સ્થિતિ-ઊર્જા યાદચ્છિક રીતે શૂન્ય લેતાં, આ સ્થિતિમાં યાંત્રિક ઊર્જા,
E₁ = K₁ + V₁ = \(\frac{1}{2}\) mυ₁² + 0
= \(\frac{1}{2}\) mυ₁² ……….. (1)
ગોળાનું કોણીય સ્થાનાંતર θ થાય ત્યારે ગોળાએ કાપેલું શિરોલંબ અંતર,
h = l – lcos θ = l(1 – cos θ)
આ સ્થાને (B બિંદુએ) સ્થિતિ-ઊર્જા
= mgh = mgl(1 – cos θ).
જો આ સ્થાને (B બિંદુએ) ગોળાનો વેગ υ₂ હોય, તો આ સ્થાને યાંત્રિક ઊર્જા,
E₂ = K₂ + V₂
= \(\frac{1}{2}\) mυ₂² + mgl (1 – cos θ) ………… (2)
હવે, યાંત્રિક ઊર્જા-સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતાં,
E₁ = E₂
\(\frac{1}{2}\) mυ₁² =\(\frac{1}{2}\) mυ₂² + mgl (1 – cos θ )
∴ υ₁² = υ₂² + 2gl (1 – cos θ)
υ₂² = υ₁² – 2gl (1 – cos θ)
= (4)² – 2 × 10 × 1 (1 – cos 30°)
= 16 – 20 (1 – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
= 13.32
∴ υ₂ = 3.6 m s^-1

પ્રશ્ન 91.
એક છોકરાનું દળ, તેના પિતાના દળ કરતાં અડધું છે. પિતા અને પુત્ર બંને દોડી રહ્યા છે. આમાં પિતાની ગતિ-ઊર્જા, પુત્રની ગતિ-ઊર્જા કરતાં અડધી છે. હવે જો પિતા પોતાની ઝડપ 1.0 m s^-1 જેટલી વધારે તો પિતાની ગતિ-ઊર્જા, પુત્રની ગતિ-ઊર્જા જેટલી થાય છે; તો પિતા અને પુત્રની પ્રારંભિક ઝડપ અનુક્રમે ………….. ms^-1 અને …………….. ms^-1 હશે.
A. 2.4, 4.8
B. 4.8, 2.4
C. 1.2, 4.8
D. 4.8, 1.2
ઉત્તર :
A. 2.4, 4.8
Hint : પ્રારંભિક સ્થિતિ :
પિતાની ગતિ-ઊર્જા K_f = \(\frac{1}{2}\) m_fυ_f²
પુત્રની ગતિ-ઊર્જા K_s = \(\frac{1}{2}\) m_sυ_s²
અહીં, K_f = \(\frac{K_{\mathrm{s}}}{2}\)
∴ 2K_f = K_s
∴ m_fυ_f² = \(\frac{1}{2}\) m_sυ_s²
વળી, m_f = 2m_s છે.
∴ 4υ_f² = υ_s² ………… (1)

અંતિમ સ્થિતિ :
K_f = \(\frac{1}{2}\) m_f (υ_f + 1)² = K_s = \(\frac{1}{2}\)m_sυ_s²
∴ 2m_s (υ_f + 1)² = m_sυ_s2 (∵ m_f = 2m_s)
∴ 2 (υ_f + 1)² = υ_s²
પણ સમીકરણ (1) પરથી,
υ_s² = 4υ_f²
∴ 2 (υ_f + 1)² = 4υ_f²
∴ √2 (υ_f + 1) = 2υ_f
∴ υ_f = \(\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{1.41}{0.59}\) = 2.4ms^-1
હવે, સમીકરણ (1) પરથી,
υ_s = 2υ_f = 2 × 2.4
∴ υ_s = 4.8 ms^-1

પ્રશ્ન 92.
100 m ઊંડા પાણી વગરના એક બૉર-વેલમાં 20 kg દળનો એક બાળક પડી ગયેલો છે. તેને દોરડા વડે ખેંચીને બહાર કાઢવાનો છે. આ દરમિયાન બાળકને 2 m s^-2 જેટલો પ્રવેગ આપી બહાર કાઢવો હોય, તો કેટલું કાર્ય કરવું પડે?
A. 3000 J
B. 24,000 J
C. 2000 J
D. 1000 J
ઉત્તર :
B. 24,000 J
Hint :

અહીં, બાળકની ગતિ ઊર્ધ્વદિશામાં થાય છે.
તેથી T > mg
∴ T – mg = ma
∴ T = mg + ma
= 20 × 10 + 20 × 2
= 200 + 40
= 240 N
આ તણાવ બળ વડે થતું કાર્ય,
W = (T) d
= (240) (100)
= 24,000 J

પ્રશ્ન 93.
એક લિફ્ટનું દળ 1200 kg છે. આ લિફ્ટને ઊંચકતાં કાઉન્ટર વેઇટનું દળ 950 kg છે. આથી લિફ્ટ ચલાવવા માટે એક વધારાનું બળ મોટર વડે પૂરું પાડવામાં આવે છે, તો મોટર વડે મળતા પાવરનું મૂલ્ય hpમાં મેળવો. લિફ્ટનો અચળવેગ 18m/min છે.
A. 0.89 hp
B. 0.25 hp
C. 0.98 hp
D. 0.75 hp
ઉત્તર:
C. 0.98 hp
Hint : અહીં, લિફ્ટનું વજન = 1200 × 9.8 N છે.
કાઉન્ટર વેઇટનું વજન = 950 × 9.8 Nછે.
મોટર વડે પૂરું પાડવામાં આવતું વધારાનું બળ
= (1200 – 950) × 9.8
= 250 × 9.8 N છે.
વળી, અચળવેગ υ = 18 \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}=\frac{18}{60} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
∴ મોટર દ્વારા પૂરો પડાતો પાવર,
P = Fυ
= (250 × 9.8)\(\frac{18}{60}\)
= 735 W
∴ P (hp માં) = \(\frac{735}{746}\) = 0.98
આમ, P = 0.98 hp

પ્રશ્ન 94.
એક કણની વર્તુળ ગતિમાં પાવરનું મૂલ્ય kt² મુજબ સમય t સાથે બદલાય છે (k = અચળાંક), તો સમગ્ર પરિક્રમણ (Revolution)
માટે સરેરાશ પાવરનું સૂત્ર ……………. હશે. અહીં કણની ગતિનો આવર્તકાળ T છે.
A. \(\frac{1}{3}\) kT²
B. \(\frac{1}{2}\) kT²
C. KT
D. \(\frac{k T}{2}\)
ઉત્તર :
A. \(\frac{1}{3}\) kT²
Hint : એક આવર્તકાળ પર સરેરાશ પાવર
= <P>
= \(\frac{1}{T} \int_0^T k t^2 d t\)
= \(\frac{k}{T}\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^T\)
= \(\frac{k}{3 T}\) [T³ – 0]
= \(\frac{1}{3}\) kT²

પ્રશ્ન 95.
એક વ્યક્તિ 5 kg નો પથ્થર 2 m જેટલો ઊંચકીને ત્યાંથી 5 m s^-1ના વેગથી ફેંકે છે. આ પ્રક્રિયા કરવામાં તેને 5 s લાગે છે, તો તેણે કેટલો પાવર વાપર્યો હશે? (g = 10 m s^-2)
A. 32.5 W
B. 23.5 W
C. 162.5 W
D. 62.5 W
ઉત્તર:
A. 32.5 W
Hint : વ્યક્તિએ વાપરેલ ઊર્જા = (પથ્થરના ઊંચકવા માટેની ઊર્જા) + (પથ્થર ફેંકવા માટેની ઊર્જા)
mgh + \(\frac{1}{2}\) mυ²
= (5 × 10 × 2) + \(\frac{1}{2}\) × 5 × (5)²
= 100 + 62.5
= 162.5 J
આ ઊર્જા તે 5 સેકન્ડમાં વાપરે છે.

પ્રશ્ન 96.
લોલકના ગોળાનું દળ 0.5 kg છે. લોલકની લંબાઈ 2m છે. સમતોલન સ્થિતિમાંથી તેને 36.9° જેટલું કોણીય સ્થાનાંતર કરાવતાં ત્યાં નીચેના અંતિમ છેડાની સાપેક્ષે તેની સ્થિતિ-ઊર્જા કેટલી હશે?
A. 1.96 J
B. 0.98 J
C. 4.9 J
D. 2.45 J
ઉત્તર:
A. 1.96 J
Hint : જ્યારે ગોળાનું કોણીય સ્થાનાંતર 36.9° જેટલું થાય છે, ત્યારે મધ્યમાન સ્થાનથી ગોળાની ઊંચાઈ,
h = l – l cos θ
= 2 – 2 × cos (36.9°)
= 2 2 × 0.8 = 0.4m
હવે, સ્થિતિ-ઊર્જા = mgh
= 0.5 × 9.8 × 0.4
= 1.96 J

પ્રશ્ન 97.
એક જાડી પ્લેટ પર એક ગોળી (bullet) છોડવામાં આવે છે. ગોળી લાકડાની પ્લેટની અંદર જ્યારે 30 cm જેટલું અંતર કાપે છે ત્યારે તેનો વેગ 50 % જેટલો ઘટે છે. આ ગોળી પ્લેટની
અંદર દાખલ થયા પછી સ્થિર થાય તેના માટે પ્લેટની જરૂરી વધારાની જાડાઈ કેટલી હોવી જોઈએ ?
A. 10 cm
B. 15 cm
C. 20 cm
D. 30 cm
ઉત્તર :
A. 10 cm
Hint : અહીં, પહેલી સ્થિતિ માટે,
F × 30 = \(\frac{1}{2}\) mυ² – \(\frac{1}{2}\) m (\(\frac{υ}{2}\))²
= \(\frac{1}{2}\) m × \(\frac{3}{4}\)υ² ……… (1)
બીજી સ્થિતિ માટે,
F × x = \(\frac{1}{2}\) m (\(\frac{υ}{2}\))² – (0)
= \(\frac{m υ^2}{8}\) ………… (2)
સમીકરણ (2) અને (1)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\(\frac{F \times x}{F \times 30}=\frac{m υ^2}{8} \times \frac{8}{3 m υ^2}=\frac{1}{3}\)
∴ x = \(\frac{30}{3}\) = 10 cm

પ્રશ્ન 98.
એક લાકડાની પ્લેટ ઉપર 150m s^-1ના વેગથી ગતિ કરતી એક ગોળી (bullet) અથડાય છે. આ પ્લેટમાંથી પસાર થયા બાદ તેનો વેગ ઘટીને 125 m s^-1 થઈ જાય છે. આ ગોળી જેવી જ એક બીજી ગોળી આ પ્લેટ પર 90 m s^-1 ના વેગથી આવીને અથડાય, તો આ પ્લેટમાંથી પસાર થયા બાદ તેનો વેગ કેટલો થશે?
A. 50 m s^-1
B. 25 m s^-1
C. 35 m s^-1
D. 70 m s^-1
ઉત્તર:
C. 35 m s^-1
Hint : પ્રથમ ગોળી માટે,
F × x = \(\frac{1}{2}\) m (150)² – \(\frac{1}{2}\) m (125)² ….. (1)
બીજી ગોળી માટે,
F × x = \(\frac{1}{2}\) = m (90)² – \(\frac {1}{2}\) mυ² ………. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
90² – υ² = 150² – 125²
∴ υ² = 90² + 125² – 150²
∴ υ² = 1225
∴ υ = 35 m s^-1

પ્રશ્ન 99.
પદાર્થ ઉપર લાગતું બળ તેની ઝડપના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય, તો તેની ગતિ-ઊર્જા ……….
A. અચળ રહે છે
B. ∝ t
C. ∝ \(\frac{1}{t}\)
D. ∝ t²
ઉત્તર:
B. ∝ t
Hint : અહીં, F ∝ \(\frac{1}{υ}\)
∴ F = \(\frac{k}{υ}\) જ્યાં, k = સમપ્રમાણતા અચળાંક
∴ Fυ = k
પણ, Fυ = પાવર P
∴ P = k
પણ, P =
∴ \(\frac{E}{t}\) = k
∴ E = kt
∴ E ∝ t

પ્રશ્ન 100.
5 kg દળનો એક પદાર્થ 2 m s^-1 જેટલા વેગથી X-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે. 10 kg દળનો બીજો પદાર્થ √3 m s^-1 જેટલા વેગથી Y-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે. તેઓ ઉગમબિંદુ આગળ અથડામણ અનુભવી ચોંટી જાય છે, તો સંયુક્ત પદાર્થનો વેગ કેટલો હશે?
A. \(\frac{3}{4}\) m s^-1
B. \(\frac{4}{3}\) m s^-1
C. \(\frac{3}{8}\) m s^-1
D. \(\frac{8}{3}\) m s^-1
ઉત્તર:
B. \(\frac{4}{3}\) m s^-1
Hint : અહીં, અથડામણ પહેલાં પ્રથમ પદાર્થનું રેખીય વેગમાન,
P₁ = 10 kg m s^-1
બીજા પદાર્થનું અથડામણ પહેલાંનું વેગમાન,
P₂ = 10√3 kg m s^-1
તેથી પરિણામી રેખીય વેગમાન,
p = \(\sqrt{(10)^2+(10 \sqrt{3})^2}\)
= 20 kg m s^-1
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતાં,
(m₁ + m₂) υ = p
∴ (5 + 10) υ = 20
∴ υ = \(\frac{20}{15}\)
= \(\frac{4}{3}\) ms^-1

પ્રશ્ન 101.
ઉપરના પ્રશ્નમાં અથડામણ દરમિયાન ઉષ્મા-ઊર્જારૂપે છૂટી પડતી ઊર્જા કેટલી હશે?
A. \(\frac{35}{3}\) J
B \(\frac{47}{3}\) J
C. \(\frac{29}{3}\) J
D. \(\frac{65}{3}\) J
ઉત્તર:
A. \(\frac{35}{3}\) J
Hint : અહીં, પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા,
K₁ = \(\frac{1}{2}\) 5 (2)² + \(\frac{1}{2}\) 10 (√3)²
= 25 J
અંતિમ ગતિ-ઊર્જા K₂ = \(\frac{1}{2}\)(5 + 10) (\(\frac{4}{3}\))²
= \(\frac{40}{3}\) J
∴ મુક્ત થતી ઉષ્મા-ઊર્જા = K₁ – K₂
= 25 – \(\frac{40}{3}\)
= \(\frac{35}{3}\) J

પ્રશ્ન 102.
એક 2238L કદ ધરાવતી પાણીની ટાંકી જમીનથી 10 m જેટલી ઊંચાઈએ મૂકેલી છે. 1.0 hp જેટલો પાવર ધરાવતી મોટર વડે 20 mઊંડાઈ ધરાવતા કૂવામાંથી પાણી ખેંચીને આ ટાંકી સંપૂર્ણ ભરવા માટે કેટલો સમય લાગશે?
(g = 10 m s^-2 લો.)
A. 5 min
B. 10 min
C. 15 min
D. 20 min
ઉત્તર :
C. 15 min
Hint : પાવર P = \(\frac{W}{t}=\frac{m g h}{t}\)
∴ t = \(\frac{m g h}{P}\)
હવે, ઘનતા ρ = \(\frac{m}{V}\)
∴ m = ρV
= (10³ kg/m³) (2238 × 10^-3 m³) (∵ 1 L = 10³ cm³ = 10^-3m³
= 2238 kg
પાવર P = 1.0 hp ≈ 746 watt
અને h = 10 + 20 = 30 m
તેથી, t = \(\frac{2238 \times 10 \times 30}{746}\)
= 900 s = 15 min

પ્રશ્ન 103.
જ્યારે એક પદાર્થને 50 m s^-1 જેટલા વેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે ત્યારે 4s જેટલા સમયગાળા બાદ તેની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જાનો કેટલા ટકા ભાગ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થશે? (g = 10 m s^-2 લો.)
A. 96 %
B. 50 %
C. 24 %
D. 4 %
ઉત્તર:
A. 96 %
Hint: અહીં, 4s બાદ પદાર્થ પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ (અથવા કાપેલ ઊર્ધ્વઅંતર),
h = ut – \(\frac {1}{2}\) gt²
= 50 × 4 – \(\frac {1}{2}\) × 10 × (4)²
= 120m
હવે, રૂપાંતરિત ગતિ-ઊર્જા (ટકામાં)
= \(\frac{m g h}{\left(\frac{1}{2} m v^2\right)}\) × 100
= \(\frac{2 \times 10 \times 120}{(50)^2}\) × 100 = 96%

પ્રશ્ન 104.
10 g દળ ધરાવતી સીસાની ગોળી (lead bullet) 300 m s^-1 જેટલા વેગથી ગતિ કરીને લાકડાના બ્લૉક સાથે અથડાયા બાદ સ્થિર થઈ જાય છે. પરિણામે ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા-ઊર્જાના 50% જેટલી ઊર્જા ગોળીના તાપમાનમાં વધારો કરે છે, તો તાપમાનમાં થતો વધારો કેટલો હશે?
J = 4 J / cal અને સીસાની વિશિષ્ટ ઉષ્મા
s = 150 \(\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \mathrm{K}}\) લો.
A. 100 K
B. 125 K
C. 150 K
D. 37.5 K
ઉત્તર:
D. 37.5 K
Hint : અહીં, W = JH = J (ms Δ θ)
પણ, અહીં J (ms Δ θ) = \(\frac {1}{2}\) W
= \(\frac {1}{2}\) (\(\frac {1}{2}\)mυ²)
∴ Δ θ = \(\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} m v^2\right)}{J m s}\)
= \(\frac{(300)^2}{16 \times 150}\)
= 37.5 K

પ્રશ્ન 105.
એક સ્થિર રહેલું ભારે ન્યુક્લિયસ બે ટુકડાઓમાં આપમેળે વિખંડિત થાય છે. જો આ બે ટુકડાઓના વેગનો ગુણોત્તર 8 : 1 હોય, તો તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?
A. 1 : 2
B. 1 : 4
C. 4: 1
D. 2 : 1
ઉત્તર:
A. 1 : 2
Hint : અહીં, રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતાં,

પ્રશ્ન 106.
એક પદાર્થને ઊર્ધ્વદિશામાં h જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે એટલા માટે ફેંકવામાં આવે છે, તો મૈં \(\frac {4}{5}\) h જેટલી ઊંચાઈએ તેની ગતિ-ઊર્જા અને ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?
A. 5 : 4
B. 4 : 5
C. 1 : 4
D. 4 : 1
ઉત્તર:
C. 1 : 4
Hint : જમીનથી \(\frac {4}{5}\)h જેટલી ઊંચાઈએ પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા = (કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા)
– (\(\frac {4}{5}\) h જેટલી ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા
= (mgh) – (\(\frac {4}{5}\) mgh) = \(\frac {1}{5}\) mgh

પ્રશ્ન 107.
એક કણ પર ત્રણ બળો \(\vec{F}_1\) = 2 î – 3 ĵ + 2 k̂, \(\vec{F}_2\) = î + ĵ – k̂અને \(\vec{F}_3\) = 3î + ĵ – 2k̂લાગે છે. પરિણામે કણ (1, – 1, 2) સ્થાન પરથી (- 1, – 1, 3) સ્થાન પર અને ત્યારબાદ (2, 2, 0) વડે દર્શાવાતાં નવા સ્થાન પર પહોંચે છે. જો કણ સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરતો હોય, તો આ બળો વડે થતું કુલ કાર્ય શોધો. (બળ ન્યૂટનમાં અને સ્થાનાંતર મીટરમાં છે.)
A. 2 J
B. 3 J
C. 4 J
D. 5 J
ઉત્તર:
D. 5 J
Hint : અહીં, પરિણામી બળ \(\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}\)
= (6 î – ĵ – k̂ ) N
ચોખ્ખું (net) સ્થાનાંતર,
\(\vec{d}\) = (2 – 1) î + (2 + 1) ĵ + (0 – 2) k̂
= î + 3 ĵ – 2k̂
કુલ કાર્ય W = \(\vec{F}\) ·\(\vec{d}\)
= (6 î – ĵ – k̂) · (î + 3 ĵ – 2 k̂)
= 6 – 3 + 2
= 5J

પ્રશ્ન 108.
એક કારના એન્જિનનો પાવર P અચળ છે. આ અચળ પાવરને લીધે તે x જેટલું અંતર કાપ્યા બાદ υ જેટલો વેગ પ્રાપ્ત કરે
છે, તો વેગ υ ∝ ……………… .
A. \(x^{\frac{1}{2}}\)
B. \(x^{\frac{1}{3}}\)
C. \(x^{-\frac{1}{2}}\)
D. \(x^{-\frac{1}{3}}\)
ઉત્તર:
B. \(x^{\frac{1}{3}}\)
Hint : અહીં, પાવર P = Fυ
= (ma) υ
= mυ \(\frac{d υ}{d t}\)
= mυ \(\frac{d υ}{d x}\) × \(\frac{d x}{d t}\)
= mυ² \(\frac{d υ}{d t}\)
∴ pdx = mυ² dυ
સંકલન કરતાં,
Px = \(\frac{m v^3}{3}\)
∴ υ = \(\left(\frac{3 P x}{m}\right)^{\frac{1}{3}}\)
∴ υ ∝ \(x^{\frac{1}{3}}\)

પ્રશ્ન 109.
10 kg દળવાળો પદાર્થ સમક્ષિતિજ રફ સપાટી પર અચળ વેગથી 2 m જેટલું અંતર ખસે છે ત્યારે 150 J જેટલું કાર્ય થાય છે. આ સપાટીને હવે 30° ખૂણે ઢોળાવવાળી બનાવવામાં આવે છે અને પદાર્થને 2m જેટલું અંતર ઉપર તરફ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થતું કાર્ય ……………. (g = 10 m s^-2)
A. 250 J
B. 50 J
C. 150 J
D. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
ઉત્તર :
D. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
Hint : સમક્ષિતિજ રફ સપાટી પરની ગતિ માટે
(μ) mg (d) = W
∴ μ × 10 × 10 × 2 = 150 .. μ = 0.75
ઢાળવાળી રફ સપાટી માટે
કાર્ય W = (μ mg cos θ) d
= 0.75 × 10 × 10 × cos 30° × 2
= \(\frac{3}{4}\) × 100 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × 2
= 129.75 J

પ્રશ્ન 110.
8 kg દળવાળા પદાર્થ પર બળ F = 3x અનુસાર લાગે છે, જ્યાં x = કાપેલું અંતર છે. પ્રારંભિક સ્થાન x = 2 m અને અંતિમ સ્થાન x = 10 m છે. જો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોય, તો અંતિમ વેગ ……………….. ms^-1 હશ.
A. 6
B. 12
C. 18
D. 36
ઉત્તર:
A. 6
Hint :

પ્રશ્ન 111.
2.5 kg દળવાળા પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા V = (3x – 4y) J વડે આપવામાં આવે છે; જ્યાં x અને y પદાર્થના યામ છે, તો પદાર્થ પર લાગતું કુલ બળ કેટલું હશે?
A. 3 N
B. 4 N
C. 5 N
D. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
ઉત્તર :
C. 5 N
Hint : અહીં, F_x = – \(\frac{d V}{d x}\) = – 3 N અને
F_y = – \(\frac{d V}{d y}\) = + 4 N
કુલ બળ F = \(\sqrt{F_{\mathrm{x}}^2+F_{\mathrm{y}}^2}\)
= \(\sqrt{(-3)^2+(4)^2}\)
= 5 N

પ્રશ્ન 112.
એક પદાર્થને સમક્ષિતિજ દિશા સાથે 200 m s^-1ના વેગથી 60°ના ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. ગતિપથની મહત્તમ ઊંચાઈએ આવેલ બિંદુ આગળ તે સમાન દળના ત્રણ ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે. એક ટુકડો ઊર્ધ્વદિશામાં 100 m s^-1 ના વેગથી, બીજો ટુકડો અધોદિશામાં તેટલા જ વેગથી ફેંકાય છે, તો ત્રીજા ટુકડાનો વેગ કેટલો હશે?
A. 60°ના ખૂણે 120 m s^-1 જેટલો
B. 30°ના ખૂણે 200 m s^-1 જેટલો
C. 300 m s^-1
D. 200 m s^-1
ઉત્તર :
C. 300 m s^-1
Hint : અહીં, મહત્તમ ઊંચાઈએ આવેલ બિંદુ પાસે અધોદિશા અને ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકાતા બે ટુકડાઓના વેગમાન સમાન હોવાથી તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરશે. તેથી પદાર્થનું પ્રારંભિક કુલ વેગમાન સમગ્રપણે ત્રીજા ટુકડાને મળશે.
તેથી m × 200 cos 60° = (\(\frac {m}{3}\)) υ
∴ υ = 300 m s^-1

પ્રશ્ન 113.
અસંરક્ષી બળ \(\vec{F}\) માટે …………… .
A. ≠ 0
B. = 1
C. < 0
D. = 0
ઉત્તર:
A. ≠ 0
Hint : માત્ર સંરક્ષી બળો માટે = 0 હોય છે.