GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.4

પ્રશ્ન 1.
નીચેના પૈકી કર્યાં વિતરણ યાદૈચ્છિક ચલનાં સંભાવના વિતરણ નથી તે લખો. તમારા જવાબનું સમર્થન કરો :

ઉત્તરઃ

X	0	1	2
P(X)	0.4	0.4	0.2

P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
= 0.4 + 0.4 + 0.2
= 1
તથા p(x_i) ≥ 0, i = 0, 1, 2
∴ આપેલ વિતરણ ઐ યાદચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ છે.

(ii)

અહીં P(X = 3) = – 0.1 < 0. જે શક્ય નથી.
∴ આપેલ વિતરણ એ યાદચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નથી.

(iii)

Y	– 1	0	1
P(Y )	0.6	0.1	0.2

અહીં P(Y = – 1) + P(Y = 0) + P(Y = 1)
= 0.6 + 0.1 + 0.2
= 0.9 ≠ 1
∴ આપેલ વિતરણ ઐ યાદચ્છિક ચલ Yનું સંભાવના વિતરણ નથી

(iv)

અહીં P(Z = 3) + P(Z = 2) + P(Z = 1) + P(Z = 0) + P(Z = – 1)
= 0.3 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.05
= 1.05 ≠ 1
∴ આપેલ વિતરણ એ યાદચ્છિક ચલ Zનું સંભાવના વિતરણ નથી.

પ્રશ્ન 2.
એક પાત્રમાં 5 લાલ રંગના અને 2 કાળા રંગના દડા છે. બે દડા યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ધારો કે X એ કાળા રંગના દડાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. X ની શક્ય કિંમતો કઈ-કઈ છે ? શું X યાદૈચ્છિક ચલ છે ?
ઉત્તરઃ
એક પાત્રમાં 5 લાલ રંગના અને 2 કાળા રંગના દડા છે. બે દડા યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવાના છે. આ પસંદગી RR, RB, BR તથા BB રીતે થઈ શકે. જ્યાં R = લાલ ઘડો તથા B = કાળો દડો દર્શાવે છે.
X એ કાળા રંગના દડાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
∴ યાદચ્છિક ચલ Xની કિંમત 0, 1 અને 2 મળે.
X = 0 ⇒ કાળા રંગનો દર્દી ન મળે.
X = 1 ⇒ કાળા રંગના એક દડા મળે.
X = 2 ⇒ કાળા રંગના બે દડા મળે.
X એ યાદચ્છિક ચલ છે,

પ્રશ્ન 3.
ધારો કે જ્યારે સિક્કાને 6 વખત ઉછાળવામાં આવે છે ત્યારે X એ છાપની સંખ્યા અને કાંટાની સંખ્યાનો તફાવત દર્શાવે છે. X ની શક્ય કિંમતો શું છે ?
ઉત્તરઃ
એક સિક્કાને 6 વખત ઉછાળવામાં આવે છે. છાપની સંખ્યા તથા કાંટની સંખ્યા નીચે પ્રમાણે મળે :

જો યાદચ્છિક ચલ X એ છાપની સંખ્યા અને કાંટાની સંખ્યાનો તફાવત દર્શાવે તો Xની શક્ય કિંમત 0, 2, 4, 6 મળે છે,

પ્રશ્ન 4.
(i) સિક્કાને બે વખત ઉછાળતાં મળતી છાપની સંખ્યા
(ii) ત્રણ સિક્કાઓને એકસાથે ઉછાળતાં મળતી કાંટાની સંખ્યા
(iii) સિક્કાને ચાર વખત ઉછાળતાં મળતી છાપની સંખ્યા હોય, તો આ ત્રણેય કિસ્સાઓમાં સંભાવના વિતરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
(i) સિક્કાને બે વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
S = {HH, HT, TH, TT}
પાદચ્છિક ચલ X એ છાપની સંખ્યા દર્શાવે છે.
Xની શક્ય કિંમત 0, 1, 2 મળે.
P(X = 0) = P (છાપ ન મળે) = P(TT) = \(\frac{1}{4}\)
P(X = 1) = P (એક છાપ મળે) = P (HT અથવા TH)
= \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
P(X = 2) = P (બે છાપ મળે) = P(HH) = \(\frac{1}{4}\)
યાદચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે મળે છે :

X :	0	1	2
P(X) :	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{4}\)

(ii) ત્રણ સિક્કાઓ એક સાથે ઉછાળવામાં આવે છે.
S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, TTH, THT, TTT}
યાદચ્છિક ચલ X એ કાંટાની સંખ્યા દર્શાવ છે.
Xનું શક્ય મૂલ્ય 0, 1, 2, 3 મળે છે.
P(X = 0) = P (કાંટો ન મળે) = P(HHH) = \(\frac{1}{8}\)
P(X = 1) = P (એક કાંટો મળે) = P(HHT અથવા HTH અથવા THH) = \(\frac{3}{8}\)
P(X = 2) = P (બે કાંટા મળે) = P(HTT અથવા TTH અથવા THT) = \(\frac{3}{8}\)
P(X = 3) = P (ત્રણ કાંટા મળે) = P(TTT) = \(\frac{1}{8}\)
યાદૈચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે મળે છે :

X :	0	1	2	3
P(X) :	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(\frac{1}{4}\)

(iii) સિક્કાને ચાર વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
યાદચ્છિક ચલ X એ સિક્કા પર મળતી છાપની સંખ્યા
દર્શાવે તો Xની શક્ય કિંમત 0, 1, 2, 3, 4 મળે છે.
અહીં નિદર્શાવકાશના ઘટકોની સંખ્યા n(S) = 2⁴ = 16
P(X = 0) = P (સિક્કા પર છાપ ન મળે)
= P(TTTT) = \(\frac{1}{16}\)
P(X = 1) = P (એક છાપ મળે)
= P ({HTTT, THTT, TTHT, TTTH})
= \(\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)

P(X = 2) = P (બે છાપ મળે)
= P({HHTT, THHT, TTHH, HTTH, HTHT, THTH})
= \(\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\)

P(X = 3) = P (ત્રણ છાપ મળે
= P ({HHHT, THHH, HTHH, HHTH)}
= \(\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)

P(X = 4) = P (ચાર છાપ મળે)
= P {{HHHH}}
= \(\frac{1}{16}\)
∴ યાદચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે છે :

પ્રશ્ન 5.
જો સફળતા (i) 4 કરતાં મોટી સંખ્યા (ii) ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર પૂર્ણાંક 6 મળે, એ પ્રમાળે વ્યાખ્યાયિત થતી હોય તો પાસાને બે વખત ઉછાળવામાં સફળતા મળવાની સંખ્યાઓનું સંભાવના વિતરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
(i) પાસાને ઉછાળતાં મળતો નિદર્શાવાઇ
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ n(S) = 6
A = 4 કરતાં મોટી સંખ્યા = {5, 6}
∴ P(A) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
હવે P(A’) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
પાસાને બે વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
∴ યાદચ્છિક ચલ Xની શક્ય કિંમત 0, 1, 2 છે.
P(X = 0) = P
(બંને પાસા પર 4થી મોટી સંખ્યા મળે નહીં)
= P(A’) P(A’)
= \(\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)
P(X = 1) = P
(એક જ પાસા પર 4થી મોટી સંખ્યા મળે.)
= 2P(A) P(A’)
= 2 × \(\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)
P(X = 2) = P (બંને પાસા પર 4થી મોટી સંખ્યા મળે.)
= P(A) P(A)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}\)
∴ યાદચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે મળે છે:

X :	0	1	2
P(X) :	\(\frac{1}{16}\)	\(\frac{1}{16}\)	\(\frac{1}{16}\)

(ii) પાસાને ઉછાળતાં મળતો નિવિકાશ
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
A = પાસા પર પૂર્ણાંક 6 મળે.
∴ P(A) = \(\frac{1}{6}\) ⇒ P(A’) = 1 – \(\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
પાસાને બે વખત ઉછાળવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર પૂર્ણાંક મળે છે.
∴ યાદચ્છિક ચલ Xની શક્ય કિંમત 0, 1 છે.
P(X = 0) = P (બંને પાસા પર પૂર્ણાંક 6 મળતો નથી.)
= P(A’) P(A’)
= \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}\)
P(X = 1) = P
(ઓછામાં ઓછો એક પાસા પર પૂર્ણાંક 6 મળે.)
= 1 – P(X = 0)
= 1 – \(\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\)
∴ યાદચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે છે :

X :	0	1
P(X) :	\(\frac{25}{36}\)	\(\frac{11}{36}\)

પ્રશ્ન 6.
30 વીજળીના ગોળાઓમાંથી 6 ગોળા ખામીયુક્ત છે. પુરવણી સહિત 4 ગોળાઓનો નિદર્શ યાર્દચ્છિક રીતે લીધો છે. ખામીયુક્ત ગોળાઓની સંખ્યા માટેનું સંભાવના વિતરણ શોધી.
ઉત્તરઃ
30 વીજળીના ગોળામાંથી 6 ગોળા ખામીયુક્ત છે. પુરવણી સહિત 4 ગોળાઓનો નિદર્શાવકાશ યાદચ્છિક રીતે લીધો છે. યાદચ્છિક ચલ X એ ખામીયુક્ત ગોળાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. તેથી Xની શક્ય કિંમત 0, 1, 2, 3 તથા 4 છે.
30 ગોળામાંથી 6 ખામીવાળા હોવાથી
30 – 6 = 24 ગોળા ખામીરહિત થાય.
D = ગોળો ખામીયુક્ત હોય.
∴ P(D) = \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\)
P(D’) = 1 – \(\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
P(x = 0) = P (એક પણ ગોળો ખામીયુક્ત નથી.)
= P({D’D’D’D’})
= \(\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}\) = \(\frac{256}{625}\)
P(X = 1) = P (એક ગોળો ખામીયુક્ત છે).
= P ({DD’D’D’, D’DD’D’, D’D’DD’, D’D’D’D})
= 4 × \(\frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}=\frac{256}{625}\)

P(X = 2) = P (બે ગોળા ખામીયુક્ત છે.)
= P({DDD’D’, D’DDD’, D’D’DD, D’DD’D, DD’D’D, DD’DD’})
= 6 × \(\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} \times \frac{4}{5}=\frac{96}{225}\)

P(X = 3) = P (ત્રણ ગોળા ખામીયુક્ત છે.)
= P({DDDD’, D’DDD, DDD’D, DD’DD})
= 4 × \(\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5}=\frac{16}{625}\)

P(X = 4) = P (ચારેય ગોળા ખામીયુક્ત છે.)
= P {DDDD}
= \(\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \times \frac{1}{5}=\frac{1}{625}\)
∴ પાચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે મળે છે :

પ્રશ્ન 7.
એક સિક્કો અસમતોલ છે. તેને ઉછાળતાં છાપ મળવાની સંભાવના તે કાંટો મળે તેની સંભાવના કરતાં ત્રણ ગણી છે. જો સિક્કાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે, તો કાંટાની સંખ્યા માટેનું સંભાવના વિતરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
એક સિક્કો અસમતોલ છે.
ધારો કે કાર્ટો મળવાની સંભાવના = q
∴ છાપ મળવાની સંભાવના = 3q
હવે q + 3q = 1 ⇒ q = \(\frac{1}{4}\)
∴ કાંટો મળવાની સંભાવના = \(\frac{1}{4}\)
છાપ મળવાની સંભાવના = \(\frac{3}{4}\)
સિક્કાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે. યાદચ્છિક ચલ X એ કાંટાની સંખ્યા દર્શાવે તો Xની શક્ય કિંમત 0, 1, 2 છે.
P(X = 0) = P (એક પણ કાંટો ન હોય)
= P (HH)
= \(\frac{3}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}\)

P(X = 1) = P (એક કાંટો હોય)
= (TH, HT)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{3}{4}+\frac{3}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{6}{16}\)

P(X = 2) = P (બંને કાંટા હોય)
= P (TT)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}\)

યાદચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે મળે છે :

X :	0	1	2
P(X) :	\(\frac{9}{16}\)	\(\frac{6}{16}\)	\(\frac{1}{16}\)

પ્રશ્ન 8.
એક ચાઇચ્છિક ચલ X નું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે છે :

મૂલ્ય નક્કી કરી :
(i) k
(ii) P(X < 3) (iii) P(X > 6)
(iv) P(0 < x < 3)
ઉત્તરઃ
(i) \(\sum_{i=1}^n\) p(x_i) = 1
⇒ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 1
⇒ 0 + k + 2k + 2k + 3k + k² + 2k² + 7k² + k = 1
⇒ 10k² + 9k – 1 = 0
⇒ 10k² + 10k – k – 1 = 0
⇒ (k + 1) (10k – 1) = 0
⇒ k = – 1 અથવા k = \(\frac{1}{10}\)
પરંતુ k = – 1 શક્ય નથી કારણ કે p(x_i) ≥ 0
∴ k = \(\frac{1}{10}\)

(ii) P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0 + k + 2k = 3k = \(\frac{3}{10}\) (∵ k = \(\frac{1}{10}\)) (iii) P(X > 6) = P(X = 7)
= 7k² + k
= 7(\(\frac{1}{10}\))² + \(\frac{1}{10}\)
= \(\frac{7}{100}+\frac{1}{10}=\frac{17}{100}\)

(iv) P(0 < x < 3) = P(X = 1) + P(X = 2)
= k + 2k = 3k
= \(\frac{3}{10}\)

પ્રશ્ન 9.
યાદૈચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ P(X) નીચે આપેલ સ્વરૂપનું છે. k કોઈક સંખ્યા છે :

(a) k નું મૂલ્ય શોધો.
(b) P(X < 2), P(X ≤ 2), P(X ≥ 2) શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં યાદચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાલે છે :

X :	0	1	2
P(X) :	k	2k	3k

(a) \(\sum_{i=1}^n\) p(x_i) = 1
∴ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1
∴ k + 2k + 3k = 1

(b) P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)
= k + 2k = 3k
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
= k + 2k + 3k = 6k
= 6(\(\frac{1}{6}\)) = 1

P(X ≥ 2) = P(X = 2) = 3k
= \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

પ્રશ્ન 10.
એક સમતોલ સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળતાં મળતી છાપની સંખ્યાનો મધ્યક શોધો.
ઉત્તરઃ
એક સમતોલ સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. યાદચ્છિક ચલ X એ છાપની સંખ્યા દર્શાવ નો Xની શક્ય કિંમત 0, 1, 2, 3 થાય. n(S) = 8
P(X = 0) = P (એક પણ છાપ ન મળે)
= P ({TTT}} = \(\frac{1}{8}\)
P(X = 1) = P(એક છાપ મળે)
= P({HTT, THT, TTH})
= \(\frac{3}{8}\)
P(X = 2) = P (બે છાપ મળે)
= P({HHT, HTH, THH})
= \(\frac{3}{8}\)
P(X = 3) = P (ત્રણેય છાપ મળે)
= P ({HHH}) = \(\frac{1}{8}\)
યાદચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે છે :

X :	0	1	2	3
P(X) :	\(\frac{1}{8}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{3}{8}\)	\(\frac{1}{8}\)

મધ્યક E(X) = Σx_i p(x_i)
= o × \(\frac{1}{8}\) + 1 × \(\frac{3}{8}\) + 2 × \(\frac{3}{8}\) + 3 × \(\frac{1}{8}\)
= \(\frac{3}{8}+\frac{6}{8}+\frac{3}{8}\)
= \(\frac{12}{8}\)
= \(\frac{3}{2}\)

પ્રશ્ન 11.
બે પાસાને એક સાથે ફેંકવામાં આવે છે. જો X 6 મળવાની કુલ સંખ્યા દર્શાવે નો Xની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધી
ઉત્તરઃ
બે પાસાને એક સાથે ફેંકવામાં આવે છે. અર્થાત્ એક પાસાને બે વખત ફેંકવાની પ્રક્રિયા
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ n(S) = 6
A = પાસા પર 6 મળે તો P(A) = \(\frac{1}{6}\)
∴ A’ પાસા પર 6 ન મળે.
P(A’) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
X ઇ 6 મળવાની કુલ સંખ્યા હોય તો Xની શક્ય કિંમત 0, 1, 2 થાય.
P(X = 0) = P(6 ન મળે)
= P(A’) P(A’)
= \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}\)
P(X = 1) = P(એક 6 મળે)
= P(A) P(A’) + P(A’) P(A)
= 2 × \(\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{10}{36}\)
P(X = 2) = P (બેઉં 6 મળે)
= P(A) P(A)
= \(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\)

Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે છે :

X :	0	1	2
P(X) :	\(\frac{25}{36}\)	\(\frac{10}{36}\)	\(\frac{1}{36}\)

ગાણિતિક અપેક્ષા E(X) = Σx_i p(x_i)
= 0 × \(\frac{25}{36}\) + 1 × \(\frac{10}{36}\) + 2 × \(\frac{1}{36}\)
= \(\frac{12}{36}\)
= \(\frac{1}{3}\)

પ્રશ્ન 12.
પ્રથમ છે. ધન પૂર્ણાંકોમાંથી યાદચ્છિક રીતે બે સંખ્યાઓ પસંદ (પુરવણીરિત) કરી છે. ધારો કે જો એ ોળવેલી સંખ્યાઓ પૈકી મોટી સંખ્યા દર્શાવે છે. E(X) શોધો.
ઉત્તરઃ
પ્રથમ છ પનપૂર્ણાંકોમાંથી પાદચ્છિક રીતે બે સંખ્યાઓ પુરવણીરહિત પસંદ કરી છે.

∴ n(3) = 30
X એ બે મેળવેલ સંખ્યાઓ પૈકીની મોટી સંખ્યા દર્શાવે છે ઃ

E(X) = Σx_ip(x_i)
= 2 × \(\frac{2}{30}\) + 3 × \(\frac{4}{30}\) + 4 × \(\frac{6}{30}\) + 5 × \(\frac{8}{30}\) + 6 × \(\frac{10}{30}\)
= \(\frac{4+12+24+40+60}{30}\)
= \(\frac{140}{30}\)
= \(\frac{14}{3}\)

પ્રશ્ન 13.
ધારો કે X એ બે સમતોલ પાસાઓને ઉછાળતાં મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો દર્શાવે છે. તો Xનું વિચરણ અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો.
ઉત્તરઃ
બે પાસાઓને ઉછાળવામાં આવે છે.
મળતો નિદર્શાવકાશ S = {11, 12, 13, 14, 15, 16
21, 22, 23, 24, 25, 26
31, 32, 33, 34, 35, 36
41, 42, 43, 44, 45, 46
51, 52, 53, 54, 55, 56
61, 62, 63, 64, 65, 66}
∴ n(S) = 36
X એ બે સમતોલ પાસા પર મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો દર્શાવે છે. Xની શક્ય કિંમત 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 થાય.
P(X = 2) = P({11}) = \(\frac{1}{36}\)
P(X = 3) = P({12, 21}) = \(\frac{2}{36}\)
P(X = 4) = P({22, 13, 31}) = \(\frac{3}{36}\)
P(X = 5) = P({14, 41, 23, 32}) = \(\frac{4}{36}\)
P(X = 6) = P({15, 51, 24, 42, 33}) = \(\frac{5}{36}\)
P(X = 7) = P({16, 61, 25, 52, 34, 43}) = \(\frac{6}{36}\)
P(X = 8) = P({26, 62, 35, 53, 44}) = \(\frac{5}{36}\)
P(X = 9) = P({36, 63, 45, 54}) = \(\frac{4}{36}\)
P(X = 10) = P({46, 64, 55}) = \(\frac{3}{36}\)
P(X = 11) = P({56, 65}) = \(\frac{2}{36}\)
P(X = 12) = P({66}) = \(\frac{1}{36}\)
યાદૈચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે છે :

= \(\frac{1}{36}\)[4 + 18 + 48 + 100 + 180 + 294 + 320 + 324 + 300 + 242 + 144]
= \(\frac{1}{36}\)[1974] = \(\frac{329}{6}\)

વિચરણ Var(X) = E(X²) – [E(X)]²
= \(\frac{329}{6}\) – (7)²
= 54.83 – 49 = 5.83
પ્રમાણિત વિચલન = \(\sqrt{Var(X)}\)
= \(\sqrt{5.83}\) = 2.4 (લગભગ)

પ્રશ્ન 14.
એક વર્ગમાં 15 વિદ્યાર્થીઓ છે. તેમની વય 14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19 અને 20 વર્ષ છે. એક વિદ્યાર્થી પસંદ કરવામાં આવ્યો છે. પ્રત્યેક વિદ્યાર્થી પસંદ થવાની સમાન સંભાવના હતી અને પસંદ થયેલા વિદ્યાર્થીની વય X નોંધી છે. યાદૈચ્છિક ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ શું છે ? Xનો મધ્યક, વિચરણ અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો.
ઉત્તરઃ
એક વર્ગમાં 15 વિદ્યાર્થીઓ છે.
∴ n(S) = 15
યાદચ્છિક ચલ X એ પસંદ થયેલ વિદ્યાર્થીની વય દર્શાવે છે.

મધ્યક µ = Σx_ip(x_i)
= \(\frac{263}{15}\)
= 17.53
વિચરણ Var(X) = Σx_i² p(x_i) – [Σx_ip(x_i)]²
= \(\frac{4683}{15}\) – [latex]\frac{263}{15}[/latex]²
= 312.20 – (17.53)²
= 312.20 – 307.30
= 4.9
પ્રમાશિત વિચલન = \(\sqrt{Var(X)}\)
∴ σ_x = \(\sqrt{4.9}\)
= 2.2

પ્રશ્ન 15.
એક બેઠકમાં, એક નિશ્ચિત દરખાસ્તની તરફેણમાં 70 % સભ્યો અને તેની વિરોધમાં 30 % સભ્યો છે. એક સભ્ય યાદચ્છિક રીતે પસંદ કર્યો અને જો તે વિરોધ કરે, તો આપણે X = 0 અને જો તે તરફેણમાં હોય તો X = 1 લઈએ. E(X) અને Var(X) શોધો.
ઉત્તરઃ
એક નિશ્ચિત દરખાસ્તની તરફેણમાં 70 % સભ્યો અને તેની વિરોધમાં 30% સભ્યો છે.
P(X = 0) = P (વિરોધ કરે) = \(\frac{30}{100}=\frac{3}{10}\)
P(X = 1) = P (તરણ કરે) = \(\frac{70}{100}\)

X	P(X)	Xip(Xi)	Xi²p(Xi)
0	\(\frac{3}{10}\)	0	0
1	\(\frac{7}{10}\)	\(\frac{7}{10}\)	\(\frac{7}{10}\)

E(X) = Σx_i p(x_i)
= 0 + \(\frac{7}{10}\)
= 0.7
Var(X) = Σx_i² p(x_i) – [E(X)]²
= 0 + \(\frac{7}{10}\) – (0.7)²
= 0.7 – 0.49 = 0.21

પ્રશ્નો 16 તથા 17માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 16.
એક પાસાના ત્રણ પૃષ્ઠ પર 1, બે પૃષ્ઠ પર 2 અને એક પર 5 અંકિત હોય, તો તેને ઉછાળતાં મળતી સંખ્યાઓનો મધ્યક ……………….. છે.
(A) 1
(B) 2
(C) 5
(D) \(\frac{8}{3}\)
ઉત્તરઃ
(B) 2

X	P(X)	Xip(Xi)
1	\(\frac{3}{6}\)	\(\frac{3}{6}\)
2	\(\frac{2}{6}\)	\(\frac{4}{6}\)
5	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{5}{6}\)
		ΣXip(Xi)= \(\frac{12}{6}\)

મધ્યક E(X) = Σx_i p(x_i)
= \(\frac{12}{6}\) = 2
∴ વિક્લ્પ (B) આવે.

પ્રશ્ન 17.
ધારો કે પત્તાંની થોકડીમાંથી બે પત્તાં યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ધારો કે મેં એ મળેલ એક્કાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે, તો E(X) નું મૂલ્ય …………… છે.
(A) \(\frac{37}{221}\)
(B) \(\frac{5}{13}\)
(C) \(\frac{1}{13}\)
(D) \(\frac{2}{13}\)
ઉત્તરઃ
પત્તાંની થોકડીમાંથી બે પત્તાં યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
X = મળેલ એક્કાઓની સંખ્યા