GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.3

પ્રશ્ન 1.
બે સદિશોનાં માન અનુક્રમે √3 અને 2 હોય તથા \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = √6 આપેલ હોય, તો તે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
ઉત્તર:
આપેલ છે કે |\(\vec{a}\)| = 3 તથા |\(\vec{b}\)|= 2 અને \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = √6
ધારો કે સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ છે.

∴ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો \(\frac{\pi}{4}\) છે.

પ્રશ્ન 2.
સદિશો î – 2ĵ + 3k̂ અને 3î – 2ĵ + k̂ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
ઉત્તર:
a = î – 2ĵ + 3k̂
b = 3î – 2ĵ + k̂
ऐवे \(|\vec{a}|=\sqrt{(1)^2+(-2)^2+(3)^2}=\sqrt{14}\)
\(|\vec{b}|=\sqrt{(3)^2+(-2)^2+(1)^2}=\sqrt{14}\)
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = (î − 2ĵ + 3k̂) · (3 î − 2ĵ + k̂)
= 3 + 4 + 3 = 10
ધારો કે સદિશો |\(\vec{a}\) અને |\(\vec{b}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ છે.

∴ આપેલ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો cos^-1\(\left(\frac{5}{7}\right)\) છે.

પ્રશ્ન 3.
સદિશ î – ĵ જૈનો સદિશ î + ĵ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.
ઉત્તર:
a = î – ĵ, b = î + ĵ
∴ a ⋅ b = (î − ĵ) · (î + ĵ)
= 1 – 1 = 0
∴ સદિશ \(\vec{a}\) અને સદિશ \(\vec{b}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = \(\frac{\pi}{2}\) છે.
∴ સદિશ \(\vec{a}\) નો સદિશ \(\vec{b}\) પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 4.
સદિશ î + 3ĵ + 7k̂ નો 7î – ĵ + 8k̂ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) = î + 3ĵ + 7k̂
\(\vec{b}\) =7î – ĵ + 8k̂
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = (î + 3ĵ + 7k̂)· (7î − ĵ + 8k̂)
= 7 – 3 +56 = 60

પ્રશ્ન 5.
દર્શાવો કે નીચે આપેલ ત્રણ સદિશો પૈકી પ્રત્યેક સદિશ એકમ સદિશ છે :
\(\frac{1}{7}\)(2î + 3ĵ + 6k̂), \(\frac{1}{7}\)(3î – 6ĵ + 2k̂), \(\frac{1}{7}\)(6î + 2ĵ – 3k̂).
વળી, સાબિત કરો કે આ સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
ઉત્તર:

∴ સદિશો \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) નું માન 1 છે.
∴ પ્રત્યેક સદિશ એકમ સદિશ છે.

આમ, \(\vec{a}, \vec{b}\) અને \(\vec{c}\) પરસ્પર લંબ છે.

પ્રશ્ન 6.
જો \((\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})\) = 8 અને \(|\vec{a}|\) = 8 \(|\vec{b}|\) તો, \(|\vec{a}|\) અને \(|\vec{b}|\) શોધો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 7.
\((3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+7 \vec{b})\) શોધો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 8.
જો બે સદિશો અને નાં માન સમાન હોય અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો 60॰ તથા તેમનો અદિશ ગુણાકાર હોય તો તેમનાં માન શોધો.
ઉત્તર:
બે સદિશો \(|\vec{a}|\) અને \(|\vec{b}|\) ના માન સરખા છે.
∴ \(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો 60° છે. θ = 60°

∴ તેમનાં માન 1 છે. તેઓ એકમ સદિશ છે.

પ્રશ્ન 9.
જો એકમ સદિશ \(\vec{a}\) હૈં માટે \((\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})\) = 12 હોય તો \(|\vec{x}|\) શોધો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 10.
જો સદિશો \(\vec{a}\) = 2î + 2ĵ + 3k̂, \(\vec{b}\) = −î + 2ĵ + k̂ અને \(\vec{c}\) = 3î + ĵ માટે \(\vec{a}+\lambda \vec{b}\) એ \(\vec{c}\) હૈં ને લંબ હોય, તો λ નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) = 2î + 2ĵ + 3k̂
\(\vec{b}\) = −î + 2ĵ + k̂
\(\vec{c}\) = 3î + ĵ

\(\vec{a}+\lambda \vec{b}\) = (2î + 2ĵ + 3k̂) + λ (− î + 2ĵ + k̂)
= (2 − λ) î +(2 + 2λ)ĵ + (3 + 2) k̂

હવે \(\vec{a}+\lambda \vec{b}\) અને \(\vec{c}\) લંબ છે.
∴ (\(\vec{a}+\lambda \vec{b}\)) \(\vec{c}\) = 0
∴ {(2 − λ) î + (2 +2λ) ĵ + (3 + λ) k̂} · (3î + ĵ + 0k̂) = 0
∴ 3 (2 – λ) + 1 (2 + 2λ) + 0 = 0
∴ 6 – 3λ + 2 + 2λ = 0
∴ λ = 8

પ્રશ્ન 11.
કોઈ પણ બે શૂન્યતર સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) માટે દર્શાવો કે \(|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}\) એ
\(|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}\) ને લંબ છે.
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) બે શૂન્યતર દિશો છે.

(અહીં યાદ રાખો કે |\(\vec{a}\)| અને |\(\vec{b}\)| સંખ્યા છે. જ્યારે \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) સદિશો છે.)

પ્રશ્ન 12.
જો \(\vec{a}\) · \(\vec{a}\) = 0 અને \(\vec{a}\) · \(\vec{b}\) = 0 હોય, તો દિશ \(\vec{b}\) વિશે શું તારણ કાઢી શકાય ?
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) · \(\vec{a}\) = 0 અને \(\vec{a}\) · \(\vec{b}\) = 0
∴ \(\vec{a}\) = 0 અને (\(\vec{a}\) = 0 અથવા \(\vec{b}\) = 0 અથવા \(\vec{a} \perp \vec{b}\))
∴ \(\vec{b}\) કોઈ પણ સદિશ હોઈ શકે.

પ્રશ્ન 13.
જો \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) એકમ સદિશો અને \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) = 0 હોય, તો \(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\)
ઉત્તર:
\(\vec{a}\), \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) એકમ સદિશો છે.

(નોંધ : અહીં (a + b + c)² નાં વિસ્તાર પ્રમાણે જાય છે. તે જોવું)

પ્રશ્ન 14.
જો સદિશ 7 = 0 અથવા b = 0 હોય તો a · b = 0. પરંતુ પ્રતીપ, સત્ય હોય તે જરૂરી નથી. તમારા જવાબનું ઉદાહરણ સહિત સમર્થન કરો.
ઉત્તર:
સદિશ \(\vec{a}\) = 0 અથવા \(\vec{b}\) = 0 હોય તો \(\vec{a}\)· \(\vec{b}\) = 0 થાય.
પરંતુ તેનું પ્રતીપ અર્થાત્ \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\overrightarrow{0}\) હોય તે
\(|\vec{a}||\vec{b}|\) cos θ = 0 થાય.

પરંતુ જો |\(\vec{a}\)| ≠ 0, |\(\vec{a}\)| ≠ 0 હોય તે cos θ = 0
અર્થાત્ θ = \(\frac{\pi}{2}\) થાય.

એટલે કે સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) પરસ્પર લંબ છે. તેમ કહેવાય. દા.ત.,
\(\vec{a}\) = 2î +5ĵ + 2k̂ હોય તે \(\vec{a}\) = 2î – 2ĵ + 3k̂ હોય તો \(\vec{a}\).\(\vec{b}\) = 4 – 10 + 6 = 0 પરંતુ \(\vec{a}\) ≠ 0 તથા \(\vec{a}\) ≠ 0 અર્થાત્ આપેલ વિધાનનું પ્રતીપ સત્ય નથી.

પ્રશ્ન 15.
જો ત્રિકોણ ABC નાં શિરોબિંદુઓ A, B, C અનુક્રમે (1, 2, 3), (−1, 0, 0), (0, 1, 2) હોય તો ∠ABC શોધો. (ABC એ \(\overrightarrow{\mathbf{B A}}\) તથા \(\overrightarrow{\mathbf{B C}}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે.)
ઉત્તર:
A (1, 2 3), B(-1, 0, 0) તથા C(0, 1, 2) એ ΔABCના શિરોબિંદુઓ છે.

∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = î + 2ĵ + 3k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = -î
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = ĵ + 2k̂

પ્રશ્ન 16.
સાબિત કરો કે બિંદુઓ A(1, 2, 7), B(2, 6, 3) અને C (3, 10, −1) સમરેખ છે.
ઉત્તર:
A (1, 2 7), B (2, 6, 3) અને C (3, 10, -1) આપેલ બિંદુઓ છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = î + 2ĵ + 7k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = 2î + 6ĵ + 3k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = 3î + 10ĵ – k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= (2î + 6ĵ + 3k̂) − (î + 2ĵ + 7k̂)
= î + 4ĵ − 4k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
= (3î + 10ĵ – k̂) − (2î +6ĵ + 3k̂)
= î + 4ĵ – 4k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
= (î + 2ĵ + 7k̂) – (3î + 10ĵ – k̂)
= -2î – 8ĵ + 8k̂
= -2(î + 4ĵ – 4k̂)
= -2 BC

અહીં \(\overrightarrow{\mathrm{CA}} \| \overrightarrow{\mathrm{BC}}\) તથા તેમનું સામાન્ય બિંદુ C છે.
વળી \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}\)
∴ બિંદુઓ A, B, C સમરેખ છે.

પ્રશ્ન 17.
સાબિત કરો કે સદિશો 2î – ĵ + k̂, î – 3 ĵ – 5 k̂ અને 3î – 4ĵ – 4k̂ કાટકોણ ત્રિકોણનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ઉત્તર:
ધારો કે A, B અને C એ ત્રિકોણ ABCનાં શિરોબિંદુઓ છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = 2î – ĵ + k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = î – 3 ĵ − 5k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = 3î – 4ĵ – 4k̂
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= (î – 3ĵ − 5k̂) − (2î – ĵ + k̂)
=-î – 2ĵ – 6k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
= (3î – ĵ – 4k̂) – (î – 3ĵ – 5k̂)
= 2î – ĵ + k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
= (2î – ĵ + k̂) – (3î – 4ĵ – 4k̂)
= -î + 3ĵ + 5k̂

ङवे, \(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2\) = (-1)² + (-2)² + (-6)² = 41
\(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2\) = (2)² + (-1)² + (1)² = 6
\(|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|^2\) = (-1)² + (3)² + (5)² = 35
સ્પષ્ટ છે કે 41 = 6 + 35
∴ \(|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{BO}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{CA}}|^2\)
∴ પાયથાગોરસનાં પ્રતિપ્રમેય પ્રમાણે ΔABC કાટકોણ ત્રિકોણ છે. બીજી રીત :
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = − î – 2j – 6k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) = 2î – ĵ + k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{CA}}\) = -î + 3ĵ + 5k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}\) = (2î – ĵ + k̂)·(-î + 3ĵ + 5k̂)
= 2 – 3 + 5 = 0
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CA}}\)
∴ ΔABC કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

પ્રશ્ન 18માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિક્કલ્પ પસંદ કરો

પ્રશ્ન 18.
જો \(\vec{a}\) શૂન્યેતર સદિશ હોય અને તેનું માન ‘a’ હોય અને મેં શૂન્યેતર અદિશ હોય, તો λની કઈ કિંમત માટે λ\(\vec{a}\) એકમ દિશ થાય.
(A) λ = 1
(Β) λ = -1
(C) a = |λ|
(D) a = \(\frac{1}{|\lambda|}\)
ઉત્તર:
\(|\lambda \vec{a}|\) = 1
|λ| |\(\vec{a}\)| = 1
પરંતુ \(\vec{a}\) નું માન a છે. અર્થાત્ |\(\vec{a}\)|= a
∴ |λ|a = 1
∴ |λ| = \(\frac{1}{a}\)
∴ a = \(\frac{1}{|\lambda|}\)
∴ વિકલ્પ (D) આવે.