GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.4

પ્રશ્ન 1.
જો \(\vec{a}\) = î – 7ĵ + 7k̂ અને \(\vec{b}\) = 3î – 2ĵ + 2k̂ હોય તો \(|\vec{a} \times \vec{b}|\) ૐ શોધો.
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) = î – 7ĵ + 7k̂ અને \(\vec{b}\) = 3î – 2ĵ + 2k̂
∴ \(\vec{a} \times \vec{b}=\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & -7 & 7 \\
3 & -2 & 2
\end{array}\right|\)
= î (−14 +14) − ĵ (2 − 21) + k̂ (−2 +21)
= 19ĵ + 19k̂

∴ \(|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{(19)^2+(19)^2}\)
= 19\(\sqrt{1+1}\) = 19 √2

પ્રશ્ન 2.
જો \(\vec{a}\) = 3î + 2ĵ + 2k̂ અને \(\vec{b}\) = î + 2 ĵ − 2k̂ હોય તો સદિશ \(\vec{a}+\vec{b}\) અને \(\vec{a}-\vec{b}\)ને લંબ એકમ સદિશ શોધો.
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) = 3î + 2ĵ + 2k̂
\(\vec{b}\) = î + 2 ĵ − 2k̂
∴ \(\vec{a}+\vec{b}\) = (3 + 1) î + (2 + 2) ĵ + (2 − 2)k̂
= 4î + 4 ĵ

અને \(\vec{a}-\vec{b}\) = (3 − 1)î + (2 − 2)ĵ + (2 + 2) k̂
= 2î + 4k̂

\(\vec{a}+\vec{b}\) અને \(\vec{a}-\vec{b}\) ને લંબ દિશ
= \((\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})\)
= î (16 – 0) – ĵ (16 – 0) + k̂(0 – 8)
= 16î – 16 ĵ – 8k̂
હવે

પ્રશ્ન 3.
જો એકમ દિશ \(\vec{a}\) એ î સાથે \(\frac{\pi}{3}\) માપનો ખૂણો, ĵ સાથે \(\frac{\pi}{4}\) માપનો ખૂણો અને k̂ સાથે લઘુકોણ θ બનાવે, તો θ શોધો અને તે પરથી ટ્રૂના ઘટકો શોધો.
ઉત્તર:
|\(\vec{a}\)| = 1
સંદેશ \(\vec{a}\) એ î સાથે \(\frac{\pi}{3}\) માપનો ખૂણો, ĵ માટે \(\frac{\pi}{4}\) માપનો ખૂણો અને k̂ સાથે લઘુકોણ θ બનાવે છે.

પ્રશ્ન 4.
દર્શાવો કે \((\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b})\)
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 5.
જો (2î + 6ĵ + 27k̂) × (î + λĵ + μk̂) = \(\vec{0}\) હોય તો λ અને μ શોધો.
ઉત્તર:
(2î + 6ĵ + 27k̂) × (î + λĵ + μk̂) = \(\vec{0}\)
\(\overrightarrow{0}=\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & 6 & 27 \\
1 & \lambda & \mu
\end{array}\right|\)

\(\vec{0}\) = î (6μ – 27λ) – ĵ(2μ – 27) + k̂(2λ – 6)
∴ 6μ 27λ = 0, 2μ – 27 = 0, 2λ – 6 = 0
∴ μ = \(\frac{27}{2}\), λ = 3

પ્રશ્ન 6.
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0 અને \(\vec{a} \times \vec{b}\) =0 આપેલ છે. સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) વિશે શું તારણ નીકળે ?
ઉત્તર:
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0 અને \(\vec{a} \times \vec{b}\) = 0
∴ (|\(\vec{a}\)| = 0 અથવા |\(\vec{b}\)| = 0 અથવા \(\vec{a} \perp \vec{b}\)) અને
(|\(\vec{a}\)| = 0 અથવા |\(\vec{b}\)| = 0 અથવા \(\vec{a} \| \vec{b}\))
હવે \(\vec{a} \perp \vec{b}\) અને \(\vec{a} \| \vec{b}\) બંને સાથે હોઈ શકે નહીં.

પ્રશ્ન 7.
સદિશો \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) અનુક્રમે a₁î + a₂ĵ + a₃k̂, b₁î + b₂ĵ + b₃k̂ અને c₁î + c₂ĵ + c₃k̂ સ્વરૂપે આપેલ છે. સાબિત કરો કે \(\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}\)
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 8.
જો \(\vec{a}\) = 0 અથવા \(\vec{b}\) = 0, તો \(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\). શું પ્રતીપ સત્ય છે ? ઉદાહરણ દ્વારા તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
ઉત્તર:
\(\vec{a}\) = 0 અથવા \(\vec{b}\) = 0 આનું પ્રતિપ : \(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\)
∴ \(|\vec{a}||\vec{b}|\)sin θ = \(\vec{0}\)
∴ જો \(\vec{a}\) ≠ 0, \(\vec{b}\) ≠ 0 હોય તો sin θ = 0
θ = 0 અથવા π
\(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) સમરેખ સિદેશો છે.
આ વિધાનનું પ્રતીપ સત્ય નથી. \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) શૂન્યેતર સદિશો હોય
અને \(\vec{a} \times \vec{b}\) = 0 હોય તો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) સમરેખ છે. તેમ કહેવાય.

પ્રશ્ન 9.
શિરોબિંદુઓ A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) અને C(1, 5, 5) વાળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તર:
A(1, 1, 2), B(2, 3, 5) અને C(1, 5, 5) ΔABCનાં શિરોબિંદુઓ છે.

∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = î + ĵ + 2k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = 2î + 3ĵ + 5k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = î + 5ĵ + 5k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= 2î + 3ĵ + 5k̂ − (î + ĵ + 2k̂)
= î + 2ĵ + 3k̂

∴ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= 2î + 3ĵ + 5k̂ − (î + ĵ + 2k̂)
= î + 2ĵ + 3k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
= (î + 5 ĵ + 5k̂) − (î + ĵ + 2k̂)
= 4ĵ + 3k̂

∴ ΔABCનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{AC}}|=\frac{1}{2} \sqrt{59}\) ચો. એકમ

પ્રશ્ન 10.
જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસ-પાસેની બાજુઓ સદિશો \(\vec{a}\) = î – ĵ + 3k̂ અને \(\vec{b}\) = 2î − 7ĵ + k̂ હોય, તો તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તર:
સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓનાં દિશો
\(\vec{a}\) = î – ĵ + 3k̂ અને \(\vec{b}\) = 2î − 7ĵ + k̂

પ્રશ્નો 11 તથા 12 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરોઃ

પ્રશ્ન 11.
ધારો કે સદિશો હૈં \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) આપેલા છે. |\(\vec{a}\)| = 3 અને \(|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}\) છે. જો \(\vec{a} \times \vec{b}\) હૈં એકમ સદિશ હોય, તો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) વચ્ચેનો ખૂણો …….. હોય
(A) \(\frac{\pi}{6}\)
(B) \(\frac{\pi}{4}\)
(C) \(\frac{\pi}{3}\)
(D) \(\frac{\pi}{2}\)
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 12.
લંબચોરસનાં શિરોબિંદુઓ A, B, C, D ના સ્થાનસદિશો અનુક્રમે − î +\(\frac{1}{2}\) ĵ + 4k̂, î + \(\frac{1}{2}\)ĵ +4k̂, î – \(\frac{1}{2}\)ĵ + 4k̂ અને -î – \(\frac{1}{2}\)ĵ + 4k̂ હોય, તો તે લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) 1
(C) 2
(D) 4
ઉત્તર:

લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = 2 ચો.એકમ
∴ વિકલ્પ (C) આવે.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Ex 10.4

Leave a Comment Cancel Reply