GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Ex 9.2

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Ex 9.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Ex 9.2

પ્રશ્ન 1.
1થી 2001 સુધીના અયુગ્મ પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
1થી 2001 સુધીના અયુગ્મ પૂર્ણાંકો 1, 3, 5, 7, …, 2001 છે.
∴ a = 1, d = 3 – 1 = 2 અને a_n = 2001 = l
પણ, a_n = a + (n – 1). d અનુસાર,
2001 = 1 + (n − 1). 2
∴ 2001 – 1 (n − 1). 2
∴ (n – 1). 2 = 2000
∴ n – 1 = \(\frac{2000}{2}\) = 1000
∴ n = 1000 + 1 = 1001
∴ n = 1001
હવે, S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)માં n = 1001, a = 1, l = 2001 મૂકતાં,
S₁₀₀₁ = \(\frac{1001}{2}\)(1 + 2001)
∴ S₁₀₀₁ = \(\frac{1001}{2}\)(2002) = (1001) (1001)
∴ S₁₀₀₁ = 1002001

પ્રશ્ન 2.
100 અને 1000 વચ્ચેની 5ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
100 અને 1000 વચ્ચેની 5ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ 105, 110, 115, ………. 995 છે.
∴ a = 105, d = 110 – 105 = 5 અને a_n = 995
પણ, a_n = a + (n – 1) d અનુસાર,
∴ 995 = 105 + (n – 1)5
∴ 995 105 (n − 1). 5
∴ (n – 1). 5 = 890
∴ n – 1 = \(\frac{890}{5}\) = 178
∴ n = 178 + 1
∴ n = 179
હવે, S_n = \(\frac{n}{2}\)(a + l)માં n = 179, a = 105 અને l = 995 મૂકતાં,
S₁₇₉ = \(\frac{179}{2}\).(105 + 995)
∴ S₁₇₉ = \(\frac{179}{2}\)· (1100) = (179)(550)
∴ S₁₇₉ = 98450

પ્રશ્ન 3.
એક સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 2 છે અને પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો પછીનાં પાંચ પદના સરવાળાના એક ચતુર્થાંશ ભાગનો છે, તો સાબિત કરો કે 20મું પદ – 112 છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, a = 2 અને
પ્રથમ પાંચ પદોનો સરવાળો = \(\frac{1}{4}\) (પ્રથમ પાંચ પછીનાં પાંચ પદોનો સરવાળો)

∴ 25 (4 + 4d) = 10 (4 + 9d)
∴ 100 + 100 d = 40 + 90d
∴ 100 d – 90 d = 40-100
∴ 10 d = – 60
∴ d = -6
હવે, 20મું પદ શોધવા માટે a_n = a + (n – 1) dમાં n = 20
a = 2 અને d = – 6 મૂકતાં,
a₂₀ = 2 + (20 – 1) (− 6)
= 2 + (19) (-6)
= 2 – 114
= -112
આમ, આપેલ શ્રેણીનું 20મું પદ – 112 છે.

પ્રશ્ન 4.
-6, –\(\frac{11}{2}\), -5, ….. સમાંતર શ્રેણીનાં કેટલાં પ્રથમ પદનો સરવાળો –25 થાય?
ઉત્તરઃ
અહીં, a = – 6 અને d = –\(\frac{11}{2}\) – (-6) = –\(\frac{11}{2}\) – (-6) = –\(\frac{11}{2}\) + 6 = \(\frac{1}{2}\) છે.
ધારો કે, આપેલ શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો – 25 છે.
∴ S_n = 25

∴ − 100 = n · (n – 25)
∴ n² – 25n + 100 = 0
∴ n² – 20n – 5n + 100 = 0
∴ n (n – 20) – 5 (n – 20) = 0
∴ (n – 20) (n – 5) = 0
∴ n – 20 = 0 અથવા n-5 = 0
∴ n = 20 અથવા n = 5
આમ, આપેલ શ્રેણીનાં પ્રથમ 5 અથવા પ્રથમ 20 પદોનો સરવાળો – 25 થાય.

પ્રશ્ન 5.
એક સમાંતર શ્રેણીનું Pમું પદ \(\frac{1}{q}\) અને વસું પદ \(\frac{1}{2}\) છે. p ≠ q માટે સાબિત કરો કે પ્રથમ pq પદનો સરવાળો \(\frac{1}{2}\)(pq + 1) થાય.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ`a અને સામાન્ય તફાવત d છે.

હવે તેનું મું પદ \(\frac{1}{q}\) અને qસું પદ \(\frac{1}{p}\) છે.

પ્રશ્ન 6.
સમાંતર શ્રેણી 25, 22, 19, ….નાં નિશ્ચિત સંખ્યાના શરૂઆતના પદનો સરવાળો 116 હોય, તો છેલ્લું પદ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ સમાંતર શ્રેણી 25, 22, 19, … છે.
∴ a = 25, d = 22-25 .. d = – 3
હવે, ધારો કે આ શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો 116 છે.
∴ S_n = 116

∴ n = 8
∴ છેલ્લું પદ એ 8મું પદ છે.
જે a₈ = a + (8 – 1) d [ a_n = a + (n − 1) d]
∴ a₈ = 25+ 7 (-3) (∵ a = 25, d = -3)
= 25 – 21
∴ a₈ = 4
∴ આપેલી શ્રેણીનું છેલ્લું પદ 4 છે.

પ્રશ્ન 7.
જે સમાંતર શ્રેણીનું ટ્યું પદ 5k + 1 હોય તેનાં પ્રથમ n પદનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, સમાંતર શ્રેણીનું મું પદ (5k + 1) છે.
∴ a_k = 5k+1
∴ a₁ = 5 (1) + 1 = 6
∴ પ્રથમ પદ a = a₁ = 6 થશે.
હવે, a_k = 5k + 1
∴ nમું પદ a_n = 5n+ 1 = 1
∴ પ્રથમ n પદોનો સરવાળો S = \(\frac{n}{2}\){a + l) અનુસાર,
S_n = \(\frac{n}{2}\){6+ (5n + 1)} (∵ a = 6, l = 5n + 1)
∴ S_n = \(\frac{n}{2}\)(5n + 7) થાય.

પ્રશ્ન 8.
અચળ P, q માટે જે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો (pn + qn²) હોય, તેનો સામાન્ય તફાવત શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, સમાંતર શ્રેણી પ્રથમ n પદોનો સરવાળો (pn + qn²) છે.
∴ S_n = pn + qn²
∴ પ્રથમ પદ = a = S₁ = p (1) + q (1)² = p + q
a = p + q

∴ અહીં સમાંતર શ્રેણીનો સામાન્ય તફાવત 2q છે.

પ્રશ્ન 9.
પ્રત્યેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે બે સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર 5n + 4 : 9n + 6 છે. તેમનાં 18મા પદનો ગુણોત્તર મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, એક સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય તફાવત ત છે. તથા બીજી સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ A અને સામાન્ય તફાવત D છે. તથા તેમનાં પ્રથમ n પદોના સરવાળા અનુક્રમે S, અને S’ છે.

હવે, તેમનાં 18મા પદો t₁₈ = a + (18 – 1) d
અને T₁₈ = A + (18 – 1) D[ t_n = a + (n – 1) d]
t₁₈ = a + 17d અને T₁₈ = A + 17D
∴ આ શ્રેણીઓનાં 18મા પદોનો ગુણોત્તર,

આમ, આ સમાંતર શ્રેણીના 18મા પદનો ગુણોત્તર 179 : 321 છે.

પ્રશ્ન 10.
સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ p પદોનો સરવાળો, પ્રથમ વુ પદોનાં સરવાળા જેટલો થાય છે, તો પ્રથમ (p + q) પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ = a અને સામાન્ય તફાવત = d છે.
∴ તેનાં પ્રથમ પદોનો સરવાળો S, અને પ્રથમ q પદોનો સરવાળો S_q થશે.
∴ S_p = \(\frac{p}{q}\){2a + (p – 1) d} અને
S_q = \(\frac{q}{2}\) {2a + (q – 1) d} (∵ S_n = \(\frac{n}{2}\){2a + (n – 1) d})
{2a + (q – 1) d}
પણ S_p = S_q આપેલ છે.
\(\frac{p}{2}\) {2a + (p – 1) d} = \(\frac{q}{2}\){2a + (q – 1) d}
∴ 2ap + p (p – 1) d = 2q + q (q – 1) d
∴ (p² – p) d – (q – q) d = 2aq – 2ap
∴ {(p² – q²) – (p – q)} d = 2a · (q – p)
∴ {(p – q) (p + q) – (p – q)} d = – 2a (p – q)
∴ (p – q) · (p + q – 1) · d = − 2a (p – q)
∴ – 2a = (p + q – 1) · d
∴ 20 = (1 – q – p) · d …………..(1)
હવે, આ શ્રેણીનાં પ્રથમ (p + q) પદોનો સરવાળો

∴ આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ (p + q) પદોનો સરવાળો 0 છે.

પ્રશ્ન 11.
એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ P, q અને r પદોના સરવાળા અનુક્રમે a, b અને ૯ છે. સાબિત કરો કે,
\(\frac{a}{p}\)(q – r) + \(\frac{b}{q}\)(r – p) + \(\frac{c}{r}\)(p – q) = 0.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ A સામાન્ય તફાવત D અને પ્રથમ n પદોનો સરવાળો S_n છે.
∴ પક્ષ અનુસાર, S_p = a, S_q = b અને S_r = c
હવે, S_n = \(\frac{n-}{2}\) [2a + (n – 1) d] સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

= A (q − r + r − p + p−q) + \(\frac{D}{2}\){(p − 1) (q − r) + (q − 1) (r− p) + (r− 1) (p − q)}
= A (0) + \(\frac{D}{2}\) {(pq – pr – q – r) +(qr – pq – r + p) + (pr − qr − p + q)}
= A (0) + \(\frac{D}{2}\)(0) = 0
આમ, \(\frac{a}{p}\)(q – r) + \(\frac{b}{q}\)(r – p) + \(\frac{c}{r}\)(p – q) = 0

પ્રશ્ન 12.
એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ m અને n પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર m² : n² છે. સાબિત કરો કે, mમા તથા ત્તમા પદોનો ગુણોત્તર (2m – 1) : (2n – 1) થાય.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ ૰, સામાન્ય તફાવત d અને પ્રથમ n પદોનો સરવાળો S_n છે.

∴ 2an + n (m – 1) d = 2am + m (n − 1) d
∴ 2an – 2am = m (n – 1) d – n (m – 1) d
∴ 2a (n – m) = {mn – m – mn + n} d
∴ 2a (n – m) = (n – m) d
∴ 2a = d
∴ આપેલ શ્રેણીનાં mમા તથા nમા પદોનો ગુણોત્તર,

આમ, આપેલી શ્રેણીનાં mમા તથા nમા પદોનો ગુણોત્તર (2m – 1): (2n – 1)

પ્રશ્ન 13.
એક સમાંતર શ્રેણીનાં n પદોનો સરવાળો 3n² + 5n અને mમું પદ 164 છે, તો mનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, S_n = 3n² + 5n આપેલ છે.
∴ S_n-1 = 3 (n − 1)2 + 5 (n − 1)
= 3 (n² – 2n + 1) + 5n − 5
= 3n² – 6n + 3 + 5n – 5
∴ S_n-1 = 3n² – n – 2
∴ આપેલી શ્રેણીનું nમું પદ a_n = S_n – S_n-1 અનુસાર,
a_n = (3n² + 5n) – (3n² – n – 2) = 6n + 2
∴ a_n = 6n + 2
હવે, nને બદલે m લેતાં,
a_m = 6m + 2 થશે.
પણ a_m = 164 (: પક્ષ)
∴ 6m + 2 = 164
∴ 6m = 162
m = 27
આમ, mનું મૂલ્ય 27 છે.

પ્રશ્ન 14.
8 અને 26 વચ્ચે 5 સંખ્યાઓ એ રીતે ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી હોય.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, 8 અને 26 વચ્ચે A₁, A₂, A₃, A₄ અને A₅ એ 5 સંખ્યાઓ એ રીતે ઉમેરીએ છીએ કે જેથી 8, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, 26 સમાંતર શ્રેણીમાં હોય.
∴ પ્રથમ પદ = a = 8 અને 7મું પદ 26 થશે.
∴ a = 8, b = 26, n = 7
∴ a + (7 – 1) d = 26
∴ 8 + 6d = 26 ( .. a = 8)
∴ 6d = 26 – 8
∴ 6d = 18
∴ d = 3
∴ a = 8, d = 3
આમ, A₁ = a + d = 8 + 3 = 11,
A₂ = a + 2d = 8 + 2 (3) = 14,
A₃ = a + 3d = 8 + 3 (3) = 17,
A₄ = a + 4d = 8 + 4 (3) = 20,
A₅ = a + 5d = 8 + 5 (3) = 23.
આમ, 8 અને 26 વચ્ચે સંખ્યા 11, 14, 17, 20 અને 23 ઉમેરવાથી બનતી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી થાય.

પ્રશ્ન 15.
જો a અને b વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક \(\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}\) હોય, तो nનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
a અને b વચ્ચેનો સમાંતર મધ્યક \(\frac{a+b}{2}\) હોય, પણ પક્ષ અનુસાર આ મધ્યક \(\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}\) છે.
∴ \(\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}=\frac{a+b}{2}\)
∴ 2aⁿ + 2bⁿ = (a + b) (a^n-1 + b^n-1)
∴ 2aⁿ + 2bⁿ = aⁿ + a · b^n-1 + b · a^n-1 + bⁿ
∴ aⁿ + bⁿ = a · b^n-1 + b · a^n-1
∴ aⁿ – ba^n-1 = a.b^n-1 – bⁿ
∴ a^n-1. (a – b) = b^n-1. (a – b)
∴ a^n-1 = b^n-1
∴ \(\frac{a^{n-1}}{b^{n-1}}\) = 1
∴ \(\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}\) = 1 = \(\left(\frac{a}{b}\right)^0\)
∴ n – 1 = 0
∴ n = 1

પ્રશ્ન 16.
1 અને 31 વચ્ચે m સંખ્યાઓ એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી બનતી શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી હોય અને 7મી અને (m – 1)મી સંખ્યાનો ગુણોત્તર 5: 9 છે, તો mનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, 1 અને 31 વચ્ચે આવેલી m સંખ્યાઓ A₁, A₂, A₃, ……… A_m છે.
∴ 1, A₁, A₂, A₃, ………… A_m, 31 એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે. જેનું પ્રથમ પદ a = 1 છે.
ધારો કે, તેનો સામાન્ય તફાવત ત છે.
∴ a = 1 અને a_m+2 = a + (m + 2 − 1) d = 31
∴ 1 + (m + 1) d = 31

∴ 9m + 1899 = 155 m – 145
∴ 146m = 2044
∴ m = 14

પ્રશ્ન 17.
એક વ્યક્તિ તેની લોનની ચુકવણી માટે પ્રથમ હપતામાં ₹ 100 ભરે છે. જો તે દર મહિને હપતાની રકમમાં ₹ 5 વધારે ભરે, તો તેના 30મા હપતામાં કેટલી રકમ ચૂકવશે?
ઉત્તરઃ
પ્રથમ હપતાની રકમ = ₹ 100 છે.
દર મહિને ર્ 5નો વધારો થાય છે.
∴ બીજા હપતાની ૨કમ = ₹ 105
ત્રીજા હપતાની રકમ = ₹ 110
આમ, માસિક હપતાની ૨કમોની શ્રેણી 100, 105, 110, 115, ……….. થશે.
∴ a = 100, d = 105 – 100 = 5
હવે, 30મા હપતાની ૨કમ માટે n = 30 થશે.
હવે, a_n = a + (n – 1) d અનુસાર,
a₃₀ = 100 + (30 – 1) 5 (∵ a = 100, d = 5)
∴ a₃₀ = 100 + (29)(5)
∴ a₃₀ = 100 + 145 = 245
∴ a₃₀ = 245
આમ, વ્યક્તિ 30મા હપતામાં ₹ 245 ચૂકવશે.

પ્રશ્ન 18.
એક બહુકોણમાં બે ક્રમિક અંતઃકોણોનો તફાવત 5॰ છે. જો સૌથી નાનો ખૂણો 120° નો હોય, તો તે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બહુકોણને n બાજુઓ છે.
પક્ષ અનુસાર તેના અંતઃકોણો સમાંતર શ્રેણી રચશે.
જ્યાં, a = 120° અને d = 5°
હવે, n બાજુવાળા બહુકોણના અંતઃકોણોનો સરવાળો
S_n = (n – 2) (180°) હોય છે.
પણ S_n = \(\frac{n}{2}\){2a + (n – 1) d}
∴ \(\frac{n}{2}\){2 (120) + (n – 1)5} = (n – 2) (180) (∵ a = 120°, d = 5°)
∴ 120n + \(\frac{n(n-1) 5}{2}\) = 180n – 360
∴ 240n + 5n² – 5n = 360n – 720
∴ 5n² – 125n + 720 =
∴ n² – 25n + 144 = 0
∴ n² – 16n – 9n + 144 = 0
∴ n (n – 16) – 9 (n – 16) = 0
∴ (n – 9) (n – 16) = 0
∴ n – 9 = 0 અથવા n – 16 = 0
∴ n = 9 અથવા n = 16
n = 9 માટે an = a + (n − 1) d
∴ a₉ = 120 + (9 – 1)5 (: a = 120, d = 5)
∴ a₉ = 120 + 40
∴ a₉ = 160 < 180°
∴ n = 9 શક્ય છે.
હવે, n = 16 માટે a_n = a + (n – 1) d
a₁₆ = a + (16-1) d
a₁₆ = 120 + (15) (5) (: a = 120, d = 5)
a₁₆ = 120 + 75
∴ a₁₆ = 195° > 180°, જે શક્ય નથી.
કારણ કે અંતઃકોણ 180°થી વધુ હોઈ શકે નહીં.
∴ n = 16 શક્ય નથી.
∴ n = 9
આમ, બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા 9 છે.