GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Ex 9.3

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Ex 9.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Ex 9.3

પ્રશ્ન 1.
સમગુણોત્તર શ્રેણી \(\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}\); ……….નું 20મું પદ તથા nમું પદ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણી \(\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}\), ……… છે.

અને તેનું 20મું પદ a₂₀ = \(\frac{5}{2^{20}}\) થશે.
આમ, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 20મું પદ, \(\frac{5}{2^{20}}\) અને nમું મદ \(\frac{5}{2^{n}}\) છે.

પ્રશ્ન 2.
એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 8મું પદ 192 છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર 2 છે, તો તેનું 12નું પદ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ વ છે. 192 અને 1 = 2 આપેલ છે.
હવે, a₈ = 192 અને r = 2
∴ a, r^8-1 = 192 અને r = 2
∴ a (128) = 192
∴ a = \(\frac{192}{128}=\frac{3}{2}\)
∴ a = \(\frac{3}{2}\) તથા r = 2
∴ આ શ્રેણીનું 12મું પદ = a₁₂
a₁₂ = a. r^12-1 = a. r¹¹
∴ a₁₂ = \(\frac{3}{2}\) .(2)¹¹ … (2)11 (∵ a = \(\frac{3}{2}\), r = 2)
∴ a₁₂ = 3 . (2)¹⁰ = 3 (1024) = 3072
આમ, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 12મું પદ 3072 છે.

પ્રશ્ન 3.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પાંચમા, આઠમા અને અગિયારમા પદ અનુક્રમે P, q અને s હોય, તો બતાવો કે q² = ps.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.
હવે, પક્ષ અનુસાર, a₅ = P, a₈ = q અને a₁₁ = s છે.
હવે, a_n = a. r^n-1 હોવાથી
a · r^5-1 = p, a · r^{8 – 1} = q અને a. r^{11 – 1} = s
∴ ar⁴ = p
∴ a · r⁷ = q
અને a · r¹⁰ = s
∴ q = (a · r⁷)² (∵ (2) પરથી)
∴ q² = a² . r¹⁴ = a · a · r⁴ . r¹⁰
∴ q² = (ar⁴) · (a · r¹⁰)
∴ q² = p. s (∵ (1) અને (3) પરથી)
આમ, q² = ps

પ્રશ્ન 4.
એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનું ચોથું પદ બીજા પદના વર્ગ જેટલું છે અને પ્રથમ પદ -૩ છે, તો તેનું 7મું પદ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a = – 3 છે.
ધારો કે, તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.
હવે, પક્ષ અનુસાર, a₄ = (a₂)²
∴ a.r^4-1 = (a.r^2-1)²
∴ ar³ = (ar)²
∴ ar³ = a²r²
∴ r = a
∴ r = – 3 (∵ a = – 3)
હવે, તેનું સાતમું પદ a₇ = a · r^7-1
∴ a₇ = a ⋅ r⁶ = (− 3) · (− 3)⁶ = (− 3) (729)
∴ a₇ = – 2187
આમ, આપેલી સમગુણોત્તર શ્રેણીનું 7મું પદ -2187 છે.

પ્રશ્ન 5.
(a) શ્રેણી 2, 2√2, 4, …નું કેટલામું પદ 128 થાય?
ઉત્તરઃ
શ્રેણી 2, 2√2, 4,………. માટે
a = 2 અને r = \(\frac{2 \sqrt{2}}{2}\) = √2
ધારો કે, આપેલી શ્રેણીનું nમું પદ 128 છે.
∴ a_n = 128
∴ a · r^n-1 = 128
∴ 2 · (√2)^n-1 = 128
∴ (√2)^n-1 = \(\frac{128}{2}=\) = 64
∴ 2^{\(\frac{n-1}{2}\)} = 2
∴ \(\frac{n-1}{2}\) = 6 ∴ n – 1 = 12
∴ n = 13
આમ, આપેલી શ્રેણીનું 13મું પદ 128 છે.

(b) શ્રેણી √૩, ૩, ૩√૩,…નું કેટલામું પદ 729 થાય?
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલી શ્રેણી √3, 3, 3√3, … છે.
∴ a = √3 અને r = \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) = √3
ધારો કે, આપેલી શ્રેણીનું nમું પદ 729 છે.
∴ a_n = 729
∴ a_n = a · r^n-1 અનુસાર,
729 = √3 . (√3)^{n – 1}
∴ 3⁶ = 3^{\(\frac{1}{2}\)} . 3^{\(\frac{n-1}{2}\)}
∴ 3⁶ = 3^{\(\frac{1}{2}+\frac{n-1}{2}\)} = 3^{\(\frac{1+n-1}{2}\)} = 3^{\(\frac{n}{2}\)}
∴ 3⁶ = 3^{\(\frac{n}{2}\)}
∴ 6 = \(\frac{n}{2}\)
n = 12
આમ, આપેલી શ્રેણીનું 12મું પદ 729 છે.

(c) શ્રેણી, \(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}\) …નું કેટલામું પદ \(\frac{1}{19683}\) થાય?
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 6.
xની કઈ કિંમત માટે –\(\frac{2}{7}\), x, –\(\frac{7}{2}\) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં થાય?
ઉત્તરઃ
અહીં, –\(\frac{2}{7}\), x, –\(\frac{7}{2}\) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
x² = \(\left(-\frac{2}{7}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)\) ∴ x = ± 1

નીચેની સમગુણોત્તર શ્રેણીઓમાં નિર્દેશિત પદોનો સરવાળો શોધો : (પ્રશ્ન નંબર 7થી 10)

પ્રશ્ન 7.
0.15, 0.015, 0.0015, …………….. પ્રથમ 20 પદ
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
\(\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}\), ………. પ્રથમ n પદ
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
1, -a, a², -a³, ……….
ઉત્તરઃ
અહીં, પ્રથમ પદ = A = 1

પ્રશ્ન 10.
x³, x⁵, x⁷, …………પ્રથમ n પદ (જ્યાં, x ≠ 1)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
\(\sum_{k=1}^{11}\)(2 + 3^k) ની દિમત શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ૩ પદોનો સરવાળો \(\frac{39}{10}\) છે અને તેમનો ગુણાકાર 1 છે, તો સામાન્ય ગુણોત્તર અને તે પદો શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલ સમગુણોત્ત૨ શ્રેણીનાં પ્રથમ ત્રણ પદો \(\frac{a}{r}\) a, ar છે.

∴ 10 + 10r + 10r² = 39r
∴ 10r² – 29r+ 10 = 0
∴ 10r² – 4r – 25r + 10 = 0
∴ 2r (5r – 2) – 5 (5r – 2) = 0.
∴ (5r – 2) (2r – 5) = 0
∴ 5r – 20 અથવા 2r – 5=0
∴ 5r – 2 અથવા 2r = 5
r = \(\frac{2}{5}\) અથવા r = \(\frac{5}{2}\) થશે.

હવે, a = 1 અને r = \(\frac{2}{5}\) માટે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ત્રણ પદો \(\frac{a}{r}\), a, ar
∴ \(\frac{1}{2}\), 1, 1(\(\frac{2}{5}\))
\(\frac{5}{2}\), 1, \(\frac{2}{5}\) છે.
a = 1 અને r = \(\frac{5}{2}\) માટે સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ત્રણ પદો
∴ \(\frac{1}{5}\), 1, 1(\(\frac{5}{2}\))
∴ \(\frac{2}{5}\), 1, \(\frac{5}{2}\) છે.
આમ, સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર \(\frac{2}{5}\) અથવા \(\frac{5}{2}\) અને પદો \(\frac{5}{2}\), 1, \(\frac{2}{5}\) અથવા \(\frac{2}{5}\), 1, \(\frac{5}{2}\) છે.

પ્રશ્ન 13.
સમગુણોત્તર શ્રેણી ૩, ૩², ૩³,…નાં પ્રથમ કેટલાં પદોનો સરવાળો 120 થાય?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણી ૩, ૩², ૩³,…નાં n પદોનો સરવાળો 120 છે.

∴ સમગુણોત્તર શ્રેણી ૩, ૩², ૩³,…નાં પ્રથમ 4 પદોનો સરવાળો 120 થાય.

પ્રશ્ન 14.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ૩ પદોનો સરવાળો 16 છે અને પછીનાં ત્રણ પદોનો સરવાળો 128 છે, તો આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ, સામાન્ય ગુણોત્તર અને n પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ વ અને સામાન્ય ગુણોત્તર છે.
∴ તેનાં પ્રથમ ત્રણ પદો a, ar, ar² અને તે પછીનાં ત્રણ
પદો ar³, ar⁴, ar⁵ થશે.
∴ a + ar + ar² = 16 (:: પક્ષ)
∴ a (1 + r + r²) = 16
અને ar³ + ar⁴ + ar5 = 128
∴ ar³ (1 + r + r²) = 128
(2) અને (1)નો ગુણોત્તર લેતાં,

આમ, આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ \(\frac{16}{7}\) સામાન્ય ગુણોત્તર 2 અને પ્રથમ n પદોનો સરવાળો \(\frac{16}{7}\)(2ⁿ – 1) છે.

પ્રશ્ન 15.
આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે a = 729 અને 7મું પદ 64 હોય, તો S₇ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ સમગુણોત્તર શ્રેણી માટે a = 729 અને 7મું પદ 64 છે.

પ્રશ્ન 16.
જેનાં પ્રથમ બે પદોનો સરવાળો – 4 હોય અને પાંચમું પદ ત્રીજા પદથી ચાર ગણું હોય એવી સમગુણોત્તર શ્રેણી શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.
∴ આ શ્રેણી a, ar, ar², ar³, ar⁴, ………….. છે.
∴ a + ar = – 4 અને a₅ = 4a₃ (∵ પક્ષ)
∴ a (1 + r) = -4 અને ar⁴ = 4 (ar²) …….(1)
∴ a (1 + r) = – 4 અને r² = 4
∴ r = ±2
r = 2 સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
a (1 + 2) = – 4
a = –\(\frac{4}{3}\)

અને r = – 2 સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
a (1 – 2) = – 4
∴ a (− 1) = – 4
∴ a = 4

પ્રશ્ન 17.
જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં ચોથા, દસમા અને સોળમા પદ અનુક્રમે x, y અને z હોય, તો સાબિત કરો કે x, y, z સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a, સામાન્ય ગુણોત્તર ૪ અને nમું પદ an છે.
∴ a_n = a · x^n-1
હવે, પક્ષ અનુસાર, a₄ = x; a₁₀ = y અને a₁₆ = z છે.
∴ a_n = x ⇒ ar³ = x …………..(1)
a₁₀ = y ⇒ ar⁹ = y …………..(2)
a₁₆ = z ⇒ ar¹⁵ = z ……….(3)
હવે, x · z = (ar³) · (ar¹⁵)
∴ xz = a².r¹⁸ = (a)³ . (r⁹)²
∴ xz = (ar⁹)² = y² (∵ (2) પરથી)
∴ y² = xz
∴ x, y, z સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

પ્રશ્ન 18.
8, 88, 888, 8888 … શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 19.
શ્રેણીઓ 2, 4, 8, 16, 32 અને 128, 32, 8, 2, \(\frac{1}{2}\)નાં સંગત પદોના ગુણાકારનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલી શ્રેણીઓનાં સંગત (અનુરૂપ) પદોનો ગુણાકાર કરતાં મળતાં પદો ( 2) (128), (4) (32), (8) (8), (16) (2), (32) (\(\frac{1}{2}\)) અર્થાત્ 256, 128, 64, 32, 16 જે એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. જ્યાં, a = 256; r = \(\frac{128}{256}=\frac{1}{2}\) છે.
∴ r < 1
∴ માગેલ સરવાળો S_n = \(\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}\); જ્યાં, r < 1

પ્રશ્ન 20.
શ્રેણીઓ a, ar, ar², …………. ar^n-1 અને A, AR, AR²,………… AR^n-1નાં સંગત પદોના ગુણાકાર દ્વારા મળતાં પદો સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવે છે તેમ સાબિત કરો અને તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલી શ્રેણીઓનાં સંગત (અનુરૂપ) પદોનો ગુણાકાર કરતાં મળતાં પદો (a) (A), (ar) (AR), (ar²) (AR²), … (ar^n-1) (AR^n-1) અર્થાત્ aA, aArR, aAr²R², aAr^n-1R<supn-1 છે.
જે પણ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે, જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર \(\) = rR છે.
આ શ્રેણીનાં શ્રમિક પદોનો ગુણોત્તર \(\frac{a \mathrm{~A} r \mathrm{R}}{a \mathrm{~A}}, \frac{a \mathrm{Ar}^2 \mathrm{R}^2}{a \mathrm{~A} r \mathrm{R}}\), …………….. , અर्थात rR, rR, rR, …………. છે.
∴ ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર સમાન છે.
∴ શ્રેણી aA, aArR, aAr²R², ……………., aAr^n-1R^n-1 સમગુણોત્ત૨ શ્રેણી છે. જેનો સામાન્ય ગુણોત્તર R છે.

પ્રશ્ન 21.
જેમાં ત્રીજું પદ, પ્રથમ પદથી 9 જેટલું વધારે હોય અને બીજું પદ ચોથા પદથી 18 જેટલું વધારે હોય તેવી સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં 4 પદો a, ar, ar², ar³ છે.
∴ પક્ષ અનુસાર, ar² = a + 9 અને ar = ar³ + 18
∴ ar² – a = 9 અને ar³ – ar = – 18
∴ a (r² – 1) = 9 …………….(1)
અને ar (r² – 1) = – 18
સમીકરણ (1)ની કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,
9r = – 18
r = -2
સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
a(4 − 1) = 9
∴ a = \(\frac{9}{3}\) = 3
∴ a = 3
હવે, a = 3, 7 = – 2 એa, ar, ar², ar³માં મૂકતાં, માગેલાં પદો ૩, ૩ (– 2), 3 (−2)², 3 (− 2)³ અર્થાત્, 3, -6, 12, 24 છે.

પ્રશ્ન 22.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં P, વ્ર, મા પદો અનુક્રમે a, b, c હોય, તો સાબિત કરો કે a_q-r b_r-p c_p-q = 1.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ A, સામાન્ય ગુણોત્તર R અને nમું પદ a_n છે.
∴ પક્ષ અનુસાર, a_p = a, a_q = b અને a_r = C
∴ A. R^p-1 = a ………….(1)
A. R^q-1 = b …………..(2)
A. R^r-1 = c …………..(3)

પ્રશ્ન 23.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ ૰ અને nમું પદ b છે. જો n પદોનો ગુણાકાર P હોય, તો સાબિત કરો કે P² = (ab)ⁿ.
ઉત્તરઃ
અહીં, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a છે,
ધારો કે, તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.
હવે, તેનું nમું પદ b આપેલ છે.
∴ an = b
∴ a. r^n-1 = b
r^n-1 = \(\frac{b}{a}\) ………(1)

હવે, P = a. ar. ar² ……….. ar^n-1
∴ P = aⁿ. r^{1 + 2 + 3 + … + (n − 1)}
∴ P = aⁿ.r^{\(\frac{(n-1) \cdot n}{2}\)} (∵ 1 + 2 + 3 + … + N = \(\frac{N(N+1)}{2}\))
વર્ગ કરતાં,
p² = a²ⁿ. r^(n-1)·n
∴ p² = a²ⁿ. (r^n-1)ⁿ = a²ⁿ. (\(\left(\frac{b}{a}\right)^n\))ⁿ (:: (1) uzel)
∴ p² = a²ⁿ.\(\frac{b^n}{a^n}\) = aⁿ. bⁿ = (ab)ⁿ
∴ p² = (ab)ⁿ

પ્રશ્ન 24.
સાબિત કરો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોના સરવાળાનો (n+1) પદથી (2n)મા પદ સુધીના સરવાળા સાથેનો ગુણોત્તર \(\frac{1}{r^n}\) થાય.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ = a અને સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.

∴ માગેલ પરિણામ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 25.
જો , b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો બતાવો કે (a² + b² + c²)(b² + c² + d²) = (ab + bc + cd)².
ઉત્તરઃ
અહીં, a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
∴ \(\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}\) = r ધારો; જ્યાં, r = સામાન્ય ગુણોત્તર
∴ b = ar, c = br, d = cr
∴ b = ar, c = (ar).r અને d = (ar²)r
= ar³
આમ, b = ar, c = ar² અને d = ar³ …………..(1)
હવે,
ડા.બા. = (a² + b² + c²) (b² + c² + d²)
= (a² + a²r² + a²r⁴) (a²r² + a²r⁴ + a²r⁶)
= a² (1 + r² + r⁴) . a²r² (1 + r² + r⁴)
= a⁴r² . (1 + r² + r⁴)²
હવે,
જ.બા. =(ab + bc + cd)²
= (a · ar + ar · ar² + ar² · ar³)² (:: (1) પરથી)
= (a²r + a²r³ + a²r⁵)²
= a⁴r² (1 + r² + r⁴)²
∴ ડા.બા. = જ.બા.

પ્રશ્ન 26.
8 અને 81 વચ્ચે બે સંખ્યાઓ ઉમેરો કે જેથી બનતી શ્રેણી સમગુણોત્તર હોય.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, 3 અને 81ની વચ્ચે આવેલી બે સંખ્યાઓ G₁, G₂ છે કે જેથી 3, G₁, G₂, 81 એ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે, આ શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.
∴ a = 3, ar = G₁, ar² = G₂, અને ar³ = 81
a = 3 અને ar³ = 81
3r³ = 81
r³ = \(\frac{81}{3}\) = 27
r³ = 3³
r = 3
∴ G₁ = ar = (3) (3)=9
∴ G₂ = ar³ = (3) (3²) = (3) (9) = 27
∴ 3 અને 81ની વચ્ચે માગેલી સંખ્યાઓ 9 અને 27 છે.

પ્રશ્ન 27.
જો a અને bનો સમગુણોત્તર મધ્યક \(\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}\) હોય, તो nનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, a અને bનો સમગુણોત્તર મધ્યક \(\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}\) છે.

પ્રશ્ન 28.
બે સંખ્યાઓનો સરવાળો તેમના સમગુણોત્તર મધ્યક કરતાં છ ગણો હોય, તો બતાવો કે સંખ્યાઓનો ગુણોત્તર (3 + 2√2): (3 – 2√2).
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે સંખ્યાઓ x અને y છે.
તેમનો સમગુણોત્તર મધ્યક \(\sqrt{xy}\) થશે.
હવે, પક્ષ અનુસાર x + y = 6 \(\sqrt{xy}\)

∴ સંખ્યાઓ x અને પુનો ગુણોત્તર
(3 + 2√2): (3 – 2√2).

પ્રશ્ન 29.
બે ધન સંખ્યાઓના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યકો અનુક્રમે A અને G હોય, તો સાબિત કરો કે તે સંખ્યાઓ A ± \(\sqrt{(A+G)(A-G)}\).
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે ધન સંખ્યાઓ x અને પુ છે. તેમના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યકો અનુક્રમે A અને G છે.

પ્રશ્ન 30.
બૅક્ટેરિયાના ઉછેરમાં તેની સંખ્યા દર કલાકે બમણી થાય છે. જો શરૂઆતમાં બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા 30 હોય, તો 2 કલાક, 4 કલાક અને nમા કલાકે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, શરૂઆતમાં બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા 30 છે અને તે દર કલાકે બમણી થાય છે. તેથી દર કલાકનાં અંતે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા સમગુણોત્તર શ્રેણી બનાવશે; જ્યાં, a = 30 અને r = 2.
∴ બીજા કલાકનાં અંતે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા,
a₃ = a · r² = 30 (2)² = 120
ચોથા કલાકનાં અંતે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા,
a₅ = a.r⁴ = 30 (2)⁴ = 480
nમા કલાકના અંતે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા,
a_n+1 = a · rⁿ = 30 . 2ⁿ
આમ, બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા બીજા કલાકના અંતે 120; ચોથા કલાકના અંતે 480 અને nમા કલાકના અંતે 30 – 2ⁿ હશે.

પ્રશ્ન 31.
બૅન્કમાં ₹ 500, 10%ના વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજે મૂકીએ, તો 10 વર્ષને અંતે કેટલી રકમ મળે?
ઉત્તરઃ
અહીં, પ્રારંભિક રકમ = 500 ₹
વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજનો દર = 10%
ક્રમિક વર્ષોના અંતે મળતી ૨કમ

પ્રશ્ન 32.
જો દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજોના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યક અનુક્રમે 8 અને 5 હોય, તો તે દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ α અને B છે.
∴ તે દ્વિઘાત સમીકરણ x² – (α + β) x + αβ = 0 ……………(1)
અહીં, અને ના સમાંતર મધ્યક અને સમગુણોત્ત૨ મધ્યક અનુક્રમે 8 અને 5 છે.
∴ \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha}\) = 8 અને \(\sqrt{\alpha \beta}\) = 5
∴ α + β = 16 અને αβ = 25
જે સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ x² – 16x + 25 = 0 છે.