GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Ex 13.3

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Ex 13.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Ex 13.3

પ્રશ્ન 1.
x² − 2નું x = 10 આગળનું વિકલિત મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, f(x) = x² – 2
આથી f'(x) = \(\frac{d}{d x}\)(x² – 2)
= \(\frac{d}{d x}\)(x²) – \(\frac{d}{d x}\)(2)
= 2x – 0 = 2x
∴ f'(10) = 2 (10) = 20
આમ, x² − 2નું x = 10 આગળનું વિકલિત 20 છે.

પ્રશ્ન 2.
99xનું x = 100 આગળનું વિકલિત મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, f(x) = 99x
આથી f'(x) = \(\frac{d}{d x}\)(99x)
= 99\(\frac{d}{d x}\)(x)
= 99 × 1 = 99
∴ f'(x) = 99
∴ f'(100) = 99
આમ, 99xનું x = 100 આગળનું વિકલિત 99 છે.

પ્રશ્ન 3.
xનું x = 1 આગળનું વિકલિત મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, f(x) = x
આથી f'(x) = \(\frac{d}{d x}\) (x) = 1
∴ f'(x) = 1
∴ f'(1) = 1
આમ, xનું x = 1 આગળનું વિકલિત 1 છે.

પ્રશ્ન 4.
નીચેનાં વિધેયોનાં વિકલિત પ્રથમ સિદ્ધાંતથી શોધો :
(1) x³ – 27
ઉત્તરઃ
ધારો કે, f(x) = x³ – 27
આથી f(x + h) = (x + h)³ − 27
= x³ + 3x²h + 3xh² + h³ – 27

(2) (x – 1) (x – 2)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, f(x) = (x − 1) (x − 2) = x² – 3x + 2
આથી f(x + h) = (x + h)² − 3(x + h) + 2
= x² + 2xh + h² – 3x – 3h + 2
∴ f'(x)

(3) \(\frac{1}{x^2}\)
ઉત્તરઃ

(4) \(\frac{x+1}{x-1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
વિધેય f (x) = \(\frac{x^{100}}{100}+\frac{x^{99}}{99}+\ldots+\frac{x^2}{2}\) + x + 1 માટે સાબિત કરો કે f'(1) = 100 f'(0)
ઉત્તરઃ

f'(1) = 1 + 1 + ……….. 100 વખત = 100 …………..(1)
અને f'(0)= 0 + 0 +… + 0 + 1 = 1 ……………(2)
(1) અને (2), પરથી,
f'(1) = 100 × 1 = 100f'(0)

પ્રશ્ન 6.
કોઈક નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યા a માટે xⁿ + ax^{n -1} + a²x^n-2 + ….. + a^n-1x + aⁿનું વિકલિત શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે,

આમ, આપેલ બહુપદીનું વિકલિત
nx^n-1 + a (n − 1)x^n-2 + aⁿ(n-2) x^n-3 + … + a^n-1

પ્રશ્ન 7.
કોઈક અચળ a અને b માટે વિકલિત શોધો :
(1) (x – a) (x – b)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, f(x) = (x − a) (x – b)
= x² – (a + b)x + ab

∴ f'(x) = \(\frac{d}{d x}\)[x² – (a + b) x + ab]
= \(\frac{d}{d x}\) (x²) – (a + b) \(\frac{d}{d x}\) (x) + \(\frac{d}{d x}\) (ab)
= 2x – (a + b) × 1 + 0
= 2x – (a + b)
= 2x – a – b

(2) (ax² + b)²
ઉત્તરઃ
ધારો કે, f(x) = (ax² + b)² = a²x⁴ + 2abx² + b²
∴ f'(x) = \(\frac{d}{d x}\) (a²x² + 2abx² + b²)
= a² \(\frac{d}{d x}\) (x⁴) + 2ab \(\frac{d}{d x}\) (x²) + \(\frac{d}{d x}\) (b²)
= a² × 4x³ + 2ab × 2x + 0
= 4a²x³ + 4abx = 4ax (ax² + b)

(3) \(\frac{x-a}{x-b}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
કોઈક અચળ a માટે \(\frac{x^n-a^n}{x-a}\)નું વિકલિત શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
વિકલિત શોધો :
(1) 2x – \(\frac{3}{4}\)
ઉત્તરઃ

(2) (5x³ + 3x – 1) (x – 1)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, f(x) = (5x³ + 3x − 1) (x − 1)
∴ f'(x) = \(\frac{d}{d x}\)[(5x³ + 3x − 1) (x − 1)]
= (5x³ + 3x – 1)\(\frac{d}{d x}\) (x – 1) + (x − 1) \(\frac{d}{d x}\) (5x³ + 3x − 1)
= (5x³ + 3x − 1) (1 − 0) + (x − 1) (5 × 3x² + 3 × 1 – 0)
= (5x³ + 3x − 1) + (x − 1) (15x² + 3)
= 5x³ + 3x − 1 + 15x³ + 3x− 15x² – 3
= 20x³ – 15x² + 6x – 4

બીજી રીતઃ
ધારો કે, f (x) = (5x³ + 3x − 1) (x − 1)
= 5x⁴ + 3x² – x – 5x³ – 3x + 1
= 5x⁴ – 5x³ + 3x² – 4x + 1

(3) x^-3 (5 + 3x)
ઉત્તરઃ
ધારો કે f (x) = x^-3 (5 + 3x) = 5x^-3 + 3x^-2
f'(x) = \(\frac{d}{d x}\)(5x^-3 + 3x^-2)
= 5\(\frac{d}{d x}\)(x^-3) + 3\(\frac{d}{d x}\)(x^-2)
= 5 × (− 3x^-1) + 3 (− 2x^-3)
= \(\frac{-15}{x^4}-\frac{6}{x^3}=-\frac{3}{x^4}\) (5 + 2x)

(4) x⁵ (3 – 6x^-9)
ઉત્તરઃ
ધારો કે f (x) = x⁵ (3 – 6x^-9) = 3x⁵ – 6x^-4
∴ f'(x) = \(\frac{d}{d x}\)(3x⁵ – 6x^-4)
= 3\(\frac{d}{d x}\)(x⁵) – 6 \(\frac{d}{d x}\) (x^-4)
= 3 × 5x⁴ − 6 (−4x^-5)
= 15x⁴ + \(\frac{24}{x^5}\)

(5) x^-4(3 – 4x^-5)
ઉત્તરઃ

(6) \(\frac{2}{x+1}-\frac{x^2}{3 x-1}\)
ઉત્તરઃ