GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Ex 14.5

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Ex 14.5 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Ex 14.5

પ્રશ્ન 1.
નીચેનું વિધાન સત્ય છે તેમ
(1) પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ,
(2) અનિષ્ટાપત્તિની રીત અને
(3) સમાનાર્થી પ્રેરણની રીતથી બતાવો :
P : જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે x³ + 4x = 0, તો x = 0.
ઉત્તરઃ
આપેલું વિધાન
p: જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા ૪ માટે x³ + 4x = 0, તો x = 0.
(1) પ્રત્યક્ષ પદ્ધતિ :
અહીં, x³ + 4x = 0, x ∈ R
∴ x (x² + 4) = 0, x ∈ R
∴ x = 0 અથવા x² + 4 = 0
પરંતુ x ∈ R માટે x + 4 ≥ 0 : x² + 4 ≠ 0
∴ x = 0
આથી જો x³ + 4x = 0, x ∈ R તો x = 0.
આમ, આપેલું વિધાન સત્ય છે.

(2) અનિષ્ટાપત્તિની રીત :
ધારો કે, વિધાન p સત્ય નથી.
એટલે કે x³ + 4x = 0, x ∈ R પરંતુ x = 0
હવે, x ∈ R, x ≠ 0 માટે x² > 0
x² + 4 > 4
∴ x² + 4 ≠ 0
∴ x (x² + 4) ≠ 0 (x ≠ 0, x² + 4 ≠ 0)
∴ x³ + 4x ≠ 0
જે આપણી ધારણાથી વિપરીત છે.
આથી આપણી ધારણા વિધાન p અસત્ય છે એ મિથ્યા છે. આમ, વિધાનp સત્ય છે.

(3) સમાનાર્થી પ્રેરણની રીતઃ
ધારો કે, q: x એ વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે
x³ + 4x = 0
r: x = 0
આથી આપેલું વિધાન p એ q ⇒ r છે.
તેનું સમાનાર્થી પ્રેરણ ~r ⇒ ~q છે.
એટલે કે જો x એ શૂન્યેતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો
x³ + 4x ≠ 0.
હવે, x ≠ 0, x ∈ R
⇒ x² > 0
⇒ x² + 4 > 4
⇒ x² + 4 ≠ 0
⇒ x (x² + 4) ≠ 0
⇒ x³ + 4x ≠ 0
એટલે કે, ~r ⇒ ~ q સત્ય છે.
∴ q ⇒ r સત્ય છે.
આમ, વિધાન p સત્ય છે.

પ્રશ્ન 2.
પ્રતિઉદાહરણની રીતે બતાવો કે નીચેનું વિધાન અસત્ય છેઃ
કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b માટે a² = b² સૂચિત કરે છે કે a = b.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, a = 2 અને b = − 2. અહીં, a અને b વાસ્તવિક
સંખ્યાઓ છે તથા a² = b² = 4. પરંતુ a ≠ b.
∴ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ a અને b માટે a² = b² હોય, તો a = b હોય તેમ સૂચિત થતું નથી.
આમ, આપેલું વિધાન અસત્ય છે.

પ્રશ્ન 3.
સમાનાર્થી પ્રેરણની રીતથી નીચેનું વિધાન સત્ય છે તેમ સાબિત કરોઃ
p: જો x પૂર્ણાંક હોય તથા ૪ યુગ્મ હોય, તો x પણ યુગ્મ છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, p : જો x પૂર્ણાંક હોય તથા x યુગ્મ હોય, તો x પણ યુગ્મ છે.
ધારો કે, q : x પૂર્ણાંક છે અને x² યુગ્મ છે.
r : x યુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
આથી આપેલું વિધાન p એ q ⇒ r થશે.
તેનું સમાનાર્થી પ્રેરણ ~r ⇒ ~q છે.
એટલે કે જો x એ યુગ્મ પૂર્ણાંક ન હોય, તો x² એ યુગ્મ નથી.
હવે, x એ યુગ્મ પૂર્ણાંક નથી.
⇒ x એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
⇒ x = 2m + 1; જ્યાં, m કોઈક પૂર્ણાંક છે.
⇒ x² = (2m + 1)² = 4m² + 4m + 1
⇒ x² = 2 (2m² + 2m) + 1; જ્યાં, 2m² + 2m એ પૂર્ણાંક છે.
⇒ x² એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.
⇒ x² એ યુગ્મ પૂર્ણાંક નથી.
∴ ~r ⇒ ~q સત્ય છે.
∴ q ⇒ r સત્ય છે.
આમ, વિધાનp સત્ય છે.

પ્રશ્ન 4.
પ્રતિઉદાહરણની રીતથી બતાવો કે નીચેનાં વિધાન અસત્ય છેઃ :
(1) p : જો ત્રિકોણના બધા જ ખૂણાનાં માપ સમાન હોય, તો તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.
(2) q : સમીકરણ x² – 1 = 0ને 0 અને 2ની વચ્ચે કોઈ બીજ નથી.
ઉત્તરઃ
અહીં,p: જો ત્રિકોણનાં બધા જ ખૂણાનાં માપ સમાન હોય, તો તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.
(1) ΔABCમાં A = 60°, B = 60° અને C = 60° લેતાં
ΔABCનાં બધા જ ખૂણાનાં માપ સમાન છે, પરંતુ તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ નથી.
આમ, આપેલું વિધાન p અસત્ય છે.

બીજી રીત :
ધારો કે, ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે. આથી ત્રિકોણનાં એક ખૂણાનું માપ 90° કરતાં વધારે છે. હવે ત્રિકોણનાં બધા જ ખૂણાનાં માપ સમાન હોવાથી તેનાં ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 270° કરતાં વધુ થશે. જે સત્ય નથી, કારણ કે ત્રિકોણનાં ત્રણેય ખૂણાઓનાં માપનો સરવાળો 180° છે. આમ, આપેલું વિધાન p અસત્ય છે.

(2) અહીં, વૂ : સમીકરણ x² – 1 = 0ને 0 અને 2ની વચ્ચે કોઈ બીજ નથી.
જોઈ શકાય છે કે x = 1 કે જે 0 અને 2ની વચ્ચે છે. તે x² – 1 = 0નું સમાધાન કરે છે.
∴ x = 1 એ સમીકરણ x² – 1 = 0નું એક બીજ છે, જે 0 અને 2ની વચ્ચે આવેલું છે.
આમ, આપેલું વિધાન q અસત્ય છે.

પ્રશ્ન 5.
નીચેનાં પૈકી ક્યા વિધાન સત્ય છે અને કયા અસત્ય છે? દરેકના જવાબ માટે યોગ્ય કારણ આપો ઃ
(1) p : વર્તુળની દરેક ત્રિજ્યા એ વર્તુળની જીવા છે.
(2) q : વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વર્તુળની દરેક જીવાને દુભાગે છે.
(૩) r : વર્તુળ એ ઉપવલયનું એક ખાસ ઉદાહરણ છે.
( 4 ) s : જો × અને પુ પૂર્ણાંકો હોય તથા x > y તો -x < – y. (5) t: \(\sqrt{11}\) એ સંમેય સંખ્યા છે. ઉત્તરઃ (1) અસત્ય, કારણ કે વર્તુળની જીવાનાં બંને અંત્યબિંદુઓ વર્તુળ ૫૨ હોય જ્યારે ત્રિજ્યાનું એક જ અંત્યબિંદુ વર્તુળ પર હોય છે. (2) અસત્ય, કારણ કે વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વર્તુળનાં વ્યાસને દુભાગે છે. પરંતુ વ્યાસ સિવાયની વર્તુળની જીવાને વર્તુળનું કેન્દ્ર દુભાગે નહિ. (3) સત્ય, કારણ કે ઉપવલયનાં સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1માં a = b લેતાં હવે સમીકરણ x + y2 = a2 બનશે, જે વર્તુળનું સમીકરણ છે. આમ, વર્તુળ એ ઉપવલયનું એક ખાસ ઉદાહરણ છે. (4) સત્ય, કારણ કે, x > y ⇒ x – y > 0
⇒ -y – (-x) > 0
⇒ -y > -x
⇒ -x < -y
(5) અસત્ય, કારણ કે 11 અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી \(\sqrt{11}\) અસંમેય સંખ્યા છે.