Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Ex 7.3 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Ex 7.3
પ્રશ્ન 1.
1થી 9 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 3 અંકોની કેટલી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય? (અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય)
ઉત્તરઃ
અહીં, 9 ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને 3 ભિન્ન અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. હવે, 9 અંકોમાંથી 3 અંકો એકસાથે લેવાથી મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા = 9P3
∴ માગેલ સંખ્યાઓ = 9P3
= \(\frac{9 !}{6 !}\)
= \(\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 !}\)
= 504
પ્રશ્ન 2.
અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય 4 અંકોની કેટલી સંખ્યાઓ થશે?
ઉત્તરઃ
અહીં, અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય 4 અંકોની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
∴ હજારના અંકનું સ્થાન 1થી 9 અંકો વડે 9 રીતે ભરી શકાય. (કારણ કે હજારના સ્થાને 0 લેતાં સંખ્યા ચાર અંકની ન રહે.)
હવે, બાકી રહેલા આઠ અંકો અને 0 એમ કુલ 9 અંકોમાંથી બાકીના ત્રણ અંકોની ગોઠવણી P‚ રીતે કરી શકાય.
∴ માગેલ સંખ્યાઓ = 9 × 9P3
= 9 × \(\frac{9 !}{6 !}\)
= 9 × \(\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 !}\)
= 4536
પ્રશ્ન 3.
1, 2, 3, 4, 6, 7 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 8 અંકોની કેટલી યુગ્મ સંખ્યાઓ બને? (અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય)
ઉત્તરઃ
અહીં, 1, 2, 3, 4, 6, 7 અંકોનો ઉપયોગ કરીને અંકોનાં પુનરાવર્તન સિવાય 3 અંકોની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. સંખ્યા
યુગ્મ થવા એકમનું સ્થાન 2, 4, 6 વડે ત્રણ રીતે ભરી શકાય. ત્યારબાદ બાકી રહેલા 5 અંકો વડે દશક અને શતકના અંકોની ગોઠવણીના પ્રકાર 5P2 થાય.
∴ માગેલ યુગ્મ સંખ્યાઓ = 3 × 5P2
= 3 × \(\frac{5 !}{3 !}\)
= 3 × 5 × 4 × 3 ! = 60
પ્રશ્ન 4.
1, 2, 3, 4, 5 અંકોનો ઉપયોગ કરીને 4 અંકોની કેટલી સંખ્યાઓ બને? આમાંથી કેટલી સંખ્યાઓ યુગ્મ હોય? (અંકોના પુનરાવર્તન સિવાય)
ઉત્તરઃ
અહીં, 1, 2, 3, 4, 5 એમ 5 ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને 4 ભિન્ન અંકોની સંખ્યાઓ બનાવવાની છે. તેના પ્રકાર
= 5P4 = \(\frac{5 !}{1 !}\) = 120
હવે, સંખ્યા યુગ્મ થવા માટે એકમનું સ્થાન 2, 4 વડે 2 રીતે ભરી શકાય. ત્યારબાદ બાકી રહેલા 4 અંકો વડે અન્ય 3 અંકોનાં સ્થાન 4P3‚ રીતે ભરી શકાય.
∴ માગેલ યુગ્મ સંખ્યાઓ = 2 × 4P3
= 2 × \(\frac{4 !}{1 !}\)
= 2 × 4 × 3 × 2 × 1 = 48
પ્રશ્ન 5.
8 વ્યક્તિઓની એક સમિતિમાંથી અધ્યક્ષ અને ઉપાધ્યક્ષ કેટલા પ્રકારે પસંદ કરી શકાય? આપણે ધારી લઈશું કે કોઈ પણ વ્યક્તિ એક કરતાં વધુ પદ ન સંભાળતી હોય.
ઉત્તરઃ
અહીં, કોઈ પણ વ્યક્તિ એક કરતાં વધુ પદ ન સંભાળી શકે તેમ આપેલ છે. તે અનુસાર 8 વ્યક્તિઓની સમિતિમાંથી અધ્યક્ષ અને ઉપાધ્યક્ષ એટલે કે બે વ્યક્તિઓની ગોઠવણી કરવાની છે. તેના પ્રકાર
= 8P2
= \(\frac{8 !}{6 !}\)
= \(\frac{8 \times 7 \times 6 !}{6 !}\) = 56
પ્રશ્ન 6.
જો n-1P3 : nP4 = 1 : 9, તો n શોધો.
ઉત્તરઃ
n-1P3 : nP4 = 1 : 9
પ્રશ્ન 7.
જો (1) 5P3 = 2·6Pr-1
(2) 5Pr = 6Pr-1 , તો r શોધો.
ઉત્તરઃ
(1) 5P3 = 2·6Pr-1
∴ (7− r) (6 − r) = 12
∴ 42 – 13 r + r2 = 12
∴ 2 – 13 r + 30 = 0
∴ (r – 10) (r – 3)= 0
∴ r = 10 અથવા r = 3
પરંતુ r = 10 લેતાં 5P10 અને 6P9, અર્થહીન થાય.
∴ r ≠ 10
∴ r = 3
નોંધ : નીચે પ્રમાણે પણ ૪ મેળવી શકાય :
(7 − r) (6 − r) = 12 = 4 × 3
∴ (7 – r) (6 – r) = (7 – 3) (6 – 3)
∴ r = 3
(2) 5Pr = 6Pr-1
∴ (7 − r) (6 − r) = 6
∴42 – 13r + r2 = 6
∴ r2 – 13 r + 36 = 0
∴ (r − 9) (r – 4) = 0
∴ r = 9 અથવા r = 4
પરંતુ r = 9 લેતાં 5P9, અને 6P8, અર્થહીન થાય.
∴ r ≠ 9
∴ r = 4
નોંધ : નીચે પ્રમાણે પણ ૪ મેળવી શકાય :
(7 – r) (6 – r) = 6 = 3 × 2
∴ (7 − r) (6 − r) = (7 − 4) (6 −4)
∴ r = 4
પ્રશ્ન 8.
EQUATION શબ્દના દરેક મૂળાક્ષરોનો ફક્ત એક વખત ઉપયોગ કરી અર્થસભર કે અર્થ રહિત કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?
ઉત્તરઃ
અહીં, E, Q, U, A, T, I, O, N એ 8 ભિન્ન મૂળાક્ષરો વડે દરેક મૂળાક્ષરનો ફક્ત એક વખત ઉપયોગ કરી શબ્દો બનાવવાના છે.
હવે, 8 ભિન્ન મૂળાક્ષરોમાંથી બધા જ 8 મૂળાક્ષરો એકસાથે લેવાથી મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા
= 8P8
= 8!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 40320
પ્રશ્ન 9.
MONDAY શબ્દના મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરી પુનરાવર્તન સિવાય અર્થસભર કે અર્થ રહિત કેટલા શબ્દો નીચેના વિકલ્પો અનુસાર બનાવી શકાય?
(1) કોઈ પણ 4 મૂળાક્ષરો એકસાથે લેતાં
(2) બધા જ મૂળાક્ષરો એકસાથે લેતાં
(3) પ્રથમ મૂળાક્ષર સ્વર હોય તે રીતે બધા જ મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરતાં
ઉત્તરઃ
અહીં, M, O, N, D, A, Y એ 6 ભિન્ન મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરી, પુનરાવર્તન સિવાય આપેલા વિકલ્પો અનુસાર શબ્દો બનાવવાના છે.
(1) કોઈ પણ 4 મૂળાક્ષરો એકસાથે લેતાંઃ
અહીં, 6 મૂળાક્ષરોમાંથી 4 મૂળાક્ષરો એકસાથે લેતાં મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા = 6P4
= \(\frac{6 !}{2 !}\)
= \(\frac{6 !}{2 !}\) = 360
આમ, માગેલા શબ્દોની સંખ્યા = 360
(2) બધા જ મૂળાક્ષરો એકસાથે લેતાં :
અહીં, 6 મૂળાક્ષરોમાંથી બધા જ મૂળાક્ષરો એકસાથે લેવાથી મળતા ક્રમચયોની સંખ્યા
= 6P6
= 6!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
આમ, માગેલા શબ્દોની સંખ્યા = 720
(3) પ્રથમ મૂળાક્ષર સ્વર હોય તે રીતે બધા જ મૂળાક્ષરોનો
ઉપયોગ કરતાં :
અહીં, M, O, N, D, A, Y એ 6 મૂળાક્ષરોમાં ૦ અને A એ 2 મૂળાક્ષરો સ્વર છે. આમ, પ્રથમ મૂળાક્ષરની ગોઠવણી 2 રીતે થાય, ત્યારબાદ બાકી રહેલા 5 મૂળાક્ષરોની ગોઠવણી P. રીતે થાય.
આથી મળતા પ્રકાર = 2 × 5P5
= 2 × 5 !
= 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 240
આમ, માગેલા શબ્દોની સંખ્યા = 240
પ્રશ્ન 10.
MISSISSIPPI શબ્દના કેટલા ભિન્ન ક્રમચયોમાં ચાર 1 સાથે ન આવે?
ઉત્તરઃ
અહીં, MISSISSIPPI શબ્દમાં કુલ 11 મૂળાક્ષરો છે. જેમાં I 4 વખત, S 4 વખત, P 2 વખત આવે છે અને બાકીના મૂળાક્ષર ભિન્ન છે.
અહીં, બધા જ 11 મૂળાક્ષરોની ગોઠવણીના પ્રકારોની સંખ્યા
= \(\frac{11 !}{4 ! 4 ! 2 !}\)
= \(\frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1}\)
= 34,650
હવે, બધા જ 4 1 સાથે હોય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા શોધીએ. તે માટે બધા જ 4 1 એક જ વસ્તુ છે તેમ ધારીએ. આ એક વસ્તુ તથા બાકી રહેતા 7 બીજા અક્ષરો(વસ્તુઓ)ને 8 વસ્તુઓ છે એમ ગણીએ. જેમાં S 4 વખત P 2 વખત આવે છે અને બાકીની વસ્તુઓ ભિન્ન છે.
આથી બધા જ I સાથે હોય તેવા પ્રકારોની સંખ્યા
= \(\frac{8 !}{4 ! 2 !}\)
= \(\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 2 \times 1}\) = 840
આમ, ચા૨ I સાથે ન આવે તેવા ક્રમચયોની સંખ્યા
= 34,650 – 840
= 33,810
પ્રશ્ન 11.
PERMUTATIONS શબ્દના મૂળાક્ષરોની ગોઠવણી કેટલા પ્રકારે નીચેના વિકલ્પોમાં કરી શકાય?
(1) શબ્દો Pથી શરૂ થાય અને Sમાં અંત પામે.
(2) બધા સ્વરો સાથે હોય.
(3) P અને Sની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય.
ઉત્તરઃ
PERMUTATIONS શબ્દમાં કુલ 12 મૂળાક્ષરો છે. જેમાં T 2 વખત આવે છે અને બાકીના મૂળાક્ષર ભિન્ન છે. હવે, નીચે આપેલા વિકલ્પો અનુસાર શબ્દો બનાવવાના છે
(1) શબ્દો Pથી શરૂ થાય અને Sમાં અંત પામે ઃ
અહીં પ્રથમ સ્થાને અક્ષર P અને છેલ્લા સ્થાને એટલે કે 12મા સ્થાને અક્ષર S સ્થિત (fix) કરી દઈએ અને બાકીના 10 અક્ષરોની ગોઠવણી વચ્ચેનાં 10 સ્થાનમાં કરીએ. અક્ષરો E, R, M, U, T, A, T, I, O, N છે. જેમાં T 2 વખત અને અન્ય મૂળાક્ષરો ભિન્ન છે. આ 10 અક્ષરોને વચ્ચેનાં 10 સ્થાનમાં ગોઠવવાના પ્રકારોની
સંખ્યા = \(\frac{10 !}{2 !}\)
= \(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{2 !}\)
= 18,14,400
આમ, માગેલા શબ્દોની સંખ્યા 18,14,400 છે.
(2) બધા સ્વરો સાથે હોય :
અહીં, E, U, A, I, O એ 5 સ્વરો છે. જેમને અંદરોઅંદર 5P3 = 5! રીતે ગોઠવી શકાય. હવે, આ 5 સ્વરોનું જૂથ એક જ વસ્તુ છે તેમ ધારીએ અને બાકીના 7 અક્ષરો (વસ્તુઓ) એમ કુલ 8 વસ્તુઓ છે એમ ગણીએ. જેમાં T 2 વખત અને બાકીની વસ્તુઓ ભિન્ન છે.
આથી બધા જ સ્વરો સાથે હોય તેના પ્રકારો
= \(\frac{8 !}{2 !}\) થાય.
આથી બધા જ સ્વરો સાથે હોય તેવી ગોઠવણીના પ્રકારો
= \(\frac{8 !}{2 !}\) x 5!
= \(\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{2 !}\) × 5 x 4 × 3 × 2 × 1
= 20,160 × 120
= 24,19,200
(3) P અને S ની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોયઃ
અહીં, P અને Sની ગોઠવણી માટેનાં સ્થાન 7 પ્રકારે નક્કી થાય. પહેલું અને છઠ્ઠું, બીજું અને સાતમું, ત્રીજું અને આઠમું, ચોથું અને નવમું, પાંચમું અને દસમું, છઠ્ઠું અને અગિયારમું, સાતમું અને બારમું.
વળી, P અને Sની અદલાબદલી 2 રીતે થાય.
આમ, P અને Sની ગોઠવણીના પ્રકાર = 2 × 7 = 14
હવે, બાકી રહેલા 10 અક્ષરો જેમાં T બે વખત છે અને અન્ય અક્ષરો ભિન્ન છે. તેમની બાકી રહેલાં 10 સ્થાનોમાં ગોઠવણીના પ્રકાર = \(\frac{10 !}{2 !}\)
આમ, P અને Sની વચ્ચે હંમેશાં 4 મૂળાક્ષરો હોય તેના પ્રકાર
= 14 × \(\frac{10 !}{2 !}\)
= \(\frac{14 \times 10 \times 9 \times 8 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{2 !}\)
= 2,54,01,600