GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Ex 13.1

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Ex 13.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Ex 13.1

નીચેના લક્ષની ગણતરી કરોઃ (ક્રમાંક 1થી 22)

પ્રશ્ન 1.
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) x + 3
ઉત્તરઃ
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) x + 3 = 3 + 3 = 6

પ્રશ્ન 2.
\(\lim _{x \rightarrow \pi}\) (x – \(\frac{22}{7}\))
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 3.
\(\lim _{r \rightarrow 1}\) πr²
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
\(\lim _{x \rightarrow 4} \frac{4 x+3}{x-2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
\(\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{10}+x^5+1}{x-1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 6.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)^5-1}{x}\)
ઉત્તરઃ

= 0 + 5 × 0 + 10 × 0 + 10 × 0 + 5
= 5

બીજી રીત :
x + 1 = y અને x = y – 1 લેતાં,
x → 0 તો y → 1

પ્રશ્ન 7.
\(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^2-x-10}{x^2-4}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
\(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^4-81}{2 x^2-5 x-3}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x+b}{c x+1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
\(\lim _{z \rightarrow 1} \frac{z^{\frac{1}{3}}-1}{z^{\frac{1}{6}}-1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
\(\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^2+b x+c}{c x^2+b x+a}\); a + b + c ≠ 0
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
\(\lim _{x \rightarrow-2} \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{2}}{x+2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{b x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{\sin b x}\); a, b ≠ 0
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
\(\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{\sin (\pi-x)}{\pi(\pi-x)}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 16.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{\pi-x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 17.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-1}{\cos x-1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x+x \cos x}{b \sin x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 19.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) x sec x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 20.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x+b x}{a x+\sin b x}\); a, b, a + b ≠ 0
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 21.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\)(cosec x – cot x)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 22.
\(\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tan 2 x}{x-\frac{\pi}{2}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 23.
જો

તો \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) અને \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 24.
જો

તો \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 25.
જો

ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 26.
જો

તો \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 27.
જો
f(x) = |x| – 5 તો \(\lim _{x \rightarrow 5}\) f(x) શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 28.
ધારો કે,

અને જો \(\lim _{x \rightarrow 1}\)f (x) = f (1), તો a અને b ની શક્ય કિંમતો કઈ છે?
ઉત્તરઃ

∴ a + b = b – a = 4
∴ a + b = 4 અને b – a = 4
સરવાળો લેતાં,
2b = 8 ∴ b = 4
b = 4 a + b = 4માં મૂકતાં,
a + 4 = 4. ∴ a = 0
આમ, a = 0 અને b = 4

પ્રશ્ન 29.
ધારો કે, a₁, a₂, ………. , a_n એ નિશ્ચિત વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને f(x) = (x – a₁)(x − a₂) ……. (x -a_n) વ્યાખ્યાયિત કરો, તો \(\lim _{x \rightarrow a_1}\) f(x) શું થાય? કોઈક a ≠ a₁, a₂, ………. , a_n હોય, તો \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) ગણો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 30.
જો

a ની કંઈ કિંમત (કે કિંમતો) માટે \(\lim _{x \rightarrow a}\) નું અસ્તિત્વ છે ?
ઉત્તરઃ
વિકલ્પ 1:

આમ, પ્રત્યેક a ∈ R; માટે \(\lim _{x \rightarrow a}\)f(x)નું અસ્તિત્વ છે.

પ્રશ્ન 31.
જો વિધેય f(x) \(\frac{f(x)-2}{x^2-1}\) = ને સંતોષે, તો \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 32.
જો

તો ક્રયા પૂર્ણાંકો m અને n માટે \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) અને \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) એ બંને લક્ષનાં અસ્તિત્વ હોય?
ઉત્તરઃ

જરૂરી છે. કોઈ પણ પૂર્ણાંક m અને n \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) નાં અસ્તિત્વ છે.