GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 14 ગાણિતિક તર્ક Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
નીચેના વિધાનના નિષેધ લખો :
(1) p : પ્રત્યેક ધન વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે સંખ્યા x − 1 પણ ધન થશે.
(2) q : બધી બિલાડીઓ ચટાપટાવાળી છે.
(3) r : પ્રત્યેક વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે x > 1 અથવા x < 1.
(4) s : 0 < x < 1 થાય તેવી એક સંખ્યા x અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
ઉત્તરઃ
આપેલાં વિધાનોના નિષેધ નીચે પ્રમાણે છે :
(1) ~p: x – 1 ધન સંખ્યા ન હોય તેવી કોઈક વાસ્તવિક ધન સંખ્યા x અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
(2) ~ q : ચટાપટાવાળી ન હોય તેવી બિલાડી અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
(3) ~r : x > 1 કે x < 1 ન હોય તેવી વાસ્તવિક સંખ્યા x અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
(4) ~s : 0 < x < 1 હોય તેવી કોઈ સંખ્યા x અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

પ્રશ્ન 2.
નીચેના દરેક વિધાનના પ્રતીપ તથા સમાનાર્થી પ્રેરણ દર્શાવોઃ
(1) p : જો ધન પૂર્ણાંકને 1 અને તે સંખ્યા સિવાય બીજા કોઈ અવયવો ન હોય, તો જ તે અવિભાજ્ય હોય.
(2) q : સૂર્યપ્રકાશિત દિવસ હોય, તો હું દરિયાકિનારે જઈશ.
(3) r : જો બહાર ગરમી હોય, તો તમને તરસ લાગશે.
ઉત્તરઃ
(1) આપેલ વિધાન નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :
“જો કોઈ ધન પૂર્ણાંક અવિભાજ્ય હોય, તો તેને 1 અને તે સંખ્યા સિવાય બીજા કોઈ અવયવો ન હોય.’’
ધારો કે, s : ધન પૂર્ણાંક અવિભાજ્ય છે.
t : તેને 1 અને તે સંખ્યા સિવાય બીજા કોઈ અવયવ નથી.
આપેલું વિધાન સંકેતમાં s ⇒ t છે. તેનું પ્રતીપ t ⇒ s થાય.
∴ પ્રતીપ : જો કોઈક ધન પૂર્ણાંકને 1 અને તે સંખ્યા સિવાય બીજો કોઈ અવયવ ન હોય, તો તે અવિભાજ્ય હોય.
વળી, s ⇒ t નું સમાનાર્થી પ્રેરણ ~t ⇒ ~s છે.
∴ સમાનાર્થી પ્રેરણ : જો કોઈક ધન પૂર્ણાંકને 1 અને તે સંખ્યા સિવાય બીજો કોઈ અવયવ હોય, તો તે અવિભાજ્ય ન હોય.

(2) આપેલ વિધાન નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :
‘“જો દિવસ સૂર્યપ્રકાશિત હોય, તો હું દરિયાકિનારે જઈશ.’’
ધારો કે, s : દિવસ સૂર્યપ્રકાશિત છે.
t: હું દરિયાકિનારે જઈશ.
આપેલું વિધાન સંકેતમાં s ⇒ t છે. તેનું પ્રતીપ t ⇒ s થાય.
પ્રતીપ : જો હું દરિયાકિનારે જઈશ, તો દિવસ સૂર્યપ્રકાશિત હશે.
વળી, s ⇒ t નું સમાનાર્થી પ્રેરણ ~t ⇒ ~s છે.
∴ સમાનાર્થી પ્રેરણ : જો હું દરિયાકિનારે નહીં જઉં, તો દિવસ સૂર્યપ્રકાશિત નહીં હોય.

(3) ધારો કે, ઽ : બહા૨ ગરમી છે.
t : તમને તરસ લાગી છે.
આપેલું વિધાન સંકેતમાં s ⇒ t છે. તેનું પ્રતીપ t ⇒ s થાય.
∴ પ્રતીપ : જો તમને તરસ લાગી હોય, તો બહાર ગરમી હોય.
વળી, s ⇒ tનું સમાનાર્થી પ્રેરણ ~t ⇒ ~s છે.
∴ સમાનાર્થી પ્રેરણ : જો તમને તરસ ન લાગે, તો બહાર ગરમી ન હોય.

પ્રશ્ન 3.
નીચેના દરેક વિધાનને જો p તો વૂ’ સ્વરૂપમાં લખો :
(1) p : સર્વર પર પ્રવેશ કરવા માટે પાસવર્ડ જરૂરી છે.
(2) q : જ્યારે પણ વરસાદ પડે ત્યારે ટ્રાફિક જામ હોય છે.
(3) r : જો તમે વેબ સાઇટમાં લવાજમ ફી ચૂકવી હોય, તો જ પ્રવેશ કરી શકો.
ઉત્તરઃ
આપેલ દરેક વિધાનને ‘જો p તો q’ સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :
(1) જો તમે સર્વર પર પ્રવેશ કરો, તો તમારી પાસે પાસવર્ડ છે.
(2) જો વરસાદ પડે, તો ટ્રાફિક જામ થાય.
(3) જો તમે વેબ સાઇટમાં પ્રવેશ કરી શકો, તો તમે લવાજમની રકમ ચૂકવી હોય.

પ્રશ્ન 4.
નીચેના દરેક વિધાનને જો છ્ તો અને તો જ વૃ’ સ્વરૂપમાં ફરીથી લખો :
(1) p : તમે જ્યારે ટેલિવિઝન નિહાળો ત્યારે તમારું મન મુક્ત હોય છે અને જ્યારે તમારું મન મુક્ત હોય ત્યારે તમે ટેલિવિઝન નિહાળો છો.
(2) q : તમારે A ગ્રેડ મેળવવા માટે તમારું બધું ગૃહકાર્ય નિયમિત કરવું પડે એ જરૂરી આયોજન છે.
(3) r : જો ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણાઓ સમાન હોય, તો તે લંબચોરસ છે.
ઉત્તરઃ
આપેલા દરેક વિધાનને જો pતો અને તો જ q’ સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :
(1) તમે ટેલિવિઝન નિહાળો, તો અને તો જ તમારું મન મુક્ત હોય.
(2) તમે A ગ્રેડ મેળવ્યો હોય, તો અને તો જ બધું ગૃહકાર્ય નિયમિત કર્યું હોય.
(3) ચતુષ્કોણના બધા ખૂણાઓ સમાન હોય, તો અને તો જ તે લંબચોરસ હોય.

પ્રશ્ન 5.
નીચે બે વિધાન આપેલ છેઃ
P : 25 એનો ગુણિત છે.
q: 25 એ 8નો ગુણિત છે.
આ બંને વિધાનોને ‘અને’ તથા ‘અથવા’ વડે જોડીને સંયુક્ત વિધાન લખો. આ બંને પ્રકારનાં સંયુક્ત વિધાનોની સત્યાર્થતા ચકાસો.
ઉત્તરઃ
અહીં, p : 25 એ 5નો ગુણિત છે.
q : 25 એ 8નો ગુણિત છે.
આ બંને વિધાનોને ‘અને’ વડે જોડીને મળતું સંયુક્ત વિધાન આ પ્રમાણે થાય :
P ∧ q : 25 એ 5 અને 8નો ગુણિત છે.
અહીં, વિધાન p સત્ય છે, જ્યારે વિધાન q અસત્ય છે.
આથી તેમને ‘અને’ વડે જોડીને મળતું સંયુક્ત વિધાન અસત્ય છે.
હવે, P, ને ‘અથવા’ વડે જોડીને મળતું સંયુક્ત વિધાન આ પ્રમાણે થાય ઃ
p ∨ q : 25 એ 5 અથવા 8નો ગુણિત છે.
અહીં, વિધાન p સત્ય છે, જ્યારે વિધાન q અસત્ય છે. આથી તેમને ‘અથવા’ વડે જોડીને મળતું સંયુક્ત વિધાન સત્ય છે.

પ્રશ્ન 6.
કૌંસમાં જણાવેલ રીતની મદદથી નીચે આપેલ વિધાનોની સત્યાર્થતા ચકાસો :
(1) p : અસંમેય સંખ્યા અને સંમેય સંખ્યાનો સરવાળો અસંમેય છે. (અનિષ્ટાપત્તિની રીત)
(2) q : જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા n માટે n > 3, તો n² > 9 (અનિષ્ટાપત્તિની રીત)
ઉત્તરઃ
(1) અહીં, p : અસંમેય સંખ્યા અને સંમેય સંખ્યાનો સરવાળો અસંમેય છે. ધારો કે, p સત્ય નથી.
એટલે કે અસંમેય સંખ્યા અને સંમેય સંખ્યાનો સરવાળો અસંમેય નથી.
⇒ કોઈક અસંમેય સંખ્યા x અને સંમેય સંખ્યા પુનું અસ્તિત્વ છે, કે જેથી x + y અસંમેય નથી.
⇒ x + yસંમેય છે. ધારો કે, તે z છે.
⇒ x + y = z
⇒ x = z – y, જ્યાં, z અને y સંમેય છે.
⇒ x સંમેય છે. [∵ z – y સંમેય છે.]
જે આપણી ધારણાથી વિરુદ્ધ છે, કારણ કે x અસંમેય છે. આથી આપણી ધારણા ખોટી છે. આમ, p સત્ય છે. એટલે કે ‘અસંમેય સંખ્યા અને સંમેય સંખ્યાનો સરવાળો અસંમેય છે.’’ વિધાન સત્ય છે.

(2) અહીં, q: જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા n માટે n > 3, તો n² > 9.
ધારો કે, q સત્ય નથી.
એટલે કે કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા n માટે n > 3, પરંતુ n² > 9.
⇒ n² < 9
⇒ n² − 9 < 0
⇒ (n – 3) (n + 3) < 0
⇒ \(\frac{(n-3)(n+3)}{n-3}\) < 0 [ n > 3 હોવાથી n−3 > 0]
⇒ n + 3 < 0
⇒ n < -3 જે આપણી ધારણાથી વિરુદ્ધ છે, કારણ કે n > 3. આથી આપણી ધારણા ખોટી છે.
આમ, q સત્ય છે.
એટલે કે, “જો કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા n માટે n > 3, તો n² > 9’” વિધાન સત્ય છે.

પ્રશ્ન 7.
નીચેના વિધાનને એકસમાન અર્થ ધરાવતા પાંચ ભિન્ન પ્રકારે લખો :
P : જો કોઈ ત્રિકોણના બધા ખૂણાઓ સમાન હોય, તો તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ વિધાન “જો કોઈ ત્રિકોણના બધા ખૂણાઓ સમાન હોય, તો તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે,”ને એકસમાન અર્થ ધરાવતા પાંચ ભિન્ન પ્રકારે નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :
(1) કોઈ ત્રિકોણના બધા ખૂણાઓ સમાન હોય, તો તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ હોય.
(2) કોઈ ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ હોય, તો જ તે ત્રિકોણના બધા ખૂણાઓ સમાન હોય.
(3) કોઈ ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ હોય તેની આવશ્યક શરત તેના બધા ખૂણાઓ સમાન હોય તે છે.
(4) કોઈ ત્રિકોણના બધા ખૂણાઓ સમાન હોય તે માટે તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ હોય તે પર્યાપ્ત છે.
(5) જો ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ ન હોય, તો તેના બધા ખૂણાઓ સમાન ન હોય.