Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.4 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.4
પ્રશ્ન 1.
રેખાઓ 3x + 4y = 7 અને x – y + 2 = 0ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી અને 5 ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
રેખાઓ 3x + 4y = 7 અને x − y + 2 = 7 અને x – y + 2 = 0ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ
(3x + 4y – 7) + k (x – y + 2) = 0 ……. (1)
એટલે કે (3 + k) x + (4 – k) y + (−7 + 2k) = 0
આ રેખાનો ઢાળ = \(-\frac{A}{B}=-\frac{(3+k)}{4-k}\)
પરંતુ આ રેખાનો ઢાળ 5 આપેલ છે.
\(-\frac{(3+k)}{4-k}\)
∴ – 3 – k = 20 – 5k
∴ 4k = 23
∴ k = \(\frac{23}{4}\)
પરિણામ (1)માં k = \(\frac{23}{4}\) મૂક્તાં,
(3x + 4y – 7) + 2 (x – y + 2) = 0
∴ 12x + 16y – 28 + 23x – 239 + 46 = 0
∴ 35x – 7y + 18 = 0, જે માગેલી રેખાનું સમીકરણ છે.
પ્રશ્ન 2.
રેખા 5x + 4y – 20 = 0ને સમાંતર અને રેખાઓ x + 2y – 3 = 0 અને 4x – y + 7 = 0ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
રેખાઓ x + 29 – 3 = 0 અને 4x – y + 7 = 0ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ
(x + 2y – 3) + k (4x – y + 7) = 0 ….. (1)
એટલે કે, (1 + 4k) x + (2 – k) y + (- 3 + 7k) = 0
આ રેખાનો ઢાળ = \(-\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=-\frac{(1+4 k)}{2-k}\)
હવે, આ રેખા એ 5x + 4y – 20 = 0 કે જેનો ઢાળ –\(\frac{5}{4}\) થાય તેને સમાંતર છે.
∴ માગેલી રેખાનો ઢાળ = –\(\frac{5}{4}\) થશે.
∴ \(-\frac{(1+4 k)}{2-k}=-\frac{5}{4}\)
∴ 4 + 16 = 10 – 5k
∴ 21k = 6
∴ k = \(\frac{2}{7}\)
પરિણામ (1)માં k = \(\frac{2}{7}\) મૂકતાં,
(x + 2y – 3) + \(\frac{2}{7}\) (4x – y + 7) = 0
∴ 7x + 14y – 21 + 8x – 2y + 14 = 0
∴ 15x + 12y – 7 = 0, જે માગેલી રેખાનું સમીકરણ છે.
પ્રશ્ન 3.
રેખાઓ 2x + 3y – 4 = 0 અને x – 5y = 7ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી તથા જૈનો x અંતઃખંડ – 4 હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખાઓ 2x + 3y – 4 = 0 અને x – 5y = 7ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ
(2x + 3y – 4) + k (x – 5y – 7) = 0
હવે, આ રેખાનો x અંતઃખંડ – 4 છે.
∴ તે બિંદુ (– 4, 0)માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણ (1)માં x = − 4 અને y = 0 મૂકતાં,
(-8 + 0 – 4) + k (-4 – 0 – 7) = 0
∴ – 12 – 11 = 0
∴ k = \(-\frac{12}{11}\)
પરિણામ (1)માં k = \(-\frac{12}{11}\) મૂકતાં,
(2x + 3y – 4) – \(\frac{12}{11}\) (x – 5y – 7) = 0
∴ 22x + 33y – 44 – 12x + 60y + 84 = 0
∴ 10x + 93y + 40 = 0, જે માગેલી રેખાનું સમીકરણ છે.
પ્રશ્ન 4.
રેખાઓ 5x – 3y = 1 અને 2x + 3y – 23 = 0ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી તથા 5x– 3y – 1 = 0ને લંબરેખાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
રેખાઓ 5x – 3y + 1 = 0 અને 2x + 3y – 23 = 0ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ
(5x – 3y + 1) + k (2x + 3y – 23) = 0 ……………..(1)
એટલે કે (5 + 2k) x + (– 3 + 3k) y + (- 1 – 23k) = 0
આ રેખાનો ઢાળ = \(-\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=\frac{-(5+2 k)}{-3+3 k}\)
હવે, તે રેખા 5x – 3y – 1 = 0 કે જેનો ઢાળ \(\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}\) તેને લંબ છે.
આથી માગેલી રેખાનો ઢાળ = \(-\frac{3}{5}\) થશે.
∴ \(\frac{-(5+2 k)}{-3+3 k}=-\frac{3}{5}\)
∴ 25 + 10 k = – 9 + 9k
∴ k = – 34
પરિણામ (1)માં k = − 34 મૂકતાં,
(5x – 3y – 1 ) – 34 (2x + 3y – 23) = 0
∴ 5x – 3y – 1 – 68x – 102y + 782
∴ – 63x – 105y + 781 = 0
∴ 63x + 105y -781 = 0, જે માગેલી રેખાનું સમીકરણ છે.