GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.3

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.3

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ સમીકરણોને ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં દર્શાવો અને તેમના ઢાળ અને Y અંતઃખંડ શોધો :
(1) x + 7y = 0
(2) 6x + 3y – 5 = 0
(3) y = 0
ઉત્તરઃ
(1) x + 7y = 0
∴ 7y = − x
∴ y = \(\frac{-1}{7}\)x+0
જેને y = mx + c સાથે સરખાવતાં,
m = \(\frac{-1}{7}\) અને c = 0
આમ, આપેલ રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ
y = \(\frac{-1}{7}\)x + 0 છે. તેનો ઢાળ = \(\frac{-1}{7}\)અને y અંતઃખંડ = 0 છે.

(2) 6x + 3y – 5 = 0
∴ 3y = – 6x + 5
∴ y = -2x + \(\frac{5}{3}\)
જેને y = mx + c સાથે સરખાવતાં,
m = – 2 અને c = \(\frac{5}{3}\)
આમ, આપેલ રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ
y = -2x + \(\frac{5}{3}\) છે. તેનો ઢાળ = -2 અને
y અંતઃખંડ = \(\frac{5}{3}\) છે.

(3) y = 0
∴ y = 0x + 0
જેને y = mx + c સાથે સરખાવતાં,
m = 0 અને c = 0
આમ, આપેલ રેખાનું ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપ
y = 0x + 0 છે. તેનો ઢાળ = ૦ અને
y અંતઃખંડ = ૦ છે.

પ્રશ્ન 2.
નીચે આપેલ સમીકરણોને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં દર્શાવો અને તેમના દ્વારા અક્ષો પર કપાતાં અંતઃખંડો શોધો :
(1) 3x + 2y – 12 = 0
(2) 4x – 3y = 6
(3) 3y + 2 = 0
ઉત્તરઃ
(1) 3x + 2y – 12 = 0
∴ 3x + 2y = 12
∴ \(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}\) = 1
જેને \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
a = 4, b = 6
આમ, આપેલ રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ \(\frac{x}{4}+\frac{y}{6}\) = 1 છે.
તેનો x અંતઃખંડ = 4 અને પુ અંતઃખંડ = 6 છે.

(2) 4x – 3y = 6

છે. તેનો x અંતઃખંડ = \(\frac{3}{2}\) અને y અંતઃખંડ = -2 છે.

(3) 3y + 2 = 0
∴ 3y = -2
∴ y = \(\frac{-2}{3}\) જે X-અક્ષને સમાંતર રેખા છે.
∴ તેનો X અક્ષ પરનો અંતઃખંડ ન મળે.
આમ, આપેલ રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ ન મળે.
તેનો x અંતઃખંડ ન મળે, પરંતુ તેનો Y અક્ષ પરનો અંતઃખંડ = \(\frac{-2}{3}\) છે.

પ્રશ્ન 3.
નીચે આપેલ સમીકરણોને અભિલંબ સ્વરૂપમાં દર્શાવો અને ઊગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબની લંબાઈ અને લંબ દ્વારા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનતા ખૂણાનું માપ શોધો :
(1) x – √3y + 8 = 0
(2) y – 2 = 0
(3) x – y = 4
ઉત્તરઃ
(1) x – √3y + 8 = 0 રેખાના વ્યાપક સમીકરણ
Ax + By + C = ૦ સાથે સરખાવતાં,
A = 1, B = √3, C = 8
વળી, આપેલ સમીકરણ x– √3y + 8 = 0
∴ x – √3y = -8
∴ – x + √3y = 8

હવે, \(\sqrt{\mathrm{A}^2+\mathrm{B}^2}=\sqrt{(1)^2+(-\sqrt{3})^2}=\) = 2 વડે ભાગતાં,
\(\frac{-1}{2}\)x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = 4 મળે, જેને રેખાના અભિલંબ સ્વરૂપ
x cos α + y sin α = p સાથે સરખાવતાં, અને p = 4
અહીં, cos α < 0 અને sin α > 0 હોવાથી α બીજા ચરણમાં છે.
∴ tan α = \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{(\sqrt{3} / 2}{(-1 / 2)}\) = -√3
∴ tan α = – tan 60° = tan (180° – 60°) = tan 120°
∴ α = 120°
∴ રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ
x cos 120° + y sin 120° = 4 છે.
લંબની લંબાઈ p = 4 અને લંબ દ્વારા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનતા ખૂણાનું માપ = 120° છે.

(2) y – 2 = 0 રેખાના વ્યાપક સમીકરણ
Ax + By + C = ૦ સાથે સરખાવતાં,
0x + y – 2 = 0
∴ A = 0, B = 1, C = -2
∴ 0x + y = 2
∴ x cos 90° + y sin 90° = 2 (∵ cos 90° = 0, sin 90° = 1)
જેને રેખાના અભિલંબ સ્વરૂપ
x cos α + y sin α = p સાથે સરખાવતાં,
α = 90° અને p = 2
આમ, આપેલ રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ
x cos 90° + y sin 90° = 2 છે. લંબની લંબાઈ p = 2 અને લંબ દ્વારા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનતા ખૂણાનું માપ 90° છે.

(3) x – y = 4
એટલે કે, x – y = 4 = 0ને રેખાના વ્યાપક સમીકરણ Ax + By + C = 0 સાથે સરખાવતાં,
A = 1, B = −1, C = -4
આપેલ સમીકરણ x – y = 4 છે.

∴ tan α = – tan 45° = tan (360° – 45°)
= tan 315°
∴ α = 315°
∴ આપેલ રેખાનું અભિલંબ સ્વરૂપ
x cos 315° + Y sin 315° = 2√2 મળે.
અહીં, લંબની લંબાઈ 2√2 અને લંબ દ્વારા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે બનતા ખૂણાનું માપ 315° છે.

પ્રશ્ન 4.
બિંદુ (−1, 1)નું રેખા 12 (x + 6) = 5 (ઘુ – 2)થી અંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, રેખાનું સમીકરણ 12 (x + 6) = 5 (ઘુ – 2)
∴ 12x + 72 = 5y – 10
∴ 12x – 5y + 82 = 0
હવે, બિંદુ (x₁, y₁)થી રેખા Ax + By + C = 0નું લંબઅંતર d = \(\frac{\left|A x_1+B y_1+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}\) પ્રમાણે,
અહીં, A = 12, B = – 5, C = 82
(x₁, y₁) = (− 1, 1)

પ્રશ્ન 5.
X-અક્ષ પરનું કર્યું બિંદુ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\) = 1 રેખાથી 4 એકમ અંતરે આવેલ છે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, X-અક્ષ પરનું માગેલું બિંદુ P (x, 0) છે.
હવે, રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}\) = 1
એટલે કે, 4x + 3 – 12 = 0 છે.
જેનું બિંદુ P (x₁, 0)થી અંતર 4 એકમ છે.

|4x₁ – 12| = 20
∴ 4x₁ – 12 = + 20
∴ 4x₁ – 12 = 20 અથવા 4x₁ – 12 = – 20
∴ 4x₁ = 32 અથવા 4x₁ = -8
∴ x₁ 8 અથવા x₁ =-2
∴ P 8, 0) અને P (– 2, 0) જે માગેલા બિંદુના યામ છે.

પ્રશ્ન 6.
નીચેની સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો :
(1) 15x + 8y -34 = 0 અને 15x + 8y + 31 = 0
(2) l (x + y) + p = 0 અને l (x + y) – r = 0
ઉત્તરઃ
(1) અહીં બે સમાંતર રેખાઓ 15x + 8y – 34 = 0 અને 15x + 8y + 31 = 0 આપેલ છે.

(2) અહીં બે સમાંતર રેખાઓ l (x + y) + p = 0 અને l (x + y) – r = 0
એટલે કે, lx + ly + p = 0 અને lx + ly – r = 0 આપેલ છે.

પ્રશ્ન 7.
બિંદુ (– 2, 3)માંથી પસાર થતી અને 3x – 4y + 2 = 0ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા 3x – 4y + 2 = 0નો ઢાળ = \(\frac{-A}{B}=\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}\)
હવે, માગેલી રેખા એ આપેલી રેખાને ઢાળ પણ \(\frac{3}{4}\) થશે અને તે બિંદુ (– 2, 3) આથી માગેલી રેખાનું સમીકરણ
y – y₁ = m (x – x₁) પ્રમાણે,
y – 3 = \(\frac{3}{4}\) (x – (- 2))
∴ 4y – 12 = 3x + 6
∴ 3x – 4y + 18 = 0

પ્રશ્ન 8.
રેખા x – 7y + 5 = 0ને લંબ અને જેનો x અંતઃખંડ 3 હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા x – 7y + 5 = 0નો ઢાળ \(\frac{-\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=\frac{-1}{-7}=\frac{1}{7}\)
હવે, માગેલી રેખા એ આ રેખાને લંબ છે.
આથી તેનો ઢાળ -7 થશે.
તથા તેનો ૪ અંતઃખંડ 3 છે.
∴ તે બિંદુ (3, 0)માંથી પસાર થશે.
આથી માગેલી રેખાનું સમીકરણ y – y₁ = m (x – x₁) પ્રમાણે,
y – 0 = − 7 (x – 3)
∴ y = 7x + 21
∴ y + 7x = 21

પ્રશ્ન 9.
રેખાઓ √3x + y = 1 અને x + √3y = 1 વચ્ચેના ખૂણાનું માપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, √3x + y = 1 અને x + √3y = 1 રેખાઓના ઢાળ અનુક્રમે m₁ અને m₂ છે.

∴ tan θ = tan 30°
∴ θ = 30°
બે રેખાઓ વચ્ચેના અન્ય ખૂણાનું માપ = 180° – 30° = 150° આમ, આપેલી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 30° અને 150° છે.

પ્રશ્ન 10.
બિંદુઓ (h, 3) અને (4, 1)માંથી પસાર થતી રેખા રેખા 7x – 9y – 19 = 0 અને એકબીજાને કાટખૂણે છેદે, તો h શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (h, 3) અને B (4, 1)
આથી રેખા ABનો ઢાળ = m₁ = \(\frac{1-3}{4-h}=\frac{-2}{4-h}\)
રેખા 7x – 9y – 19 = 0નો ઢાળ = m₂ = \(\frac{-7}{-9}=\frac{7}{9}\)

હવે, રેખા AB અને 7x – 9y – 19 = 0 રેખા એકબીજાને કાટખૂણે છેદે છે.
∴ m₁m₂ = -1
∴ \(\frac{-2}{4-h} \times \frac{7}{9}\) = -1
∴ 14 = 36 – 9h
∴ 9h = 22
∴ h = \(\frac{22}{9}\)

પ્રશ્ન 11.
સાબિત કરો કે બિંદુ (x₁, y₁)માંથી પસાર થતી અને Ax + By + C = ૦ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ A (x – x₁) + B (y – y₁) = 0 છે.
ઉત્તરઃ
રેખા Ax + By + C = 0નો ઢાળ \(\frac{-\mathrm{A}}{\mathrm{B}}\) છે.
માગેલી રેખા તેને સમાંતર હોવાથી તેનો ઢાળ પણ \(\frac{-\mathrm{A}}{\mathrm{B}}\) થશે
અને તે બિંદુ (x₁, y₁)માંથી પસાર થાય છે.
∴ માગેલી રેખાનું સમીકરણ y – y₁ = \(\frac{-\mathrm{A}}{\mathrm{B}}\)(x – x₁)
∴ B (y – y₁) = -A (x – x₁)
∴ A (x − x₁) + B (y – y₁) = 0

પ્રશ્ન 12.
બે રેખાઓ (2, 3) બિંદુમાંથી પસાર થતી હોય અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું માપ 60° હોય તથા તે પૈકીની એક રેખાનો ઢાળ 2 હોય, તો બીજી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બિંદુ (2, 3)માંથી પસાર થતી અને જેનો ઢાળ 2 હોય તેવી રેખા સાથે 60નો ખૂણો બનાવતી રેખાનો ઢાળ m છે.

પ્રશ્ન 13.
જેનાં અંત્યબિંદુઓ (3, 4) અને (– 1, 2) હોય તેવા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (3, 4) અને B (− 1, 2) આપેલાં બિંદુઓ છે અને M એ ABનું મધ્યબિંદુ છે.
∴ Mના યામ = \(\left(\frac{3-1}{2}, \frac{4+2}{2}\right)\) = (1, 3)
∴ M(1, 3) મળે.
હવે, રેખાખંડ ABનો ઢાળ = \(\frac{2-4}{-1-3}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}\)
∴ ABનો લંબદ્વિભાજક એ રેખાખંડ ABને લંબ હોવાથી લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ =− 2 અને તે બિંદુ M (1, 3)માંથી પસાર થાય છે.
આથી માગેલ લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ,
y – 3 = -2(x – 1)
∴ y – 3 = -2x + 2
∴ 2x + y = 5

પ્રશ્ન 14.
બિંદુ (– 1, 3)માંથી રેખા 3x – 4y −16 = ૦ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા 3x – 4y – 16 = 0નો ઢાળ = \(\frac{-3}{-4}=\frac{3}{4}\)
તેને લંબરેખાનો ઢાળ = \(\frac{-4}{3}\)
આ લંબરેખા બિંદુ (– 1, 3)માંથી પસાર થાય છે.
આથી તેનું સમીકરણ y – 3 = \(\frac{-4}{3}\) (x +1)
∴ 3y – 9 = – 4x – 4
∴ 4x + 3y = 5
હવે, આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ એ લંબપાદ થશે.
∴ 3x – 4y – 16 = 0 ………..(1)
અને 4x + 3y – 5 = 0 …………….(2) ઉકેલવા

સમીકરણ (1)ને 3 વડે અને સમીકરણ (2)ને 4 વડે ગુણતાં,
9x – 12y = 48 અને 16x + 12y = 20
∴ સરવાળો લેતાં, 25x = 68
∴ x = \(\frac{68}{25}\) મળે.
જેને સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,

આમ, માગેલ લંબના લંબપાદના યામ \(\left(\frac{68}{25}, \frac{-49}{25}\right)\) છે.

પ્રશ્ન 15.
ઊગમબિંદુમાંથી રેખા y = mx + c પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ (– 1, 2) હોય, તો m અને c શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બિંદુ M (− 1, 2) છે, જે રેખા y = mx + c ૫૨ આવેલું છે.
∴ 2 = – M + c ………..(1)
હવે, ઊગમબિંદુ Oમાંથી y = mx + c ૫૨ લંબ દોરવામાં આવેલ છે.
અહીં, OMનો ઢાળ = \(\frac{2-0}{-1-0}\) = – 2
∴ – 2 × m = – 1
∴ m = \(\frac{1}{2}\); જેને પરિણામ (1)માં મૂકતાં,
2 = –\(\frac{1}{2}\) + c
∴ c = \(\frac{5}{2}\)
આમ, m = \(\frac{1}{2}\) અને c = \(\frac{5}{2}\)

પ્રશ્ન 16.
રેખાઓ x cos θ – y sin θ = k cos 2 θ અને x sec θ + y cosec θ = lના ઊગમબિંદુથી લંબઅંતર અનુક્રમે p અને q હોય, તો સાબિત કરો કે p² + 4q² = k².
ઉત્તરઃ
અહીં, રેખાઓ x cos θ – y sin θ = k cos 2θ અને x sec θ + y cosec θ = ના ઊગમબિંદુથી લંબઅંતર અનુક્રમે p અને q હોય, તો

∴ p² + 4q² = k cos² 2θ + 4k² sin² θ cos²θ
= 2 cos²2θ + 2 (2 sin θ cos θ)²
= k² cos2 2θ+ k² sin² 2θ
= k² (cos² 2θ + sin² 2θ)
આમ, p² + 4q² = k

પ્રશ્ન 17.
A (2, 3), B (4, −1) અને C (1, 2) એ ΔABCનાં શિરોબિંદુઓ છે. ΔABCનાં શિરોબિંદુ Aમાંથી દોરેલા વેધની લંબાઈ અને તેનું સમીકરણ શોધો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, ΔABCનાં શિરોબિંદુ Aમાંથી દોરેલો વેધ AM છે. આથી AM એ બાજુ BCને લંબ થશે.
અહીં, BCનો ઢાળ = \(\frac{2-(-1)}{1-4}=\frac{3}{-3}\)
આથી AMનો ઢાળ = 1 થશે અને તે બિંદુ A (2, 3)માંથી પસાર થાય છે.
∴ વેધ AMનું સમીકરણ y − y₁ = m (x – x₁) પ્રમાણે,
y – 3 = 1 (x – 2)
∴ y – 3 = x − 2
∴ y − x = 1
BCનું સમીકરણ \(\frac{y-(-1)}{x-4}=\frac{2-(-1)}{1-4}\)
\(\frac{y+1}{x-4}=\frac{3}{-3}\) = -1
∴ y + 1 = -x + 4
∴ x + y – 3 = 0
હવે, વેધ AMની લંબાઈ = A (2, 3)માંથી BC પર દોરેલા લંબની લંબાઈ
= \(\left|\frac{1(2)+1(3)-3}{\sqrt{1^2+1^2}}\right|\)
= \(\left|\frac{2+3-3}{\sqrt{2}}\right|\)
= √2
આમ, શિરોબિંદુ Aમાંથી દોરેલા વેધનું સમીકરણ y − x = 1 અને તેની લંબાઈ √2 છે.

પ્રશ્ન 18.
જે રેખાના અક્ષો પરના અંતઃખંડો a અને b હોય તેવી રેખા પર ઊગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબની લંબાઈ p હોય, તો સાબિત કરો કે, \(\)
ઉત્તરઃ
જે રેખાના અક્ષો ૫૨ના અંતઃખંડો a અને b હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ,
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
એટલે કે, bx + au = ab
∴ bx + au – ab = 0 …………(1)
હવે, આ રેખા પર ઊગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબની લંબાઈ p છે.