Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Miscellaneous Exercise
પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ ગણો પૈકી કયા ગણ આપેલ ગણો પૈકી કયા ગણના ઉપગણ છે તે નક્કી કરોઃ
A = {x : x ∈ R અને x એ સમીકરણ x2 – 8x + 12 = 0નું સમાધાન કરે છે.},
B = {2, 4, 6}, C = {2, 4, 6, 8, …}, D = {6}
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {x: x = R અને × એ સમીકરણ
x2 – 8x + 12 = 0નું સમાધાન કરે છે.}
હવે, x − 8x + 12 = 0
∴ (x – 6) (x – 2) = 0
∴ x – 6 = 0 અથવા x − 2 = 0
∴ x = 6 અથવા x = 2
∴ A = {2,6}
વળી, B = {2, 4, 6}, C = {2, 4, 6, 8,…}, D = {6} આપેલ છે.
આથી A ⊂ B, A ⊂ C, B ⊂C, D ⊂ A, D ⊂ B, D ⊂ C.
આમ, અહીં D ⊂ A ⊂ B ⊂ C છે.
પ્રશ્ન 2.
નીચેના પૈકી દરેક વિધાનમાંથી કયું સત્ય અને કયું અસત્ય છે તે નક્કી કરો ઃ
(1) જો x ∈ A અને A ∈ B, તો x ∈ B
(2) જો A ⊂ B અને B ∈ C, તો A ∈ C
(૩) જો A ⊂ B અને B ⊂ C, તો A ⊂ C
(4) જો A ⊄ B અને B ⊄ C, તો A ⊄ C
(5) જો x ∈ A અને A ⊄ B, તો x ∈ B
(6) જો A ⊂ B અને x ∉ B, તો x ∉ A
ઉત્તરઃ
(1) જો x ∈ A અને A ∈ B, તો x ∈ B. આ વિધાન અસત્ય છે.
દા. ત., A = {x, y}, B= {{x, y}, z} લેતાં
અહીં, x ∈ A અને A ∈ B પરંતુ x ∉ B.
(2) જો A ⊂ B અને B ∈ C, તો A ∈ C. આ વિધાન અસત્ય છે.
દા. ત., A = {x}, B = {x, y}, C = {{x, પુ}, z}
અહીં, A ⊂ B અને B ∈ C પરંતુ A ∉ C.
(3) જો A ⊂ B અને B ⊂ C, તો A ⊂ C. આ વિધાન સત્ય છે.
ધારો કે, x ૯ A
⇒ x = B (∵ A ⊂ B)
⇒ x = C (∵ B ⊂ C)
આમ, x ∈ A ⇒ x ∈ C
∴ A ⊂ C
(4) જો A ⊄ B અને B ⊄ C, તો A ⊄ C.
આ વિધાન અસત્ય છે.
દા. ત., A = {x, y}, B = {u, z}, C = {x, y, w} લેતાં,
અહીં, A ⊄ B અને B ⊄ C
પરંતુ A ⊂ C છે.
(5) જો x ∈ A અને A ⊄ B, તો x ∈ B.
આ વિધાન અસત્ય છે.
ધારો કે, A = {x, g}, B = {u, z}
અહીં, x ∈ A અને A ⊄ B, પરંતુ x ∉ B.
(6) જો A ⊂ B અને x ∉ B, તો x ∉ A.
આ વિધાન સત્ય છે.
ધારો કે, x ∈ A
⇒ x = B (∵ A ⊂ B)
આથી x ∉ B ⇒ x ∉ A થાય જ.
[નોંધ : p ⇒ qનું સમાનાર્થી પ્રેરણ ~q ⇒~p છે.]
પ્રશ્ન 3.
ગણ A, B અને C માટે A ∪ B = A ∪ C અને A ∩ B = A ∩ C છે. સાબિત કરો કે B = C.
ઉત્તરઃ
અહીં, A ∪ B = A ∪ C અને A ∩ B = A ∩ C આપેલ છે.
હવે, B = B ∩ (A ∪ B)
= B ∩ (A ∪ C) (∵ A ∪B = A ∪ C)
= (B ∩ A) ∪ (B ∩ C) (∵ વિભાજનનો નિયમ)
= (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) (∵ ક્રમનો નિયમ)
= (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (∵ A ∩ B = A ∩ C)
= (C ∩ A) ∪ (C ∩ B) (∵ ક્રમનો નિયમ)
= C ∩ (A ∪ B) (∵ વિભાજનનો નિયમ)
= C
આમ, B = C સાબિત થાય છે.
પ્રશ્ન 4.
સાબિત કરો કે, નીચે આપેલી ચારેય શરતો સમક્ષ છેઃ
(1) A ⊂ B
(2) A – B = Φ
(3) A ∪ B = B
(4) A ∩ B = A
ઉત્તરઃ
નોંધ : આનો અર્થ એ કે (1) ⇒ (2) અને (2) ⇒ (1)
વગેરે. તે માટે ( 1 ) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ ( 4 ) ⇒ ( 1 ) સાબિત કરો.
અહીં, ( 1 ) A ⊂ B (2) A – B = Φ (3) A ∪ B = B ( 4 ) A ∩ B = A આપેલ છે.
(1) ⇒ (2)
ધારો કે, A B, તો x ∈ A ⇒ x ∈ B
∴ ગણ Aમાં હોય અને ગણ Bમાં ન હોય તેવો કોઈ સભ્ય મળે નહિ.
હવે, A – B = {x:x ∈ A અને x ∉ B}
∴ A – B = Φ
(2) ⇒(3)
A – B = Φ ⇒ A ∩ B’ = $
⇒ A અને B’માં કોઈ સામાન્ય સભ્ય નથી.
⇒ Aના બધા સભ્યો Bમાં પણ છે.
⇒A ⊂ B
⇒A ∪ B = B
(3) ⇒(4)
A ∪ B = B ⇒ A ⊂ B
⇒ A ∩ B = A
(4) ⇒ (1)
A ∩ B = A⇒ A ⊂ B
આમ, (1) ⇒ ( 2 ) ⇒ ( 3 ) ⇒ ( 4 ) ⇒ (1)
આથી ચારેય શરતો સમાન છે.
પ્રશ્ન 5.
સાખિત કરો કે A ⊂ B, તો (C – B) ⊂ (C – A).
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x ∈ C -B
⇒x ∈ C અને x ∉ B
= x ∈ C અને x ∉ A (∵ A ⊂ B હોવાથી x ∉ B ⇒ x ∉ A)
⇒ x ∈ C – A
આમ, (C – B) ⊂ (C – A)
પ્રશ્ન 6.
જો P (A) = P (B) હોય, તો સાબિત કરો કે A = B.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x ∈ A
⇒ {x} ∈ P(A)
⇒ {x} ∈ P(B) (∵ P(A) = P(B))
⇒x ∈ B
∴ A ⊂ B
ધારો કે, x ∈ B
⇒ {x} ∈ P(B)
⇒ {x} ∈ P(A) (∵ P(A) = P(B))
⇒x ∈ A
∴ B ⊂ A
પરિણામ (1) અને (2) પરથી, A = B.
પ્રશ્ન 7.
ક્ઈોઈ પણ ગણા A અને B P(A) ∪ P (B) = P(A ∪ B) સત્ય છે? તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય નથી.
ધારો કે, A = {x, y}, B = {y, z}
∴ A ∪ B = {x, y, z}
P(A) = {0, {x}, {y}, {x, y}}
P(B) = {0, {y}, {z}, {y, z}}
∴ P (A) ∪ P (B) = {0, {x}, {y}, {x, y}, {z}, {y, z}} ……………… (1)
અહીં, A ∪ B = {x, y, z} .. (1)
∴ P (A ∪ B) = {p, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x}, {x, y, z}} …………(2)
પરિણામ (1) અને (2) પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
P (A) ∪ P (B) ≠ P (A ∪ B)
આમ, આપેલ વિધાન સત્ય નથી.
પ્રશ્ન 8.
કોઈ પણ ગણ A અને B માટે સાબિત કરો કે,
(1) A = (A ∩ B) ∪ (A – B) અને
( 2 ) A ∪ (B – A) = (A ∪ B)
ઉત્તરઃ
(1) A = (A ∩ B) ∪ (A – B) સાબિત કરીએ.
જ.બા. = (A ∩ B) ∪ (A – B)
= (A ∩ B) ∩ (A ∩ B’) (∵ A – B = A ∩ B’)
= A ∩ (B ∪ B’) (∵ વિભાજનના નિયમ પરથી)
= A ∩ U (∵ B ∪ B’ = U)
= A
= ડા.બા.
(2) A ∪ (B – A) = (A ∪ B) સાબિત કરીએ.
ડા.બા. = A ∪ (B – A)
= A ∪ (B ∩ A’) (∵ B – A = B ∩ A’)
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A’) (∵ વિભાજનનો નિયમ)
= (A ∪ B) ∩ U (∵ A ∪ A = U)
= (A ∪ B)
= જ.બા.
પ્રશ્ન 9.
ગણના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે,
(1) A ∪ (A ∩ B) =A
(2) A ∩ (A ∪ B) = A
ઉત્તરઃ
(1) A ∪ (A ∩ B) = A સાબિત કરીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે,
A ⊂ A અને (A ∩ B) ⊂ A હોય જ.
∴હવે, A ⊂ A ∪ (A ∩ B) હોય જ.
આથી પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
A ∪ (A ∩ B) = A
(2) A ∩ (A ∪ B) = A સાબિત કરીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે,
A ⊂ A અને A ⊂ (A ∪ B) હોય જ.
A ⊂ A ∩ (A ∪ B) ………….(1)
હવે, A ∩ (A ∪ B) ⊂ A હોય જ. …………….(2)
આથી પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
A ∩ (A ∪ B) = A
પ્રશ્ન 10.
સાબિત કરો કે A ∩ B = A ∩ C પરથી B = C કહી શકાય નહિ.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A = {x, g}, B = {, z}, C = {u, o}
અહીં, A ∩ B = {x, g} ∩ {u, z} = {y}
અને A ∩ C = {x, g} ∩ {u, w} = {g}
અહીં, A ∩ B = A ∩ C પરંતુ B ≠ C
આમ, A ∩ B = A ∩ C પરથી B = C કહી શકાય નહિ.
પ્રશ્ન 11.
A અને B ગણો છે. કોઈ ગણ X માટે જો A ∩ X = B ∩ X = Φ અને A ∪ X = B ∪ X, તો સાબિત કરો કે A = B.
ઉત્તરઃ
સૂચન : A = A ∩ (A ∪ X), B = B ∩ (B ∪ X) અને વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરો.
અહીં, A ∩ X = B ∩ X = $ અને A ∪ X = B ∪ X આપેલ છે.
A = A ∪ Φ
= A ∪ (B ∩ X) (∵ B ∩ X = Φ)
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ X) (∵ વિભાજનનો નિયમ)
= (A ∪ B) ∩ (B ∪ X) (∵ A ∪ X = B ∪ X)
= (B ∪ A) ∩ (B ∪ X) (∵ ક્રમનો નિયમ)
= B ∪ (A ∩ X) (∵ વિભાજનનો નિયમ)
= B ∪ Φ (∵ A ∩ X = Φ)
= B
પ્રશ્ન 12.
ગણ A, B અને C એવા શોધો કે જેથી A ∩ B, B ∩ C અને A ∩ C અરિક્ત ગણો થાય અને A ∩ B ∩ C = Φ બને.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A = {x, પુ}, B = {u, z}, C = {z, x}
અહીં, A ∩ B = {x, y} ∩ {u, z} = {y} ≠ Φ
B ∩ C = {y, z} ∩ {z, x} = {z} ≠ Φ
A ∩ C = {x, g} ∩{z, x} = {x} ≠ Φ
પરંતુ, A ∩ B ∩ C = Φ
પ્રશ્ન 13.
એક શાળાના 600 વિદ્યાર્થીઓના સર્વેક્ષણમાં 150 વિદ્યાર્થીઓ ચા પીતા હતા અને 225 કૉફી પીતા હતા. 100 વિદ્યાર્થીઓ ચા અને કૉફી બંને પીતા હતા. કૉફી અને ચા બંને પૈકી કંઈ પણ નહિ પીનારા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સર્વેક્ષણ કરાયેલા બધા જ વિદ્યાર્થીઓનો ગણ U છે. ચા, કૉફી પીતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ અનુક્રમે A, B છે.
અહીં, n (U) = 600, n (A) n (A ∩ B) = 100 = 150, n (B) = 225,
સૂત્ર n (A ∪ B) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B)
∴ n (A ∪ B) = 150 + 225 – 100
∴ n (A ∪ B) = 275
આમ, 275 વિદ્યાર્થીઓ ચા અથવા કૉફી અથવા બંને પીણાં પીતાં હતાં.
∴ આ બંને પૈકી કંઈ પણ નહિ પીનારા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા
n (A ∪ B)’ = n (U) – n (A ∪ B)
= 600 – 275
= 325
પ્રશ્ન 14.
વિદ્યાર્થીઓના એક જૂથમાં 100 વિદ્યાર્થીઓ હિન્દી જાણે છે, 50 અંગ્રેજી જાણે છે અને 25 બંને ભાષા જાણે છે. આ જૂથમાં કેટલા વિદ્યાર્થીઓ હશે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, હિન્દી, અંગ્રેજી જાણતા વિદ્યાર્થીઓનો ગણ અનુક્રમે A, B છે.
∴ n (A) = 100, n (B) = 50, n (A ∩ B) = 25
સૂત્ર n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B)
∴ n (A ∪ B) = 100 + 50 – 25
∴ n (A ∪ B) = 125
આ જૂથમાં 125 વિદ્યાર્થીઓ હશે.
પ્રશ્ન 15.
60 વ્યક્તિઓના સર્વેક્ષણમાં 25 વ્યક્તિઓ સમાચારપત્ર H વાંચતી, 26 સમાચારપત્ર T વાંચતી, 26 સમાચારપત્ર I વાંચતી, 9 H અને 1 બંને વાંચતી, 11 H અને T બંને વાંચતી, 8 T અને 1 બંને વાંચતી તથા ૩ તમામ સમાચારપત્ર વાંચતી માલૂમ પડી.
(1) ઓછામાં ઓછું એક સમાચારપત્ર વાંચનાર
(2) માત્ર એક જ સમાચારપત્ર વાંચનાર વ્યક્તિઓની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, n (U) = 60, સમાચારપત્ર H, T, I વાંચતી વ્યક્તિઓના ગણને અનુક્રમે H, T, I તરીકે લેતાં,
n (H) = 25, n (T) = 26, n (I) = 26, n (H ∩ I) = 9,
n (H ∩ T) = 11, n (T ∩ I) = 8
n (H ∩ I ∩ T) = 3
વેન આકૃતિ પ્રમાણે,
n (H ∩ I ∩ T) = a = 3 ………………. (1)
n (H ∩ T) = a + b = 11 ……………… (2)
n (T ∩ I) = a + c = 8 …………………..(3)
n (H ∩ I) = a + d = 9 ………………… (4)
n (H) = a + b + d + e = 25 ………….(5)
n (T) = a + b + c + f = 26 …………….(6)
n (I) = a + c + d + g = 26 …………….(7)
n (U) = a + b + c + d + e + f + g + h
= 60 ………………….(8)
હવે, (1) અને (2) પરથી, 3 + b = 11 ∴ b = 8
(1) અને (3) પરથી, 3 + c = 8 ∴ c = 5
(1) અને (4) પરથી, 3 + d = 9 ∴ d = 6
a, b, dની કિંમત (5)માં મૂકતાં,
3 + 8 + 6 + e = 25
∴ e = 8
a, b, cની કિંમત (6)માં મૂકતાં,
3 + 8 + 5 + f = 26
∴ f = 10
a, c, dની કિંમત (7)માં મૂકતાં,
3 + 5 + 6 + g = 26
∴ g = 12
હવે, આ બધી કિંમતો (8)માં મૂકતાં,
3 + 8 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + h = 60
∴ h = 8
(1) ઓછામાં ઓછું એક સમાચારપત્ર વાંચનાર વ્યક્તિઓની
સંખ્યા
n (A ∪ B ∪ C)
= a + b + c + d + e + f + g
= 3 + 8 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12
= 52
(2) માત્ર એક જ સમાચારપત્ર વાંચનાર વ્યક્તિઓની સંખ્યા
= e + f + g
= 8 + 10 + 12
= 30
પ્રશ્ન 16.
એક સર્વેક્ષણમાં 21 વ્યક્તિ ઉત્પાદન A પસંદ કરે છે, 26 ઉત્પાદન B પસંદ કરે છે અને 29 ઉત્પાદન C પસંદ કરે છે. જો 14 વ્યક્તિઓ ઉત્પાદન A અને B બંને પસંદ કરતી હોય, 12 વ્યક્તિઓ ઉત્પાદન C અને A બંને પસંદ કરતી હોય, 14 વ્યક્તિઓ ઉત્પાદન B અને C બંને પસંદ કરતી હોય તથા 8 વ્યક્તિઓ ત્રણેય ઉત્પાદન પસંદ કરતી હોય, તો માત્ર ઉત્પાદન C પસંદ કરતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A = ઉત્પાદન A પસંદ કરે તે વ્યક્તિઓનો ગણ
B = ઉત્પાદન B પસંદ કરે તે વ્યક્તિઓનો ગણ
C = ઉત્પાદન C પસંદ કરે તે વ્યક્તિઓનો ગણ
આપેલી માહિતી પ્રમાણે,
n (A) = 21, n (B) = 26, n (C) = 29,
n (A ∩ B) = 14, n (C ∩ A) = 12, n (B ∩ C) = 14
n (A ∩ B ∩ C) = 8
વેન આકૃતિ પ્રમાણે,
n (A ∩ B ∩ C) = a = 8 ……………(1)
n (A ∩ B) = a + d = 14 ……………(2)
n (B ∩ C) = a + c = 14 ……………(3)
n (C ∩ A) = a + b = 12 …………….(4)
n (A) = a + b + d + e = 21 …………..(5)
n (B) = a + c + d + g = 26 ……………(6)
n (C) = a + b + c + f = 29 …………….(7)
n (U) = a + b + c + d + e + f + g + h …………(8)
અહીં, માત્ર ઉત્પાદન C પસંદ કરતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા = f થશે.
f મેળવવા પૂરતાં જરૂરી સમીકરણો જ ઉકેલીશું.
(1) અને (3) પરથી, 8 + c = 14
∴ c = 6
(1) અને (4) પરથી, 3 + b = 12
∴ b = 9
હવે, (7) પરથી, a + b + c + f = 29
3 + 9 + 6 + f = 29
∴ f = 11
આમ, માત્ર ઉત્પાદન C પસંદ કરતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા 11 છે.