Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Ex 1.6 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Ex 1.6
પ્રશ્ન 1.
જો બે ગણ X અને Y માટે, n (X) = 17, n (Y) = 23 અને n (X ∪ Y) = 38 હોય, તો n (X ∩ Y) શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, n (X) = 17, n (Y) = 23 અને n (X ∪ Y) = 38
સૂત્ર n (X ∪ Y) = n (X) + n (Y) – n (X ∩ Y)નો ઉપયોગ કરતાં,
38 = 17 + 23 – n (X ∩ Y)
∴ n (X ∩ Y) = 2
પ્રશ્ન 2.
જો બે ગણ X અને Y માટે X ∪ Yમાં 18 ઘટકો, ૪માં 8 ઘટકો અને ૪માં 15 ઘટકો હોય, તો X ∩ Yમાં કેટલા ઘટકો હશે?
ઉત્તરઃ
અહીં, n (X ∪ Y) = 18,
n (X ∩ Y) = ?
n (X) = 8, n (Y) = 15,
સૂત્ર _ n (X ∪ Y) = n (X) + n (Y) – n (X ∩ Y)નો ઉપયોગ કરતાં,
18 = 8 + 15 – n (X ∩ Y)
∴ n (X ∩ Y) = 5
પ્રશ્ન 3.
400 વ્યક્તિઓના સમૂહમાં, 250 હિન્દી બોલી શકે છે અને 200 અંગ્રેજી બોલી શકે છે, તો કેટલી વ્યક્તિઓ હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને બોલી શકે? 400 પૈકી દરેક વ્યક્તિ આ બે પૈકી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલી શકે છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, હિન્દી બોલી શકતી વ્યક્તિઓનો ગણ X છે અને અંગ્રેજી બોલી શકતી વ્યક્તિઓનો ગણ Y છે. X Y બંને ભાષા બોલી શકતી વ્યક્તિઓનો ગણ થશે.
આપેલી માહિતી પરથી, n (X ∪ Y) = 400; n (X) = 250; n (Y) = 200; n (X ∩ Y) = ?
સૂત્ર n (X ∪ Y) = n (X) + n (Y) – n (X ∩ Y) પ્રમાણે,
400 = 250 + 200 –n (X ∩ Y)
∴ n (X ∩ Y) = 50
આમ, હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને બોલી શકે તેવી વ્યક્તિઓની સંખ્યા આ સમૂહમાં 50 છે.
પ્રશ્ન 4.
જો બે ગણો S અને T માટે Sમાં 21 ઘટકો, Tમાં 32 ઘટકો અને S ∩ Tમાં 11 ઘટકો હોય, તો S ∪ Tમાં કેટલા ઘટકો હશે? અહીં, n (S) = 21; n (T) = 32; n (S ∩ T) = 11; n (S ∪ T) = ?
ઉત્તરઃ
સૂત્ર n (S ∪ T) = n (S) + n (T) – n (S ∩ T) પ્રમાણે,
n (S ∪ T) = 21 + 32 – 11
આમ, S ∪ Tમાં 42 ઘટકો હશે.
∴ n (S ∪ T) = 42
પ્રશ્ન 5.
બે ગણ X અને Y એવા છે કે ગણ xમાં 40 ઘટકો, X ∪ Yમાં 60 ઘટકો અને X ∩ Yમાં 10 ઘટકો હોય, તો ૪માં કેટલા ઘટકો હશે?
ઉત્તરઃ
અહીં, n (X) = 40; n (X ∪ Y) = 60; n (X ∩ Y) = 10; n (Y) = ?
સૂત્રn (X ∪ Y) = n (X) + n (Y) – n (X ∩ Y)નો ઉપયોગ કરતાં,
60 = 40 + n (Y) – 10
∴ n (Y) = 30
પ્રશ્ન 6.
70 વ્યક્તિઓના જૂથમાં 37 કૉફી પસંદ કરે છે અને 52 વ્યક્તિઓ ચા પસંદ કરે છે તથા દરેક વ્યક્તિ આ બે પીણાંમાંથી ઓછામાં ઓછું એક પીણું પસંદ કરે છે, તો કેટલી વ્યક્તિઓ કૉફી અને ચા બંને પસંદ કરે છે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, કૉફી પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ X અને ચા પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ Y છે.
X ∪ Y એ ઓછામાં ઓછું એક પીણું પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ થશે.
X ∩ Y એ કૉફી અને ચા બંને પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ થશે.
આપેલી માહિતી પરથી, n (X) = 37;
n (X ∪ Y) = 70; n (X ∩ Y) = ?
n (Y) = 52;
સૂત્ર n (X ∪ Y) = n (X) + n (Y) – n (X ∩ Y)નો ઉપયોગ કરતાં,
70 = 37 + 52 – n (X ∩ Y)
∴ n (X ∩ Y) = 19
એટલે કે 19 વ્યક્તિઓ કૉફી અને ચા બંને પસંદ કરે છે.
પ્રશ્ન 7.
65 વ્યક્તિઓના જૂથમાં 40 ક્રિકેટ પસંદ કરે છે, 10 ક્રિકેટ અને ટેનિસ બંને પસંદ કરે છે. કેટલી વ્યક્તિઓ માત્ર ટેનિસ પસંદ કરે છે પરંતુ ક્રિકેટ પસંદ કરતી નથી? કેટલા ટેનિસ પસંદ કરે છે? 65 પૈકી દરેક વ્યક્તિ આ બે પૈકી ઓછામાં ઓછી એક રમત પસંદ કરે છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ક્રિકેટ પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ X છે અને ટેનિસ પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ Y છે. બંને રમત પસંદ કરતી વ્યક્તિઓનો ગણ X ∩ Y થશે. ટેનિસ પસંદ કરે પરંતુ ક્રિકેટ પસંદ ન કરે તેવી વ્યક્તિઓનો ગણ Y – X થશે.
આપેલી માહિતી પરથી, n (X ∪ Y) = 65; n (X) = 40; n (X ∩ Y) = 10; n (Y) = ?; n (Y – X) = ?
સૂત્રn (X ∪ Y) = n (X) + n (Y) – n (X ∩ Y)નો ઉપયોગ કરતાં,
65 = 40 + n (Y) – 10
∴ n (Y) = 35
આમ, 35 વ્યક્તિઓ ટેનિસ પસંદ કરે છે.
હવે, n (Y – X) = n (Y) – n (X ∩ Y)
∴ n (Y – X) = 35 – 10 … n (Y – X) = 25
આમ, ટેનિસ પસંદ કરે પરંતુ ક્રિકેટ પસંદ ન કરે તેવી વ્યક્તિઓની સંખ્યા 25 છે તથા ટેનિસ પસંદ કરે તેવી વ્યક્તિઓની સંખ્યા 35 છે.
પ્રશ્ન 8.
એક સમિતિમાં 50 વ્યક્તિઓ ફ્રેંચ બોલે છે, 20 સ્પેનિશ બોલે છે અને 10 વ્યક્તિઓ સ્પેનિશ અને ફ્રેંચ બંને બોલે છે, તો કેટલી વ્યક્તિઓ આ બે ભાષાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલી શકે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ફ્રેંચ બોલતી વ્યક્તિઓનો ગણ X છે અને સ્પેનિશ બોલતી વ્યક્તિઓનો ગણ Y છે.
બંને ભાષાઓ બોલી શકતી વ્યક્તિઓનો ગણ X ∩ Y થશે.
ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલી શકતી વ્યક્તિઓનો ગણ X ∪ Y થશે.
આપેલી માહિતી પરથી, n (X) = 50; n (Y) = 20; n (X ∩ Y) = 10; n (X ∪ Y) = ?
સૂત્રn (X ∪ Y) = n (X) + n (Y) – n (X ∩Y) પ્રમાણે,
n (X ∪ Y) = 50 + 20 – 10
∴ n (X ∪ Y) = 60
આમ, 60 વ્યક્તિઓ આ બે ભાષાઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલી શકે.