Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Ex 1.4 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Ex 1.4
પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલી જોડીઓના ગણોનો યોગ ગણ લખો :
(1) X = {1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3}
(2) A = {a, e, i, o, u}, B = {a, b, c}
(3) A = {x:x એ ૩ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}, B = {x: x એ 6થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
(4) A = {x: x એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને 1 < x ≤ 6}, B = {x:x એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને 6 < x < 10}
(5) A = {1, 2, 3}, B = 0
ઉત્તરઃ
(1) X = {1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3}
∴ X ∪ Y = {1, 2, 3, 5}
(2) A = {a, e, i, o, u}, B = {a, b, c}
∴ A ∪ B= {a, e, i, o, u, b, c}
(3) A = {x: x એ 3ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.},
B = {x: x એ 6થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
અર્હીં, A = {3, 6, 9, 12, …}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, …}
∴ A ∪ B = {x: x = 1, 2, 3, 4, 5 અથવા ૩નો ગુણિત}
(4) A = {x:x એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને 1 < x ≤ 6}
B = {x:x એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને 6 < x < 10}
અર્હીં, A = {2, 3, 4, 5, 6}
B = {7, 8, 9}
∴ A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
∴ A ∪ B = {x:1 < x < 10, x ∈ N}
(5) A = {1, 2, 3}, B = Φ
∴ A ∪ B = {1, 2, 3}
પ્રશ્ન 2.
A= {a, b}, B = {a, b, c) લૉ. A ⊂ B ? A ∪ B શું થશે?
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {a, b} B = {a, b, c}
∴ ગણ Aનો દરેક સભ્ય ગણ Bનો પણ સભ્ય છે. આથી ગણ
A એ ગણ Bનો ઉપગણ છે.
∴ A ⊂ B
હવ A ∪ B = {a, b}\{a, b, c}
∴A ∪ B = {a, b, c}
પ્રશ્ન 3.
જો A ⊂ B હોય તેવા બે ગણ આપ્યા હોય, તો A ∪ B શું થશે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A = {1, 2}, B = {1, 2, 3}
અહીં, A ⊂ B છે.
હવ A ∪ B = {1, 2}U{1, 2, 3}
= {1, 2, 3}
= B
આમ, જો A ⊂ B હોય, તો A ∪ B = B થશે.
પ્રશ્ન 4.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8} અને D = {7, 8, 9, 10} હોય તો નીચેના ગણ શોધો :
(1) A ∪ B
(2) A ∪ C
(3) B ∪ C
(4) B ∪ D
(5) A ∪ B ∪ C
(6) A ∪ B ∪ D
(7) B ∪ C ∪ D
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8} અને D= {7, 8, 9, 10}
(1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(2) A ∪ C ={1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(3) B ∪ C = {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}
(4) B ∪ D = {3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(5) A ∪ B ∪ C
= {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(6) A ∪ B ∪ D
= {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(7) B ∪ C ∪D
= {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
પ્રશ્ન 5.
પ્રશ્ન 1માં આપેલી જોડીઓના ગણોનો છેદગણ શોધો :
ઉત્તરઃ
(1) X = {1, 3, 5}, Y= {1, 2, 3}
∴ X ∩ Y = {1, 3, 5} ∩ {1, 2, 3}
= {1, 3}
(2) A = {a, e, i, o, u}, B = {a, b, c}
A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {a, b, c}
= {a}
(3) A = {x: x એ 3ની ગુણિત પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
B = {x: x એ 6થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
અહીં, A = {3, 6, 9, 12, …}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ A ∩ B = {3, 6, 9, 12, …} ∩ {1, 2, 3, 4, 5}
= {3}
(4) A = {x : x એ પ્રાક્કૃંક સંખ્યા છે અને 1 < x ≤ 10}
B = {x : x એ પ્રાક્કૃંક સંખ્યા છે અને 6 < x < 10}
અહીં, A = {2, 3, 4, 5, 6},
B = {7, 8, 9}
∴ A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6} ∩ {7, 8, 9}
= &
(5) A = {1, 2, 3}, B = Φ
∴ A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ Φ
= Φ
પ્રશ્ન 6.
A= {3, 5, 7, 9, 11), B = {7, 9, 11, 13}, c = {11, 13, 15} અને D = {15, 17} હોય, તો નીચેના ગણ શોધો :
(1) A ∩ B
(2) B ∩ C
(3) A ∩ C ∩ D
(4) A ∩ C
(5) B ∩ D
(6) A ∩ (B ∪ C)
(7) A ∩ D
(8) A ∩ (B ∪ D)
(9) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C)
(10) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13} C = {11, 13, 15}, D = {15, 17}
(1) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13}
= {7, 9, 11}
(2) B ∩ C = {7, 9, 11, 13}{11, 13, 15}
= {11, 13}
(3) A ∩ C ∩ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∩{11, 13, 15}{15, 17}
= {11} ∩ {15, 17}
= 0
(4) A ∩ C = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15}
= {11}
(5) B ∩ D = {7, 9, 11, 13} ∩ {15, 17}
= Φ
(6) A ∩ (B ∪ C)
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13) ∪ {11, 13, 15})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11}
(7) A ∩ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {15, 17}
= Φ
(8) A ∩ (B ∪D) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ∪ {15, 17})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15, 17}
= {7, 9, 11}
(9) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C)
= ({3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13}) ∩ ({7, 9, 11, 13} ∪{11, 13, 15})
= {7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11}
(10) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
= ({3, 5, 7, 9, 11} ∩ {15, 17}) ∩ ({7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15})
= {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 15}
પ્રશ્ન 7.
જો A = {x × એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.},
B = {x xએ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.},
C = {x : ૪ એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.} અને
D = {x x એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.}, તો નીચેના ગણ મેળવો :
(1) A ∩ B
(2) A ∩ C
(3) A ∩ D
(4) B ∩ C
(5) B ∩ D
(6) C ∩ D
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {x : x એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
∴ A= {1, 2, 3, 4,…}
B = {x:x એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
∴ B = {2, 4, 6, 8, …}
C = {x : x એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
∴ C = {1, 3, 5, 7, …}
D = {x : × એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.)
∴ D= {2, 3, 5, 7,…}
(1) A ∩ B = {1, 2, 3, 4,…} ∩ {2, 4, 6, 8,…}
= {2, 4, 6, 8, …}
= B
(2) A ∩ C = {1, 2, 3, 4, …} ∩ {1, 3, 5, 7, …}
= {1, 3, 5, 7, …}
= C
(3) A ∩ D = {1, 2, 3, 4, …} ∩ {2, 3, 5, 7, …}
= {2, 3, 5, 7, …)
= D
(4) B ∩ C = {2, 4, 6, 8, …} ∩ {1, 3, 5, 7,…}
= Φ
(5) B ∩ D= {2, 4, 6, 8, …} ∩ {2, 3, 5, 7,…}
= {2}
(6) C ∩ D= {1, 3, 5, 7, …} ∩ {2, 3, 5, 7,…}
= {3, 5, 7, …}
= {x:x એ અયુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.}
પ્રશ્ન 8.
નીચેના ગણોની જોડીઓમાંથી કઈ જોડના ગણ પરસ્પર અલગ ગણ છે?
(1) {1, 2, 3, 4} અને {x: x એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, 4 ≤ x ≤ 6}
(2) {a, e, i, o, u} અને {c, d, e, f}
(૩) {x: x એ યુગ્મ પૂર્ણાંક છે.} અને {x: x એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.}
ઉત્તરઃ
(1) ધારો કે, A = {1, 2, 3, 4}
B = {x:x એ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, 4 ≤ x ≤ 6}
∴ B= {4, 5, 6}
∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 4}{4, 5, 6}
= {4} ≠ Φ
આમ, A અને B પરસ્પર અલગ ગણ નથી.
(2) ધારો કે,, A = {a, e, i, o, u}
B = {c, d, e, f}
∴ A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {c, d, e, f}
= {e} ≠ Φ
∴ A અને B પરસ્પર અલગ ગણ નથી.
(3) ધારો કે, A = {x: x એ યુગ્મ પૂર્ણાંક છે.}
B = {x : x એ અયુગ્મ પૂર્ણાંક છે.}
∴ A = {… − 4, -2, 0, 2, 4…}
B = {… – 3, -1, 1, 3…}
∴ A ∩ B = {…-4, -2, 0, 2, 4…} ∩ {… 3, 1, 1, 3…}
= Φ
∴ A અને B પરસ્પર અલગ ગણ છે.
પ્રશ્ન 9.
A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21},
B = {4, 8, 12, 16, 20},
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16},
D = {5, 10, 15, 20}; તો નીચેના ગણ મેળવો :
(1) A – B
(2) A – C
(3) A – D
(4) B – A
(5) C – A
(6) D – A
(7) B – C
(8) B – D
(9) C – B
(10) D – B
(11) C – D
(12) D – C
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
B = {4, 8, 12, 16, 20}
C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
D = {5, 10, 15, 20}
(1) A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {3, 6, 9, 15, 18, 21}
(2) A − C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {3, 9, 15, 18, 21}
(3) A – D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {5, 10, 15, 20}
= {3, 6, 9, 12, 18, 21}
(4) B – A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {4, 8, 16, 20}
(5) C – A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {2, 4, 8, 10, 14, 16}
(6) D – A= {5, 10, 15, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {5, 10, 20}
(7) B -C = {4, 8, 12, 16, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {20}
(8) B – D = {4, 8, 12, 16, 20} – {5, 10, 15, 20}
= {4, 8, 12, 16}
(9) C – B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {2, 6, 10, 14}
(10) D – B = {5, 10, 15, 20} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {5, 10, 15}
(11) C – D = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {5, 10, 15, 20}
= {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16}
(12) D – C = {5, 10, 15, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {5, 15, 20}
પ્રશ્ન 10.
જો X = {a, b, c, d}, Y= {f, b, d, g}, તો નીચેના ગણ મેળવોઃ
(1) X – Y
(2)Y – X
(3) X ∩ Y
ઉત્તરઃ
અહીં, X = {a, b, c, d}, Y = {f, b, d, g}
( 1 ) X – Y = {a, b, c, d} – {f, b, d, g} = {a, c}
( 2 ) Y – X = {f, b, d, g} – {a, b, c, d} = {f, g}
(3) X ∩ Y= {a, b, c, d} ∩ {f, b, d, g} = {b, d}
પ્રશ્ન 11.
જો R એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ અને 9 સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ હોય, તો R−Q શું થશે?
ઉત્તરઃ
R−Q એટલે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાંથી સંમેય સંખ્યાઓ દૂર કરતાં હવે તેમાં અસંમેય સંખ્યાઓ બાકી રહેશે. આમ, R-Q અસંમેય સંખ્યાઓનો ગણ થશે.
પ્રશ્ન 12.
નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો. તમારા જવાબની યથાર્થતા ચકાસો :
( 1) {2, 3, 4, 5} અને {3, 6} પરસ્પર અલગ ગણ છે.
(2) {a, e, i, o, u} અને {a, b, c, d} પરસ્પર અલગ ગણ છે.
(3) {2, 6, 10, 14} અને {8, 7, 11, 15} પરસ્પર અલગ ગણ છે.
(4) {2, 6, 10} અને {3, 7, 11} પરસ્પર અલગ ગણ છે.
ઉત્તરઃ
(1) ધારો કે, A = {2, 3, 4, 5} અને B = {3, 6}
∴ A ∩ B = {2, 3, 4, 5} ∩ {3,6} = {3}
∴ A ∩ B
∴ A અને B પરસ્પર અલગ ગણ નથી.
આમ, આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
(2) ધારો કે, A = {a, e, i, o, u} અને
B = {a, b, c, d}
∴ A ∩ B = {a, e, i, o, u}{a, b, c, d}
= {a}
∴ A ∩ B ≠ Φ
∴ A અને B પરસ્પર અલગ ગણ નથી. આમ, આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
(3) ધારો કે, A = {2, 6, 10, 14} અને B = {3, 7, 11, 15}
∴ A ∩ B = {2, 6, 10, 14} ∩ {3, 7, 11, 15}
∴ A ∩ B = Φ
∴ A અને B પરસ્પર અલગ ગણ છે. આમ, આપેલ વિધાન સત્ય છે.
(4) ધારો કે, A = {2, 6, 10} અને B = {3, 7, 11}
∴ A ∩ B = {2, 6, 10} ∩ {3, 7, 11}
∴ A ∩ B = Φ
∴ A અને B પરસ્પર અલગ ગણ છે.
આમ, આપેલ વિધાન સત્ય છે.