GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.1

પ્રશ્ન 1.
સાબિત કરો કે વિધેય f(x) = 5x – 3, x = 0, x = −3 અને x = 5 આગળ સતત છે.
ઉત્તરઃ
f(x) = 5x – 3
x = 0, f(0) = 5(0) – 3 = -3

∴ વિધેય f(x) એ x = 5 આગળ સતત છે.

પ્રશ્ન 2.
વિધેય f(x) = 2x² – 1 નું x = 3 આગળ સાતત્ય ચકાસો.
ઉત્તરઃ
f(x) = 2x² – 1
∴ f(3) = 2(3)² – 1 = 17

પ્રશ્ન 3.
નીચે આપેલ વિધેયોનાં સાતત્ય ચકાસો :
(a) f(x) = x – 5
(b) f(x) = \(\frac{1}{x-5}\), x ≠ 5
(c) f(x) = \(\frac{1}{x-5}\), x ≠ -5
ઉત્તરઃ
(a) f(x) = x – 5
ધારો કે, a ∈ R

∴ વિધેયf(x) = x – 5 એ ૪ની પ્રત્યેક કિંમતો માટે સતત છે. (x ∈ R)
નોંધ : f(x) = x – 5 એ બહુપદી વિધેય હોવાથી ∀ x ∈ R માટે સતત છે.

(b) f(x) = \(\frac{1}{x-5}\), x ≠ 5
ધારો કે, a ∈ R, a ≠ 5

+ ∞ અને -∞ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ નથી.
∴ x = 5 આગળ જમણી બાજુનું તથા ડાબી બાજુનું લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
∴ વિધેય f એ x = 5 આગળ અસતત છે.

(c) f(x) = \(\frac{1}{x-5}\), x ≠ -5

f(x) = x – 5 એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી x = -5
સિવાયની x ની પ્રત્યેક કિંમતો માટે સતત છે.

(d) f(x)
ધારો કે a ∈ R

∴ f(x) = |x – 5| એ સતત વિધેય છે.
નોંધ : x – 5 એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે.
∴ |x – 5| એ સતત વિધેય થાય.

પ્રશ્ન 4.
સાબિત કરો કે ધનપૂર્ણાંક n માટે વ્યાખ્યાયિત વિધેય f(x) = xⁿ સતત છે.
ઉત્તરઃ
f(x) = xⁿ, જ્યાં n એ ધન પૂર્ણાંક છે.
ધારો કે n = 2 તથા x = n ⇒ x = n = 2 થાય.
∴ f(2) = 2² = 4

∴ વિધેય f(x) એ x = 2 આગળ સતત થાય.
આમ, વિધેય f(x) એ x = n આગળ સતત છે.

પ્રશ્ન 5.

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય f એ x = 0 આગળ સતત છે ?
x = 1 આગળ તે સતત છે ? x = 2 આગળ તે સતત છે ?
ઉત્તરઃ
x = 0, f(x) = x ⇒ f(0) = 0

∴ વિધેય f(x) એ x = 2 આગળ સતત છે.

જો f નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત હોય, તો જે બિંદુઓએ f અસતત હોય તેવાં બિંદુ શોધો :

પ્રશ્ન 6.

ઉત્તરઃ
x < 2 માટે f(x) = 2x + 3 બહુપદી હોવાથી સતત છે. x > 2 માટે f(x) = 2x – 3 બહુપદી હોવાથી સતત છે.
x = 2 આગળ,

∴ વિધેય f(x) એ x = 2 આગળ અસતત છે.

પ્રશ્ન 7.

ઉત્તરઃ
વિધેય f(x) એ પ્રત્યેક x ∈ R માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
x = 3 આગળ,

∴ વિધેય f(x) એ x = ૩ આગળ સતત છે.

પ્રશ્ન 8.

ઉત્તરઃ
x = 0 આગળ,

∴ વિધેય f(x) એ x = 0 આગળ અસતત છે.

પ્રશ્ન 9.

ઉત્તરઃ
x ≥ 0 માટે f(x) = −1 ⇒ f(0) = −1

∴ વિધેય f(x) એ x = R માટે સતત છે.
∴ અસતત બિંદુઓ મળતાં નથી.

પ્રશ્ન 10.

ઉત્તરઃ
સ્પષ્ટ છે કે વિધેય f(x) એ x > 1 તથા x < 1 માટે સતત છે.
x = 1 આગળ,

∴ વિધેય f(x) એ x = 1 આગળ સતત છે.
∴ f(x) એ ∀ x = R માટે સતત છે.
∴ અસતત બિંદુઓ મળતાં નથી.

પ્રશ્ન 11.

ઉત્તરઃ
સ્પષ્ટ છે કે વિધેય f(x) એ x < 2 તથા x > 2 માટે સતત છે.
x = 2 આગળ,

∴ વિધેય f(x) એ x = 2 આગળ સતત છે.
∴ વિધેય f(x) માટે અસતત બિંદુઓ મળતાં નથી.
∴ f(x) એ ∀ x ∈ R માટે સતત છે.

પ્રશ્ન 12.

ઉત્તરઃ
વિધેય f(x) એ x < 1 તથા x > 1 આગળ સતત છે.
x = 1 આગળ,

પ્રશ્ન 13.

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય સતત છે ?
ઉત્તરઃ
સ્પષ્ટ છે કે f(x) એ x < 1 તથા x > 1 માટે સતત વિધેય છે.

∴ વિધેય f(x) એ x = 1 આગળ સતત નથી.

નીચે આપેલ વ્યાખ્યાયિત વિધેયો f માટે સાતત્ય ચર્ચો :

પ્રશ્ન 14.

ઉત્તરઃ
x = 1 આગળ,

∴ વિધેય f(x) એ x = ૩ આગળ સતત નથી.
∴ f એ R – {3} પર સતત છે.

પ્રશ્ન 15.

ઉત્તરઃ
x = 0 આગળ,

∴ વિધેય f(x) એ ફક્ત x = 1 આગળ સતત નથી.
∴ f એ R – {1} પર સતત છે.

પ્રશ્ન 16.

ઉત્તરઃ
x = -1 આગળ,

∴ વિધેય f(x) એ x = 1 આગળ સતત છે.
∴ f એ R પર સતત છે.

પ્રશ્ન 17.

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય f એ x = 3 આગળ સતત હોય, તો a અને b વચ્ચેનો સંબંધ શોધો.
ઉત્તરઃ
વિધેય f(x) એ x = 3 આગળ સતત છે.

પ્રશ્ન 18.
λ ના કયા મૂલ્ય માટે

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય x = 0 આગળ આગળ સાતત્ય માટે શું કહી શકાય ?
ઉત્તરઃ

વિધેય f(x) એ x = 0 આગળ સતત હોય તો,

∴ λ ની કોઈપણ કિંમત માટે વિધેય f(x) એ x = 1 માટે સતત છે.

પ્રશ્ન 19.
સાબિત કરો કે વિધેયg(x) = x- [x] પ્રત્યેક પૂર્ણાંક માટે અસતત છે. અહીં [x] એ x જેટલો કે તેથી નાનો હોય તેવો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.
ઉત્તરઃ
g(x) = x – [x]
જો n – 1 ≤ x < n હોય તો g(x) = x − (n − 1)
જો x = n હોય તો g(1) = 0
જો n < x < n + 1 હોય તો g(x) = x – n
જ્યાં n પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
આપણે x = n આગળ વિધેય g(x) ની સાતત્યતા ચકાસીએ. g(n) = 0

∴ વિધેય g(x) એ x = n આગળ અસતત છે.
n એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
∴ વિધેય g(x) એ બધાં જ પૂર્ણાંક બિંદુએ અસતત છે.
આપણે g(x) = x – [x] નો આલેખ દોરીએ.

g(x) = x, 0 < x < 1
g(x) = 0, x = 1
g(x) = x 1, 1 < x < 2
g(x) = 0, x = 2
g(x) = x – 2, 2 < x < 3
g(x) = 0, x = 3
g(x) = x 3, 3 < x < 4
g(x) = 0, x = 4

આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે વિધેય g(x) એ બધાં જ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ આગળ અસતત છે. તે સિવાયની સંખ્યાઓ પાસે સતત છે. x ની કોઈપણ કિંમત માટે g(x) ≠ 1.

પ્રશ્ન 20.
f(x) = x² – sinx + 5 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય x = π આગળ સતત છે ?
ઉત્તરઃ
f(x) = x² – sinx + 5
x = π, f(π) = π² – sinπ + 5 = π² + 5

∴ વિધેય f(x) એ x = ૬ આગળ સતત છે.

પ્રશ્ન 21.
નીચેનાં વિધેયોનું સાતત્ય ચર્ચો :
(a) f(x) = sin x + cos x
ઉત્તરઃ
ધારો કે a કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∴ f(a) = sin a + cos a

∴ a એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∴ f(x) = sinx + cosx એ બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યા માટે સતત છે.

(b) f(x) = sin x cos x
ઉત્તરઃ
ધારો કે a કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∴ f(a) = sin a – cos a
f(a) = sin a – cos a

∴ a એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∴ f(x) = sin x – cos x એ બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.

(c) f(x) = sin x . cost
ઉત્તરઃ
ધારો કે a કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
f(a) = sin a .cos a

∴ a એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∴ f(x) = sinx . cosx એ બધી જ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સતત છે.

પ્રશ્ન 22.
cosine, cosecant, secant અને cotangent વિધેયોનાં સાતત્ય ચર્ચો :
(1) f(x) = cos x, x ∈ R
ઉત્તરઃ
ધારો કે c કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∴ f(c) = cos c

= cos c. cos 0 – sin c. sin 0
= cosc (1) – sinc (0)
= COSC
= f(c)
∴ f(x) = cos x એ c ∈ R માટે સતત છે.
c કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી f(x) વિધેય છે.

(2) f(x) = cosec x = \(\frac{1}{\sin x}\), x ∈ R – {nπ}, n ∈ I
ઉત્તરઃ
ધારો કે x ∈ R – {nπ} એ કોઈ સંખ્યા છે.

∴ વિધેય f(x) = cosec x એ c ∈ R – {n}, n ∈ 1 માટે સતત વિધેય છે.
c એ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∴ f(x) = cosec x સતત વિધેય છે. x ∈ R – {nπ}, n ∈ I.

(3) f(x) = sec x = \(\frac{1}{\cos x}\), x ∈ R – {(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\), n ∈ I}
ઉત્તરઃ

= \(\frac{1}{\cos c}\)
= sec c
= f(c)
∴ f(x) = sec x એ c ∈ R – {(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\), n ∈ I} માટે સતત વિધેય છે.

(4) f(x) = cot x = \(\frac{1}{\tan x}\), x ∈ R – {nπ, n ∈ I}
ઉત્તરઃ
ધારો કે c ∈ R – {nπ, n ∈ I}

∴ f(x) = cot x એ c ∈ R – {nπ, n ∈ I} માટે સતત વિધેય છે.
∴ f(x) = cot x સતત વિધેય છે.

પ્રશ્ન 23.

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો જ્યાં f અસતત હોય એવાં તમામ બિંદુઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
x = 0 માટે, f(0) = 0 + 1 = 1

∴ વિધેય f(x) એ x = 0 આગળ સતત વિધેય છે.
x < 0 માટે, sin x અને ૪ બંને સતત વિધેય હોવાથી f(x) = \(\frac{\sin x}{x}\) સતત છે. x > 0 માટે f(x) = x + 1 જે બહુપદી હોવાથી સતત છે.
∴ f(x) એ સતત વિધેય છે. x ∈ R
∴ વિધેયf માટે અસતત બિંદુઓ મળતાં નથી.

પ્રશ્ન 24.

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય સતત વિધેય છે ?
ઉત્તરઃ
અહીં, f(0) = 0 તથા, −1 ≤ sin \(\frac{1}{x}\) ≤ 1

∴ વિધેય f(x) એ તમામ x ∈ R માટે સતત વિધેય છે.

પ્રશ્ન 25.

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયનું સાતત્ય ચકાસો.
ઉત્તરઃ

તથા f(0) = -1
∴ વિધેય f(x) એ x = 0 માટે સતત છે.
∴ વિધેય f(x) એ x = R માટે સતત છે.

પ્રશ્નો 26 થી 29 માં દર્શાવેલ બિંદુએ વિધેય f સતત હોય તો નું મૂલ્ય શોધો :

પ્રશ્ન 26.

આગળ.
ઉત્તરઃ
વિધેય f એ x = \(\frac{\pi}{2}\) આગળ સતત છે.

પ્રશ્ન 27.

ઉત્તરઃ
વિધેય f એ x = 2 આગળ સતત છે.

પ્રશ્ન 28.

ઉત્તરઃ
વિધેય f એ x = π આગળ સતત છે.

પ્રશ્ન 29.

ઉત્તરઃ
વિધેય f એ x = 5 આગળ સતત છે.

પ્રશ્ન 30.
a અને b નાં એવાં મૂલ્યો શોધો કે જેથી,

દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય સતત હોય.
ઉત્તરઃ
x < 2 માટે f(x) = 5 જે અચળ વિધેય હોવાથી સતત છે.
2 < x < 10 માટે f(x) = ax + b જે બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે. x > 10 માટે f(x) = 21 જે અચળ વિધેય હોવાથી સતત છે.
x = 2 તથા x = 10 માટે વિધેય fની સાતત્યતા જોઈએ.
વિધેય f એ x = 2 આગળ સતત છે.

પ્રશ્ન 31.
સાબિત કરો કે વિધેય f(x) = cos(x²) સતત વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
h(x) = x², x ∈ R એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે.
તથા g(x) = cos x, x = R એ ત્રિકોણમિતિય વિધેય હોવાથી સતત છે.
સંયોજીત વિધેય (goh)(x) = g [h(x)]
= g(x²)
f(x) = cos x²
હવે વિધેય h અને g, x ∈ R માટે સતત વિધેયો હોવાથી સંયોજિત વિધેય (gof⟩(x) સતત વિધેય છે.
∴ cos x² એ સતત વિધેય છે.

પ્રશ્ન 32.
સાબિત કરો કે વિધેય f(x) = |cos x| સતત વિધેય છે.
ઉત્તરઃ
h(x) = cosx, x ∈ R એ ત્રિકોણમિતિય વિધેય હોવાથી સતત વિધેય છે.
g(x) = |x|, x ∈ R એ માનાંક વિધેય હોવાથી સતત વિધેય છે.
સંયોજીત વિધેય (goh)(x) = g (h(x))
= g(cosx)
f(x) = |cos x|
∴ h અને g નું સંયોજિત વિધેય (goh) સતત વિધેય છે.
(goh)(x) = f(x).
∴ f(x) = |cos x| એ સતત વિધેય થાય.

પ્રશ્ન 33.
sin|x| વિધેયના સાતત્યનું પરીક્ષણ કરો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે f(x) = |x| અને g(x) = sinx
∴ (goh)(x) = g [f(x)]
= g|x|
= sin|x|
∴ f અને g અનુક્રમે માનાંક વિધેય અને ત્રિકોણમિતિય વિધેય હોવાથી સતત વિધેય છે.
∴ તેમનું સંયોજિત વિધેય (gof) પણ સતત છે.
∴ sin|x| એ સતત વિધેય છે.

પ્રશ્ન 34.
f(x) =|x| − |x + 1| દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય જ્યાં અસતત હોય એવાં તમામ બિંદુઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
f(x) = |x | – |x + 1|
x < −1 હોય તો f(x) = -x + (x + 1)
−1 ≤ x < 0 હોય તો f(x) = −x – (x + 1) = -2x – 1
x ≥ 0 હોય તો f(x) = x – (x + 1) = -1

∴ વિધેય f(x) એ x = 0 આગળ સતત છે.
x < -1 માટે f(x) = 1 જે અચળ વિધેય હોવાથી સતત છે.
−1 < x < 0 માટે f(x) = =2x – 1 જે બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે. x > 0 માટે f(x) = −1 જે અચળ વિધેય હોવાથી સતત છે.
તથા વિધેય x = 0 તથા x = −1 આગળ પણ સતત છે.
∴ વિધેય f(x) એ ∀x ∈ R માટે સતત છે.
∴ વિધેય f(x) અસતત હોય તેવા બિંદુઓ મળતાં નથી.