Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Ex 1.3 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Ex 1.3
પ્રશ્ન 1.
નીચેનાં વિધાનો સત્ય બને તે રીતે ખાલી જગ્યામાં સંજ્ઞા ⊂ અથવા ⊄ પૂરોઃ
(1) {2, 3, 4}……… {1, 2, 3, 4, 5}
(2) {, b, c} ……… {b, c, d}
(3) {x:x એ તમારી શાળાનો ધોરણ XIનો વિદ્યાર્થી છે.} {x: x એ તમારી શાળાનો વિદ્યાર્થી છે.}
(4) {x: એ સમતલમાં વર્તુળ છે. ………. {x: x એ આ જ સમતલનું 1 એકમ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ છે.}
(5) {x: ૮ એ સમતલમાં ત્રિકોણ છે.} ……….. {x: x એ સમતલમાં લંબચોરસ છે.}
(6) {x: × એ સમતલમાં સમબાજુ ત્રિકોણ છે………… {x: x એ આ જ સમતલનો ત્રિકોણ છે.}
(7) {x:x એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.} ……. {x: x એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.}
ઉત્તરઃ
(1) ધારો કે, A = {2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5}
અહીં, ગણ Aના બધા સભ્યો ગણ Bના પણ સભ્યો છે.
∴ A ⊂ B
(2) ધારો કે, A = {a, b, c}, B = {b, c, d}
અહીં, a ∉ A પરંતુ a ∉ B
∴ A ∉ B
(૩) ધારો કે,
A = {x : x એ તમારી શાળાનો ધોરણ XIનો વિદ્યાર્થી છે.}
B = {x : x એ તમારી શાળાનો વિદ્યાર્થી છે.}
અહીં, ગણ Aનો દરેક સભ્ય ગણ Bનો પણ સભ્ય છે.
∴ A ⊂ B
(4) ધારો કે, A = {x: x એ સમતલમાં વર્તુળ છે.}
B = {x : x એ આ જ સમતલનું 1 એકમ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ છે.}
અહીં, ‘2 ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ’ ગણ Aનો સભ્ય છે. પરંતુ તે ગણ Bનો સભ્ય નથી.
∴ A ⊄ B
(5) ધારો કે, A = {x: x એ સમતલમાં ત્રિકોણ છે.}
B = {x : x એ સમતલમાં લંબચોરસ છે.}
અહીં, સમતલનો ત્રિકોણ એ સમતલનો લંબચોરસ ન હોઈ શકે. આમ, ગણ Aના સભ્યો એ ગણ Bના સભ્યો નથી.
∴ A ⊄ B
(6) ધારો કે, A = {x: x એ સમતલમાં સમબાજુ ત્રિકોણ છે.}
B = {x:x એ આ જ સમતલનો ત્રિકોણ છે.}
સમતલનો દરેક સમબાજુ ત્રિકોણ એ એ જ સમતલનો ત્રિકોણ હોય જ.
આથી ગણ Aના બધા જ સભ્યો ગણ Bના પણ સભ્યો છે.
∴ A ⊂ B
(7) ધારો કે, A = {x: x એ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
B = {x: x એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.}
દરેક યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે જ. આમ, ગણ Aનો દરેક ઘટક ગણ Bનો પણ ઘટક છે.
∴ A ⊂ B
પ્રશ્ન 2.
નીચેનાં વિધાનો સત્ય છે કે અસત્ય તેની ચકાસણી કરો ઃ
(1) {a, b} ⊄ {b, c, a}
(2) {a, e} {x:x એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો પૈકીનો એક સ્વર છે.}
(3) {1, 2, 3} ⊂ {1, 3, 5}
(4) {a} ⊂{a, b, c}
(5) {a} ∈ {a, b, c}
(6) {x:x એ 6 કરતાં નાની યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.} ⊂ {x: x એ 36નો અવયવ હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
ઉત્તરઃ
(1) {a, b} ⊄ {b, c, a}
ધારો કે, A = {a, b}, B = {b, c, a}
ગણ Aનો દરેક સભ્ય ગણ Bનો પણ સભ્ય છે.
∴ A ⊂ B
આમ, આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
(2) {a, e} ⊂ {x:x એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો પૈકીનો એક સ્વર છે.}
ધારો કે, A = {a, e}
B = {x:x એ અંગ્રેજી મૂળાક્ષરો પૈકી એક સ્વર છે.}
અહીં, A = {a, e} અને B = {a, e, i, o, u}
અહીં, ગણ Aનો દરેક સભ્ય ગણ Bનો પણ સભ્ય છે.
∴ A ⊂ B
આમ, આપેલ વિધાન સત્ય છે.
(3) {1, 2, 3}c {1, 3, 5}
ધારો કે, A = {1, 2, 3} અને B = {1, 3, 5}
અહીં, 2 = A પરંતુ 2 ≠ B
A ⊄ B
આમ, આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
(4) {a} ⊂ {a, b, c}
ધારો કે, A = {a}, B = {a, b, c}
અહીં, ગણ Aમાં એક જ સભ્ય છે અને તે ગણ Bનો પણ સભ્ય છે.
∴ A ⊂ B
આમ, આપેલ વિધાન સત્ય છે.
(5) {a} = {a, b, c}
ધારો કે, A = {a}, B = {a, b, c}
અહીં, a = {a, b, c} થાય પરંતુ {a} ⊂ {a, b, c} થાય.
આમ, આપેલ વિધાન અસત્ય છે.
(6) {x: x એ 6 કરતાં નાની યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.} ⊂ {x: x એ 36નો અવયવ હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.} ધારો કે,
A = {x: x એ 6 કરતાં નાની યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
B = {x : x એ 36નો અવયવ હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.}
∴ A = {2,4}
B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} અહીં, ગણ Aના બધા જ સભ્યો ગણ Bના પણ સભ્યો છે.
∴ A ⊂ B
આમ, આપેલ વિધાન સત્ય છે.
પ્રશ્ન 3.
A = {1, 2, {3, 4}, 5} છે. નીચેનાં વિધાનો પૈકી કયાં
વિધાનો અસત્ય છે અને શા માટે?
( 1) {3, 4} ⊂ A
(3) {{3, 4}} ⊂ A
(2) {3, 4} ∈ A
(4) 1 ∈ A
(5) 1 ⊂ A
(6) {1, 2, 5} ⊂ A
(7) {1, 2, 5} ∈ A
(8){1, 2, 3} ⊂ A
(9) Φ = A
(10) Φ ⊂ A
(11) {Φ} ⊂ A
ઉત્તરઃ
(1) {3, 4} ⊂ A
આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે {3, 4} ∈ A
(નોંધ : અહીં, ગણ Aમાં ચાર જ સભ્યો છે. 1, 2,
{3, 4} અને 5)
(2) {3, 4} ∈ A
આ વિધાન સત્ય છે.
(3) {{3, 4}} ⊂ A
આ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે {3, 4) ∈ A.
∴ {{3,4}} ⊂ A છે.
(4) 1 ∈ A
આ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે 1 એ ગણ Aનો સભ્ય છે.
(5) 1 ⊂ A
આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે 1 ∈ A છે.
(6) {1, 2, 5} ⊂ A
આ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે 1, 2, 5 ગણ Aનાં સભ્યો છે.
∴ {1, 2, 5} ગણ Aનો ઉપગણ થાય.
(7) {1, 2, 5} = A
આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે {1, 2, 5} ⊂ A છે.
(8) {1, 2, 3} ⊂ A
આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે 1 ∈ A, 2 ∈ A પરંતુ 3 ∉ A છે.
∴ {1, 2, 3} ⊄ A થાય.
(9) Φ ∈ A
આ વિધાન અસત્ય છે. ખાલી ગણ એ દરેક ગણનો ઉપગણ હોય છે.
∴ Φ ⊂ A થાય.
(10) Φ ⊂ A
આ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે ખાલી ગણ એ દરેક ગણનો ઉપગણ હોય છે.
(11) {Φ} ⊂ A
આ વિધાન અસત્ય છે, કારણ કે ૢ એ ગણ Aનો સભ્ય નથી.
∴ {Φ} ⊄ A થાય.
પ્રશ્ન 4.
નીચે આપેલા ગણોના તમામ ઉપગણો લખો :
(1) {a}
(2) {a, b}
(3) {1, 2, 3}
(4) Φ
ઉત્તરઃ
(1) A = {a} લેતાં,
અહીં, ગણ Aમાં એક જ સભ્ય છે.
∴ ગણ Aના ઉપગણોની સંખ્યા = 21 = 2
∴ Aના ઉપગણો ૢ અને {a} થશે.
( 2) B = {a, b} લેતાં,
અહીં, ગણ Bમાં સભ્યોની સંખ્યા બે છે.
∴ ગણ Bના ઉપગણોની સંખ્યા = 22 = 4
∴ Bના ઉપગણો , {a}, {b}, {a, b} થશે.
(3) C = {1, 2, 3} લેતાં,
અહીં, ગણ Cમાં સભ્યોની સંખ્યા ત્રણ છે.
∴ ગણ Cના ઉપગણોની સંખ્યા = 23 = 8
∴ Cના ઉપગણો Φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} .
(4) Φને એક જ ઉપગણ છે અને Φ છે.
પ્રશ્ન 5.
જો A = Φ હોય, તો P (A)ને કેટલા ઘટકો હશે?
ઉત્તરઃ
અહીં, A = Φ આથી ગણ Aમાં સભ્યોની સંખ્યા = 0
∴ P (A)ના ઘટકોની સંખ્યા = 20 = 1
પ્રશ્ન 6.
નીચેનાને અંતરાલ સ્વરૂપે લખો :
(1) {x: x ∈ R, -4 < x ≤ 6}
(2) {x : x ∈ R, − 12 < x< -10}
(3) {x : x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 7}
( 4 ) {x : x ∈ R, 3 ≤ x ≤ 4}
ઉત્તરઃ
( 1 ) {x : x ∈ R, −4 < x ≤ 6} = (−4, 6]
( 2 ) {x : x ∈ R, − 12 < x < − 10} = (− 12, − 10)
( 3 ) {x : x ∈ R, 0 ≤ x < 7} = [0, 7)
( 4 ) {x : x ∈ R, 3 ≤ x < 4} = [3, 4]
પ્રશ્ન 7.
નીચે આપેલા અંતરાલોને ગુણધર્મની રીતે લખો :
(1) (-3, 0)
(2) [6, 12]
(3) (6, 12]
(4) [-23, 5)
ઉત્તરઃ
( 1) (−3, 0) = {x: x = R, -3 < x < 0}
(2) [6, 12] = {x : x = R, 6 ≤ x ≤ 12}
(3) (6,12] = {x : x = R, 6 < x ≤ 12}
(4) [– 23, 5) = {x : x = R, -23 ≤ x < 5}
પ્રશ્ન 8.
નીચેનાં વિધાનો માટે તમે કયા ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે પસંદ કરશો?
(1) કાટકોણ ત્રિકોણોનો ગણ
(2) સમઢિભુજ ત્રિકોણોનો ગણ
ઉત્તરઃ
(1) કાટકોણ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણનો એક પ્રકાર છે.
આથી સમતલના બધા ત્રિકોણોના ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ શકાય.
આમ, U = {x:x એ સમતલના ત્રિકોણો છે.
(2) સમદ્વિભુજ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણનો એક પ્રકાર છે.
આથી સમતલના બધા ત્રિકોણોના ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ શકાય.
આમ, U = {x:x એ સમતલના ત્રિકોણો છે.}
પ્રશ્ન 9.
A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} C = {0, 2, 4, 6, 8} આપેલ ગણ છે. આ ત્રણ ગણ A, B અને C માટે નીચેનામાંથી કયા ગણને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ શકાય :
(1) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(2) Φ
(3) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
(4) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
ઉત્તરઃ
અર્હીં, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C = {0, 2, 4, 6, 8}
(1) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}ને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે ન લઈ શકાય, કારણ કે 8 ∈ C પરંતુ 8 ∉ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
(2) Φ માં કોઈ સભ્ય નથી. આથી ૢ એ ગણ A, B, Cના સાર્વત્રિક ગણ તરીકે ન લઈ શકાય.
(3) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}ને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે લઈ શકાય, કારણ કે ત્રણેય ગણ A, B, C એ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}ના ઉપગણો છે.
(4) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}ને સાર્વત્રિક ગણ તરીકે ન લઈ શકાય, કારણ કે 0 = C પરંતુ 0≠ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}