GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી Ex 5.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી Ex 5.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 5 સમાંતર શ્રેણી Ex 5.4

પ્રશ્ન 1.
સમાંતર શ્રેણી 11, 117, 113, …………. નું પ્રથમ ત્રણ પદ કર્યું છે હશે? (સૂચનઃ a_n < 0 થાય તેવો સૌથી નાનો n શોધો.)
ઉત્તરઃ
આપેલ સમાંતર શ્રેણી 121, 117, 113, … માટે a = 121 અને d = 117 – 121 = – 4.
ધારો કે, શ્રેણીનું nમું પદ તેનું પ્રથમ ત્રણ પદ .
a_n < 0
a + (n- 1) d < 0
121 + (n – 1) (- 4) < 0
121 < 4 (n – 1)
\(\frac{121}{4}\) < n – 1 n > \(\frac{125}{4}\)
n > 31\(\frac{1}{4}\)
હવે, n એ પદનો ક્રમાંક હોવાથી ધન પૂર્ણાક જ હોય અને 31\(\frac{1}{4}\) મોટો હોય તેવો નાનામાં નાનો ધન પૂર્ણાક 32 છે.
આથી આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું 12મું પદ તેનું પ્રથમ ત્રણ પદ હોય.

પ્રશ્ન 2.
કોઈ સમાંતર શ્રેણીના ત્રીજા અને સાતમા પદનો સરવાળો 6 છે અને તેનો ગુણાકાર 8 છે. આ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 16 પદનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ વ અને સામાન્ય તફાવત d છે.
a_n = a + (n – 1) d
a₃ = a + 2d અને a₇ = a + 6d
આપેલ માહિતી મુજબ,
a₃ + a₇ = 6
(a + 2d) + (a + 6d) = 6
2a + 8d = 6
a + 4d = 3
a = 3 – 4d ……….. (1)
વળી, as અને a નો ગુણાકાર 8 છે.
(a + 2d) (a + 6d) = 8
(3 – 4d + 2d) (3 – 4d + 6d) = 8 [(1) મુજબ]
(3 – 2d) (3 + 2d) = 8
9 – 4d² = 8
1 = 4d²
d² = \(\frac{1}{4}\)
d = \(\frac{1}{2}\) અથવા d = – \(\frac{1}{2}\)

(i) જો d = \(\frac{1}{2}\), તો
a = 3 – 4d = 3 – 4 (3) = 3 – 2 =1
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n-1)d]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [2 + (16 – 1)\(\frac{1}{2}\)]
S₁₆ = 8[2 + \(\frac{15}{2}\)].
S₁₆ = 8 × \(\frac{19}{2}\)
S₁₆ = 76

(ii) જો d = – \(\frac{1}{2}\), તો
a = 3 – 4d = 3 – 4(3) = 3 + 2 = 5
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n-1) d]
S₁₆ = \(\frac{16}{2}\) [10 + (16 – 1) (- \(\frac{1}{2}\))
S₁₆ = 8[10 – \(\frac{156}{2}\)]
S₁₆ = 8 × \(\frac{5}{2}\)
S₁₆ = 20
આમ, આપેલ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ 16 પદોનો સરવાળો 76 અથવા 20 થાય.

પ્રશ્ન 3.
એક સીડીના બે ક્રમિક પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર 25 સેમી છે. (જુઓ આકૃતિ) સૌથી નીચેના પગથિયાની લંબાઈ 45 સેમી છે અને એકધારા ઘટાડા સાથે સૌથી ઉપરના પગથિયાની લંબાઈ 25 સેમી છે. સૌથી ઉપરના અને સૌથી નીચેના પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર 2\(\frac{1}{2}\) મીટર હોય, તો પગથિયામાં વપરાયેલ કુલ લાકડાની લંબાઈ શોધો.

[સૂચન: પગથિયાંની સંખ્યા = \(\frac{250}{25}\) + 1.
ઉત્તરઃ
સૌથી ઉપરના અને સૌથી નીચેના પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર = 2\(\frac{1}{2}\) મી = 250 સેમી.
બે ક્રમિક પગથિયાં વચ્ચેનું અંતર = 25 સેમી.
∴ કુલ પગથિયાંની સંખ્યા = \(\frac{250}{25}\) + 1 = 11 જેમાં સૌથી ઉપરનું તથા સૌથી નીચેનું એમ બંને પગથિયાનો સમાવેશ થાય.

સૌથી નીચેના એટલે કે, પહેલાં પગથિયાની લંબાઈ = 45 સેમી.
સૌથી ઉપરના, એટલે કે, 11મા પગથિયાની લંબાઈ = 25 સેમી.
પગથિયાંઓની લંબાઈ એકધારી ઘટે છે.
આથી પગથિયાંઓની લંબાઈ (સેમીમાં) સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે છે, જેમાં પ્રથમ પદ = 45 અને 11મું (અંતિમ) પદ = 25.
a_n = a + (n – 1) d
a_n = a + 10 d
25 = 45 + 10 d
– 20 = 10 d
d = – 2
આમ, નીચેથી ઉપર જતાં પગથિયાંની લંબાઈ એકધારી રીતે (પગથિયાં દીઠ) 2 સેમી ઘટે છે.
આથી પગથિયાંઓની લંબાઈ (સેમીમાં) 11 પદવાળી નીચે મુજબની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે :
45, 43, 41, …, 25
આ શ્રેણીનાં બધાં જ 11 પદોનો સરવાળો શોધતાં પગથિયાંમાં વપરાયેલ કુલ લાકડાની લંબાઈ મળે.
S_n = \(\frac{n}{2}\) (a + l)
S₁₁ = \(\frac{11}{2}\) (45 + 25)
S₁₁ = \(\frac{11}{2}\) × 70
S₁₁ = 385
આમ, પગથિયાંમાં વપરાયેલ કુલ લાકડાની લંબાઈ 385 સેમી થાય.

પ્રશ્ન 4.
એક હારમાં આવેલાં મકાનોને ક્રમશઃ 1થી 49 ક્રમાંક આપેલ છે. સાબિત કરો કે, એવી સંખ્યા x મળે કે જેથી તેની આગળના મકાનના ક્રમાંકોનો સરવાળો તે પછીનાં મકાનોના ક્રમાંકોના સરવાળા જેટલો થાય. ૪નું મૂલ્ય શોધો. સૂચનઃ S_x-1 = S₄₉ – S_x]
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ 1 ધન પૂર્ણાકોનો સરવાળો
S = 1 + 2 + 3 + …………+ n = \(\frac{n(n+1)}{2}\)
આપેલ માહિતી મુજબ,
1 + 2 + 3 + ………..+ (x – 1) = (x + 1) + (x + 2) + ……… + 49
\(\frac{(x-1) \cdot x}{2}\) = (1 + 2 + 3+ ……….. + 49) – (1 + 2 + 3 + …………. + x)
[1 + 2 + 3 + …… + x) ઉમેરતાં અને બાદ કરતાં].

\(\frac{(x-1)(x)}{2}=\frac{49 \times 50}{2}-\frac{x(x+1)}{2}\)

x(x – 1) + x(x + 1) = 49 × 50
x² – x + x² + x = 49 × 50
2x² = 49 × 50
x² = 49 × 25
x = 7 × 5
x = 35
આમ, આપેલ શરતનું પાલન કરતી ની કિંમત 35 છે.

પ્રશ્ન 5.
ફૂટબૉલના એક મેદાનમાં 15 પગથિયાંવાળી નાની અગાસી છે. તે પ્રત્યેકની લંબાઈ 50 મી છે અને તે નક્કર કોંક્રિટના બનાવેલ છે. દરેક પગથિયાની ઊંચાઈ \(\frac{1}{4}\) મી તથા પહોળાઈ \(\frac{1}{2}\) મી છે (જુઓ આકૃતિ). આ અગાસી બનાવવા માટે કુલ કેટલા ઘનફળ કોંક્રિટની જરૂર પડશે?
[સૂચનઃ પ્રથમ પગથિયું બનાવવા જરૂરી કોક્રિટનું ઘનફળ = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{2}\) × 50 મી³]

ઉત્તરઃ
પહેલું પગથિયું બનાવવા જરૂરી કોંક્રિટનું ઘનફળ = 50 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{4}\) મી³ = 25 મી³

બીજું પગથિયું બનાવવા જરૂરી કોંક્રિટનું ઘનફળ = 50 × \(\frac{1}{2}\) × (\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)) મી³ = 5 મી³

ત્રીજું પગથિયું બનાવવા જરૂરી કોંક્રિટનું ઘનફળ = 50 × \(\frac{1}{2}\) × (\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)) મી³ = \(\frac{75}{4}\) મી³

આમ, 15 પગથિયાં બનાવવા જરૂરી કોંક્રિટનું ઘનફળ (મી³માં) 15 પદ ધરાવતી નીચે મુજબની સાન્ત સમાંતર શ્રેણી રચે:
\(\frac{25}{4}\), \(\frac{25}{2}\), \(\frac{75}{4}\), ……… 15 પદ સુધી

આ શ્રેણીનાં બધાં જ 15 પદોનો સરવાળો અગાસી બનાવવા જરૂરી કોંક્રિટનું કુલ ઘનફળ (મીમાં) આપે.
અહીં, a = \(\frac{25}{4}\); d = \(\frac{25}{2}\) – \(\frac{25}{4}\) = \(\frac{25}{4}\) અને n = 15.
S_n = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d)

S₁₅ = \(\frac{15}{2}\left[\frac{25}{2}+(15-1) \frac{25}{4}\right]\)

S₁₅ = \(\frac{15}{2}\left[\frac{25}{2}+\frac{175}{2}\right]\)

S ₁₅= \(\frac{15}{2} \times \frac{200}{2}\)

S₁₅= 15 × 50
S₁₅ = 750.
આમ, અગાસી બનાવવા માટે કુલ 750 મી³ કોંક્રિટની જરૂર પડશે.