Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 15 સંભાવના Ex 15.2 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 15 સંભાવના Ex 15.2
* આ સ્વાધ્યાય પરીક્ષાના હેતુથી બનાવેલ નથી.
પ્રશ્ન 1.
બે ગ્રાહકો શ્યામ અને એકતા એક જ અઠવાડિયામાં મંગળવારથી શનિવાર) કોઈ ચોક્કસ દુકાનની મુલાકાત લે છે. દરેક વ્યક્તિ હું કોઈ પણ દિવસે દુકાનની મુલાકાત, અન્ય દિવસની જેમ જ લે છે. ટૂં બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત
(i) એક જ દિવસે
(ii) ક્રમિક દ્ર એક પછી એક દિવસોએ
(iii) જુદા જુદા દિવસોએ લેશે તેની સંભાવના કેટલી?
ઉત્તર:
ઉપરના કોષ્ટકમાં (શુ, બુ) એમ દર્શાવે છે કે, એકતા શુક્રવારે અને શ્યામ બુધવારે ચોક્કસ દુકાનની મુલાકાત લે છે. તે જ રીતે, (મં, ગુ) દર્શાવે છે કે એકતા મંગળવારે અને શ્યામ ગુરુવારે દુકાનની મુલાકાત લે છે.
∴ કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 5 × 5 = 25
(i) ધારો કે, ઘટના A:
બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત એક જ દિવસે લેશે.
ઘટના મને સાનુકૂળ હોય તેવાં પરિણામો (મ, મં), રે (બુ, બુ), (ગુ, ગુ), (શુ, શુ) અને (શ, ) છે.
∴ઘટના બને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 5 છે.
∴ P (A) = \(\frac{5}{25}\)
= \(\frac{1}{5}\)
(ii) ધારો કે, ઘટના B:
બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત ક્રમિક દિવસે લેશે.
ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામો (મ, બુ), (બુ, મ), (બુ, ગુ), (ગુ, બુ), ગુ, શુ), (શુ, ગુ), શુ, શ) અને (શ, શુ) છે.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા 8 છે.
∴ P (B) = \(\frac{8}{25}\)
(iii) ધારો કે, ઘટના C:
બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત જુદા જુદા દિવસે લેશે.
અહીં, ઘટના \(\overline{\mathrm{C}}\): બંને વ્યક્તિ દુકાનની મુલાકાત એક જ દિવસે લેશે એમ થાય છે (1)માં દર્શાવ્યા મુજબ ઘટના A છે, એટલે કે, \(\overline{\mathrm{C}}\) = A
P (\(\overline{\mathrm{C}}\)) = P (A) = \(\frac{1}{5}\) ;
હવે, P (C) = 1 – P (\(\overline{\mathrm{C}}\))
= 1 – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\)
પ્રશ્ન 2.
પાસા પર સંખ્યાઓ એ રીતે લખવામાં આવી છે કે તેનાં પૃષ્ઠ, સંખ્યાઓ 1, 2, 2, 3, 4, 6 દર્શાવે છે. તે પાસાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે છે અને બંને પાસા પર મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો કોષ્ટકમાં નોંધી, તે પૂર્ણ કરો:
કુલ સરવાળો (1) યુગ્મ મળે (2) 6 મળે (3) ઓછામાં ઓછો 6 મળે તેની સંભાવના કેટલી?
ઉત્તર:
અહીં, કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 6 × 6 = 36
(i) ધારો કે, ઘટના A:
કુલ સરવાળો યુગ્મ મળે. કોષ્ટકમાંથી સ્પષ્ટ છે કે સરવાળો યુગ્મ એટલે કે 2, 4, 6, 8 અથવા 12 હોય તેવાં 18 પરિણામો છે.
દરેક હારમાં ત્રણ અથવા દરેક સ્તંભમાં ત્રણ.
∴ ઘટના મને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 18
∴ P (A) = \(\frac{18}{36}=\frac{1}{2}\)
(ii) ધારો કે, ઘટના B:
કુલ સરવાળો 6 મળે.
કોષ્ટકમાંથી સ્પષ્ટ છે કે સરવાળો 6 મળે તેવાં 4 પરિણામો છે.
∴ ઘટના Bને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 4
∴ P (B) = \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
(iii) ધારો કે, ઘટના C:
કુલ સરવાળો ઓછામાં ઓછો 6 મળે.
કોષ્ટકમાંથી સ્પષ્ટ છે કે સરવાળો ઓછામાં ઓછો 6, એટલે કે 6, 7, 8, 9, 12 હોય તેવાં 15 પરિણામો છે.
∴ ઘટના Cને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 15
∴ P (C) = \(\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\)
પ્રશ્ન 3.
એક થેલામાં 5 લાલ દડા અને કેટલાક વાદળી (ભૂરા) દડા છે. જો ભૂરો દડો નીકળવાની સંભાવના લાલ દડો નીકળે તેની સંભાવના કરતાં બમણી હોય, તો થેલામાં રહેલા ભૂરા દડાઓની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તર:
ઘારો કે, ભૂરા દડાની સંખ્યા x છે.
∴ થેલામાં રહેલા કુલ દંડાની સંખ્યા = 5 + x
આમ, લાલ દડાની સંખ્યા = 5, ભૂરા દડાની સંખ્યા = x અને કુલ દડાની સંખ્યા = 5 + x.
આથી એક દડો નીકાળવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા = 5 + x,
ભૂરો દડો નીકાળવાની ઘટનાને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = x અને
લાલ દડો નીકાળવાની ઘટનાને સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = 5.
હવે, ભૂરો દડો નીકાળવાની સંભાવના = 2 × લાલ દડો નીકાળવાની સંભાવના
∴ \(\frac{x}{5+x}=2 \times \frac{5}{5+x}\)
∴ \(\frac{x}{5+x}=\frac{10}{5+x}\)
∴ x = 10 (બંને બાજુ 5 + x વડે ગુણતાં)
આમ, થેલામાં રહેલા ભૂરા દડાની સંખ્યા 10 છે.
પ્રશ્ન 4.
એક પેટીમાં 12 દડા છે. તેમાંના ૪ દડા કાળા છે. જો પેટીમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે, તો તે કાળો દડો હોય તેની સંભાવના કેટલી?
ઉત્તર:
જો બીજા 6 કાળા દડા પેટીમાં મૂકવામાં આવે, તો કાળો દડો નીકળવાની સંભાવના હવે પહેલાં હતી તેના કરતાં બમણી થાય છે, તો x શોધો.
પેટીમાંના કુલ દડાની સંખ્યા = 12 અને કાળા દડાની સંખ્યા = x.
આથી પેટીમાંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે કાઢવાના પ્રયોગમાં કુલ શક્ય પરિણામો =12 અને કાળો દડો કાઢવાની ઘટનાને સાનુકૂળ પરિણામો = x થાય.
∴ કાઢવામાં આવેલ દડો કાળો હોય તેની સંભાવના = \(\frac{x}{12}\)
જો બીજા 6 કાળા દડા પેટીમાં મૂકવામાં આવે, તો પેટીમાંના કુલ દડાની સંખ્યા = 12 + 6 = 18 અને કાળા દડાની સંખ્યા = x + 6 થાય.
હવે, કાઢવામાં આવેલ દડો કાળો હોય તેની સંભાવના = \(\frac{x+6}{18}\)
હવે, આપેલ માહિતી મુજબ, આ સંભાવના પહેલાં હતી તે સંભાવનાથી બમણી થાય છે.
∴ \(\frac{x+6}{18}=2 \times \frac{x}{12}\)
∴ x + 6 = 3x
∴ 2x = 6
∴ x = 3
આમ, x = 3.
પ્રશ્ન 5.
એક બરણીમાં 24 લખોટીઓ છે. કેટલીક લીલી અને બાકીની ભૂરી છે. બરણીમાંથી જો એક લખોટી યાદચ્છિક રીતે કાઢવામાં આવે, તો તે લીલી હોય તેની સંભાવના \(\frac{2}{3}\) છે. બરણીમાંથી ભૂરી લખોટીઓની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તર:
ધારો કે, બરણીમાં x ભૂરી લખોટીઓ છે.
∴ બરણીમાં 24 – x લીલી લખોટીઓ છે.
બરણીમાંની કુલ લખોટીઓની સંખ્યા = 24 અને બરણીમાંની લીલી લખોટીઓની સંખ્યા = 24 – x છે.
∴ બરણીમાંથી યાદચ્છિક રીતે કાઢેલી લખોટી લીલી હોય તેની સંભાવના = \(\frac{24-x}{24}\).
પરંતુ આ સંભાવના આપેલ છે.
\(\frac{24-x}{24}=\frac{2}{3}\)
1 – \(\frac{x}{24}=\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{3}=\frac{x}{24}\)
∴ x = 8
આમ, બરણીમાંની ભૂરી લખોટીઓની સંખ્યા 8 છે.