GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 8 ગુરુત્વાકર્ષણ

Gujarat Board GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 8 ગુરુત્વાકર્ષણ Important Questions and Answers.

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 8 ગુરુત્વાકર્ષણ

પ્રશ્નોત્તર
પ્રશ્ન 1.
ટૉલેમીનો પૃથ્વી-કેન્દ્રીયવાદ જણાવો.
ઉત્તર:
ટૉલેમીના પૃથ્વી-કેન્દ્રીયવાદ અનુસાર પૃથ્વી બ્રહ્માંડના કેન્દ્રમાં છે અને બધા આકાશી પદાર્થો જેવા કે તારાઓ, સૂર્ય અને ગ્રહો પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે.
ટૉલેમીના મત મુજબ, આ બધા પદાર્થો વર્તુળમાર્ગે ગતિ કરે છે અને આ વર્તુળોનાં કેન્દ્રો વધુ મોટાં વર્તુળોમાં ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 2.
કૉપરનિકસનો સૂર્ય-કેન્દ્રીયવાદ શું કહે છે?
ઉત્તર:
કૉપરનિકસના સૂર્ય-કેન્દ્રીયવાદ અનુસાર સૂર્ય બ્રહ્માંડના કેન્દ્રમાં છે અને બધા ગ્રહો તેની આસપાસ વર્તુળમાર્ગો પર ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 3.
ગ્રહોની ગતિ માટેનો કૅપ્લરનો કક્ષાઓનો નિયમ આકૃતિ દોરીને સમજાવો.
ઉત્તર:
કક્ષાઓનો નિયમ (પ્રથમ નિયમ) : બધા ગ્રહો એવી દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરે છે, કે જેના કોઈ એક કેન્દ્ર પર સૂર્ય રહેલો હોય.

• આકૃતિ 8.1માં કોઈ ગ્રહનો ગતિપથ દર્શાવતું એક દીર્ઘવૃત્ત ABPCA દર્શાવ્યું છે. આ દીર્ઘવૃત્તનાં બે કેન્દ્રો S અને S’ દર્શાવ્યાં છે. જેમને દીર્ઘવૃત્તની નાભિ (ફોકલ બિંદુ) કહે છે.
• આકૃતિમાં સૂર્યની નજીકનું બિંદુ P છે, જેને સૂર્યનીચ બિંદુ અથવા પેરિહેલિયન કહે છે. સૂર્યથી દૂરનું બિંદુ A છે, જેને સૂર્યોચ્ચ બિંદુ અથવા એફિહેલિયન કહે છે.
• અહીં, PA = 2a તથા OP = OA = a છે અને BC = 2b તથા OB = OC = b છે. a ને અર્ધદીર્ઘ અક્ષ અને bને અર્ધલઘુ અક્ષ કહે છે.
• દીર્ઘવૃત્ત એ એક બંધવક્ર છે, જેનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો વર્તુળ છે.

દીર્ઘવૃત્ત દોરવાની રીત :

• આકૃતિ 8.2માં દર્શાવ્યા મુજબ બે બિંદુઓ F₁ અને F₂ પસંદ કરો.
• અમુક લંબાઈની દોરી લઈને તેના છેડાઓને ટાંકણીની મદદથી F₁ અને F₂ આગળ જડી દો.
• પેન્સિલની અણી વડે દોરીને કડક ખેંચેલી રાખી પેન્સિલને ફેરવતા જઈ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબનો વક્ર દોરો.
• આ રીતે મળેલો બંધવક્ર એ દીર્ઘવૃત્ત કહેવાય છે.
• દીર્ઘવૃત્ત પરના કોઈ પણ બિંદુ(દા. ત., T માટે)નું F₁ અને F₂ થી અંતરનો સરવાળો અચળ રહે છે, એટલે કે
  TF₁ + TF₂ = PF₁ + AF₁ = AF₂ + PF₂ = 2a
  = દીર્ઘઅક્ષની લંબાઈ = અચળ
  ∴ r₁ + r₂ = r_min + r_max = 2a
  ∴ a = \(\frac{r_1+r_2}{2}=\frac{r_{\min }+r_{\max }}{2}[latex]
• F₁ અનેF₂ ને દીર્ઘવૃત્તનાં કેન્દ્રબિંદુઓ (foci) કહે છે.
• F₁ અને F₂ બિંદુઓને જોડી તે રેખાને લંબાવો, જે દીર્ઘવૃત્તને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ P અને A બિંદુએ છેદે છે.
• રેખાખંડ PAનું મધ્યબિંદુ O એ દીર્ઘવૃત્તનું મધ્યબિંદુ છે.
• PO = AO = દીર્ઘવૃત્તની અર્ધદીર્ઘ અક્ષ છે.

નોંધ :
વર્તુળાકાર માર્ગ એ દીર્ઘવૃત્તીય માર્ગનો ઉપગણ છે. દીર્ઘવૃત્તનાં બે કેન્દ્રબિંદુઓ (foci) F₁ અને F₂ ભેગા થઈ જાય અને એક બને, તો દીર્ઘવૃત્ત એ વર્તુળ બની જાય છે અને અર્ધદીર્ઘ અક્ષ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા બને છે.
પ્લૂટો અને બુધની ભ્રમણકક્ષા વધારે દીર્ઘવૃત્તીય છે. નેપ્ચ્યૂન અને શુક્રની ભ્રમણકક્ષા વર્તુળાકાર છે. જ્યારે બાકીના ગ્રહોની કક્ષા સહેજ જ દીર્ઘવૃત્તીય છે, જેને લગભગ વર્તુળાકાર ગણી શકાય.

ભૌતિક વિજ્ઞાન માટે જરૂરી એવું ઉપવલય(દીર્ઘવૃત્ત)નું જ્ઞાન :

• ગણિતમાં ઉપવલયનું સામાન્ય સમીકરણ [latex]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 છે.
• ઉપવલયના કેન્દ્ર O અને તેના કોઈ પણ એક ફોકલ બિંદુ (કેન્દ્ર બિંદુ) S વચ્ચેનું અંતર ae હોય છે. જ્યાં, eને ઉત્કેન્દ્રિતા કહે છે. e = \(\frac{f}{a}\)
  જ્યાં, f = દીર્ઘવૃત્તના મધ્યબિંદુ O અને તેના કોઈ એક ફોકલ બિંદુ (કેન્દ્ર બિંદુ) વચ્ચેનું અંતર અને a = અર્ધદીર્ઘ અક્ષ
• વર્તુળ માટે e = 0 હોય છે. Oથી P સુધી eનું મૂલ્ય વધતું જાય છે અને ઉપવલય સાંકડો બનતો જાય છે.
• ગણિતમાં ઉપવલયનું પોલર યામ (r, θ)ના પદમાં વ્યાપક સમીકરણ નીચે મુજબ છે :
  r = \(\frac{a\left(1-e^2\right)}{1-e \cos \theta}\) …………… (1)
  જ્યાં, પોલર યામ r (સૂર્ય અને ગ્રહ વચ્ચેનું અંતર SP’) એ ફોકલ બિંદુ Sથી માપવામાં આવે છે અને ખૂણો θ એ દીર્ઘઅક્ષની સાપેક્ષે માપવામાં આવે છે.
• આકૃતિ પરથી, cos θ = \(\frac{S F}{S P^{\prime}}=\frac{a e-a f}{r}=\frac{a(e-f)}{r}\)
  cos θ’ = \(\frac{S^{\prime} F}{S^{\prime} P^{\prime}}=\frac{a e+a f}{r}=\frac{a(e+f)}{r}\)
• હવે, સમીકરણ (1) પરથી,
  r (1 – e cos θ) = a(1 − e²) …………. (2)
  ∴ r (1 – e (\(\frac{a(e-f)}{r}\))) = a(1 – e²)
  ∴ r – re(\(\frac{a e-a f}{r}\)) = a (1 – e²)
  ∴ r = a – ae² + ae² – aef
  ∴ r = a – aef …………… (3)
• r’ અને θ’ માટે સમીકરણ (2)નું સ્વરૂપ નીચે મુજબ થશે :
  r’ (1 – e cos θ’) = a (1 – e²)
  ∴ r'(1 – e(\(\frac{a(e+f)}{r}\))) = a (1 – e²)
  ∴ r’ = a + aef ………….. (4)
• સમીકરણ (3) અને (4)નો સરવાળો કરતાં,
  r + r’ = 2a …………. (5)
  જ્યાં, a = અચળ છે.
  સમીકરણ (5) એ ઉપવલય(દીર્ઘવૃત્ત)ની વ્યાખ્યા છે.
• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે જો ગ્રહ P’ એ બિંદુ B આગળ આવેલ હોય, તો F = r’ = a થશે. આ વખતે b = P’O, કાટકોણ ત્રિકોણ SOP’માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય વાપરીને શોધી શકાય છે.

• જ્યારે ગ્રહ P’, પેરિહેલિયન બિંદુ P પાસે હોય છે, ત્યારે θ = 180° હોય છે. તેથી સમીકરણ (1) પરથી,
  r_p = \(\frac{a\left(1-e^2\right)}{1-e \cos 180^{\circ}}\)
  = \(\frac{a(1+e)(1-e)}{(1+e)}\)
  = a (1 – e) …………. (8)
• જ્યારે ગ્રહ P’, એફિડેલિયન બિંદુ A પાસે હોય છે, ત્યારે θ = 0° હોય છે. તેથી સમીકરણ (1) પરથી,
  r_p = \(\frac{a\left(1-e^2\right)}{1-e \cos 0^{\circ}}\)
  = \(\frac{a(1-e)(1+e)}{(1-e)}\)
  = a (1 + e) ………….. (9)
• સમીકરણ (8) અને (9) પરથી,
  \(\frac{r_{\mathrm{a}}}{r_{\mathrm{P}}}=\frac{1+e}{1-e}\) ………… (10)
• ગ્રહની દીર્ઘવૃત્તીય ગતિ માટે કોણીય વેગમાનનો સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતાં, સૂર્યનીચ બિંદુ P અને સૂર્યોચ્ચ બિંદુ A પાસે
  mυ_pr_p = mυ_ar_a (∵ L = mυr = અચળ) ……….. (11)
• સમીકરણ (10) અને (11) પરથી,
  \(\frac{v_{\mathrm{P}}}{v_{\mathrm{a}}}=\frac{1+e}{1-e}\) ……….. (12)
• યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ પરથી,

પ્રશ્ન 4.
ગ્રહોની ગતિ માટેનો કૅપ્લરનો ક્ષેત્રફળોનો નિયમ આકૃતિ દોરીને ટૂંકમાં સમજાવો.
ઉત્તર:
ક્ષેત્રફળોનો નિયમ (બીજો નિયમ) : કોઈ પણ ગ્રહને સૂર્ય સાથે જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.

• આકૃતિ 8.4 પરથી કહી શકાય કે, બંધગાળા SPP’S અને SQQ’Sનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
• આ નિયમ એવાં અવલોકનો પરથી મળેલ છે કે જ્યારે ગ્રહો સૂર્યથી દૂર હોય ત્યારે તે સૂર્યની નજીક હોય તેના કરતાં ધીમા ફરે છે, એટલે કે ગ્રહો સૂર્યની નજીક હોય ત્યારે વધારે ઝડપથી ફરતા હોય છે.

પ્રશ્ન 5.
ગ્રહોની ગતિ માટેનો કૅપ્લરનો બીજો નિયમ લખો અને આકૃતિ દોરીને સાબિત કરો.
ઉત્તર:
“કોઈ પણ ગ્રહને સૂર્ય સાથે જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.’’

• આકૃતિ 8.5માં ગ્રહ P એ સૂર્ય Sની આસપાસ દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે.
• ગ્રહની આ ભ્રમણ ગતિ દરમિયાન, ગ્રહ પર સતત સૂર્ય દ્વારા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે, જે સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતા સદિશ પર હોય છે તથા તે માત્ર તેમનાં કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર પર જ આધારિત છે.
  તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે.
• કેન્દ્રીય બળના કિસ્સામાં કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ પળાય છે.
• અહીં, સૂર્યને ઉદ્ગમ (કેન્દ્ર) તરીકે લેતાં ગ્રહના આપેલ ક્ષણે સ્થાન અને રેખીય વેગને અનુક્રમે \(\vec{r}\) અને \(\vec{υ}\) = \(\frac{\vec{p}}{m}\) વડે દર્શાવેલ છે.
• m દળના ગ્રહ દ્વારા Δt સમયગાળામાં આંતરાતું ક્ષેત્રફળ Δ\(\vec{A}\) આકૃતિ 8.5ની મદદથી નીચે મુજબ મળે છે :
  Δ\(\vec{A}\) = \(\frac{1}{2}\)(\(\vec{r}\) × \(\vec{υ}\) ) ……… (8.1)
  (∵ અહીં, સમયગાળો Δt અતિ નાનો ધારેલ છે તથા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર A = \(\frac{1}{2}\) × પાયો × વેધ વાપરેલ છે.)
  સમીકરણ (8.1)ની બંને બાજુને Δt વડે ભાગતાં,
  \(\frac{\Delta \vec{A}}{\Delta t}=\frac{1}{2}(\vec{r} \times \vec{v})\) …………… (8.2)
  પણ, ગ્રહનું રેખીય વેગમાન \(\vec{p}=m \vec{v}\) છે. તેથી ગ્રહનો રેખીય વેગ \(\vec{v}=\frac{\vec{p}}{m}\) છે.

• ગ્રહ પર સૂર્ય વડે લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ \(\vec{F}\) અને આપેલ ક્ષણે ગ્રહના સૂર્યને અનુલક્ષીને સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\)ની દિશા પરસ્પર વિરુદ્ધ છે, એટલે કે \(\vec{r}\) અને \(\vec{F}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = π rad. તેથી આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે સૂર્યને અનુલક્ષીને મળતું ટૉર્ક \(\vec{\tau}\) = 0 થાય. તેથી ગ્રહનું કોણીય વેગમાન (સૂર્યની સાપેક્ષે) \(\vec{L}\) = અચળ થાય.
  આમ, ગ્રહના સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) ની દિશા પર લાગતાં કેન્દ્રીય બળ માટે, જેમ જેમ ગ્રહ ભ્રમણ કરતો જાય છે તેમ તેમ ગ્રહનું કોણીય વેગમાન \(\vec{L}\) અચળ રહે છે. તેથી સમીકરણ (8.3) પરથી \(\frac{\Delta \vec{A}}{\Delta t}\) = અચળ થશે. આ ક્ષેત્રફળોનો નિયમ જ છે.
• એકમ સમયમાં ગ્રહ દ્વારા (અર્થાત્ સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતી રેખા દ્વારા) ગ્રહની ભ્રમણકક્ષાના સમતલમાં આંતરેલ ક્ષેત્રફળને ગ્રહનો
  ક્ષેત્રિય વેગ( = ) areal velocity કહે છે.
  આમ, કૅપ્લરનો બીજો નિયમ ગ્રહનો ક્ષેત્રિયવેગ અચળ રહે છે તેમ દર્શાવે છે. જે સાબિત થાય છે.

અતિ મહત્ત્વની નોંધ
દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં M_s દળવાળા સૂર્યની આસપાસ પરિક્રમણ કરતાં ગ્રહનો ક્ષેત્રિય વેગ નીચે મુજબ હોય છે
\(\frac{d A}{d t}=\sqrt{G M_{\mathrm{s}} a\left(1-e^2\right)}\)

પ્રશ્ન 6.
ગ્રહોની ગતિ માટેનો આવર્તકાળનો નિયમ લખો અને ટૂંકમાં સમજાવો.
ઉત્તર:
આવર્તકાળનો નિયમ (ત્રીજો નિયમ) : કોઈ પણ ગ્રહના પરિક્રમણના આવર્તકાળનો વર્ગ તેણે રચેલા દીર્ઘવૃત્તની અર્ધદીર્ઘ અક્ષના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

• ગ્રહના આવર્તકાળને T વડે અને અર્ધદીર્ઘ અક્ષને a વડે દર્શાવતાં, આવર્તકાળના નિયમ અનુસાર,
  T² ∝ a³
  ∴ T² = Qa³ …………. (8.4)
  જ્યાં, Q = સમપ્રમાણતાનો અચળાંક
• બે જુદા જુદા ગ્રહો માટે \(\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}\) ……….. (8.5)
• આમ, સૂર્યથી જે ગ્રહનું અંતર વધારે તેમ તે ગ્રહનો સૂર્યની આસપાસનો પરિક્રમણ માટેનો આવર્તકાળ વધારે હોય છે. સૂર્યની આસપાસ અતિ દૂર રહેલા પ્લુટોનો આવર્તકાળ 248 વર્ષ, જ્યારે નજીકના ગ્રહ યુરેનસનો આવર્તકાળ 84 વર્ષ છે.

અતિ મહત્ત્વની નોંધ
(1) સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં પિરક્રમણ કરતા ગ્રહ માટે અર્ધદીર્ઘ અક્ષ a = વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા R
∴ T² ∝ R³
(2) અર્ધદીર્ઘ અક્ષ a તથા અર્ધલઘુ અક્ષ bવાળા દીર્ઘવૃત્ત ૫૨, સૂર્યની આસપાસ પરિક્રમણ કરતાં ગ્રહનો આવર્તકાળ
T = \(\frac{\pi a b}{\left(\frac{d A}{d t}\right)}\) હોય છે.
જ્યાં, πab = દીર્ઘવૃત્તનું ક્ષેત્રફળ
કેન્દ્રીય બળ : કેન્દ્રીય બળ એટલે એવું બળ જે કોઈ પદાર્થ પર, પદાર્થથી અવકાશમાં કોઈ નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર) તરફ કે દૂર તરફ લાગતું હોય અને જેનું મૂલ્ય માત્ર નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર) અને પદાર્થ વચ્ચેના અંતર પર જ આધારિત હોય.
કેન્દ્રીય બળ એ ગુરુઅંતરીય બળ છે તથા સંરક્ષી બળ પણ છે, જે બે પદાર્થોની આંતરક્રિયા દરમિયાન તેમનાં કેન્દ્રોને જોડતી રેખાની દિશામાં લાગતું હોય છે.
દા. ત.,
(1) બે સ્થિર વિદ્યુતભારો વચ્ચે પ્રવર્તતું કુલંબ બળ, (2) બે પદાર્થો વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ.
અકેન્દ્રીય બળ : જો બે પદાર્થો વચ્ચે પ્રવર્તતું બળ તેમની વચ્ચેના અંતર ઉપરાંત તેમના નમન અને સ્પિન ઉપર પણ આધારિત હોય, તો તે બળને અકેન્દ્રીય બળ કહેવાય છે. અકેન્દ્રીય બળ બંને પદાર્થોને જોડતી રેખાની દિશામાં લાગવું જરૂરી પણ નથી. અકેન્દ્રીય બળ અસંરક્ષી બળ છે.
દા. ત., (1) ચુંબકીય બળ, (2) નિર્બળ બળ, (3) પ્રબળ બળ, (4) ઘર્ષણબળ.

આઠ ગ્રહો(પ્લૂટો ગ્રહ નથી)ના સૂર્યની ફરતે પરિક્રમણના આવર્તકાળ (લગભગ) અને તેમની અર્ધદીર્ઘ અક્ષનાં મૂલ્યો ઃ
કોષ્ટક 8.1 : નીચે આપેલ ગ્રહોની ગતિની માપણીની વિગતો કૅપ્લરના આવર્તકાળના નિયમની પુષ્ટિ કરે છેઃ
(a = અર્ધદીર્ઘ અક્ષ, 10¹⁰mના એકમોમાં
T = ગ્રહના પરિક્રમણનો આવર્તકાળ, વર્ષમાં (y)
Q = (T²/a³) આંક, 10^-34y²m^-3ના એકમોમાં)

પ્રશ્ન 7.
પૃથ્વીની આસપાસ R_m ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં ચંદ્રના પરિક્રમણનો આવર્તકાળ 27.3 day છે, તો ચંદ્રના કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય શોધો અને તે \(\frac{g}{3600}\) જેટલું હોય છે.
તેમ દર્શાવો. (R_m = 3.84 × 10⁸ m અને g = 9.8 m s^-2 લો.)
ઉત્તર:
ચંદ્રના કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય,

આમ, a_m તથા \(\frac{g}{3600}\) -નાં મૂલ્યો પરથી સાબિત થાય છે કે પૃથ્વીની આસપાસ પરિક્રમણ કરતા ચંદ્રના કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય a_m = \(\frac{g}{3600}\) જેટલું હોય છે.

પ્રશ્ન 8.
ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ લખો. જરૂરી આકૃતિ દોરો અને તેને અદિશ તેમજ સદિશ સ્વરૂપે રજૂ કરો.
ઉત્તર:
“બ્રહ્માંડમાં દરેક બિંદુવત્ પદાર્થ (એટલે કે ણ) બીજા દરેક બિંદુવત્ પદાર્થને બળ દ્વારા આકર્ષે છે, જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.’’

• આકૃતિ 8.6 (a)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમને અદિશ સ્વરૂપે એટલે કે ગાણિતિક રીતે નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય :
  m₁ દળ ધરાવતા બિંદુવત્ પદાર્થ વડે m₂ દળ ધરાવતા બિંદુત્ પદાર્થ પર લાગતાં બળ \(\vec{F}_{21}\) નું માન,
  \(\left|\vec{F}_{21}\right|=|\vec{F}|=\frac{G m_1 m_2}{r^2}\) ……………… (8.7)
  જ્યાં, G = ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે.
• ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમની સદિશ સ્વરૂપે રજૂઆતઃ
  આકૃતિ 8.6 (b) પરથી સમીકરણ (8.7)ને સદિશ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય છે :

• ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ આકર્ષી બળ છે, એટલે કે \(\vec{F}_{21}=\vec{F}\) એ r̂ની દિશામાં છે.
  ગુરુત્વાકર્ષણ બળો પરસ્પર ક્રિયાગત બળો હોવાથી, બિંદુવત્ પદાર્થ m₁ ૫૨ m₂ને લીધે લાગતું બળ, ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ \(-\vec{F}_{21}=-\vec{F}\) છે.
• આમ, હિંદુવત્ પદાર્થ 1 પર બિંદુવત્ પદાર્થ 2 વડે લાગતું ગુરુત્વ બળ \(\vec{F}_{12}\) અને બિંદુવત્ પદાર્થ 2 પર બિંદુવત્ પદાર્થ 1 વડે લાગતું ગુરુત્વ બળ \(\vec{F}_{21}\) વચ્ચેનો સંબંધ \(\vec{F}_{12}\) = – \(\vec{F}_{21}\) છે.

પ્રશ્ન 9.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળો માટેનો સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત લખો. બિંદુવત્ પદાર્થોના એક સમૂહમાં તેમાંના કોઈ એક કણ પર લાગતા કુલ બળનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત : કોઈ કણ પર એક કરતાં વધારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળો લાગે છે, ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ દરેક સ્વતંત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળના સદિશ સરવાળા જેટલું હોય છે.
આમ, બે કણો વચ્ચે પ્રવર્તતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પર ત્રીજા કણની હાજરીની અસર થતી નથી. આ કારણસર ગુરુત્વાકર્ષણ બળને two body force કહે છે.

• ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ એ માત્ર બિંદુવત્ પદાર્થો (કણો) અંગેનો છે. જ્યારે આ નિયમ પરિમિત પરિમાણ હોય તેવા વિસ્તારિત પદાર્થોને લાગુ પાડવો હોય, ત્યારે તે પદાર્થને બિંદુવત્ પદાર્થો(કણો)ના સમૂહ તરીકે લેવો પડે.
• હવે, આ બિંદુવત્ પદાર્થો(કણો)ના સમૂહમાં તેમાંના કોઈ એક કણ પર લાગતું કુલ બળ, સંપાતપણાના સિદ્ધાંત મુજબ તેના સિવાયના બીજા બિંદુવત્ પદાર્થો (કણો) વડે તેના પર લાગતાં સ્વતંત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળોના સિંદેશ સરવાળા જેટલું હોય છે.

• આકૃતિ 8.7માં આવા એક કણોના સમૂહમાંના (વિસ્તારિત પદાર્થની અંદરના) m‚ દળવાળા એક કણ પર, નમૂનારૂપે m₂, m₃ અને m₄ દળ ધરાવતા અન્ય ત્રણ કણો વડે લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળો દર્શાવ્યાં છે.
  તેથી m₁ દળવાળા કણ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,

પ્રશ્ન 10.
ગુરુત્વ તીવ્રતાની (અથવા ગુરુત્વક્ષેત્રની) વ્યાખ્યા આપો અને તેનું સૂત્ર લખો. તેનો એકમ અને પારિમાણિક સૂત્ર જણાવો.
ઉત્તર:
આપેલા પદાર્થ વડે આપેલા બિંદુએ એકમ દળના પદાર્થ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષી બળને તે બિંદુએ ગુરુત્વ તીવ્રતા (I) કહે છે.
તેને ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર અથવા ગુરુત્વક્ષેત્ર અથવા ગુરુત્વીય તીવ્રતા અથવા ગુરુત્વાકર્ષી તીવ્રતા અથવા ગુરુત્વ તીવ્રતા પણ કહે છે.

• M દળના પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર / ગુરુત્વ કેન્દ્રથી r અંતરે ગુરુત્વીય તીવ્રતાનું મૂલ્ય,
  I = \(\frac{G M}{r^2}\) …………. (8.11)
• ગુરુત્વીય તીવ્રતાનું સદિશ સૂત્ર,
  \(\vec{I}=-\frac{G M}{r^2} \hat{r}\)
  = – \(\frac{G M}{r^3} \vec{r}\)
  જ્યાં, \(\vec{r}\) = પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર / ગુરુત્વ કેન્દ્રની સાપેક્ષે જે બિંદુએ ગુરુત્વીય તીવ્રતા શોધવાની છે તેનો સ્થાનસદિશ.
• ગુરુત્વ તીવ્રતાનો એકમ \(\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}\) અને પારિમાણિક સૂત્ર M⁰L¹T^-2 છે.

પ્રશ્ન 11.
એક વિસ્તારિત પદાર્થ (વિસ્તૃત પદાર્થ) વડે તેનાથી અલગ એવા એક કણ (બિંદુવત્ પદાર્થ) પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેવી રીતે મેળવી શકાય છે તે જણાવો.
ઉત્તર:
આપેલ વિસ્તારિત (વિસ્તૃત) પદાર્થ વડે તેનાથી અલગ એવા એક કણ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શોધવા માટે, તે વિસ્તૃત પદાર્થનો દરેક કણ તે કથિત કણ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડશે અને આ બધાં બળો એક જ દિશામાં નહિ હોય.

હવે, આ વિસ્તૃત પદાર્થની અંદરના દરેક કણ વડે કથિત કણ પર લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળો મેળવી તેમનો સિદેશ સરવાળો કરવો પડે.
આમ, કથિત કણ પર સમગ્ર વિસ્તૃત પદાર્થ વડે લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મેળવી શકાય છે.

પ્રશ્ન 12.
એક નિયમિત ઘનતા ધરાવતી પોલી ગોળાકાર કવચ વડે તેની બહાર રહેલા અને તેની અંદર આવેલા કણ (બિંદુવત્ પદાર્થ) પર લાગતાં કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળોની સમજૂતી આપો. જરૂરી આકૃતિઓ દોરો.
ઉત્તર:
(1) એક નિયમિત ઘનતા ધરાવતી પોલી ગોળાકાર કવચ વડે તેની બહાર રહેલા કણ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ, કવચનું સમગ્ર દળ જાણે કે કવચના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયું હોય તેમ ગણીને મળતા બળ જેટલું હોય છે.

કવચ પરના કણ 2 અને 3 વડે કણ 1 પર લાગતાં બળો \(\vec{F}_{12}\)
અને \(\vec{F}_{13}\)ના બે ઘટકો,
(i) OPને સમાંતર અને
(ii) OPને લંબ વિચારતાં,
OPને લંબ ઘટકો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશાના હોઈ તેમની અસર નાબૂદ થાય છે અને OPને સમાંતર ઘટકોનો સરવાળો કરવાથી પરિણામી બળ મળે છે.
OP રેખાને અનુલક્ષીને સંમિત સ્થાનો ધરાવતા કવચના કણો માટે વિચારતાં P પરનું પરિણામી બળ કવચના કેન્દ્ર પર લાગતું જોઈ શકાય છે.

(2) એક નિયમિત ઘનતા ધરાવતી પોલી ગોળાકાર કવચ વડે તેની અંદર રહેલા કણ પર લાગતું કુલ ગુરુત્વ બળ શૂન્ય હોય છે.
ગુણાત્મક સમજૂતી : ગોળાકાર કવચના વિવિધ વિસ્તારો તે કણને જુદી જુદી દિશાઓમાં આકર્ષે છે. આ બધાં બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે અર્થાત્ તે કથિત કણ પર બધાં બળોની અસ૨ સંપૂર્ણ નાબૂદ થાય છે.

પ્રશ્ન 13.
ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક Gનું મૂલ્ય નક્કી કરવા માટેની કૅવેન્ડિશના પ્રયોગની ગોઠવણી દર્શાવતી સંશાત્મક આકૃતિ દોરો અને જરૂરી સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 8.9માં ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક Gનું મૂલ્ય માપવા માટેની પ્રાયોગિક ગોઠવણ સંજ્ઞાત્મક રીતે દર્શાવેલ છે.
• એક સ્થિર આધાર O પરથી ધાતુના પાતળા તાર વડે લટકાવેલ લાંબા સળિયાના બે છેડે m દળ ધરાવતાં સીસાના નાના એકસરખા ગોળાઓ A અને B લગાડેલા છે.
• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે મોટા M દળ ધરાવતાં સીસાના ગોળાઓને નાના ગોળાઓની નજીક, પરંતુ સામસામી (અથવા વિરુદ્ધ) બાજુએ એકસરખા અંતરે લાવવામાં આવે છે.
• મોટા ગોળાઓ S₁ અને S₂, નાના ગોળાઓને સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાંના ગુરુત્વાકર્ષી બળો વડે આકર્ષે છે. તેથી સળિયા પર કોઈ ચોખ્ખું (પરિણામી) બળ લાગતું નથી.
• પણ બળ F અને સળિયાની લંબાઈ Lના ગુણનફળ જેટલા મૂલ્યનું ટૉર્ક સળિયા પર લાગે છે. જ્યાં બળ F એ મોટા ગોળા અને તેની નજીકના નાના ગોળા વચ્ચે લાગતું આકર્ષણ બળ છે.
• આ ટૉર્કને લીધે સળિયો એ ON (પાતળો તાર) અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરે છે, પરિણામે લટકાવેલ પાતળા તારમાં ત્યાં સુધી વળ ચઢે છે કે જ્યાં સુધી તારમાં ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક ટૉર્ક એ ગુરુત્વાકર્ષી ટૉર્ક જેટલું થાય.
• જો લટકાવેલ તારમાં વળ ચઢ્યાનો કોણ θ હોય, તો પુનઃસ્થાપક ટૉર્ક θના સમપ્રમાણમાં હોવાથી તે τθ જેટલું હોય. જ્યાં, τ = તારમાં એકમ વળદીઠ ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક ટૉર્ક છે. (અહીં, તારમાં એકમ વળદીઠ ઉદ્ભવતાં પુનઃસ્થાપક ટૉર્ક τને તારનો વળ અચળાંક કહે છે. જેનો SI એકમ Nm rad^-1 છે.)
• τને બીજો સ્વતંત્ર પ્રયોગ કરીને માપી શકાય છે. દા. ત., તાર પર જ્ઞાત મૂલ્યનું ટૉર્ક τ’ લગાડીને તારમાં વળ ચઢ્યાનો કોણ θ માપીને, τ = \(\) પરથી. ( ∵ લગાડેલ ટૉર્ક τ = τ θ છે.)
• હવે, મોટા અને નાના ગોળાઓનાં દળ તેમનાં આનુષાંગિક કેન્દ્રો પર કેન્દ્રિત થયેલાં છે તેમ ધારતાં, તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ
  બળ,
  F = \(\frac{G M m}{d^2}\) …………… (8.13)
  સળિયાની લંબાઈ L હોય, તો આ બળ F વડે ઉદ્ભવતું ટૉર્ક (બળયુગ્મ) એ F અને Lના ગુણનફળ જેટલું થાય અને સળિયાની સ્થિર સંતુલન સ્થિતિમાં આ ટૉર્ક, પુનઃસ્થાપક ટૉર્ક જેટલું થાય છે.
  તેથી
  (\(\frac{G M m}{d^2}\)) L = τ θ
  ∴ G = \(\frac{\tau \theta d^2}{M m L}\) ………….. (8.14)
• આમ, θનું મૂલ્ય અવલોકન પરથી જાણીને સમીકરણ (8.14)ની મદદથી Gનું મૂલ્ય ગણતરી કરીને શોધી શકાય છે.
• કૅવેન્ડિશના સમયથી Gના માપનમાં સુધારા થતા ગયા છે અને હાલમાં Gનું સ્વીકૃત મૂલ્ય G = 6.67 × 10^-11 N m²kg^-2 છે.
  નોંધ : અહીં, θનું મૂલ્ય તાર પર લગાડેલા એક નાના અરીસાની મદદથી લૅમ્પ અને સ્કેલની રીતથી મેળવવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 14.
પૃથ્વીની બહાર (r > R_e) અને પૃથ્વીની સપાટી પર (r = R_e) રહેલા m દળના કણ પર પૃથ્વી દ્વારા લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિશે સમજૂતી આપો. (R_e = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા)
ઉત્તર:
પૃથ્વીને એક નિયમિત ગોળા તરીકે કલ્પવામાં આવે, તો પૃથ્વીને ખૂબ મોટી સંખ્યાની સમકેન્દ્રીય ગોળાકાર કવચોની બનેલી છે તેમ ગણી શકાય.

• પૃથ્વીની બહાર રહેલ m દળનો કણ સ્વાભાવિક રીતે જ આ બધી ગોળાકાર કવચોની બહાર હશે.

• આ બધી ગોળાકાર કવચો તેમની બહારના m દળના કણ પર એટલું ગુરુત્વ બળ લગાડે, કે જાણે બધી કવચોનાં દળ તેમનાં સામાન્ય કેન્દ્ર ૫૨ કેન્દ્રિત થયેલાં હોય ત્યારે મળતા બળ જેટલું જ હોય.
• હવે, બધી ગોળાકાર કવચોનું કુલ દળ પૃથ્વીના દળ જેટલું જ છે. આથી પૃથ્વીની બહારના બિંદુએ રહેલા m દળના કણ પર પૃથ્વીનું ગુરુત્વ બળ, જાણે કે પૃથ્વીનું સમગ્ર દળ તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલું હોય ત્યારે મળતા બળ જેટલું જ હોય.
• પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ બિંદુએ રહેલા m દળના કણ પર પણ પૃથ્વીનું ગુરુત્વ બળ, જાણે કે પૃથ્વીનું સમગ્ર દળ તેના કેન્દ્ર ૫૨ કેન્દ્રિત થયેલું હોય ત્યારે મળતા બળ જેટલું જ હોય.

પ્રશ્ન 15.
પૃથ્વીની અંદર d જેટલી ઊંડાઈએ રહેલા m દળના કણ પર પૃથ્વી દ્વારા લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું સૂત્ર F = (\(\))r
મેળવો. (જ્યાં, r = R_e – d) અને પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલા m દળના કણ પર લાગતાં ગુરુત્વ બળનું સૂત્ર લખો.
ઉત્તર:

• પૃથ્વીને એક નિયમિત ગોળા તરીકે કલ્પવામાં આવે, તો પૃથ્વીને ખૂબ મોટી સંખ્યાની સમકેન્દ્રીય ગોળાકાર કવચોની બનેલી છે તેમ ગણી શકાય.
• આકૃતિ 8.11માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r અંતરે એક બિંદુવત્ દળm એટલે કે m દળવાળો કણ રહેલ છે.
• P બિંદુ r ત્રિજ્યાના ગોળાની સપાટી પર છે. r કરતાં વધુ ત્રિજ્યા ધરાવતી કવચો માટે P બિંદુ અંદર રહેલું છે.
• આ ગોળાકાર કવચો કે જેમની ત્રિજ્યા r કરતાં વધુ છે. તેઓ P આગળ રહેલ m દળના કણ પર કોઈ બળ લગાડતાં નથી.
• ત્રિજ્યા ≤ r ધરાવતી વિવિધ ગોળાકાર કવચો r ત્રિજ્યાનો ગોળો રચે છે, જેમના માટે P બિંદુ r ત્રિજ્યાની ગોળાકાર કવચની સપાટી પર રહેલ છે.
• ટૂંકમાં, આ r ત્રિજ્યાનો નાનો નિયમિત ગોળો, P આગળ રહેલ m દળના કણ પર, જાણે કે તેનું દળ M_r તેના કેન્દ્ર ૫૨ કેન્દ્રિત થયેલું હોય તેમ વર્તીને ગુરુત્વ બળ લગાડે છે.
  ∴ P બિંદુ પાસે રહેલા m દળના કણ પર લાગતા ગુરુત્વ બળનું માન,
  F = \(\frac{G m M_{\mathrm{r}}}{r^2}\) …… (8.15)
• સમગ્ર પૃથ્વીને નિયમિત ઘનતા ધરાવતો નક્કર ગોળો ધારતાં, તેનું દળ M_e = \(\frac{4}{3}\)πR_e³ρ થાય. જ્યાં, M_e = પૃથ્વીનું દળ; R _e= પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અને ρ પૃથ્વીની ઘનતા છે.
• તે જ પ્રમાણે r ત્રિજ્યાના ગોળાનું દળ, M_r = \(\frac{4}{3}\)πr³ρ થાય.
  તેથી

• પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલા m દળના કણ માટે r = R_e તેથી સમીકરણ (8.16) પરથી,
  F = (\(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}^2}\))m ………….. (8.17)

પ્રશ્ન 16.
ગુરુત્વપ્રવેગ એટલે શું? પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ બિંદુ પાસે ગુરુત્વપ્રવેગ શોધવાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે કોઈ પણ પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતા પ્રવેગને ગુરુત્વપ્રવેગ g કહે છે.

• પૃથ્વીને સંપૂર્ણ ગોળાકાર ધારવામાં આવે અને પૃથ્વીની અંદર બધે ઘનતા એકસમાન છે તેમ માનવામાં આવે, તો પૃથ્વીની બહાર આવેલા કોઈ કણ પર લાગતું ગુરુત્વ બળ શોધતી વખતે, પૃથ્વીનું સમગ્ર દળ તેના કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલું છે તેમ ગણી શકાય.
• ધારો કે, પૃથ્વીનું દળ M_e અને ત્રિજ્યા R_e છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r (r > R_e) અંતરે આવેલાં m દ્રવ્યમાનના કણ પર લાગતું ગુરુત્વ બળ (મૂલ્ય), ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ પરથી નીચે મુજબ મળે :
  F = \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{r^2}\)
  ∴ \(\frac{F}{m}=\frac{G M_e}{r^2}\)
  પણ, ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ પરથી,
  \(\frac{F}{m}\) ગુરુત્વપ્રવેગ g (r)
  ∴ g (r) = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{r^2}\) (જ્યાં, r > R_e) ……………. (8.18)
• પૃથ્વીની સપાટી પરના બિંદુએ r = R_e હોવાથી પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ (મૂલ્ય) g = \(\frac{G M_{\mathrm{c}}}{R_{\mathrm{e}}^2}\) …………. (8.19)

પ્રશ્ન 17.
R ત્રિજ્યા અને M દળવાળા એક નિયમિત સંપૂર્ણ ગોળાકાર ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ શોધવાનું સૂત્ર તેના દ્રવ્યની ઘનતાના પદમાં શોધો.
ઉત્તર:
આપેલ ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ,
g_p = \(\frac{G M}{R^2}\) ………… (8.20)
પણ, દળ M = કદ V × ઘનતા ρ
∴ M = \(\frac{4}{3}\)πR³ × ρ ………… (8.21)
સમીકરણ (8.21)ની કિંમત સમીકરણ (8.20)માં મૂકતાં,
g_p = \(\frac{G}{R^2}\) × \(\frac{4}{3}\)πR³ × ρ
∴ g_p = \(\frac{4}{3}\)πGρR …………. (8.22)
નોંધ : R_e ત્રિજ્યા અને M_e દળ ધરાવતી પૃથ્વીના કિસ્સામાં તેની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ,
g = \(\frac{4}{3}\)πGρR_e
(અહીં, પૃથ્વીને નિયમિત સંપૂર્ણ ગોળો ધારેલ છે.)

પ્રશ્ન 18.
પૃથ્વીની સપાટી પર દરેક સ્થળે ગુરુત્વપ્રવેગ ઉનું મૂલ્ય શાથી સમાન નથી?
ઉત્તર:
જો પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર હોત, તો પૃથ્વીની સપાટી પર દરેક સ્થળે ગુરુત્વપ્રવેગ gનું મૂલ્ય એકસમાન મળે. પણ પૃથ્વી વાસ્તવમાં સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી, પણ વિષુવવૃત્ત પાસે સહેજ ઉપસેલી છે અને ધ્રુવો પાસે સહેજ ચપટી છે.

• પૃથ્વીની ધ્રુવપ્રદેશ પાસેની ત્રિજ્યા કરતાં વિષુવવૃત્ત પાસેની ત્રિજ્યા લગભગ 21 km જેટલી વધુ છે.
• ગુરુત્વપ્રવેગ g ∝ \(\frac{1}{R_e{ }^2}\) હોવાથી ધ્રુવો પાસે gનું મૂલ્ય, વિષુવવૃત્ત પાસેના gના મૂલ્ય કરતાં સહેજ (આશરે 0.018m s^-2 જેટલું) વધારે છે.
• આમ છતાં, વ્યવહારિક હેતુ પૂરતું પૃથ્વી પરનાં બધાં જ સ્થળોએ gનું મૂલ્ય 9.8 m s^-2 જેટલું સમાન લેવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 19.
‘G’ અને ‘g’ વચ્ચેના તફાવતના મુદ્દા લખો.
ઉત્તર:
‘G’ અને ‘g’ વચ્ચેના તફાવતના મુદ્દા નીચે મુજબ છેઃ

‘G’	‘g’
1. તે ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે.	1. ગુરુત્વાકર્ષણ બળને લીધે પદાર્થમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે. તેને ગુરુત્યપ્રવેગ કહે છે.
2. m1 અને m2 દળવાળા બે કણો વચ્ચેનું અંતર r હોય અને તેમની વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ F હોય, તો G = \(\frac{F \cdot r^2}{m_1 m_2}\)	2. પૃથ્વીની સપાટી ૫૨ ge = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}^2}\)
3. G = 6.67 × 10-11Nm2kg-2	3. ge = 9.8 m s-2
4. G એ અદિશ છે.	4. g એ સદિશ છે. તેની દિશા હંમેશાં પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
5. પારિમાણિક સૂત્ર : M-1 L3T-2	5. પારિમાણિક સૂત્ર : M0L1 T-2
6. તેનું મૂલ્ય બ્રહ્માંડમાં સર્વત્ર સમાન છે.	6. તેનું મૂલ્ય પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ અને ઊંડાઈ સાથે બદલાય છે. તદ્ઉપરાંત પૃથ્વીની પોતાની અક્ષીય ગતિના લીધે પણ જુદાં જુદાં સ્થળોએ તેનું મૂલ્ય જુદું જુદું મળે છે.

પ્રશ્ન 20.
પૃથ્વીની સપાટીથી h (h << R_e) જેટલી ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ શોધવાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 8.12માં દર્શાવ્યા મુજબ પૃથ્વીની સપાટીથી h ઊંચાઈએ રહેલ P બિંદુ પાસે એક બિંદુવત્ દળ (કણ) mનો વિચાર કરો. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા R_e છે.
• આ બિંદુ P પૃથ્વીની બહાર હોવાથી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી તેનું અંતર r = (R_e + h) છે.
• હવે, P બિંદુ પાસે રહેલ m દળના કણ પર લાગતું બળ F (h) નીચે મુજબ મળે :
  F (h) = \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)^2}\) …………… (8.23)
• ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ વાપરતાં, આ કણ (બિંદુવત્ દળ) વડે અનુભવાતો પ્રવેગ \(\frac{F(h)}{m}\) = ગુરુત્વપ્રવેગ g (h)
  : ગુરુત્વપ્રવેગ g (h) = \(\frac{F(h)}{m}=\frac{G M_{\mathrm{e}}}{\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)^2}\) ……….. (8.24)
• સમીકરણ (8.24) પરથી સ્પષ્ટ છે કે આ મૂલ્ય g ના પૃથ્વીની સપાટી પરના મૂલ્ય g = \(\) કરતાં ઓછું છે.
• સમીકરણ (8.24) પરથી,
  g (h) = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}^2\left(1+\frac{h}{R_{\mathrm{e}}}\right)^2}\)
  = g(1 + \(\frac{h}{R_{\mathrm{e}}}\))^-2 …………. (8.25)
• h << R_e માટે, દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,
  g (h) ≅ g (1 – \(\frac{2 h}{R_{\mathrm{e}}}\)) …………. (8.26)
• સમીકરણ (8.26) દર્શાવે છે કે, પૃથ્વીની સપાટીથી નાની ઊંચાઈ
  h માટે g એ (1 – \(\frac{2 h}{R_{\mathrm{e}}}\))ના ગુણાંક મુજબ ઘટે છે.

પ્રશ્ન 21.
પૃથ્વીની સપાટીથી ત જેટલી ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ શોધવાનું સૂત્ર મેળવો. આ પરથી પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ કેટલો હશે તે જણાવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 8.13માં દર્શાવ્યા અનુસાર પૃથ્વીની સપાટીથી નીચે d ઊંડાઈએ P બિંદુ પાસે એક m દળવાળા કણનો વિચાર કરો.
• આથી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી P બિંદુનું અંતર r = R_e – d થાય.
• તેથી હવે, પૃથ્વીને r = R_e – d ત્રિજ્યાના નાના ગોળા અને d જાડાઈની ગોળાકાર કવચની બનેલી ગણી શકાય.
• d જાડાઈની બહારની કવચને લીધે m દળના કણ (બિંદુવત્ દળ) પર લાગતું બળ શૂન્ય છે.
• જ્યાં સુધી r = R_e – d ત્રિજ્યાના નાના ગોળાને સંબંધ છે, ત્યાં સુધી બિંદુવત્ દળ (કણ) તેની બહાર છે તથા આ
  ત્રિજ્યાના નાના ગોળા વડે લાગતું બળ જાણે કે તેનું બધું દળ કેન્દ્ર O પર કેન્દ્રિત થયેલું હોય ત્યારે મળતા બળ જેટલું જ હોય છે.
• જો આ r ત્રિજ્યાના નાના ગોળાનું દળ M_s હોય, તો કોઈ પણ નક્કર ગોળાનું દળ તેની ત્રિજ્યાના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,
  \(\frac{M_{\mathrm{s}}}{M_{\mathrm{e}}}=\frac{\left(R_{\mathrm{e}}-d\right)^3}{R_{\mathrm{e}}^3}\) …………. (8.27)
• હવે, આ બિંદુવત્ દળ (કણ) પર લાગતું બળ,
  F (d) = \(\frac{G M_{\mathrm{s}} m}{\left(R_{\mathrm{e}}-d\right)^2}\) ……………… (8.28)
  સમીકરણ (8.27) પરથી M_sનું મૂલ્ય સમીકરણ (8.28)માં અવેજ કરતાં,
  F (d) = \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m\left(R_{\mathrm{e}}-d\right)}{R_{\mathrm{e}}^3}\) …………… (8.29)
• g (d) = \(\frac{F(d)}{m}\) પરથી,
  પૃથ્વીની સપાટીથી d ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ,
  g (d) = \(\frac{F(d)}{m}\)
  = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}{ }^3}\)(R_e – d)
  = g(\(\left.\frac{R_{\mathrm{e}}-d}{R_{\mathrm{e}}}\right)\)) (∵ g = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}{ }^2}\)
  g (d) = g(1 – \(\frac{d}{R_{\mathrm{e}}}\))
• સમીકરણ (8.30) પરથી સ્પષ્ટ છે કે પૃથ્વીની સપાટીથી જેમ નીચેને નીચે જઈએ તેમ ગુરુત્વપ્રવેગ (1 −\(\frac{d}{R_{\mathrm{e}}}\)) ના ગુણાંક મુજબ ઘટે છે.
• પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ g (d = R_e) = g(1 – \(\frac{R_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}}\) ) = 0

પ્રશ્ન 22.
પૃથ્વીના અંદરના વિસ્તારમાં તથા પૃથ્વીના બહારના વિસ્તારમાં ગુરુત્વપ્રવેગ તુનું વિચરણ આલેખની મદદથી ચર્ચો.
ઉત્તર:
પૃથ્વીની સપાટીના અંદરના વિસ્તારમાં પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ,
g (r) = \(\frac{g}{R_{\mathrm{e}}}\) . r
જ્યાં, R_e = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
g = પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
∴ g (r) ∝ r (પૃથ્વીની અંદરના વિસ્તારમાં)

• પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પૃથ્વીની બહારના વિસ્તારમાં ગુરુત્વપ્રવેગ,
  g (r) = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{r^2}\) માં GM_e = અચળ છે.
  ∴ g (r) ∝ \(\frac{1}{r^2}\) (પૃથ્વીના બહારના વિસ્તારમાં)
• તેથી ગુરુત્વપ્રવેગ g(r) વિરુદ્ધ અંતર r નો આલેખ નીચે મુજબ મળે છે :

• આકૃતિ 8.14માં OA રેખા દર્શાવે છે કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પૃથ્વીની સપાટી તરફ જતાં તુનું મૂલ્ય રેખીય રીતે વધતું જાય છે, કારણ કે આ વિસ્તારમાં g (r) ∝ r.
• AB વક્ર દર્શાવે છે કે પૃથ્વીની સપાટીથી બહારના ભાગમાં ગુરુત્વપ્રવેગ gનું મૂલ્ય \(\frac{1}{r^2}\)અનુસાર ઘટે છે.

પ્રશ્ન 23.
પૃથ્વીના ભ્રમણને લીધે અક્ષાંશ સાથે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ ‘g’માં થતા ફેરફારનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
પૃથ્વીની સપાટી પરના આપેલા સ્થળને પૃથ્વીના કેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખાએ વિષુવવૃત્તીય રેખા સાથે બનાવેલા ખૂણાને તે સ્થળનો અક્ષાંશ λ કહે છે.

• → વિષુવવૃત્ત પર અક્ષાંશ λ = 0° અને ધ્રુવ પર અક્ષાંશ λ = 90° છે.
• 
• આકૃતિ 8.15માં દર્શાવ્યા મુજબ પૃથ્વીની સપાટી પરના P સ્થાને અક્ષાંશ λ = ∠POE છે.
• P સ્થાને રહેલા m દળના કણ પર લાગતાં બળો,
  (1) પૃથ્વીનું ગુરુત્વ બળ = mg (\(\overrightarrow{P O}\) દિશામાં)
  (2) પૃથ્વી તેની ચાકગતિને કારણે પ્રવેગ ધરાવે છે. એટલે કે કણ પ્રવેગી નિર્દેશ-ફ્રેમમાં છે. તેથી P બિંદુએ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ = \(\frac{v^2}{r}\) જેટલો \(\overrightarrow{P M}\) દિશામાં છે.
  આથી ણનો આભાસી પ્રવેગ \(\frac{v^2}{r}\) જેટલો \(\overrightarrow{P Q}\) દિશામાં હોવાથી તેના પર આભાસી બળ \(\frac{m v^2}{r}\), \(\overrightarrow{P Q}\) દિશામાં લાગે.
• આ બળનો \(\overrightarrow{P R}\) દિશામાંનો ઘટક = \(\frac{m v^2}{r}\) cosλ.
  ∴ P બિંદુ આગળના કણ પર પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ લાગતું અસરકારક બળ, mg’ = mg – \(\frac{m v^2}{r}\) cosλ.
  જ્યાં, g’ = આ સ્થાને પૃથ્વીની ચાકગતિને ધ્યાનમાં લઈને મળતો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ
  g = પૃથ્વીની ચાકતિ ધ્યાનમાં લીધા સિવાય આ સ્થાને ગુરુત્વપ્રવેગ
  ∴ g’ = g – \(\frac{v^2}{r}\) cos λ
  પરંતુ υ = rω; જ્યાં, ω = પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ
  ∴ g’ = g – \(\frac{r^2 \omega^2}{r}\) cos λ = g – rω² cos λ
• આકૃતિ પરથી, MP = r = R_e cos
  ∴ g’ = g – R_eω² cos² λ
  અથવા g’ = g[1 – \(\frac{R_{\mathrm{e}} \omega^2 \cos ^2 \lambda}{g}\)] …………. (8.31) જે માગેલું સૂત્ર છે.

ખાસ કિસ્સાઓ
(1) પૃથ્વીના વિષુવવૃત્ત પર ‘g’નું મૂલ્ય:
પૃથ્વીના વિષુવવૃત્ત પાસે λ = 0° હોવાથી, સમીકરણ
(8.31) પરથી ગુરુત્વપ્રવેગ, g’ = g – R_eω²
જે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગનું લઘુતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(2) પૃથ્વીના ધ્રુવ પર ‘g’નું મૂલ્ય :
પૃથ્વીના ધ્રુવ પાસે λ = 90° હોવાથી, cos λ = 0 આથી સમીકરણ (8.31) પરથી ગુરુત્વપ્રવેગ, g’ = g
જે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગનું મહત્તમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 24.
સ્થિતિમાન (Potential) અને સ્થિતિ-ઊર્જા (Potential energy) એટલે શું?
ઉત્તર:
કોઈ agency કે તંત્રની ક્રિયા કરવાની ક્ષમતા કે શક્યતાને સ્થિતિમાન કહે છે.
કોઈ પદાર્થ કે તંત્રની સ્થિતિ અને અથવા ગોઠવણીને અનુલક્ષીને પદાર્થમાં સંગૃહીત ઊર્જાને સ્થિતિ-ઊર્જા કહે છે.

પ્રશ્ન 25.
સંરક્ષી બળ અને સંરક્ષી ક્ષેત્ર એટલે શું?
ઉત્તર:
તંત્ર કે પદાર્થની કોઈ બે સ્થાનો વચ્ચેની ગતિ દરમિયાન, જે બળ વડે થતું કાર્ય બે સ્થાનોને જોડતા પથ (માર્ગ) પર આધારિત ન હોય તેવા બળને સંરક્ષી બળ કહે છે.
દા. ત., ગુરુત્વાકર્ષણ બળ, સ્થિત-વિદ્યુત બળ, સ્પ્રિંગ બળ
જે વિસ્તારમાં (ક્ષેત્રમાં) સંરક્ષી બળ પ્રવર્તતું હોય તેને સંરક્ષી ક્ષેત્ર કહે છે.
દા. ત., ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર, સ્થિત-વિદ્યુતક્ષેત્ર

અતિ મહત્વનું જ્ઞાન
બધા પ્રકારનાં બળોના કિસ્સામાં કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય W = Δ K અને માત્ર સંરક્ષી બળોના કિસ્સામાં યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ Δ K + ΔV = 0 (અથવા Δ K = – ΔV)નું પાલન થાય છે.
∴ W_{conservative force} = – ΔV

• પૃથ્વીની સપાટીથી h જેટલી ઊંચાઈએ m દળના પદાર્થને પ્રવેગ રહિત ગતિ કરાવીને લઈ જતાં external agent વડે થતું કાર્ય W_{external agent} = mgh હોય છે (કારણ કે પદાર્થના ઉપર તરફના સ્થાનાંતરને ધન ગણેલ છે.) અને સંરક્ષી બળ (ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) વડે થતું કાર્ય, W_{conservative force} = – mgh હોય છે.
• પદાર્થની બે સ્થાનો વચ્ચેની ગતિમાં પૂર્ણ trip દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કુલ કાર્ય,
  W_total = mgh + (- ngh) = 0 થાય છે, જે સંરક્ષી ક્ષેત્રની એટલે કે ગુરુત્વીય ક્ષેત્રની ખાસિયત છે.
  
  સંરક્ષી બળ : બે સ્થાનો વચ્ચેની પદાર્થની ગતિમાં પૂર્ણ trip દરમિયાન (બંધમાર્ગ પરની ગતિ દરમિયાન) જે બળ વડે થતું કુલ કાર્ય (W₁₂ + W₂₁) શૂન્ય હોય તે બળને સંરક્ષી બળ (Conservative force) કહે છે.
  ΔPE = W_{conservative force} = +W_{external agent}
  ∴ V (r_f) – V (r_i) = \(\frac{\Delta P E}{m}=\frac{-W_{\text {conservative force }}}{m}[latex]
  = [latex]\frac{+W_{\text {external agent }}}{m}[latex]
  જ્યાં, V (r_f) = અંતિમ બિંદુ પાસે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન અને
  V (r_i) = પ્રારંભિક બિંદુ પાસે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન

પ્રશ્ન 26.
ગુરુત્વીય સ્થિતિમાનની વ્યાખ્યા લખો અને તેનો એકમ તથા પારિમાણિક સૂત્ર જણાવો.
ઉત્તર:
ગુરુત્વક્ષેત્રમાં આપેલ બિંદુએ એકમ દળના (m = 1 એકમ) પદાર્થ પર લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા ઉદ્ભવતી પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જાને તે બિંદુ પાસેનું ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન કહે છે.
વ્યાખ્યા : અનંત અંતરેથી ગુરુત્વક્ષેત્રમાંના કોઈ પણ બિંદુ સુધી એકમ દળને લાવતાં ગુરુત્વક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કરવા પડતા કાર્યને તે બિંદુ પાસેનું ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન (U) કહે છે.

• ગુરુત્વક્ષેત્રમાં આપેલ બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન શોધવા માટે એકમ દળના પદાર્થને અનંત અંતરેથી પ્રવેગ રહિત ગતિ કરાવીને આપેલ બિંદુ સુધી લાવવાનો હોય છે.
• વ્યાપકરૂપે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન U = હોવાથી ગુરુત્વીય સ્થિતિમાનનો SI એકમ J kg^-1 અને પારિમાણિક સૂત્ર M⁰L²T^-2 છે.

પ્રશ્ન 27.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r (> R_e) અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાનનું સૂત્ર મેળવો અને પૃથ્વીની સપાટી પર તેનું સૂત્ર લખો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 8.16માં દર્શાવ્યા અનુસાર પૃથ્વીના કેન્દ્રને યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O તરીકે લીધેલ છે. પૃથ્વીનું દળ M_e અને ત્રિજ્યા R_e છે.
• પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r અંતરે આવેલા P બિંદુનો સ્થાનસદિશ [latex]\vec{r}\) છે. r > R_e છે.
• હવે, P બિંદુ પાસે ગુરુત્વક્ષેત્ર (અથવા ગુરુત્વતીવ્રતા),
  \(\vec{g}\) = P આગળ રહેલા એકમ દળ(m = 1 એકમ)ના પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વ બળ
  = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{r^2} \hat{r}\) ……………. (8.32)
• એકમ દળ(m = 1 એકમ)ના પદાર્થને \(\vec{d r}\) જેટલું સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર કરાવવા માટે ગુરુત્વક્ષેત્ર \(\vec{g}\) દ્વારા થતું કાર્ય \(\vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}=\vec{g} \cdot \overrightarrow{d r}\) થાય.

• હવે, વ્યાપક રૂપે એકમ દળના પદાર્થને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r₁ અંતરેથી r₂ અંતર સુધી (જ્યાં r₁ > r₂) લાવવા માટે ગુરુત્વક્ષેત્ર \(\vec{g}\) દ્વારા થતું કુલ
  કાર્ય = \(\int_{r_1}^{r_2} \vec{g} \cdot \overrightarrow{d r}\) ………….. (8.33)
  જ્યાં, \(\vec{d r}\)ની દિશા r₁થીr₂ તરફ છે.
  ∴ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r₁થીr₂ અંતર સુધી એકમ દળ- (m = 1 એકમ)ના પદાર્થને પ્રવેગ રહિત ગતિ કરાવીને લાવવા માટે external agent દ્વારા થતું કુલ કાર્ય,

અહીં, r₁ > r₂ લીધેલ છે. તેથી જો r₁ = ∞ લેવામાં આવે, તો external agent દ્વારા થતું કાર્ય,
W = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{r_2}\)
r₂ = લેતાં,
W = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{r}\) ………….. (8.36)
પણ, ગુરુત્વીય સ્થિતિમાનની વ્યાખ્યા પરથી સમીકરણ (8.36)ને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r (> R_e) અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન કહેવાય છે.
∴ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન U (r) = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{r}\) (જ્યાં, r > R_e ………….. (8.37)

• પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન,
  U = \(\frac{-G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}}\) (∵ r = R_e) …………. (8.38)

વિશેષ માહિતી
ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન અંગેની કેટલીક બાબતો :
(1) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અનંત અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન
U (∞) = – \(\frac{G M}{\infty}\)
∴ U (∞) = 0

(2) નિયમિત ગોળાકાર કવચની અંદરના વિસ્તારમાં બધા બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન સમાન હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના મૂલ્ય જેટલું જ હોય છે. કારણ કે કવચની અંદર બધા બિંદુએ ગુરુત્વ બળ શૂન્ય હોવાથી કવચની અંદરના ભાગમાંની પદાર્થની ગતિ દરમિયાન કોઈ કાર્ય કરવું પડતું નથી.

(3) Mદળના અને R ત્રિજ્યાના કવચના કેન્દ્રથી અંતર r સાથે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન U નો ફેરફાર નીચેની આકૃતિ 8.18માં દર્શાવ્યો છે :

પ્રશ્ન 28.
ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાની વ્યાખ્યા લખો તથા તેનો SI એકમ અને પારિમાણિક સૂત્ર જણાવો.
ઉત્તર:
ગુરુત્વક્ષેત્રમાં આપેલ બિંદુએ m દળના પદાર્થ પર લાગતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા ઉદ્ભવતી પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જાને તે બિંદુ પાસેની પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા કહે છે.
વ્યાખ્યા : અનંત અંતરેથી ગુરુત્વક્ષેત્રમાંના કોઈ પણ બિંદુ સુધી m દળને લાવતાં ગુરુત્વક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કરવા પડતા કાર્યને તે બિંદુ પાસેની તે પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા V કહે છે.

• ગુરુત્વક્ષેત્રમાં આપેલ બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શોધવા માટે m દળના પદાર્થને અનંત અંતરેથી પ્રવેગ રહિત ગતિ કરાવીને આપેલ બિંદુ સુધી લાવવાનો હોય છે.
• વ્યાપક રૂપે,
  ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા = (ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન) × (દળ)
• ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાનો SI એકમ J અને પારિમાણિક સૂત્ર M¹L²T^-2 છે.

પ્રશ્ન 29.
m દળના કણની (બિંદુવત પદાર્થની) પૃથ્વીની સપાટીથી h (<< R_e) ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર લખો તથા તેની મદદથી ગુરુત્વ બળની હાજરીમાં કણને ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય તેના અંતિમ અને પ્રારંભિક સ્થાનો આગળની સ્થિતિ-ઊર્જાના તફાવત જેટલું જ હોય છે તેમ દર્શાવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 8.19માં પૃથ્વીની સપાટીની નજીક પૃથ્વીની ત્રિજ્યા કરતાં ઘણાં નાનાં અંતરોએ રહેલાં ત્રણ બિંદુઓ અનુક્રમે 1, 3 અને 2 દર્શાવ્યાં છે.
• આ ત્રણ બિંદુઓ પાસે જ્યારે m દળનો કણ (બિંદુવત્ પદાર્થ) હશે ત્યારે તેના પર mg જેટલું લગભગ અચળ ગુરુત્વ બળ લાગે છે અને તેની દિશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફની હોય છે.
• પૃથ્વીની સપાટીથી h જેટલી ઊંચાઈએ બિંદુ 3 પાસે m દળના કણને પ્રવેગ રહિત ગતિ કરાવીને લઈ જવા માટે તેના પર mg જેટલું જ પણ ગુરુત્વ બળની વિરુદ્ધ દિશામાં (બાહ્ય) બળ લગાડવું પડે છે.
• તેથી જ્યારે કણ h ઊંચાઈએ પહોંચે છે ત્યારે કરેલું કાર્ય તે કણની અંદર સ્થિતિ-ઊર્જારૂપે સંગ્રહ પામે છે, જેને તે કણની તે સ્થાને ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા કહેવામાં આવે છે.
  ∴ પૃથ્વીની સપાટીથી h જેટલી ઊંચાઈએ m દળના કણની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા = mgh …………. (8.39)
• હવે, આ જ m દળના કણને પૃથ્વીની સપાટીથી h₁ ઊંચાઈએ
  આવેલા બિંદુ 1 પરથી h₂ ઊંચાઈએ આવેલા બિંદુ 2 પર લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય W₁₂ નીચે મુજબ મળે :
  W₁₂ = (લગાડેલું બળ) × સ્થાનાંતર

• હવે જો પૃથ્વીની સપાટી પર આપેલા કણની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા W₀ જેટલી અચળ ધારીએ, તો h જેટલી ઊંચાઈએ તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા વ્યાપક રૂપે,
  W (h) = mgh + W₀ લખાય. ……………….. (8.41)
• સમીકરણ (8.41)નો ઉપયોગ સમીકરણ (8.40)માં કરતાં,
  W₁₂ = (mgh₂ + W₀) – (mgh₁ + W₀)
  = W (h₂) – W (h₁)

…………. (8.42)

• આમ, સમીકરણ (8.42) પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે, કણને ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય તેનાં અંતિમ અને પ્રારંભિક સ્થાનો આગળની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાના તફાવત જેટલું જ હોય છે.
• સમીકરણ (8.42)માં W₀ ગેરહાજર છે તથા સમીકરણ (8.41)માં ઊંચાઈ h = 0 લેતાં, W (h = 0) = W₀ મળે છે, જે દર્શાવે છે કે પૃથ્વીની સપાટી પર m દળના કણની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા W₀ (અજ્ઞાત) છે.
  (બિંદુ 1 પ૨ સમીકરણ (8.41) પરથી W₁ = mgh₁ + W₀ અને બિંદુ 2 પર W₂ = mgh₂ + W₀ મળે.
  તેથી mgh₁ = W₁ – W₀ તથા mgh₂ = W₂ – W₀ લખાય.
  ∴ સમીકરણ (8.40) પરથી,
  W₁₂ = (W₂ – W₀) – (W₁ – W₀) = W₂ – W₁)

પ્રશ્ન 30.
પૃથ્વીની સપાટીથી યાદચ્છિક r ( ≥ R_e) જેટલા અંતરે m દળના કણ પર લાગતા ગુરુત્વ બળને લીધે કણની ગુરુત્વીય સ્થિતિ- ઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો અને તેની મદદથી દર્શાવો કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અનંત અંતરે કણની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય (અથવા મહત્તમ) હોય છે.
ઉત્તર:

• જ્યારે m દળનો ણ પૃથ્વીની સપાટીથી ખૂબ વધુ ઊંચાઈએ (h ≥ R_e) આવેલાં જુદાં જુદાં બિંદુઓ પાસે હોય ત્યારે, કણનું સ્થાન બદલાતાં તેના પર લાગતું ગુરુત્વ બળ mg અચળ રહેતું નથી. તેવા સંજોગોમાં પૃથ્વીની સપાટીથી h ≥ R_e ઊંચાઈએ આવેલ સ્થાને કણની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા mgh લેવાય નહીં. આવી પરિસ્થિતિમાં m દળના કણની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા નીચે મુજબ શોધી શકાય :
• આકૃતિ 8.20માં દર્શાવેલા P બિંદુ પાસે રહેલા m દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વ બળ,
  F_{ગુરુત્વાકર્ષણ બળ} = \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{r^2}\) (પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ) …………. (8.43)
  જ્યાં, M_e = પૃથ્વીનું દળ; m = કણનું દળ; r = R + h_e
• હવે, આ ગુરુત્વ બળની અસર હેઠળ કણનું સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર dr જેટલું થાય તો ગુરુત્વ બળ વડે થતું સૂક્ષ્મ કાર્ય, dW = Fગુરુત્વાકર્ષણ બળ dr થાય.(ગુરુત્વ બળ અને કણનું સ્થાનાંતર બંનેની દિશા એક જ છે.)

• તેથી m દળનો કણ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r = r₁થી r = r₂ (જ્યાં, r₁ > r₂) અંતરે જાય ત્યારે તેના પર લાગતાં ગુરુત્વ બળ વડે થતું કાર્ય,

જ્યાં, r₁ > r₂
અહીં, W₁₂ = -ve મળે.

• તેથી હવે, વ્યાપક રૂપે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર,
  W (r) = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{r}\) + W₁ લખાય. …………….. (8.45)
  ∴ સમીકરણ (8.45) પરથી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r₁ અને r₂ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાનાં સૂત્રો નીચે મુજબ મળે :

…………… (8.45)

• સમીકરણ (8.45)માં જો r = અનંત (∞) મૂકવામાં આવે તો W (r = અનંત) = W₁ મળે છે, જે દર્શાવે છે કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અનંત અંતરે પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા W₁ મળે છે.
  આમ, પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અનંત અંતરે m દળના કણની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા W₁ જેટલી હોય છે, જે રૂઢિગત રીતે શૂન્ય (મહત્તમ) લેવામાં આવે છે. જેથી કરીને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા W (r) = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{r}\) મળે અને પૃથ્વીની સપાટી પર m દળના ણની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા W (r = R_e) = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{R_{\mathrm{e}}}\) મળે.

પ્રશ્ન 31.
પૃથ્વીની સપાટીથી યાદચ્છિક r ( ≥ R_e) અંતરે m દળના કણની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર W (r) = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{r}\) સ્વીકારો અને તેની મદદથી પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીક, સપાટીથી h ઊંચાઈએ તે mgh જેટલી હોય છે તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તર:

આકૃતિ 8.22માં દર્શાવ્યા મુજબ જ્યારે m દળનો કણ, પૃથ્વીની સપાટી પરના A બિંદુ પાસે સ્થિર અવસ્થામાં હશે ત્યારે તેની ત્યાં ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
W (r_A) = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{R_{\mathrm{e}}}\) …………. (8.47)
આ m દળના કણને, હવે શિરોલંબ ઊર્ધ્વદિશામાં h જેટલી ઊંચાઈ સુધી ખસેડવામાં આવે તો ત્યાં તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
W (r_B) = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{R_{\mathrm{e}}+h}\) …………. (8.48)
∴ m દળનો કણ જ્યારે Aથી B બિંદુ પર જાય ત્યારે તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો વધારો,
ΔPE = W (r_B) – W (T_A)
= (- \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{R_{\mathrm{e}}+h}\)) – (- \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{R_{\mathrm{e}}}\))
= GM_em (\(\frac{1}{R_{\mathrm{e}}}-\frac{1}{R_{\mathrm{e}}+h}\))
GM_em (\(\frac{h}{R_{\mathrm{e}}\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\)) …………… (8.49)

જો m દળનો કણ પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ જ નજીક હોય તો એટલે કે h << R_e હોય, તો સમીકરણ (8.49)માં R_e ની સાપેક્ષે hને અવગણી શકાય.
∴ ΔPE = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m h}{R_{\mathrm{e}}{ }^2}\)
પણ, g = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}^2}\)
∴ ΔPE = mgh …………. (8.50)

આમ, પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીકનાં અંતરોએ સમીકરણ (8.49) અને (8.50) બંને એકસરખો જવાબ આપે છે, પણ જે અંતરો પૃથ્વીની સપાટીથી ખૂબ વધુ હોય (R_e ની સાપેક્ષે) તેમના માટે માત્ર સમીકરણ (8.49) જ યથાર્થ છે.

સમીકરણ (8.50) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીક m દળના કણને પ્રારંભિક સ્થાન A પરથી અંતિમ સ્થાન B પર લઈ જતાં તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર (અહીં વધારો) W (h) – W₀ = mgh મળે છે.
∴ વ્યાપક સૂત્ર W (h) = mgh + W₀ પણ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 32.
સંપાતપણાના સિદ્ધાંતના ઉપયોગ વડે n કણોથી બનેલા અલગ કરેલા તંત્રની કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
n કણોથી બનેલા અલગ કરેલા તંત્રની કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શોધવા માટે, સૌપ્રથમ માત્ર ત્રણ કણોથી બનેલા અલગ કરેલા તંત્રની કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શોધીશું અને પછી n કણોથી બનેલા અલગ કરેલા તંત્રની કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શોધીશું.

• આકૃતિ 8.23માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ત્રણ કણોથી બનેલા તંત્રનો વિચાર કરો આ કણોના દળ અનુક્રમે m₁, m₂, અને m₃ છે.
• m₁ અને m₂ દળવાળા ણોથી બનેલા તંત્રની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
  V₁₂ = – \(\frac{G m_1 m_2}{r_{12}}\) હોય છે.
  જ્યાં, r₁₂ = m₁ અને m₂ દળ ધરાવતા કણો વચ્ચેનું અંતર તે જ પ્રમાણે m₁ અને m₃ તથા m₂ અને m₃ દળ ધરાવતા કણોથી બનતા તંત્રની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા અનુક્રમે નીચે મુજબ થશે :
  V₁₃ = – \(\frac{G m_1 m_2}{r_{13}}\) અને V₂₃ = – \(\frac{G m_2 m_3}{r_{23}}\)
• હવે, ત્રણ કણોથી બનેલા તંત્રમાં, કણોની ત્રણ જોડને અનુરૂપ કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
  V = V₁₂ + V₁₃ + V₂₃
  ટૂંકમાં, કણોની દરેક જોડથી મળતી ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
  V_ij = – \(\frac{G m_{\mathrm{i}} m_{\mathrm{j}}}{r_{\mathrm{ij}}}\)
  જ્યાં, r_ij = i અને j ક્રમના કણો વચ્ચેનું અંતર છે. m_i અને m_j અનુક્રમે તેમનાં દળ છે.
  i અને j = 1, 2, 3, …….. પણ j > i છે.
• વ્યાપક રીતે જો અલગ કરેલું તંત્ર n કણોથી બનેલું હોય તો તંત્રની કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
  V = V₁₂ + V₁₃ + ……….. + V_1n + V₂₃ + V₂₄ + … + V_2n + …… + V_{(n – 1) n}
  

પ્રશ્ન 33.
નિષ્ક્રમણ ઝડપ એટલે શું? પૃથ્વીની સપાટી પરના ગુરુત્વપ્રવેગના પદમાં તેનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
કોઈ બળક્ષેત્રમાંથી (દા. ત., ગુરુત્વીય ક્ષેત્રમાંથી) પદાર્થને મુક્ત કરવા માટે તેને આપવી પડતી જરૂરી લઘુતમ ઝડપને નિષ્ક્રમણ ઝડપ કહે છે.

• યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પૃથ્વીના ગુરુત્વીય ક્ષેત્રમાંથી પદાર્થને મુક્ત કરવા માટેની નિષ્ક્રમણ ઝડપ નીચે મુજબ શોધી શકાય છે :
  ધારો કે, m દળવાળા પદાર્થને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r = R_e + h અંતરેથી υ_i જેટલી પ્રારંભિક ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે, તો પદાર્થની પ્રારંભિક યાંત્રિક ઊર્જા,

• ધારો કે, હવે પદાર્થ અનંત અંતરે પહોંચે છે અને ત્યાં તેની રેખીય ઝડપ υ_f છે, તો પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અનંત અંતરે પદાર્થની અંતિમ યાંત્રિક ઊર્જા,

• યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતાં,
  E_i = E_f

• હવે, સમીકરણ (8.54)ની જમણી બાજુના પદનું મૂલ્ય ધન છે તથા તેનું લઘુતમ મૂલ્ય શૂન્ય છે. તેથી ડાબી બાજુનું મૂલ્ય પણ ધન જ થવું જોઈએ અને લઘુતમ મૂલ્ય પણ શૂન્ય થવું જોઈએ.
• જો υ_iનું મૂલ્ય નીચેની શરતનું પાલન કરે, તો તે પદાર્થ અનંત અંતરે ચાલ્યો જશે :
  \(\frac{m v_1^2}{2}-\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\) ≥ 0 …………. (8.55)
  આમ, પદાર્થને અનંત અંતરે પહોંચવા (પૃથ્વીના ગુરુત્વીય ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા) માટેની જરૂરી લઘુતમ ઝડપ (υ_i)_min નીચે મુજબ મળે :
  \(\frac{1}{2}\)m(υ_i)²_min = \(\frac{G m M_{\mathrm{c}}}{R_{\mathrm{e}}+h}\)
  ∴ (υ_i)_min = \(\sqrt{\frac{2 G M_{\mathrm{e}}}{\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}}\) ………….. (8.56)
• જો પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી ફેંકવામાં આવે, તો h = 0.
  ∴ (υ_i)_min = \(\sqrt{\frac{2 G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}}}\) ………….. (8.57)
  હવે, પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ g = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}^2}\) છે.
  ∴ (υ_i)_min = \(\sqrt{\frac{2\left(g R_e^2\right)}{R_e}}\)
  ∴ (υ_i)_min = \(\sqrt{2 g R_{\mathrm{e}}}\) …………. (8.58)
• g અને R_eનાં મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરતાં (υ_i)_min = 11.2 km s^-1
  મળે છે, જે નિષ્ક્રમણ ઝડપનું મૂલ્ય છે. તેને કેટલીક વાર નિષ્ક્રમણ વેગ પણ કહે છે.
• (υ_i)_minને υ_e સંજ્ઞાથી પણ દર્શાવવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 34.
ચંદ્રની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ ઝડપનું મૂલ્ય શોધો અને ચંદ્ર પર વાતાવરણ કેમ નથી તેનું કારણ જણાવો. ચંદ્રની ત્રિજ્યા આશરે 1856 km અને ચંદ્રની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ 1.6833 m s^-2લો.
ઉત્તર:
ચંદ્રની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ ઝડપનું મૂલ્ય (υ_i)’_min = \(\sqrt{2 g_{\mathrm{m}} R_{\mathrm{m}}}\) સૂત્રની મદદથી શોધી શકાય છે.
∴ (υ_i)’_min = \(\sqrt{2 \times 1.6333 \times 1856 \times 10^3}\)
= \(\sqrt{6062.81 \times 10^3}\)
≈ \(\sqrt{606 \times 10^4}\)
≈ \(\sqrt{6.06 \times 10^6}\)
≈ 2.3 × 10³ms^-1
≈ 2.3 km s^-1
ચંદ્રની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ ઝડપનું મૂલ્ય, પૃથ્વીની સપાટી પરના નિષ્ક્રમણ ઝડપના મૂલ્ય કરતાં આશરે પાંચમા ભાગનું છે.

હવે, ચંદ્રની સપાટી પર જે વાયુઓના અણુઓ નિર્માણ પામે છે તેમને ત્યાંના તાપમાન અનુસાર મળતી ઝડપ (υ_rms = \(\sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}\),
ચંદ્ર પરની નિષ્ક્રમણ ઝડપના મૂલ્ય કરતાં વધુ હોય છે. તેથી તેઓ ચંદ્રના ગુરુત્વક્ષેત્રમાંથી કાયમ માટે છટકી જાય છે. તેથી ચંદ્ર પર વાતાવરણ નથી.

પ્રશ્ન 35.
ઉપગ્રહો વિશે ટૂંકમાં સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
ઉપગ્રહ (સૅટેલાઇટ) એટલે કોઈ પણ ગ્રહની આસપાસ પરિક્રમણ કરતો પદાર્થ.

• પૃથ્વીના ઉપગ્રહો એ પૃથ્વીની આસપાસ પરિક્રમણ કરતા પદાર્થો છે.
• પૃથ્વીના ઉપગ્રહોની ગતિ, સૂર્યની આસપાસ થતી ગ્રહોની ગતિ જેવી જ છે અને તેથી ગ્રહોની ગતિ માટેના કૅપ્લરના નિયમો ઉપગ્રહોને પણ સમાન રીતે લાગુ પાડી શકાય છે.
• પૃથ્વીની આસપાસની ઉપગ્રહોની કક્ષાઓ વર્તુળાકાર અથવા દીર્ઘવૃત્તીય હોય છે.
• પૃથ્વીના ઉપગ્રહોના બે પ્રકાર છે: 1. કુદરતી ઉપગ્રહ અને 2. કૃત્રિમ ઉપગ્રહ
  1. કુદરતી ઉપગ્રહ : ચંદ્ર એ પૃથ્વીનો એકમાત્ર કુદરતી ઉપગ્રહ છે. તેની કક્ષા લગભગ વર્તુળાકાર અને આવર્તકાળ લગભગ 27.3 દિવસ છે, જે આશરે ચંદ્રની પોતાની અક્ષની આસપાસના તેના ભ્રમણના આવર્તકાળ જેટલો છે.
  2. કૃત્રિમ ઉપગ્રહ : ઈ. સ. 1957માં રશિયન વૈજ્ઞાનિકોએ પૃથ્વીની આસપાસ પરિક્રમણ કરતો તરતો મૂકેલો સ્ફુટનિક નામનો ઉપગ્રહ એ માનવજાતે બનાવેલો સૌપ્રથમ કૃત્રિમ ઉપગ્રહ હતો.
• ભારતીય વૈજ્ઞાનિકોએ પણ ‘આર્યભટ્ટ’ અને ‘ઇન્સેટ’ શ્રેણીના ઘણા ઉપગ્રહો સફળતાપૂર્વક અવકાશમાં તરતા મૂક્યા છે.
• કૃત્રિમ ઉપગ્રહો દૂરસંચાર, જીઓફિઝિક્સ અને હવામાનશાસ્ત્ર જેવાં ક્ષેત્રોમાં વ્યવહારિક રીતે ઉપયોગી છે.

પ્રશ્ન 36.
પૃથ્વીના ઉપગ્રહની ક્લીય ઝડપ અને આવર્તકાળનાં સૂત્રો મેળવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 8.24માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r = R_e + h અંતરે આવેલી વર્તુળાકાર કક્ષામાં m દળનો ઉપગ્રહ વર્તુળગતિ કરે છે. જ્યાં, R_e = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અને h = પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે.
• જો આ કક્ષામાં ઉપગ્રહની રેખીય ઝડપ υ હોય, તો ઉપગ્રહની વર્તુળતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ,
  F_C = F (કેન્દ્રગામી) = \(\frac{m v^2}{R_{\mathrm{e}}+h}\) ……………. (8.59)
  આ કેન્દ્રગામી બળની દિશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફની છે અને તે પૃથ્વી અને ઉપગ્રહ વચ્ચે પ્રવર્તતા ગુરુત્વ બળને આભારી છે.
  F_G = F (ગુરુત્વાકર્ષણ) = \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)^2}\) ………… (8.60)
• સમીકરણ (8.59) અને (8.60)ને સરખાવતાં અને υ²ને સૂત્રનો કર્તા કરતાં,
  υ² = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}+h}\) …………. (8.61)
  ∴ ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ υ = \(\sqrt{\frac{G M_e}{R_{\mathrm{e}}+h}}\) …………….. (8.62)
  સમીકરણ (8.62) પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે, જેમ hનું મૂલ્ય વધે છે તેમ υ ઘટે છે.
• પૃથ્વીની સપાટીની તદ્દન નજીકના ઉપગ્રહ માટે h = 0 લેતાં અને આવા ઉપગ્રહ માટે υ ને υ₀ કહેવામાં આવે, તો
  ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ,
  υ₀ = \(\sqrt{\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}}}=\sqrt{\frac{g R_{\mathrm{e}}^2}{R_{\mathrm{e}}}}\) (g = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}^2}\))
  = \(\sqrt{g R_{\mathrm{e}}}\) ……………. (8.63)
• હવે, અહીં (R_e + h) ત્રિજ્યાની વર્તુળમય કક્ષામાં વર્તુળના પરિઘ 2π (R_e + h) જેટલું અંતર ઉપગ્રહ υ ઝડપથી કાપે છે. તેથી ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ,
  T = \(\frac{2 \pi\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}{v}\) ………….. (8.64)
  સમીકરણ (8.62)નો ઉપયોગ સમીકરણ (8.64)માં કરતાં,

• સમીકરણ (8.67) એ પૃથ્વીની આસપાસ r = R_e + h ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં ઉપગ્રહ માટે કૅપ્લરનો આવર્તકાળનો નિયમ (ત્રીજો નિયમ) છે.
• પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીકના ઉપગ્રહ માટે R_eની સાપેક્ષે hને અવગણી શકાય છે અને આવા ઉપગ્રહ માટે Tને T₀ આવે, તો સમીકરણ (8.66) પરથી,
  T₀² = \(\frac{4 \pi^2}{G M_e}\)(R_e³)
  પણ, પૃથ્વીની સપાટીની અત્યંત નજીક ગુરુત્વપ્રવેગ g = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}^2}\) હોય છે. તેથી
  T₀² = \(\frac{4 \pi^2}{g R_{\mathrm{e}}^2}\) × R_e³ = 4π² × \(\frac{R_{\mathrm{e}}}{g}\)
  ∴ T₀ = 2π\(\sqrt{\frac{R_e}{g}}\) ………….. 8.68
• g = 9.8 m s^-2 અને R_e = 6400 km = 6400 × 10³ m
  સમીકરણ (8.68)માં મૂકતાં,
  T₀ = 2π\(\sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{9.8}}\)
  ≈ 5100 s
  ≈ 85 minute
  આમ, પૃથ્વીની સપાટીની તદ્દન નજીક વર્તુળમય કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ 85 minute હોય છે.

અત્યંત મહત્ત્વની નોંધ
જો ગ્રહ, સૂર્યની આસપાસ દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં ભ્રમણ કરતો હોય, તો કૅપ્લરના ત્રીજા નિયમ(આવર્તકાળના નિયમ)ની સાબિતી નીચે મુજબ થશે :

પ્રશ્ન 37.
પૃથ્વીની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
m દળનો ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ r = R_e + h ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતો હોય છે, ત્યારે તેની રેખીય ઝડપ υ = \(\sqrt{\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}+h}}\) હોય છે.
∴ ઉપગ્રહની ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\)mυ²
= \(\frac{G m M_e}{2\left(R_e+h\right)}\) …………… (8.69)

• અનંત અંતરે ઉપગ્રહની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા W₁ = 0 લેતાં, સ્થિતિ-ઊર્જાના વ્યાપક સૂત્ર W(r = R_e + h) = – \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{r}\) + W₁ પરથી, પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r = R_e + h અંતરે ઉપગ્રહની ગુરુત્વીય
  સ્થિતિ-ઊર્જા,
  V = \(\frac{-G m M_e}{R_e+h}\) ………….. (8.70)
• સમીકરણ (8.69) અને (8.70) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ઉપગ્રહની ગતિ-ઊર્જા ધન છે અને સ્થિતિ-ઊર્જા ઋણ છે. વળી, ગતિ-ઊર્જા એ સ્થિતિ-ઊર્જાથી અડધી છે.
• હવે, ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા,
  E = ગતિ-ઊર્જા K + સ્થિતિ-ઊર્જા V
  = \(\frac{G m M_{\mathrm{e}}}{2\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\) + (- \(\frac{G m M_e}{R_{\mathrm{e}}+h}\))
  = – \(\frac{G m M_e}{2\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)}\) ……………. (8.71)
  આમ, સમીકરણ (8.71) પરથી સ્પષ્ટ છે કે વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા ઋણ છે, કારણ કે ધન ગતિ-ઊર્જા કરતાં ઋણ સ્થિતિ-ઊર્જા બમણી છે.
  નોંધ : વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની ગતિ-ઊર્જા K = x હોય, તો તેની કુલ ઊર્જા E = – x અને સ્થિતિ-ઊર્જા V = – 2x હોય છે.

પ્રશ્ન 38.
ઉપગ્રહની દીર્ઘવૃત્તીય માર્ગ પરની ગતિ દરમિયાન તેની ગતિ-ઊર્જા, સ્થિતિ-ઊર્જા અને કુલ ઊર્જા વિશે જાણકારી આપો અને કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર લખો.
ઉત્તર:
જ્યારે ઉપગ્રહની કક્ષા દીર્ઘવૃત્તીય હોય છે, ત્યારે તેની ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા બિંદુએ બિંદુએ બદલાય છે. વર્તુળાકાર કક્ષાના કિસ્સાની જેમ જ કુલ ઊર્જા અચળ છે અને ઋણ હોય છે.

કારણ કે જો ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા ધન હોય કે શૂન્ય હોય, તો પદાર્થ અનંત અંતરે છટકી જાય છે, પણ ઉપગ્રહો તો હંમેશાં પૃથ્વીથી નિશ્ચિત અંતરે જ હોય છે અને તેથી તેમની કુલ ઊર્જા ધન કે શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.

અનંત અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય લેતાં, M_e દળ ધરાવતી પૃથ્વીની આસપાસ, અર્ધદીર્ઘ અક્ષ a ધરાવતા દીર્ઘવૃત્તીય માર્ગ પર m દળનો ઉપગ્રહ ગતિ કરતો હોય છે ત્યારે તેની કુલ ઊર્જા
E = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{2 a}\) હોય છે.
(અહીં, ઉપગ્રહની ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{2 a}\) અને ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા V = – \(\frac{G M_{\mathrm{e}} m}{a}\) હોય છે.)

પ્રશ્ન 39.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ એટલે શું? પૃથ્વીની સપાટીથી તેની
ઊંચાઈ શોધો.
ઉત્તર:
પૃથ્વીની આસપાસ વિષુવવૃત્તીય સમતલમાં, પૃથ્વીના ધરીભ્રમણની દિશામાં, વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં જે ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ 24 hour હોય, તેને ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ કહે છે.

• આવા ઉપગ્રહનો કક્ષીય આવર્તકાળ, પૃથ્વીના ધરીભ્રમણના આવર્તકાળ જેટલો હોવાથી, પૃથ્વી પરના કોઈ પણ સ્થળેથી જોતાં, આવો ઉપગ્રહ હંમેશાં સ્થિર દેખાય છે.

• હવે, પૃથ્વીની આસપાસ કક્ષીય ભ્રમણ કરતાં કોઈ પણ ઉપગ્રહના આવર્તકાળના સૂત્ર T = \(\frac{2 \pi\left(R_{\mathrm{e}}+h\right)^{3 / 2}}{\sqrt{G M_{\mathrm{e}}}}\) પરથી,

• સમીકરણ (8.73)માં T = 24 hour = 24 × 3600 s મૂકતાં, h = 5.6 R_e મળે છે.
• પણ, R_e = 6400 km લેતાં,
  h = 5.6 × 6400 km
  = 35840 km
  ≈ 35800 km
  આ સિવાયની બીજી કોઈ ઊંચાઈ માટે ઉપગ્રહ (સૅટેલાઇટ) ભૂસ્થિર રહી શકે નહીં.

પ્રશ્ન 40.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહની ઉપયોગિતા જણાવો.
ઉત્તર:
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો ઉપયોગ સંદેશાવ્યવહારમાં થાય છે.

• જુદી જુદી આવૃત્તિવાળા ઊર્ધ્વદિશામાં આપાત થયેલા રેડિયો તરંગો, જુદી જુદી ઇલેક્ટ્રૉન-ઘનતા (N) ધરાવતા આયનોસ્ફિયરના જુદા જુદા સ્તરો દ્વારા પરાવર્તન પામીને પૃથ્વી પર પાછા આવતાં હોય છે.
• ક્રાંતિક આવૃત્તિ v_C કરતાં વધુ આવૃત્તિ ધરાવતા અને ઊર્ધ્વદિશામાં આપાત થયેલાં રેડિયો તરંગો આયનોસ્ફિયરને ભેદીને આરપાર નીકળી જાય છે, પરિણામે તેમને આયનોસ્ફિયરમાંથી પરાવર્તન દ્વારા પૃથ્વી પર પાછા મેળવી શકાતા નથી.
  (ક્રાંતિક આવૃત્તિ કરતાં ઓછી આવૃત્તિવાળા રેડિયો તરંગો (< 2MHz), પૃથ્વીની સપાટીની નજીક રહીને પ્રસરણ પામતાં હોય છે, એટલે કે આવા તરંગો પૃથ્વીની વક્રસપાટીને અનુસરીને ટ્રાન્સમિટરથી રિસીવર સુધી પહોંચે છે, જે ગ્રાઉન્ડ વેવ પ્રસરણ કહેવાય છે.)
• ખરેખર તો આયનોસ્ફિયરમાં જુદી જુદી મહત્તમ ઇલેક્ટ્રૉન-ઘનતા N_max ધરાવતા જુદા જુદા સ્તરો હોય છે અને તેમની ક્રાંતિક આવૃત્તિ 2 MHzથી 10 MHz જેટલી હોય છે. તેથી રેડિયો બ્રૉડકાસ્ટમાં SW band(શૉર્ટ-વેવ બૅન્ડ)માં વપરાતાં રેડિયો તરંગો કે જેમની આવૃત્તિ 2 MHzથી 10 MHzના વિસ્તારમાં છે. તેઓ આયનોસ્ફિયર વડે પરાવર્તિત થાય છે અને તેમને પૃથ્વી પર પાછા મેળવી શકાય છે.
• આમ, ઍન્ટેનામાંથી બ્રૉડકાસ્ટ થયેલાં રેડિયો તરંગો પૃથ્વી પર દૂર આવેલાં સ્થળો પાસે (બિંદુઓએ) પ્રાપ્ત (Receive) કરી શકાય છે, કે જ્યાં સીધું તરંગ પૃથ્વીની વક્રતાને લીધે પહોંચવામાં નિષ્ફળ જાય છે.
• 30 MHzથી વધુ આવૃત્તિવાળા તરંગો આયનોસ્ફિયર વડે પરાવર્તિત થઈ શકતા નથી, તેમજ આટલી ઊંચી આવૃત્તિ માટે ગ્રાઉન્ડ વેવ પ્રસરણ પણ શક્ય નથી. આથી ઉચ્ચ આવૃત્તિનું પ્રસરણ સ્પેસ વેવ દ્વારા થાય છે, પરંતુ મોટે ભાગે પૃથ્વીની સપાટી વક્ર હોવાને લીધે તેમના દ્વારા થતું કમ્યૂનિકેશન ટૂંકાં અંતરો સુધી જ થઈ શકે છે. અહીં, સૅટેલાઇટ (ઉપગ્રહ) કમ્યૂનિકેશન આપણી મદદે આવે છે. (એક સૅટેલાઇટની મદદથી પૃથ્વીના \(\frac{1}{3}\) જેટલા વિસ્તારમાં કમ્યૂનિકેશન સ્થાપિત કરી શકાય છે.)
  આ પ્રકારના કમ્યૂનિકેશનમાં ભૂસ્થિર સૅટેલાઇટનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
  ક્રાંતિક આવૃત્તિ (v_C) : આયનોસ્ફિયર(પૃથ્વીની સપાટીથી આશરે 80 kmથી 300 km ઊંચાઈએ આવેલું સ્તર)ના મહત્તમ ઇલેક્ટ્રૉન-ઘનતા (N_max) ધરાવતાં સ્તરમાંથી પરાવર્તિત થતી રેડિયો તરંગની મહત્તમ આવૃત્તિને ક્રાંતિક આવૃત્તિ (v_C) કહે છે. v_C અને N_max વચ્ચેનો સંબંધ v_C = \(9 \sqrt{N_{\max }}\) છે.
• ટેલિવિઝન બ્રૉડકાસ્ટ અથવા દૂરસંચારનાં બીજાં સ્વરૂપોમાં વપરાતાં રેડિયો તરંગોની આવૃત્તિઓ ઘણી ઊંચી (> 30 MHz) હોય છે અને રેડિયો તરંગો હંમેશાં સીધી દૃષ્ટિ-રેખાથી (Line of sight) નક્કી થતાં અંતર સુધી જ ઝીલી શકાય છે, એટલે કે તેમને બહુ દૂરના સ્થાને (પૃથ્વીની વક્રતાને કારણે) પ્રાપ્ત કરી (ઝીલી) શકાતા નથી.
  જોકે, બ્રૉડકાસ્ટિંગ સ્ટેશનની ઉપર સ્થિર દેખાતા ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ આવા સંકેતો (Signals) પ્રાપ્ત કરી શકે છે અને પાછા પૃથ્વી ૫૨ મોટા વિસ્તારમાં બ્રૉડકાસ્ટ કરી શકે છે.
  ભારતે અવકાશમાં મોકલેલા ઉપગ્રહોનો INSAT સમૂહ, આવા ભૂસ્થિર ઉપગ્રહોનો સમૂહ છે, જે ભારતમાં દૂરસંચાર માટે વ્યાપક પ્રમાણમાં વપરાય છે.
• ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો ઉપયોગ GPS(Global Positioning System)માં પણ થાય છે.

પ્રશ્ન 41.
ટૂંક નોંધ લખો : ધ્રુવીય ઉપગ્રહ
અથવા
ધ્રુવીય ઉપગ્રહ વિશે પ્રાથમિક માહિતી આપો.
ઉત્તર:
ધ્રુવીય ઉપગ્રહો પૃથ્વીની સપાટીથી ઓછી ઊંચાઈએ (લગભગ h = 500 kmથી 800 kmની ઊંચાઈએ) આવેલા હોય છે તથા તેઓ પૃથ્વીની આસપાસ ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ધ્રુવોની ફરતે ભ્રમણ કરે છે, જ્યારે પૃથ્વીનું પોતાનું ભ્રમણ તેની અક્ષની આસપાસ પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફની દિશામાં હોય છે.

• ધ્રુવીય ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ લગભગ 100 મિનિટ હોવાથી તે કોઈ પણ ઊંચાઈના બિંદુને (સ્થાનને) દિવસમાં ઘણી વખત પસાર કરે છે, પણ પૃથ્વીની સપાટી પરથી તેની ઊંચાઈ લગભગ 500 – 800 km હોવાથી, તેની પર સ્થિર જડેલો કૅમેરો એક કક્ષામાં (ભ્રમણમાં) પૃથ્વીની નાની પટ્ટીઓ જ જોઈ શકે છે અને બાજુની પટ્ટીઓ તે પછીની કક્ષામાં (ભ્રમણમાં) દેખાય છે, પરિણામે આખા દિવસ દરમિયાન એક પછી બીજી પટ્ટી એમ કરીને સમગ્ર પૃથ્વીને જોઈ શકાય છે.
• આ ઉપગ્રહો ધ્રુવીય અને વિષુવવૃત્તીય વિસ્તારોને નજીકનાં અંતરોએથી સારા વિભેદન (Resolution) સાથે જોઈ શકે છે.
• આવા ઉપગ્રહોથી પ્રાપ્ત કરેલી માહિતી દૂર-સંવેદન (Remote Sensing), હવામાનશાસ્ત્ર તેમજ પૃથ્વીના પર્યાવરણના અભ્યાસમાં અને જાસૂસીમાં પણ ખૂબ ઉપયોગી છે.

પ્રશ્ન 42.
વજનવિહીનતા એટલે શું? યોગ્ય ઉદાહરણ આપી સમજાવો. ઉત્તર : પૃથ્વી, કોઈ પદાર્થને જેટલા બળથી આકર્ષે છે તે બળને તે પદાર્થનું (વાસ્તવિક) વજન કહે છે.

• જ્યારે પદાર્થનું દેખીતું વજન (વાસ્તવિક નહીં) શૂન્ય થાય ત્યારે તે પદાર્થ વજનવિહીનતાની સ્થિતિમાં છે તેમ કહેવાય છે.
  ઉદાહરણ 1 :
  આપણે જ્યારે કોઈ સપાટી પર ઊભા હોઈએ છીએ ત્યારે આપણે આપણા વજનથી સભાન હોઈએ છીએ, કારણ કે તે સપાટી આપણને સ્થિર રાખવા માટે આપણા વજન જેટલું જ બળ વિરુદ્ધ દિશામાં લગાડે છે.
• આપણે જ્યારે કોઈ પદાર્થનું વજન, નિશ્ચિત બિંદુ દા. ત., છતથી લટકાવેલા સ્પ્રિંગકાંટા વડે માપીએ છીએ ત્યારે પણ આ જ સિદ્ધાંત લાગુ પડે છે, કારણ કે જો તેના પર લાગતાં ગુરત્વ બળની વિરુદ્ધમાં તેના પર બળ લાગતું જ ન હોય, તો તે પદાર્થ નીચે પડી જાય. સ્પ્રિંગ આવું બળ પદાર્થ પર લગાડે છે. પદાર્થ પર ગુરુત્વીય ખેંચાણને લીધે સ્વિંગ થોડી નીચે ખેંચાય છે અને તેના બદલામાં સ્પ્રિંગ પદાર્થ પર ઊિિદશામાં બળ લગાડે છે.
• હવે, સ્પ્રિંગનો ઉપરનો છેડો જો છત સાથે જડિત રહેતો નથી, તો તેવી સ્થિતિમાં સ્પ્રિંગના બંને છેડા અને પદાર્થ પણ એકસરખા g જેટલા પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે. અહીં, સ્પ્રિંગ ખેંચાયેલી નથી અને પદાર્થ કે જે તુ જેટલા (ગુરુત્વ) પ્રવેગથી નિમ્ન ગતિ કરે છે. તેના પર કોઈ ઊદિશામાં બળ લગાડતી નથી. સ્પ્રિંગ બૅલેન્સમાં નોંધાતું અવલોકન શૂન્ય છે, કારણ કે સ્પ્રિંગ જરાય ખેંચાયેલી જ નથી. જો પદાર્થ તરીકે માનવી હોત, તો તે માનવીને પોતાનું વજન લાગત જ નહીં, કારણ કે તેના પર ઊર્ધ્વદિશામાં કોઈ બળ લાગતું નથી.
  આમ, જ્યારે કોઈ પદાર્થ મુક્તપતન કરતો હોય છે ત્યારે તે વજનવિહીન હોય છે. અને આ ઘટનાને સામાન્યતઃ વજનવિહીનતાની ઘટના કહે છે.
  ઉદાહરણ 2:
• પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહમાં ઉપગ્રહનો દરેક ભાગ અને તેની અંદરનો સામાન પૃથ્વી તરફ પ્રવેગ ધરાવે છે, જેનું મૂલ્ય તે બિંદુએ પૃથ્વીના ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલું હોય છે. આથી ઉપગ્રહ અને તેની અંદરની દરેક વસ્તુ મુક્તપતનની અવસ્થામાં છે તેમ કહેવાય.
• જો ઉપગ્રહ (કે જે પોતાનું ગુરુત્વાકર્ષણ ઉત્પન્ન કરતો નથી), પૃથ્વીની સપાટીથી h ઊંચાઈએ હોય, તો
  ઉપગ્રહનું વાસ્તવિક વજન = mg_h

∴ સમીકરણ (8.75) પરથી ઉપગ્રહનું અનુભવાતું વજન (દેખીતું વજન) = mg_h – mg_h = 0
આમ, માનવ સહિત ઉપગ્રહમાં તેની અંદરના લોકો અને સામાન ગુરુત્વાકર્ષણનો અનુભવ કરતા નથી.
આપણા માટે તો ગુરુત્વાકર્ષણ ઊર્ધ્વદિશાને નક્કી કરે છે અને તેથી ઉપગ્રહની અંદરના લોકો તથા સામાન માટે કોઈ ઊર્ધ્વદિશા વ્યાખ્યાયિત થઈ શકતી નથી. અર્થાત્ લોકો અને સામાન માટે કોઈ ઊર્ધ્વ કે સમક્ષિતિજ દિશાઓ હોતી નથી. બધી દિશાઓ સમાન જ હોય છે. ઉપગ્રહની અંદર તરતા અવકાશયાત્રીનાં ચિત્રો આ હકીકત દર્શાવે છે.

નોંધ : ઉપગ્રહને તેની પૃથ્વીની આસપાસની ભ્રમણ ગતિ ઉપરાંત તેની પોતાની ધરીને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરાવવાથી કૃત્રિમ ગુરુત્વાકર્ષણ ઉત્પન્ન કરીને વજનવિહીનતાની પરિસ્થિતિની માત્રા ઓછી કરી શકાય છે.

હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
નીચેના પ્રશ્નોના ટૂંકમાં ઉત્તર આપો :

પ્રશ્ન 1.
એક ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. આ ગ્રહના સૂર્યથી ન્યૂનતમ અને મહત્તમ અંતરો અનુક્રમે r₁ અને r₂ છે, તો ગ્રહનો આવર્તકાળ r₁ અને r₂ સાથે કઈ રીતે
સંબંધિત હશે?
ઉત્તર:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે 2a = r₁ + r₂ છે.
∴ અર્ધદીર્ઘ અક્ષ a = \(\frac{r_1+r_2}{2}\)
હવે, ગ્રહોની ગતિ માટેના કૅપ્લરના ત્રીજા
નિયમ અનુસાર T² ∝ a³
∴ T² ∝ (\(\frac{r_1+r_2}{2}\))³
∴ T ∝ \(\left(\frac{r_1+r_2}{2}\right)^{\frac{3}{2}}\)

પ્રશ્ન 2.
Gને ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક શા માટે કહે છે?
ઉત્તર:
Gનું મૂલ્ય બ્રહ્માંડમાં દરેક સ્થળે અને દરેક સમયે સમાન હોય છે, તેથી તેને ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક કહે છે.

પ્રશ્ન 3.
બે કણો વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બીજા કણોની હાજરી તથા તે કણો વચ્ચેના માધ્યમ પર આધાર રાખે છે?
ઉત્તર:
ના. બે કણો વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બીજા કણોની હાજરી તથા તેમની વચ્ચેના માધ્યમના પ્રકાર પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 4.
બે કણો વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ 1 N છે. જો આ બે કણો વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે, તો બળ કેટલું થશે?
ઉત્તર:
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ F ∝ \(\frac{1}{r^2}\) પરથી નવી સ્થિતિમાં બળ 0.25 N થશે.

પ્રશ્ન 5.
સમાન દ્રવ્ય અને સમાન ત્રિજ્યા R ધરાવતાં બે નક્કર ગોળાઓ એકબીજાના ભૌતિક સંપર્કમાં છે. દર્શાવો કે તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ R⁴ના સમપ્રમાણમાં છે.
ઉત્તર:
અહીં, બંને નક્કર ગોળાઓનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર r = 2R છે. m₁ = m₂ = M તથા દરેક ગોળાનું દળ M = \(\frac{4}{3}\) πr³ρ છે.
તેથી F = \(\frac{G M \times M}{r^2}\)
= \(\frac{G}{(2 R)^2}\) × (\(\frac{4}{3}\) πr³ρ)²
= \(\frac{4}{9}\)(Gπ² ρ²)R⁴
∴ F ∝ R⁴

પ્રશ્ન 6.
Gનો SI એકમ તથા પારિમાણિક સૂત્ર જણાવો.
ઉત્તર:
Gનો SI એકમ : Nm² kg^-2
Gનું પારિમાણિક સૂત્ર : M^-1L³T^-2

પ્રશ્ન 7.
આપેલ પદાર્થનું વજન વિષુવવૃત્ત કરતાં ધ્રુવપ્રદેશ પર વધારે હોય છે. શા માટે?
ઉત્તર:
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ શોધવાનું સૂત્ર g = \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}{ }^2}\) છે. તેથી g ∝ \(\frac{1}{R_{\mathrm{e}}^2}\) થાય. પણ ધ્રુવપ્રદેશો પાસે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા વિષુવવૃત્ત પાસેની ત્રિજ્યા કરતાં (લગભગ 21 km જેટલી) ઓછી છે, તેથી ધ્રુવપ્રદેશો આગળ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતાં વધુ છે. તેથી આપેલ પદાર્થનું વજન વિષુવવૃત્ત કરતાં ધ્રુવપ્રદેશ પર વધારે હોય છે.

પ્રશ્ન 8.
કોઈ એક કાલ્પનિક ગ્રહના દ્રવ્યની ઘનતા પૃથ્વીના દ્રવ્યની ઘનતા જેટલી છે, પણ ત્રિજ્યા પૃથ્વીની ત્રિજ્યા કરતાં બમણી છે, તો તે ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ, પૃથ્વીની સપાટી પરના ગુરુત્વપ્રવેગ કરતાં કેટલા ગણો હશે?
ઉત્તર:
બે ગણો.
કારણ કે, g = (\(\frac{4}{3}\)πGρ)R ૫૨થી g ∝ R.

પ્રશ્ન 9.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય 9.8 m s^-2 છે, તો પૃથ્વીની સપાટીથી 4800 km ઊંચાઈએ આવેલા સ્થળે gનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 10.
પૃથ્વીની સપાટીથી કેટલી ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય, 80 km ઊંડી ખીણમાંના ગુરુત્વપ્રવેગના મૂલ્ય જેટલું થાય?
ઉત્તર:
અહીં, g(h) = g(d)

પ્રશ્ન 11.
પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટીથી નીચે 16 km જેટલી ઊંડાઈએ લઈ જતા તેના વજનમાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો કેટલો હશે?
(Re = 6400 km)
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 12.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ અને ગુરુત્વતીવ્રતાનાં મૂલ્યો જણાવો.
ઉત્તર:
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ અને ગુરુત્વતીવ્રતાનાં મૂલ્યો શૂન્ય હોય છે.

પ્રશ્ન 13.
એક બિંદુએ ગુરુત્વતીવ્રતાનું મૂલ્ય 0.7 N kg^-1 છે, તો તે બિંદુએ 5kg દળના પદાર્થ પર લાગતા ગુરુત્વ બળનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
ઉત્તર:
બળ F = Im (∵ આપેલ બિંદુએ ગુરુત્વતીવ્રતા = તે બિંદુએ ગુરુત્વપ્રવેગ)
= 0.7 × 5
= 3.5 N

પ્રશ્ન 14.
એક નિયમિત ગોળાકાર કવચના અંદરના વિસ્તારમાં બધાં બિંદુઓએ ગુરુત્વતીવ્રતા અને ગુરુત્વસ્થિતિમાનનાં મૂલ્યો કેટલાં હશે?
ઉત્તર:
ગુરુત્વતીવ્રતા શૂન્ય હશે અને ગુરુત્વસ્થિતિમાન અશૂન્ય પણ સમાન હશે.

પ્રશ્ન 15.
ચંદ્ર પર વાતાવરણ નથી. કારણ આપો.
ઉત્તર:
ચંદ્રની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ, પૃથ્વીની સપાટી પરના ગુરુત્વપ્રવેગ કરતાં લગભગ છઠ્ઠા ભાગનો છે તથા ચંદ્રની ત્રિજ્યા, પૃથ્વીની ત્રિજ્યા કરતાં લગભગ ચોથા ભાગની છે. તેથી (υ_moon)_{નિષ્ક્રમણ} = \(\sqrt{2 g_{\mathrm{m}} R_{\mathrm{m}}}\) સૂત્ર પરથી ચંદ્રની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ ઝડપનું મૂલ્ય 2.3 km s^-1 છે, જે પૃથ્વી માટેના મૂલ્યના લગભગ પાંચમા ભાગનું છે. આ કારણથી જ ચંદ્ર પર વાતાવરણ નથી. જો કોઈ વાયુના અણુઓ ચંદ્રની સપાટી પર નિર્માણ પામે તો ત્યાંના તાપમાને તે અણુઓની ઝડપ (υ_rms) ઉપર જણાવેલા મૂલ્ય કરતાં વધારે હોય છે. તેથી તેઓ ચંદ્રના ગુરુત્વક્ષેત્રમાંથી છટકી જાય છે.

પ્રશ્ન 16.
બ્લૅક હૉલ કોને કહે છે?
ઉત્તર:
જો કોઈ પદાર્થના દ્રવ્યની ઘનતાનું મૂલ્ય એટલું બધું વધારે હોય કે જેથી તેની સપાટી પરના દરેક બિંદુએ υ_e > c (જ્યાં, c = શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ), તો તે પદાર્થની સપાટી પરથી કંઈ પણ કાયમ માટે છટકી શકે નહીં. (પ્રકાશ પણ નહીં.) આવા પદાર્થને બ્લેક હૉલ કહે છે.

પ્રશ્ન 17.
શુક્ર ગ્રહની સપાટી પર એક પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિત-ઊર્જા -7.5 × 10⁶J છે, તો શુક્રની સપાટી પરથી કાયમ માટે છટકી જવા માટે પદાર્થને આપવી પડતી જરૂરી ઊર્જા કેટલી હશે?
ઉત્તર:
7.5 × 10⁶J, કારણ કે કોઈ પણ પદાર્થની અનંત અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.

પ્રશ્ન 18.
જો પૃથ્વીની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં કોઈ ઉપગ્રહની ગતિ-ઊર્જા 6 × 10⁹ J હોય, તો તેની સ્થિતિ-ઊર્જા કેટલી હશે? કુલ ઊર્જા કેટલી હશે?
ઉત્તર:
પૃથ્વીની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં કોઈ ઉપગ્રહની ગતિ-ઊર્જા જો x હોય, તો તેની સ્થિતિ-ઊર્જા -2x અને કુલ ઊર્જા -x થશે.
તેથી અહીં, ગતિ-ઊર્જા 6 × 10⁹ J આપેલ હોવાથી ઉપગ્રહની સ્થિતિ-ઊર્જા – 12 × 10⁹J અને કુલ ઊર્જા − 6 × 10⁹ J થાય.

પ્રશ્ન 19.
જુદા જુદા ગ્રહોનાં દળ M₁, M₂, M₃ તથા ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે R₁, R₂, R₃ છે અને સપાટી પરના ગુરુત્વપ્રવેગ અનુક્રમે g₁, g₂, g₃ છે, તો તેમના માટેના નીચેના આલેખ પરથી તેમના દળનાં મૂલ્યોને ઊતરતા ક્રમમાં ગોઠવો.

Hint: કોઈ નિશ્ચિત અંતર r > R₃ માટે g = \(\frac{G M}{r^2}\) પરથી વિચારો.
ઉત્તર:
M₁, M₂‚ અને M₃‚ દળ ધરાવતા ત્રણ ગ્રહો માટે g → r ના ત્રણ આલેખો નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલા છે :

• હવે, આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક નિશ્ચિત અંતર ‘r’ માટે ત્રણેય ગ્રહો માટે, ગુરુત્વપ્રવેગનાં મૂલ્યો આલેખ પરથી Y-અક્ષ (g-અક્ષ) ઉપ૨ લંબ દોરીને મેળવી શકાય છે.
• આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે g₃ > g₁ > g₂
  ∴ \(\frac{G M_3}{r^2}>\frac{G M_1}{r^2}>\frac{G M_2}{r^2}\) થાય.
  ∴ M₃ > M₁ > M₂

પ્રશ્ન 20.
સૅટેલાઇટમાં તરતા અવકાશયાત્રીનાં ચિત્રો કઈ બાબતની પુષ્ટિ કરે છે?
ઉત્તર:
માનવ સહિત ઉપગ્રહમાં તેની અંદરના લોકો કોઈ ગુરુત્વાકર્ષણનો અનુભવ કરતા નથી. આપણે પૃથ્વી પર હોઈએ છીએ ત્યારે પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ ઊર્ધ્વદિશાને નક્કી કરે છે, જ્યારે અવકાશયાત્રી માટે કોઈ ઊર્ધ્વ કે સમક્ષિતિજ દિશાઓ હોતી નથી. બધી દિશાઓ સમાન જ છે. આમ, ઉપગ્રહમાં તરતા અવકાશયાત્રીનાં ચિત્રો, ત્યાં ગુરુત્વાકર્ષણની ગેરહાજરી છે તે બાબતની પુષ્ટિ કરે છે.

પ્રશ્ન 21.
કૃત્રિમ ઉપગ્રહમાં લોલક દોલન કરી શકે?
ઉત્તર:
ના. કારણ કે કૃત્રિમ ઉપગ્રહની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણ નથી એટલે કે g = 0 છે.
હવે, T = 2 π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) પરથી, g = 0 માટે T = ∞ થાય. તેથી કૃત્રિમ ઉપગ્રહમાં લોલક દોલન કરી શકે નહીં.

પ્રશ્ન 22.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ અને ધ્રુવીય ઉપગ્રહના આવર્તકાળનાં મૂલ્યો લખો.
ઉત્તર :
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ 24 કલાક અને ધ્રુવીય ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ લગભગ 100 મિનિટ જેટલો હોય છે.

પ્રશ્ન 23.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ અને ધ્રુવીય ઉપગ્રહની પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ આશરે કેટલી હોય?
ઉત્તર :
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહની ઊંચાઈ લગભગ 35800 km અને ધ્રુવીય ઉપગ્રહની ઊંચાઈ લગભગ 500થી 800 km જેટલી હોય છે.

પ્રશ્ન 24.
કોઈ ગ્રહની આસપાસ જુદી જુદી વર્તુળાકાર કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરતાં જુદા જુદા ઉપગ્રહોના કોણીય વેગમાન L અને તેમની અનુરૂપ કક્ષીય ત્રિજ્યા r વચ્ચેનો સંબંધ શોધો.
ઉત્તર:
ગ્રહની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં ઉપગ્રહ માટે,
\(\frac{m v_0^2}{r}=\frac{G M m}{r^2}\)
જમાં m = ઉપગ્રહનું દળ; M = ગ્રહનું દળ; υ₀ = કક્ષીય વેગ
∴ υ₀ = \(\sqrt{\frac{G M}{r}}\)
વર્તુળગતિ કરતા ઉપગ્રહ માટે \(\vec{p}\) ⊥ \(\vec{r}\) હોય છે.
∴ ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન L = pr sin 90° = pr = mυ₀r
∴ L = m\(\sqrt{\frac{G M}{r}}\) × r = m\(\sqrt{G M r}\)
પણ, અહીં જે-તે ઉપગ્રહ માટે,
m\(\sqrt{G M}\) = અચળ
∴ L ∝ √r

પ્રશ્ન 25.
a બાજુવાળા ચોરસનાં ચારેય શિરોબિંદુઓ પર એકસમાન m દળવાળા ચાર કણ મૂક્યા છે, તો દરેક કણ દ્વારા અનુભવાતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 26.
M₁ અને M₂ દળના બે કણો એકબીજાથી ‘d’ અંતરે સ્થિત (જડિત) કરેલા છે. એક ત્રીજા કણને બે કણોને જોડતી રેખા પર મૂકેલ છે. ત્રીજા કણ પર લાગતું પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે, તો M₁થી આ કણનું અંતર કેટલું હશે?
ઉત્તર:

ધારો કે, ત્રીજા કણનું દળ m છે.
M₁ની દિશા તરફ m પર લાગતું બળ F₁ = \(\frac{G M_1 m}{r^2}\)
M₂ની દિશા તરફ m પર લાગતું બળ F₂ = \(\frac{G M_2 m}{(d-r)^2}\)
અહીં, m પરનું ચોખ્ખું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ શૂન્ય છે. તેથી F₁ = F₂

પ્રશ્ન 27.
એકસમાન m જેટલું દળ ધરાવતા બે કણો તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતાં પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષી બળની અસર હેઠળ r ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર ગતિ કરે છે, તો પ્રત્યેક કણની રેખીય ઝડપ શોધો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 28.
એક દ્રવ્યમાન M એ બે ભાગ m અને (M – m)માં વિભાજિત થાય છે. ત્યારબાદ તેઓને અમુક ચોક્કસ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મહત્તમ થાય ત્યારે \(\) નું મૂલ્ય કેટલું હશે? (અથવા m અને Mનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?)
ઉત્તર :
જોm અને (M – m) વચ્ચેનું અંતર r હોય, તો તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ

આમ, જ્યારે આપેલ પદાર્થના બે ભાગોનાં દળ સમાન હોય ત્યારે આપેલ અંતર માટે તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મહત્તમ હશે.

પ્રશ્ન 29.
પૃથ્વીની સપાટીથી કઈ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય, પૃથ્વીની સપાટી પરના ગુરુત્વપ્રવેગ કરતાં 1% જેટલું ઘટે? (R_e = 6400 km)
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 30.
વિષુવવૃત્ત પર રહેલ વ્યક્તિ પોતાના મૂળ વજનનું \(\frac{3}{5}\) વજન અનુભવે એના માટે પૃથ્વીએ કેટલી કોણીય ઝડપથી ધરીભ્રમણ કરવું જોઈએ? તમારો જવાબ g અને R_eના પદમાં જણાવો.
ઉત્તર:
વિષુવવૃત્ત પર વ્યક્તિનું વજન W’ = \(\frac{3}{5}\)W જ્યાં, W = વ્યક્તિનું મૂળ વજન
∴ \(\frac{3}{5}\)mg = mg – mω²R_e (∵ અનુભવાતું (અથવા દેખીતું) વજન W’ = mg – mω²R_e હોય છે.)
∴ mω²R_e = \(\frac{2 m g}{5}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{2 g}{5 R_{\mathrm{e}}}}\)
નોંધ : પૃથ્વીની પોતાની ધરીને અનુલક્ષીને ધરીભ્રમણના કારણે, તેના વિષુવવૃત્ત પર રહેલા પદાર્થનો, પૃથ્વીના કેન્દ્રથી દૂર તરફની ત્રિજ્યાવર્તી
દિશામાંનો આભાસી પ્રવેગ a_c = \(\frac{v^2}{R_{\mathrm{e}}}=\frac{\left(R_{\mathrm{e}} \omega\right)^2}{R_{\mathrm{e}}}\) = R_eω² હોય છે.

પ્રશ્ન 31.
કણની નિષ્ક્રમણ ઝડપ કઈ બે બાબતો પર આધાર રાખે છે અને કઈ બે બાબતો પર આધારિત નથી?
ઉત્તર:
નિષ્ક્રમણ ઝડપ નીચેની બે બાબતો પર આધાર રાખે છે :

1. ગ્રહનું દળ M અને ગ્રહની ત્રિજ્યા R
2. કણને જ્યાંથી પ્રક્ષિપ્ત કરીએ છીએ તેના સ્થાન પર.

નિષ્ક્રમણ ઝડપ નીચેની બે બાબતો પર આધારિત નથી :

1. જે પદાર્થને કે કણને પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે તેનું દળ
2. પ્રક્ષિપ્ત કોણ

નોંધ : જો પદાર્થને પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ ઝડપ જેટલી ઝડપથી ફેંકવામાં આવે, તો તે પદાર્થ હંમેશ માટે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રમાંથી બહાર જતો રહે છે અને પછી કદી પૃથ્વીના ગુરુત્વક્ષેત્રમાં પાછો આવતો નથી. (પૃથ્વીની સપાટી પર પાછો આવતો નથી.) પણ સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરવા લાગે છે.

પ્રશ્ન 32.
જો કોઈ અવકાશયાત્રી પૃથ્વી પર 0.5 m જેટલી મહત્તમ શિરોલંબ ઊંચાઈ જેટલું કૂદી શકતો હોય, તો ચંદ્ર પર મહત્તમ કેટલી શિરોલંબ ઊંચાઈ સુધી કૂદી શકે?
ઉત્તર:
અવકાશયાત્રીની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા mgh = અચળ.
∴ mg_eh_e = mg_mh_m થાય.
∴ h_m = \(\frac{h_e g_e}{g_{\mathrm{m}}}\)
= \(\frac{0.5 \times g_{\mathrm{e}}}{\left(\frac{g_{\mathrm{e}}}{6}\right)}\)
= 3 m

પ્રશ્ન 33.
ધારો કે એક ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 સૂત્ર મુજબ ભ્રમણ કરે છે. આ ગ્રહનું કોણીય વેગમાન L હોય, તો Lના પદમાં ગ્રહનો કક્ષીય આવર્તકાળ શોધો.
ઉત્તર:
ગ્રહનો ક્ષેત્રિય વેગ = એકમ સમયમાં ગ્રહ અને સૂર્યને જોડતી રેખાએ આંતરેલું ક્ષેત્રફળ = અચળ

પ્રશ્ન 34.
સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહ માટે T વિરુદ્ધ r નો આલેખ દોરો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 35.
સૂર્યની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહ માટે logT વિરુદ્ધ log r નો આલેખ દોરો અને Y-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ જણાવો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 36.
એક m દળવાળો પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટી પર મૂકેલ છે. આ પદાર્થને નીચેના કિસ્સાઓમાં શિરોલંબ ઊદિશામાં લઈ જવા માટે કરવા પડતા કાર્યની ગણતરી કરો :
(i) h = \(\frac{\boldsymbol{R}_{\mathrm{e}}}{\mathbf{1 0 0 0}}\)
(ii) h = R_e
ઉત્તર:
Re
(i) h = \(\frac{\boldsymbol{R}_{\mathrm{e}}}{\mathbf{1 0 0 0}}\)
અહીં, h << R_e હોવાથી W_ext = mgh સૂત્ર વાપરી શકાય.
W_ext = (m) (\(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}{ }^2}\)) (\(\frac{\boldsymbol{R}_{\mathrm{e}}}{\mathbf{1 0 0 0}}\))
= \(\frac{G m M_e}{1000 R_e}\)

(ii) h = R_e
અહીં, hનું મૂલ્ય R_e કરતાં ખૂબ નાનું નથી. તેથી ΔV = mgh સૂત્ર વાપરી ન શકાય.

નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :

(1) 1 kg દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેનું અંતર 1 m હોય, તો તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ 6.67 × 10^-11 N જેટલું હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(2) ગુરુત્વીય સ્થિતિમાનનો એકમ એ ઝડપના એકમનો વર્ગ છે.
ઉત્તર:
ખરું

(3) સૂર્યની આસપાસ દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહો પૈકી, જે ગ્રહ સૂર્યની નજીક હશે તેનો આવર્તકાળ ઓછો હશે.
ઉત્તર:
ખરું

(4) પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ એ ધ્રુવીય ઉપગ્રહના આવર્તકાળથી 1.44 ગણો છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(5) \(\frac{G M_{\mathrm{e}}}{g R_{\mathrm{e}}^2}\) નું પારિમાણિક સૂત્ર M⁰L¹T^-2 છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(6) અનંત અંતરેથી પદાર્થ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r( = R_e + h) અંતરે આવે ત્યારે તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(7) સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતા મંગળ ગ્રહ માટે ક્ષેત્રિય વેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ X-અક્ષ(સમય-અક્ષ)ને સમાંતર સુરેખા
હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(8) ગ્રહોની ગતિ માટેનો કૅપ્લરનો ત્રીજો નિયમ એ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમની રજૂઆત છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(9) કોઈ કારણસર પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું અંતર બમણું થાય તો તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતું ગુરુત્વ બળ 75 % જેટલું ઘટશે.
ઉત્તર:
ખરું

(10) પૃથ્વીની સપાટીથી h ઊંચાઈએ જતાં ગુરુત્વપ્રવેગના મૂલ્યમાં જેટલો ફેરફાર (ઘટાડો) થાય છે, તેટલો જ ફેરફાર (ઘટાડો) પૃથ્વીની સપાટીથી d જેટલી ઊંડાઈએ જતા d થાય છે. ત અને hનાં મૂલ્યો પૃથ્વીની ત્રિજ્યા R_e કરતાં ઘણાં નાના છે. તેથી d = 2h.
ઉત્તર:
ખરું

(11) રાજુ પૃથ્વીની સપાટી નજીકથી મુક્તપતનના પ્રારંભમાં 60 mનું અંતર અમુક સમયમાં કાપે છે, તો રાજુ ચંદ્રની સપાટી પર મુક્તપતનના પ્રારંભમાં તેટલા જ સમયમાં 10m અંતર કાપે. (gm = \(\frac{g}{6}\) છે.)
ઉત્તર:
ખરું

(12) કોઈ ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રમાં આપેલ બિંદુ પાસે મૂકેલા 50 g દળના પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વ બળ 2 N છે, તો તે બિંદુ પાસે ગુરુત્વતીવ્રતાનું મૂલ્ય 40 N kg^-1 હશે.
ઉત્તર:
ખરું

(13) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી R_e અંતરે (જ્યાં, R_e = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન U_e હોય, તો 2R_e અંતરે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન 2U_e હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(14) ગુરુત્વીય સ્થિતિમાનનું પારિમાણિક સૂત્ર M¹L²T^-2 છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(15) એક ગ્રહની આસપાસ એક વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં બે જુદા જુદા ઉપગ્રહોના દળનો ગુણોત્તર \(\frac{m_1}{m_2}=\frac{1}{4}\) હોય, તો તેમની કક્ષીય ઝડપનો ગુણોત્તર \(\frac{v_{01}}{v_{02}}\) = 1 : 1 હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(16) \(\frac{g}{G}\)નો SI એકમ \(\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{m}^2}\) છે.
ઉત્તર:
ખોટું

ખાલી જગ્યા પૂરો :

(1) બે કણોને એકબીજાથી અમુક અંતરે હવામાં રાખવામાં આવે અને તેટલા જ અંતરે તેલમાં રાખવામાં આવે, તો તેમની વચ્ચે પ્રવર્તતાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ગુણોત્તર ……………………. હશે.
ઉત્તર:
1 : 1

(2) પૃથ્વીની સપાટી પરથી m દળવાળા પદાર્થને અનંત અંતરે મોકલવા માટેની જરૂરી ગતિ-ઊર્જા ……………… છે. (g અને R_eના પદમાં જણાવો.)
ઉત્તર:
mgR_e

(3) પૃથ્વીની ત્રિજ્યા R_e અને તેની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ g છે, તો m દળના પદાર્થને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી R અંતરેથી 2R_e અંતરે લઈ જવામાં આવે, તો તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો વધારો …………… હશે.
ઉત્તર:
\(\frac{1}{2}\)mgR_e

(4)

આકૃતિમાં દર્શાવેલા બિંદુ P પાસે ગ્રહની ઝડપ υ_P હોય, તો A બિંદુ પાસે ગ્રહની ઝડપ υ_A = …………… .
ઉત્તર:
\(\frac{v_{\mathrm{p}} r_1}{r_2}\)

(5) હાલમાં પૃથ્વીની સપાટી પર પ્રશાંતનું વજન WN છે. જો કોઈ કારણસર પૃથ્વીના દ્રવ્યની ઘનતા વધીને 4 ગણી થાય અને તેની
ત્રિજ્યા અડધી થાય તો પ્રશાંતનું વજન …………………. N થશે.
ઉત્તર:
2W

(6) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ 10m s^-2 છે અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા 6400 km છે, તો પૃથ્વીની સપાટીથી 64 km ઊંડાઈએ આવેલા બિંદુએ જતા ગુરુત્વપ્રવેગના મૂલ્યમાં ………………………. ms^-2 જેટલો ઘટાડો થશે.
ઉત્તર:
0.1

(7) પૃથ્વીની સપાટી પર આપેલ પદાર્થનું વજન 81 kgf છે, તો મંગળની સપાટી પર આ પદાર્થનું વજન ………………… kgf થાય. મંગળનું દળ અને ત્રિજ્યા, પૃથ્વીના દળ અને ત્રિજ્યા કરતાં અનુક્રમે \(\frac{1}{9}\) અને \(\frac{1}{2}\) ગણા છે.
ઉત્તર:
36

(8) 500 g દળ ધરાવતા એક પદાર્થને 20 m s^-1ના વેગથી એક ગ્રહની સપાટી પરથી ઉપર તરફ ફેંકવામાં આવે છે, તો તે 20 sમાં ગ્રહની સપાટી પર પાછો આવે છે. આ પદાર્થનું આ ગ્રહ પર વજન………………. N હશે.
ઉત્તર:
1

(9) એક l બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનાં ત્રણ શિરોબિંદુ પર 2m દળના ત્રણ કણ મૂકેલાં છે, તો આ તંત્રની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા …………………. હશે.
ઉત્તર:
– \(\frac{12 G m^2}{l}\)

(10) પૃથ્વી માટે નિષ્ક્રમણ ઝડપ 11.2 km s^-1 છે. એક ગ્રહનું દળ પૃથ્વીના દળ કરતાં 100 ગણું તથા તેની ત્રિજ્યા પૃથ્વીની ત્રિજ્યા કરતાં 4 ગણી છે. આ ગ્રહ માટે નિષ્ક્રમણ ઝડપ ………………… km s^-1 થશે.
ઉત્તર:
56

(11) કોઈ ગ્રહની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરતાં જુદા જુદા ઉપગ્રહોની કક્ષીય ત્રિજ્યા r અને તેમનાં અનુરૂપ આવર્તકાળ T પરથી મળતા log T → log r ના આલેખનો ઢાળ ……………… હોય છે.
ઉત્તર:
\(\frac{3}{2}\)

જોડકાં જોડો : (Matrix match)

પ્રશ્ન 1.
બે ગ્રહો A અને Bની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગનો (ગુરુત્વક્ષેત્રનો) ગુણોત્તર \(\frac{g_{\mathrm{A}}}{g_{\mathrm{B}}}\) શોધો. M_A અને M_B તેમના દ્રવ્યમાન તથા R_A અને R_B તેમની અનુક્રમે ત્રિજ્યાઓ છે, તો નીચેના કૉલમ A અને કૉલમ Bમાંના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
1. જો તેમના દળ સમાન હોય	P. RA : RB
2. જો તેમના દ્રવ્યોની ઘનતા સમાન હોય	q. 1 : 1
	r. RB2 : RA2

ઉત્તર :
(1 – r), (2 – p).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. જો તેમના દળ સમાન હોય	r. RB2 : RA2
2. જો તેમના દ્રવ્યોની ઘનતા સમાન હોય	P. RA : RB

પ્રશ્ન 2.
1 m લંબાઈ ધરાવતા એક ચોરસનાં ચારેય શિરોબિંદુ પર એકસમાન 1 kg દળવાળા ચાર કણ મૂકેલા છે, તો નીચેના કૉલમ A અને કૉલમ Bમાંના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો:

કૉલમ A	કૉલમ B
1. ચારેય કણોથી બનેલા તંત્રની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા	p. શૂન્ય
2. ચોરસના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન	q. – 1
3. માત્ર ચાર કણોને લીધે ચોરસના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વક્ષેત્ર	r. – 5.41 G
4. ચોરસના કેન્દ્ર પર જો m દળવાળો કણ મૂકવામાં આવે, તો તેના પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ	s. – 4√2 G
	t. અનંત

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – s), (3 – p), (4 – p).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. ચારેય કણોથી બનેલા તંત્રની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા	r. – 5.41 G
2. ચોરસના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન	s. – 4√2 G
3. માત્ર ચાર કણોને લીધે ચોરસના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વક્ષેત્ર	p. શૂન્ય
4. ચોરસના કેન્દ્ર પર જો m દળવાળો કણ મૂકવામાં આવે, તો તેના પર લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ	p. શૂન્ય

પ્રશ્ન 3.
કોઈ ગુરુત્વીય ક્ષેત્રમાં a બિંદુની સાપેક્ષે b બિંદુ પાસે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન,
U_b – U_a = \(-\int_a^b \vec{g} \cdot \overrightarrow{d r}\)
જ્યાં, પ્રમાણિત સદિશ d\(\vec{r}\) = d_xî + d_yĵ + d_zk̂ અને \(\vec{g}\) = ગુરુત્વક્ષેત્ર
તેથી યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O(0, 0)ની સાપેક્ષે આપેલ કોઈ બિંદુ p (x, y) પાસે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન,
U (x, y) = \(-\int_{(0,0)}^{(x, y)} \vec{g} \cdot d \vec{r}\) હોય છે.
આ હકીકતના આધારે નીચેના પ્રશ્નનો ઉત્તર આપો :
એક વિસ્તારમાં ગુરુત્વક્ષેત્ર \(\vec{g}\) = – 20(î + ĵ) N kg^-1 વડે આપવામાં આવે, તો કૉલમ A અને કૉલમ Bમાંના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
1. ઉગમબિંદુ (0, 0) પાસે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન	p. 180 J kg-1
2. (5, 4) m બિંદુ પાસે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન	q. 0 J kg-1
	r. 40 J kg-1

ઉત્તર:
(1 – q), (2 – p).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. ઉગમબિંદુ (0, 0) પાસે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન	q. 0 J kg-1
2. (5, 4) m બિંદુ પાસે ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન	p. 180 J kg-1

પ્રશ્ન 4.
એક કૃત્રિમ ઉપગ્રહને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી r = R_e + h અંતરેથી નીચે કૉલમ Aમાં દર્શાવેલા જુદા જુદા વેગ υ થી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં ફેંકવામાં) આવે, તો તેમને અનુરૂપ કૉલમ Bમાંના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો. ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ
υ₀ = \(\sqrt{\frac{G M_{\mathrm{e}}}{r}}=\sqrt{\frac{G M_{\mathrm{e}}}{R_{\mathrm{e}}+h}}\) છે.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. υ < υ0	p. ઉપગ્રહ દીર્ઘવૃત્તીય માર્ગ પર ગતિ કરશે.
2. υ = υ0	q. ઉપગ્રહ પરવલયાકાર માર્ગે ગતિ કરીને અનંત અંતરે ચાલ્યો જશે.
3. υe > υ > υ0	r. ઉપગ્રહ વર્તુળાકાર પથ પર ભ્રમણ કરશે.
4. υ = υe	s. ઉપગ્રહ અતિવલય માર્ગે ગતિ કરીને અનંત અંતરે ચાલ્યો જશે.
5. υ > υe	t. ઉપગ્રહ દીર્ઘવૃત્તીય માર્ગે ગતિ કરશે અને પછી પૃથ્વીની સપાટી પર આવીને અથડાશે.
	u. ઉપગ્રહ પોતાની મૂળ કક્ષામાં ગતિ ચાલુ રાખશે.

ઉત્તર:
(1 – t), (2 – r), (3 – p), (4 – q), (5 – s).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. υ < υ0	t. ઉપગ્રહ દીર્ઘવૃત્તીય માર્ગે ગતિ કરશે અને પછી પૃથ્વીની સપાટી પર આવીને અથડાશે.
2. υ = υ0	r. ઉપગ્રહ વર્તુળાકાર પથ પર ભ્રમણ કરશે.
3. υe > υ > υ0	p. ઉપગ્રહ દીર્ઘવૃત્તીય માર્ગ પર ગતિ કરશે.
4. υ = υe	q. ઉપગ્રહ પરવલયાકાર માર્ગે ગતિ કરીને અનંત અંતરે ચાલ્યો જશે.
5. υ > υe	s. ઉપગ્રહ અતિવલય માર્ગે ગતિ કરીને અનંત અંતરે ચાલ્યો જશે.