GSEB Solutions Class 7 Maths Chapter 13 ઘાત અને ઘાતાંક Ex 13.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 7 Maths Chapter 13 ઘાત અને ઘાતાંક Ex 13.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 7 Maths Chapter 13 ઘાત અને ઘાતાંક Ex 13.2

1. ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરી સાદું રૂપ આપો અને જવાબને ઘાત સ્વરૂપે લખોઃ

પ્રશ્ન (i)
3² × 3⁴ × 3⁸
જવાબ:
= 3^{2 + 4 + 8} (∵ a^m × aⁿ × a^p = a^{m + n + P})
= 3¹⁴
આમ, 3² × 3⁴ × 3⁸ = 3¹⁴

પ્રશ્ન (ii)
6¹⁵ ÷ 6¹⁰
જવાબ:
= 6^{15 – 10} (∵ a^m ÷ aⁿ = a^m-n)
= 6⁵
આમ, 6¹⁵ ÷ 6¹⁰ = 6⁵

પ્રશ્ન (iii)
a³ × a²
જવાબ:
= a^{3 + 2} (∵ a^m × aⁿ = a^{m + n})
= a⁵
આમ, a³ × a² = a⁵

પ્રશ્ન (iv)
7^x × 7²
જવાબ:
= 7^{x + 2} (∵ a^m × aⁿ = a^{m + n})
આમ, 7^x × 7² = 7^{x + 2}

પ્રશ્ન (v)
(5²)³ ÷ 5³
જવાબ:
= 5^{2 × 3} ÷ 5³ [∵ (a^m)ⁿ = a^mn]
= 5⁶ ÷ 5³
= 5^{6 – 3} (∵ a^m ÷ aⁿ = a^m-n)
= 5³
આમ, (5²)³ ÷ 5³ = 5³

પ્રશ્ન (vi)
2⁵ × 5⁵
જવાબ:
= (2 × 5)⁵ (∵ a^m × b^m = (ab)^m]
= 10⁵
આમ, 2⁵ × 5⁵ = 10⁵

પ્રશ્ન (vii)
a⁴ × b⁴
જવાબ:
= (ab)⁴ [∵ a^m × b^m = (ab)^m]
આમ, a⁴ × b⁴ = (ab)⁴

પ્રશ્ન (viii)
(3⁴)³
જવાબ:
= 3^{4 × 3} (∵ (a^m)ⁿ = a^mn)
= 3¹²
આમ, (3⁴)³ = 3¹²

પ્રશ્ન (ix)
(2²⁰ ÷ 2¹⁵) × 2³
જવાબ:
= (2^{20 – 15}) × 2³ (∵ a^m ÷ aⁿ = a^m-n)
= 2⁵ × 2³
= 2^{5 + 3} (∵ a^m × aⁿ = a^{m + n})
= 2⁸
આમ, (2²⁰ ÷ 2¹⁵) × 2³ = 2⁸

પ્રશ્ન (x)
8^t ÷ 8²
જવાબ:
= 8^{t – 2} (∵ a^m ÷ aⁿ = a^{m – n}
આમ, 8^t ÷ 8² = 8^{t – 2}

2. સાદું રૂપ આપી નીચેના દરેકને ઘાત સ્વરૂપે દર્શાવોઃ

પ્રશ્ન (i)
\(\frac{2^{3} \times 3^{4} \times 4}{3 \times 32}\)
જવાબ:
= \(\frac{2^{3} \times 3^{4} \times 2^{2}}{3 \times 2^{5}}\)
= \(\frac{2^{3+2} \times 3^{4}}{2^{5} \times 3}\)
= \(\frac{2^{5} \times 3^{4}}{2^{5} \times 3}\)
= 2^{5 – 5} × 3^{4 – 1}
= 2⁰ × 3³
= 1 × 3³
= 3³

પ્રશ્ન (ii)
[(5²)³ × 5⁴] ÷ 5⁷
જવાબ:
= [5^{2 × 3} × 5⁴] ÷ 5⁷
= [5⁶ × 5⁴] ÷ 5⁷
= [5^{6 + 4}] ÷ 5⁷
= 5¹⁰ ÷ 5⁷
= 5^{10 – 7}
= 5³

પ્રશ્ન (iii)
25⁴ ÷ 5³
જવાબ:
= (5²)⁴ ÷ 5³
= 5⁸ ÷ 5³
= 5^{8 – 3}
= 5⁵

પ્રશ્ન (iv)
\(\frac{3 \times 7^{2} \times 11^{8}}{21 \times 11^{3}}\)
જવાબ:
= \(\frac{3 \times 7^{2} \times 11^{8}}{3 \times 7 \times 11^{3}}\)
= \(\frac{3}{3} \times \frac{7^{2}}{7} \times \frac{11^{8}}{11^{3}}\)
= 1 × 7^{2 – 1} × 11^{8 – 3}
= 7¹ × 11⁵
= 7 × 115

પ્રશ્ન (v)
\(\frac{3^{7}}{3^{4} \times 3^{3}}\)
જવાબ:
= \(\frac{3^{7}}{3^{4+3}}\)
= \(\frac{3^{7}}{3^{7}}\)
= 3^{7 – 7}
= 3⁰
= 1

પ્રશ્ન (vi)
2⁰ + 3⁰ + 4⁰
જવાબ:
= 1 + 1 + 1 (∵ a⁰ = 1)
= 3

પ્રશ્ન (vii)
2⁰ × 3⁰ × 4⁰
જવાબ:
= 1 × 1 × 1 (∵ a⁰ = 1)
= 1

પ્રશ્ન (viii)
(3⁰ + 2⁰) × 5⁰
જવાબ:
= (1 + 1) × 1 (∵ a⁰ = 1)
= 2 × 1
= 2

પ્રશ્ન (ix)
\(\frac{2^{8} \times a^{5}}{4^{3} \times a^{3}}\)
જવાબ:
= \(\frac{2^{8} \times a^{5}}{\left(2^{2}\right)^{3} \times a^{3}}\)
= \(\frac{2^{8} \times a^{5}}{2^{6} \times a^{3}}\)
= \(\frac{2^{8}}{2^{6}} \times \frac{a^{5}}{a^{3}}\)
= 2^{8 – 6} × a^{5 – 3}
= 2² × a²
= (2a)²

પ્રશ્ન (x)
(\(\frac{a^{5}}{a^{3}}\)) × a⁸
જવાબ:
= (a^{5 – 3}) × a⁸
= a² × a⁸
= a^{2 + 8}
= a¹⁰

પ્રશ્ન (xi)
\(\frac{4^{5} \times a^{8} b^{3}}{4^{5} \times a^{5} b^{2}}\)
જવાબ:
= \(\frac{4^{5}}{4^{5}} \times \frac{a^{8}}{a^{5}} \times \frac{b^{3}}{b^{2}}\)
= 1 × a^{8 – 5} × b^{3 – 2}
= a³ × b¹
= a³b

પ્રશ્ન (xii)
(2³ × 2)²
જવાબ:
= (2^{3 + 1})
= (2⁴)²
= 2^{4 × 2}
= 2⁸

3. ખરાં છે કે ખોટાં તે કહો અને તમારા જવાબને ચકાસોઃ

પ્રશ્ન (i)
10 × 10¹¹ = 100¹¹
જવાબ:
ડા.બા. = 10 × 10¹¹
= 10¹ × 10¹¹
= 10^{1 + 11}
= 10¹²
હવે, જ.બા. = 100¹¹ = (10²)¹¹ = 10^{2 × 11} = 10²²
અહીં ડાબા. ≠ જ.બા.
∴ આપેલું વિધાન ખોટું છે.

પ્રશ્ન (ii)
2³ > 5²
જવાબ:
2³ = 2 × 2 × 2 = 8
5² = 5 × 5 = 25
8 < 25
∴ 2³ < 5²
∴ આપેલું વિધાન ખોટું છે.

પ્રશ્ન (iii)
2³ × 3² = 6⁵
જવાબ:
ડા.બા. = 2³ × 3² = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= 8 × 9 = 72
જ.બા. = 6⁵ = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7776
હવે, ડા.બા. ≠ જ.બા.
∴ 2³ × 3² ≠ 6⁵
∴ આપેલું વિધાન ખોટું છે.

પ્રશ્ન (iv)
3⁰ = (1000)⁰
જવાબ:
ડા.બા. = 3⁰ = 1 (∵ a⁰ = 1)
ડા.બા. = (1000)⁰ = 1 (∵ a⁰ = 1)
∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ આપેલું વિધાન ખોટું છે.

4. નીચેના ગુણાકારના અવિભાજ્ય અવયવ પાડી તેને ઘાત સ્વરૂપે દર્શાવો:

પ્રશ્ન (i)
108 × 192
જવાબ:

108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
192 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
∴ 108 × 192
= (2 × 2 × 3 × 3 × 3) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3)
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
= 2⁸ × 3⁴
આમ, 108 × 192 = 2⁸ × 3⁴

પ્રશ્ન (ii)
270
જવાબ:

270 = 2 × 3 × 3 × 3 × 5
= 2¹ × 3³ × 5¹
= 2 × 3³ × 5
આમ, 270 = 2 × 3³ × 5

પ્રશ્ન (iii)
729 × 64
જવાબ:

729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
∴ 729 × 64 = (3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= 3⁶ × 2⁶
આમ, 729 × 64 = 3⁶ × 2⁶