GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 7 પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 7 પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 7 પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહ

GSEB Class 12 Physics પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહ Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
220 V, 50 Hz ac સપ્લાય સાથે 100 Ω અવરોધ જોડેલ છે.
(a) પરિપથમાં પ્રવાહનું rms મૂલ્ય શું હશે ?
(b) એક પૂર્ણચક્ર દરમિયાન ખર્ચાતો કુલ (ચોખ્ખો-Net) પાવર કેટલો હશે ?
ઉત્તર:
R = 100 Ω, V_rms = 220 V, v = 50 Hz
(a) I_rms = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{rms}}}{\mathrm{R}}=\frac{220}{100}\) = 2.2 A

(b) A.C. પિરપથમાં પાવર P = V_rms. I_rms · cosΦ અહીંયા Φ એ પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
જ્યારે પરિપથમાં માત્ર અવરોધ હોય ત્યારે Φ = 0
∴ cosΦ = cos0° = 1
– પરિપથમાં પાવર P = V_rms · I_rms
= 220 × 2.2
= 484 W

પ્રશ્ન 2.
(a) ac સપ્લાયના વોલ્ટેજનું મહત્તમ મૂલ્ય 300V છે. તેનો rms વોલ્ટેજ કેટલો હશે ?
(b) ac પરિપથમાં પ્રવાહનું rms મૂલ્ય 10 A છે. તેનું મહત્તમ મૂલ્ય કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
(a) A.C. સપ્લાયનો મહત્તમ વોલ્ટેજ V_m = 300 V
∴ V_rms = \(\frac{V_m}{\sqrt{2}}=\frac{300}{\sqrt{2}}\) = = 212.1 V

(b) I_rms = 10 A
અહીંયા I_rms = \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\)
= I_rms . √2
Irms · √2 = I_m
10. √2 = I_m
14.14 A = I_m = I_m = 14.14 A

પ્રશ્ન 3.
220 V, 50 Hz ના ac સ્રોત સાથે 44 mHનું ઇન્ડક્ટર જોડેલ છે. પરિપથમાં પ્રવાહનું rms મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:
અહીંયા L = 44 mH = 44 × 10^-3 H
f = 50 Hz, V_rms = 220 V, I_rms = (?)
ઇન્ડકટરમાંથી વહેતા પ્રવાહનું rms મૂલ્ય,
I_rms = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{rms}}}{|\mathrm{Z}|}=\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{rms}}}{\mathrm{X}_{\mathrm{L}}}\)
I_rms = \(\frac{V_{r m s}}{2 \pi f L}\)
= \(\frac{220}{2 \times 3.14 \times 50 \times 44 \times 10^{-3}}\)
= \(\frac{220}{13.82}\)
= 15.9 A

પ્રશ્ન 4.
110 V, 60 Hzના ac સ્રોત સાથે 60μF નું કેપેસિટર જોડેલ છે. પરિપથમાં પ્રવાહનું rms મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:
C = 60 μF = 60 × 10^-6 F
f = 60 Hz
અહીંયા કૅપેસિટરમાંથી પસાર થતાં પ્રવાહનું r.m.s મૂલ્ય
I_rms = \(\frac{V_{\mathrm{rms}}}{|\mathrm{Z}|}=\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{rms}}}{\frac{1}{2 \pi f \mathrm{C}}}\)
I_rms = 2πfC × V_rms
∴ I_rms = 2 × 3.14 × 60 × 60 × 10^-6 × 110
= 2.486 A ≈ 2.49 A

પ્રશ્ન 5.
સ્વાધ્યાય 7.3 અને 7.4 માં એક પૂર્ણચક્ર દરમિયાન દરેક પરિપથમાં શોષાતો ચોખ્ખો પાવર કેટલો હશે ? તમારા જવાબની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:

• પ્રશ્ન 7.3 માં ઇન્ડક્ટરવાળા પરિપથમાં પ્રવાહ એ વોલ્ટેજ કરતાં \(\frac{\pi}{2}\) જેટલો પાછળ હોય છે. તેથી, આવા પરિપથમાં પાવર, P = V_rms I_rmscosΦ
  = 220 × 15.9cos\(\frac{\pi}{2}\)
  = 0 [∵cos\(\frac{\pi}{2}\) = o]
• પ્રશ્ન 7.4 માં કૅપેસિટર ધરાવતા પરિપથમાં પ્રવાહ એ વોલ્ટેજ \(\frac{\pi}{2}\) કરતાં જેટલો આગળ હોય છે. તેથી, આવા પરિપથમાં
  પાવર P = V_rms I_rmscosΦ
  110 × 2.49cos\(\frac{\pi}{2}\)
  = 0 [∵cos\(\frac{\pi}{2}\) = 0]
• ઉપરના બંને કિસ્સામાં પ્રથમ અર્ધા ચક્ર દરમિયાન ખર્ચાતો પાવર, બીજા અર્ધ ચક્ર દરમિયાન પાછો મળે છે. તેથી કોઈ શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ કે કૅપેસિટીવ પરિપથમાં પાવર વ્યય થતો નથી.

પ્રશ્ન 6.
L = 2.0 H, C = 32 μF અને 10 Ω વાળા L-C-R શ્રેણી પરિપથ માટે અનુનાદ આવૃત્તિ ω_r મેળવો. આ પરિપથનું Q મૂલ્ય કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
અહીંયા L = 2H
C = 32 μF = 32 × 10^-6 F
R = 10 Ω
ω_r = (?) અહીં ω_r = ω₀ પણ લઈ શકાય.
અનુનાદ આવૃત્તિ ω_r = \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{2 \times 32 \times 10^{-6}}}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{64 \times 10^{-6}}}\)
= \(\frac{1}{8 \times 10^{-3}}\) rad/s
= \(\frac{1000}{8}\) rad/s
= 125 rad/s
Q ફૅકટર = \(\frac{\omega_r \mathrm{~L}}{\mathrm{R}}\)
∴ Q = \(\frac{125 \times 2}{10}\)
∴ Q = 25

પ્રશ્ન 7.
27 mH ઇન્ડક્ટર સાથે 30 μF નું સંપૂર્ણ વિધુતભારિત કેપેસિટર જોડેલ છે, તો પરિપથમાં થતાં મુક્ત વિધુતભારના દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ કેટલી હશે ?
ઉત્તર:
C = 30 μF = 30 × 10^-6 F
L = 27 mH = 27 × 10^-3 H
∴ ω₀ = કોણીય આવૃત્તિ = (?)
∴ ω₀ = \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}}\)
∴ ω₀ = \(\frac{1}{\sqrt{27 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-6}}}\)
∴ ω₀ = \(\frac{1}{\sqrt{9 \times 3 \times 3 \times 10^{-8}}}\)
∴ ω₀ = \(\frac{1}{9 \times 10^{-4}}\)
∴ ω₀ = \(\frac{10^4}{9}\)
∴ω₀ = 1111.11 rad/s ≈ 1.1 × 10³ rad/s

પ્રશ્ન 8.
સ્વાધ્યાય 7.7 માં કેપેસિટર પરના પ્રારંભિક વિધુતભારનું મૂલ્ય ધારો કે 6mC છે. તો પ્રારંભમાં પરિપથમાં સંગ્રહિત કુલ ઊર્જા કેટલી હશે ? પછીનાં કોઈ સમયે કુલ ઊર્જા કેટલી હશે ?
ઉત્તર:

• અહીંયા Q₁ = કૅપેસિટર પરનો શરૂઆતનો વિદ્યુતભાર
  = 6 mC = 6 × 10^-3 C
  L = 27 mH = 27 × 10^-3 H
  C = 30 μF = 30 × 10^-6 H
• અહીંયા U₁ એ પરિપથની શરૂઆતની કુલ ઊર્જા છે.
  U₁ = \(\frac{1}{2} \frac{\mathrm{Q}_1^2}{\mathrm{C}}\)
  U₁ = \(\frac{1}{2} \times \frac{\left(6 \times 10^{-3}\right)^2}{30 \times 10^{-6}}\)
  U₁ = \(\frac{1}{2} \times \frac{36 \times 10^{-6}}{30 \times 10^{-6}}\)
  U₁ = \(\frac{6}{10}\)
  U₁ = 0.6 J
• અહીંયા પરિપથમાં કુલ અવરોધ શૂન્ય છે. તેથી અવમંદિત દોલનો થતાં નથી તેથી L – C દોલનો દરમિયાન પરિપથની કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે.
• અંતમાં કુલ ઊર્જા U₂ 0.6J, પછીના કોઈ પણ 0.6 J સમયે ઊર્જા હશે.

પ્રશ્ન 9.
R = 20 Ω, L = 1.5 H અને C = 35 μF ધરાવતાં L-C-R શ્રેણી પરિપથ સાથે ચલિત (બદલી શકાય તેવી) આવૃત્તિવાળો 200 V ac સપ્લાય જોડેલ છે. જ્યારે સપ્લાયની આવૃત્તિ પરિપથની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ જેટલી થાય ત્યારે એક પૂર્ણચક્ર દરમિયાન પરિપથમાં રૂપાંતર પામતો સરેરાશ પાવર કેટલો હશે ?
ઉત્તર:

• R = 20 Ω, L = 1.5 H, C = 35 μF = 35 × 10^-6 F
  V_rms = 200 V
• જ્યારે પરિપથની ચલ આવૃત્તિ અને પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સમાન થાય ત્યારે અનુનાદની ઘટના થાય છે અને ત્યારે પરિપથનો ઇસ્પિડન્સ (Z) એ તેના અવરોધ (R) જેટલો થાય છે.
  Z = R = 20 Ω
• અહીં L – C – R પરિપથમાં અનુનાદની ઘટના થતી હોવાથી પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો કળા-તફાવત શૂન્ય થશે. કારણે પરિપથમાં માત્ર અસરકારક અવરોધ હોય.
  Φ = 0°
  ∴ I_rms = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{rms}}}{|\mathrm{Z}|}\)
  ∴ I_rms = \(\frac{200}{20}\)
  I_rms = 10 A
  P = એક ચક્ર દરમિયાન પાવર
  ∴ P = I_rms V_rms cos0°
  ∴ p = 10 × 200 [∵ cos0° = 1]
  ∴ P = 2000 W

પ્રશ્ન 10.
એક રેડિયો MW બ્રોડકાસ્ટ બેન્ડ (800 Hz થી 1200 Hz) જેટલી આવૃત્તિનાં ગાળામાં ટ્યૂન કરી શકાય છે. જો તેના LC પરિપથમાં 200 uH નું અસરકારક ઇન્ડક્ટર હોય તો તેનાં ચલ કેપેસિટરની રેન્જ કેટલી હોવી જોઈએ ?
(Hint : ટ્યૂનિંગ કરવા માટે પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ એટલે કે LC પરિપથમાં મુક્ત દોલનોની આવૃત્તિ, રેડિયો તરંગની આવૃત્તિ જેટલી થવી જોઈએ.)
ઉત્તર:
ટ્યૂનિંગ કરવા માટે રેડિયો તરંગોની આવૃત્તિ પરિપથની અનુનાદીય કોણીય આવૃત્તિ,

= 197.8 × 10^-12 F
≈ 198 pF
આમ, ચલ કૅપેસિટરની રેન્જ 88 pF થી 198 pF

પ્રશ્ન 11.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ચલિત (બદલી શકાય તેવી) આવૃત્તિવાળો 230 V ac સ્રોત L-C-R પરિપથ સાથે જોડેલ છે. L = 5.0 V, C = 80 μE. R = 40 Ω છે.

(a) પરિપથને અનુનાદની સ્થિતિમાં લાવવા માટે સ્રોતની આવૃત્તિ નક્કી કરો.
(b) અનુનાદ આવૃત્તિએ પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ અને પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર શોધો.
(c) પરિપથનાં ત્રણેય ઘટકોનાં બે છેડા વચ્ચેનો rms
વોલ્ટેજ (સ્થિતિમાન તફાવત) શોધો. દર્શાવો કે અનુનાદ આવૃત્તિએ LC સંયોજનના બે છેડા વચ્ચેનો સ્થિતિમાન તફાવત (વોલ્ટેજ ડ્રોપ) શૂન્ય છે.
ઉત્તર:
અહીંયા, L = 5.0 H
C = 80 μF = 80 × 10^-6 F
R = 40 Ω
V_rms = 230 V

(a) અનુનાદીય કોણીય આવૃત્તિ = A.C. ઉદ્ગમની પ્રાકૃતિક કોણીય આવૃત્તિ,

∴ v = 7.96 Hz

(b) અનુનાદ સમયે L-C-R પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ Z છે.

(c) પરિપથમાં અવરોધનાં બે છેડા વચ્ચેનાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું rms મૂલ્ય,
V_(rms)R = I_rms × R
∴ V_(rms)R = 5.75 × 40
∴ V_(rms)R = 5.75 A

• પરિપથમાં ઇન્ડકટરનાં બે છેડા વચ્ચેનાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું r.m.s મૂલ્ય.
  V_L = V_(rms)L(rms) = I_rms × X_L
  ∴ V_(rms)L(rms) = = I_rms × 2πfL
  ∴ V_(rms)L(rms) = 5.75 × 2 × 3.14 × 7.96 × 5
  ∴ V_(rms)L(rms) = 1437.5 V
• પરિપથમાં કૅપેસિટરનાં બે છેડા વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનું r.m.s મૂલ્ય,
  V_C = V_(rms)C(rms) = I_rms × X_C
  ∴ V_(rms)C(rms) = I_rms × \(\frac{1}{2 \pi f C}\)
  ∴ V_(rms)C(rms) = 5.75 × \(\frac{1}{2 \times 3.14 \times 7.96 \times 80 \times 10^{-6}}\)
  ∴ V_(rms)C(rms) = 1437.5 V
• L અને C ના બે છેડા વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનનાં તફાવતનું rmsનું મૂલ્ય,
  V_LC = I_rms · (ω₀L – \(\frac{1}{\omega_0 \mathrm{C}}\))
  ∴ V_LC = V_L – V_C
  ∴ V_LC 1437.5 – 1437.5
  ∴ V_LC = 0
• આથી કહી શકાય કે અનુનાદ સમયે L અને C ના બે છેડા વચ્ચેનો કુલ વોલ્ટેજ ડ્રૉપ શૂન્ય થાય.
  નોધ : L-C-R શ્રેણી એ.સી. પરિપથમાં અનુનાદ સમયે ઇન્ડક્ટર અને કૅપેસિટરના વોલ્ટેજના ફેઝર્સ સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી LC સંયોજનના વોલ્ટેજ શૂન્ય મળે છે.

પ્રશ્ન 12.
20 mH ઇન્ડક્ટર અને 50 μF કેપેસિટન્સ ધરાવતાં LC પરિપથમાં કેપેસિટર પર પ્રારંભિક વિધુતભાર 10 mC છે. પરિપથનો અવરોધ અવગણી શકાય તેટલો છે. ધારો કે પરિપથ પૂર્ણ કરવામાં આવે છે તે ક્ષણ t = 0 છે.
(a) કુલ પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઊર્જા કેટલી હશે ? શું તેનું L-C દોલનો દરમિયાન સંરક્ષણ થશે ?
(b) પરિપથની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ કેટલી હશે ?
(c) કયા સમયે સંગ્રહિત ઊર્જા :
(i) સંપૂર્ણ વિધુતઊર્જા રૂપે (એટલે કે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત) હશે ?
(ii) સંપૂર્ણ ચુંબકીયઊર્જા રૂપે (એટલે કે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત) હશે ?
(d) ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર વચ્ચે કયા-કયા સમયે કુલ (માર્ચ – 2020) ઊર્જા સમાન રીતે વહેંચાશે ?
(e) જો આ પરિપથમાં એક અવરોધ દાખલ કરવામાં આવે તો છેવટે કેટલી ઊર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામશે ?
ઉત્તર:
અહીં L = 20 mH = 20 × 10^-3 H
C = 50 μF 50 × 10^-6 F
q₀ કૅપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર,
q₀ = 10 mC
= 10 × 10^-3 C

(a) પ્રારંભમાં કૅપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા,
U₀ = \(\frac{q_0^2}{2 C}=\frac{\left(10 \times 10^{-3}\right)^2}{2 \times 50 \times 10^{-6}}\) = 1J
હા LC પરિપથનો અવરોધ અવગણ્ય હોવાથી કુલ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થશે.

(b) પરિપથની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ,
V₀ = \(\frac{1}{2 \pi \sqrt{\mathrm{LC}}}\) = \(\frac{1}{2 \times 3.14 \sqrt{20 \times 10^{-3} \times 50 \times 10^{-6}}}\)
∴ V₀ = \(\frac{1}{2 \times 3.14 \times 10^{-3}}\) = 159.2 ≈ 159 Hz

(c) L-C દોલનો દરમિયાન કોઈ પણ t સમયે ક્ષણે કૅપેસિટરની પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર,
q = q₀cosωt = q₀cos (\(\frac{2 \pi}{T}\)t) ………………. (1)

(i) જ્યારે કૅપેસિટરમાં ઊર્જા સંપૂર્ણ રીતે વિદ્યુતઊર્જા હોય તો,
q = ± q₀
∴ સમીકરણ (1) પરથી cos(\(\frac{2 \pi}{T}\)t) = ± 1
∴ \(\frac{2 \pi}{T}\)t = nπ જ્યાં n = પૂર્ણાંક
∴t = \(\frac{n \mathrm{~T}}{2}\) n = 0, 1, 2, 3, 4, …………
∴ t = 0, \(\frac{\mathrm{T}}{2}\), T, \(\frac{3 T}{2}\), 2T,… સમયે કૅપેસિટરમાં 2′ 2
સંગ્રહિત ઊર્જા સંપૂર્ણ રીતે વિદ્યુતઊર્જા રૂપે હશે.

(ii) જ્યારે ઊર્જા સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય સ્વરૂપે હોય વિદ્યુતઊર્જા શૂન્ય થાય ત્યારે,
q = 0

∴ t = \(\frac{T}{4}, \frac{3 T}{4}, \frac{5 \mathrm{~T}}{4}, \frac{7 \mathrm{~T}}{4}\), …….. સમયે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહ પામેલી ઊર્જા સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ઊર્જા રૂપે હશે.
બંને કિસ્સામાં,
T = \(\frac{1}{f}=\frac{1}{159}\)s = 6.28 × 10^-3s ≈ 6.3ms

(d) પ્રારંભમાં કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર q₀ અને કૅપેસિટન્સ C હોય તો સંગ્રહ પામેલી ઊર્જા,
U = \(\mathrm{U}=\frac{1}{2} \frac{q_0^2}{\mathrm{C}}\)
જ્યારે કૅપેસિટર અને ઇન્ડક્ટર પરની ઊર્જા સમાન થાય ત્યારે કૅપેસિટર પરની ઊર્જા,

(e) LC પરિપથમાં અવરોધ R દાખલ કરવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઊર્જાનો વ્યય થતાં દોલનો અવમંદિત થશે અને છેવટે બધીજ ઊર્જા (1.0J) અવરોધમાં વ્યય થશે ત્યારે દોલનો બંધ થશે.

પ્રશ્ન 13.
240 V, 50 Hz ac સ્રોત સાથે 0.50 H ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતી કોઇલ અને 100 2 અવરોધને જોડેલ છે.
(a) કોઇલમાં મહત્તમ પ્રવાહ કેટલો હશે ?
(b) મહત્તમ વોલ્ટેજ અને મહત્તમ પ્રવાહ વચ્ચે સમય તફાવત કેટલો હશે ?
ઉત્તર:

X_L = 2πvL = 2 × 3.14 × 50 × 0.5 = 157 Ω
(a) Z = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{L}}\right)^2}\) = \(\sqrt{(100)^2+(157)^2}\)
Z = \(\sqrt{10000+24649}\) = \(\sqrt{34649}\)
Z = 186. 14 Ω
મહત્તમ પ્રવાહ,
I_m = \(\frac{V_m}{Z}=\frac{\sqrt{2} \mathrm{~V}}{Z}\) = \(\frac{1.414 \times 240}{186.14}\)
∴ I_m = 1.823 A
∴ I_m ≈ 1.82 A

(b)

મહત્તમ વોલ્ટેજ અને મહત્તમ પ્રવાહ વચ્ચેનો કળાતફાવત,
tan Φ = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{R}}}=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{X}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{R}}\) = \(\frac{\mathrm{X}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{Z}}{\mathrm{R}}\)
= \(\frac{157}{100}\)
tan Φ = 1.57
∴ Φ = 57.5°
અથવા Φ = \(\frac{57.5 \pi}{180}\) = 1.0 rad
∴ Φ ≈ π rad
LR પરિપથ માટે V = V_mcosωt
∴ t = 0 ⇒ V = V_m અને
∴ t = \(\frac{\phi}{\omega}\) ⇒I = I_m cos(ωt – Φ)
∴ ωt = Φ
∴ t = \(\frac{\phi}{\omega}\)
∴ t – 0 = \(\frac{\phi}{\omega}\) – 0
∴ Δt = \(\frac{\phi}{\omega}=\frac{1.0}{314}\)
∴Δt = 3.2 × 10^-3s
∴ Δt 3.2 ms

પ્રશ્ન 14.
સ્વાધ્યાય 7.13માં જે પરિપથને ઊંચી આવૃત્તિવાળા સ્રોત (240 V, -10 kHz) સાથે જોડવામાં આવે તો (a) અને (b) સ્વાધ્યાયનાં જવાબ મેળવો. “ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિએ પરિપથમાં રહેલ ઇન્ડક્ટર ખુલ્લા પરિપથ (Open Circuit) ની માફક વર્તે છે.” આ વિધાન સમજાવો. dc પરિપથમાં સ્થાયી અવસ્થા આવે પછી ઇન્ડક્ટરની વર્તણૂક કેવી હશે ?
ઉત્તર:
અહીં V = 240 V, v = 10 kHz = 10⁴ Hz, L = 0.5 H, R = 100 Ω
X_L = 2πvL = 2 × 3.14 × 10⁴ × 0.5 = 31400 Ω
∴ Z = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{L}}\right)^2}\) = \(\sqrt{(100)^2+(31400)^2}\)
∴ Z = \(\sqrt{10000+985960000}\) = \(\sqrt{985970000}\)
∴ Z = 31400Ω

(a) મહત્તમ પ્રવાહ,
I_m = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{Z}}=\frac{\mathrm{V} \sqrt{2}}{\mathrm{Z}}\)
= \(\frac{240 \times 1.414}{31400}\) = 0.0108 A
1.08 × 10^-2 A ≈ 1.1 × 10^-2 A

(b) V અને I નો કળાતફાવત,
tan Φ = \(\frac{V_L}{V_R}=\frac{I_m X_L}{I_m R}=\frac{X_L}{R}\)
= \(\frac{31400}{100}\)
tanΦ 314 = 100π જે ઘણો જ મોટો છે.
તેથી Φ = 90° અથવા \(\frac{\pi}{2}\) rad
હવે લૉગ ટેબલ પરથી
Φ = 89.82 = \(\frac{89.82 \times \pi}{180}\) rad
∴ωt = \(\frac{89.82 \times \pi}{180}\) [∵ Φ = ωt]
t = \(\frac{89.82 \times \pi}{180 \times 2 \pi v}=\frac{89.82 \times \pi}{180 \times 2 \pi \times 10^4}\)
= 0.2495 × 10^-4
≈ 25 × 10^-6 = 25 μs
ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિએ X_L ઘણો મોટો મળે જે અનંત ગણાય. તેથી, પરિપથ ઑપન સર્કિટ તરીકે વર્તે અને પરિપથમાં પ્રવાહ વહેતો નથી.
DC પરિપથમાં ω = 0 હોવાથી જ્યારે સ્થાયી પ્રવાહ મળે ત્યારે ઇન્ડક્ટર શુદ્ધ વાહક તરીકે વર્તે.

પ્રશ્ન 15.
110V, 60 Hz ac સ્રોત સાથે 100 μF નું કેપેસિટર અને 40 Ω અવરોધ શ્રેણીમાં જોડેલ છે.
(a) પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ કેટલો હશે ?
(b) મહત્તમ પ્રવાહ અને મહત્તમ વોલ્ટેજ વચ્ચેનો સમય તફાવત કેટલો હશે ?
ઉત્તર:

કૅપેસિટિવ રિઍક્ટન્સ,
X_C = \(\frac{1}{2 \pi v C}=\frac{1}{2 \times 3.14 \times 60 \times 10^{-4}}\)
∴ X_C = 0.0026539 × 10⁴ Ω
= 26.54 Ω
Z = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\mathrm{X}_{\mathrm{C}}^2}\) = \(\sqrt{(40)^2+(26.54)^2}\)
Z = \(\sqrt{1600+704.3716}\) = \(\sqrt{2304.3716}\)
∴Z = 48.0 Ω

(a) મહત્તમ પ્રવાહ I_m = \(\frac{V_{\mathrm{m}}}{\mathrm{Z}}=\frac{\mathrm{V} \sqrt{2}}{\mathrm{Z}}\)
∴ I_m = \(\frac{110 \times 1.414}{48}\) = 3.24 A

(b)
V_m અને I_m વચ્ચેનો કળાતફાવત,
tanΦ = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{C}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{R}}}=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{X}_{\mathrm{C}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{m}} \mathrm{R}}\) = \(\frac{X_C}{R}=\frac{26.54}{40}\)
tanΦ = 0.6635 ∴ Φ = 33.5°
અચવા Φ = \(\frac{33.5 \pi}{180}\) = 0.186л rad
સમય તફાવત,
Δt = \(\frac{\phi}{\omega}=\frac{0.186 \pi}{2 \pi \times \nu}\) [∵ ω = ΦΔt]
\(\frac{0.186}{2 \times 60}=\frac{0.186}{120}\) = 0.00155
∴ Δt = 1.55 × 10^-3 અચવા 1.55 ms

પ્રશ્ન 16.
સ્વાધ્યાય 7.15માં પરિપથ સાથે 110 V, 12 kHz નો સ્રોત જોડવામાં આવે તો (a) અને (b) નાં જવાબો મેળવો તે પરથી “ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિએ કેપેસિટર વાહક બને છે” – આ વિધાન સમજાવો. dc પરિપથમાં સ્થાયી અવસ્થા આવે પછી કેપેસિટરની વર્તણૂકની સરખામણી આ વર્તણૂક સાથે કરો.
ઉત્તર:
અહીં V = 110 V, v = 12 kHz, C = 100 μF
અને R = 40 Ω


આમ, ઊંચી આવૃત્તિએ કૅપેસિટરની હાજરીમાં કે ગેરહાજરીમાં પરિપથમાંથી 2.75 A નો સમાન પ્રવાહ વહે છે તેથી કહી શકાય છે, ઊંચી આવૃત્તિએ કૅપેસિટર વાહક તરીકે વર્તે છે.
DC સપ્લાય માટે આવૃત્તિ v = 0 તેથી Xc = અનંત તેથી પરિપથ ઑપન પરિપથ તરીકે વર્તે છે.

પ્રશ્ન 17.
L-C-R શ્રેણી પરિપથમાં સ્રોતની આવૃત્તિને અનુનાદ આવૃત્તિ જેટલી રાખીને જો L, C અને ત્રણેય ઘટકોને સમાંતર જોડવામાં આવે તો દર્શાવો કે આ આવૃત્તિઓ L-C-R સમાંતર પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ લઘુતમ હોય છે. સ્વાધ્યાય 7.11 માં દર્શાવેલ ઘટકો અને સ્રોત માટે આ આવૃત્તિઓ પરિપથની દરેક શાખાનાં પ્રવાહનું rms મૂલ્ય મેળવો.
ઉત્તર:

અહીં V = 230 V
L = 5.0 H
C = 80 μF = 80 × 10^-6 F
R = 40Ω
અને \(\omega_r^2=\frac{1}{\mathrm{LC}}\)
= \(\frac{1}{5 \times 80 \times 10^{-6}}\) = 2500
∴ ω_r = 50 rad/s
L-C-R સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય ઇમ્પિડન્સ,

– અનુનાદની સ્થિતિમાં

ωC = \(\frac{1}{\omega \mathrm{L}}\) થાય ત્યારે \(\frac{1}{Z}\) લઘુતમ તેથી Z મહત્તમ બને અને પરિપથમાં લઘુતમ પ્રવાહ I મળે. તેથી, સમાંતર જોડાણમાં અનુનાદની સ્થિતિમાં પ્રવાહ લઘુતમ મળે.
અનુનાદની સ્થિતિમાં Z = R તેથી પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ,

પ્રશ્ન 18.
230 V, 50 Hz ac સ્રોત સાથે 80 mH ઇન્ડક્ટર અને 60 μF કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડેલ છે. પરિપથનો અવરોધ અવગણ્ય છે.
(a) પ્રવાહ કંપવિસ્તાર અને rms મૂલ્ય મેળવો.
(b) દરેક ઘટકનાં બે છેડા વચ્ચેનાં વોલ્ટેજ ડ્રૉપનું rms મૂલ્ય મેળવો.
(c) ઇન્ડક્ટરમાં સ્થાનાંતરિત થયેલ સરેરાશ પાવર કેટલો હશે ?
(d) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતરિત થયેલ સરેરાશ પાવર કેટલો હશે ?
(e) પરિપથ વડે શોષાતો કુલ સરેરાશ પાવર કેટલો હશે ? (સરેરાશ એક ચક્ર ઉપરનું સરેરાશ દર્શાવે છે.)
ઉત્તર:
અહીં L = 80 mH = 80 × 10^-3 H
C = 60 μF = 60 × 10^-6 F
V_rms = V = 230 V, v = 50 Hz
– (a) પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ,

પ્રવાહનું rms મૂલ્ય,
I_rms = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{rms}}}{\mathrm{Z}}\)
= \(\frac{230}{27.95}\) = 8.2289
≈ 8.23 A
ωL < \(\frac{1}{\omega \mathrm{C}}\) હોવાથી વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતાં 90° પાછળ છે.
મહત્તમ પ્રવાહ,
I_m = √2 I_rms
= 1.414 × 8.23
= 11.637 A
∴ I_m = 11.64 A

(b) L ની આસપાસનો વોલ્ટેજ ડ્રૉપ,
(V_rms)_L = I_rms × X_L = 8.23 × 25.13 [∵ X_L = 2πvL]
= 206.8 V
≈ 207 V
C ની આસપાસનો વોલ્ટેજ ડ્રૉપ,
(V_rms)_C = I_rms × X_C = 8.23 × 53.08
[X_C = \(\frac{1}{2 \pi v C}\)]
= 436.848 V
≈ 437 V
નોંધ : L અને Cના બે છેડા વચ્ચેના વોલ્ટેજની બાદબાકી થાય છે કારણ કે તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત 180° છે.
∴ (V_rms)_C – (V_rms)_L = 437 – 207 = 230 V જે લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજના જેટલો છે અને તે આવશ્યક છે.

(c) ઇન્ડક્ટરમાં વોલ્ટેજ, પ્રવાહ કરતાં \(\frac{\pi}{2}\) જેટલો આગળ હોય તેથી પ્રત્યેક ચક્ર દીઠ ઇન્ડક્ટરમાં સ્થાનાંતરિત થયેલ સરેરાશ પાવર,
<P_L> = V_rmsI_rmscos\(\frac{\pi}{2}\)
= 0 [∵ cos\(\frac{\pi}{2}\) = 0

(d) કૅપેસિટરમાં વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતાં \(\frac{\pi}{2}\) જેટલો પાછળ હોય તેથી દરેક ચક્ર દીઠ કૅપેસિટરમાં સ્થાનાંતરિત થયેલ
સરેરાશ પાવર,
< P_C> > = V_rmsI_rms cos (- \(\frac{\pi}{2}\)) = 0 [∵ cos(-\(\frac{\pi}{2}\)) = o]

(e) કુલ શોધેલો સરેરાશ પાવર,
= <P_L> + <P_C>
= 0 + 0
∴ = 0
તેથી દરેક ચક્રમાં તેમનો સરવાળો શૂન્ય થાય.

પ્રશ્ન 19.
ધારો કે સ્વાધ્યાય 7.18નાં પરિપથમાં 15 Ω અવરોધ છે. પરિપથનાં દરેક ઘટકમાં સ્થાનાંતરિત સરેરાશ પાવર અને શોષાતો કુલ પાવર મેળવો.
ઉત્તર:

• અહીં R = 15 Ω, L = 80 mH, C = 60 μF
  V_rms = 230 V, v = 50 Hz
• X_L = 2 × \(\frac{22}{7}\) × 50 × 80 × 10^-3
  = 25.14 Ω
  X_C = \(\frac{1}{2 \pi v C}\) = \(\frac{7}{2 \times 22 \times 50 \times 60 \times 10^{-6}}\)
  = 53.03 Ω
• Z = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{L}}-\mathrm{X}_{\mathrm{C}}\right)^2}\) = \(\sqrt{(15)^2+(27.96)^2}\)
  = \(\sqrt{225+781.7616}\) = \(\sqrt{1006.7616}\)
  = 31.67 Ω
  I_rms = \(\frac{V_{\text {rms }}}{Z}=\frac{230}{31.67}\) = 7.26 A
• ઇન્ડક્ટર પર સ્થાનાંતરિત થતો સરેરાશ પાવર,
  P_L = V_rms I_rms Cos\(\frac{\pi}{2}\)
  = 0
• કૅપેસિટર પર સ્થાનાંતરિત થતો સરેરાશ પાવર,
  P_C = V_rms I_rmscos(-\(\frac{\pi}{2}\))
  = 0
• શોષાતો કુલ સરેરાશ પાવર,
  P_R I²_rms × R = (7.26)² × 15
  ∴ P_R = 790.6W ≈ 791 W

પ્રશ્ન 20.
L = 0.12 H, C = 480 nF તથા R = 23 Ω ધરાવતા L-C-R શ્રેણી પરિપથ સાથે ચલ આવૃત્તિવાળો 230 V નો સ્રોત જોડેલ છે.
(a) પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ બને તે માટે સ્રોત આવૃત્તિ કેટલી હશે ? આ મહત્તમ મૂલ્ય મેળવો.
(b) પરિપથ વડે શોષાતા સરેરાશ પાવરનું મૂલ્ય મહત્તમ બને તે માટે સ્રોત આવૃત્તિ કેટલી હશે ? આ મહત્તમ પાવરનું મૂલ્ય મેળવો.
(c) પરિપથમાં સ્થાનાંતરિત પાવર, અનુનાદ આવૃત્તિ માટેના પાવર કરતાં અડધો હોય તે આવૃત્તિઓના મૂલ્યો કયા કયા છે ? આ આવૃત્તિએ પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર કેટલો હશે ?
(d) આપેલ પરિપથનો Q ફેક્ટર કેટલો હશે ? અહીં,
ઉત્તર:
અહીં L = 0.12 H, C = 480 nF = 480 × 10^-9 F
R = 23 Ω, V_rms = 230 V
(a) પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ બને તે માટે અનુનાદીય આવૃત્તિ,
ω_r = \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{0.12 \times 480 \times 10^{-9}}}=\frac{10^4}{2.4}\)
= 4167 \(\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\)
∴ V_r = \(\frac{\omega_r}{2 \pi}=\frac{4167}{2 \times 3.14}\)
∴ V_r 663.53 Hz
∴ V_r ≈ 663 Hz
– મહત્તમ પ્રવાહના મૂલ્યનો કંપવિસ્તાર

I_m = \(\frac{V_{\mathrm{m}}}{\mathrm{Z}}\) પણ અનુનાદ વખતે
પ્રવાહ મહત્તમ અને Z = R
∴ I_m = \(\frac{\sqrt{2} \mathrm{~V}_{\mathrm{rms}}}{\mathrm{R}}\) [V_m = √2 V_rms]
\(\frac{\sqrt{2} \times 230}{23}\)
= 14.14 A

(b) અનુનાદ આવૃત્તિએ મહત્તમ સરેરાશ પાવર,

= V_rms × I_rms × cosΦ
= V_rms × \(\frac{V_{\mathrm{rms}}}{\mathrm{R}}\) × cos0°
[∵ I_rms = \(\frac{V_{\text {rms }}}{Z}=\frac{V_{\text {rms }}}{R}\)
= \(\frac{V_{\mathrm{rms}}^2}{\mathrm{R}}\) [∵ cos0° = 1]
= \(\frac{(230)^2}{23}\)
= 2300 W
મહત્તમ પાવર વ્યય થાય ત્યારે સ્રોતની આવૃત્તિ,
V = 663 Hz
નોંધ : મહત્તમ સરેરાશ પાવર

= \(\frac{1}{2} \times \mathrm{I}_{\mathrm{m}}^2\) × R પરથી પણ શોધી શકાય.

(c) પરિપથમાં સ્થાનાંતરિત પાવર, અનુનાદ આવૃત્તિ માટેના પાવર કરતાં અડધો થાય ત્યારે ω હોય તો,

∴ v = 663 + 15.26 Hz અથવા v = 663 – 15.26 Hz
= 678.26 Hz અથવા v = 647.74 Hz
∴ v ≈ 678 Hz અથવા v ≈ 648 Hz
– આ આવૃત્તિઓએ પ્રવાહ,
I_rms = \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\)
∴ I_rms = \(\frac{14.14}{1.414}\) = 10A

(d) પરિપથનો Q ફૅક્ટર,

પ્રશ્ન 21.
L = 3.0 H, C = 27 μF અને R = 7.4 Ω ધરાવતાં L-C-R શ્રેણી પરિપથ માટે અનુનાદ આવૃત્તિ અને Q ફેક્ટર મેળવો. પરિપથના અનુનાદની તીક્ષ્ણતામાં સુધારો કરવા માટે તેની “અર્ધ મહત્તમ આગળ સંપૂર્ણ પહોળાઈ” ઘટાડીને અડધી કરવામાં આવે છે. આમ કરવા માટેનો યોગ્ય રસ્તો સૂચવો.
ઉત્તર:

• અહીં L = 3.0 H, C = 27 μF = 27 × 10^-6F,
  R = 7.4 Ω
• અનુનાદીય કોણીય આવૃત્તિ,
  ω_r = \(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{LC}}}=\frac{1}{\sqrt{3.0 \times 27 \times 10^{-6}}}\)
  ∴ ω_r = \(\frac{10^3}{\sqrt{81}}=\frac{1000}{9}\) = 111.1rad/s
• પરિપથનો Q ફૅક્ટર,
  Q = \(\frac{\omega_r \mathrm{~L}}{\mathrm{R}}=\frac{111.1 \times 3}{7.4}=\frac{333.3}{7.4}\)
  ∴ Q = 45
  નોંધ : Q ફૅક્ટરનું સૂત્ર Q = \(\frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}\) પરથી પણ મેળવી શકાય.
• અનુનાદની તીક્ષ્ણતા સુધારો કરવા માટે ω_r અચળ રાખીને અવરોધ R નું મૂલ્ય અડધું કરવું પડે તો Q ફૅક્ટર બમણો થાય.
  ∴ R’ = \(\frac{\mathrm{R}}{2}=\frac{7.4}{2}\) = 3.72 Ω

પ્રશ્ન 22.
નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
(a) કોઈ પણ ac પરિપથમાં લાગુ પાડેલ તાત્ક્ષણિક વોલ્ટેજ, તે
પરિપથમાં શ્રેણી જોડાણમાં રહેલાં ઘટકોના બે છેડાઓ વચ્ચેનાં તાત્ક્ષણિક વોલ્ટેજના બૈજિક સરવાળા બરાબર હોય છે ? આ જ પરિણામ rms વોલ્ટેજ માટે સત્ય હોય છે ?
(b) ઇન્ડક્શન કૉઇલનાં પ્રાથમિક પરિપથમાં કેપેસિટરનો ઉપયોગ થાય છે.
(c) લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ સિગ્નલ dc વોલ્ટેજ અને ઊંચી આવૃત્તિવાળા ac વોલ્ટેજના સંપાતથી બનેલું છે. પરિપથ ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરનું શ્રેણી જોડાણ ધરાવે છે. દર્શાવો કે dc સિગ્નલ કેપેસિટરનાં બે છેડા વચ્ચે અને ac સિગ્નલ ઇન્ડક્ટરનાં બે છેડા વચ્ચે પ્રદર્શિત (Appear) થશે.
(d) એક ચોક કોઇલ અને બલ્બ શ્રેણીમાં dc લાઇન (સ્રોત) સાથે જોડેલ છે. બલ્બ પ્રકાશિત થતો દેખાય છે. ચોક કોઇલમાં લોખંડનું ગર્ભ (Core) દાખલ કરતાં બલ્બની પ્રકાશિતતામાં કોઈ જ ફેરફાર થતો નથી. જો આ જ જોડાણ ac લાઈન સાથે કરવામાં આવ્યું હોય તો અનુરૂપ અવલોકનનું અનુમાન કરો.
(e) ac સપ્લાય (મેઇન્સ) સાથે જોડેલ ફ્લોરેસન્ટ ટ્યૂબનો ઉપયોગ કરવા માટે ચોક કોઇલ શા માટે જરૂરી છે ? આપણે ચોક કોઇલને બદલે સામાન્ય અવરોધનો
ઉપયોગ શા માટે ન કરી શકીએ ?
ઉત્તર:
(a) હા, V = V_R + V_L + V_C છે.
ના, આ પરિણામ rms વોલ્ટેજ માટે સાચું નથી. કારણ કે જુદા જુદા ઘટકોમાં બે છેડા વચ્ચેના વોલ્ટેજ સમાન કળામાં ન પણ હોય. સપ્લાયના વોલ્ટેજમાં જેવો ફેરફાર થાય તેવો ફેરફાર ઘટકોના વોલ્ટેજ, પ્રવાહ, પાવરમાં ન પણ થતો હોય.

(b) જ્યારે પ્રાથમિક ગૂંચળામાં ઇન્ડક્ટન્સ કૉઇલનું જોડાણ તૂટે છે ત્યારે પ્રેરિત થતો ઊંચો વોલ્ટેજ કૅપેસિટરને વિદ્યુતભારિત કરવામાં વપરાય છે. જેથી સ્પાર્ક થવાની ઘટનાને નિવારી શકાય છે.

(c) ઇન્ડક્ટિવ રિઍક્ટન્સ X_L = 2πvL
∴ X_L ∝ v
અને કૅપેસિટિવ રિઍક્ટન્સ X_C = \(\frac{1}{2 \pi v C}\)
∴ X_C ∝\(\frac{1}{v}\)
અને D.C. માટે v = 0 તેથી ઇન્ડક્ટિવ રિઍક્ટન્સ શૂન્ય અને કૅપેસિટિવ રિઍક્ટન્સ અનંત. તેથી dc સિગ્નલ કૅપેસિટરના બે છેડા વચ્ચે મળે છે.
ઊંચી આવૃત્તિવાળા AC વોલ્ટેજ માટે L નો અસરકારક અવરોધ વધુ અને C નો અસરકારક અવરોધ ખૂબ જ ઓછો હોય છે. તેથી L ના બે છેડા વચ્ચે AC સિગ્નલ મળે છે.

(d) D.C. માટે v = 0 તેથી X_L = 0 તેથી ગૂંચળામાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે તો પણ L ના રિઍક્ટન્સ પર કોઈ જ અસર થતી નથી.
A.C. માટે ચોકમાં વધારાનો ઇમ્પિડન્સ ઉત્પન્ન થવાના કારણે પ્રવાહ ઘટી જાય તેથી બલ્બ ઓછો (ઝાંખો) પ્રકાશિત થશે. હવે ચોકમાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે ત્યારે ચોકના ઇમ્પિડન્સમાં હજુ વધારો થાય છે તેથી બલ્બ હજી પણ વધુ ઝાંખો થશે.

(e) જ્યારે ફ્લોરેસન્ટ ટ્યૂબ સીધી જ 230V ના ઉદ્ગમ સાથે જોડેલી હોય, તો તે મોટા મૂલ્યનો પ્રવાહ ખેંચે જેના લીધે ટ્યૂબને નુકસાન થઈ શકે.
ચોક કૉઇલના ઉપયોગથી તે ઊર્જાનો વ્યય કર્યા સિવાય, ટ્યૂબના બે છેડા વચ્ચે વોલ્ટેજ ઘટાડે છે. જેથી પ્રવાહ ઘટે છે અને ટ્યૂબને નુકસાન થતું નથી. તેથી ટ્યૂબના ઉપયોગ માટે ચોક કૉઇલનો ઉપયોગ થાય છે. જો ચોક કૉઇલના બદલે અવરોધનો ઉપયોગ કરીએ તો જૂલ ઉષ્મા સ્વરૂપે ઊર્જાનો વ્યય થાય છે. તેથી, અવરોધનો ઉપયોગ કરી શકાય નહીં.

પ્રશ્ન 23.
પાવર ટ્રાન્સમિશન લાઈનમાં 4000 આંટા ધરાવતા પ્રાઇમરી કૉઇલવાળા સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરને 2300V જેટલા વોલ્ટેજે ઇનપુટ પાવર પૂરો પાડવામાં આવે છે. જો આઉટપુટ વોલ્ટેજ 230V મેળવવો હોય તો ગૌણ ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા કેટલી રાખવી જોઈએ ?
ઉત્તર:

• અહીં, ε_P = 2300 V, N_P = 4000
  ε_Q = 230 V, N_S = ?
• ટ્રાન્સફૉર્મર માટે,
  \(\frac{\varepsilon_{\mathrm{P}}}{\varepsilon_{\mathrm{S}}}=\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{P}}}{\mathrm{N}_{\mathrm{S}}}\)
  ∴ N_S = N_P × \(\frac{\varepsilon_{\mathrm{S}}}{\varepsilon_{\mathrm{P}}}\) = 4000 × \(\frac{230}{2300}\)
  ∴ N_S = 400 આંટા

પ્રશ્ન 24.
એક હાઇડ્રોઇલેક્ટ્રિક પાવર પ્લાન્ટમાં દબાણ કરતું પાણીનું હેડ (સ્તંભ) 300 m ની ઊંચાઈ પર છે અને મળતો પાણીનો પ્રવાહ 100 m³ s^-1 છે. જો ટર્બાઇન જનરેટરની કાર્યક્ષમતા 60% હોય તો પ્લાન્ટમાંથી મળતા વિધુત પાવરનું અનુમાન કરો. (g = 9.8 ms^-2)
ઉત્તર:
અહીં, h = 300 m, \(\frac{\mathrm{V}}{t}\) = 100³ s^-1, p = 10³kgm^-3
η = 60 % = 0.6, g = 9.8 ms^-2

∴ વિદ્યુત પાવર = η × હાઇડ્રૉ ઇલેક્ટ્રિક પાવર
= 0.6 × 294 × 10⁶
176.4 × 10⁶ W
≈ 176.4 MW ≈ 176 MW

પ્રશ્ન 25.
440 V ઉત્પાદન શક્તિ ધરાવતા વિધુત પ્લાન્ટની 15 km દૂર 220 V જેટલા વોલ્ટેજ 800 kW વિધુત પાવરની જરૂરિયાતવાળું એક નાનું શહેર આવેલું છે. પાવર લઈ જતી બે તારની લાઈનનો અવરોધ 0.5 Ω/km છે. શહેરમાંના સબ-સ્ટેશને આવેલા 4000 – 220V ના સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મર દ્વારા શહેરને પાવર મળે છે.
(a) પાવર લાઈનમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતા પાવરનો અંદાજ મેળવો.
(b) લીકેજને કારણે થતો પાવર અવગણ્ય છે તેમ ધારતાં પ્લાન્ટ દ્વારા કેટલો પાવર પૂરો પડાવવો જોઈએ ?
(c) પ્લાન્ટ પાસે જરૂરી સ્ટેપઅપ ટ્રાન્સફોર્મરની લાક્ષણિકતા જણાવો. (ઑગષ્ટ 2020)
ઉત્તર:

• પ્લાનમાં વિદ્યુત પાવરના વોલ્ટેજ V₁ = 400 V
  શહેરમાં જોઈતા વિદ્યુત પાવરના વોલ્ટેજ V₂ = 200 V
  પાવર સ્ટેશન અને શહેર વચ્ચેનું અંતર d = 15km
  એકમ લંબાઈ દીઠ તારનો અવરોધ λ = 0.5\(\frac{\Omega}{\mathrm{km}}\)
  તેથી બે સમાંતર તારનો કુલ અવરોધ R = λl
  = 0.5 × 15 × 2
  = 15 Ω

• કેબલમાં મોકલેલા પાવરના વોલ્ટેજ = 4000 V
• શહેરના સબ-સ્ટેશનને મળતો પાવર = 800 kW
  = 8 × 10⁵ W
• કેબલ (તા૨)માં વહેતા પ્રવાહનું rms મૂલ્ય,

(a) કેબલમાં પાવર વ્યય
= I²R
= (200)² × 15
= 600000 = 600 kW

(b) પાવર સ્ટેશન વડે મોકલેલો પાવર = સબ સ્ટેશન પર મળતો પાવર + કેબલમાં પાવર વ્યય
= 800 kW + 600 kW
1400 kW

(c) કેબલ (તા૨)માં વોલ્ટેજ ડ્રૉપ = IR = 200 × 15 = 3000 V
તેથી પ્લાન્ટ પાસે જરૂરી સ્ટૅપ-અપ ટ્રાન્સફૉર્મરના આઉટપુટ વોલ્ટેજ = 4000 + વોલ્ટેજ ડ્રૉપ 3000
= 7000 V
તેથી, પ્લાન્ટ પાસે સ્ટંપ-અપ ટ્રાન્સફૉર્મર 400 V થી 7000 V નું છે.

પ્રશ્ન 26.
ઉપરોક્ત 7.25 સ્વાધ્યાયમાં અગાઉના ટ્રાન્સફોર્મરને બદલે 40000-220 V સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો તમામ જવાબો મેળવો. (અગાઉની જેમજ ક્ષરણ (લીકેજ) પાવર અવગણો. જો કે આવી ધારણા સારી નથી કારણ કે ટ્રાન્સમિશનમાં ઉચ્ચ વોલ્ટેજ સંકળાયેલ છે.) તે પરથી, સમજાવો કે શા માટે ઉચ્ચ વોલ્ટેજે પાવર ટ્રાન્સમિશન કરવાનું પસંદ કરવામાં આવે છે ?
ઉત્તર:
– દાખલા 7.25 મુજબ અહીં 40000 ∼ 220 V નું સ્ટેપ ટ્રાન્સફૉર્મર
– બંને તાર (કેબલ)માં વહેતા પ્રવાહનું rms મૂલ્ય,
I = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{V}}=\frac{800 \times 10^3}{40000}\) = 20 A

(a) કેબલ (તા૨)માં પાવર વ્યય,
I²R = (20)² × 15 = 6000 W
= 6 W

(b) પાવર સ્ટેશનમાંથી મોકલેલ પાવર,
800 + 6
= 806 kW

(c) બંને તાર (કેબલ)માં વોલ્ટેજ ડ્રૉપ,
IR = 20 × 15 = 300 V
તેથી પ્લાન્ટ પાસે જરૂરી સ્ટેપ-અપ ટ્રાન્સફૉર્મરના આઉટપુટ વોલ્ટેજ =40000 + 300 = 40300 V
તેથી પ્લાન્ટ પાસે સ્ટેપ-અપ ટ્રાન્સફૉર્મર 440V થી 40300 V નું છે.

• 7.25 ના દાખલામાં પાવર વ્યય, (કુલ પાવર વ્યય 1400 kW)
  = \(\frac{600}{1400}\) × 100 = 42.85%
  ≈ 43%
• 7.26 ના દાખલામાં પાવર વ્યય,
  \(\frac{6}{806}\) × 100% = 0.7444 % ≈ 0.74 %
• આમ, ઊંચા વોલ્ટેજે પાવર ટ્રાન્સમિશન કરવાથી પાવર વ્યય ઘણો જ ઝડપથી ઘટે છે. ઊંચા વોલ્ટેજે તા૨માં પ્રવાહ
  ઘટે છે તેથી, પાવર વ્યય P ∝I² અનુસાર ઘટે છે. તેથી વિદ્યુતઊર્જાની બચત કરી શકાય છે.

GSEB Class 12 Physics પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહ NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
50 Hz ac પરિપથમાં rms પ્રવાહ 5 A છે, તો પ્રવાહનું મૂલ્ય શૂન્ય થયા બાદ \(\frac{1}{300}\) સેકન્ડ પછી પ્રવાહનું મૂલ્ય કેટલું હશે ?
(A) 5√2 A
(B) 5\(\sqrt{\frac{3}{2}}\)A
(C) \(\frac{5}{6}\)A
(D) \(\frac{5}{\sqrt{2}}\)A
જવાબ
(B) 5\(\sqrt{\frac{3}{2}}\)A
I_rms \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\) જ્યાં I_m = મહત્તમ પ્રવાહ છે.
I_m = √2 × I_rms = √2 × 5 A
હવે, t = \(\frac{1}{300}\)s
I = I_msinωt
= 5√2 sin 2πvt
= 5√2 sin 2π × 50 × \(\frac{1}{300}\)
= 5√2 sin\(\frac{\pi}{3}\)
= 5√2 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
= 5\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)A

પ્રશ્ન 2.
આંતરિક અવરોધ R_g અને આંતરિક રિએક્ટન્સ X_g ધરાવતું એક AC જનરેટર છે. આ જનરેટરનો ઉપયોગ નિષ્ક્રિય અવરોધ R_g અને રિએક્ટન્સ X_L ને પાવર સપ્લાય આપવા માટે થાય છે. જનરેટર વડે લોડ અવરોધને મહત્તમ પાવર સપ્લાય કરવા માટે X_L નું મૂલ્ય ……………… જેટલું રાખવું જોઈએ.
(A) શૂન્ય
(B) X_g
(C) – X_g
(D) R_g
જવાબ
(C) – X_g
જનરેટરમાંથી નિષ્ક્રિય લૉડને મહત્તમ પાવર આપવા માટે કુલ આંતરિક રિઍક્ટન્સ, કુલ બાહ્ય રિઍક્ટન્સ જેટલો હોવો જ જોઈએ.
∴ X_int = X_ext
∴ X_g = (X_L) = – X_L
∴ X_L = – X_g
બાહ્ય પરિપથનો રિઍક્ટન્સ.

પ્રશ્ન 3.
જ્યારે એક વોલ્ટેજમાપક રચના AC સ્રોત સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે તે મીટર 220 V સ્થિર ઇનપુટ વોલ્ટેજ દર્શાવે છે. તેનો અર્થ થાયકે,
(A) ઇનપુટ વોલ્ટેજ AC વોલ્ટેજ નથી, પરંતુ તે DC વોલ્ટેજ છે.
(B) મહત્તમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ 220V છે.
(C) મીટર V નહીં, પરંતુ <V²> નું અવલોકન આપે છે અને તેને \(\sqrt{\left\langle\mathrm{V}^2\right\rangle}\) ના અવલોકન માટે અંકિત કરેલ છે.
(D) કોઈ યાંત્રિક ખામીને લીધે તેનો દર્શક અટકી ગયો હશે.
જવાબ
(C) મીટર V નહીં, પરંતુ <V²> નું અવલોકન આપે છે અને તેને \(\sqrt{\left\langle\mathrm{V}^2\right\rangle}\) ના અવલોકન માટે અંકિત કરેલ છે.
AC વોલ્ટમિટર વોલ્ટેજનું rms મૂલ્ય નોંધે છે.
∴ V_rms = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\)
પરિપથમાં AC સપ્લાય સાથે જોડેલું વોલ્ટમીટર <V²> (rms મૂલ્ય) નોંધે છે. અને તે એવી રીતે અંકિત કરેલું હોય છે કે, જેથી વોલ્ટેજનું rms મૂલ્ય આપે જે મહત્તમ વોલ્ટેજ V_m ને √2 પદ વડે ભાગવાથી પણ મળે છે.

પ્રશ્ન 4.
એક જનરેટર સાથે શ્રેણીમાં જોડેલ LCR પરિપથની અનુનાદીય આવૃત્તિ ઘટાડવા માટે,
(A) જનરેટરની આવૃત્તિ ઘટાડવી જોઈએ.
(B) પ્રથમ કૅપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં બીજું કૅપેસિટર જોડવું જોઈએ.
(C) ઇન્ડક્ટરમાં રહેલા લોખંડના ગર્ભને દૂર કરવો જોઈએ.
(D) કૅપેસિટરમાં રહેલા ડાયઇલેક્ટ્રિકને દૂર કરવું જોઈએ.
જવાબ
(B) પ્રથમ કૅપેસિટર સાથે સમાંતર જોડાણમાં બીજું કૅપેસિટર જોડવું જોઈએ.
L-C-R શ્રેણી પરિપથમાં અનુનાદ આવૃત્તિ,
v_r = \(\frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}\)
હવે, આવૃત્તિ v_r ઘટાડવા માટે L અથવા C વધારવું જોઈએ અને કૅપેસિટન્સ વધારવા માટે બીજા કૅપેસિટરને પ્રથમ કૅપેસિટર સાથે સમાંત૨માં જોડવું જોઈએ પણ ઇન્ડક્ટરમાં રહેલા લોખંડના ગર્ભને દૂર કરતાં L ઘટે છે તેથી તે વિકલ્પ ખોટો છે.

પ્રશ્ન 5.
કોમ્યુનિકેશન માટે ઉપયોગમાં લેવાતા LCR પરિપથમાં વધુ સારા ટ્યૂનિંગ માટે નીચેના પૈકી કયા સંયોજનને પસંદ કરવું જોઈએ ? (AIPMT JULY-2016)
(A) R = 20 Ω, L = 1.5 H, C = 35 μF
(B) R = 25 Ω, L =2.5 H, C = 45 μF
(C) R = 15 Ω, L = 3.5 H, C = 30 μF
(D) R = 25 Ω, L = 1.5 H, C = 45 μF
જવાબ
(C) R = 15 Ω, L = 3.5 H, C = 30 μF

• L-C-R પરિપથ માટે Q ફૅક્ટર, Q = \(\) વડે અપાય છે.
  જ્યાં R = અવરોધ, L = ઇન્ડક્ટન્સ, C = કૅપેસિટન્સ છે.
• કૉમ્યુનિકેશન માટે LCR પરિપથમાં સારા ટ્યુનિંગ માટે Q મોટો હોવો જોઈએ. આ માટે R નાનો, L મોટો અને C નાનો હોવો જોઈએ.
• આપેલ સંયોજન પૈકી તે (B) વિકલ્પમાં મળે છે.

પ્રશ્ન 6.
6V(rms) ac સ્રોત સાથે 1 Ω રિએક્ટન્સ ધરાવતું ઇન્ડક્ટર અને 2 Ω અવરોધ-શ્રેણીમાં જોડેલ છે, તો પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર ……………………….
(A) 8 W
(B) 12 W
(C) 14.4 W
(D) 18 W
જવાબ
(C) 14.4W
A.C. ઉદ્ગમ સાથે જોડેલાં પરિપથમાં વ્યય પામતો સરેરાશ પાવર,

પ્રશ્ન 7.
12 watt ના વિધુતગોળા સાથે જોડેલ સ્ટેપ ડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરનો આઉટપુટ વોલ્ટેજ 24V મળે છે, તો મહત્તમ પ્રવાહનું મૂલ્ય ……………..
(A) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)A
(B) √2 A
(C) 2 A
(D) 2√2 A
જવાબ
(A) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)A
ગૌણ વોલ્ટેજ V_S = 24V
ગૌણ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલા પાવર P_S = 12 W
હવે P_S = I_SV_S
∴ I_S = \(\frac{\mathrm{P}_{\mathrm{S}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{S}}}=\frac{12}{24}\) = 0.5 A
∴ ગૌણ ગૂંચળામાં મહત્તમ પ્રવાહનું મૂલ્ય,
I_m = I_S × √2 [∵ અહીં (I_rms)_S = I_S લીધા છે.)
∴ I_m × √2
∴ I_m = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) A

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
જ્યારે ac પરિપથની આવૃત્તિમાં વધારો થાય ત્યારે પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ પ્રથમ વધે છે અને પછી ઘટે છે, તો આ પરિપથમાં કયા ઘટકોના જોડાણની સંભાવના સૌથી વધુ હોઈ શકે?
(A) ઇન્ડક્ટર અને કૅપેસિટર
(B) અવરોધક અને ઇન્ડક્ટર
(C) અવરોધક અને કૅપેસિટર
(D) અવરોધક, ઇન્ડક્ટર અને કૅપેસિટર
જવાબ (A, D)

• ઇન્ડક્ટરનું રિઍક્ટન્સ X_L = 2πvL ∴ X_L ∝ v
  જ્યાં v એ AC પરિપથની આવૃત્તિ
  અને કૅપેસિટરનું રિઍક્ટન્સ X_C = \(\frac{1}{2 \pi v C}\) ∴ X_C ∝ \(\)
• પરિપથની આવૃત્તિ v વધારવા માટે X_L વધારવું અને X_C ઘટાડવું જોઈએ.
• L-C-R પરિપથ માટે,
  Z = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{L}}-\mathrm{X}_{\mathrm{C}}\right)^2}\) જ્યાં Z = પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ
  = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(2 \pi v \mathrm{~L}-\frac{1}{2 \pi v \mathrm{C}}\right)^2}\)
• જેમ આવૃત્તિ (v) વધે તેમ ચોક્કસ આવૃત્તિ (અનુનાદીય આવૃત્તિ v_r) ના મૂલ્ય સુધી Z ઘટે અને Z_min R થાય ત્યાં સુધી ઇમ્પિડન્સ Z ઘટે પણ પ્રવાહ એ ઇમ્પિડન્સના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે છે તેથી પ્રવાહ મહત્તમ મળે જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું
  અને Z_min છે. તેથી, વિકલ્પ (A) અને (D) સાચા છે.
  

પ્રશ્ન 2.
ac પરિપથમાં પરિપથ ઘટકો શ્રેણી-જોડાણમાં જોડેલ છે. સપ્લાય સ્રોતની આવૃત્તિ વધારતાં પ્રવાહમાં વધારો થાય છે, તો નીચે પૈકી કયા ઘટકો પરિપથમાં જોડેલ હોવાની સંભાવના છે ?
(A) માત્ર અવરોધ
(B) અવરોધ અને ઇન્ડક્ટર
(C) અવરોધ અને કૅપેસિટર
(D) માત્ર કૅપેસિટર
જવાબ
(C, D)

• સપ્લાયની આવૃત્તિ વધારતાં પ્રવાહમાં વધારો થાય છે તેથી આવૃત્તિ વધારતાં પરિપથનો રિઍક્ટન્સ ઘટવો જોઈએ.
• કૅપેસિટિવ પરિપથ માટે કૅપેસિટરનો રિઍક્ટન્સ,
  X_C = \(\frac{1}{2 \pi v C}\)
  તેથી આવૃત્તિ વધતાં X_C ઘટશે અને પ્રવાહ વધશે. અને R – C પરિપથ માટે,
  Z = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\frac{1}{\omega \mathrm{C}}\right)^2}=\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\frac{1}{2 \pi v \mathrm{C}}\right)^2}\)
  આવૃત્તિ વધે તો Z ઘટશે.
  કારણ કે, માત્ર અવરોધકવાળા પરિપથમાં આવૃત્તિ બદલાતાં અવરોધમાં ફેરફાર ન થાય તેથી પ્રવાહમાં પણ કોઈ ફેરફાર ન થાય. ઉપરાંત ઇન્ડક્ટરવાળા પરિપથમાં આવૃત્તિ વધારતાં તેનો રિઍક્ટન્સ વધે તેથી પ્રવાહ ઘટે છે પણ વધતો નથી. આથી, સાચા વિકલ્પો (C) અને (D) છે.

પ્રશ્ન 3.
ઉચ્ચ ac વોલ્ટેજે વિધુતપાવરને લાંબા અંતર સુધી મોકલવામાં આવે છે, તો નીચે પૈકી કયા વિધાનો સાચું/સાચા હશે ?
(A) આપેલ પાવર સ્તરને અનુરૂપ પ્રવાહ ઓછો હશે.
(B) પ્રવાહ ઓછો હોવાનો અર્થ તે છે કે પાવર વ્યય ઓછો હશે
(C) પરિવહન લાઈન પાતળા તારની બનેલી હશે.
(D) સ્ટેપડાઉન ટ્રાન્સફૉર્મરનો ઉપયોગ કરી પાવર પ્રાપ્ત થતો હોય તે છેડે વોલ્ટેજ ઘટાડવાનું સરળ બને છે.
જવાબ
(A, B, C, D)

• આપેલા પાવર માટે તા૨માંથી વહેતો પ્રવાહ ઓછો હોય, તો ઊંચા A.C. વોલ્ટેજે ખૂબ મોટા અંતર સુધી ઊર્જા (પાવર)ને મોકલી શકીએ છીએ.
• પાવર P = V_rmsI_rms
  P આપેલ છે તેથી V_rms I_rms અચળ ગણાય.
  તેથી V_rms ઊંચો હોય તો I_rms નીચો હોય. તેથી પાવર વ્યય =
  I²_rms R અનુસાર પાવર વ્યય ઓછો.
  જો પરિવહન માટે પાતળો તાર લઈએ તો તેનો અવરોધ R વધે તેથી ઊંચા વોલ્ટેજને આપેલ સ્થાને સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફૉર્મરના ઉપયોગથી વોલ્ટેજ ઘટાડી શકાય.
  આમ, વિકલ્પ (A), (B), (C) અને (D) સાચાં છે.

પ્રશ્ન 4.
LCR પરિપથમાં વાહક સ્રોતથી વહન ઑસ્ટિલેટરમાં સ્થાનાંતરિત થતો પાવર P = I²PZcos Φ છે, તો …………………
(A) અહીં પાવર ફૅક્ટર cos Φ ≥ 0, P ≥ 0
(B) કેટલાક કિસ્સામાં વાહકબળ ઑસ્ટિલેટરને ઊર્જા આપતું નથી. (P = 0)
(C) વાહકબળ ઑસ્ટિલેટરમાંથી ઊર્જા બહાર કાઢી શકતું નથી. (P < 0)
(D) વાહકબળ ઑસ્ટિલેટરમાંથી ઊર્જા બહાર કાઢી શકે છે.
જવાબ (A, B, C)

• વાહક સ્રોતથી વહન ઑસ્ટિલેટરમાં સ્થાનાંતરિત થતો પાવર P = I²Zcos Φ છે તેથી પાવર ફૅક્ટર cosΦ ≥ 0
  કારણ કે cos Φ = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{Z}}\) માં R > 0 અને Z > 0 તથા પાવર P ≥ 0
• વૉટલેસ ઘટક માટે વાહક બળ ઑસ્ટિલેટરમાંથી કોઈ ઊર્જા આપતું નથી. (P = 0 જ્યારે Φ = 90) કે વાહક બળ ઑસ્ટિલેટરમાંથી બહાર કાઢી શકતું નથી તેથી સાચાં વિકલ્પો (A, B, C) છે.

પ્રશ્ન 5.
જ્યારે કેપેસિટરને 220 V AC વોલ્ટેજ લાગુ પાડવામાં આવે છે ત્યારે
(A) બે પ્લેટ વચ્ચે મહત્તમ વોલ્ટેજ 220V હોય છે.
(B) પ્રવાહ તથા લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.
(C) પ્લેટો પરનો વીજભાર અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.
(D) કૅપેસિટરને મળતો પાવર શૂન્ય હોય છે.
જવાબ
(C, D)

• જ્યારે કૅપેસિટરને AC વોલ્ટેજ આપવામાં આવે ત્યારે.
• ધન વિદ્યુતભારવાળી પ્લેટ ઊંચા સ્થિતિમાને અને ઋણ વિદ્યુતભારવાળી પ્લેટ નીચા સ્થિતિમાને હોય તેથી કહી શકાય કે વિદ્યુતભાર એ લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં છે. – પરિપથને લાગુ પાડેલ સરેરાશ પાવર,
  < P > = V_rms I_rms cosΦ
  પણ શુદ્ધ કૅપેસિટિવ પરિપથ માટે Φ = 90°
  ∴ = V_rms I_rms cos90° = 0
  આથી વિકલ્પો (C) અને (D) સાચા છે.

પ્રશ્ન 6.
સડકથી તમારા ઘર સુધી પાવર લાવતી પાવરલાઈનના તારમાં ……………….
(A) પસાર થતો સરેરાશ પ્રવાહ શૂન્ય હોય છે.
(B) સરેરાશ વોલ્ટેજ 220V હોય છે.
(C) વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચે કળા-તફાવત 90° હોય છે.
(D) વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા-તફાવત ૭ એવો હોય છે π હોય.
કે જ્યાં, [Φ] < \(\frac{\pi}{2}\)
જવાબ (A, D)

• ઘરોમાં AC પ્રવાહનો સપ્લાય હોય છે અને AC પ્રવાહનું એક ચક્ર ૫૨નું સરેરાશ મૂલ્ય શૂન્ય હોય છે.
• તાર (કેબલ)ને થોડો અવરોધ હોય છે. તેથી વોલ્ટેજ અને પ્રવાહની કળામાં થોડો ફેરફાર હોય છે. તેથી પાવર ફૅક્ટર,
  cosΦ = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{Z}}\) ≠ 0
  તેથી |Φ| ≠ \(\frac{\pi}{2}\)
  ∴ |Φ| < \(\frac{\pi}{2}\)
  એટલે કે, કળા તફાવત 0 અને \(\frac{\pi}{2}\) ની વચ્ચે હોય.
  આમ, વિકલ્પ (A) અને (D) સાચા છે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
જો કોઈ LC પરિપથને આવર્તદોલનો કરતાં સ્પ્રિંગ-બ્લૉક તંત્રને સમતુલ્ય સ્વીકારવામાં આવે, તો આ LC પરિપથની કઈ ઊર્જા તેની સ્થિતિઊર્જા અને કઈ ઊર્જા તેની ગતિઊર્જાને સમતુલ્ય ગણી શકાય ?
ઉત્તર:

• જો આપણે L – C દોલનોને સ્પ્રિંગ-બ્લૉકના તંત્રના આવર્ત દોલનો તરીકે વિચારીએ, તો કૅપેસિટરમાં સંગ્રહ પામતી સ્થિતિ વિદ્યુતઊર્જા \(\frac {1}{2}\)CV² ને સ્પ્રિંગ બ્લૉક તંત્રની સ્થિતિઊર્જા જેવી ગણી શકાય.
• અને ગતિ કરતાં (પ્રવાહ) વિદ્યુતભાર સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા એટલે ચુંબકીય ઊર્જા (\(\frac {1}{2}\)LI²) એસ્પ્રિંગ બ્લૉક તંત્રની ગતિઊર્જા જેવી છે.

પ્રશ્ન 2.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ પરિપથનો અસરકારક સમતુલ્ય પરિપથ અતિઉચ્ચ આવૃત્તિ માટે દોરો અને તેનો અસરકારક ઇમ્પિડન્સ શોધો.

ઉત્તર:

• ઇન્ડક્ટિવ રિઍક્ટન્સ X_L = 2πvL અને
  કૅપેસિટિવ રિઍક્ટન્સ X_C = \(\frac{1}{2 \pi v C}\)
  ઊંચી આવૃત્તિએ (v → ∞)
  X_L → ∞ અને X_C → 0
• જ્યારે પરિપથનો રિઍક્ટન્સ અનંત હોય તો તે પરિપથને ઑપન સર્કિટ તરીકે ગણાય છે.
• જો પરિપથનો રિઍક્ટન્સ શૂન્ય હોય, તો તે પરિપથ શૉર્ટ સર્કિટ ગણાય.
  તેથી, C₁, C₂ → શૉર્ટ કરેલા છે અને L₁, L₂, → ઑપન છે.

• તેથી અસરકારક ઇમ્પિડન્સ Z_eq = R₁ + R₂

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિમાં દર્શાવલ પરિપથ (a) અને (b) નો અભ્યાસ કરી નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપો :

(a) બંને પરિપથમાં rms પ્રવાહનું મૂલ્ય કઈ શરત હેઠળ સમાન હશે ?
(b) પરિપથ (b) માં rms પ્રવાહ પરિપથ (a) કરતાં વધુ હોઈ શકે ?
ઉત્તર:
ધારો કે, પરિપથ (a) માં rms પ્રવાહ = I_aઅને
પરિપથ (b) માં rms પ્રવાહ = I_b

જો X_L = X_C થાય તો બંને સમાન થાય અને તેથી સ્થિતિ અનુનાદની હોય.
∴ જો X_L = X_C થાય તો બંને પરિપથમાં I_rms પ્રવાહ સમાન મળે.

(b) Z ≥ R હોવાથી,

ના, પરિપથ (b) માં rms પ્રવાહ, પરિપથ (a) માં ના rms પ્રવાહ કરતાં મોટો ન હોઈ શકે.

પ્રશ્ન 4.
AC સ્રોતનો તાત્ક્ષણિક પાવર આઉટપુટ ઋણ હોઈ શકે ? સરેરાશ આઉટપુટ પાવર ઋણ હોઈ શકે ?
ઉત્તર:
ધારો કે, લાગુ પાડેલ emf,
E = E_msinωt અને રચાતો પ્રવાહ,
I = I_msin(ωt ± Φ) (અહીં V ના બદલે E લીધાં છે.)
AC ઉદ્ગમમાં મળતો તત્કાલીન આઉટપુટ પાવર,
P = EI
= E_msinωt × I_m sin(ωt + Φ)
= \(\frac{E_m I_m}{2}\) [2sinωt sin(ωt + Φ]
\(\frac{E_m I_m}{2}\) [cosΦ – cos(2ωt + Φ] ……………. (1)
[∵ 2sinA sinB = cos(A – B) – cos(A + B)]

(i) હા, સમીકરણ (1) પરથી જો cos Φ < cos(2ωt + Φ) તો P < 0 એટલે પાવર ઋણ
∴ AC ઉદ્ગમમાંથી મળતો તત્કાલીન પાવર (ઇનપુટ પાવર) ઋણ હોઈ શકે.
∴ ના, સરેરાશ આઉટપુટ પાવર
= \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}} \frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\) cosΦ
=V_rms I_rmscosΦ ……… (2)
જ્યાં Φ એ કળા તફાવત છે. આથી એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સરેરાશ પાવર ઋણ ન મળે પણ ધન કાં તો શૂન્ય મળી શકે.

(ii) અને સમીકરણ (2) પરથી <P> > 0
કારણ કે, cosΦ = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{Z}}\) > 0

પ્રશ્ન 5.
આકૃતિમાં LCR શ્રેણી-પરિપથ માટે I_max વિરુદ્ધ 0 નો આલેખ દર્શાવેલ છે. તે પરથી બેન્ડવિડ્થ શોધો અને તેને આલેખમાં દર્શાવો.

ઉત્તર:

• ધારો કે, પરિપથમાં વહેતા પ્રવાહનું મૂલ્ય, મહત્તમ પ્રવાહના મૂલ્યના \(\) ગણું થાય ત્યારે મળતી બે કોણીય આવૃત્તિઓ ω₁ અને ω₂ છે.
  ∴ I_rms = \(\frac{\left(\mathrm{I}_{\mathrm{rms}}\right)_{\max }}{\sqrt{2}}\) = 0.7 A
• અનુનાદ આવૃત્તિએ પ્રવાહનું મૂલ્ય મહત્તમ હોય છે. તેથી, નીચે આલેખમાં @1 અને 02 દર્શાવ્યા પ્રમાણે મળે છે.

• આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે, કે ω₁ અને ω₂ ને અનુરૂપ કોણીય આવૃત્તિઓ 0.8 રેડિયન/સેકન્ડ અને 1.2 રેડિયન/સેકન્ડ છે.
  તેથી બૅન્ડવિડ્થ ΔO = ω₁ – ω₂
  = 1.2 0.8
  = 0.4 rad/s

પ્રશ્ન 6.
આકૃતિમાં દર્શાવલ આલેખ એક પરિપથનો ઊલટસૂલટ (ac) પ્રવાહ દર્શાવે છે. આ આલેખમાં rms પ્રવાહ દર્શાવો.

ઉત્તર:

• આલેખ પરથી t = 0 થી t = \(\frac{\mathrm{T}}{2}\) સમય દરમિયાન મહત્તમ પ્રવાહ I₁ = 1 A અને t = \(\frac{\mathrm{T}}{2}\) થી t = t સમય દરમિયાન I₂ = – 2 A મળે છે.
  ∴ સરેરાશ મહત્તમ પ્રવાહ I_m = \(\sqrt{(1)^2+(-2)^2}\)
  ∴ I_m = √5 A
• હવે, I_rms = \(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{\sqrt{2}}\)
  = \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\sqrt{2.5}\) = = 1.58 A
  ∴ I_rms ≈ 1.6 A જે નીચે આલેખમાં દર્શાવ્યો છે.

પ્રશ્ન 7.
લાગુ પાડેલ આવૃત્તિ ખૂબ નાના મૂલ્યથી ધીમી-ધીમે ખૂબ ઊંચા મૂલ્ય સુધી વધારવામાં આવે ત્યારે કળા ખૂણો છું કે જે LCR શ્રેણી-પરિપથમાં સપ્લાય વોલ્ટેજ પ્રવાહથી આગળ છે, તેની નિશાની (sign)માં શું પરિવર્તન થશે ?
ઉત્તર:
L-C-R શ્રેણી પરિપથમાં વોલ્ટેજ, પ્રવાહ કરતાં કળા કોણ જેટલો આગળ હોય, તો તેને નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે.
tan Φ = \(\)
∴ v < v_r માટે tan Φ < 0 અને v > v_r માટે tan Φ તથા
v = v_r માટે tan Φ = 0
જ્યાં
v = આવૃત્તિ
v = v_r અનુનાદીય આવૃત્તિ

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
AC સ્રોત સાથે એક ઉપકરણ ‘X’ જોડેલ છે. આકૃતિમાં એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન વોલ્ટેજ, પ્રવાહ અને પાવરમાં થતા ફેરફારો
દર્શાવેલ છે.

(a) એક પૂર્ણ ચક્ર પર કયો વક્ર પાવર-વ્યય દર્શાવે છે ?
(b) એક પૂર્ણ ચક્ર પર સરેરાશ પાવર-વ્યય કેટલો છે ?
(c) ઉપકરણ ‘X’ ને ઓળખી બતાવો.
ઉત્તર:
(a) પાવર P = VI હોવાથી એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન વોલ્ટેજના મૂલ્ય અને પ્રવાહના મૂલ્યના ગુણાકાર જેટલો પાવર વ્યય છે. જે વક્ર A દર્શાવે છે.

(b) એક પૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન સંમિતવાળા આલેખમાં ઉપરનો આલેખ ધન અને નીચેનો આલેખ ઋણ છે. તેથી, સરેરાશ પાવર શૂન્ય મળે.

(c) સરેરાશ પાવર શૂન્ય છે તેથી ઉપકરણ X એ ઇન્ડક્ટર (L) અથવા કૅપેસિટર (C) અથવા L અને C નું સંયોજન હશે.

પ્રશ્ન 2.
AC પ્રવાહ અને DC પ્રવાહ બંને એમ્પિયરમાં માપવામાં આવે છે, પરંતુ AC પ્રવાહ માટે એમ્પિયરને કઈ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે ?
ઉત્તર:
DC પ્રવાહ માટે 1 ઍમ્પિયર =

• ઉદ્ગમની આવૃત્તિ સાથે AC પ્રવાહની દિશા દર અડધા ચક્ર બાદ ઉલટાઈ છે અને આકર્ષીબળોનું સરેરાશ શૂન્ય હોઈ શકે છે. તેથી, AC પ્રવાહના ઍમ્પિયર એકમની વ્યાખ્યા કોઈક પ્રવાહની દિશાના સ્વતંત્ર ગુણધર્મ પરથી આપવી જોઈએ.
• આવો ગુણધર્મ જૂલ ઉષ્મા અસર છે તેથી તે AC પ્રવાહના rms મૂલ્યની વ્યાખ્યા આપવા ઉપયોગી છે.
• જૂલ ઉષ્મા અસર પરથી ઍમ્પિયરની વ્યાખ્યા : AC પ્રવાહમાં એક ઍમ્પિયર પ્રવાહ એટલે 1 Ω અવરોધમાં DC પ્રવાહ એક સેકન્ડમાં જેટલી ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરે તેટલી ઉષ્મા ઉત્પન્ન થાય તો, તે રાશિને એક ઍમ્પિયર AC પ્રવાહ કહે છે. [H = I^2Rt]

પ્રશ્ન 3.
200 વોલ્ટ, 50 Hz ac સ્રોત સાથે 1 Ω અવરોધ અને 0.01 H ઇન્ડક્ટન્સવાળું ગૂંચળું જોડવામાં આવેલ છે. પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ તથા મહત્તમ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો સમય-તફાવત શોધો.
ઉત્તર:

• અહીં L = 0.01 H, R = 1 Ω, V = 200 V
  આવૃત્તિ v = 50 Hz
• પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ,
  Z = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\mathrm{X}_{\mathrm{L}}^2}=\sqrt{\mathrm{R}^2+(2 \pi v \mathrm{~L})^2}\)
  ∴ Z = \(\sqrt{(1)^2+(2 \times 3.14 \times 50 \times 0.01)^2}\)
  = \(\sqrt{1+9.8596}=\sqrt{10.8596}\)
  ∴ Z = 3.295 Ω
  ∴ Z ≈ 3.32
• tanΦ = \(\frac{\omega \mathrm{L}}{\mathrm{R}}=\frac{2 \pi \nu \mathrm{L}}{\mathrm{R}}\)
  ∴ tanΦ = \(\frac{2 \times 3.14 \times 50 \times 0.01}{1}\)
  ∴ tanΦ = 3.14
  ∴ Φ = tan-1 (3.14)
  ∴ Φ = 72°
  = \(\frac{72 \times \pi}{180}\) rad
  સમયનો તફાવત,
  Φ = ωΔt પરથી,
  ∴ Δt = \(\frac{\phi}{\omega}=\frac{72 \pi}{180 \times 2 \pi v \mathrm{~L}}=\frac{72}{360 \times 50 \times 0.01}\)
  ∴ Δt = \(\frac{1}{250}\)s = 4ms

પ્રશ્ન 4.
એક ટ્રાન્સફોર્મરનું પ્રાથમિક ગૂંચળું લાઇન વોલ્ટેજ સાથે જોડાયેલ છે. તેના ગૌણ ગૂંચળા સાથે 60 W લૉડ અવરોધ જોડેલ છે. જો લૉડમાંથી 0.54 A પ્રવાહ પસાર થતો હોય, તો પ્રાથમિક ગૂંચળામાંથી કેટલો પ્રવાહ વહેતો હશે ? આ ટ્રાન્સફોર્મરના પ્રકાર પર ટિપ્પણી કરો.
ઉત્તર:
P_S = 60 W, I_S = 0.54 A
I_P = ?, લાઇન વોલ્ટેજ V_P = 220 V
P_S = V_SI_S
∴ V_S = \(\frac{\mathrm{P}_{\mathrm{S}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{S}}}=\frac{60}{0.54}\) 111.1V
∴ V_S 110V
∴ V_S < V_P તેથી સ્ટેપ-ડાઉન ટ્રાન્સફૉર્મરનો ઉપયોગ કરેલો છે.
ટ્રાન્સફૉર્મર ગુણાંક,
r = \(\frac{V_S}{V_P}=\frac{I_P}{I_S}\)
∴ I_P = I_S × \(\frac{V_S}{V_P}\)
= 0.54 × \(\frac{110}{220}\)
∴ I_P ≈ 0.27 A

પ્રશ્ન 5.
“AC પ્રવાહને કેપેસિટર દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો રિએક્ટન્સ આવૃત્તિ વધતાં ઘટે છે.” સમજાવો.
ઉત્તર:

• કૅપેસિટરમાં ખાલી જગ્યા હોવાથી તેનો અવરોધ અનંત છે તેથી કૅપેસિટર DC પ્રવાહને પસાર થવા દેતું નથી. જ્યારે કૅપેસિટર સાથે AC પ્રવાહ આપવામાં આવે ત્યારે કૅપેસિટરની પ્લેટો વિદ્યુતભારિત થાય અને ડિસ્ચાર્જ થાય. AC પ્રવાહ પસાર કરતાં કૅપેસિટન્સ આ વોલ્ટેજ (અથવા વિદ્યુતભાર)ના ફેરફારના લીધે તેમાંથી પ્રવાહ પસાર થાય છે.
• જો વોલ્ટેજ વધારે (મોટા) દરથી બદલાતો હોય તો કૅપેસિટરમાંથી વધારે પ્રવાહ પસાર થઈ શકે એટલે કે જો સપ્લાયની આવૃત્તિ વધારે હોય. આ દર્શાવે છે કે, આવૃત્તિ વધવા સાથે કૅપેસિટર ઓછો રિઍક્ટન્સ ધરાવે છે.
• ગાણિતિક રીતે રિઍક્ટન્સ X_C = \(\frac{1}{2 \pi v C}\)

પ્રશ્ન 6.
A.C. વોલ્ટેજની આવૃત્તિ વધારવામાં આવે ત્યારે ઇન્ડક્ટરનો રિએક્ટન્સ શા માટે વધે છે, તે સમજાવો.
ઉત્તર:

• લેન્ડ્ઝના નિયમ અનુસાર, ઇન્ડક્ટરમાં Back emf ઉત્પન્ન થવાથી તેમાંથી પસાર થતાં પ્રવાહનો વિરોધ કરે છે. પ્રેરિત વોલ્ટેજની ધ્રુવીયતા એવી હોય છે કે જેથી હાજર પ્રવાહનું મૂલ્ય જળવાઈ રહે છે.
• જો પ્રવાહ ઘટતો હોય તો પ્રેરિત emf ની ધ્રુવીયતા એવી હોય કે જેથી પ્રવાહ વધે અને જો પ્રવાહ વધતો હોય તો પ્રેરિત emf ની ધ્રુવત્વ એવી હોય કે જેથી પ્રવાહ ઘટે.
• જો કે પ્રેરિત emf એ પ્રવાહના ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જો પ્રવાહના ફેરફારનો દર ઝડપી હોય (આવૃત્તિ) તો પ્રવાહને વહેવા માટે મોટો રિઍક્ટન્સ પૂરો પાડે. એટલે કે, મોટી હોય તેથી ઇન્ડક્ટરનો રિઍક્ટન્સ આવૃત્તિના સમપ્રમાણમાં છે.
• ગાણિતિક રીતે ઇન્ડક્ટરનો રિઍક્ટન્સ X_L = 2πvL સૂત્રથી આપવામાં આવે છે.

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
એક ઇલેક્ટ્રિક સંરચના, AC મેઇન્સ [223V (rms) \(\sqrt{50,000}\) V )માંથી 2kW પાવર મેળવે છે. વોલ્ટેજ કરતાં પ્રવાહ કળામાં Φ[tanΦ = \(\frac{-3}{4}\)] જેટલો પાછળ છે, તો
(i) R (ii) X_C – X_L અને (iii) I_M શોધો. અન્ય એક સંરચના માટે R, X_C અને X_L નાં મૂલ્યો બમણાં હોય, તો ઉપર્યુક્ત જવાબોમાં શું ફેરફાર થશે ?
ઉત્તર:
(i) આપેલું છે કે, p = 2 kW = 2000 W
tanΦ = –\(\frac{3}{4}\), V_rms = V = 223 V
I_M = મહત્તમ પ્રવાહ I_m = ?, R = ?, X_C – X_L = ?


હવે જો R, X_L, X_C ના મૂલ્યો બમણા કરવામાં આવે, તો tanΦ = \(\frac{\mathrm{X}_{\mathrm{L}}-\mathrm{X}_{\mathrm{C}}}{\mathrm{R}}\) પરથી tanΦ બદલાય નહીં.
Z = \(\sqrt{\mathrm{R}^2+\left(\mathrm{X}_{\mathrm{L}}-\mathrm{X}_{\mathrm{C}}\right)^2}\) માં, X_L, X_C બમણા થાય તો Z બમણું થાય અને I = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Z}}\) માં Z બમણો
થતાં I અડધો થાય તથા પાવર P = VI માં V અચળ પણ I બમણો થતાં પાવર અડધો થાય.

પ્રશ્ન 2.
પાવર સ્ટેશનથી 10km દૂર આવેલા એક શહેરમાં 1 MW પાવર સ્થાનાંતરિત કરવો છે. આ માટે કોઈ વ્યક્તિ 0.5 cm ત્રિજ્યાવાળા તાંબાના તારની જોડનો ઉપયોગ કરે છે. ઓમિક વ્યય અને સ્થાનાંતરિત પાવરનો ગુણોત્તર શોધો. જો………
(i) પાવર 220 V પર સ્થાનાંતરિત થતો હોય. આ શક્યતા માટે તમારા મંતવ્ય જણાવો.
(ii) પાવર સ્થાનાંતરિત કરવા માટે સ્ટેપઅપ ટ્રાન્સફોર્મરનો ઉપયોગ કરી વોલ્ટેજ 11,000V જેટલો વધારવામાં આવે છે. ત્યારબાદ સ્ટેપડાઉન ટ્રાન્સફોર્મરની મદદથી વોલ્ટેજ 220V કરવામાં આવે છે.
(ρcu = 1.7 × 10^-8SI એકમ)
ઉત્તર:
(i) તાંબાના તારની લંબાઈ = 2 × 10km = 20km
∴ L = 20000 m
તાંબાના તારનો અવરોધ,
R = ρ\(\frac{l}{\mathrm{~A}}\) = ρ\(\frac{l}{\pi r^2}\)
= \(\frac{1.7 \times 10^{-8} \times 20000}{3.14 \times\left(0.5 \times 10^{-2}\right)^2}\)
= \(\frac{3.4 \times 10^{-4}}{3.14 \times 0.25 \times 10^{-4}}\)
= 4.3312 Ω ≈ 4Ω
– P = VI ⇒ I = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{V}}=\frac{10^6}{220}\) 0.45 × 10⁴ A
પાવર વ્યય = I²R = (0.45 × 10⁴)² × 4
0.81 × 10⁸ W
≈ 81 MW
પાવર વ્યય એ 1 MW પાવર કરતાં વધુ છે તેથી આ રીતે પાવર મોકલી શકાય નહીં. તેથી આ રીત યોગ્ય નથી.

(ii) જ્યારે 1 MW પાવરને 11000V ના વોલ્ટેજે મોકલીએ તો, P’V’I’ = 11000 I’
પણ પ્રવાહ,
I’ = \(\frac{\mathrm{P}^{\prime}}{\mathrm{V}^{\prime}}=\frac{10^6}{11000}=\frac{1000000}{11000}=\frac{1}{11}\) × 10³ A
અને પાવર વ્યય = (I’)²R = \(\frac{1}{121}\) × 10⁶ × 4
= 0.03305 × 10⁶
= 33050 W
આ વ્યય થતાં પાવરનો અંશ = \(\frac{33050}{10^6}\) × 100 %
= 3.3 %

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિમાં દર્શાવલ LCR પરિપથ માટે કુલ પ્રવાહ i અને i માટે કળા-તફાવત શોધો. દર્શાવો કે, i = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{Z}}\) તથા આ પરિપથ માટે Z શોધો.

ઉત્તર:
ધારો કે, ઉદ્ગમમાંથી મળતો કુલ પ્રવાહ માં i છે. તેમાંથી બે ભાગમાં પ્રવાહ વહેંચાય છે. R અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ i₁ અને L – C સંયોજનમાંથી વહેતો પ્રવાહ i₂ ધારો.
તેશી i = i₁ + i₂
પણ V = V_msinωt
∴ i₁R = V_msinωt
∴ i₁ = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}} \sin \omega t}{\mathrm{R}}\) …………… (1)
જો કોઈ પણ t સમયે કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર q₂ હોય, તો

કિર્ચીફના બીજા નિયમ પરથી,
V_C + V_L – V_Msinωt = 0

સમીકરણ (3) પરથી,

સમીકરણ (1) અને (5) પરથી આપણે કહી શકીએ કે, i₁ અને i₂ વચ્ચેની કળાનો તફાવત \(\frac{\pi}{2}\) છે.

i₁ + i₂ = CcosΦsinωt + CsinΦcosωt
i = Csin(ωt + Φ) ………… (7)
[∵ sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB]
A² + B² = C²cos²Φ + C²sin²Φ
∴ A² + B² = C²
∴ C = \(\sqrt{A^2+B^2}\)

હવે i = i₁ + i₂

પ્રશ્ન 4.
ω આવૃત્તિ પર કાર્યરત LCR પરિપથને નીચેનાં સમીકરણ વડે વ્યક્ત કરી શકાય છે : L\(\frac{d i}{d t}\) + Ri + \(\frac{q}{C}\) = v_i = v_m sinωt
(i) સમીકરણને i વડે ગુણી શક્ય હોય ત્યાં સાદું રૂપ આપો.
(ii) દરેક પદનું ભૌતિક અર્થઘટન કરો.
(iii) સમીકરણને ઊર્જા-સંરક્ષણના કથન સ્વરૂપે દર્શાવો.
(iv) વોલ્ટેજ V અને પ્રવાહ i વચ્ચેનો કળા-તફાવત ચોક્કસ હોવો જોઈએ તે નક્કી કરવા માટે સમીકરણનું સંકલન કરો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર L-C-R પરિપથ વિચારો.

(i) કોંફના બંધ લૂપના નિયમ પરથી,
V_L + V_C + V_R = V_msinωt
L\(\frac{d i}{d t}+\frac{q}{\mathrm{C}}\) + iR = V_msinωt ……… (1)
બંને બાજુ i વડે ગુણતાં,
Li\(\frac{d i}{d t}+\frac{q}{\mathrm{C}}\)i + i²R = V_misinωt …………… (2)

(ii) જ્યાં Li\(\frac{d i}{d t}=\frac{d}{d t}\)(\(\frac {1}{2}\)Li²) જે ઇન્ડક્ટર L માં સંગ્રહ પામેલી ઊર્જાના ફેરફારનો દર દર્શાવે છે.
i²R = P એ જૂલ ઉષ્માનો વ્યય (લૉસ) દર્શાવે છે.
અને \(\frac{q}{C}\)i = \(\frac{d}{d t}\left(\frac{q^2}{2 \mathrm{C}}\right)\) એ dt સમયે કૅપેસિટરમાં સંગ્રહ પામેલી ઊર્જાના ફેરફારનો દર દર્શાવે છે.
અને Vi એ ચાલકબળના વહેવાથી ઊર્જાનો દર દર્શાવે છે.

(iii) સમીકરણ (1) એ ઓમિક લૉસ અને સમીકરણ (2) સંગ્રહ પામેલી ઊર્જામાં વધારો આપે છે.
– આમ, સમીકરણ (2) એ ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું વિધાન છે.

(iv) સમીકરણ (2) ની બંને બાજુનું એક પૂર્ણ ચક્ર માટેના સમય (0 – T) ની સાપેક્ષે સંકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 5.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ LCR પરિપથમાં વાહક વોલ્ટેજ V = V_msinωt છે.
(i) q(t) માટે ગતિનું સમીકરણ લખો.
(ii) t = t₀ સમયે વોલ્ટેજ સ્રોત બંધ કરી R ને શૉર્ટસર્કિટ કરવામાં આવે, તો L અને C પ્રત્યેકમાં કેટલી ઊર્જા સંગૃહીત થઈ હશે તે જણાવો.
(iii) ત્યારબાદ વીજભારની ગતિનું વર્ણન કરો.

ઉત્તર:
(i) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર L-C-R પરિપથ વિચારો.
V = V_msinωt આપેલું છે ધારો કે તત્કાલીન પ્રવાહ i છે.
કિર્ચીફના લૂપનો નિયમ લગાડતાં,
VR + V_L + V_C = V_msinωt
iR + L\(\frac{d i}{d t}+\frac{q}{\mathrm{C}}\) – V_msinωt = 0 ………….. (1)

જે સમયની સાપેક્ષે વિદ્યુતભારની ગતિનું જરૂરી સમીકરણ છે.

(ii)
t = t₀ સમયે જ્યારે R શૉર્ટ થયેલું હોય ત્યારે L અને Cમાં સંગ્રહ પામેલી ઊર્જા,

(iii) જ્યારે Rને શૉર્ટ કરવામાં આવે ત્યારે પરિપથ L-C એ ઑસ્ટિલેટર બને છે. કૅપેસિટર વિદ્યુત વિભારિત (ડિસ્ચાર્જ) થાય છે અને ઊર્જા Lને મળે છે અને ફરી પાછા કૅપેસિટરને મળે છે. તેથી અહીં, વિદ્યુતઊર્જાનું ચુંબકીય ઊર્જામાં અને ચુંબકીય ઊર્જાનું વિદ્યુતઊર્જામાં રૂપાંતર થાય છે અને અનંત સમય સુધી ચાલુ રહે છે.