GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

   

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

GSEB Class 12 Physics વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
નીચેની આકૃતિઓ (a) થી (f) દ્વારા પરિસ્થિતિઓમાં પ્રેરિત વિધુતપ્રવાહની દિશા જણાવો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 1
ઉત્તર:
(a) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર ‘q’ તરફનો છેડો દક્ષિણ (S) ધ્રુવ તરીકે વર્તે. આથી, ચુંબક તરફથી ગૂંચળાને જોતાં તેમાં વિષમઘડી દિશામાં પ્રવાહ વહે છે તેથી પ્રવાહ q – r – p – q માર્ગે વહે.

(b) pq ગૂંચળામાં q છેડો દક્ષિણ (S) ધ્રુવ તરીકે વર્તે. આથી, ગૂંચળાને ચુંબક તરફથી જોતાં તેમાં વિષમઘડી દિશામાં પ્રવાહ વહે છે. તેથી પ્રવાહ p – r – q – p માર્ગે વહે.
– xy ગૂંચળામાં x છેડો દક્ષિણ (S) ધ્રુવ તરીકે વર્તે. આથી, આ ગૂંચળાને ચુંબક તરફથી જોતાં તેમાં સમઘડી દિશામાં પ્રવાહ વહે છે. આથી પ્રવાહ x – y – z – x માર્ગે વહે છે.

(c) પ્રેરિત પ્રવાહ લેન્ઝના નિયમ અનુસાર y – z – x – yની દિશામાં વહે છે. (વિષમઘડી)

(d) પ્રેરિત પ્રવાહ લેન્ઝના નિયમ અનુસાર z – y – x – z ની દિશામાં વહે છે. (સમઘડી)

(e) પ્રેરિત પ્રવાહ લેન્ઝના નિયમ અનુસા૨ x – r – y – x દિશામાં વહે. (વિષમઘડી)

(f) અહીં ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર હોવાથી ગૂંચળા સાથે કોઈ લક્સ સંકળાતું નથી. આથી, પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થઈ શકે નહીં. તેથી પ્રવાહની દિશામાં વહેતો નથી.

પ્રશ્ન 2.
આકૃતિ દ્વારા વર્ણવેલ પરિસ્થિતિઓમાં પ્રેરિત વિધુતપ્રવાહની દિશા નક્કી કરવા માટે લેન્ડના નિયમનો ઉપયોગ કરો.
(a) એક અનિયમિત આકારનો તાર વર્તુળાકારમાં ફેરવાય છે.
(b) એક વર્તુળાકાર ગાળો એક પાતળા સીધા તારમાં વિરુપિત થાય છે.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 2
ઉત્તર:
(a) જ્યારે અનિયમિત આકારનું ગૂંચળું વર્તુળાકાર ગૂંચળામાં ફેરવાશે ત્યારે તેનું ક્ષેત્રફળ વધતા તેની સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ વધશે. આથી, પ્રેરિત પ્રવાહ લેન્ઝના નિયમ અનુસાર પૃષ્ઠમાં દાખલ થતું ફૂલક્સ ઘટે તે રીતે ઉદ્ભવે. અર્થાત્ પ્રેરિત પ્રવાહ વડે ઉદ્ભવતું લક્સ પૃષ્ઠમાંથી બહાર આવતી દિશામાં હોય. જેથી પ્રેરિત પ્રવાહ a – d – c – b – a માર્ગે વહે. (વિષમઘડી)

(b) જ્યારે વર્તુળાકાર ગૂંચળું સીધા તારમાં વિરુપિત થાય ત્યારે ગૂંચળાંનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે. અર્થાત્ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ બહાર આવતું ફૂલક્સ ઘટે છે. લેઝના નિયમ પરથી, પ્રેરિત પ્રવાહ, મૂળ ફ્લક્સની દિશામાં ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે, તેથી પ્રેરિત પ્રવાહ a’-d’-c’-b’-a’ માર્ગે વહેશે. (વિષમઘડી)

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 3.
15 આંટાઓ પ્રતિ cm વાળા એક લાંબા સોલેનોઈડમાં તેની અક્ષને સમાંતર સોલેનોઈડની અંદર 2.0 cm2 ક્ષેત્રફળ ધરાવતા એક નાનો ગોળો મૂકેલ છે. જો સોલેનોઈડમાં વહેતો વિધુતપ્રવાહ 0.1 s માં 2.0 A થી 4.0 A સ્થાયી રીતે બદલાય તો વિધુતપ્રવાહમાં ફેરફાર વખતે ગાળામાં પ્રેરિત emf કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
n = એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા
= GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 3
A = સૉલેનોઇડનાં આડ્વેદનું ક્ષેત્રફળ
= 2 cm2 = 2 × 10-4m2
I1 = 2 A, I2 = 4 A
dI = 4 – 2 = 2 A
dt = 0.1 s
∴ \(\frac{d \mathrm{I}}{d t}=\frac{2}{0.1}\) = 20\(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{S}}\)
સૉલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ લક્સ,
Φ = BA …………. (1)
જ્યાં B = સૉલેનોઇડમાંથી પ્રવાહ પસાર કરતાં ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર
B = μ0nI
∴ Φ = μ0nIA …………. (2) [∵ સમી. (1) પરથી)]
પ્રેરિત emf = ε = –\(\frac{d \phi}{d t}\)
= –\(\frac{d}{d t}\)μ0nIA સમીકરણ (2) પરથી,
ε = -μ0nA\(\frac{d \mathrm{I}}{d t}\)
ઋણ ચિહ્ન અવગણી માત્ર મૂલ્ય લેતાં,
∴ ε = 4 × 10-7 × 1500 × 2 × 10-4 × 20
= 7.54 × 10-6 V
= 7.5 × 10-6 V

પ્રશ્ન 4.
8 cm અને 2 cm બાજુઓવાળા અને એક નાનો કાપો (Cut) ધરાવતા એક લંબચોરસ તારનો ગાળો 0.3 T ની તીવ્રતાના અને ગાળાને લંબ દિશાના એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી બહારની તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે. જો ગાળાનો વેગ 1 cm s-1 (a) લાંબી બાજુને (b) ગાળાની ટૂંકી બાજુને લંબ દિશા તરફનો હોય, તો આ કાપાના છેડા વચ્ચે ઉત્પન્ન emf કેટલું હશે ? પ્રત્યેક કિસ્સામાં પ્રેરિત વોલ્ટેજ કેટલા સમય માટે રહેશે ?
ઉત્તર:
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 4
(a) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર Q થી R કટ છે અને PQ બાજુ ચુંબકીય ક્ષેત્રની બહાર છે તેથી તેમાં પ્રેરિત emf મળશે નહીં. જ્યારે PT અને RS બાજુઓ માટે \(\vec{v}\)||\(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) છે. તેથી તેમાં પણ પ્રેરિત emf મળશે નહીં. માત્ર TS બાજુ માટે \(\vec{v}\)⊥\(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) હોવાથી
પ્રેરિત emf = ε = Bvl
∴ ε = 0.3 × 10-2 × 8 × 10-2
≈ 2.4 × 10-4 V = 0.24 mV
જ્યાં સુધી નાની બાજુ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર ન નીકળી જાય ત્યાં સુધી emf ઉત્પન્ન થશે. ધારો કે આ સમય t1 છે.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 5
\(\frac{2 \times 10^{-2}}{10^{-2}}\) = 2s સુધી રહેશે.

(b) નાની બાજુ RS, ચુંબકીય ક્ષેત્રની બહાર છે તેથી તેમાં પ્રેરિત emf મળશે નહીં તથા PQ અને TS બાજુઓ ૫૨
\(\vec{v}\)||\(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) હોવાથી તેમાં પણ પ્રેરિત emf મળશે નહીં અને PT બાજુ માટે \(\vec{v}\)⊥\(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) થવાથી તેમાં
પ્રેરિત emf ε = Bvb
= 0.3 × 10-2 × 2 × 10-2
= 0.6 × 10-4 = 0.06 mV
જ્યાં સુધી મોટી બાજુ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર ન નીકળી જાય ત્યાં સુધી પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન થશે. ધારો કે આ સમય t2 છે.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 6
= \(\frac{8 \times 10^{-2}}{10^{-2}}\) = 8s સુધી રહશે.

પ્રશ્ન 5.
એક 1.0 m લાંબા ધાતુના સળિયાને, સળિયાને લંબ અને તેના કોઈ એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને 400 rad s-1 ની કોણીય આવૃત્તિ સાથે પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે. આ સળિયાનો બીજો છેડો એક વર્તુળાકાર ધાતુની રિંગ સાથે સંપર્કમાં છે. અક્ષને સમાંતરે 0.5 T નું અચળ અને એકસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર દરેક સ્થળે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આ કેન્દ્ર અને આ રિંગ વચ્ચે ઉત્પન્ન emfની ગણતરી કરો.
ઉત્તર:
l = ધાતુનાં સળિયાની લંબાઈ = 1m
ω = કોણીય આવૃત્તિ = 400 rad/s
B = ચુંબકીય ક્ષેત્ર = 0.5 T
v1 = એક છેડાની ઝડપ = 0
v1 = સળિયાનાં બીજા છેડાની ઝડપ =
ωl (∵ v = rω)
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 7
સળિયાની સરેરાશ ઝડપ = \(\frac{v_1+v_2}{2}\)
v = \(\frac{0+\omega l}{2}=\frac{\omega l}{2}\) …………… (1)
ε = Bvl સમીકરણ પરથી,
ε = \(\frac{\mathrm{B} \omega l^2}{2}\)
[∵ સમીકરણ (1) પરથી]
= \(\frac {1}{2}\) × 0.5 × 400 × (1)2 = 100 V

નોંધ : જો આપેલ સ્થિતિમાં સળિયાને તેના મધ્યકેન્દ્રમાંથી છ જેટલી કોણીય આવૃત્તિથી પરિભ્રમણ કરાવીએ તો તેના બંને છેડા પર સમાન એવું emf ε’ \(\frac {1}{2}\)Bω[latex]\frac{\mathrm{L}}{2}[/latex]2 = \(\frac {1}{2}\)BωL2
પ્રેરિત થશે.

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 6.
8.0 cm ત્રિજ્યાના અને 20 આંટાવાળા ગૂંચળાને તેના ઊર્ધ્વ વ્યાસને અનુલક્ષીને 3.0 × 10-2 T મૂલ્યના એક સમાન સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં 50 rad s-1 ની કોણીય ઝડપથી ઘુમાવવામાં આવે છે. આ ગૂંચળામાં પ્રેરિત મહત્તમ અને સરેરાશ emf મેળવો. જો આ ગૂંચળું 10 Ω અવરોધનો એક બંધ ગાળો રચે, તો ગૂંચળામાંના પ્રવાહના મહત્તમ મૂલ્યની ગણતરી કરો. જૂલ હીટિંગને કારણે સરેરાશ પાવર-વ્યય (Power Loss) ની ગણતરી કરો. આ પાવર ક્યાંથી આવે છે ?
ઉત્તર:

  • અહીં,
    n = ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા = 20
    r = ગૂંચળાની ત્રિજ્યા = 8 cm 8 × 10-2 m
    ω = ગૂંચળાની કોણીય ઝડપ = 50 rad/s
    B = ચુંબકીય ક્ષેત્ર = 3 × 10-2 T
  • ગૂંચળામાં પ્રેરિત થતો વોલ્ટેજ,
    V = NABωsinωt
    અહીં મહત્તમ વોલ્ટેજ માટે sinωt = 1
    મહત્તમ વોલ્ટેજ = Vm = NABω
    જ્યાં A = ગૂંચળાનાં આચ્છેદનું ક્ષેત્રફળ = πr2
    ∴ Vm = Nπr2
    = \(\frac{20 \times 22 \times\left(8 \times 10^{-2}\right)^2 \times 3 \times 10^{-2} \times 50}{7}\)
    = 0.603 V
  • એક આર્વતકાળ પરનાં વોલ્ટેજનાં સરેરાશ મૂલ્ય માટે,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 8
= 0
(નોંધ : sin કે cos વિધેયના એક આવર્તકાળ પરના સરેરાશ વોલ્ટેજનું મૂલ્ય શૂન્ય જ હોય છે.)

  • ગૂંચળામાં પ્રેરિત થતો મહત્તમ પ્રવાહ,
    Imax = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{R}}=\frac{0.603}{10}\) = 0.0603 A
  • જૂલ ઊષ્માને કારણે મળતો સરેરાશ પાવર,
    pavg < p > = \(\frac{\mathrm{V}_{\mathrm{m}} \mathrm{I}_{\mathrm{m}}}{2}\)
    = \(\frac{0.603 \times 0.0603}{2}\) = 0.018 W
  • પ્રેરિત પ્રવાહ ગૂંચળાના પરિભ્રમણનો વિરોધ કરતું ટૉર્ક ઉત્પન્ન કરે છે. આ ગૂંચળાને નિયમિત રીતે ફેરવવા માટે રૉટર દ્વારા આ ટૉર્કનો સામનો કરતું ટૉર્ક પૂરું પાડવું જોઈએ. આમ ગૂંચળામાં વ્યય પામતી ઊર્જાના સ્રોત તરીકે બાહ્ય રૉટર યાંત્રિક પાવરના ભોગે મળે છે.

પ્રશ્ન 7.
પૂર્વથી પશ્ચિમ સુધી વિસ્તરેલ 10m લંબાઈનો એક સમક્ષિતિજ સીધો તાર 5.0 ms-1ની ઝડપથી પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક 0.30 × 10-4 Wbm-2 ને લંબ નીચે પડી રહ્યો છે.
(a) આ તારમાં પ્રેરિત emfનું તાત્ક્ષણિક મૂલ્ય શું છે ?
(b) આ emfની દિશા શું છે ?
(c) આ તારનો કયો છેડો ઊંચા વિદ્યુતસ્થિતિમાન પર છે ?
ઉત્તર:
(a) સળિયામાં પ્રેરિત થતું emf,
ε = HEVl [∵ \(\vec{v}\) \(\overrightarrow{\mathrm{H}}_{\mathrm{E}}\)]
અહીં B = Bh લેતાં,
ε = HEvl
= 0.3 × 10-4 × 10 × 5
1.5 × 10-3 V
l = 10 m
v = 5 m/s
HE= 0.3 × 10-4T

(b) તારમાં એવી દિશામાં emf પ્રેરિત થાય કે જેથી તે તેની ગતિનો વિરોધ કરે માટે emf ની દિશા પશ્ચિમથી પૂર્વ હશે.

(c) તારમાં પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં emf પ્રેરિત થતો હોવાથી પૂર્વ તરફનો છેડો ઊંચા સ્થિતિમાન ૫૨ હશે.

પ્રશ્ન 8.
એક પરિપથમાં 0.1 s માં વિદ્યુતપ્રવાહમાં 5.0 A થી 0.0 A ઘટાડો થાય છે. 200V સરેરાશ emf પ્રેરિત થાય, તો આ પરિપથના આત્મપ્રેરકત્વનો અંદાજ આપો.
ઉત્તર:
પરિપથમાં પ્રવાહનો ફેરફાર \(\frac{d \mathrm{I}}{d t}\)
પરિપથ માટે આત્મપ્રેરિત emf,
ε = -L\(\frac{d \mathrm{I}}{d t}\)
I1 = 5A
I2 = 0A
dt = 0.1s
ε = 200 V
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 9
∴ L = 4H

પ્રશ્ન 9.
પાસ-પાસે રહેલ ગૂંચળાની જોડનું અન્યોન્યપ્રેરકત્વ 1.5 H છે. જો એક ગૂંચળામાં 0.5 s માં વિધુતપ્રવાહનો ફેરફાર 0 થી 20 A નો છે. તો અન્ય ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ (સંલગ્ન) ફ્લક્સનો ફેરફાર શું છે ?
ઉત્તર:
M21 = ગૂંચળાનાં તંત્રનું અન્યોન્ય પ્રેરણ = 1.5 H
ΔΙ1 = ગૂંચળા-1માં પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર = 20 – 0 = 20 A
dt = 0.5 s
બે ગૂંચળાનાં બનેલા તંત્ર માટે,
M21 = \(\frac{\Delta \Phi_2}{\Delta \mathrm{I}_1}\)
∴ ΔΦ2 M21 ΔI1
= 1.5 × 20
ΔΦ2 = 30 Wb

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 10.
જેટ વિમાન 1800 km/hr ની ઝડપે પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરે છે. જો આ સ્થાને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય 5 × 10-4 T અને ડીપ એંગલ 30° હોય તથા જો પાંખોના છેડાઓ વચ્ચેનો ગાળો 25 m નો હોય તો તેમની વચ્ચે ઉત્પન્ન થતો વોલ્ટેજનો તફાવત શું હશે ?
ઉત્તર:
અહીં ZE = પૃથ્વીનાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઊર્ધ્વ ઘટક
= BEsinI
= 5 × 10-4 × sin30
= 2.5 × 10-4 T
હવે v = 1800 km/h
= \(\frac{1800 \times 1000}{3600}\) = 500\(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
– પાંખોના બે છેડા વચ્ચે પ્રેરિત વોલ્ટેજ
ε = ZEvl
= 2.5 × 10-4 × 500 × 25 × \(\frac {1}{2}\)
ε= 3.125 V
ε ≈ 3.1 V

પ્રશ્ન 11.
સ્વાધ્યાય 6,4 માં લૂપ સ્થિર છે તેમ ધારો, પરંતુ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરનારો જે પ્રવાહ વિદ્યુતચુંબકને આપવામાં આવે છે તે ધીમે ધીમે ઘટાડવામાં આવે છે જેથી ક્ષેત્ર તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય 0.3 Ts-1 થી 0.02 Ts-1 ના દરે ઘટે છે. જો કાપ (Cut) સાંધી દેવામાં આવે અને લૂપનો અવરોધ 1.6 2 નો હોય, તો લૂપ દ્વારા ઉષ્મા સ્વરૂપે શક્તિ (પાવર)નો કેટલો વ્યય થાય છે ? આ શક્તિ (પાવર)નો સ્રોત શું છે ?
ઉત્તર:

  • l = 8 cm = 8 × 10-2 m
    b = 2 cm = 2 × 10-2 m
    A = lb = 16 × 10-4 m2
    \(\frac{d \mathrm{~B}}{d t}\) = – 0.02\(\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{s}}\)
  • પ્રેરિત emf,
    ε = – \(\frac{d \phi}{d t}\) = –\(\frac{d}{d t}\)(AB)
    = – A\(\frac{d \mathrm{~B}}{d t}\)
    = -16 × 10-4 × (- 0.02)
    ε = 3.2 × 10-5 V’
  • પ્રેરિત પ્રવાહ,
    I = \(\frac{\varepsilon}{R}=\frac{3.2 \times 10^{-5}}{1.6}\)
    I = 2 × 10-5 A
  • ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામતો પાવર,
    P = \(\frac{\varepsilon^2}{R}=\frac{\left(3.2 \times 10^{-5}\right)^2}{1.6}\)
    ∴ P = 6.4 × 10-10 W
  • આ પાવરનો સ્રોત સમય સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રને બદલવા માટે જવાબદાર એવો બાહ્ય ઍજન્ટ છે.

પ્રશ્ન 12.
ધન-z દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધરાવતાં વિસ્તારમાં 12 cm ની બાજુઓવાળો એક ચોરસ ગાળો કે જેની બાજુઓ X અને Y-અક્ષોને સમાંતર છે તેને ધન-x દિશામાં 8 cm s-1 ના વેગ સાથે ખસેડવામાં આવે છે. આ ક્ષેત્ર અવકાશમાં એક સમાન નથી કે સમય સાથે અચળ પણ નથી. તેમાં ઋણ -દિશા સાથે 10-3 T cm-1 નું પ્રચલન (Gradient) (એટલે કે જેમ ઋણ -દિશામાં ગતિ કરીએ તેમ તે 10-3 T cm-1 થી વધે છે) ધરાવે છે અને તે સમય સાથે 10-3 T s-1 ના દરે ઘટતું જાય છે. તેનો અવરોધ 4.50 mQ હોય તો આ ગાળામાં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા અને મૂલ્ય નક્કી કરો.
ઉત્તર:
A = l2 = (12 × 10-2)2 = 144 × 10-4 m2 (xy-સમતલમાં)
v = 8 cm s-1 = 8 × 10-2 ms-1

  • અંતર સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
    \(\frac{d \mathrm{~B}}{d x}\) = -10-3 Tcm-1 = -10-1Tm-1
  • સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
    \(\frac{d \mathrm{~B}}{d t}\) = -10-3 Ts-1
    R = 4.5 mΩ = 4.5 × 10-3 Ω
  • સમય સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રના ફેરફાર થવાથી ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf,
    ∴ ε1 = –\(\frac{d \Phi}{d t}\) = –\(\frac{d}{d t}\)(AB) = – A\(\frac{d \mathrm{~B}}{d t}\)
    ∴ ε1 = -144 × 10-4 × (- 10-3)
    ∴ ε1 = 144 × 10-7 V
  • સ્થાન સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રના ફેરફાર થવાથી ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 10
= – 144 × 10-4 × (-10-1) × 8 × 10-2
ε2 = 1152 × 10-7 V
ઉદ્ભવતું કુલ પ્રેરિત emf,
ε = ε1 + ε1 = 144 × 10-7 + 1152 × 10-7
ε = 1296 × 10-7 = 1.296 × 10-4 V

  • પ્રેરિત પ્રવાહ,
    I = \(\frac{\varepsilon}{R}=\frac{1.296 \times 10^{-4}}{4.5 \times 10^{-3}}\) = 2.88 × 10-2 A
    I ≈ 2.9 × 10-2 A લૂપને જમણી બાજુ ખસેડતાં લૂપમાં વિષમઘડી દિશામાં પ્રવાહ હશે.
  • પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હશે કે જેથી ધન z-દિશામાં પ્રવર્તમાન ચુંબકીય ફ્લક્સનો વધારો થાય. જો નિરીક્ષક માટે લૂપ જમણી બાજુ ગતિ કરે, તો પ્રવાહ વિષમઘડી હશે.

પ્રશ્ન 13.
એક શક્તિશાળી લાઉડ સ્પીકરના ચુંબકના ધ્રુવો વચ્ચેના ક્ષેત્રના મૂલ્યને માપવું છે. ખૂબ જ નજીક નજીક વીંટાળેલ 25 આંટાઓવાળી એક નાની 2 cm2 ક્ષેત્રફળની સપાટ સર્ચ- કોઇલ (ગૂંચળું)ને ક્ષેત્રની દિશામાં લંબ રાખવામાં આવે છે અને તે પછી ક્ષેત્રના વિસ્તારમાંથી ઝડપથી ખેંચી લેવામાં આવે છે. (અથવા સમતુલ્ય રીતે તેના સમતલને ક્ષેત્રની દિશાને સમાંતર લાવવા માટે કોઈ તેને ઝડપી 90° નું ભ્રમણ આપી શકે છે.) આ ગૂંચળામાં વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર (ગૂંચળા સાથે જોડાયેલ બેલિસ્ટિક ગેલ્વેનોમીટર દ્વારા માપવામાં આવે છે.) 7.5 mC છે. આ ગૂંચળા અને ગેલ્વેનોમીટરનો સંયુક્ત અવરોધ 0.50 Ω છે. આ ચુંબકની પ્રબળતાનું અનુમાન કરો.
ઉત્તર:

  • dQ = 7.5 mC, A = 2 cm2 = 2 × 10-4 m2, R = 0.5 Ω,
    N = 25 આંટા
    ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતો પ્રેરિત વિદ્યુતભાર,
    dQ = \(\frac{\Delta \phi}{\mathrm{R}}=\frac{\phi_2-\phi_1}{\mathrm{R}}\)
    dQ = \(\frac{\mathrm{NAB}-0}{\mathrm{R}}\) [∵ જ્યાં Φ2 = NBA, Φ1 = 0]
    B = \(\frac{d \mathrm{QR}}{\mathrm{NA}}=\frac{7.5 \times 10^{-3} \times 0.5}{25 \times 2 \times 10^{-4}}\)
    B = 0.75T
  • બીજી રીત :
    અહીં Φ1 = AB અને Φ2 = 0
    ∴ પ્રેરિત emf ε = -N\(\frac{\Phi_2-\Phi_1}{t}\)
    ∴ ε = -N\(\frac{0-\mathrm{AB}}{t}\) = \(\frac{\mathrm{NAB}}{t}\)
    ∴ IR = \(\frac{\mathrm{NAB}}{t}\)
    ∴ \(\frac{\mathrm{Q}}{t}\).R = \(\frac{\mathrm{NAB}}{t}\) [∵ I = \(\frac{\mathrm{Q}}{t}\)]
    ∴ QR = NAB
    ∴ B = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{NA}}\)
    ∴ B = \(\frac{7.5 \times 10^{-3} \times 0.5}{25 \times 2 \times 10^{-4}}\)
    ∴ B = 0.75 T

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 14.
આકૃતિ પ્રમાણે કાયમી ચુંબકના ધ્રુવો વચ્ચે લીસા પાટાઓ AB પર સ્થિત એક ધાતુના સળિયા PQ ને દર્શાવ છે આ પાટાઓ, સળિયો અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ત્રણેય પરસ્પર લંબ દિશામાં છે. એક ગેલ્વેનોમીટર Gને કળ K દ્વારા પાટાઓ સાથે જોડાયેલ છે. આ સળિયાની લંબાઈ = 15 cm, B = 0.50 T. આ સળિયો ધરાવતા બંધ ગાળાનો અવરોધ = 9.0 m2 છે. આ ક્ષેત્ર સમાન છે તેમ ધારો.
(a) ધારો કે, આ K ખુલ્લી અને સળિયાને 12 cm s ની ઝડપે દર્શાવેલ દિશામાં ખસેડવામાં આવે છે. પ્રેરિત emf નું ઘ્રુવત્વ અને મૂલ્ય આપો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 11
(b) જ્યારે K ખુલ્લી હોય ત્યારે સળિયાના છેડાઓ પર કોઈ વધારાનો વિધુતભાર પ્રસ્થાપિત થશે ? જો K બંધ હોય તો શું ?
(c) K ખુલ્લી હોય અને સળિયો સમાન ગતિ કરે ત્યારે સળિયાની આ ગતિને કારણે ઇલેક્ટ્રોન ચુંબકીય બળ અનુભવતા હોવા છતાં આ સળિયા PQ માં ઇલેક્ટ્રોન પર કોઈ ચોખ્ખું બળ નથી. સમજાવો.
(d) જ્યારે K બંધ હોય ત્યોર આ સળિયા પર ગતિરોધક બળ કેટલું હશે ?
(e) જ્યારે K બંધ હોય છે ત્યારે આ સળિયાને એ જ ઝડપે (= 12 cm s-1) ખસેડવા માટે (બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા) કેટલી પાવર શક્તિ જરૂરી છે ? જ્યારે K ખુલ્લી હોય ત્યારે કેટલી શક્તિ (પાવર) આવશ્યક છે ?
(f) આ બંધ પરિપથમાં ઉષ્મારૂપે કેટલી શક્તિ (પાવર)નો વ્યય થાય છે ? આ શક્તિ (પાવર)નો સ્રોત શું છે ?
(g) ચુંબકીય ક્ષેત્ર લંબરૂપે હોવાને બદલે પાટાઓને સમાંતર હોય તો ગતિમાન સળિયામાં પ્રેરિત emf કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
(a) પ્રેરિત emfનું મૂલ્ય, θ = Bvlsinθ માં θ = 90°
ε = Bul = 0.5 × 0.12 × 0.15
ε = 9 × 10-3 v
= 9 mV
– PQ સળિયો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર ગતિ કરે ત્યારે લેન્ઝબળ લાગે. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ અનુસાર ઇલેક્ટ્રૉન ૫૨ Pથી Q તરફ બળ લાગશે તેથી P છેડો ધન અને Q છેડો ઋણ બનશે.

(b) હા, જ્યારે K ખુલ્લી હોય ત્યારે સળિયાના બંને છેડે વિરુદ્ધ પ્રકારના વધારાના વિદ્યુતભારો પ્રસ્થાપિત થશે. જ્યારે K બંધ કરવામાં આવે ત્યારે ગૅલ્વેનોમીટરમાંથી પ્રવાહનું વહન થશે ત્યારે વધારાનો વિદ્યુતભાર અચળ જળવાશે.

(c) અહીં ચુંબકીય બળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}=-e(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) તથા સળિયાના છેડે પ્રસ્થાપિત થયેલ વધારાના વિદ્યુતભારો વડે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતબળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{e}}=e \overrightarrow{\mathrm{E}}\) સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશાના હોય એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે. તેથી PQ સળિયામાં ઇલેક્ટ્રૉન પરનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય છે.

(d) પ્રેરિત પ્રવાહ I = \(\frac{\varepsilon}{R}=\frac{9 \times 10^{-3}}{9 \times 10^{-3}}\) = 1A
સળિયા પર ગતિ અવરોધક બળ,
F = BIl = 0.5 × 1 × 0.15 = 7.5 × 10-2 N

(e) જ્યારે K બંધ હોય ત્યારે સળિયાને તેટલી જ ઝડપથી ગતિ કરાવવા જરૂરી પાવર,
P = Fv = BIlv = 7.5 × 10-2 × 0.12 = 9 × 10-3 N
જ્યારે K ખુલ્લી હોય ત્યારે કોઈ પ્રવાહ પ્રેરિત થતો નથી આથી જરૂરી પાવર = 0

(f) ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામતો પાવર,
P = I2R = (1)2 × 9 × 10-3 = 9 × 10-3W
બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા આ પાવરનો સ્રોત મળે છે કે જે વિરુદ્ધમાં લાગતાં બળથી સળિયાની ગતિ ચાલુ રાખે છે.

(g) જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાટાને સમાંતર હોય, તો બંધ પરિપથ સાથે કોઈ ચુંબકીય ફ્લક્સ સંકળાશે નહીં. કારણ કે \(\vec{v} \| \overrightarrow{\mathrm{B}}\) આથી, પ્રેરિત emf ઉદ્ભવશે નહીં. કારણ કે ε = Blvsin0° = 0

પ્રશ્ન 15.
30 cm લંબાઈ, 25 cm2 આડછેદનું ક્ષેત્રફળ, 500 આંટાઓવાળું અને જેના ગર્ભ ભાગમાં હવા હોય તેવું (એર- કોડ) સોલેનોઈડ 2.5 A પ્રવાહનું વહન કરે છે. આ પ્રવાહને અચાનક 10-3 s ના ટૂંકા સમયમાં બંધ કરવામાં આવે છે. આ પરિપથમાં ખુલ્લી કળ (સ્વીચ)ના છેડા વચ્ચે પ્રેરિત સરેરાશ Back emf કેટલું થશે ? આ સૉલેનોઈડના છેડાની નજીક ચુંબકીય ક્ષેત્રના ફેરફારને અવગણો.
ઉત્તર:
l = 30 cm = 0.3 m, A = 25 cm2 = 25 × 10-4m2
N = 500, I1 = 2.5 A, Δt = 10-3s, I2 = 0, ε = ?

  • પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર B1 = μ0nI1 = \(\frac{\mu_0 \mathrm{NI}_1}{l}\)
    અંતિમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર B2 = μ0nI2 = μ0\(\frac{\mathrm{N}}{l}\)I2
  • પ્રેરિત emf,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 12
ε = 6.54 V

  • બીજી રીત :
    અહીં l = 30 cm = 0.3 m, A = 25 cm2 = 25 × 10-4 m2
    I = 2.5 A, N = 500, μ0 = 4π × 10-7 NA-2
  • N આંટાવાળા l લંબાઈના વિદ્યુતપ્રવાહધારિત સૉલેનોઇડમાં ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{NI}}{l}\)
  • સૉલેનોઇડમાં પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે સંકળાયેલ ફ્લક્સ,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 13
∴ Φ1 = 6.54 × 10-3 Wb

  • કળ K ખોલી નાખતાં સૉલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ,
    Φ2 = 0 [∵ I = 0]
  • સરેરાશ Back emf,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 14
= 6.54 V

પ્રશ્ન 16.
(a) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક લાંબા સુરેખ તાર અને a બાજુવાળા એક ચોરસ ગાળા વચ્ચેના અન્યોન્ય- પ્રેરકત્વ માટેનું સૂત્ર મેળવો.
(b) હવે ધારો કે સુરેખ તાર 50 A પ્રવાહનું વહન કરે છે અને ગાળાને v = 10 m/s અચળ વેગ સાથે જમણી તરફ ખસેડવામાં આવે છે. જ્યારે x = 0.2 m હોય તે ક્ષણે
ગાળામાં પ્રેરિત emf ની ગણતરી કરો. a = 0.1 m લો અને ધારો કે ગાળો મોટો અવરોધ ધરાવે છે.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 15
ઉત્તર:
(a) આપેલા ચોરસ લૂપમાં તારથી x અંતરે સૂક્ષ્મ જાડાઈ dr નો ખંડ વિચારો જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 16

  • તારમાં પ્રવાહના લીધે સૂક્ષ્મ ખંડ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
    B = \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\) …………….. (1)
  • આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલને લંબરૂપે છે.
    સૂક્ષ્મ ખંડનું ક્ષેત્રફળ A = adr
    સૂક્ષ્મ ખંડ સાથે સંકળાયેલ લક્સ,
    dΦ = BA = \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\) × adr
  • rmin = x અને rmax = r + a વચ્ચે નિયત સંકલન કરતાં સમગ્ર ચોરસ લૂપ સાથે સંકળાયેલું કુલ ફૂલક્સ,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 17

(b) ચોરસ લૂપ અનિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે. કોઈ પણ સમયે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફલક્સ,
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 18
∴ ε ≈ 1.7 × 10-5 V

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 17.
એકમ લંબાઈ દીઠ λ જેટલો રેખીય વિધુતભાર, M દ્રવ્યમાન અને R ત્રિજ્યાના વ્હીલની ધાર (રીમ) પર એકસરખી રીતે મૂકવામાં આવેલ છે. આ વ્હીલમાં હલકા અવાહક આરાઓ (Spokes) છે અને તે તેના અક્ષને અનુલક્ષીને ઘર્ષણ વિના ભ્રમણ કરવા મુક્ત છે. એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ ધારની અંદર વર્તુળાકાર વિભાગમાં વિસ્તરેલ છે.
જેને B = – B0k̂ (r ≤ a; a < R)
= 0 (અન્યથા)
દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ક્ષેત્ર અચાનક બંધ કર્યા પછી વ્હીલનો કોણીય વેગ શું હશે ?
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 19
ઉત્તર:

  • વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના ફેરેડેના નિયમ પરથી પ્રેરિત emf,
    ε = –\(\frac{d \Phi}{d t}\)
    આ દર્શાવે કે a ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પરિઘ પરના બધા
    બિંદુએ સ્પર્શકરૂપે વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) હાજર છે.
  • જો આ પરિઘ પર q જેટલા પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવીએ તો થતું કાર્ય qε
    વિદ્યુતક્ષેત્રના લીધે q વિદ્યુતભારને પરિઘ પર પૂર્ણ ચક્ર ફેરવવા કરવું પડતું કાર્ય
    = F × પરિઘ
    = Eq × 2πa
  • બંને રીતે થતાં કાર્યને સરખાવતાં,
    qε = Eq × 2πa

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 20

  • પરિઘ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર q = λ × પરિઘ
    = λ × 2πα
    ∴ પરિઘ પરના વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 21
∴ કોણીય વેગ ઋણ z-અક્ષની દિશામાં છે.

GSEB Class 12 Physics વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
xy-સમતલમાં L મીટર બાજુવાળું એક ચોરસ એવા વિસ્તારમાં આવેલું કે જ્યાં, પ્રવર્તતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{B}}[latex] = B0(2î + 3ĵ + 4k̂)T, વડે આપી શકાય છે (જ્યાં B0 અચળાંક છે), તો ચોરસમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ………………… .
(A) 2B0L2Wb
(B) 3B0L2Wb
(C) 4B0L2 Wb
(D) [latex]\sqrt{29}\)B0 Wb
જવાબ
(C) 4B0L2 Wb
\(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) = L2
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = B0 (2î + 3ĵ + 4k̂)
Φ = \(\vec{B} \cdot \vec{A}\) = B0(2î + 3ĵ + 4k̂) · L2
Φ = 4B0L2Wb

પ્રશ્ન 2.
સુરેખ ધાર ધરાવતાં એક બંધગાળો છ ખૂણા A(0, 0, 0), B(L, 0, 0), C(L, L, 0), D(0, L, 0), E(0, L, L) અને F(0, 0, L) ધરાવે છે. આ વિસ્તારમાં પ્રવર્તતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = B0(î + k̂)T હોય, તો બંધગાળા ABCDEA (આ જ
ક્રમમાં) સંકળાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ…
(A) B0L2Wb
(B) 2B0L2Wb
(C) √2B0L2 Wb
(D) 4B0L2Wb
જવાબ
(B) 2B0L2Wb
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 22

  • અહીં લૂપ બે સમતલનું બનેલું વિચારો. ABCDA સમતલ XY-સમતલમાં છે
    તેનું ક્ષેત્રફળ સદિશ
    \(\overrightarrow{\mathrm{A}_1}\) = |A|k̂ = L2
    અને ADEFA સમતલ YZ-સમતલમાં છે તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ
    \(\overrightarrow{\mathrm{A}_2}\) = |A|î= L2î
  • નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કુલ ક્ષેત્રફળ \(\overrightarrow{\mathrm{A}}=\overrightarrow{\mathrm{A}_1}+\overrightarrow{\mathrm{A}_2}\)
    ∴ \(\vec{A}\) = L2k̂ + L2î સાથે સંકળાયેલ ફૂલક્સ,
    Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}\) = (L2î + L2k̂) · B0(î + k̂)
    જ્યાં \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = B0(î + k̂)
  • ચુંબકીય ફૂલક્સ,
    Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\)
    = B0(î + k̂) . L2(î + k̂)
    = B0L2(1 + 1)
    = 2B0L2

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક નળાકારીય ગજિયા ચુંબકને તેની અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે. જો તેની અક્ષ સાથે એક વાહક તાર જોડી તેના નળાકાર પૃષ્ઠ સાથે. કોઈ જોડાણ અગ્ર દ્વારા સંપર્ક કરાવવામાં આવે તો,
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 23
(A) ઍમીટરમાં dc પ્રવાહનું વહન થશે.
(B) ઍમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહનું વહન થશે નહીં.
(C) ઍમીટરમાંથી T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\) આવર્તકાળ ધરાવતો સાઇન પ્રકારનો (sinosoidal) AC પ્રવાહ વહેશે.
(D) ઍમીટરમાંથી સમય સાથે બદલાતો જતો સાઇન પ્રકારનો ન હોય (non-sinosoidal) તેવો પ્રવાહ વહેશે.
જવાબ
(B) ઍમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહનું વહન થશે નહીં.
જ્યારે ચુંબકને પોતાની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ આપવામાં આવે ત્યારે પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફૂલક્સમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં. આથી, પ્રેરિત પ્રવાહ ઉદ્ભવશે નહીં.

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 4.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબનાં બે ગૂંચળાં A અને B છે જ્યારે A ને B તરફ ગતિ કરાવવામાં આવે છે ત્યારે B માં આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબની દિશામાં પ્રવાહ વહે છે તથા A ની ગતિ બંધ કરાવતાં B માં વહેતો પ્રવાહ અટકી જાય છે. B માં વહેતો પ્રવાહ વિષમ ઘડી દિશામાં છે તથા A ગતિ કરે છે ત્યારે B સ્થિર રહે છે. જે પરથી આપણે નિષ્કર્ષ તારવી શકીએ કે,
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 24
(A) A માં સમઘડી દિશામાં અચળ પ્રવાહ વહેતો હશે.
(B) A માં વહેતો પ્રવાહ બદલાતો જતો હશે.
(C) A માં કોઈક જ પ્રવાહ વહેતો નહીં હોય.
(D) A માં વિષમ ઘડી દિશામાં અચળ પ્રવાહ વહેતો હશે.
જવાબ
(D) A માં વિષમ ઘડી દિશામાં અચળ પ્રવાહ વહેતો હશે.
જ્યારે ગૂંચળું A સ્થિર બને છે ત્યારે ગૂંચળા B માં પણ પ્રવાહ શૂન્ય બને છે. જ્યારે A ગૂંચળું, B ગૂંચળા તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે લેન્ઝના નિયમ અનુસાર B ગૂંચળામાં સમઘડી દિશામાં પ્રવાહ પ્રેરિત થશે.

પ્રશ્ન 5.
આ પ્રશ્ન પણ પ્રશ્ન 4 જેવો જ છે. માત્ર તફાવત તે છે કે, આકૃતિ મુજબ ગૂંચળા A ને તેની ઊર્ધ્વ અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે. જ્યારે A સ્થિર હોય છે ત્યારે B માં પ્રવાહ વહેતો નથી. જ્યારે B માં (t = 0 સમયે) વહેતો પ્રવાહ વિષમ ઘડી દિશામાં હોય ત્યારે આ જ ક્ષણે (t = 0 સમયે) આકૃતિ મુજબની સ્થિતિએ A માંથી વહેતો પ્રવાહ……..
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 25
(A) સમઘડી દિશામાં અચળ પ્રવાહ
(B) સમઘડી દિશામાં બદલાતો જતો પ્રવાહ
(C) વિષમ ઘડી દિશામાં બદલાતો જતો પ્રવાહ
(D) વિષમ ઘડી દિશામાં અચળ પ્રવાહ
જવાબ
(A) સમઘડી દિશામાં અચળ પ્રવાહ

  • જ્યારે t = 0 સમયે ગૂંચળા B માં વિષમઘડી દિશામાં પ્રવાહ વહેતો હોય ત્યારે (t = 0 સમયે) ગૂંચળા A માં સમઘડી દિશામાં અચળ પ્રવાહ વહેતો હશે.
  • આથી જ્યારે ગૂંચળું A, શિરોલંબ અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરતું હોય ત્યારે લેન્ઝના નિયમ અનુસાર ગૂંચળા B માં સમઘડી દિશામાં પ્રેરિત અચળ પ્રવાહ મળે.

પ્રશ્ન 6.
A આડછેદનું ક્ષેત્રફળ, l લંબાઈ અને ચોક્કસ આંટાની સંખ્યા N ધરાવતા સોલેનોઇડનું આત્મપ્રેરકત્વ L વધે છે. જ્યારે…………
(A) l અને A માં વધારો થાય.
(B) l ઘટે અને A વધે.
(C) l વધે અને A ઘટે.
(D) 1 અને A બંને ઘટે.
જવાબ
(B) l ઘટે અને A વધે.

  • સૉલેનોઈડ (ગૂંચળા)નું આત્મપ્રેરકત્વ,
    L = μrμ0n2 Al = μrμ0(\(\frac{\mathrm{N}}{l}\))2Al [∵ n = \(\frac{\mathrm{N}}{l}\)]
    L = \(\frac{\mu_r \mu_0 N^2 \mathrm{~A}}{l}\) [μr, μ0, N અચળ]
  • સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, L ∝ \(\frac{\mathrm{A}}{l}\)
  • તેથી આત્મપ્રેરકત્વ L વધારવા A વધારવો પડે જ્યારે 1 ઘટાડવો પડે.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
કોઈ ધાતુની પ્લેટ ગરમ થઈ રહી છે. તેનું કારણ એ હોઈ શકે કે,
(A) ડી.સી. પ્રવાહ તેમાંથી પસાર થઈ રહ્યો હોય.
(B) તેને સમય સાથે બદલાતા જતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલી હોય.
(C) તેને સ્થાન સાથે બદલાતા જતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલી હોય, પરંતુ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમય સાથે બદલાતું ન હોય.
(D) તેમાંથી પ્રવાહ (ડી.સી. અથવા એ.સી.) પસાર થતો હોય.
જવાબ
(A, B, D)
જ્યારે તકતીમાંથી AC અથવા DC પ્રવાહ પસાર થાય ત્યારે જૂલ ઉષ્માને કારણે તે ગરમ થાય. ઉપરાંત જ્યારે તક્તીને સમય સાથે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઘૂમરી (Eddy) પ્રવાહ ઉત્પન્ન થતા જૂલ ઉષ્માના કારણે પણ તકતી ગરમ થશે. આમ, વિકલ્પ (A), (B), (D) સાચા છે.

પ્રશ્ન 2.
કોઈ બાહ્ય વોલ્ટેજ સ્રોત સાથે જોડેલ ન હોય તેમ છતાં ગૂંચળામાં વિધુતચાલક બળ ઉદ્ભવે છે. આમ થવાનું કારણ …………
(A) ગૂંચળાને સમય સાથે બદલાતા જતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રાખેલ હોય.
(B) ગૂંચળું સમય સાથે બદલાતા જતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતું હોય.
(C) ગૂંચળું અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતું હોય.
(D) ગૂંચળું એવા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્થિર હોય કે જે સ્થાન સાથે બદલાતું હોય પણ સમય સાથે બદલાતું ન હોય.
જવાબ
(A, B, C)

  • ગૂંચળા સાથે બાહ્ય વોલ્ટેજ સ્રોત જોડેલ ન હોવા છતાં તેમાં emf ઉદ્ભવે છે કારણ કે, ગૂંચળાને સમય સાથે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકતા અથવા ગતિ કરાવતા તેની સાથે સંકળાતા ફૂલક્સમાં ફેરફાર થવાથી emf ઉત્પન્ન થાય છે. તેથી વિકલ્પ (A) અને (B) સાચા છે.
  • ગૂંચળાને નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ભ્રમણ કરાવતા પણ તેની સાથે સંકળાયેલ લક્સમાં ફેરફાર થવાથી emf ઉત્પન્ન થાય. આથી વિકલ્પ (C) પણ સાચો છે.
  • પરંતુ ગૂંચળાને સ્થાન સાથે બદલાતા કે સમય સાથે ન બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં માત્ર સ્થિર ગોઠવતા તેની સાથે સંકળાયેલ લક્સ બદલાતું નથી. આથી, emf ઉત્પન્ન થતું નથી. તેથી વિકલ્પ
    (D) ખોટો છે.

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 3.
ગૂંચળા (1) નું ગૂંચળા (2) ની સાપેક્ષે અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ M12 નું મૂલ્ય ………………….
(A) બંને ગૂંચળાઓને એકબીજાની નજીક લાવતાં વધે છે.
(B) ગૂંચળાઓમાંથી પસાર થતા પ્રવાહ પર આધારિત છે.
(C) બેમાંથી કોઈ એકને તેની અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરાવતા વધે છે.
(D) ગૂંચળા (2) નું ગૂંચળા (1) ની સાપેક્ષે અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ M21 જેટલું જ હશે.
જવાબ (A, D)

  • બે ગૂંચળાંઓના તંત્રનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ તેમની સાપેક્ષ ગોઠવણ પર આધારિત છે. જો બે ગૂંચળાંઓને નજીક લાવવામાં આવે, તો અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ વધે છે. તેથી વિકલ્પ (A) સાચો છે. પરંતુ, તે ગૂંચળાંમાંથી પસાર થતાં પ્રવાહ પર આધારિત નથી.
  • ઉપરાંત, બે ગૂંચળાંના તંત્ર માટે M12 = M21 હંમેશાં સાચું છે. તેથી વિકલ્પ (D) સાચો છે.

પ્રશ્ન 4.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલ એક ગૂંચળાનું ત્રિજ્યાવર્તી વિવર્ધન (expands) થાય છે અને તેમાં વિધુત ચાલકબળ ઉદ્ભવતું નથી. આમ થવાનું કારણ ………………..
(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર અચળ છે.
(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગૂંચળાના સમતલમાં જ છે તથા તે બદલાય અથવા ન પણ બદલાય.
(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રનો લંબ (ગૂંચળાના સમતલને) ઘટક હશે જેનું મૂલ્ય યોગ્ય રીતે ઘટતું હોય.
(D) લંબદિશા (ગૂંચળાના સમતલને)માં અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોય.
જવાબ
(B, C)

  • જો ગૂંચળાના સમતલમાં જ ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોય, તો તેની સાથે કોઈ લક્સ સંકળાશે નહીં. આથી, emf ઉદ્ભવે નહીં.
  • જો ગૂંચળાના સમતલને લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઘટકનું મૂલ્ય ઘટે તથા ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ એજ પ્રમાણે વધે તો શક્ય છે કે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ કુલ ફૂલક્સ અચળ રહે તથા લક્સમાં ફેરફાર ન થવાથી emf ઉદ્ભવે નહીં. (Φ = AB)

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
ખુલ્લી/બંધ કરી શકાય તેવી કળ S ધરાવતા એક તારને ચુંબકની આસપાસ ગોઠવેલો વિચારો (આકૃતિ જુઓ) જો કળ ખુલ્લી સ્થિતિ (ખુલ્લો પરિપથ)માંથી બંધ સ્થિતિ (બંધ પરિપથ)માં લાવવામાં આવે, તો પરિપથમાં પ્રવાહ વહેશે ? સમજાવો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 26
ઉત્તર:
ના, કારણ કે, ગજિયો ચુંબક અને ગૂંચળું સ્થિર છે. અહીં Switch ON/OFF સ્થિતિમાં લાવતાં ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલા લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. આથી, તેમાં પ્રવાહ પ્રેરિત થશે નહીં.

પ્રશ્ન 2.
એક તારને પાસપાસે વીંટાળીને બનાવેલ સોલેનોઇડ સાથે ડી.સી. સોત જોડેલ છે અને તેમાંથી પ્રવાહ પસાર થાય છે. જો હવે ગૂંચળાના આંટાઓને એવી રીતે ખેંચવામાં આવે કે જેથી સર્પિલ આકારના દરેક ક્રમિક આંટા વચ્ચે જગ્યા પડે, તો પસાર થતો પ્રવાહ વધશે કે ઘટશે ? સમજાવો.
ઉત્તર:
ડી.સી. સ્રોતમાંથી ખેંચેલો પ્રવાહ વધશે, કારણ કે, જ્યારે ગૂંચળાના આંટાઓને ખેંચવામાં આવે છે ત્યારે તેના બે આંટાઓ વચ્ચેની જગ્યામાં વધારો થતાં તેમાંથી ચુંબકીય ફ્લક્સ leakથશે. પરિણામે, ગૂંચળા સાથે સંકળાતું કુલ ચુંબકીય ફૂલક્સ ઘટે છે તથા પ્રેરિત emf આ ઘટાડાનો વિરોધ ક૨શે. આથી, ચુંબકીય ફ્લક્સ વધારવા ગૂંચળામાં વહેતો પ્રવાહ વધારવો પડે.

પ્રશ્ન 3.
એક સોલેનોઇડ સાથે બેટરી જોડતા તેમાંથી સ્થિર પ્રવાહ પસાર થાય છે. જો હવે સોલેનોઇડમાં લોખંડનો ગર્ભ (iron core) દાખલ કરવામાં આવે, તો પ્રવાહ વધશે કે ઘટશે ? સમજાવો.
ઉત્તર:

  • ઘટશે, કારણ કે, જો ફેરોમૅગ્નેટિક લોખંડનો સળિયો વિદ્યુતપ્રવાહધારિત સૉલેનોઇડમાં દાખલ કરવામાં આવે, તો લોખંડનું મૅગ્નેટાઇઝેશન થવાથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધે પરિણામે તેમાં ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે.
  • આ ચુંબકીય ફ્લક્સના વધારાનો વિરોધ કરતું emf પ્રેરિત થાય (લેન્ઝનો નિયમ) આ ત્યારે જ શક્ય બને કે જ્યારે સૉલેનોઇડમાં વહેતો પ્રવાહ ઘટાડીએ, તેથી સૉલેનોઇડમાં વહેતો પ્રવાહ ઘટે.

પ્રશ્ન 4.
શિરોલંબ દિશામાં ફિટ કરેલા એક સોલેનોઇડની ઉપર ધાતુની એક રિંગ (કાર્ડબોર્ડમાં ફિટ કરેલ) એવી રીતે મૂકવામાં આવી છે કે જેથી તેનું કેન્દ્ર સોલેનોઇડની અક્ષ પર સંપાત થાય (આકૃતિ જુઓ). જો અચાનક કળ ચાલુ કરીને સોલેનોઇડમાંથી પ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે, તો ધાતુની રિંગ ઊછળે છે. સમજાવો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 27
ઉત્તર:

  • જ્યારે સૉલેનોઈડના તારના આંટાઓમાંથી સ્વિચ ઑન કરીને પ્રવાહ ચાલુ કરીએ ત્યારે તે તારનું ગૂંચળું ચુંબક તરીકે વર્તે અને તેનું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. પરિણામે તેની ઉપર રહેલી ધાતુની રિંગ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ વધે છે અને રિંગમાં વિષમ ઘડી દિશામાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઉદ્ભવે છે.
  • આમ, ગૂંચળામાંનો પ્રવાહ અને રિંગમાંનો પ્રવાહ પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવાથી અપાકર્ષણ બળ લાગવાથી રિંગ ઊંચી થાય છે અથવા ઊછળે છે.

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 5.
શિરોલંબ ફિટ કરેલા પ્રવાહધારિત સોલેનોઇડ પર ધાતુની એક રિંગ (કાર્ડબોર્ડના આધારથી) એવી રીતે મૂકેલી વિચારો કે જેથી રિંગનું કેન્દ્ર સોલેનોઇડની અક્ષ પર સંપાત થાય. જો સોલેનોઇડમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે, તો રિંગનું શું થશે ?
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 27
ઉત્તર:
જો સૉલેનોઈડમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ બંધ કરવામાં આવે તો રિંગ સાથે સંકળાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે તથા લેન્ડ્ઝના નિયમ અનુસાર પ્રેરિત emf આ ફૂલક્સના ઘટાડાનો વિરોધ કરે છે. આથી, પ્રેરિત પ્રવાહ રિંગમાં ઉદ્ભવે છે જે સમઘડી હોય અને ગૂંચળામાં પણ સમઘડી પ્રવાહ હોવાથી બંને વચ્ચે આકર્ષણ થશે અને રિંગ સૉલેનોઈડ તરફ ખેંચાશે.

પ્રશ્ન 6.
1 cm આંતરિક ત્રિજ્યા ધરાવતી ધાતુની નળી (pipe) વિચારો. આ પાઇપમાં 0.8 cm ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકાર ગજિયા ચુંબકને મુક્ત પતન કરાવવામાં આવે ત્યારે તેને નીચે આવવા માટે જે સમય લાગે છે તે, બધી જ રીતે સમાન પરંતુ બિનચુંબકીય લોખંડના નળાકારે લીધેલ સમય કરતાં વધુ હોય છે. સમજાવો.
ઉત્તર:

  • જ્યારે ચુંબકને પોલા ધાતુના નળાકારમાંથી પડવા દેવામાં આવે ત્યારે નળાકાર સાથે ચુંબકીય ફ્લક્સ સંકળાશે અને ચુંબકની ગતિ દરમિયાન લક્સમાં ફેરફાર થવાથી નળાકારમાં ઘૂમરી (Eddy) પ્રવાહનું નિર્માણ થશે. હવે લેન્ઝના નિયમ અનુસાર આ પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફૂલક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે. અર્થાત્ ચુંબકની ગતિનો વિરોધ કરશે. તેથી ચુંબકનો પ્રવેગ, ગુરુત્વપ્રવેગ કરતાં ઓછો હશે. આથી, ચુંબકને નીચે આવતાં વધુ સમય લાગશે.
  • ચુંકિત ન હોય તેવાં લોખંડના સળિયાને ધાતુના નળાકારમાં મુક્તપતન કરાવતા આવી અસરો જોવા મળે નહીં. તેથી તે ગુરુત્વપ્રવેગથી જ ગતિ કરશે તેથી ઓછો સમય લાગશે.

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
કોઈ ચોક્કસ વિસ્તારમાં પ્રવર્તતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) B0cos(ωt)k̂ વડે આપી શકાય છે. આ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં x-y સમતલમાં R અવરોધ અને a ત્રિજ્યા ધરાવતું ગૂંચળું એવી રીતે મૂકેલ છે કે જેથી તેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર સંપાત થાય. (જુઓ આકૃતિ) તો તો બિંદુ
(a, 0, 0) પાસે t = \(\frac{\pi}{2 \omega}\), t = \(\frac{\pi}{\omega}\), અને t = \(\frac{3 \pi}{2 \omega}\) માટે વિધુતપ્રવાહનું મૂલ્ય અને દિશા શોધો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 28
ઉત્તર:

  • કોઈ ક્ષણે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ફૂલક્સ,
    Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\) = BAcosθ = BA
    Φ = B0(πa2)cosωt [∵ A = πa2]
  • પ્રેરિત emf,
    ε = \(\frac{d \phi}{d t}=-\frac{d}{d t}\) (B0πa2cosωt)
    = -B0(πa2)[- ω sinωt]
    ε = B0πa2ωsinωt
  • પ્રેરિત પ્રવાહ I = \(\frac{\varepsilon}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{B}_0 \pi a^2 \omega}{\mathrm{R}}\)sinωt
    t = \(\frac{\pi}{2 \omega}\) સમયે,
    I = \(\frac{\mathrm{B}_0 \pi a^2 \omega}{\mathrm{R}}\) sin(ω × \(\frac{\pi}{2 \omega}\))
    I = \(\frac{\mathrm{B}_0 \pi a^2 \omega}{\mathrm{R}}\)
  • ગૂંચળામાં આ પ્રવાહ વિષમઘડી દિશામાં હોય કારણ કે \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = B0 cos(ωt)k̂ અનુસાર ગૂંચળામાંથી બહાર આવતું લક્સ ઘટતું જાય છે. [cos વિધેય t = 0 થી t = \(\frac{\pi}{\omega}\) સમય માટે ઘટતું વિધેય છે.] આથી પ્રેરિત પ્રવાહમાંથી બહાર આવતું ફ્લક્સ વધે માટે તે વિષમ ઘડી દિશામાં વહે છે. તેથી (a, 0, 0) બિંદુ પાસે પ્રવાહની દિશા +ĵ હોય.

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 29

  • ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે, આ સમયે બિંદુ (a, 0, 0) પાસે પ્રવાહ – દિશામાં હોય.

પ્રશ્ન 2.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલ એક બંધગાળો C (close loop) વિચારો (આકૃતિ જુઓ) જેની ધાર આ લૂપ સાથે સંપાત થતી હોય તેવું પૃષ્ઠ પસંદ કરીને તથા શ Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{B}}_1 \cdot d \overrightarrow{\mathrm{A}_1}+\overrightarrow{\mathrm{B}_2} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{A}_2}\) +…….. ની મદદથી લૂપમાંથી
પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ મેળવવામાં આવે છે. જો હવે એવાં બે પૃષ્ઠ S1 અને S2 પસંદ કરવામાં આવે કે જેની ધાર લૂપ C હોય, તો તેમના દ્વારા મેળવેલ લક્સ પ્રથમ જેટલું જ હશે ? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 30
ઉત્તર:

  • કોઈ પૃષ્ઠ સાથે સંકળાતું ચુંબકીય ફલક્સ તે પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા પરથી પણ મળી શકે અને Φ = AB, જ્યાં A = પૃષ્ઠનું ક્ષેત્રફળ, B = ચુંબકીય ક્ષેત્ર

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 31

  • અહીં, પૃષ્ઠ S1 અને પૃષ્ઠ S2 બંનેમાંથી પસાર થતી ક્ષેત્રરેખાઓની સંખ્યા સમાન હોય છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ બંધગાળો રચે છે તેથી આ બંને કિસ્સામાં લક્સ સમાન જ મળે.

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિમાં દર્શાવલ ગોઠવણી માટે અવગણ્ય અવરોધ ધરાવતા તાર PQ માંથી વહેતો પ્રવાહ શોધો. \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) પેપરના પૃષ્ઠને લંબ બહારની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. d અંતરે રહેલા બે સમાંતર વાહક તાર સાથે તાર પર સરળતાથી ગતિ કરતાં તાર PQ એ બનાવેલ ખૂણો θ છે.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 32
ઉત્તર:

  • સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf,
    ε = Bvl
    જ્યાં B, v અને l ત્રણેય એકબીજાને લંબ હોવા જોઈએ. જો એવું ન હોય તો B, v અને l એવા ઘટકો વિચારવા જે એકબીજાને લંબ હોય.

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 33

  • અહીં, ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) અને સળિયાનો વેગ \(\vec{v}\) તો એકબીજાને લંબ છે જ પરંતુ, PQ સળિયાની લંબાઈ \(\vec{v}\) ને લંબ નથી.
    પરંતુ, PQ તારની લંબાઈનો lsinθ ઘટક વેગને લંબ બને.
    ∴ ε = Bv(lsinθ) (જ્યાં l = PQ)
  • હવે lsinθ નો આકૃતિ પરથી બે સમાંતર તાર વચ્ચેનું અંતર તે છે.
    ∴ lsinθ = d
    ∴ ε = Bvd
  • પ્રેરિત પ્રવાહ I = \(\frac{\varepsilon}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{B} v d}{\mathrm{R}}\)
  • અહીં, પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા લેના નિયમ અનુસાર સમઘડી દિશામાં હોય.

પ્રશ્ન 4.
આકૃતિમાં સોલેનોઇડમાંથી પસાર થતા પ્રવાહ માટે (પ્રવાહ વિરુદ્ધ સમય)નો આલેખ દર્શાવેલ છે. કયા સમયે back emf (u) મહત્તમ હશે ? જો t = 3 s માટે back emf (e) હોય, તો t = 7 s, 15 s અને 40 s માટે back emf શોધો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 34
ઉત્તર:

  • જો સૉલેનોઇડમાં પ્રવાહના ફેરફારનો દર મહત્તમ હોય તો પ્રેરિત Back emf (u) મહત્તમ હોય અને તે આલેખના AB ભાગ પરથી મળે. આલેખ પરથી 5s t = 0 s થી t = 5s દરમિયાન ઢાળ = +\(\frac{1}{5} \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{s}}\)
    અને t = 3 s સમયે Back emf e છે.
    t = 3s સમયે પ્રવાહના ફેરફારનો દર આલેખ OA નો ઢાળ
    = +\(\frac{1}{5} \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{s}}\)
    ∴ t = 3 s સમયે પ્રેરિત Back emf e = – L × ઢાળ
    = -L × (+\(\frac{1}{5}\))
    e = \(\frac{-\mathrm{L}}{5}\)

(i) 5 s < t < 10s દરમિયાન ઢાળ = \(\frac{-3}{5} \frac{\mathrm{A}}{\mathrm{s}}\)
∴ t = 7s સમયે પ્રેરિત Back emf,
u1 = L × ઢાળ
= -L × \(\frac{-3}{5}\)
= -3e [∵ \(\frac{-\mathrm{L}}{5}\) = e]

(ii) 10 s <t< 30 sદરમિયાન ઢાળ = +\(\frac{2}{20}\) = +\(\frac{1}{10}\)
∴ t = 15 s સમયે પ્રેરિત Back emf,
u2= – L × ઢાળ
= -L × (+\(\frac{1}{10}\))
= \(\frac{-L}{10}=\frac{1}{2}\)e [∵ e = \(\frac{-\mathrm{L}}{5}\)]

(iii) t > 30 s દરમિયાન ઢાળ = 0
∴ t = 40 s સમયે પ્રેરિત Back emf,
= u3 = – L × ઢાળ
= u3 = 0
આમ, t = 7s સમયે પ્રેરિત મહત્તમ emf = – 3 e
t = 15s સમયે પ્રેરિત મહત્તમ emf = \(\frac{e}{2}\) અને
t = 40 s સમયે પ્રેરિત મહત્તમ emf = 0

પ્રશ્ન 5.
બે ગૂંચળા A અને B એકબીજાથી કેટલાક અંતરે આવેલ છે. જો ગંચળા A માંથી 2 A પ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે, તો ગૂંચળા B માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ 10-2Wb છે. (B માંથી પ્રવાહ વહેતો નથી). જો A માંથી કોઈ જ પ્રવાહ વહેતો ન હોય અને B માંથી 1 A પ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે, તો A માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ કેટલું હશે ?
ઉત્તર:

  • ગૂંચળા A નું ગૂંચળા B ની સાપેક્ષે અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ,
    M21 = \(\frac{\Phi_2}{\mathrm{I}_1}=\frac{10^{-2}}{2}\)
    M21 = 5 × 10-3 H
  • હવે M21 = M12 5 × 10-3 H પરંતુ ગૂંચળા B નું ગૂંચળા A ની સાપેક્ષે અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ.
    M12 = \(\frac{\Phi_1}{\mathrm{I}_2}\)
    ∴ Φ1 = M12I2 [∵ M12 = M21]
    = 5 × 10-3 × 1
    Φ1 = 5 × 10-3 Wb = 5 mWb

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
ખૂબ જ મોટા વિસ્તારમાં \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = B0sin(ωt)k̂ ચુંબકીય ક્ષેત્ર પ્રવર્તે છે. આ ક્ષેત્રમાં એકબીજાથી d જેટલા અંતરે x-y સમતલમાં રહેલા બે સમાંતર વાહક પર તાર AB એ v જેટલા વેગથી ઘર્ષણરહિત સરકે છે. (આકૃતિ જુઓ) જો AB તારનો અવરોધ R તથા બે સમાંતર તાર અવગણ્ય અવરોધ ધરાવતા હોય, તો પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ કેટલો હશે ? તાર AB ને અચળ વેગ થી ગતિ કરાવવા કેટલા બાહ્ય બળની જરૂર પડશે ?
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 35
ઉત્તર:

  • ધારોકે AB તાર t સમયે x = x પર છે.
    AB તારમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf,
    ε = \(\frac{d \Phi}{d t}\)
    = \(\frac{d}{d t}\)(AB)
    = \(\frac{d}{d t}\) [dx).(B0 sin(ωt)]
    = dB0\(\frac{d}{d t}\) [x × sin(ωt)]
    = dB0[x\(\frac{d}{d t}\)sin(ωt) + sin(ωt)\(\frac{d x}{d t}\)]
    = dB0 [xωcos(ωt) + vsin(ωt)]
  • હવે પ્રેરિત પ્રવાહ,
    I = \(\frac{\varepsilon}{R}\)
    I = \(\frac{\mathrm{B}_0 d}{\mathrm{R}}\)[xωcos(ωt) + vsin(ωt)]
    – સળિયાની અચળવેગી ગતિ ચાલુ રાખવા માટે જરૂરી બળ F = IlB અનુસાર,
    F = I\(\frac{\mathrm{B}_0 d}{\mathrm{R}}\)[xωcos(ωt) + vsin(ωt)] (d)[B0sin(ωt)]
    F = I\(\frac{\mathrm{B}_0^2 d^2}{\mathrm{R}}\)[xωcos(ωt) + vsin(ωt)] × sinωt

પ્રશ્ન 2.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સમાંતર વાહક તાર પર અવગણ્ય અવરોધ ધરાવતો વાહક તાર XY સરળતાથી સરકે છે. AC ને કારણે બંધ પરિપથનો અવરોધ R છે. AB અને
CD આદર્શ વાહકો છે અને આ વિસ્તારમાં પ્રવર્તતતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) = B(t)k̂ છે.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 36
(i) XY તારના પ્રવેગનું સમીકરણ લખો.
(ii) જો \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સમયથી સ્વતંત્ર હોય, તો v(0) = u0 ધારીને v(t) નું સૂત્ર મેળવો.
(iii) પરિણામ (ii) માટે દર્શાવો કે XY ની ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો R માં થતા ઉષ્મા વ્યય જેટલો છે.
ઉત્તર:
– ધારો કે, બે સમાંતર તારો y = 0 અને y = l પર છે.
– ધારો કે t = 0 સમયે તાર XY, x = 0 ૫૨ છે તથા t સમયે તાર x અંતરે છે.

(i) બંધ પરિપથ સાથે સંકળાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ,
Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\) = BAcoso = BA
= [B(t)] (lx)
– હવે પ્રેરિત emf,
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 37
(ગતિકીય emf)(ચુંબકીય ક્ષેત્રના ફેરફાર વડે ઉદ્ભવતું emf)
– તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
F = IlB(t)
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 38
– તારનો પ્રવેગ,
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 39

(ii) જો \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સમય સાથે ન બદલાતું હોય તો \(\frac{d \mathrm{~B}(t)}{d t}\) = 0
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 40
– બંને બાજુ સંકલન કરતાં તથા t = 0 સમયે v = u0
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 41

(iii) તારની ગતિઊર્જાનો ફે૨ફા૨,
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 42
– ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામતી ઊર્જા,
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 43
– જો B અચળ તો સમીકરણ (1) પરથી ε = -Bvl
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 44
સમીકરણ (5) અને (6) પરથી સ્પષ્ટ છે કે તારની ગતિઊર્જાનો ફે૨ફા૨ વ્યય પામતી ઉષ્માઊર્જા જેટલો હોય છે.

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 3.
અવગણ્ય અવરોધ ધરાવતા નિશ્ચિત લંબચોરસ વાહક ODBAC છે. (CO જોડાણમાં નથી) અને OP એક એવો વાહક છે જે છ જેટલી કોણીય ઝડપથી સમઘડી દિશામાં
ભ્રમણ કરે છે. (આકૃતિ જુઓ) આ સમગ્ર તંત્રને લંબચોરસ વાહક ABCD ના સમતલને લંબદિશામાં હોય તેવા નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) માં મૂકેલ છે. જો ભ્રમણ કરતા વાહકનો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ λ હોય, તો તેના 180° ના ભ્રમણ દરમિયાન તેમાં પ્રેરિત થતો પ્રવાહ શોધો.
(0 < t < \(\frac{\pi}{4 \omega}\) માટે OP ભુજા BD ને સ્પર્શે છે.)
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 45
ઉત્તર:
(i) ભ્રમણ કરતાં તાર OP ની સ્થિતિ t = 0 થી
t = \(\frac{I}{8}=\frac{\pi}{4 \omega}\) સમય માટે વિચારતા.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 46

  • આ સ્થિતિમાં ધારો કે તાર OP BD બાજુને Q ૫૨ છેદે છે તથા
  • ધારો કે OQ = x
  • ΔODQ નું ક્ષેત્રફળ = \(\frac {1}{2}\) × OD × QD
    = \(\frac {1}{2}\) × l × ltanθ
    [∵ tanθ = \(\frac{\mathrm{QD}}{\mathrm{OD}}=\frac{\mathrm{QD}}{l}\)]
    = \(\frac {1}{2}\)l2 tanθ
  • Δ ODQ સાથે સંકળાતું ફૂલક્સ,
    Φ = AB = \(\frac {1}{2}\)l2tanθB = \(\frac {1}{2}\)l2Btan(ωt) [∵ θ = ωt]
  • પ્રેરિત emf,
    ε = \(\frac{d \Phi}{d t}=\frac{d}{d t}\)(\(\frac {1}{2}\)l2Btan(ωt)]
    = ε = \(\)(\(\frac {1}{2}\)Bl2ωsec2ωt
  • પ્રેરિત પ્રવાહ,
    I = \(\frac{\varepsilon}{\mathrm{R}}=\frac{\varepsilon}{\lambda x}\)
    (અહીં બંધ પરિપથમાં OD સળિયાનો x લંબાઈનો ભાગ જ હાજર છે તેથી R = λx)

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 47

(ii)
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 48

  • આ સ્થિતિમાં તાર OP AB બાજુને ધારો કે Q બિંદુએ છેદે છે = x (જુઓ આકૃતિ)
  • OQBDO સાથે સંકળાતું ફૂલક્સ,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 49

(iii) હવે t = \(\frac{3 T}{8}=\frac{3 \omega}{4 \pi}\) થી t = \(\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega}\) સમય માટે વિચારતા.

  • સળિયો PQ ધારો કે AC ને Q પાસે છેદે છે તથા OQ = x (જુઓ આકૃતિ)

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 50

  • બંધ પરિપથ OQABDO સાથે સંકળાતું ફૂલક્સ,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 51

પ્રશ્ન 4.
આકૃતિમાં દર્શાવલ અનંત લંબાઈના તારમાં I(t), \(\frac{d \mathrm{I}}{d t}\) = λ = અચળ હોય તેવો પ્રવાહ પસાર થઈ રહ્યો છે, તો R અવરોધ ધરાવતી લંબચોરસ લૂપ (બંધગાળો) ABCD માં ઉદ્ભવતો પ્રવાહ શોધો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 52
ઉત્તર:

  • ABCD લંબચોરસ ગૂંચળાંમા ધારો કે l લંબાઈ અને dr જાડાઈની એક પટ્ટી અનંત લંબાઈના તારથી r અંતરે છે.
  • આ પટ્ટી પાસે અનંત લંબાઈના પ્રવાહધારિત તાર વડે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
    B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 \pi r}\) (સમતલને લંબ બહાર આવતી દિશામાં)
  • પટ્ટી સાથે સંકળાતું ફૂલક્સ,
    dΦ = Bda = Bldr
    dΦ = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I} l d r}{2 \pi r}\)
  • સમગ્ર ABCD બંધ ગાળા સાથે સંકળાતું ફ્લક્સ,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 53

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 5.
અનંત લંબાઈના પ્રવાહધારિત તારની નજીક લંબચોરસ વાહક લૂપ ABCD મૂકેલ છે. તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ, 0 ≤ t ≤ T માટે It = I0(1 – \(\frac{t}{\mathrm{~T}}\)) તથા t > T માટે I(0) = 0 છે (આકૃતિ જુઓ). જો લૂપનો અવરોધ R હોય, તો આપેલ બિંદુએ લૂપમાંથી T સમયમાં પસાર થતો વીજભાર શોધો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 54
ઉત્તર:

  • ABCD ગૂંચળાંમાં તારથી r અંતરે dr જાડાઈની પટ્ટી વિચારતાં.

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 55

  • આ પટ્ટી સાથે સંકળાતું ફ્લક્સ,
    dΦ = BA = \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\) (L1dr)
    dΦ = \(\frac{\mu_0 \mathrm{IL}_1}{2 \pi r}\) dr
  • સમગ્ર ABCD ગૂંચળા સાથે સંકળાતું ફૂલક્સ,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 56

પ્રશ્ન 6.
પેપરના પૃષ્ઠને લંબ બહાર તરફની દિશા (z-અક્ષ)નું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ૐ, \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\), r ≤ a જેટલા વિસ્તારમાં સીમિત છે. આ વર્તુળાકાર વિસ્તારનું કેન્દ્રr = 0 છે. જેમાં b ત્રિજ્યા (b > a) અને m દળ ધરાવતી વીજભારિત (Q વીજભાર) રિંગનું સમતલ x-y સમતલમાં તથા કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ પર ૨હે તેમ મૂકેલી છે. રિંગ ભ્રમણ કરવા માટે સ્વતંત્ર છે. તે હાલ સ્થિર છે. જો At સમયમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રને શૂન્ય કરવામાં આવે, તો ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થયા બાદ રિંગનો કોણીય વેગ શોધો.
ઉત્તર:

  • Δt સમયમાં રિંગ સાથે સંકળાતું ચુંબકીય ફૂલક્સ મહત્તમથી શૂન્ય બની જાય છે. આથી રિંગમાં પ્રેરિત emf ઉદ્ભવે છે તથા રિંગમાં પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર પણ ઉદ્ભવે છે.
    પ્રેરિત emf = વિદ્યુતક્ષેત્ર × (2πb) [∵ V = Ed પરથી]
    પરંતુ, પ્રેરિત emf e = ε = \(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}=\frac{\pi a^2 \mathrm{~B}-0}{\Delta t}=\frac{\mathrm{B} \pi a^2}{\Delta t}\)
    ∴ \(\frac{\mathrm{B} \pi a^2}{\Delta t}\) = F(2πb)
    ∴ E = \(\frac{\mathrm{B} a^2}{2 b \Delta t}\)
  • રિંગ પર લાગતું બળ, F = QE = \(\frac{\mathrm{QB} a^2}{2 b \Delta t}\)
  • રિંગ પર લાગતું ટૉર્ક,
    T = rFsinθ = \(\frac{b \mathrm{QB} a^2}{2 b \Delta t}=\frac{\mathrm{QB} a^2}{2 \Delta t}\)
  • હવે ટૉર્ક કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો સમયદર,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 57

પ્રશ્ન 7.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ સાથે θ કોણ જેટલો ઢાળ બનાવતા બે સમાંતર આદર્શવાહક તારો પર m દળ અને R અવરોધ ધરાવતો સળિયો ઘર્ષણરહિત સરકે છે. ઢાળની ટોચને આદર્શવાહક દ્વારા જોડીને બંધ-પરિપથ રચેલ છે તથા શિરોલંબ દિશામાં અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) લાગુ પાડેલ છે. જો સળિયો તેની પ્રારંભિક સ્થિતિમાં સ્થિર હોય, તો તેનો વેગ સમયના વિધેય સ્વરૂપે મેળવો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 58
ઉત્તર:

  • અહીં સળિયાના વેગનો ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ઘટક = vcosθ
    તેથી સળિયા પ્રેરિત થતું emf, ε = B(v1)l
    ε = Bvcosθl (∵ l = d)
  • પ્રેરિત પ્રવાહ I = \(\frac{\varepsilon}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{B} v d \cos \theta}{\mathrm{R}}\)
  • લેન્ઝના નિયમ અનુસાર આ પ્રેરિત પ્રવાહને લીધે સળિયાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું બળ,
    F = BId
    (\(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = I\(\vec{l} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) અનુસાર આ બળ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.)
    F = B\(\frac{\mathrm{B} v d \cos \theta d}{\mathrm{R}}\)
  • આ બળનો ઢાળની સપાટીને સમાંતર ઘટક
    = Fcosθ
    = BIdcosθ
    (જુઓ આકૃતિ)

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 59

  • સળિયા પર ઢાળની સપાટીને સમાંતર પરિણામી બળ,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 60

  • આ રેખીય વિકલ સમીકરણને ઉકેલતાં,
  • GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 61
  • જ્યાં A અચળાંક છે જેનું મૂલ્ય પ્રારંભિક શરતો પરથી મળે જ્યારે t = 0 ⇒ v = 0

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 62
તેથી,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 63

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 8.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ ગોઠવણીમાં \(\) પેપરના પૃષ્ઠને લંબ બહાર તરફની દિશાનું અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. બે અવરોધવિહીન સમાંતર વાહક તાર છે. જેના પર R અવરોધ ધરાવતો સળિયો AB અચળ વેગ v થી સરકે છે. જ્યારે t = 0 સમયે કળ S બંધ કરવામાં આવે ત્યારે સળિયા AB માંથી પસાર થતો પ્રવાહ શોધો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 64
ઉત્તર:

  • d લંબાઈનો સળિયો AB, v જેટલી ઝડપથી B ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરી રહ્યો છે. આથી સળિયાના બે છેડાઓ વચ્ચે emf પ્રેરિત થશે.
    પ્રેરિત emf ε = Bvd
  • હવે t = 0 સમયે કળ (s) ચાલુ કરતાં આ emfને લીધે કૅપેસિટર ચાર્જ થવા લાગશે. ધારો કે, t સમયે કૅપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર Q(t) છે.
  • કિર્ચીફના બીજા નિયમ અનુસાર,
    ε = VR + VC
    Bvd = IR + \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{C}}\)
    ∴ R\(\frac{d \mathrm{Q}}{d t}+\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{C}}\) = Bvd
    ∴ \(\frac{d \mathrm{Q}}{d t}+\frac{1}{\mathrm{RC}}\)Q = \(\frac{\mathrm{B} v d}{\mathrm{R}}\)
  • આ રેખીય વિકળ સમીકરણનો ઉકેલ નીચે મુજબ મળે.
    Q = \(\frac{\mathrm{B} v d / \mathrm{R}}{1 / \mathrm{RC}}\) + A exp(- \(\frac{1}{\mathrm{RC}}\)t)
    Q = BvdC + Ae-t/RC …………… (1)
  • જ્યાં A અચળાંકની કિંમત પ્રારંભિક શરત પરથી મળે.
    t = 0 સમયે Q = 0
    ∴ 0 = BvdC + A(1)
    ∴ A – BvdC
  • સમીકરણ (1) પરથી,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 65

પ્રશ્ન 9.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ ગોઠવણીમાં \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) પેપરના પૃષ્ઠને લંબ બહારની તરફની દિશામાં અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. બે અવરોધવિહીન સમાંતર વાહક તાર છે. જેના પર R અવરોધ ધરાવતો સળિયો AB અચળ વેગ v થી સરકે છે. જ્યારે t = 0 સમયે કળ S બંધ કરવામાં આવે ત્યારે AB માંથી પસાર થતો પ્રવાહ શોધો.
GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 66
ઉત્તર:

  • d લંબાઈનો સળિયો AB v જેટલી અચળ ઝડપથી \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરી રહ્યો છે. આથી સળિયાના બે છેડા વચ્ચે emf પ્રેરિત થશે.
  • પ્રેરિત emf ε = Bvd
  • હવે t = 0 સમયે કળ (Switch) ચાલુ કરતાં ઇન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ વધવા લાગશે. ધારો કે ઇન્ડક્ટરનો પ્રવાહ I છે, તો કિર્રોફના બીજા નિયમ અનુસાર,
    ε = VR + VL
    = Bvd
    = IR + L\(\frac{d \mathrm{I}}{d t}\)
    \(\frac{d \mathrm{I}}{d t}+\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}}\) I = \(\frac{\mathrm{B} v d}{\mathrm{~L}}\)
  • આ રેખીય વિકળ સમીકરણનો ઉકેલ,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 67

  • જ્યાં A અચળાંક છે જેનો ઉકેલ પ્રારંભિક શરત પરથી મળે
    જ્યારે t = 0 ત્યારે I
    ∴ = 0 \(\frac{\mathrm{B} v d}{\mathrm{R}}\) + A(1)
    A = \(\frac{\mathrm{B} v d}{\mathrm{R}}\)
  • સમીકરણ (1) પરથી,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 68

પ્રશ્ન 10.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધરાવતા કોઈ એક વિસ્તારમાં m દળ અને l ત્રિજ્યા ધરાવતી ધાતુની રિંગ (રિંગ સમક્ષિતિજ છે) ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ પતન પામે છે. જો z-અક્ષ ઊર્ધ્વદિશામાં લેવામાં આવે તથા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઊર્ધ્વ ઘટક Bz = B0(1 + λz) હોય તથા રિંગનો અવરોધ R અને તે v જેટલા વેગથી પતન પામતી હોય, તો અવરોધકમાં વ્યય થતી ઊર્જા શોધો. જો રંગ તેનો અંતિમ અચળ વેગ પ્રાપ્ત કરે તો ઊર્જા-સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરીને, m, B, λ અને ગુરુત્વ g ને લીધે ઉદ્ભવતા પ્રવેગના સ્વરૂપમાં અંતિમ વેગ v મેળવો.
ઉત્તર:

  • અહીં, રિંગનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી રિંગ સાથે સંકળાતું ફૂલક્સ,
    Φ = ABcosθ = AB (∵ θ = 0
    Φ = Bzπl2
    Φ = B0(1 + λz)πl2
  • ફેરેડેના નિયમ અનુસાર પ્રેરિત emf,
    ε = \(\frac{d \phi}{d t}=\frac{d}{d t}\) [B0 (1 + λz)πl2
    ε = B0πl2λ\(\frac{d z}{d t}\)
    ε = B0πl2λv
  • પ્રેરિત પ્રવાહ, I = \(\frac{S}{R}\)
    I = \(\frac{\mathrm{B}_0 \pi l^2 \lambda v}{\mathrm{R}}\)
  • રિંગમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે એકમ સમયમાં વેડફાતી ઊર્જા,
    H = I2R = (\(\frac{\mathrm{B} \pi l^2 \lambda \nu}{\mathrm{R}}\))2R
    H = \(\frac{\mathrm{B}_0^2 \pi^2 l^4 \lambda^2 v^2}{\mathrm{R}}\)
  • આ એકમ સમય દીઠ ઉદ્દ્ભવતી ઉષ્મા એ સ્થિતિઊર્જાના ફેરફારના સમયદરના ભોગે મળે છે તેથી,
    સ્થિતિઊર્જાના ફેરફારનો સમય દર = એકમ સમય દીઠ ઉદ્ભવતી ઉષ્મા
    (∵ જ્યારે વેગ અચળ ત્યારે ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.)

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 69

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 11.
a વ્યાસ અને એકમ લંબાઈ દીઠ ‘n’ આંટા ધરાવતો એક સોલેનોઇડ S છે. તેના કેન્દ્ર પર N આંટા અને ‘b’ વ્યાસ (b < a) વાળું એક નાનું ગૂંચળું મૂકવામાં આવે છે. જો સોલેનોઇડમાંથી વહેતો પ્રવાહ સમય સાથે રેખીય રીતે વધારવામાં આવે તો નાના ગૂંચળામાં કેટલું emf પ્રેરિત થશે ? જો પ્રવાહ સમય સાથે mt2 + C વિધેય અનુસાર બદલાતો હોય, તો ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ દોરો.
ઉત્તર:

  • અતિ લાંબા સૉલેનોઈડ વડે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
    B = µ0nI
  • નાના ગૂંચળા સાથે સંકળાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ,
    Φ = NAB
    = N(πb2) (µ0nI)
    Φ = µ0Nπb2nI
  • નાના ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf,

GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ 70

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *