GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 1 વિધુતભારો અને ક્ષેત્રો

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 1 વિધુતભારો અને ક્ષેત્રો Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 1 વિધુતભારો અને ક્ષેત્રો

GSEB Class 12 Physics વિધુતભારો અને ક્ષેત્રો Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
2 × 10^-7C અને 3 × 10^-7C વિધુતભાર ધરાવતા અને એકબીજાથી હવામાં 30 cm અંતરે રહેલા બે વિધુતભારિત ગોળાઓ વચ્ચે કેટલું બળ લાગે ? (ઓગસ્ટ 2020)
ઉત્તર:
F = \(\frac{k q_1 q_2}{r^2}\)
= \(\frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-7} \times 3 \times 10^{-7}}{(0.3)^2}\)
= \(\frac{54 \times 10^{-5}}{9 \times 10^{-2}}\)
= 6 × 10^-3 N અપાકર્ષણ

પ્રશ્ન 2.
0.4 µC વિધુતભાર ધરાવતા એક નાના ગોળા પર બીજા – 0.8 µC વિધુતભાર ધરાવતા નાના ગોળા વડે હવામાં લાગતું સ્થિતવિધુત બળ 0.2 N છે.
(a) બે વિધુતભારો વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે ?
(b) બીજા ગોળા પર પ્રથમ ગોળાને લીધે લાગતું બળ કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
(a) F = \(\frac{k q_1 q_2}{r^2}\)
∴ r² = \(\frac{k q_1 q_2}{\mathrm{~F}}\)
= \(\frac{9 \times 10^9 \times\left(0.4 \times 10^{-6}\right)\left(-0.8 \times 10^{-6}\right)}{0.2}\)
= 14.4 × 10^-3
= 144 × 10^-4
∴ r = 12 × 10^-2 m
= 0.12 m

(b) ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ પરથી બંને ગોળા પર સમાન મૂલ્યના પણ વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લાગે તેથી 0.4 µC વિદ્યુતભારના ગોળાના લીધે – 0.8 µC વિદ્યુતભારના ગોળા પર 0.2 N આકર્ષણ બળ લાગે.

પ્રશ્ન 3.
\(\frac{k e^2}{\mathrm{G} m_e m_p}\) ગુણોત્તર પરિમાણરહિત છે તેમ ચકાસો. ભૌતિક અચળાંકો ધરાવતા કોષ્ટકમાં જુઓ અને આ ગુણોત્તરનું મૂલ્ય શોધો. આ ગુણોત્તર શું સૂચવે છે ?
ઉત્તર:

= 2.29 × 10³⁹
આ મૂલ્ય એ ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોન વચ્ચેના સ્થિત વિદ્યુતબળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે.

આ મોટો ગુણોત્તર દર્શાવે છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતાં વિદ્યુતબળ ઘણું જ પ્રબળ છે.

પ્રશ્ન 4.
(a) ‘પદાર્થનો વિધુતભાર ક્વોન્ટમિત (Quantised) થયેલો છે.’ – એ કથનનો અર્થ સમજાવો.
(b) સ્થળ એટલે કે મોટા માપક્રમ પર વિધુતભારો સાથે કામ કરતી વખતે આપણે વિધુતભારનું ક્વોન્ટમીકરણ શા માટે અવગણી શકીએ છીએ ?
ઉત્તર:
(a) વિદ્યુતભારના ક્વૉન્ટાઇઝેશનનો અર્થ એ છે કે કોઈ પણ પદાર્થ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર, હંમેશાં કોઈ મૂળભૂત વિદ્યુતભાર (e) ના પૂર્ણાક ગુણાંકમાં હોય છે. ઇલેક્ટ્રૉન પરના વિદ્યુતભારને મૂળભૂત વિદ્યુતભાર કહે છે.
– આમ, કોઈ પણ પદાર્થ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર,
q = ne જ્યાં n = 1 + 2 + 3 + ……, પૂર્ણાક

(b) જ્યારે આપણે મોટા વિદ્યુતભાર (q = ne) સાથે કાર્ય કરતાં હોઈએ ત્યારે વિદ્યુતભારના ક્વૉન્ટાઇઝેશનને અવગણી શકીએ.
– એનું કારણ એવું છે કે 2 નું મૂલ્ય ઘણું નાનું છે અને n ઘણો મોટો છે તેથી q = ne (પ્રોટોન્સ અથવા ઇલેક્ટ્રૉન્સની સંખ્યા ગણી શકાય નહીં) પરથી એ સતત તરીકે વર્તે છે. એટલે કે, વધુ સંખ્યામાં વિદ્યુતભારો સતત રીતે ગતિ કરતાં હોય છે. આથી ધૂળ ચર્ચામાં વિદ્યુતભારના મૂલ્યની સરખામણીમાં વિદ્યુતભારોની સંખ્યા ઘણી જ વધારે હોવાથી ક્વૉન્ટમીકરણને અવગણી શકાય.

પ્રશ્ન 5.
જ્યારે કાચના સળિયાને રેશમી કાપડ સાથે ઘસવામાં આવે છે ત્યારે વિધુતભાર બંને પર દેખા દે છે. આવી ઘટના પદાર્થોની અન્ય જોડીઓ માટે પણ જણાય છે. વિધુતભાર સંરક્ષણના નિયમ સાથે આ બાબત કેવી રીતે સુસંગત છે તે સમજાવો.
ઉત્તર:

જ્યારે કાચના સળિયાને રેશમના કાપડ સાથે ઘસવામાં આવે છે ત્યારે જેટલા ઇલેક્ટ્રૉન સળિયા પરથી જાય છે તેટલા જ ઇલેક્ટ્રોન રેશમના કાપડ પર જાય છે તેથી કાચનો સળિયો જેટલો ધન વિદ્યુતભારિત બને છે તેટલો ઋણ વિદ્યુતભારિત રેશમના કાપડનો ટુકડો બને છે.
આમ, કાચના સળિયા કે રેશમના કાપડ પર શરૂઆતમાં કોઈ વિદ્યુતભાર નથી તેથી ઘસ્યા બાદ + q + (- q) = 0 એટલે કે બંને પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.
આમ, વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમનું પાલન થતું હોય છે.

પ્રશ્ન 6.
ચાર બિંદુવત્ વિધુતભારો q_A = 2 μC, q_B = -5 μC, q_C = 2 μC અને q_D = -5 μC એક 10 cm ની બાજુવાળા ચોરસ ABCD ના શિરોબિંદુઓ પર અનુક્રમે રહેલા છે. ચોરસના કેન્દ્ર પર મૂકેલા 1μC વિધુતભાર પર લાગતું બળ શોધો.
ઉત્તર:

1 μC ના વિદ્યુતભાર પર A અને C બિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારના લીધે લાગતા બળો F_A અને F_C સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય.
અને 1 μC ના વિદ્યુતભાર પર B અને D બિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારના લીધે લાગતાં બળો \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{B}}}\) અને \(\overrightarrow{F_D}\) સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય.

પ્રશ્ન 7.
(a) સ્થિત વિધુત ક્ષેત્ર રેખા એ સળંગ વક્ર છે. એટલે કે ક્ષેત્ર રેખાને અચાનક ભંગાણો (ગાબડાં, વિચ્છેદ) ન હોઈ શકે. આવું શા માટે ?
(b) બે ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈ બિંદુએ એકબીજાને શા માટે છેદતી નથી તે સમજાવો.
ઉત્તર:
(a) કારણ કે, જો કોઈ વિદ્યુતભારને આવા વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ખસેડવામાં આવે તો તેના પર સળંગ બળ લાગે છે અને વિદ્યુતભાર કોઈ પણ બિંદુ પાસે કૂદીને બીજા બિંદુ પર જઈ શકતો નથી. સળંગ બળના કારણે ખસ્યા જ કરે છે. આમ, અચાનક ભંગાણો શક્ય નથી.

(b) કારણ કે, જો બે વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ છેદે તો છેદનબિંદુ પાસે બે ક્ષેત્ર રેખાઓને અનુરૂપ બે સ્પર્શકો મળે એટલે કે એક જ બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્રની બે દિશાઓ મળે જે શક્ય નથી. કારણ કે, આપેલા બિંદુએ એક જ સમયે ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા એક જ હોય જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

પ્રશ્ન 8.
બે બિંદુવત્ વિધુતભારો q_A = 3 μC અને q_B = – 3μC એકબીજાથી શૂન્યાવકાશમાં 20 cm દૂર રહેલા છે
(a) બે વિધુતભારોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ O આગળ વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
(b) જો 1.5 × 10^-9C માન ધરાવતો એક ઋણ પરિક્ષણ વિધુતભાર આ બિંદુએ મૂકવામાં આવે, તો તેના પર લાગતું બળ કેટલું હશે ?
ઉત્તર:

(a) O એ \(\overline{\mathrm{AB}}\) નું મધ્યબિંદુ છે તેથી AO = 0.1 m,
BO = 0.1m
O બિંદુ પાસે પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર,
E = E_A + E_B (∵ E_A અને E_B એક જ દિશામાં છે.)

∴ E = 54 × 10⁵ NC^-1
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 5.4 × 10⁶ NC^-1 → A થી B તરફ તરફ

(b) પરિક્ષણ વિદ્યુતભાર q₀ =- 1.5 × 10^-9C પર લાગતું બળ
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = q₀\(\overrightarrow{\mathrm{E}}\)
=– 1.5 × 10^-9 × 5.4 × 10⁶
= – 8.1 × 10^-3N
(O થી B તરફની દિશાની વિરુદ્ધ)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}\) = – 8.1 × 10^-3N (0 થી A તરફ)

આમ, ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

પ્રશ્ન 9.
એક તંત્રમાં બે વિધુતભારો q_A = 2.5 × 10^-7 C અને q_B = – 2.5 × 10^-7 C અનુક્રમે A: (0, 0, -15cm) અને B: (0, 0, + 15 cm) બિંદુઓએ રહેલા છે. તંત્રનો કુલ વિધુતભાર અને વિધુત ડાયપોલ ચાકમાત્રા શોધો.
ઉત્તર:

આ તંત્ર પરનો કુલ વિદ્યુતભાર
q = q_A + q_B
= 2.5 × 10^-7 – 2.5 × 10^-7
= 0
અને તંત્ર પરની કુલ વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટ
\(\vec{p}\) = q(2\(\vec{a}\))
અહીં 2\(\vec{a}\) = B થી A તરફની દિશામાં છે.
અને 2\(\vec{a}=\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}\)
= (0, 0, -15) – (0, 0, 15)
= (0, 0, -30) cm
∴ \(|2 \vec{a}|=\sqrt{0^2+0^2+(30)^2}\)
= 30 cm
∴ ડાયપોલ મોમેન્ટ \(\vec{p}\) = q (2\(\vec{a}\)).
∴ \(\vec{p}\) = 2.5 × 10^-7 30 × 10^-2 (A થી B તરફની દિશામાં)
∴ \(\vec{p}\) = 7.5 × 10^-8 Cm (A થી B તરફ),
એટલે ઋણ Z-અક્ષની દિશામાં અને મૂલ્ય
p = 7.5 × 10^-8 Cm

પ્રશ્ન 10.
4 × 10^-9C m ની ડાયપોલ ચાકમાવ્યા ધરાવતી એક વિધુત ડાયપોલ 5 × 10⁴ NC^-1 નું માન ધરાવતા સમાન વિધુતક્ષેત્ર સાથે 30° ના કોણે રહેલી છે. આ ડાયપોલ પર લાગતા ટોર્કનું માન શોધો.
ઉત્તર:
P = 4 × 10^-9 Cm, E = 5 × 10⁴ N C^-1,
θ = 30°, τ = (?)
τ = pEsinθ
= 4 × 10^-9 × 5 × 10⁴ sin 30°
= \(\frac{4 \times 5 \times 10^{-5}}{2}\) [ ∵ sin 30° = \(\frac{1}{2}\)]
∴ τ = 10^-4 Nm

પ્રશ્ન 11.
ઊન સાથે ઘસેલા એક પોલિથીન ટુકડા પર ૩૪ 10^-7C ઋણ વિધુતભાર છે.
(a) સ્થાનાંતરિત થયેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા શોધો. તેઓ શાના પરથી શાના પર સ્થાનાંતરિત થયા છે ?
(b) ઊનથી પોલિથીન તરફ કેટલાં દળનું સ્થાનાંતર થયેલ છે ?
ઉત્તર:
(a) Q = ne
∴ n = \(\frac{\mathrm{Q}}{e}=\frac{-3 \times 10^{-7}}{-1.6 \times 10^{-19}}\)
∴ n = 1.875 × 10¹²
∴ n ≈ 2 × 10¹²
⇒ 2 × 10¹² ઇલેક્ટ્રૉન ઊન પરથી પૉલિથીન પર જશે.

(b) હા. કારણ કે, પૉલિથીનના ટુકડા પર 2 × 10¹² ઇલેક્ટ્રૉન આવતા હોવાથી તેનું દળ વધશે અને ઊનનું દળ ઘટશે. પૉલિથીનના દળમાં વધારો
M = m n
= 9.1 × 10^-31 × 1.875 × 10¹²
= 17.0625 × 10^-19
≈ 2 × 10^-18 kg

પ્રશ્ન 12.
(a) કોપરના અલગ કરેલા બે ગોળાઓ A અને B ના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર 50 cm છે. જો દરેક પરનો વિધુતભાર 6.5 × 10^-7 હોય તો તેમની વચ્ચે પરસ્પર લાગતું અપાકર્ષણનું બળ કેટલું હશે ? A અને B વચ્ચેના અંતરની સરખામણીએ તેમની ત્રિજ્યાઓ અવગણી
શકાય તેવી છે.
(b) જો આ દરેક ગોળા પરનો વિધુતભાર બમણો કરવામાં આવે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે, તો કેટલું અપાકર્ષણ બળ લાગશે ?’
ઉત્તર:
a) અપાકર્ષણ બળ F = \(\frac{k q^2}{r^2}\)
= \(\frac{9 \times 10^9 \times\left(6.5 \times 10^{-7}\right)^2}{(0.5)^2}\)
= \(\frac{9 \times 10^9 \times 42.25 \times 10^{-14}}{25 \times 10^{-2}}\)
= 15.21 × 10^-3
= 1.521 × 10^-2 N

(b) હવે જો વિદ્યુતભાર બમણો કરીએ તો ,
q’ = 2q
= 2 × 6.5 × 10^-7
= 13 × 10^-7 C થાય.
∴ અને તેમની વચ્ચેનું અંતર r’ = \(\frac{r}{2}=\frac{0.5}{2}\) = , 0.25 m થાય.
– હવે અપાકર્ષણ બળ F’ = \(\frac{k\left(q^{\prime}\right)^2}{\left(r^{\prime}\right)^2}\)
= \(\frac{k(2 q)^2}{\left(\frac{r}{2}\right)^2}\) = \(\frac{16 k q^2}{r^2}\)
∴ F’ = 16 × F
∴ F’ = 16 × 1.521 × 10^-2
∴ F’ = 24.336 × 10^-2 N
∴ F’ ≈ 0.24 N.

પ્રશ્ન 13.
ધારો કે, સ્વાધ્યાય 1.12 માંના બંને ગોળાઓ એકસમાન માપના છે. ત્રીજો તેમના જેવો જ પણ વિધુતભારરહિત ગોળો પ્રથમ ગોળા સાથે સંપર્કમાં લાવી ત્યારબાદ બીજા ગોળા સાથે સંપર્કમાં લાવી તે બંનેથી દૂર કરવામાં આવે છે. હવે A અને B વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
q_A = q_B = 6.5 × 10^-7C
r = 0.5 m
વિદ્યુતભારરહિત ત્રીજા ગોળા C ને A સાથે સંપર્ક કરાવી અલગ કરતાં દરેક પરનો વિદ્યુતભાર,

હવે q₁વિદ્યુતભારવાળા ગોળા ને ગોળા B સાથે સંપર્કમાં લાવી અલગ કરતાં દરેક પરનો વિદ્યુતભાર
q₂ = \(\frac{q_{\mathrm{B}}+q_1}{2}\) = \(\frac{6.5 \times 10^{-7}+3.25 \times 10^{-7}}{2}\)
= 4.875 × 10^-7C

હવે ગોળા A પરનો વિદ્યુતભાર q₁ અને ગોળા ઉપરનો વિદ્યુતભાર q₂, ને r અંતરે રાખતાં તેમની વચ્ચે લાગતું અપાકર્ષણબળ
F = \(\frac{k q_1 q_2}{r^2}\)
= \(\frac{9 \times 10^9 \times 3.25 \times 10^{-7} \times 4.875 \times 10^{-7}}{(0.5)^2}\)
= 570.375 × 10^-5 ≈ 5.7 × 10^-3N
∴ F ≈ 5.7 mN (અપાકર્ષણ)

પ્રશ્ન 14.
આકૃતિમાં સમાન વિધુતક્ષેત્રમાં ત્રણ વિધુતભારોનાં ગતિપથ દશવિ છે. ત્રણ વિધુતભારોનાં ચિહ્ન આપો. કયા કણ માટે વિધુતભાર અને દળનો ગુણોત્તર મહત્તમ હશે ?

ઉત્તર:

ધન પ્લેટ તરફ વાંકાં વળતાં કણો (1) અને (2) પરનો વિદ્યુતભાર ઋણ અને ઋણ પ્લેટ તરફ વાંકાં વળતાં કણ (3) પરનો વિદ્યુતભાર ધન છે.
હવે y ∝ \(\frac{e}{m}\) એટલે સ્થાનાંતર ∝ \(\frac{e}{m}\) હોવાથી તથા કણ (3) માટે સ્થાનાંતર y વધારે હોવાથી કણ (3) માટે \(\frac{e}{m}\) નું મૂલ્ય મહત્તમ હશે.
નોંધઃ \(\frac{e}{m}\) એટલે એકમ દળ દીઠ વિદ્યુતભાર અથવા વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર.

પ્રશ્ન 15.
એકસમાન વિધુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 3 × 10³ î N/C નો વિચાર કરો.
(a) yz સમતલને સમાંતરે જેનું સમતલ હોય તેવા 10 cm ની બાજુવાળા ચોરસમાંથી આ ક્ષેત્રનું ફલક્સ કેટલું હશે ?
(b) જો આ જ ચોરસના સમતલને દોરેલો લંબ x-અક્ષ સાથે 60° નો કોણ બનાવે તો તેમાંથી પસાર થતું ફલક્સ કેટલું હશે?
ઉત્તર:
(a)

\(\overrightarrow{\mathrm{A}_1}\) = (0.1)² = 10^-2îm², \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 3 × 10³ î NC^-1
∴ Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_1}\)
(10^-2î) . (3 × 10³ î ) = 30 Nm²C^-1

(b)

હવે ક્ષેત્રફળ સદિશ \(\) અને વિદ્યુતક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો 60° હોય તો θ = 60°
∴ Φ = \(\overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}_2}\)
= EA cosθ [ ∵A₂ = Acosθ]
= 3 × 10³ × 10^-2 × cos60°
= 30 ×\(\frac {1}{2}\) = 15 Nm² C^-1

પ્રશ્ન 16.
20 cm ની બાજુવાળા એક ઘન કે જેની બાજુઓ યામ સમતલોને સમાંતર રાખેલ હોય તેમાંથી સ્વાધ્યાય 1.15 માં દશવિલ વિધુતક્ષેત્રનું ફલક્સ કેટલું હશે ?
ઉત્તર:

સમઘન સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
કારણ કે સમઘનમાં 20 cm બાજુમાંથી જેટલી ક્ષેત્ર રેખાઓ દાખલ થાય તેટલી જ ક્ષેત્ર રેખાઓ તે સમઘનમાંથી બહાર નીકળે છે તેથી પરિણામી બળ રેખાઓ શૂન્ય છે.
બીજી રીત :

રકમને અનુરૂપ આકૃતિ દોરેલ છે. ઘનના 6 પૃષ્ઠો પૈકી 4 પૃષ્ઠો \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) ને સમાંતર હોવાથી તેમની સાથે સંકળાયેલ ફુલક્સ શૂન્ય. કારણ કે \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) ⊥ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) થતાં θ = 90° અને Φ = EAcos90° = 0

માત્ર પૃષ્ઠ (1) અને પૃષ્ઠ (2) સાથે ફૂલક્સ સંકળાશે.
પૃષ્ઠ (1) સાથે સંકળાયેલ ફુલક્સ,
Φ₁ = A₁ Ecosθ₁
= (0.2)² × 3 × 10³ × cos180°
= 0.04 × 3 × 10³ × (-1) – 120 Nm² C^-1
પૃષ્ઠ (2) સાથે સંકળાયેલ ફુલક્સ,
Φ₂ = A₂ Ecosθ₂
= (0.2)² × 3 × 10³ × cos0°
= 0.04 × 3 × 10³ × 1 = 120 Nm²C^-1
ઘન સાથે સંકળાયેલ કુલ ફુલક્સ,
Φ = Φ₁ + Φ₂ = – 120 + 120 = 0

પ્રશ્ન 17.
એક બ્લેક બોક્સની સપાટી આગળના વિધુતક્ષેત્રની કાળજીપૂર્વકની માપણી દશવેિ છે કે બોક્સની સપાટીમાંથી બહારની તરફનું કુલ ફલક્સ 8.0 × 10³ Nm²/C છે.
(a) બોકસની અંદરનો કુલ વિધુતભાર કેટલો હશે ?
(b) જો બોક્સની સપાટીમાંથી બહારની તરફનું કુલ (Net) ફલક્સ શૂન્ય હોત તો તમે એવો નિષ્કર્ષ તારવી શક્યા હોત કે બોક્સમાં કોઈ વિધુતભાર નથી ? આવું હોય તો કેમ અથવા ન હોય તો પણ કેમ ?
ઉત્તર:
(a) અહીં Φ = 8.0 × 10³ Nm² C^-1
ગૉસના પ્રમેય પરથી,
Φ = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\)
∴ q = ε₀q
= 8.85 × 10^-12 × 8.0 × 10³
= 70.8 × 10^-9C ≈ 0.0708 × 10^-6c
≈ 0.07 µC

(b) ના, આપણે કહી ન શકીએ કે બૉક્સની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર નથી પણ આપણે એમ કહી શકીએ કે બૉક્સની અંદર ચોખ્ખો વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.
– જો બૉક્સમાં સમાન મૂલ્યના વિજાતીય વિદ્યુતભારો આવેલાં હોય તો પણ બૉક્સ વડે ઘેરાયેલ કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય થાય તેથી બૉક્સ વડે ઘેરાયેલ કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય ત્યારે એવું જરૂરી નથી કે બૉક્સની અંદર કોઈ વિદ્યુતભારો હોય જ નહીં.

પ્રશ્ન 18.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ 10 cm બાજુવાળા એક ચોરસના કેન્દ્રથી બરાબર ઉપર 5 cm અંતરે + 10 µC બિંદુવત્ વિધુતભાર રહેલો છે. ચોરસમાંથી વિધુત લક્સનું મૂલ્ય કેટલું હશે ? (સૂચન : ચોરસને 10 cm ની ધારવાળા ઘનની એક બાજુ તરીકે વિચારો.)

ઉત્તર:

– ABCD ચોરસને 10 cm બાજુવાળા સમઘનની એક બાજુ તરીકે વિચારી શકાય.
હવે q = +10 µC ને ABCD ચોરસના કેન્દ્રથી ઉપર 5 cm હોવાથી તે સમઘનના કેન્દ્ર પર આવેલો ગણાય. તેથી ગોસના
નિયમ પરથી સમઘનની છ બાજુઓ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ
Φ = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\)
∴ ABCD જેવા એક ચોરસ બાજુમાંથી પસાર થતું ફુલક્સ,
Φ’ = \(\frac{\phi}{6}=\frac{q}{6 \varepsilon_0}\)
= \(\frac{10 \times 10^{-6}}{6 \times 8.85 \times 10^{-12}}\) = 0.18832 × 10⁶
≈ 1.8832 × 10⁵ Nm² C^-1 ≈ 1.9 × 10⁵ Nm² C^-1
નોંધ : પાઠ્યપુસ્તકનો જવાબ ખોટો હોઈ શકે.

પ્રશ્ન 19.
9.0 cm ની ધારવાળા એક ઘનાકાર ગોસિયન સપાટીના કેન્દ્ર પર 2.0 µC વિધુતભાર રહેલો છે. આ સપાટીમાંથી કુલ વિધુત ફલક્સ કેટલું હશે ?
ઉત્તર:

સમઘન સાથે સંકળાયેલ ફલક્સ ગૉસના પ્રમેય પરથી.

Φ = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\)
= \(\frac{2 \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12}}\)
= 0.226 × 10⁶
= 2.26 × 10⁵ Nm² C^-1

નોંધ : સમઘનનું પરિમાણ ગમે તે હોઈ અને તેની અંદર ગમે ત્યાં વિદ્યુતભાર મૂકેલો હોય ત્યારે તેમાંથી બહાર આવતું ફુલક્સ બદલાતું નથી. (પાઠ્યપુસ્તકનો જવાબ અલગ છે)

પ્રશ્ન 20.
10.0 cm ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર ગોસિયન સપાટીના કેન્દ્ર પર મૂકેલા બિંદુવત્ વિધુતભારને લીધે તે સપાટીમાંથી -1.0 × 10³ Nm² C^-1નું ફલક્સ પસાર થાય છે.
(a) જો ગોસિયન સપાટીની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવી હોત તો સપાટીમાંથી કેટલું ફલક્સ પસાર થતું હોત ?
(b) બિંદુવત્ વિધુતભારનું મૂલ્ય કેટલું હશે ?
ઉત્તર:

(a) ગૉસના નિયમ પરથી ગૉસિયન પૃષ્ઠ સાથે સંકળાયેલ લક્સનો આધાર, પૃષ્ઠ વડે ઘેરાતા વિદ્યુતભારના મૂલ્ય પર છે પણ પૃષ્ઠના પરિમાણ પર નથી. તેથી ગોળાકાર ગૉસિયન પૃષ્ઠની ત્રિજ્યા બમણી કરતાં તેની સાથે સંકળાયેલ ફુલક્સ બદલાતું નથી. તેથી -1.0 × 10³ Nm² C^-1

(b) હવે હું Φ = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\)
∴ q = ∈₀ Φ = 8.85 × 10^-12 × -1 × 10³)
∴ q = – 8.85 × 10^-9 C
∴ q = – 8.85 n C

પ્રશ્ન 21.
10 cm ત્રિજ્યાના એક વાહક ગોળા પર અજ્ઞાત વિધુતભાર છે. ગોળાના કેન્દ્રથી 20 cm દૂરના બિંદુએ વિધુતક્ષેત્ર – 1.5 × 10³ N/C ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં અંદરની તરફ હોય તો ગોળા પરનો કુલ વિધુતભાર કેટલો હશે ?(ઓગસ્ટ 2020)
ઉત્તર:
અહીં ગોળાની ત્રિજ્યા R = 10 cm, E = 1.5 × 10³ N/C અને ગોળાના કેન્દ્રથી 20 cm અંતર એટલે r > R

∴ E = \(\frac{k q}{r^2}\)
∴ q = \(\frac{\mathrm{E} r^2}{k}\)
= \(\frac{-1.5 \times 10^3 \times(0.2)^2}{9 \times 10^9}\)
= – 6.67 × 10^-9 C
∴ q = – 6.67 nC

પ્રશ્ન 22.
2.4 m નો વ્યાસ ધરાવતા એક સમાન વિધુતભારિત ગોળા પર વિધુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા 80.0 μC/m² છે.
(a) ગોળા પરનો વિધુતભાર શોધો.
(b) ગોળાની સપાટીમાંથી બહાર જતું કુલ વિધુત લક્સ કેટલું હશે ?
ઉત્તર:
(a) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભારની ઘનતા σ = \(\frac{q}{4 \pi \mathrm{R}^2}\)
∴ q = σ × 4πR²
= 80 × 10^-6 × 4 × 3.14 × (1.2)²
= 1446.9 × 10^-6C
≈ 1.45 × 10^-3C

(b) બહાર નીકળતું ફુલક્સ
∴ Φ = \(\frac{q}{\varepsilon_0}=\frac{1.45 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}}\)
∴ Φ = 0.1638 × 10⁹
∴ Φ ≈ 1.64 × 10⁸ Nm² C^-1

પ્રશ્ન 23.
એક અનંત લંબાઈનો રેખીય વિધુતભાર 2 cm અંતરે 9 × 10⁴ N/C વિધુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. રેખીય વિધુતભાર ઘનતા ગણો.
(ઓગસ્ટ 2020)
ઉત્તર:
સૂત્ર અનુસાર E = \(\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}\)
∴ λ = 2 πε₀ × E r
= \(\frac{4 \pi \varepsilon_0 \mathrm{E} r}{2}=\frac{\mathrm{E} r}{2 k}\)
λ = \(\frac{9 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-2}}{9 \times 10^9 \times 2}\)
= 1 × 10^-7
= 0.1 × 10^-6Cm^-1 ∴ λ = 0.1 μCm^-1

પ્રશ્ન 24.
બે મોટી, પાતળી ધાતુની પ્લેટો એકબીજાની નજીક અને સમાંતર છે. તેમની અંદરની બાજુઓ પર વિરદ્ધ ચિહનો ધરાવતી અને 17.0 × 10^-22 C\m² મૂલ્યની વિધુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા છે.
(a) પ્રથમ પ્લેટની બહારના વિસ્તારમાં
(b) બીજી પ્લેટની બહારના વિસ્તારમાં અને
(C) બંને પ્લેટોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં, વિધુતક્ષેત્ર \(\) શોધો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 25.
મિલિકનના ઑઇલ ડ્રોપ પ્રયોગમાં 12 વધારાના ઇલેક્ટ્રોન ધરાવતું એક ઓઇલ ડ્રોપ 2.55 × 10⁴ NC^-1 ના સમાન વિધુતક્ષેત્રની અસર હેઠળ સ્થિર રાખવામાં આવ્યું છે. જો ઓઇલની ઘનતા 1.26 g cm^-3 હોય, તો તે ડ્રોપની ત્રિજ્યા શોધો. (g = 9.81 ms^-2, e = 1.60 × 10^-19 C)
ઉત્તર:
– અહીં E = 2.25 × 10⁴ NC^-1
n = 12
ρ = 1.26 g cm^-3 = 1.26 × 10³ kg m^-3
– ટીપું સ્થિર રહે છે તેથી ટીપાંનું વજન = વિદ્યુતક્ષેત્રના લીધે

mg = F ⇒ mg = Eq
\(\frac {4}{3}\)πr³ [∵ q = ne]

પ્રશ્ન 26.
આકૃતિમાં દશવિલ વક્રો પૈકી કયો/કયા વક્ર સ્થિતવિધુત ક્ષેત્ર રેખાઓ રજૂ કરી શકશે નહીં ?

ઉત્તર:
(a) આ ખોટું છે. આકૃતિ સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ રજૂ કરતી નથી કારણ કે, સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ વાહકની સપાટીને લંબરૂપે દાખલ થાય અને બહાર નીકળે પણ આકૃતિમાં સ્થાનિક રીતે લંબરૂપે બધી રેખાઓ નથી.

(b) આ ખોટું છે. આકૃતિ (b) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ રજૂ કરતી નથી કારણ કે સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ઋણ વિદ્યુતભારથી નીકળે નહીં અને આકૃતિમાં ઋણ વિદ્યુતભારમાંથી ક્ષેત્ર રેખાઓ નીકળતી દર્શાવી છે.

(d) આ ખોટું છે. આકૃતિ (d) એ સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ રજૂ કરતી નથી કારણ કે તેમાં બે ક્ષેત્ર રેખાઓ છેદતી બતાવેલ છે જે શક્ય નથી.

(e) આ ખોટું છે. વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધગાળા રચે નહીં અને આકૃતિ (e) માં ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધગાળા રચતી દર્શાવી છે તેથી આકૃતિ (e) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ રજૂ કરતી નથી.

પ્રશ્ન 27.
અવકાશના અમુક વિસ્તારમાં બધે વિધુતક્ષેત્ર z-દિશામાં છે. જો કે વિધુતક્ષેત્રનું માન અચળ નથી પણ ધન Z-દિશામાં નિયમિત રીતે દર મીટરે 10⁵NC^-1ના દરથી વધે છે. બહણ Z-દિશામાં 10^-7 Cm કુલ ડાયપોલ ચાકમાત્રા ધરાવતા તંત્ર વડે અનુભવાતા બળ અને ટોર્ક કેટલાં હશે ?
ઉત્તર:
ધન z-દિશામાં વધતાં વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકેલાં વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું બળ,

– તંત્રનું કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ 10^-7Cm ઋણ z-દિશામાં હોવાથી, p_x = 0, p_y = 0, p_z = – 10^-7Cm ………. (3)
∴ સમીકરણ (1) માં સમીકરણ (2) અને (3) નાં મૂલ્યો મૂકતાં,
∴ F = 0 × 0 + 0 × 0 + 10⁵ × – 10^-7)
∴ F = – 10^-2N
આમ, ઋણ z-દિશામાં 10^-2N બળ લાગે છે.
\(\vec{p}\) ડાયપોલ મોમેન્ટને \(\vec{E}\) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકતાં લાગતું ટૉર્ક,
\(\vec{\tau}=\vec{p} \times \overrightarrow{\mathrm{E}}\)
∴ \(|\vec{\tau}|\) = pEsinθ
પણ \(\vec{p}\) અને \(\vec{E}\) વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી θ = 180°
∴ \(|\vec{\tau}|\) = pEsin180°
∴ τ = 0 [ ∵ sin180° = 0].

પ્રશ્ન 28.
(a) આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ એક બખોલ (Cavity) ધરાવતા સુવાહક A ને 7 વિધુતભાર આપેલ છે. દર્શાવો કે સમગ્ર વિધુતભાર સુવાહકની બહારની સપાટી પર જ દશ્યમાન થશે.
(b) વ વિધુતભાર ધરાવતો બીજો સુવાહક, કેવિટી (બખોલ)ની અંદર A થી અલગ રહે તેમ દાખલ કરેલ છે. દશવો કે A ની બહારની સપાટી પરનો કુલ વિધુતભાર Q + q આકૃતિ (b) માં છે.
(c) એક સંવેદી ઉપકરણને તેના પરિસરમાંના (આસપાસના) પ્રબળ સ્થિતવિધુત ક્ષેત્રોથી બચાવવું (Shield કરવું) છે. આ માટે એક શક્ય ઉપાય સૂચવો.

ઉત્તર:
(a) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતભારિત વાહકની અંદર પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય. તેથી \(\overrightarrow{\mathrm{E}}_{\mathrm{in}}\) = 0

વાહકની અંદર બખોલને ઘેરતું ગૉસિયન પૃષ્ઠ પસંદ કરો જે આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યું છે.
ગૉસના નિયમ પરથી \(\oint \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0}\)
∴ \(\oint \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}\)
∴ અંદરના ભાગમાં \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 0
આથી બખોલની અંદર વિદ્યુતભાર q = 0 આથી સુવાહક A ને આપેલો વિદ્યુતભાર Q, વાહક A ના બાહ્ય પૃષ્ઠ પર જ વિતરીત થશે.

(b) + q વિદ્યુતભારવાળો વાહક B ને A વાહકની બખોલમાં મૂકતાં બખોલની સપાટી પર -q વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે. આથી વાહક A ની બાહ્ય સપાટી પર + q વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
– વાહક A ની બાહ્ય સપાટી પર પ્રારંભમાં Q વિદ્યુતભાર હતો તેથી હવે કુલ વિદ્યુતભાર Q + q થશે.

(c) એક સંવેદી ઉપકરણને પ્રબળ વિદ્યુતક્ષેત્રથી બચાવવા માટે તેને સંપૂર્ણપણે ધાતુની સપાટીની અંદર મૂકી શકાય. બંધ – ધાતુની સપાટી વિદ્યુતક્ષેત્ર સામે રક્ષણનું કામ કરે છે.

પ્રશ્ન 29.
એક પોલા વિધુતભારિત સુવાહકની સપાટી પર એક નાનું છિદ્ર કાપેલ છે. દર્શાવો કે તે છિદ્રમાં વિધુતક્ષેત્ર છે. જ્યાં (\(\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\))n̂ બહાર તરફની લંબ દિશામાંનો એકમ સદિશ છે અને 7 છિદ્રની નજીક વિધુતભારની પૃષ્ઠધનતા છે.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પોલા વિદ્યુતભારિત સુવાહક સપાટી પરના નાના છિદ્રને સુવાહકથી પૂરી દીધેલો વિચારો.

ગૉસના નિયમ અનુસાર વાહકની સપાટી પરના A બિંદુ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા \(\)
E dS cos 0° = \(\frac{\sigma d S}{\varepsilon_0}\) [∵ σ = [latex]\frac{q}{d s}[/latex]
∴ E dS = \(\frac{\sigma d S}{\varepsilon_0}\)
∴ E = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)
∴ \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) . n̂
જે વાહકની બહારના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
જો કે વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે તેથી બંને વિદ્યુતક્ષેત્રો સમાન અને વિરુદ્ધ હોય છે તેથી,
∴ E₁ – E₂ = 0 …………… (1)
વાહકની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર એક જ દિશાના હોવાથી સરવાળો થાય છે.
∴ E₁ + E₂ = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) ……. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતાં,
2E₁ = \(\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\) ∴ E₁ = \(\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\)
જો કે બાકીના વાહકના લીધે મળતું વિદ્યુતક્ષેત્ર અથવા છિદ્રની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\) = n̂ છે.
જ્યાં n̂ લંબરૂપે બહારની દિશામાં એકમ સદિશ છે.

પ્રશ્ન 30.
ગોસના નિયમનો ઉપયોગ કર્યા સિવાય વિધુતભારની સમાન રેખીય ઘનતા λ ધરાવતા લાંબા પાતળા તારને લીધે ઉદભવતા વિધુતક્ષેત્રનું સૂત્ર મેળવો. (સૂચન : કુલંબના નિયમનો સીધો ઉપયોગ કરો અને જરૂરી સંકલનની ગણતરી કરો.).
ઉત્તર:

સમાન વિદ્યુતભાર વિતરણવાળો અને સમાન રેખીય ઘનતા ધરાવતો λ અનંત લંબાઈનો તાર આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણેનો છે.

O બિંદુથી x અંતરે dx લંબાઈનો નાનો ખંડ ધારો.
તો આ ખંડ પરનો વિદ્યુતભાર, dq = λdx
નાના ખંડ dx ના લીધે P બિંદુ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
dE = \(\frac{k d q}{r^2}\)
∴ dE = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{\lambda d x}{x^2+y^2}\) = ……………… (1)
dE ના પરસ્પર લંબ ઘટકો અને dE_x = – dEsinθ અને dE_y = dEcosθ
પાતળા તાર પર O ની ડાબી બાજુ O થી x અંતરે dr લંબાઈના ખંડના લીધે P પાસેના વિદ્યુતક્ષેત્ર dE ના પરસ્પર લંબ ઘટકો લેવામાં આવે તો, રેખા પરના x-અક્ષની દિશામાંના ઘટકો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તેમનું સમાસ મૂલ્ય શૂન્ય થાય તેથી અવગણતાં અને y દિશામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર dE_y = 2dEcosθ
∴ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્રો માત્ર 9-દિશામાંના ઘટકોના સરવાળાથી મળે.
E = E_x + E_y
= O + E_y
∴ dE_y = 2dEcosθ
આ સરંવાળો સંકલનથી લેતાં,

પ્રશ્ન 31.
હવે એવું માનવામાં આવે છે કે પ્રોટોન અને ન્યૂટ્રોન (જે સામાન્ય દ્રવ્યના ન્યુક્લિયસોની રચના કરે છે.) પોતે પણ કવાર્ક્સ તરીકે ઓળખાતા વધારે પ્રાથમિક એકમોના બનેલા છે. એક પ્રોટોન અને એક ન્યૂટ્રોન દરેક, ત્રણ કવાર્ક્સના બનેલા છે. (u વડે દર્શાવાતા) કહેવાતા up ક્લાર્ક જેનો વિધુતભાર +\(\frac {2}{3}\)e છે અને (d વડે દર્શાવાતા) કહેવાતા down ક્લાર્ક જેનો વિધુતભાર (-\(\frac {1}{3}\)e) છે અને ઇલેક્ટ્રોન બધા ભેગાં મળીને સામાન્ય દ્રવ્ય બનાવે છે. (બીજા પ્રકારના ક્વાર્ક પણ શોધાયા છે જેઓ દ્રવ્યના વિવિધ અસામાન્ય પ્રકાર ઉપજાવે છે.) પ્રોટોન અને ન્યૂટ્રોન માટે શક્ય ક્લાર્ક બંધારણનું સૂચન કરો.
ઉત્તર:
અપ કવાર્ક્સ પરનો વિદ્યુતભાર (u) = +\(\frac {2}{3}\)e
ડાઉન કવાર્ક્સ પરનો વિદ્યુતભાર (d) = –\(\frac {1}{3}\)e
પ્રોટોન પરનો વિદ્યુતભાર = e
ન્યૂટ્રોન પરનો વિદ્યુતભાર = O
(1) ધારો કે, એક પ્રોટોનમાં ‘x’ અપ કવાર્ક્સ અને (3 – x) ડાઉન કવાર્ક્સ છે.
∴ પ્રોટોન પરનો વિદ્યુતભાર = અપ કવાર્ટ્સનો વિદ્યુતભાર + ડાઉન કવાર્ટ્સનો વિદ્યુતભાર
∴ e = ux + d(3 – x)
e = + \(\frac {2}{3}\)e(x) + (-\(\frac {1}{3}\)e) (3 – x)
e = \(\frac {2}{3}\)ex – e+ \(\frac {1}{3}\)ex
e = ex – e
∴ 1 = x – 1
∴ 2 = x
∴ અપ કવાર્ક્સની સંખ્યા 2
અને 3 – x = 3 – 2
= 1 ડાઉન કવાર્ક્સની સંખ્યા
∴ પ્રોટોનનું બંધારણ ‘uud’ છે.

(2) ધારો કે, એક ન્યૂટ્રૉનમાં અપ કવાર્ક્સની સંખ્યા ‘y’ છે અને ડાઉન કવાર્ક્સની સંખ્યા = (3 – y) છે.
∴ ન્યૂટ્રૉન પરનો કુલ વિદ્યુતભાર
yu + (3 – y)d
O = y × \(\frac {2}{3}\)e + (3 – y) (-\(\frac {1}{3}\)e)
O = \(\frac {2}{3}\)ye – e + \(\)
O = ye – e
ye = e
∴ y = 1
અને ડાઉન કવાર્ક્સ,
d = 3 – y
∴ d = 3 – 1
∴ d = 2
∴ ન્યૂટ્રૉનનું બંધારણ = udd

પ્રશ્ન 32.
(a) એક યાદૈચ્છિક સ્થિત વિધુતક્ષેત્ર સંરચનાનો વિચાર કરો. આ સંરચનાના તટસ્થબિંદુ (એટલે કે જ્યાં E = 0 હોય) એ એક નાનો પરિક્ષણ વિધુતભાર મૂકેલ છે. દર્શાવો કે વિધુતભારનું સંતુલન અસ્થાયી જ છે.
(b) બે સમાન ચિહ્ન અને મૂલ્ય ધરાવતા અને એકબીજાથી અમુક અંતરે મૂકેલા બે વિધુતભારોની સાદી સંરચના માટે આ પરિણામ ચકાસો.
ઉત્તર:
(a) આપણે તેને વિરુદ્ધ ધારીને સાબિતી આપી શકીએ. ધારો કે પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને તટસ્થ બિંદુ પર સંતુલનમાં મૂકેલો છે.

જો કે સ્થાયી સંતુલન માટે તેના પર લાગતાં બળો બધી દિશામાં હોવાં જરૂરી છે તેથી જો પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને તેના સંતુલન સ્થાનથી સહેજ ચલિત કરવામાં આવે તો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર, તટસ્થ બિંદુ તરફ બળ લગાડશે.
આ દર્શાવે છે કે તટસ્થ બિંદુની આસપાસ બંધ સપાટીમાંથી વિદ્યુતક્ષેત્રનું પરિણામી ફ્લક્સ તટસ્થ બિંદુ તરફ હોય છે પણ ગૉસના પ્રમેય પરથી બંધ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભારને ઘેરતો ન હોય તો તેમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફુલક્સ શૂન્ય હોય છે.
આ આપણી ધારણાની વિરુદ્ધ છે તેથી તટસ્થ બિંદુ પર એક નાનો પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર મૂકતાં અસ્થાયી સંતુલન મળે છે.

(b) બે વિદ્યુતભાર એકબીજાથી અમુક અંતરે મૂકેલા છે. બંને વચ્ચેનું મધ્યબિંદુ એ સંતુલન સ્થાન છે. જો કોઈ પરીક્ષણ વિદ્યુતભારને એ રેખા પર ખસેડવામાં આવે, તો તે પુનઃસ્થાપક બળ અનુભવશે. જો તેને આ રેખાને લંબ ખસેડવામાં આવે, તો તેના પર સંતુલન સ્થાન તરફ બળ લાગશે. આમ, પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર અસ્થાયી કહેવાય કારણ કે, સ્થાયી સંતુલન માટે બધી જ દિશામાં પુનઃસ્થાપક બળ લાગવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 33.
m દળ અને (-q) વિધુતભાર ધરાવતો એક કણ બે વિધુતભારિત પ્લેટોની વચ્ચે υ_x વેગથી પ્રારંભમાં x-અક્ષને સમાંતરે દાખલ થાય છે. (આકૃતિ 1.33 માં કણ-1 ની જેમ). દરેક પ્લેટની લંબાઈ L છે અને પ્લેટો વચ્ચે સમાન વિધુતક્ષેત્ર જાળવી રાખવામાં આવે છે. દર્શાવો કે પ્લેટના દૂરના છેડે કણનું શિરોલંબ વિચલન qEL²/2mυ_x² છે.
(ધોરણ-XI, ભૌતિકવિજ્ઞાન પાઠ્યપુસ્તકના પરિચ્છેદ 4.10 માં ચર્સેલ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગુરુત્વીય ક્ષેત્રમાંની ગતિ સાથે આ ગતિને સરખાવો.)
ઉત્તર:

બે વિદ્યુતભારિત પ્લેટની વચ્ચેના વિસ્તારમાંના વિદ્યુતક્ષેત્રમાંથી પસાર થતાં – q વિદ્યુતભારની ગતિ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણેની છે.

– q વિદ્યુતભાર પર ઊર્ધ્વદિશામાં લાગતું બળ,
F = qE
∴ ma = qE
∴ a = \(\frac{q \mathrm{E}}{m}\)
ક્ષેત્રને પસાર કરતાં લાગતો સમય,
t = \(\frac{\mathrm{L}}{v_x}\)
[∵ સમક્ષિતિજ વેગ υ_x છે.]
અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણ,
h = υ₀t + \(\frac {1}{2}\)at² માં ‘a’ અને ‘t’ અને h = yનાં મૂલ્યો મૂકતાં,
y = 0 + \(\frac {1}{2}\) × \(\frac{q \mathrm{E}}{m} \times \frac{\mathrm{L}^2}{v_x^2}\) [∵ υ₀ = 0 ]
∴ y = \(\frac{q \mathrm{EL}^2}{2 m v_x^2}\)
વિદ્યુતભારિત કણનો ગતિપથ પરવલયાકાર છે.

પ્રશ્ન 34.
ધારો કે સ્વાધ્યાય 1.33 માંનો કણ υ_x = 2.0 × 10⁶ ms^-1 વેગથી પ્રક્ષિપ્ત કરેલો ઇલેક્ટ્રોન છે. 0.5 cm નું અંતર ધરાવતી પ્લેટો વચ્ચેનું E જો 9.1 × 10² N/C હોય તો ઇલેક્ટ્રોન ઉપરની પ્લેટને ક્યાં અથડાશે ? (|e| = 1.6 × 10^-19 C, m_e = 9.1 × 10^-31 kg)
ઉત્તર:

અહીં, y = 0.5 cm = 5 × 10^-3m
υ_x = 2 × 10⁶ ms^-1
E = 9.1 × 10² NC^-1
q = e = 1.6 × 10^-19C
m_e = 9.1 × 10^-31 kg
સ્વાધ્યાય દાખલા 1.33 પરથી ઇલેક્ટ્રૉનનું ઊર્ધ્વ આવર્તન,

GSEB Class 12 Physics વિધુતભારો અને ક્ષેત્રો NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર y-અક્ષ ઉપર રહેલ બે સ્થિત ધન વિધુતભારો q₂ અને q₃ x-અક્ષ પર રહેલ સ્થિત ધન વિધુતભાર q₁ ઉપર x-દિશામાં પરિણામી વિધુતબળ લગાડે છે. જો (x, 0) બિંદુએ કોઈ ધન વિધુતભાર Q મૂકવામાં આવે, તો q₁ પર લાગતું બળ ……….

(A) ધન x-અક્ષની દિશામાં વધશે.
(B) ધન x-અક્ષની દિશામાં ઘટશે.
(C) ઋણ ૪-અક્ષની દિશામાં નિર્દેશ કરશે.
(D) વધારો થશે પરંતુ q₂ અને q₃ વધુ સાથે Q ની આંતરક્રિયાથી દિશા બદલાઈ જશે.
જવાબ
(A) ધન x-અક્ષની દિશામાં વધશે.

q₁ વિદ્યુતભાર પર q₂ અને q₃વધુ વિદ્યુતભારો પર લાગતાં બળો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે. આ બળોનું ચોખ્ખું બળ ધન x-દિશામાં છે.

q₁ અને q₂ તથા q₁ અને q₃ વચ્ચે આકર્ષણ બળ લાગે છે તેથી કહી શકાય કે q₁ ઋણ વિદ્યુતભાર અને q₂ તથા q₃ ધન વિદ્યુતભારો હશે.

હવે (x, 0) બિંદુ પર + Q વિદ્યુતભાર મૂકતાં q₁ ઋણ વિદ્યુતભારને ધન x-દિશામાં આકર્ષશે તેથી q પર લાગતું ચોખ્ખું બળ ધન x-દિશામાં વધશે. જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

પ્રશ્ન 2.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક બિંદુવત્ ધન વિધુતભારને અલગ કરેલ સુવાહક કવચની નજીક લાવવામાં આવ્યો છે. વિધુતક્ષેત્રનું શ્રેષ્ઠ નિરુપણ કરતી આકૃતિ કઈ છે ?

(A) આકૃતિ (i)
(B) આકૃતિ (ii)
(C) આકૃતિ (iii)
(D) આકૃતિ (iv)
જવાબ
(A) આકૃતિ (i)

વિદ્યુતપ્રેરણના આધારે +q વિદ્યુતભારને ધાતુના ગોળાની નજીક લાવતાં ગોળામાંના ઇલેક્ટ્રૉન ગોળા તરફ અને ધન વિદ્યુતભારો દૂર તરફ એકઠા થાય છે.
ધન વિધુતભારોમાંથી વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીને લંબરૂપે બહારની તરફ અને ઋણ વિદ્યુતભારમાં સપાટીને લંબરૂપે અંદર દાખલ થાય છે. એ બળરેખાની લાક્ષણિકતા છે જે વિકલ્પ (A) ની આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

પ્રશ્ન 3.
સપાટીમાંથી પસાર થતું વિધુત લક્સ …………………

(A) આકૃતિ (iv) માં સૌથી વધારે છે.
(B) આકૃતિ (iii) માં સૌથી ન્યૂનતમ છે.
(C) આકૃતિ (ii) માં આકૃતિ (iiii) માં સમાન પરંતુ આકૃતિ (iv) કરતાં ઓછું છે.
(D) બધી આકૃતિઓ માટે સમાન છે.
જવાબ
(D) બધી આકૃતિઓ માટે સમાન છે.

ગૉસના નિયમ પરથી કોઈ બંધ સપાટી સાથે સંકળાયેલું કુલ ફલક્સ, બંધ સપાટી વડે ઘેરાતા કુલ વિદ્યુતભાર અને ε₀ ના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે.
∴ Φ = \(\frac{\Sigma q}{\varepsilon_0}\)
∴ Φ ∝ Σq [∵ ε₀ અચળ]
આમ, બંધ સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફુલક્સ એ બંધ સપાટી વડે ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર પર આધારિત છે પણ બંધ સપાટીના આકાર, પરિમાણ કે ક્ષેત્રફળ પર નથી અને બધી બંધ સપાટીમાં + 4 વિદ્યુતભાર (સમાન) હોવાથી બધી આકૃતિઓમાં સપાટી સાથે સંકળાયેલ ફુલક્સ સમાન હોય. આથી વિકલ્પ (D) સાચો છે.

પ્રશ્ન 4.
પાંચ વિધુતભારો q₁, q₂, q₃, q₄ અને q₅ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પોતાનાં સ્થાનો પર સ્થિર છે. કોઈ ગાઉસિયન પૃષ્ઠ છે. ગાઉસના નિયમ અનુસાર \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot \overrightarrow{d s}=\frac{q}{\varepsilon_0}\) સમીકરણથી આપવામાં આવે તો, નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે ?

(A) ઉપરના સમીકરણની ડાબી બાજુ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) માં q₁, q₅ અને q₃ નું યોગદાન હશે. જ્યારે જમણી બાજુ ‘q’ માં ફક્ત q₂ અને q₄ નું જ યોગદાન હશે.
(B) ઉપરના સમીકરણની ડાબી બાજુ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) માં બધા જ વિદ્યુતભારોનું યોગદાન હશે, જ્યારે જમણી બાજુ વ માં ફક્ત q₂ અને q₄ નું જ યોગદાન હશે.
(C) ઉપરના સમીકરણની ડાબી બાજુ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) માં બધા જ વિદ્યુતભારોનું યોગદાન હશે, જ્યારે જમણી બાજુ ‘q’ માં ફક્ત q₁, q₃ અને q₅ નું યોગદાન હશે.
(D) ડાબી બાજુના \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) તથા જમણી બાજુના q એમ બંનેમાં ફક્ત q₂ અને q₄ નું જ યોગદાન હશે.
જવાબ
(B) ઉપરના સમીકરણના ડાબી બાજુ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) માં બધા જ વિદ્યુતભારોનું યોગદાન હશે, જ્યારે જમણી બાજુ માં ફક્ત q₂ અને q₄ નું જ યોગદાન હશે.

આ સમીકરણમાં આવતું ડાબી બાજુનું પદ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) એ બંધ સપાટીની અંદર અને બહારના વિદ્યુતભારો વડે ઉદ્ભવતાં વિદ્યુતક્ષેત્રનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
જ્યારે જમણી બાજુનું પદ ‘q’ એ બંધ સપાટી વડે ઘેરાતા વિદ્યુતભારોનો બૈજિક સરવાળો છે. આ વિદ્યુતભારો બંધ સપાટીની અંદર ગમે ત્યાં હોઈ શકે છે પણ બંધ સપાટીની બહારના વિદ્યુતભારોને ગણતરીમાં લેવામાં આવતાં નથી.

પ્રશ્ન 5.
આકૃતિમાં વિધુતક્ષેત્ર રેખાઓ દશવિલ છે. જેમાં એક વિધુતડાયપોલ (દ્વિધ્રુવી) P દર્શાવ્યા મુજબ રાખેલ છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે ?

(A) ડાયપોલ કોઈ બળનો અનુભવ નહિ કરે.
(B) ડાયપોલ જમણી તરફ બળ અનુભવશે.
(C) ડાયપોલ ડાબી તરફ બળ અનુભવશે.
(D) ડાયપોલ ઉપરની તરફ બળ અનુભવશે.
જવાબ
(C) ડાયપોલ ડાબી તરફ બળ અનુભવશે.
– વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાની લાક્ષણિકતા એ છે કે નજીક નજીક (ગીચ) ક્ષેત્ર રેખાઓ હોય, તો તે સ્થાને વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રબળ હોય અને દૂર દૂર હોય તે સ્થાને વિદ્યુતક્ષેત્ર નિર્બળ હોય.
∴ -q પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર E_– > +q પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર E₊ હવે વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ F = Eq માં q સમાન
∴ F ∝ E
∴ \(\frac{\mathrm{F}_{-}}{\mathrm{F}_{+}}=\frac{\mathrm{E}_{-}}{\mathrm{E}_{+}}\)
[∵ -q અને +q પર લાગતાં બળ અનુક્રમે F_– અને F₊]
પણ E_– > E₊
∴ F_– > F₊
∴ ડાયપોલ પરનું પરિણામી બળ F_– ની દિશામાં એટલે કે ડાબી તરફ મળે.

પ્રશ્ન 6.
એક બિંદુ વિધુતભાર +q, અલગ કરેલા કોઈ વાહક સમતલથી d અંતરે સ્થિર છે. સમતલની બીજી બાજુ બિંદુ P પાસે ક્ષેત્રની દિશા ……………………. .
(A) સમતલને લંબ દિશામાં અને સમતલથી દૂર તરફ છે.
(B) સમતલને લંબ દિશામાં પરંતુ સમતલ તરફ છે.
(C) ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બિંદુ વિદ્યુતભારથી દૂર તરફ છે.
(D) ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બિંદુ વિદ્યુતભારથી તરફ છે.
જવાબ
(A) સમતલને લંબ દિશામાં અને સમતલથી દૂર તરફ છે.

વિદ્યુત પ્રેરણની ઘટના વડે +q વિદ્યુતભારને સુવાહક સમતલની નજીક લાવીએ તો +q વિદ્યુતભાર તરફ સમતલ પર ઇલેક્ટ્રૉન અને +q વિદ્યુતભારની વિરુદ્ધ બાજુએ સમતલ પર ધન વિદ્યુતભાર એકઠો થાય.

આ એકઠા થયેલા વિદ્યુતભારનું ક્ષેત્ર સમતલને લંબ અને સમતલથી દૂર તરફ હોય. જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

પ્રશ્ન 7.
એક અર્ધગોળો કવચ સમાન રીતે વિધુતભારિત છે. વ્યાસ પર કેન્દ્રથી દૂર આવેલા કોઈ બિંદુએ વિધુતક્ષેત્ર
(A) વ્યાસને લંબરૂપે હશે.
(B) વ્યાસને સમાંતર હશે.
(C) વ્યાસની તરફ કોઈ ખૂણે નમેલું હશે.
(D) વ્યાસથી દૂર તરફ કોઈ ખૂણે નમેલું હશે.
જવાબ
(A) વ્યાસને લંબરૂપે હશે.
જ્યારે સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત કરેલાં અર્ધગોળાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતાં વ્યાસ પર કોઈ બિંદુ હોય તો વિદ્યુતક્ષેત્ર એ વ્યાસને લંબ હોય છે. કારણ કે, વ્યાસને સમાંતર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાના ઘટકો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવાથી એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
જો કોઈ પૃષ્ઠ પર ફ્લક્સ \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}\) = 0 છે તો ……………………….. .
(A) આ પૃષ્ઠની અંદર અને પૃષ્ઠ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
(B) આ પૃષ્ઠની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર આવશ્યક રીતે એકસમાન હોવું જરૂરી છે.
(C) આ પૃષ્ઠમાં દાખલ થતી ફુલક્સ રેખાઓની સંખ્યા અને બહાર નીકળતી લક્સ રેખાઓની સંખ્યા સમાન જ હશે.
(D) બધા વિદ્યુતભારો આવશ્યક રીતે પૃષ્ઠની બહાર હોવા જોઈએ.
જવાબ
(C, D)

\(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}\) = 0 દર્શાવે છે કે બંધ પૃષ્ઠ પરનું વિદ્યુત ફલક્સ શૂન્ય હોય છે.
\(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}\) = 0 નો અર્થ એ છે કે પૃષ્ઠમાંથી દાખલ થતી ક્ષેત્ર રખાઓ તેમાંથી નીકળતી રેખાઓ જેટલી જ હોય.
ગૉસના નિયમ અનુસાર બંધ પૃષ્ઠ વડે ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય જ હોવો જોઈએ. તેથી આવશ્યકતા પ્રમાણે બીજા વિદ્યુતભારો પૃષ્ઠની બહાર જ હોવાં જોઈએ. કારણ કે વિદ્યુત લક્સ માટે બહારના વિદ્યુતભારો ગણવાના હોતાં નથી.

પ્રશ્ન 2.
કોઈ બિંદુ પાસે વિધુતક્ષેત્ર …………………… .
(A) હંમેશાં સતત હોય છે.
(B) સતત હશે જો એ બિંદુએ કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય તો.
(C) અસતત હશે ફક્ત જો તે બિંદુએ કોઈ ઋણ વિદ્યુતભાર હોય તો.
(D) અસતત હશે જો તે બિંદુએ કોઈ વિદ્યુતભાર હોય તો.
જવાબ
(B, D)
જો અવકાશના બિંદુએ કોઈ વિદ્યુતભાર Q હોય, તો તેના વિદ્યુતક્ષેત્રની વ્યાખ્યા એ છે કે તે બિંદુએ મૂકેલા એકમ ધન વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ. તેથી (જો તે બિંદુએ કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય તો) Q વિધુતભારનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સતત છે. પણ જો તે બિંદુએ વિદ્યુતભાર હોય તો વિદ્યુતક્ષેત્ર અસતત છે.

પ્રશ્ન 3.
જો બ્રહાંડમાં ફક્ત એક જ પ્રકારનો વિધુતભાર હોય, તો …………………. .
(A) કોઈ પણ સપાટી પર – \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}\) ≠ 0
(B) જો વિદ્યુતભાર પૃષ્ઠની બહાર હોય, તો – \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}\) = 0.
(C) – \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}\) વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય નહિ.
(D) જો q મૂલ્યનો વિદ્યુતભાર પૃષ્ઠની અંદર હોય, તો \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0}\)
જવાબ (B, D)

ગૉસનો નિયમ \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0}\) જ્યાં એ બંધ પૃષ્ઠ વડે
ઘેરાતો વિદ્યુતભાર છે.
જો વિદ્યુતભાર પૃષ્ઠની બહાર હોય, તો પૃષ્ઠ વડે ઘેરાતો વિદ્યુતભાર q = 0.
આમ, \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}\) =0
તેથી વિકલ્પ (B) સાચો.
ગૉસના નિયમ પરથી \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0}\)
∴ વિકલ્પ (D) સાચો છે.

પ્રશ્ન 4.
કોઈ એવા વિસ્તારનો વિચાર કરો જેમાં જુદા-જુદા પ્રકારના વિધુતભારો છે, પરંતુ કુલ વિધુતભાર શૂન્ય છે. આ વિસ્તારની બહારનાં બિંદુઓ પાસે ……………………
(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર આવશ્યક રીતે શૂન્ય હશે.
(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત વિદ્યુતભાર વિતરણના ડાયપોલ મોમેન્ટને લીધે હશે.
(C) મોટા r માટે, પ્રભાવી વિદ્યુતક્ષેત્ર ∝ \(\frac{1}{r^3}\) છે. જ્યાં જુએ
આ વિસ્તારના કોઈ મૂળ બિંદુ (ઊગમબિંદુ)થી અંતર છે.
(D) આ વિસ્તારથી દૂર, કોઈ વિદ્યુતભારિત કણને બંધ માર્ગે ગતિ કરાવવા માટે કરેલ કાર્ય શૂન્ય હશે.
જવાબ
(C, D)

જયારે કોઈ વિસ્તારમાં ભિન્ન પ્રકારના વિદ્યુતભારોનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય ત્યારે તે વિસ્તારમાં અમુક સંખ્યાની વિદ્યુત ડાયપોલ સમાયેલી વિચારી શકીએ.
તેથી આ વિસ્તારની બહારના બિંદુએ મોટા અંતર r માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર ∝ \(\frac{1}{r^3}\) અનુસાર છે.
વધુમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સંરક્ષી છે. આ વિસ્તારથી દૂર તરફ વિદ્યુતભારિત કણના બંધ ગતિમાર્ગથી થતું કાર્ય શૂન્ય હોય.

પ્રશ્ન 5.
આકૃતિમાં દશવિલ વિધુતભારોની ગોઠવણી અને જેના દ્વારા Q પર વિધુતભાર છે, તેવું R ત્રિજ્યાનું ગોસિયન પૃષ્ઠ ધ્યાનમાં લો, પછી

(A) કવચની સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફુલક્સ –\(\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0}\) છે.
(B) કવચની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\frac{-\mathrm{Q}}{4 \pi \varepsilon_0 \mathrm{R}^2}\) છે.
(C) 5Q ને લીધે કવચની સપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ શૂન્ય છે.
(D) – 2Q ને લીધે કવચની સપાટી પર દરેક જગ્યાએ વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે.
જવાબ
(A, C)
ગૉસના નિયમ પરથી, \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} d \overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0}\) જ્યાં એ સપાટી વડે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર છે.

ગોળાની સપાટી વડે ઘેરાતો કુલ વિદ્યુતભાર,
= -2Q + Q
= –Q
∴ ગોળાની સપાટી સાથે સંકળાયેલ કુલ ફુલક્સ,
∴ Φ = – \(\frac{\mathrm{Q}}{\varepsilon_0}\)
હવે 5Q વિદ્યુતભાર ગોસિયન સપાટીની બહાર છે તેથી તે ગોળાની સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફૂલક્સમાં કોઈ ભાગ ભજવતો નથી.

પ્રશ્ન 6.
R ત્રિજ્યાની કોઈ વર્તુળાકાર રિંગ ઉપર ધન વિધુતભાર Q સમાન રીતે વિતરીત થયેલ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક નાના પરીક્ષણ વિધુતભાર q ને રિંગના કેન્દ્ર પર મૂકેલ છે. આથી, ………………………

(A) જો q > 0 અને જો તેને રિંગના સમતલમાં કેન્દ્રથી દૂર તરફ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો તે પાછો કેન્દ્ર તરફ ધકેલાઈ જશે.
(B) જો q < 0 અને જો તેને રિંગના સમતલમાં તેનાં કેન્દ્રથી દૂર તરફ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો તે ક્યારેય કેન્દ્ર પર પાછો નહિ આવે તથા રિંગને અથડાય નહિ ત્યાં સુધી સતત ગતિ કરશે.
(C) જો q < 0 હોય અને અક્ષને અનુલક્ષીને કરેલા નાના સ્થાનાંતર માટે તે સરળ આવર્તગતિ (SHM) કરશે. (D) q > 0 માટે, રિંગના સમતલમાં રિંગના કેન્દ્ર પર 3 અસ્થાયી સંતુલનમાં હશે.
જવાબ
(A, B, C)

બંધ ગોળાની બહારની સપાટી પર ધન વિધુતભાર Q નિયમિત વિતરેલો હોવાથી ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે.
તેથી ધન વિધુતભાર Q પર q વિદ્યુતભારના લીધે વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર શૂન્ય છે.
હવે Q અને q વિધુતભારો વચ્ચે માત્ર આકર્ષણ અને અપાકર્ષણ બળ જ નિયામક છે તેથી બે કિસ્સાઓ મળે.
કિસ્સો 1 : જ્યારે q > 0 એટલે કે q ધન હોય તો Q અને q વચ્ચે અપાકર્ષણ ઉત્પન્ન થાય.
ગોળા પરના વિદ્યુતભાર Q ના લીધે અપાકર્ષણ લાગતાં q વિદ્યુતભારને તેના કેન્દ્રથી ચલિત કરવામાં આવે, તો કેન્દ્ર તરફ ધક્કો મારે.
કિસ્સો 2 : જયારે q < 0 એટલે વ ઋણ હોય તો Q અને q વચ્ચે આકર્ષણ બળ લાગે તેથી જો q ને કેન્દ્ર પરથી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે તો q ની નજીકના Q વિદ્યુતભાર તેને આકર્ષે તેથી કદી કેન્દ્ર તરફ પાછો ફરે નહીં.

અતિક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
કોઈ યાદેચ્છિક પૃષ્ઠ વડે એક ડાયપોલ ઘેરાયેલો છે. આ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું વિધુત ફલક્સ કેટલું હશે ?
ઉત્તર:

ગૉસના નિયમ પરથી બંધ પૃષ્ઠ સાથે સંકળાયેલ લક્સ છે Φ = \(\frac{\Sigma q}{\varepsilon_0}\) જયાં q એ બંધ પૃષ્ઠ વડે ઘેરાતો પરિણામી વિદ્યુતભાર છે.
ડાયપોલ પરનો પરિણામી વિદ્યુતભાર = – q + q = 0
∴ ડાયપોલને ઘેરતા બંધ પૃષ્ઠ સાથે સંકળાયેલ ફુલક્સ,
Φ = \(\frac{-q+q}{\varepsilon_0}\) = 0

પ્રશ્ન 2.
ધાતુની કોઈ એક ગોળીય કવચની અંદરની ત્રિજ્યા R₁ અને બહારની ત્રિજ્યા R₂છે. આ ગોળીય કવચની બખોલ (cavity)ના કેન્દ્ર પર એક વિધુતભાર Q મૂકેલ છે.
(i) અંદરની સપાટી અને
(ii) બહારની સપાટી ઉપર વિધુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા કેટલી હશે ?

ઉત્તર:

ગોળાકાર બખોલના કેન્દ્ર પર ધન વિદ્યુતભાર +Q મૂકેલો હોવાથી પ્રેરણના કારણે ગોળાની અંદરની સપાટી પર -Q ઉદ્ભવે છે અને બખોલની અંદર -Q વિદ્યુતભારના લીધે વિદ્યુત પ્રેરણની ઘટનાથી ગોળાની બહારની સપાટી પર +Q વિદ્યુતભાર ઉદ્ભવે.
ગોળાની અંદરની સપાટી પર વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠઘનતા \(\frac{-\mathrm{Q}}{4 \pi \mathrm{R}_1^2}\) અને ગોળાની બહારની સપાટી પર વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠઘનતા = \(\frac{+\mathrm{Q}}{4 \pi \mathrm{R}_2^2}\)

પ્રશ્ન 3.
કોઈ એક પરમાણુનું પરિમાણ એંગસ્ટ્રોમના ક્રમનું છે તેથી પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનોની વચ્ચે પ્રબળ વિધુતક્ષેત્ર હોવું જોઈએ, તો પછી વાહકની અંદર વિધુતક્ષેત્ર શા માટે શૂન્ય હોય છે ?
ઉત્તર:

પરમાણમાં પ્રોટોન્સ અને ઇલેક્ટ્રૉન્સ જુદા જુદા પ્રકારના અને સ્વતંત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને વિદ્યુતભારને તટસ્થ કરે છે.
વધારાના વિદ્યુતભારોના કારણે સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર હોય છે પણ સુવાહકની અંદર અલગ સપાટી પર કોઈ વધારાનો વિદ્યુતભાર હોતો નથી તેથી સુવાહકની અંદર કોઈ સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર હોતું નથી તેમ છતાં એ હકીકત છે કે પરમાણુઓના પરિમાણ એંગસ્ટ્રોમના ક્રમનાછે.

પ્રશ્ન 4.
જો કોઈ પૃષ્ઠ વડે ઘેરાયેલો વિધુતભાર શૂન્ય છે, તો તે એવું દશવિ છે કે, આ પૃષ્ઠ પરના દરેક બિંદુએ વિધુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે ? એનાથી વિપરીત, જો પૃષ્ઠ પરના દરેક બિંદુએ વિધુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તો તે એવું દશવિ કે, પૃષ્ઠની અંદર પરિણામી વિધુતભાર શૂન્ય છે ?
ઉત્તર:

ગૉસનો નિયમ એવું સૂચવે છે કે જ્યારે પૃષ્ઠ એવું પસંદ કરવાનું હોય, તો થોડાક વિદ્યુતભારો અંદર અને થોડાક વિદ્યુતભારો બહાર હોય.
આ પરિસ્થિતિમાં કુલક્સ \(\oint_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0}\) થી આપવામાં આવે છે.
આ સ્થિતિમાં ડાબી બાજુનું પદ વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) એ પૃષ્ઠની અંદર અને બહારના વિદ્યુતભારોના લીધે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
સમીકરણની જમણી બાજુનું પદ q એ પૃષ્ઠઓ વડે ઘેરાતા વિદ્યુતભારોનું પરિણામી વિદ્યુતભાર છે. આ વિદ્યુતભારો પૃષ્ઠમાં ગમે તે સ્થાને હોઈ શકે છે પણ પૃષ્ઠની બહાર આવેલા વિદ્યુતભારોને ગણતરીમાં લેવાના નથી.

પ્રશ્ન 5.
આકૃતિમાં દશવિલ સમાન રીતે વિધુતભારિત પોલા નળાકાર માટે વિધુતક્ષેત્ર રેખાઓ દોરો.

ઉત્તર:
– વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ ધન વિદ્યુતભારમાંથી ઉદ્ભવે છે અને અનંત અંતરે જાય છે જે આકૃતિમાં બતાવ્યું છે.

પ્રશ્ન 6.
જો વિધુતભાર q ને નીચે દર્શાવ્યા મુજબ કોઈ a લંબાઈ ધરાવતી બાજુવાળા સમઘન પર મૂક્યો હોય, તો સમઘન (આકૃતિ મુજબ)ની સપાટીઓમાંથી પસાર થતું કુલ લક્સ કેટલું હશે ?
(a) A : સમઘનનો કોઈ એક ખૂણો
(b) B: સમઘનની કોઈ એક બાજુનું મધ્યબિંદુ
(c) (C) : સમઘનની કોઈ સપાટીનું કેન્દ્ર
(d) D : B અને C નું મધ્યબિંદુ

ઉત્તર:
(a) ઘનને આઠ ખૂણાઓ હોય તેથી ઘન માટે કુલ વિદ્યુતભાર
વિતરણ, \(\frac{q}{8 \times 1}=\frac{q}{8}\)
∴ ગૉસના નિયમ પરથી A બિંદુએ વિદ્યુત ફુલક્સ,
Φ = \(\frac{q}{8 \varepsilon_0}\)

(b) ઘનની ધારના મધ્યબિંદુ B પર q વિદ્યુતભાર હોય, તો B બિંદુને જે ઘનના કેન્દ્રમાં રહેલો વિચારવા બીજા ત્રણ તેવાજ ઘનની જરૂર પડે. આમ, કુલ 4 ઘન જોઈએ. હવે ગૉસના નિયમ પરથી ચાર ઘનમાંથી પસાર થતું ફુલક્સ
Φ’ = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\)
∴ એક ઘનમાંથી પસાર થતું ફુલક્સ,
Φ = \(\frac{\phi^{\prime}}{4}=\frac{q}{4 \varepsilon_0}\)

(C) ઘનની સપાટીના મધ્યબિંદુ C પર q વિદ્યુતભાર મૂકીએ તો C ને જે ઘનના કેન્દ્ર પર રહેલો વિચારવા બીજો તેવો જ ઘન મૂકવો જોઈએ તેથી બનતા લંબઘન સાથે
સંકળાયેલ ફુલક્સ Φ’ = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\)
– આપેલા એક ઘનમાંથી પસાર થતું ફુલક્સ,
Φ = \(\frac{\phi^{\prime}}{\varepsilon_0}=\frac{q}{2 \varepsilon_0}\)

(d) ઘનની એક ધારનું મધ્યબિંદુ અને એક સપાટી પરના મધ્યબિંદુને જોડતી રેખાની મધ્યમાં D બિંદુએ q વિદ્યુતભાર મૂકીએ, તો D ને કેન્દ્રમાં રહેલો રાખવાં એક બીજો તેવો જ ઘન જોઈએ તેથી બે ઘનમાંથી પસાર થતું
ફુલક્સ Φ’ = \(\frac{q}{\varepsilon_0}\)
∴ એક જ ઘનમાંથી પસાર થતું ફલક્સ,
Φ = \(\frac{\phi^{\prime}}{\varepsilon_0}=\frac{q}{2 \varepsilon_0}\)

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
Al-Mg મિશ્ર ધાતુના બનેલા પૈસાના સિક્કાનું દળ 0.75 g છે. તે ચોરસ છે અને તેના વિકર્ણોનું માપ 17 mm છે. તે વિધુતીય રીતે તટસ્થ છે અને સરખી માત્રામાં ધન અને ગ્રહણ વિધુતભાર ધરાવે છે.

પૈસાનો સિક્કો ફક્ત Al નો બનેલો છે તેવી ધારણા કરી સમાન સંખ્યાના ધન અને ત્રણ વિધુતભારોનાં મૂલ્યો શોધો. આ મૂલ્યો પરથી તમે શું નિષ્કર્ષ કાઢશો ?
ઉત્તર:
પૈસાના સિક્કાનું દળ W = 0.79 g
ઍલ્યુમિનિયમનો પરમાણુ ભાર = 26.9815 g
ઍવોગેડ્રો અંક N_A = 6.023 × 10²³
26.9815 g માં પરમાણુની સંખ્યા = 6.023 × 10²³
તો 0.75 g માં પરમાણુની સંખ્યા = (N)
N = \(\frac{6.023 \times 10^{23} \times 0.75}{26.9815}\)
= 0.16742 × 10²³
= 1.6742 × 10²²

Al નો પરમાણુ ક્રમાંક Z = 13 છે તેથી તેમાં 13 પ્રોટોન અને 13 ઇલેક્ટ્રોન હોય.
∴ પૈસાના એક સિક્કામાં ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય
Q = NZe
= 1.6742 × 10²³ × 13 × 1.6 × 10^-19
= 3.48 × 10⁴ C
∴ Q = 3.48 × 10⁴C
આ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય ઘણું મોટું છે તેથી આપણે એવો નિર્ણય કરી શકીએ કે તટસ્થ દ્રવ્યમાં ઘણી મોટી સંખ્યામાં ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારો સમાયેલા હોય છે.

પ્રશ્ન 2.
પ્રશ્ન 20 મુજબ એક સિક્કો વિચારો તે વિધુતીય રીતે તટસ્થ છે અને સરખી માત્રાનો 34.8 kC ના મૂલ્યનો ધન અને ઋણ વિધુતભાર ધરાવે છે. ધારો કે આ વિધુતભારોને બે બિંદુ વિધુતભારોમાં કેન્દ્રિત કરવામાં આવ્યા છે અને તેમને એકબીજાથી
(i) 1 cm (˜\(\frac {1}{2}\) × પૈસાના સિક્કાનો વિકણ)
(ii) 100 mમી (˜ કોઈ મોટા મકાનની લંબાઈ) અને
(iii) 10⁶ m (પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) જેટલાં અંતરોએ રાખેલ હોય, તો ત્રણેય કિસ્સાઓમાં દરેક માટે આ પ્રકારના બિંદુ વિધુતભાર પર લાગતું બળ શોધો.
આ પરિણામો પરથી તમે શું નિષ્કર્ષ કાઢશો ?
ઉત્તર:
અહીં r₁ = 1 cm = 10^-2 m
r₂ = 100 m
r₃ = 10⁶ m

નિર્ણય : અલગ રહેલાં + વિદ્યુતભારો વચ્ચે ઘણું જ વધારે વિદ્યુત બળ લાગે છે તેથી દ્રવ્યની તટસ્થતામાં ભંગ કરવો ઘણો મુશ્કેલ છે.

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિ સિઝિયમ ક્લોરાઇડ (CSCl)નો એકમ સ્ફટિક દશવિ છે. 0.40 nm બાજુઓવાળા સમઘનના ખૂણાઓ પર સિઝિયમ પરમાણુઓ ખુલ્લાં વર્તુળો વડે દશર્વિલ છે, જ્યારે Cl પરમાણુ સમઘનના કેન્દ્ર પર છે. Cs પરમાણુઓમાં એક ઇલેક્ટ્રોનનો અભાવ છે, જ્યારે Cl પરમાણુ એક વધારાનો ઇલેક્ટ્રોન ધરાવે છે.
(i) આઠ Cs પરમાણુઓના લીધે Cl પરમાણુ પર પરિણામી વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
(ii) ધારો કે ખૂણા A પર Cs પરમાણુ નથી. બાકીના સાત Cs પરમાણુઓને લીધે Cl પરમાણુ પર પરિણામી વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?

ઉત્તર:

(i) આકૃતિ પરથી આપણે વર્ગીકૃત કરી શકીએ કે, Cl પરમાણુ એ ઘનના કેન્દ્ર પર છે એટલે કે, ઘનના આઠ શિરોબિંદુમાંથી સરખા અંતરે છે. તેથી સંમિતિના આધારે Cl પરમાણુ પર બધા Cs⁺ આયન વડે લાગતાં બળોની અસર નાબૂદ થાય છે.
તેથી E = \(\frac{\mathrm{F}}{q}\) માં F = 0.
∴ E = 0

(ii) જો A શિરોબિંદુ આગળના Cs⁺ આયનને દૂર કરીએ, તો પરસ્પર વિરુદ્ધ આવેલાં 6 Cs⁺ આયનના લીધે લાગતાં બળો સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તેમનું . પરિણામી બળ શૂન્ય થાય પણ એક Cs+ આયનના લીધે C- આયન પર લાગતું બળ,
F = \(\frac{k e^2}{r^2}\) ………….. (1)
પણ પાયથાગોરસના પ્રમેય પરથી,

r = \(\sqrt{\left(0.2 \times 10^{-9}\right)^2+\left(0.2 \times 10^{-9}\right)^2+\left(0.2 \times 10^{-9}\right)^2}\)
= \(\sqrt{4+4+4}\) × 10^-10
= \(\sqrt{12}\) × 10^-10
= 3.46 × 10^-10m
∴ સમીકરણ (1) પરથી,
F = \(\frac{9 \times 10^9 \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^2}{\left(3.46 \times 10^{-10}\right)^2}\)
∴ F = 1.92 × 10^-9 N

પ્રશ્ન 4.
બે વિધુતભારો q અને -3q x-અક્ષ ઉપર એકબીજાથી d અંતરે રાખેલ છે. ત્રીજા કોઈ વિધુતભાર 24 ને કયા સ્થાને મૂકીએ, તો તે કોઈ બળ ન અનુભવે ?
ઉત્તર:
રકમને અનુરૂપ આકૃતિ નીચે મુજબ છે.

2q પર બળ લાગતું નથી તેથી ધારો કે A થી C વચ્ચેનું અંતર x અને AB = d છે.
2q પર q ના લીધે લાગતું અપાકર્ષણ બળ,
F_q = \(\frac{k(q)(2 q)}{x^2}\) …………. (1)
2q પર = 3q ના લીધે લાગતું આકર્ષણ બળ,
E_-3q = \(-\frac{k(2 q)(3 q)}{(x+d)^2}\) …… (2)
2q પરનું પરિણામી બળ,
F = F_q + F_-3q
O = F_q + F_-3q
∴ F_q= -F_-3q
∴ \(\frac{k\left(2 q^2\right)}{x^2}=+\frac{k\left(6 q^2\right)}{(x+d)^2}\)
∴ \(\frac{1}{x^2}=\frac{3}{(x+d)^2}\)
વર્ગમૂળ લેતાં,
\(\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{3}}{x+d}=\frac{1.732}{x+d}\)
∴ x + d = 1.732x
∴ d = 0.732x
∴ x = \(\frac{d}{0.732}\)
∴ x = 1.366 d અંતરે

પ્રશ્ન 5.
આકૃતિમાં ત્રણ બિંદુવત્ વિધુતભારો A, B અને C ની આસપાસ વિધુતક્ષેત્ર રેખાઓ દશવિલ છે :

(a) કયો વિધુતભાર ધન છે ?
(b) કયા વિધુતભારનું મૂલ્ય મહત્તમ છે ? શા માટે ?
(c) ચિત્રના કયા વિસ્તાર કે વિસ્તારોમાં વિધુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોઈ શકે છે ? તમારા ઉત્તરની સ્પષ્ટતા કરો.

(i) Aની નજીક
(i) B ની નજીક
(iii) C ની નજીક
(iv) ક્યાંય નહિ
ઉત્તર:
(a) આકૃતિ પરથી A અને C વિદ્યુતભારની ક્ષેત્ર રેખાઓ બહાર નીકળે છે. તેથી A અને C પર ધન વિદ્યુતભાર જ હોય.

(b) આકૃતિ પરથી C વિદ્યુતભારમાં બહાર નીકળતી ક્ષેત્ર રેખાઓ મહત્તમ છે. તેથી C વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સૌથી વધુ છે.

(c) સજાતીય વિદ્યુતભારો વચ્ચેના જે બિંદુએ સ્થિત વિદ્યુતબળ શૂન્ય હોય તે બિંદુને તટસ્થ બિંદુ કહે છે. તેથી તટસ્થ બિંદુનું સ્થાન ફક્ત A અને C ની વચ્ચે હોય.

તટસ્થ બિંદુના સ્થાનનો આધાર વિદ્યુતભારો પર લાગતાં બળો પર છે. અહીં C પરનો વિદ્યુતભાર A પરના વિદ્યુતભાર કરતાં વધારે હોવાથી તટસ્થ બિંદુનું સ્થાન (i) A ની નજીક હોય.

પ્રશ્ન 6.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દરેકનો વિધુતભાર q છે. તેવા પાંચ વિધુતભારોને a બાજુવાળા નિયમિત પંચકોણના પાંચ ખૂણાઓ પર મૂકેલ છે.

(a)
(i) પંચકોણના કેન્દ્ર O પાસે વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
(ii) જો કોઈ એક ખૂણા (જેમ કે A) પરથી વિધુતભાર દૂર કરવામાં આવે, તો O પાસે વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
(iii) જો A પરના વિધુતભાર q ની જગ્યાએ -q વિધુતભાર મૂકવામાં આવે, તો O પાસે વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
(b) જો પંચકોણને બદલે જેના દરેક ખૂણા પર q વિધુતભાર હોય તેવો n-બાજુવાળો નિયમિત બહુકોણ લેવામાં આવે, તો (a) ના પ્રશ્નોના ઉત્તરો પર શી અસર થશે ?
ઉત્તર:
(a)
(i) પંચકોણના દરેક શિરોબિંદુથી તેનાં કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર સમાન હોય તેથી સંમિતિ પરથી બધા શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારોના લીધે તેમાં કેન્દ્ર
પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય.

(ii) જો A શિરોબિંદુ પર +q વિદ્યુતભાર દૂર કરીએ તો તે સ્થાને -q વિદ્યુતભાર રહે અને ઋણ વિધુતભારથી મળતું વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય E = \(\frac{k q \times 1}{r^2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}\) દિશામાં.

(iii) જો A બિંદુ આગળના સ્થાને +q ના બદલે -q વિદ્યુતભાર મૂકીએ તો A સ્થાને બે ઋણ સ્વ. વિદ્યુતભારો થાય તેથી -2q વિદ્યુતભારથી ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય, E = \(\frac{2 k q}{r^2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}\) દિશામાં.

(b) જો પંચકોણના બદલે સમાન બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણ પરના દરેક શિરોબિંદુઓ પર q વિદ્યુતભાર મૂકીએ તો કેન્દ્ર પાસે કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય મળે અને વિદ્યુતક્ષેત્રના મૂલ્યનો આધાર બાજુઓની સંખ્યા અને વિદ્યુતભારોની સંખ્યા પર નથી. તેથી (a) નાં (ii) અને (iii) નાં જવાબ પર કોઈ અસર થશે નહીં.

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
ઇ.સ. 1959 માં લાઇટલેટોન અને બોડી (Lyttleton and Bondi) એ સૂચવ્યું કે જો દ્રવ્ય કોઈ પરિણામી (net) વિધુતભાર ધરાવતું હોય, તો બ્રહાંડના વિસ્તરણને સમજાવી શકાય. ધારો કે બ્રહાંડ હાઇડ્રોજન પરમાણુઓનું બનેલું છે, જેની સંખ્યા ઘનતા એ છે અને તેને અચળ જાળવી રાખવામાં આવે છે. પ્રોટોન પરનો વિધુતભાર : e_p = – (1 + y)e જ્યાં, e ઇલેક્ટ્રોનનો વિધુતભાર છે.
(a) y નું ક્રાંતિક મૂલ્ય શોધો કે જેના માટે વિતરણ શરૂ ‘ થઈ શકે.
(b) દર્શાવો કે વિસ્તરણનો વેગ કેન્દ્રથી અંતરના સપ્રમાણમાં છે.
ઉત્તર:
(a) ધારો કે, વિશ્વ એ R ત્રિજ્યાનો ગોળો છે અને તે ગોળા પર નિયમિત રીતે વિસ્તરેલા હાઇડ્રોજન પરમાણુથી બનેલું છે.
– મારા દરેક હાઇડ્રોજન પરમાણુ પરનો વિદ્યુતભાર,
e_1p = e_p + e = – (1 + y)e + e
= – e – ye + e
= – ye
= \(|y e|\)
– જો R અંતરે ગોળાની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા E હોય, તો ગૉસના નિયમ પરથી,
\(\oint \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \overrightarrow{\mathrm{S}}=\frac{q}{\varepsilon_0}\)
∴ E(4πR²) = \(\frac{4}{3} \frac{\pi \mathrm{R}^3 \mathrm{~N}|y e|}{\varepsilon_0}\)
[∵ q = \(\frac{4}{3} \frac{\pi \mathrm{R}^3 \mathrm{~N}|y e|}{\epsilon_0}\)]
∴ E = \(\frac{1}{3} \frac{\mathrm{N}|y e| \mathrm{R}}{\varepsilon_0}\) ………….. (1)
– દરેક હાઇડ્રોજન પરમાણુનું દળ = m_p
R અંતરે ગોળા પરનું ગુરુત્વીયક્ષેત્ર G_R છે.
– 4πR²G_R = 4πGm_p (\(\frac {4}{3}\)πR²)N
∴ GR = – \(\frac {4}{3}\)πGm_pNR …………… (2)
– R અંતરે રહેલાં હાઇડ્રોજન પરમાણુ પર લાગતું બળ,
F_C = (ye)E = \(\frac{1}{3} \frac{y^2 e^2 \mathrm{NR}}{\varepsilon_0}\) ……….. (3)
– જો F_C > F_G હોય, તો વિશ્વનું વિસ્તરણ થવાનું શરૂ થાય.
∴ વિસ્તરણ થવાનું શરૂ થાય ત્યારે,
∴ F_C = F_G

y² = 79.8 × 10^-38
∴ y = \(\sqrt{79.8 \times 10^{-38}}\)
∴ y = 8.9 × 10^-19 = 10 × 10^-19
∴ y = 1 × 10^-18
જે વિશ્વનું વિસ્તાર થવાનું શરૂ કરવા માટેનું જરૂરી ક્રાંતિ મૂલ્ય છે.

(b) હાઇડ્રોજન પરમાણુને અનુભવાતું પરિણામી બળ,
F_C = F_G

– સમીકરણ (4) નો સામાન્ય ઉકેલ R = Ae^αt + Be^-αt
પણ વિસ્તરણ થતું હોવાથી B = 0
∴ R = Ae^αt
– વિસ્તરણનો વેગ,
υ = \(\frac{d \mathrm{R}}{d t}=\frac{d}{d \mathrm{~T}}\)(Ae^αt)
dt 1.
υ = αAe
∴ υ = αR
∴ υ ∝ R
એટલે વિસ્તરણનો વેગ એ કેન્દ્રથી અંતરના સમપ્રમાણમાં છે.

પ્રશ્ન 2.
R ત્રિજ્યાનો એક ગોળો વિચારો કે જેના પર વિધુતભાર ઘનતા વિતરણ ρ(r) = kr, r ≤ R માટે
= 0, r > R માટે
(a) r ના બધા બિંદુઓ પાસે વિધુતક્ષેત્ર શોધો.
(b) ધારો કે કવચ પરનો કુલ વિધુતભાર 2e છે જ્યાં, e એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિધુતભાર છે. બે પ્રોટોનને ક્યાં પ્રસ્થાપિત કરીએ કે જેથી તે દરેક પર લાગતું બળ શૂન્ય થાય. એ ધારણા કરો કે પ્રોટોનને પ્રસ્થાપિત કરવાથી ત્રણ વિધુતભાર વિસ્તરણ બદલાતું નથી.
ઉત્તર:
(a) ધારો કે, R ત્રિજ્યાવાળો ગોળો S છે અને બે ધારેલા
ગોળાઓની ત્રિજ્યા r < R અને r > R છે.
હવે r < R બિંદુ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા, im53 im54 અહીં વિદ્યુતભાર ઘનતા ધન છે તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) ત્રિજ્યાવર્તી બહાર તરફ છે. – હવે r > R માટે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા,

અહીં વિદ્યુતભાર ઘનતા ધન છે તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) ત્રિજયાવર્ત બહાર તરફ છે.
હવે r > R માટે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા,

(b) સંમિતિના આધારે બે પ્રોટોન કેન્દ્રની સામસામેની બાજુએ વ્યાસ પર હોવાં જ જોઈએ. જે આકૃતિમાં બતાવ્યું છે.

ગોળાના કેન્દ્રથી r અંતરે 1 અને 2 બિંદુઓ પાસે પ્રોટોનને જડિત કરાવમાં આવે તો 1 આગળ મૂકેલાં પ્રોટોન પર વિદ્યુતભાર વિતરણના કારણે લાગતું બળ,
F₁ = eE = \(\frac{-e k r^2}{4 \varepsilon_0}\) …………… (3)
(સમીકરણ (1) અને (2) પરથી)
1 પાસેના પ્રોટોન પર 2 પાસેના પ્રોટોન પર લાગતું અપાકર્ષણ બળ,
F₂ = \(\frac{k e^2}{(2 r)^2}\) = \(\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \times 4 r^2}\) ………….. (4)
તેથી 1 પાસેના પ્રોટોન પર લાગતું પરિણામી બળ,
F = F₁ + F₂

હવે 1 પર રહેલાં પ્રોટોન પર પરિણામી બળ શૂન્ય છે.

આમ, દરેક પ્રોટોનનું કેન્દ્રથી અંતર છે.

પ્રશ્ન 3.
બે સ્થિર, સમાન વાહક પ્લેટો (α અને β), દરેકનું ક્ષેત્રફળ S અને અનુક્રમે -Q અને q વિધુતભારિત છે. જ્યાં Q > q > 0. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોય તેવી q વિધુતભાર ધરાવતી ત્રીજી સમાન પ્લેટ (γ) બીજી બાજુ d અંતરે મૂકેલ છે.

ત્રીજી પ્લેટને મુક્ત કરતાં તે β પ્લેટ સાથે અથડાય (સંઘાત અનુભવે છે. ધારો કે સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક છે અને સંઘાત સમય પ્લેટો β અને γ વચ્ચે વિધુતભારના પુનઃવિતરણ માટે પર્યાપ્ત છે.

(a) સંઘાત પહેલાં પ્લેટ γ પર લાગતું વિધુતક્ષેત્ર શોધો.
(b) સંઘાત પછી β અને γ પ્લેટો પર વિધુતભાર શોધો.
(c) સંઘાત પછી પ્લેટો β થી d અંતરે પ્લેટ γ નો વેગ શોધો.
ઉત્તર:
(a) અથડામણ પહેલા γ પ્લેટ પરનું ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ α અને β પ્લેટના લીધે γ પ્લેટ પાસે મળતાં વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
– α પ્લેટના લીધે γ પ્લેટ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
E₁ = \(\frac{-\mathrm{Q}}{\mathrm{S}\left(2 \varepsilon_0\right)}\) → ડાબી તરફ
β પ્લેટના લીધે γ પ્લેટ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
E₂ = \(\frac{q}{S\left(2 \varepsilon_0\right)}\) → જમણી તરફ
∴ γ પ્લેટ પર અથડામણ પહેલાં કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર
E = E₁ + E₂
\(\frac{q-\mathrm{Q}}{\mathrm{S}\left(2 \varepsilon_0\right)}\) → ડાબી તરફ જો Q > q

(b) અથડામણ દરમિયાન β અને γ પ્લેટો ભેગી થઈ જાય છે. તેથી તેમનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન.
– ધારો કે, β પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર q₁ અને પ્લેટ γ પરનો વિદ્યુતભાર q₂ છે. આ બે પ્લેટો વચ્ચેના કોઈ બિંદુ O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જ જોઈએ.
α પ્લેટના લીધે O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,

= \(\frac{-\mathrm{Q}}{\mathrm{S}\left(2 \varepsilon_0\right)}\) → ડાબી તરફ
β પ્લેટના લીધે O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
\(\frac{q_1}{\mathrm{~S}\left(2 \varepsilon_0\right)}\) → જમણી તરફ
γ પ્લેટના લીધે O પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,
= \(\frac{q_2}{\mathrm{~S}\left(2 \varepsilon_0\right)}\) → ડાબી તરફ
– પણ O પાસેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર O છે તથી,
\(\frac{\mathrm{Q}+q_2}{\mathrm{~S}\left(2 \varepsilon_0\right)}=\frac{q_1}{\mathrm{~S}\left(2 \varepsilon_0\right)}\)
∴ Q + q₂ = q₁
∴ Q + q₁ – q₂ ………….. (1)
– અથડામણમાં કોઈ વિદ્યુતભારનો ઘટાડો થતો નથી.
તેથી Q + q = q₁ + q₂ ………….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
q₁ – q₂ + q = q₁ + q₂
∴ q = 2q₂
∴ q₂ = \(\frac{q}{2}\) → γ પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર અને સમીકરણ (1) પરથી,
= q₁ = Q + \(\frac{q}{2}\) → β પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર

(C) અથડામણ પછી પ્લેટ β થી d અંતરે,
ધારો કે, γ પ્લેટનો વેગ υ છે. અથડામણ પછી γ પ્લેટ પાસે વિદ્યુતક્ષેત્ર,

અથડામણ પહેલાં γ પ્લેટ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર,
E₁ = \(\frac{\mathrm{Q}-q}{2 \varepsilon_0 \mathrm{~S}}\)
– અથડામણ પહેલા γ પ્લેટ પર લાગતું બળ,
F₁ = E₁Q = \(\frac{\mathrm{Q}-q}{2 \varepsilon_0 \mathrm{~S}}\).Q
– γ પ્લેટની એક ચક્રની ગતિ દરમિયાન વિદ્યુતક્ષેત્ર વડે થતું કાર્ય,
W = (F₁ + F₂)d

– જો γ પ્લેટનું દળ m હોય, તો γ પ્લેટની ગતિઊર્જા, કાર્ય| ઊર્જા પ્રમેય પરથી,

પ્રશ્ન 4.
SI/mksA એકમ પદ્ધતિઓ સિવાય માપનની એક અન્ય ઉપયોગી પદ્ધતિ છે જેને cgs (સેમી-ગ્રામ-સેકન્ડ) પદ્ધતિ કહે છે. આ પદ્ધતિ અનુસાર કુલંબનો નિયમ આ મુજબ આપેલ છે :
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\frac{\mathrm{Q} q}{r^2} \cdot \hat{r}\)
જ્યાં અંતર r સેમીમાં (= 10^-2 m) માપેલ છે. F ડાઇનમાં (= 10^-5 N) અને વિધુતભાર ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક યુનિટ (es unit)માં છે.
અહીં, વિધુતભારનો 1 es યુનિટ = \(\frac{1}{[3]}\) × 10^-9C છે. વાસ્તવમાં સંખ્યા [3] પ્રકાશની શૂન્યાવકાશમાં ગતિના લીધે આવે છે.
જેની વાસ્તવિક કિંમત = 2.99792458 × 10⁸ m/s છે અને c નું સંક્વિંટ મૂલ્ય c = [3] × 10⁸ m/s છે. (i) દર્શાવો કે કુલંબના નિયમ અનુસાર cgs પદ્ધતિમાં
1esu વિધુતભાર = 1 (ડાઇન)^1/2 સેમી
દ્રવ્યમાન M, લંબાઈ L અને સમય T ના પદમાં વિધુતભારનાં પરિમાણો મેળવો. દર્શાવો કે તે M અને L ની અપૂર્ણાંક ઘાતોના પદમાં રજૂ કરી શકાય છે.
(ii) 1esu વિધુતભાર = xC લખો. જ્યાં x એ પરિમાણરહિત સંખ્યા છે. દર્શાવો કે તેના દ્વારા નીચે મુજબનું પરિણામ મળે છે.

ઉત્તર:
(i) F = \(\frac{\mathrm{Q} q}{r^2}\)

– તેથી esu વિદ્યુતભારનું પારિમાણિકમાં M નો \(\frac {1}{2}\) અને L નો \(\frac {3}{2}\)ઘાત આવે છે. જે અપૂર્ણાંક છે.

(ii) ધારો કે 1esu વિદ્યુતભાર = xC જયાં x એ પરિમાણરહિત સંખ્યા છે. 1 esu મૂલ્યના બે વિદ્યુતભારોને 1 cm અંતરે અલગ રાખતાં તેમનાં વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ 10^-5 N છે. આ મૂલ્ય xC મૂલ્યના બે વિદ્યુતભારોને 10^-2 m અંતરે અલગ રાખતાં તેમની વચ્ચે લાગતાં બળ જેટલું છે.

પ્રશ્ન 5.
દરેકનો વિધુતભાર -q હોય તેવા બે વિધુતભારો એકબીજાથી 2d અંતરે સ્થિર રાખેલ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ તેમના મધ્યબિંદુ પર રહેલા m દળના કોઈ બીજા વિધુતભાર q ને બે વિધુતભારોને જોડતી રેખાને લંબ નાનું સ્થાનાંતર x (x << d) કરાવવામાં આવે છે. દર્શાવો કે વિધુતભાર સરળ આવર્તગતિ કરશે. જેનો આવર્તકાળ T = \(\left[\frac{8 \pi^3 \varepsilon_0 m d^3}{q^2}\right]^{1 / 2}\) હશે.

ઉત્તર:
– ધારો કે આકૃતિને ધ્યાનપૂર્વક જોતાં,
A અને B પર -q વિદ્યુતભારો છે. અને O એ AB નું મધ્યબિંદુ છે તથા PO એ અંતર x છે.
∴ AB = AO + OB
= d + d
= 2d
– x < d છે અને ∠APO = θ છે.
– q વિદ્યુતભારનું દળ m

– A અને B પરના વિદ્યુતભારો અને P પરના વિદ્યુતભાર વચ્ચે લાગતું P પાસે આકર્ષણ બળ,
F = \(\frac{k(q)(q)}{r^2}\)
જયાં r = AP = BP
– બળના સમક્ષિતિજ ઘટકો (Fsinθ) સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય. અને અધોદિશામાં બળના ઘટકો એક જ દિશામાં હોવાથી,
F’ = 2Fcosθ
= \(\frac{2 k q^2}{r^2}\)cosθ
પણ આકૃતિ પરથી r = \(\sqrt{d^2+x^2}\) અને cosθ = \(\frac{x}{r}\)

F’ ∝ x
એટલે કે q વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ એ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણ અને બળની દિશા O બિંદુ તરફ છે તેથી q વિદ્યુતભારની ગતિ સ.આ.ગ. હોઈ શકે અને તેનું કોણીય વેગ,

પ્રશ્ન 6.
R ત્રિજ્યાની એક રિંગ ઉપર -Q જેટલો કુલ વિધુતભાર સમાન રીતે વિપરીત કરેલ છે. m દળના એક નાના પરીક્ષણ વિધુતભાર +q ને રિંગના કેન્દ્ર પર મૂકી ધીરેથી રિંગની અક્ષ તરફ ધકેલવામાં આવે છે.
(a) દર્શાવો કે કણ સરળ આવર્ત દોલન કરે છે.
(b) તેનો આવર્તકાળ મેળવો.
ઉત્તર:

(a) R ત્રિજયાની રિંગ પર A સ્થાને આવેલા (-dQ) વિદ્યુતભાર વડે રિંગની અક્ષ પર તેના કેન્દ્ર O થી x < < < < R અંતરે p બિંદુઓ આવેલા બિંદુવતું વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલંબીય બળ,

રિંગ પરના વ્યાસાંતે આવેલા (- dQ) જેટલા વિદ્યુતભાર – વડે +q પર લગાડવામાં આવતાં કુલંબીય બળ dF ના રિંગની અક્ષને લંબ એવા ઘટકોના મૂલ્યો dFsinθ છે, પરંતુ તેમની દિશાઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવાથી તેઓ એકબીજાની અસરને નાબૂદ કરે છે. તેથી +q પરનું પરિણામી કુલંબીય બળ F એ માત્ર dFcose જેવા રિંગની અક્ષને સમાંતર રિંગના કેન્દ્ર O તરફ લાગતા ઘટકોનો સરવાળો બનશે તેથી,

ઉપરોક્ત સંબંધ દર્શાવે છે કે પ્રસ્તુત કિસ્સામાં +q ની રિંગની અક્ષ પર તેનાં કેન્દ્રની આસપાસ થતી દોલન ગતિ એ સરળ આવર્તગતિ બનશે. જેનો બળ અચળાંક k’ હોય તો,