GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.6

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.6 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.6

પ્રશ્નો 1થી 12માં આપેલ વિકલ સમીકરણોનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

પ્રશ્ન 1.
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = sin x
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = sin x … (1)
આપેલ વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q સ્વરૂપનું છે.
જ્યાં P = 2 અને Q = sin.x
સંકલ્યકારકક અવયવ (I.F.) = e^∫Pdx
= e^∫2dx dx = e^2x
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ e2x વડે ગુણતાં,
e^2x.\(\frac{d y}{d x}\) + 2e^2xy = e^2x sin x
∴ (y.ee^2x) = e^2x sin x

બંને બાજુ ને સાપેક્ષ સંકલન કરતાં,
y.e^2x = ∫e^2x. sin x dx
y.e^2x = I ………(2)

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 2.
\(\frac{d y}{d x}\) + 3y = e^-2x
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}\) + 3y = e^-2x
આપેલ વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q સ્વરૂપનું છે.
જ્યાં P = 3 અને Q = e^-2x

સંકલ્યકારકક અવયવ (I.F.) = e^∫Pdx
= e^∫3dx = e^3x
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ ex વડે ગુણતાં,
e^3x\(\frac{d y}{d x}\) + 3e^3x.y = e^3x.e^-2x
∴ \(\frac{d y}{d x}\)(y. e^3x) = e^x
બંને બાજુ ને સાપેક્ષ સંકલન કરતાં,
y e^3x = ∫e^x dx
∴ у.e^3x = e^x + c
∴ y = e^-2x + c e^-3x
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 3.
\(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}\) = x²
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}\) = x²
આપેલ વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q સ્વરૂપનું છે.
જ્યાં P = \(\frac{1}{x}\) અને Q = x²

આપેલ વિકલ સમીકરણ (I.E) = e^∫Pdx
= e^{∫\(\frac{1}{x}\)dx}
= e^log_ex = x

સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ x વડે ગુણતાં,

જે આપેલ વિક્લ સમીકરણનો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 4.
\(\frac{d y}{d x}\) + (sec x) y = tan x (0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\))
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}\) + (sec x) y = tan x …………(1)
આપેલ વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q સ્વરૂપનું છે.
જ્યાં P = sec x અને Q = tan x
∴ સંકલ્પકારક અવયવ (I.E) = e^∫Pdx
= e^{∫sec x dx}
= e^{log|sec x + tan x|}
= (sec x + tan x)
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ (sec x + tan x) વડે ગુણતાં,
(sec x + tan x)\(\frac{d y}{d x}\) + sec (sec x + tan x)·
y = (sec x + tan x). tan x
∴ (sec x + tan x)\(\frac{d y}{d x}\) + (sec x.tan x + sec²x).
y = sec x + tan x + tan²x

∴ \(\frac{d}{d x}\)[(sec x + tan x)y] = sec x tan x + tan²x
∴ \(\frac{d}{d x}\)[(sec x + tan x)y] = sec x tan x + sec²x – 1

બંને બાજુ x પ્રત્યે સંકલન કરતાં,
[(sec x + tan x)y] = ∫(sec x.tan x + sec²x − 1)dx
∴ (sec x + tan x) y = (sec x tan x + sec²x − 1) dx
∴ (sec x + tan x) y = sec x + tan x − x + c
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 5.
cos²x\(\frac{d y}{d x}\) + y = tan x (0 ≤ x < \(\frac{\pi}{2}\))
ઉત્તરઃ
cos²x\(\frac{d y}{d x}\) + y = tan x
સમીકરણને cos²x વડે ભાગતાં,
\(\frac{d}{d x}\) + sec²x.y = tan x . sec²x …….(1)

આપેલ વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q સ્વરૂપનું છે.
જ્યાં P = sec²x અને Q = tan x.sec²x
સંકલ્પકારક અવયવ (I.E) = e^∫Pdx
= e^∫sec2xdx
= e^{tan x}
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ e^{tan x} વડે ગુણતાં,
e^{tan x}.\(\frac{d y}{d x}\) + e^{tan x}.sec²x.y = e^{tan x}.tan x sec²x
∴ \(\frac{d}{d x}\)(e^{tan x}.y) = e^{tan x}.tan x.sec²x

બંને બાજુ x પ્રત્યે સંકલન કરતાં,
e^{tan x} . y = ∫e^{tan x}. tan x sec²x dx
∴ e^{tan x}. y = I ……..(2)
જ્યાં I = ∫e^{tan x} tan x sec²x dx
ધારો કे tan x = t ⇒ sec²x dx = dt
∴ I = ∫e^tt. dt

ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
I = t∫e^t dt – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(t)∫e^tdt)dt
= t. e^t – ∫e^tdt
= e^t . t – e^t + c
= e^t (t − 1) + c
t = tan x મૂકતાં,, I = e^{tan x} (tan x – 1) + c
1 ની આ કિંમત સમીકરણ (2)માં મૂકતાં,
e^{tan x}.y = e^{tan x}(tan x – 1) + c
etan x (tan x 1) + c
∴ y = (tan x – 1) + c e^{-tan x}

પ્રશ્ન 6.
x\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = x²log x (x > 0)
ઉત્તરઃ
x\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = x²log x

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 7.
x log x\(\frac{d y}{d x}\) + y = \(\frac{2}{x}\)log x (x > 0)
ઉત્તરઃ
x log x\(\frac{d y}{d x}\) + y = \(\frac{2}{x}\)log x

પ્રશ્ન 8.
(1 + x²)dy + 2xy dx = cot x dx (x ≠ 0)
ઉત્તરઃ
(1 + x²)dy + 2xy dx = cot x dx

સમીકરણની બંને બાજુ x પ્રત્યે સંકલન કરતાં,
(1 + x²) y = ∫cot x · dx
∴ (1 + x²).y = log |sin x| + c
∴ y = (1 + x²)-1 log sin x + c (1 + x²)^-1
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 9.
x\(\frac{d y}{d x}\) + y – x + xy cot x = 0 (x ≠ 0)
ઉત્તરઃ
x\(\frac{d y}{d x}\) + y – x + xy cot x = 0

બંને બાજુ x પ્રત્યે સંકલન કરતાં,
∴ (x sin x). y = ∫x sin x dx
∴ (x sin x) y = x ∫sin x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(x) ∫sinx dx) dx
∴ (x sin x) y = -x cos x – ∫cosx dx
∴ (x sin x) y = − x cos x + sin x + c
∴ y = – cot x + \(\frac{1}{x}+\frac{c}{x \sin x}\)
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 10.
(x + y)\(\frac{d y}{d x}\) = 1
ઉત્તરઃ
(x + y)\(\frac{d y}{d x}\) = 1
∴ \(\frac{d x}{d y}\) = x + y
∴ \(\frac{d x}{d y}\) – x = y ……….(1)
જે \(\frac{d x}{d y}\) + P₁x = Q₁ સ્વરૂપનું વિકલ સમીકરણ છે.
જ્યાં P₁ = -1 અને Q₁ = y
સંકલ્પકારક અવયવ (I.F) = e^∫P₁dy
= e^∫-1dy = e^-y
સમીકરણ (1) ને e^-y વડે ગુણતાં,
e^-y·\(\frac{d x}{d y}\) – e^-y.x = y. e^-y
∴ \(\frac{d x}{d y}\)(x · e^-y) = y · e^-y
બંને બાજુ y પ્રત્યે સંકલન કરતાં,
x.e^-y = ∫y.e^-y dy
∴ xe^-y = y∫e^-ydy -∫(\(\frac{d}{d y}\)(y)∫e^-y dy) dy
(ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ)
∴ x · e^-y = – y e ^-y – ∫- e^-ydy
∴ xe^-y = y.e^-y – e^-y + c
∴ x = -y – 1 + ce^y
∴ (x + y + 1) = c e^y
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 11.
y dx + (x − y²) dy = 0
ઉત્તરઃ
y dx + (x – y²) dy = 0
∴ y dx = (y² – x) dy

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 12.
(x + 3y²)\(\frac{d x}{d y}\) = y (y > 0)
ઉત્તરઃ
(x + 3y²)\(\frac{d x}{d y}\) = y

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્નો 13 થી 15માં આપેલ શરતને અધીન નીચેનાં વિકલ સમીકરણના વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો

પ્રશ્ન 13.
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y tan x = sin x; જ્યારે x = \(\frac{\pi}{3}\) ત્યારે y = 0
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y tan x = sin x …………(1)
આપેલ વિકલ સમીકરણનું સ્વરૂપ
જ્યારે tan x, Q = sin x
સંકલ્પકારક અવયવ (I.E) = e^∫P₁ dx
= e^{∫2 tan x dx}
= e^{2 log sec x}
= sec²x
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ sec x વડે ગુણતાં,
sec² x. \(\frac{d y}{d x}\) + 2 tanx sec² x y = sin x sec² x
∴ \(\frac{d y}{d x}\)(y.sec²x)= sec x. tan x
બંને બાજુ ને સાપેક્ષ સંકલન કરતાં,
y sec² x = ∫sec x. tan x. dx
y sec² x = sec x + c

જ્યારે x = \(\frac{\pi}{3}\) ત્યારે y = 0
∴ 0 = sec \(\frac{\pi}{3}\) + c ⇒ c = -2
∴ y sec²x = sec x – 2 ⇒ y = cos x – 2 cos²x
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 14.
(1 + x²)\(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = \(\frac{1}{1+x^2}\) જ્યારે x = 1 ત્યારે y = 0
ઉત્તરઃ
(1 + x²)\(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = \(\frac{1}{1+x^2}\)

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 15.
\(\frac{d y}{d x}\) – 3y cot x = sin 2x, જ્યારે x = \(\frac{\pi}{2}\) ત્યારે y = 2
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}\) – 3y cot x = sin 2x ………..(1)
આપેલ વિકલ સમીકરણનું સ્વરૂપ \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q પ્રકારનું છે.
જ્યાં P = -3 cot x, Q = sin 2x

સંકલ્પકારક અવયવ (I.E) = e^∫Pdx
= e^{∫-3 cot x dx}
= e^{-3 log |sin x|}
= \(\frac{1}{\sin ^3 x}\)

y = 4 sin³x – 2 sin²x
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 16.
જો વક્રના કોઈ પણ બિંદુ (x, y) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ એ બિંદુના યામના સરવાળા જેટલો થતો હોય, તો ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનાં (x, y) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ = \(\frac{d y}{d x}\) આપેલ છે કે
\(\frac{d y}{d x}\) = x + y

∴ y. e^-x = – xe ^-x + ∫e^-x dx
∴ y.e^-x = -x e^-x – e^-x + c
∴ y = x – 1 + c e^x
∴ x + y + 1 = c e^x
વક્ર ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
∴ x = y = 0 લેતાં,
0 + 1 = c e⁰ ⇒ c = 1
∴ x + y + 1 = e^x જે માંગેલ વક્રનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 17.
જો વક્રના કોઈ પણ બિંદુના યામનો સરવાળો એ તે બિંદુ આગળ સ્પર્શકના ઢાળના મૂલ્ય કરતાં 5 વધુ હોય, તો બિંદુ (0, 2)માંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનાં (x, y) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ = \(\frac{d y}{d x}\) આપેલ છે કે
\(\frac{d y}{d x}\) = x + y – 5
\(\frac{d y}{d x}\) – y = x – 5 …..(1)
જે \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.
જ્યાં P = -1 અને Q = x – 5
સંકલ્પકારક અવયવ (I.E) = e^∫Pdx
= e^-dx = e^-x

સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ ex વડે ગુણતાં,
e^-x\(\frac{d y}{d x}\) – e^-xy = (x – 5)e^-x
∴ \(\frac{d y}{d x}\)(e^-xy) = (x – 5)e^-x

બંને બાજુ x પ્રત્યે સંકલન કરતાં,
e^-xy = ∫(x − 5) e^-x dx
∴ e^-xy = (x – 5)∫e^-x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(x – 5) ∫e^-x dx) dx
∴ e^-xy = − (x − 5) e^-x + √e^-x dx
∴ e^-xy = − (x − 5) e ^-x − e^-x + c
∴ y = – x + 5 − 1 + ce^+x
∴ y = 4 − x + c e^+x

હવે વક્ર (0, 2) માંથી પસાર થાય છે.
x = 0 તથા y = 2 લેતાં,
2 = 4 – 0 + c e° ⇒ c = -2
∴ y = 4 − x – 2 e^+x જે માંગેલ વક્રનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્નો 18 તથા 19 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 18.
વિકલ સમીકરણ x\(\frac{d y}{d x}\) – y = 2x² નો સંકલ્પકારક અવયવ …………………………. છે.
(A) e^-x
(B) e^-y
(C) \(\frac{1}{x}\)
(D) x
ઉત્તરઃ

∴ વિકલ્પ (C) આવે.

પ્રશ્ન 19.
વિકલ સમીકરણ (1 – y²)\(\frac{d x}{d y}\) + yx = ay (−1 < y < 1) નો સંકલ્પકારક અવયવ ……………. છે.
(A) \(\frac{1}{y^2-1}\)
(B) \(\frac{1}{\sqrt{y^2-1}}\)
(C) \(\frac{1}{1-y^2}\)
(D) \(\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)
ઉત્તરઃ
(1 – y²)\(\frac{d x}{d y}\) + yx = ay (−1 < y < 1)

∴ વિકલ્પ (D) આવે.