# GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.3 Textbook Questions and Answers.

## Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.3

પ્રશ્નો 1 થી 22 માં આપેલાં વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
sin2(2x + 5)
ઉત્તરઃ
I = ∫sin2(2x + 5) dx
= $$\frac{1}{2}$$∫[1 – cos 2(2x + 5)]dx
= $$\frac{1}{2}$$∫dx – $$\frac{1}{2}$$∫cos(4x + 10)dx
ધારો કે 4x + 10 = t ⇒ 4dx dt ⇒ dx = $$\frac{d t}{4}$$
∴ I = $$\frac{x}{2}-\frac{1}{2}$$∫cos t $$\frac{d t}{4}$$
= $$\frac{x}{2}-\frac{1}{8}$$sin t + c
= $$\frac{x}{2}-\frac{1}{8}$$sin(4x + 10) + c (∴ t = 4x + 10)

પ્રશ્ન 2.
sin 3x cos 4x
ઉત્તરઃ
I = ∫sin 3x cos 4x dx
= $$\frac{1}{2}$$∫2 cos 4x sin 3x dx
= $$\frac{1}{2}$$∫[sin(4x + 3x) – sin(4x – 3x)dx
(∵ 2 cos A sin B = sin (A + B) sin(A – B)
= $$\frac{1}{2}$$∫(+ sin7x – sinx) dx
= $$\frac{1}{2}$$∫sin7x dx – $$\frac{1}{2}$$∫ sinx dx
= –$$-\frac{1}{2} \frac{\cos 7 x}{7}+\frac{1}{2}$$cos x + c
= $$-\frac{1}{14}$$cos 7x + $$\frac{1}{2}$$cosx + c

પ્રશ્ન 3.
cos 2x cos 4x cos 6x
ઉત્તરઃ
I = ∫cos 2x cos 4x cos 6x dx
= $$\frac{1}{2}$$∫(2cos 4x cos 2x). cos 6x dx
= $$\frac{1}{2}$$∫[cos (4x + 2x) + cos(4x – 2x)cos 6x dx
[(∵ 2cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)]
= $$\frac{1}{2}$$∫(cos 6x + cos2x) cos 6x dx
= $$\frac{1}{2}$$∫cos26x dx + cos 2x dx
= $$\frac{1}{4}$$∫2 cos26x dx + $$\frac{1}{4}$$∫ 2cos 6x cos 2x dx
= $$\frac{1}{4}$$∫(1 +cos 12x)dx + $$\frac{1}{4}$$∫[cos (6x + 2x) + cos(6x – 2x)]dx
( ∵ 2 cos2θ = 1 + cos 2θ d A તથા ફરીથી 2cos A cos B સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં)
= $$\frac{1}{4}$$∫(1 + cos 12x)dx + $$\frac{1}{4}$$∫[cos (8x + cos 4x)dx
= $$\frac{1}{4}$$∫(1 + cos 12x) dx + $$\frac{1}{4}$$∫(cos 8x + cos 4x)dx
= $$\frac{1}{4}$$[∫dx + ∫cos 12x)dx + $$\frac{1}{4}$$∫(cos 8x + cos 4x)dx
= $$\frac{1}{4}$$[∫dx + ∫cos 12x dx + ∫cos 8x dx + ∫cos 4x dx]
= $$\frac{1}{4}$$[x + $$\frac{\sin 12 x}{12}+\frac{\sin 8 x}{8}+\frac{\sin 4 x}{x}$$] + c

પ્રશ્ન 4.
sin3(2x + 1)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
sin3x cos3x
ઉત્તરઃ
I = ∫sin3x cos3x dx
= ∫sinx sin2x cos3x dx
= ∫sinx (1 – cos2x) cos3x dx
= ∫(cos3x – cos5x) sin x dx
ધારો કે cos x = t ⇒ – sin x dx = dt
∴ I = -∫(t3 – t5)dt
= $$\frac{-t^4}{4}+\frac{t^6}{6}$$ + c
= $$\frac{1}{6}$$cos5x – $$\frac{1}{2}$$cos4x + c (∵ t = cos x)

પ્રશ્ન 6.
sin x sin 2x sin 3x
ઉત્તરઃ
I = sin x sin2 x sin3 x dx
= $$\frac{1}{2}$$∫(cos x – cos 3x) sin 3x dx
= $$\frac{1}{2}$$∫(cos x – cos 3x) sin 3x dx
(∵ 2sin A sin B = cos (A – B) – cos(A + B))

પ્રશ્ન 7.
sin 4x sin 8x
ઉત્તરઃ
I = ∫sin 4x sin 8x dx
= $$\frac{1}{2}$$∫2sin 8x sin 4x dx
= $$\frac{1}{2}$$(cos 4x – cos 12x) dx
(∵ 2sin A sin B = cos (AB) cos(A + B))
I = $$\frac{1}{2}$$[∫cos 4x dx – ∫cos 12x dx]
= $$\frac{1}{2}\left[\frac{\sin 4 x}{4}-\frac{\sin 12 x}{12}\right]$$ + c

પ્રશ્ન 8.
$$\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$
ઉત્તરઃ
I = ∫$$\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$$dx

પ્રશ્ન 9.
$$\frac{\cos x}{1+\cos x}$$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
sin4x
ઉત્તરઃ
I = ∫sin4x dx
= ∫(sin2x)2x dx

પ્રશ્ન 11.
cos42x
ઉત્તરઃ
I = ∫cos42x dx
= ∫(cos22x)2 dx

પ્રશ્ન 12.
$$\frac{\sin ^2 x}{1+\cos x}$$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
$$\frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha}$$
ઉત્તરઃ

= 2 ∫(cos x + cos a) dx
= 2∫cos x dx + 2cos a Jdx
= 2sin x + 2x cos α + C
= 2(sin x + x cos α) +

પ્રશ્ન 14.
$$\frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}$$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
tan3 2x sec 2x
ઉત્તરઃ
I = ∫tan3 2x. sec 2x
= ∫tan22x. tan 2x. sec 2x dx
ધારો કે sec 2x = t ⇒ 2sec 2x. tan 2x dx = dt
I = $$\frac{1}{2}$$∫(t2 – 1)dt
= $$\frac{1}{2}$$[$$\frac{t^3}{3}$$ – t] + c
= $$\frac{1}{6}$$sec3 2x – $$\frac{1}{2}$$sec2x + c (∵ t = sec 2x)

પ્રશ્ન 16.
tan4x
ઉત્તરઃ
I = ∫tan4x dx
= ∫tan2x. tan2x dx
= ∫tan2x. (sec2x – 1)dx
= ∫tan2x. sec2xdx – ∫tan2x dx
I = ∫tan2x sec2x dx – ∫(sec2x – 1)dx

પ્રશ્ન 17.
$$\frac{\sin ^3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}$$
ઉત્તરઃ
I = ∫$$\frac{\sin ^3 x+\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}$$dx
= ∫$$\frac{\sin ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}$$dx + ∫$$\frac{\cos ^3 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}$$dx
= ∫secx tanx dx + ∫cosecx. cotx. dx
= sec x – cosec x + C

પ્રશ્ન 18.
$$\frac{\cos 2 x+2 \sin ^2 x}{\cos ^2 x}$$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 19.
$$\frac{1}{\sin x \cos ^3 x}$$
ઉત્તરઃ

ધારો કે tan x = t ⇒ sec2x dx = dt
I = ∫(t + $$\frac{1}{t}$$)dt
= $$\frac{t^2}{2}$$ + log |t| + c
= $$\frac{\tan ^2 x}{2}$$ + log |tan x| + c (∵ t = tan x)
(નોંધ : અંશમાં 1 = sin2x + cos2x લઈને પણ આ દાખલો કરી શકાય છે.)

પ્રશ્ન 20.
$$\frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^2}$$
ઉત્તરઃ

ધારો કે cos x + sin x = t ⇒ (-sin x + cos x)dx = dt
⇒ (cos x – sin x)dx = dt
I = ∫$$\frac{1}{t}$$dt
= log |t| + c
= log|cosx + sin x| + c (∵t = cos x + sin x)

પ્રશ્ન 21.
sin-1(cos x)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 22.
$$\frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}$$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 23.
∫$$\frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}$$dx = …….. .
(A) tan x + cot x + c
(B) tan x + cosec x + c
(C) -tan x + cot x + c
(D) tan x + sec x + c
ઉત્તરઃ
I = ∫$$\frac{\sin ^2 x-\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}$$dx
= ∫$$\left(\frac{\sin ^2 x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}-\frac{\cos ^2 x}{\sin ^2 x \cdot \cos ^2 x}\right)$$dx
= ∫(sec2x – cosec2x)dx
= tan x + cot x + c
∴ વિકલ્પ (A) આવે.

પ્રશ્ન 24.
∫$$\frac{e^x(1+x)}{\cos ^2\left(e^x x\right)}$$dx = ………
cos2 (etx)
(A) -cot(exx) + c
(B) tan(xex) + c
(C) tan (ex) + c
(D) cot (ex) + c
ઉત્તરઃ
I = ∫$$\frac{e^x(1+x)}{\cos ^2\left(e^x x\right)}$$dx
ધારો કે ex⋅ x = t ⇒ (ex + xex) dx = dt
⇒ ex(1 + x)dx = dt
I = ∫$$\frac{d t}{\cos ^2 t}$$
= ∫sec2t dt
= tan t + C
= tan (ex. x) + c (t = ex. x)
= tan (xex + c)
∴ વિકલ્પ (B) આવે.