GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.8

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.8 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.8

પ્રશ્ન 1.
x ∈ [−4, 2] માં વિધેય f(x) = x² + 2x – 8 માટે રોલનું પ્રમેય ચકાસો.
ઉત્તરઃ
f(x) = x² + 2x – 8, x ∈ [−4, 2]
વિધેય f(x) બહુપદી હોવાથી [−4, 2] માં સતત છે.
f'(x) = 2x + 2. f'(x) એ (−4, 2) માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી f(x) એ (–4, 2) માં વિકલનીય છે.
f(– 4) = (-4)² + 2(-4) – 8 = 16 – 8 – 8 = 0
f(2) = (2)2 + 2(2) 8 = 4 + 4 – 8 = 0
∴ f(−4) = f(2)
∴ રોલના પ્રમેય પ્રમાણે C ∈ (−4, 2) મળે કે જેથી, f'(C) = 0
∴ 2C + 2 = 0 → C = −1 તથા −1 ∈ (−4, 2)

પ્રશ્ન 2.
ચકાસો કે નીચેના વિધેયો પર રોલનું પ્રમેય લગાડી શકાય કે નહિ ? આ ઉદાહરણો પરથી તમે રોલના પ્રમેયના પ્રતીપ વિશે શું કહી શકશો ?
(i) f(x) = [x], x ∈ [5, 9]
(ii) f(x) = [x], x ∈ [-2, 2]
(iii) f(x) = x² − 1, x = [1, 2]
ઉત્તરઃ
(i) f(x) = [x], x = [5, 9]
f(x) = [x] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.
∴ વિધેય f(x) એ સતત કે વિકલનીય વિધેય નથી.
∴ વિધેય f(x) માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય નહીં.

(ii) f(x) = [x], x = [-2, 2]
f(x) = [x] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.
∴ વિધેય f(x) એ સતત કે વિકલનીય વિધેય નથી.
∴ વિધેય f(x) માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય નહીં.

(iii) f(x) = x – 1, x = [1, 2]
f(x) એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી સતત છે.
f'(x) = 2x, f'(x) એ (1, 2) માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી f(x) એ (1, 2) માં વિકલનીય છે.
f(1) – = (1)² – 1 = 0,
f(2) = (2)² − 1 = 3
∴ f(1) ≠ f(2)
∴ વિધેય f(x) માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકે નહીં. હવે રોલનાં પ્રતિપ્રમેય માટે,
f(x) = [x], x ∈ [-2, 2]
વિધેય f(x) માટે x પૂર્ણાંક સંખ્યા ન હોય ત્યારે f'(x) = 0 થાય છે. x ∈ (−2, 2). પરંતુ રોલનું પ્રતિપ્રમેય વિધેય f(x) માટે સત્ય નથી.

પ્રશ્ન 3.
જો f : [~5, 5] → R વિકલનીય વિધેય હોય અને f'(x) ક્યાંય શૂન્ય ના બને તો સાબિત કરો કે f(–5) ≠ f(5).
ઉત્તરઃ
રોલનું પ્રમેય:
(i) વિધેય f(x) એ [a, b] માં સતત હોય.
(ii) વિધેય f(x) એ (a, b) માં વિકલનીય હોય.
(iii) f(a) = f(b) હોય.
તો ઓછામાં ઓછું C = (a, b) મળે કે જેથી f'(C) = 0 થાય.
હવે આપેલ છે કે,
વિધેય f : [–5, 5] → R એ વિકલનીય વિધેય છે.
∴ વિધેય f એ સતત વિધેય છે.
તથા f'(x) એ x ∈ (–5, 5) માં ક્યાંય શૂન્ય થતું નથી. અર્થાત્ f'(c) ≠ 0.
∴ રોલનાં પ્રમેય મુજબ, f(a) ≠ f(b)
∴ f(–5) ≠ f(5).

પ્રશ્ન 4.
a = 1 અને b = 4 લઈ વિધેય f(x) = x² – 4x – 3 માટે [a, b] પર મધ્યકમાન પ્રમેય ચકાસો.
ઉત્તરઃ
વિધેય f(x) = x² – 4x – 3 એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી [1, 4] માં સતત છે.
f'(x) = 2x – 4, f'(x) એ (1, 4) માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી f(x) એ (1, 4) માં વિકલનીય છે.
∴ મધ્યકમાન પ્રમાણે C ∈ (1, 4) અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી
f'(c) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\) થાય.
હવે f(4) = (4)² – 4(4) – 3
= 16 – 16 – 3 = −3
f(1) = (1)² – 4(1) – 3
∴ f'(c) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\)
∴ 2c – 4 = \(\frac{(-3)-(-6)}{3}\)
∴ 2c – 4 = \(\frac{(-3)-(-6)}{3}\)
∴ 2c – 5 ⇒ C = \(\frac{5}{2}\) ∈(1, 4)

પ્રશ્ન 5.
a = 1 અને b = 3 લઈ વિધેય f(x) = x³ – 5x² – 3x માટે [a, b] પર મધ્યકમાન પ્રમેય ચકાસો. f'(c) = 0 થાય તેવા તમામ C ∈ (1, 3) શોધો.
ઉત્તરઃ
f(x) = x³ – 5x² – 3x એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી [1, 3] માં સતત છે.
f'(x) = 3x² – 10x – 3. f'(x) એ (1, 3) માં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી f(x) એ (1, 3) માં વિકલનીય છે.
∴ મધ્યકમાન પ્રમેય પ્રમાણે C ૯ (1, 3) અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે
જેથી f'(C) = \(\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\) થાય.
f(3) = (3)³ – 5(3)² – 3(3)
= 27 – 45 – 9 = -27
f(1) = (1)³ – 5(1)² – 3(1)
= 1 – 5 – 3 = −7
f'(C) = \(\frac{f(3)-f(1)}{3-1}\)
∴ 3C² – 10C – 3 =
∴3C² – 10C – 3 = -10
∴ 3C² – 3C – 7C + 7 = 0
∴ (3C – 7) (C − 1) = 0
∴ C = \(\frac{7}{3}\) અથવા C = 1
પરંતુ 1 ∉ (1, 3)
∴ C = \(\frac{7}{3}\) ∈ (1, 3)

પ્રશ્ન 6.
ઉપર પ્રશ્ન 2 માં આપેલ ત્રણ વિધેયો માટે મધ્યકમાન પ્રમેય ચકાસો.
ઉત્તરઃ
(i) f(x) = [x], x = [5, 9]
f(x) = [x] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી સતત કે વિકલનીય નથી.
∴ f(x) માટે મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય નહીં.

(ii) f(x) = [x], x = [-2, 2]
f(x) = [x] એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી સતત કે વિકલનીય નથી.
∴ f(x) માટે મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય નહીં.

(iii) f(x) = x² – 1, x ∈ [1, 2]
f(x) = x² – 1 એ બહુપદીય વિધેય હોવાથી [1, 2] અંતરાલમાં સતત છે.
f'(x) = 2x. 2x નું (1, 2) અંતરાલમાં અસ્તિત્વ છે. તેથી f(x) એ (1, 2) માં વિકલનીય વિધેય છે.
∴ મધ્યકમાન પ્રમેય પ્રમાણે, C ∈ (1, 2) મળે કે જેથી
f'(C) = \(\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\) થાય.
f(2) = (2)² – 1 = 3 તથા f(1) = (1)² – 1 = 0.
હવે f ‘(C) = \(\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\)
∴ 2C = \(\frac{3-0}{1}\)
∴ C = \(\frac{3}{2}\) ∈ (1, 2)