GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.2

પ્રશ્ન 1.
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 2
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 3 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{cc}
-2 & 5 \\
3 & 4
\end{array}\right]\) હોય, તો નીચેના પૈકી પ્રત્યેક શ્રેણિક શોધો :
(i) A + B, (ii) A – B, (iii) 3A – C, (iv) AB, (v) BA
ઉત્તરઃ


= \(\left[\begin{array}{cc}
2+9 & 4+6 \\
-4+15 & -8+10
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
11 & 10 \\
11 & 2
\end{array}\right]\)

પ્રશ્ન 2.
નીચેનાની ગણતરી કરો :

ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 3.
સૂચિત ગુણાકારની ગણતરી કરો :

ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
જો A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -3 \\
5 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 2 \\
4 & 2 & 5 \\
2 & 0 & 3
\end{array}\right]\) અને C = \(\left[\begin{array}{ccc}
4 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 2 \\
1 & -2 & 3
\end{array}\right]\) હોય, તો (A + B) અને (B – C)ની ગણતરી કરો. વળી, ચકાસો કે A + (B – C) = (A + B) – C.
ઉત્તરઃ


પરિણામ (i) અને (ii) પરથી,
A + (B – C) = (A + B) – C.

પ્રશ્ન 5.

હોય, તો 3A – 5Bની ગણતરી કરો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 6.
સાદુંરૂપ આપો :

ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
જો (i) X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
2 & 5
\end{array}\right]\) અને X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{array}\right]\) હોય, તો X અને Y શોધો.
(ii) 2x + 3y = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 0
\end{array}\right]\) અને 3X + 2Y = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -2 \\
-1 & 5
\end{array}\right]\) હોય, તો X અને Y શોધો.
ઉત્તરઃ
(i) X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
2 & 5
\end{array}\right]\) ……….(i)
X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{array}\right]\) ……….(ii)

(ii) 2x + 3y = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 0
\end{array}\right]\) ……….(i)
3X + 2Y = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -2 \\
-1 & 5
\end{array}\right]\) ……….(i)
સમી, 2(i) – 3(ii) લેતાં, ⇒

પ્રશ્ન 8.
જો Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 4
\end{array}\right]\) અને 2X + Y = \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-3 & 2
\end{array}\right]\) હોય, તો X શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
જો \(2\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
0 & x
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}
y & 0 \\
1 & 2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
5 & 6 \\
1 & 8
\end{array}\right]\) હોય, તો x અને y શોધો.
ઉત્તરઃ

સમાનતાનાં ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતાં, 2 + y = 5 ⇒ y = 3
2x + 2 = 8 ⇒ x = 3

પ્રશ્ન 10.
જો \(2\left[\begin{array}{ll}
x & z \\
y & t
\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
0 & 2
\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{ll}
3 & 5 \\
4 & 6
\end{array}\right]\) હોય, તો x, y, z અને t માટે સમીકરણ ઉકેલો.
ઉત્તરઃ

શ્રેણિકની સમાનતાનાં ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતાં,
2x + 3 = 9 ⇒ x = 3
2y = 12 ⇒ y = 6
2z – 3 = 15 ⇒ z = 9
2t + 6 = 18 ⇒ t = 6

પ્રશ્ન 11.
જો \(x\left[\begin{array}{l}
2 \\
3
\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
10 \\
5
\end{array}\right]\) હોય, તો xઅને y નાં મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ

શ્રેણિકની સમાનતાનાં ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતાં,
2x – y = 10
⇒ y = 2x – 10
= 2(3) – 10 (∵ x = 3)
= -4
∴ y = -4

પ્રશ્ન 12.
જો \(3\left[\begin{array}{cc}
x & y \\
z & w
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
x & 6 \\
-1 & 2 w
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
4 & x+y \\
z+w & 3
\end{array}\right]\) હોય, તો x, y, z અને w નાં મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ

શ્રેણિકની સમાનતાનાં ગુલધર્મોનો ઉપયોગ કરતાં,
3x = x + 4 ⇒ x = 2
3y = 6x + y ⇒ 2y = 6 + 2 (∵ x = 2)
⇒ y = 4
3w = 2w + 3 ⇒ w = 3
3z = -1 + z + w ⇒ 2z = =-1 + 3 (∵ w = 3)
⇒ z = 1
x = 2, y = 4, z = 1 તથા w = 3.

પ્રશ્ન 13.
F(x) = \(\left[\begin{array}{ccc}
\cos x & -\sin x & 0 \\
\sin x & \cos x & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\) હોય, તો દર્શાવો કે, F(x) F(y) = F(x + y).
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
સાબિત કરો કે,

ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
જો A = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & -1 & 0
\end{array}\right]\) હોય, તો A² – 5A + 6I શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 16.
જો A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
2 & 0 & 3
\end{array}\right]\) હોય, તો સાબિત કરો કે A³ – 6A² + 7A + 2I = 0.
ઉત્તરઃ

ડા.ખા. = A³ – 6A² + 7A + 2I

પ્રશ્ન 17.
જો A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
4 & -2
\end{array}\right]\) અને I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) હોય, તો એવો k શોધો કે જેથી A² = kA – 2I થાય.
ઉત્તરઃ

શ્રેણિકનાં સમાનતાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતાં, 4k = 4
⇒ k = 1

પ્રશ્ન 18.

અને I એ 2 કલાવાળો એકમ શ્રેણિક હોય, તો સાબિત કે
I + A = (I – A) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે,

પ્રશ્ન 19.
એક ટ્રસ્ટ પાસે હૈં ₹ 30,000નું ભંડોળ છે. ટ્રુસ્ટર્ન આ ભંડોળ જુદાજુદા પ્રકારના બૉન્ડમાં રોકવું છે. પ્રથમ બૉન્ડ પ્રતિ વર્ષ 5% વ્યાજ આપે છે અને બીજા બૉન્ડ પ્રતિ વર્ષ 7% વ્યાજ આપે છે. જો ટ્રસ્ટને વાર્ષિક વ્યાજ (a) ₹ 1,800, (b) ₹ 2,000 મેળવવું હોય, તો ટ્રસ્ટે ₹ 30,000 બે બૉન્ડમાં રોકવા માટે મૂડીના કેવા ભાગ કરવા પડશે, તે શ્રેણિક ગુણાકારના ઉપયોગથી નક્કી કરો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ટ્રસ્ટ ₹ x એ 5% વ્યાજનાં દર ધરાવતાં બૉન્ડમાં રોકે છે. અને બાકીનાં ₹ (30,000 – x) એ 7% વ્યાજનાં દર ધરાવતાં બોન્ડમાં રોકે છે.
(a) ટ્રસ્ટની વાર્ષિક વ્યાજની કુલ આવક ₹ 1800 છે.

∴ 5x + 2,10,000 – 7x = 1800 × 100
∴ 2x + 2,10,000 – 1,80,000
∴ 2x = 30,000
∴ x = 15,000
∴ (30,000 – 15,000) = 15,000
∴ ટ્રસ્ટ ₹ 15,000 એ 5% વ્યાજનો દર ધરાવતાં ભૉન્ડમાં રોકે છે. અને બાકીનાં ₹ 15,000 એ 7% વ્યાજનો દર ધરાવતાં બૉન્ડમાં રોકે છે.

(b) ટ્રસ્ટની વાર્ષિક વ્યાજની કુલ આવક ₹ 2000 છે.

∴ 5x + 2,10,000 – 7x = 2000 × 100
∴ 2x = 2,10,000 – 2,00,000
∴ 2x = 10,000
∴ x = 5,000
∴ (30,000 – 5,000) = 25,000
∴ ટ્રસ્ટે ₹ 5,000 એ 5% વ્યાજનો દર ધરાવતાં બૉન્ડમાં રોકવા જોઈએ અને બાકીના ₹ 25,000 એ 7% વ્યાજનો દર ધરાવતાં બૉન્ડમાં રોકવા જોઈએ.

પ્રશ્ન 20.
એક સવિશેષ શાળાના પુસ્તકભંડારમાં 10 ડઝન રસાયણવિજ્ઞાનનાં પુસ્તકો, 8 ડઝન ભૌતિકવિજ્ઞાનનાં પુસ્તકો અને 10 ઝન અર્થશાસ્ત્રનાં પુસ્તકો છે. તેમની વેચાણકિંમત અનુક્રમે ₹ 80, ₹ 60 અને ₹ 40 છે. પુસ્તકભંડાર બધાં જ પુસ્તકોનું વેચાણ કરી દે, તો શ્રેણિક બીજગણિતની મદદથી ભંડારને કેટલી રકમ મળશે તે શોધો.
ઉત્તરઃ
રસાયણ વિજ્ઞાનના કુલ પુસ્તકોની સંખ્યા = 10 ડઝન
= 10 × 12 = 120
ભૌતિક વિજ્ઞાનના કુલ પુસ્તકોની સંખ્યા = 8 ડઝન
= 8 × 12 = 96
અર્થશાસ્ત્રના કુલ પુસ્તકોની સંખ્યા = 10 ડઝન
= 10 × 12 = 120
હવે [120 96 120] \(\left[\begin{array}{l}
80 \\
60 \\
40
\end{array}\right]\) = 120 × 80 + 96 × 60 + 120 × 40
= 9600 + 5760 + 4800
= 20,160
∴ દુકાનદારને કુલ ₹ 20,160 મળે.

પ્રશ્ન 21 તથા 22 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી સોગ્ય વિક્લ્પ પસંદ કરો :

ધારો કે X, Y, Z, W અને P અનુક્રમે 2 × n, 3 × k‚ 2 × P, n × 3 અને p × k કક્ષાવાળા શ્રેણિક છે.

પ્રશ્ન 21.
PY + WY વ્યાખ્યાયિત થાય તે રીતે n, k અને p પર પ્રતિબંધ મૂકવામાં આવે તો :
(A) k = 3, p = n
(B) k સ્વૈર, p = 2
(C) p સ્વૈર, k = 3
(D) k = 2, p = 3
ઉત્તરઃ
X_{2 × n}, Y_{3 × k}, Z_{2 × P}, W_{n × 3} P_{p × k}અને શ્રેણિકો છે.
PY + WY વ્યાખ્યાયિત છે.
P_{p × k} Y_{3 × k} + W_{n × 3} Y_{3 × k} વ્યાખ્યાયિત છે.
∴ k = 3 [PY]_{p × k} + [WY]_{n × k} વ્યાખ્યાયિત છે.
∴ P = n
આમ વિકલ્પ (A) સત્ય છે.

પ્રશ્ન 22.
જો n = p હોય, તો શ્રેણિક 7X – 5Z ની કક્ષા :
(A) P × 2 (B) 2 × n (C) n × 3 (D) p × n
ઉત્તરઃ
7X – 5Z = 7X_{2 × n} – 5Z_{2 × p}
હવે n = P છે. ⇒ 7X – 5Z ની કક્ષા 2 × 7 થાય.
∴ વિક્લ્પ (B) સત્ય છે.