GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
બે ઘટનાઓ A અને B માટે જો P(A) ≠ 0 અને (i) A એ B નો ઉપગણ હોય (ii) A ↑ B = છું, તો P(B | A) શોધો.
ઉત્તરઃ
(i) A એ Bનો ઉપગણ હોય ⇒ A ⊂ B
∴ P(A ∩ B) = P(A) ≠ 0

પ્રશ્ન 2.
એક યુગલને બે બાળકો છે. (i) ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો છે તેમ આપેલ હોય, તો બંને બાળકો છોકરા હોવાની સંભાવના શોધો. (ii) જે મોટું બાળક છોકરી હોય, તો બંને બાળકો છોકરી હોવાની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
એક યુગલને બે બાળકો છે.
∴ નિદર્શાવકાશ S = {B₁B₂, B₁G₂, G₁B₂, G₁G₂}
જ્યાં B_i = છોકરી, G_i = છોકરી દર્શાવે છે. i = 1, 2
(i) ઘટના 3 = ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરો છે.
= {B₁B₂, B₁G₂, G₁B₂]
∴ P(B) = \(\frac{3}{4}\)
ઘટના A = બંને બાળકો છોકરા હોય = {B₁B₂}
∴ A ∩ B = {B₁B₂}
∴ P(A ∩ B) = \(\frac{1}{4}\)
માંગેલ સંભાવના = P(A | B)
= \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
= \(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}\) = \(\frac{1}{3}\)

(ii) ઘટના Y = મોટું બાળક છોકરી હોય.
= {G₁G₂, G₁B₂}
∴ P(Y) = \(\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
ઘટના X = બંને બાળકો છોકરી હોય = {G₁G₂}
∴ X ∩ Y = {G₁G₂}
∴ P(X ∩ Y) = \(\frac{1}{4}\)
માંગેલ સંભાવના = P(\(\frac{X}{Y}\))
= \(\frac{\mathrm{P}(\mathrm{X} \cap \mathrm{Y})}{\mathrm{P}(\mathrm{Y})}\)
= \(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\) = \(\frac{1}{2}\)

પ્રશ્ન 3.
ધારો કે 5 % પુરુષો અને 0.25 % સ્ત્રીઓને ભૂખરા રંગના વાળ હોય છે. ભૂખરા વાળવાળી વ્યક્તિને યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરી છે. આ વ્યક્તિ પુરુષ હોવાની સંભાવના કેટલી ? સ્વીકારી લો કે પુરુષો અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા સમાન છે.
ઉત્તરઃ
ઘટના E₁ = વ્યક્તિ પુરુષ હોય
ઘટના E₂ = વ્યક્તિ સ્ત્રી હોય
ઘટના A = વ્યક્તિ ભૂખરા રંગના વાળ ધરાવતી હોય.
અહીં પુરુષો અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા સમાન છે.
∴ P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
આપેલ છે કે P(A | E₁) = \(\frac{5}{100}=\frac{1}{20}\)
તથા P(A | E₂) = \(\frac{0.25}{100}=\frac{1}{400}\)
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ ભૂખરા વાળવાળી વ્યક્તિ પુરુષ હોવાની સંભાવના = P(E₁ | A)

∴ માંગેલ સંભાવના = \(\frac{20}{21}\)

પ્રશ્ન 4.
ધારો કે 90 % લોકો જમણેરી છે. 10 વ્યક્તિના યાર્દચ્છિક નિદર્શમાં વધુમાં વધુ 6 લોકો જમણેરી હોવાની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
90% લોકો જમણેરી છે.
∴ સફળતાની સંભાવના P = \(\frac{90}{100}=\frac{9}{10}\)
∴ q = 1 – p = \(\frac{1}{10}\)
10 વ્યક્તિનો નિદર્શ આપેલ છે. ⇒ n = 10
P(X = x} = \({ }^n C_x\)q^n-xp^x
∴ P(X = x) = 10C_x(\(\frac{1}{10}\))^10-x (\(\frac{9}{10}\))^x ………….(i)
P (વધુમાં વધુ 6 લોકો જમણેરી હોય)
= P(X ≤ 6)

પ્રશ્ન 5.
એક પાત્રમાં 25 દડા છે. તેમાંથી 10 દડા પર નિશાની ‘X’ છે અને બાકીના 15 દડા પર નિશાની ‘Y’ છે, પાત્રમાંથી એક દડો યાદૈચ્છિક રીતે કાઢ્યો અને તેના પરની નિશાની નોંધીને તેને પાત્રમાં પરત મૂક્યો. જો આ રીતે 6 દડા કાઢવામાં આવ્યા હોય, તો (i) બધા પર નિશાની ‘X’ હોય. (ii) 2 કરતાં વધારે પર નિશાની ‘Y’ ન હોય. (iii) ઓછામાં ઓછા એક દડા પર નિશાની ‘Y’ હોય. (iv) નિશાની ‘X’ અને નિશાની ‘Y’ વાળા દડાઓની સંખ્યા સમાન હોય તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે યાદચ્છિક ચલ X એ જે દર્દી પર નિશાની ‘X’ છે, એ દડાની સંખ્યા દર્શાવે છે.
25 દેશમાંથી 10 દર્દી પર નિશાની ‘X’ છે.
∴ P = \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\)
∴ q = 1 – p = \(\frac{3}{5}\)
પાત્રમાંથી 6 દડા કાઢવામાં આવે છે.
⇒ n = 6
P(X = x) = \({ }^n C_x\) q^n-x p^x
જ્યાં P(X = x) એ ‘X’ નિશાની ધરાવતાં x દડાની સંભાવના દર્શાવે છે.
∴ P(X = x) = 6C_x (\(\frac{3}{5}\))^6-x (\(\frac{2}{5}\))^x ……..(i)

(i) બધા પર નિશાની ‘X’ હોય :
P (બધા પર નિશાની ‘X’ હોય)
= P(X = 6)
= 6C₆(\(\frac{3}{5}\))^6-6 (\(\frac{2}{5}\))⁶ ((i) પરથી)
= (\(\frac{2}{5}\))⁶

(ii) 2 દડા કરતાં વધારે પર નિશાની ‘Y’ ન હોય : અર્થાત્ ‘Y’ નિશાનીવાળા 2 દડા અથવા 1 ઘડો અથવા એકેય દો ન હોય, અર્થાત્ ‘X’ નિશાનીવાળા 4 દડા અથવા 5 દડા અથવા 6 દડા હોય.
∴ માંગેલ સંભાવન
= P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)

(iii) ઓછામાં ઓછા એક દડા પર નિશાની ‘Y’ હોય :
અર્થાત્ P(Y ≥ 1)
= 1 – P(Y = 0)
= 1 – 6C₀ (\(\frac{3}{5}\))⁰ (\(\frac{2}{5}\))⁶
= 1 – (\(\frac{2}{5}\))⁶
જ્યાં P(Y = y) = 6C_y (\(\frac{2}{5}\))^6-y (\(\frac{3}{5}\))^y

(iv) નિશાની ‘X’ અને નિશાની Y” વાળા દડાઓની સંખ્યા સમાન હોય તેની સંભાવના :
= P(X = 3)
= 6C₃ (\(\frac{3}{5}\))^6-3 (\(\frac{2}{5}\))³
= 20(\(\frac{3}{5}\))³ (\(\frac{2}{5}\))³
= \(\frac{864}{3125}\)

પ્રશ્ન 6.
એક વિઘ્ન દોડમાં, ખેલાડીએ 10 વિઘ્નો પસાર કરવાના હોય છે. તે દરેક વિઘ્નને સફળતાપૂર્વક પસાર કરે તેની સંભાવના છે. તે બે કરતાં ઓછાં વિઘ્નોને પસાર કરશે તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
એક વિઘ્ન દોડમાં ખેલાડીએ 10 વિખો પસાર કરવાના છે.
ખેલાડી વિઘ્નને સફળતાપૂર્વક પસાર કરે તેની સંભાવના \(\frac{5}{6}\) છે.
∴ ખેલાડી વિઘ્નો પસાર કરે તેની સંભાવના

પ્રશ્ન 7.
જ્યાં સુધી ત્રૠ વખત પૂર્ણાંક 6 ન મળે ત્યાં સુધી એક પાસાને વારંવાર ઉછાળવામાં આવે છે. છઠ્ઠીવાર પાસાને ફેંકતાં ત્રીજી વખત પૂર્ણાંક 6 મળે તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
પાસાને ફેંકના મળનો નિદર્શાવકાશ
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n = 6
જો પાસા ઉપર 6 મળે તેને સફળતા કહીએ તો સફ્ળતાની સંભાવના P = \(\frac{1}{6}\)
∴ q = 1 – p = \(\frac{5}{6}\)
પાસાને 6 વાર ફેંકવામાં આવે છે.
છઠ્ઠીવાર પાસાને ફેંકતા ત્રીજી વખત પૂર્ણાંક 6 મળે છે.
∴ આગળના પાંચ વખત પાસાને ફેંક્તા બે વખત 6 મળેલ છે.
∴ 6 માંગેલ સંભાવના
= P (પ્રથમ પાંચ વખતમાંથી 2 વાર 6 મળે) × P (છઠ્ઠી વખત 6 મળે)

પ્રશ્ન 8.
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ લીપ વર્ષમાં 53 મંગળવાર હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
એક લીપ વર્ષમાં 366 દિવસ હોય છે.
એક અઠવાડિયામાં 7 દિવસ હોય.
∴ 52 અઠવાડિયામાં 52 × 7 = 364 દિવસ થાય.
∴ 361 દિવસમાં 52 મંગળવાર તો આવે જ.
366 – 364 = 2 દિવસ બાકી રહે. આ બે દિવસ (સોમ, મંગળ), (મંગળ, બુધ), (બુધ, ગુરુ), (ગુરુ, શુક્ર), (શુક્ર, શનિ), (શનિ, રવિ), (રવિ, સોમ)માંથી હોઈ શકે.
હવે લીપ વર્ષમાં 53 મંગળવાર થવા માટે બાકી રહેલા 2 દિવસ (સોમ, મંગળ) અથવા (મંગળ, બુધ) હોવા જોઈએ.
∴ માંગેલ સંભાવના = \(\frac{2}{7}\)

પ્રશ્ન 9.
એક પ્રયોગ જેટલી વાર નિષ્ફળ જાય છે તેના કરતાં બમણી વખત સફળ થાય છે. હવે પછીના 6 પ્રયત્નોમાં તેને ઓછામાં ઓછી 4 વખત સફળતા મળશે તેની સંભાવના શોધી.
ઉત્તરઃ
ધારો કે પ્રયોગ x વાર નિષ્ફળ જાય છે.
∴ પ્રયોગ 2x વાર સફળ થાય છે.
∴ p = 2x, q = x
p + q ⇒ 1 ⇒ 2x + x = 1
⇒ x = \(\frac{1}{3}\)
∴ p = \(\frac{2}{3}\), q = \(\frac{1}{3}\)
6 પ્રયત્નો કરવામાં આવે છે. ⇒ n = 6

પ્રશ્ન 10.
એક માણસે એક સમતોલ સિક્કાને કેટલી વાર ઉછાળવો જોઈએ કે જેથી ઓછામાં ઓછી એક વખત છાપ મળે તેની સંભાવના 90% કરતાં વધારે હોય ?
ઉત્તરઃ
એક સિક્કાને ઉછાળવામાં આવે છે.
સિક્કા ઉપર છાપ મળે તેને સફળતા કહીએ તો
P = \(\frac{1}{2}\) તથા q = 1 – p = \(\frac{1}{2}\)
ધારો કે માસ ૪ વખત સિક્કો ઉછાળે છે.

∴ (\(\frac{1}{2}\))ⁿ < \(\frac{1}{10}\)
સ્પષ્ટ છે કે n ≥ 4

પ્રશ્ન 11.
સમતોલ પાસાને ફેંકવાની રમતમાં, એક માણસ પાસા પર પૂર્ણાંક 6 મળે તો એક રૂપિયો જીતે છે અને અન્ય કોઈ પણ પૂર્ણાંક મળે ત્યારે એક રૂપિયો ગુમાવે છે. એ માણસે પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવાનો નિર્ણય કર્યો છે, પરંતુ જેવો એને પૂર્ણાંક 6 મળશે કે તરત જ તે રમતને છોડી દેશે. તે રમત જીતે ગુમાવે તેની અપેક્ષિત કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
એક માણસ પાસાને ત્રણ વખત ફેંકે છે.
1. જો પ્રથમ પ્રયત્નમાં પાસા પર 6 મળે તો માણસને હૈં ₹ 1 મળે છે અને માણસ રમતને છોડી દે છે. આ સંજોગોમાં સંભાવના = \(\frac{1}{6}\)
2. જો પ્રથમ પ્રયત્નમાં પાસા પર 6 ન મળે તો તેની સંભાવના \(\frac{5}{6}\) થાય અને માણસ હૈં ₹ 1 ગુમાવે અને બીજી વાર પાસો ફેંકે. બીજા પ્રયત્નમાં 6 મળે તો માણસ રમત છોડી દે છે તથા તેને મળેલ કિંમત હૈં ₹ – 1 + ₹ 1 = 0 થશે. અર્થાત્ તેને કઈ મળતું નથી. આ સંજોગોમાં સંભાવના = \(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}\)
3. પ્રથમ બે પ્રયત્નોમાં 6 ન મળે તો માક્કસ ₹ 2 ગુમાવે છે. જો ત્રીજા પ્રયત્નમાં 6 મળે તો છે. તેને મળેલ કિંમત – ₹ 2 + ₹ 1 = – ₹ 1
આ સંજોગોમાં સંભાવના = \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}\)
4. ત્રણેય પ્રયત્નોમાં 6 ન મળે તો માણસ ₹ 3 ગુમાવશે. આ સંજોગોમાં સંભાવના = \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{125}{216}\) થાય.

જો યાદચ્છિક ચલ X એ માણસ તે / ગુમાવે તે દર્શાવતું હોય તો Xની શક્ય કિંમત 1, 0, −1 અને −3 થશે. Xનું સંભાવના વિતરણ નીચે પ્રમાણે મળે.

પ્રશ્ન 12.
ધારો કે ચાર ખોખા A, B, C અને D માં નીચે પ્રમાણે રંગીન લખોટીઓ છે :

ખોખું	લખોટીના રંગ
	લાલ	સફેદ	કાળી
A B C D	1 6 8 0	6 2 1 6	3 2 1 4

કોઈ એક ખોખાને યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરી તેમાંથી એક લખોટી પસંદ કરવામાં આવી. જો લખોટી લાલ રંગની હોય તો તે ખોખા A માંથી પસંદ કરી હોય ? B માંથી પસંદ કરી હોય ? C માંથી પસંદ કરી હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ

ઘટના A = ખોખા Aને પસંદ કરવામાં આવે.
ઘટના B = ખોખા ને પસંદ કરવામાં આવે.
ઘટના C = ખોખા Cને પસંદ કરવામાં આવે.
ઘટના D = ખોખા Dને પસંદ કરવામાં આવે.
∴ P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = \(\frac{1}{4}\)
ઘટના X = લખોટી લાલ રંગની હોય.
∴ P(X | A) = \(\frac{1}{10}\), P(X | B) = \(\frac{6}{10}\)
P(X | C) = \(\frac{8}{10}\), P(X | D) = 0

(i) યાદચ્છિક રીતે કોઈ એક ખોખું પસંદ કરી તેમાંથી લાલ રંગની લખોટી પસંદ કરવામાં આવે છે.
આ લખોટી ખોખા Aમાંથી પસંદ થાય તેની સંભાવના

= \(\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1+6+8}{10}}\) = \(\frac{1}{15}\)
∴ માંગેલ સંભાવના = \(\frac{1}{15}\)

(ii) આ લખોટી ખોખા માંથી પસંદ થાય તેની સંભાવના

(iii) આ લખોટી ખોખા C માંથી પસંદ થાય તેની સંભાવના

પ્રશ્ન 13.
ધારો કે દર્દીને હૃદયરોગનો હુમલો થવાની શક્યતા 40 % છે. એ પણ ધારેલ છે કે ધ્યાન અને યોગાસનોનો અભ્યાસ હૃદયરોગના હુમલાનું જોખમ 30 % ઘટાડે છે અને નિયત દવાઓ માટે દાક્તરની દવાચિઠ્ઠી તેની શક્યતાઓ 25 % સુધી ઘટાડે છે. એક જ સમયે દર્દી બે સમાન સંભાવનાઓવાળા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ એકની પસંદગી કરી શકે છે. બેમાંથી એક વિકલ્પમાંથી પસાર થયા પછી, યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ હૃદયરોગના હુમલાથી પીડિત છે તેમ આપેલ હોય, તો દર્દી ધ્યાન અને યોગાભ્યાસનો કાર્યક્રમ અનુસર્યો છે તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ઘટના A = દર્દીને હૃદયરોગનો હુમલો થવાની શક્યતા
∴ P(A) = 40% = \(\frac{40}{100}\) = 0.4
ઘટના E₁ = ધ્યાન અને યોગાસનની સારવાર
E₂ = દાક્તરની દવાચિઠ્ઠીથી દવાઓ દ્વારા સારવાર આપેલ છે કે બંને વિકલ્પો ધરાવતી સારવારની સંભાવના સમાન છે.
⇒ P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
હવે ધ્યાન અને યોગાસનનો અભ્યાસ હૃદયરોગના હુમલાનું જોખમ 30% ઘટાડે છે.
∴ દર્દીને હૃદયરોગનો હુમલો થવાની શક્યતા 70% રહે છે.
∴ P(A | E₁) = 0.4 નાં 70%
= 0.4 × 0.7 = 0.28
નિયત દવાઓ માટે દાક્તરની દવાચિઠ્ઠી તેની શક્યતાઓ 25% સુધી ઘટાડે છે.
∴ દર્દીને હૃદયરોગનો હુમલો થવાની શક્યતા 75% રહે છે.
∴ P(A | E₂) = 0.4 નાં 75%
= 0.4 × 0.75 = 0.3
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વ્યક્તિ હ્રદયરોગના હુમલાથી પીડિત છે તેમ આપેલ હોય તો દર્દીએ ધ્યાન અને યોગાભ્યાસનો કાર્યક્રમ અનુસર્યો હોય તેની સંભાવના =

પ્રશ્ન 14.
દ્વિહાર નિશ્ચાયકનો પ્રત્યેક ઘટક શૂન્ય અથવા એક હોય, તો નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ધન હોવાની સંભાવના કેટલી ? (ધારો કે નિશ્ચાયકનો દરેક ઘટક નિરપેક્ષ રીતે પસંદ કરાયો હોય, તો પ્રત્યેક ઘટકની સંભાવના \(\frac{1}{2}\) છે).
ઉત્તરઃ
વિહાર નિશ્ચાયકમાં ચાર ઘટકો હોય છે. પ્રત્યેક ઘટકની પસંદગી 0 અને 1માંથી કરવાની છે.
∴ ઘટકોની પસંદગીના પ્રકારો = 2⁴ = 16 થાય.
વિહાર નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ધન લેવાનું છે. આ પસંદગી નીચે પ્રમાણે થઈ શકે.

∴ માંગેલ સંભાવના = \(\frac{3}{16}\)

પ્રશ્ન 15.
વિદ્યુત યંત્રના ભાગોનું જોડાણ બે ઉપરચનાઓ A અને B ધરાવે છે. અગાઉની ચકાસવાની કાર્યપ્રણાલી પરથી નીચેની સંભાવનાઓ શાત છે તેમ ધારેલ છે :
P(A નિષ્ફળ જાય) = 0.2
P(ફક્ત B નિષ્ફળ જાય) = 0.15
P(A અને B નિષ્ફળ જાય) = 0.15
નીચેની સંભાવનાઓ શોધો :
(i) P(A નિષ્ફળ જાય | B નિષ્ફળ ગઈ છે)
(ii) P(A એકલી નિષ્ફળ જાય)
ઉત્તરઃ
P(A નિષ્ફળ જાય) = P(A’) = 0.2
P(ફક્ત B નિષ્ફળ જાય) = P(B’) – P(A’ ∩ B’) = 0.15
P(A અને B નિષ્ફળ જાય) = P(A’ ∩ B’) = 0.15
હવે 0.15 = P(B’) – P(A’ ∩ B’)
⇒ 0.15 = P(B’) – 0.15
⇒ P(B’) = 0.3

(i) P(A નિષ્ફળ જાય | B નિષ્ફળ ગઇ છે)
= \(\frac{P\left(A^{\prime} \cap B^{\prime}\right)}{P\left(B^{\prime}\right)}\)
= \(\frac{0.15}{0.3}\)
= \(\frac{1}{2}\) = 0.5

(ii) P(A એકલી નિષ્ફળ જાય)
= P(A’) – P(A’ ∩ B’)
= 0.2 – 0.15 = 0.05

પ્રશ્ન 16.
થેલા I માં 3 લાલ રંગના અને 4 કાળા રંગના દડા તથા ઘેલા II માં 4 લાલ રંગના અને 5 કાળા રંગના દડા છે. એક દડો ઘેલા I માંથી ઘેલા II માં મૂક્યો છે અને પછી ઘેલા II માંથી એક દડો પસંદ કરેલ છે. આ રીતે પસંદ કરેલ દડો લાલ રંગનો માલૂમ પડે તો, થેલા I માંથી ઘેલા II માં મૂકેલ દડો કાળા રંગનો હોવાની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ

	લાલ રંગના દડાઓ	કાળા રંગના દડાઓ	કુલ
ઘેલા I	3	4	7
ઘેલા II	4	5	9

ઘટના E₁ = થેલી Iમાંથી ઘેલી IIમાં મૂકેલ દડો લાલ રંગનો હોય.
E₂= શૈલી Iમાંથી શૈલી IIમાં મૂકેલ દડો કાળા રંગનો હોય.
∴ P(E₁) = \(\frac{3}{7}\), P(E₂) = \(\frac{4}{7}\)
ઘટના A = થેલી IIમાંથી પસંદ કરેલ દર્દી લાલ રંગનો હોય
ઘટના E₁ બની ગયા બાદ થેલી IIમાં લાલ રંગના 5 દડા તથા કાળા રંગના 5 દર્દીઓ થાય.
∴ P(A | E₁) = \(\frac{5}{10}\)
ઘટના E₂ બની ગયા બાદ થેલી IIમાં લાલ રંગના 4 દડા અને કાળા રંગના 6 દય થાય.
∴ P(A | E₂) = \(\frac{4}{10}\)
હવે ઘટના A બની ગયા પછી થેલી Iમાંથી IIમાં મૂકેલ દડો કાળા રંગનો હોય તેની સંભાવના = P(E₂ | A)

પ્રશ્નો 17 થી 19 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 17.
જો A અને B બે ઘટનાઓ માટે P(A) ≠ 0 અને P(B | A) = 1, તો
(A) A ⊂ B
(B) B ⊂ A
(C) B = Φ
(D) A = Φ
ઉત્તરઃ
A અને B બે ઘટનાઓ માટે P(A) ≠ 0 અને P(B | A) = 1
∴ \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) = 1
P(A ∩ B) = P(A)
∴ A ⊂ B
∴ વિપ (A) આવે.

પ્રશ્ન 18.
P(A | B) > P(A) હોય, તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ સત્ય છે ?
(A) P(B | A) < P(B)
(B) P(A ∩ B) < P(A) · P(B) (C) P(B | A) > P(B)
(D) P(B | A) = P(B)
ઉત્તરઃ
P(A | B) > P(A)
∴ \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) > P(A)
∴ \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) > P(B)
∴ P(B | A) > P(B)
∴ વિકલ્પ (C) આવે.

પ્રશ્ન 19.
જો A અને B કોઈ પણ બે ઘટનાઓ માટે P(A) + P(B) – P(A અને B) = P(A) હોય, તો
(A) P(B | A) = 1
(B) P(A | B) = 1
(C) P(B | A) = 0
(D) P(A | B) = 0
ઉત્તરઃ
A અને B કોઈ પણ બે ઘટનાઓ છે.
P(A) + P(B) – P(A અને B) = P(A)
∴ P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = P(A)
∴ P(A ∩ B) = P(B)
∴ \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) = 1
∴ P(A | B) = 1
∴ વિક્લ્પ (B) આવે.