GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4

   

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4

નીરો આપેલા નિશ્ચાયકના પ્રત્યેક ઘટકના ઉપનિશ્ચાયક અને સહઅવયવ લખો :

પ્રશ્ન 1.
(i) \(\left|\begin{array}{cc}
2 & -4 \\
0 & 3
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
2 & -4 \\
0 & 3
\end{array}\right|\)

ઉપનિશ્ચાયક :
2 નો ઉ.નિ. = M11 = 3
-4 નો ઉ.નિ. = M12 = 0
0 નો ઉ.નિ. = M12 = -4
3 નો ઉ.નિ. = M12 = 2

સહઅવયવ :
A11 = (-1)1+1 (3) = 3
A12 = (-1)1+2 (0) = 0
A12 = (-1)2+1 (-4) = 4
A12 = (-1)2+2 (2) = 2

(ii) \(\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right|\)
ઉપનિયાયક :
a નો ઉ.નિ. = M11 = d
c નો ઉ.નિ. = M12 = b
b નો ઉ.નિ. = M21 = c
d નો ઉ.નિ. = M22 = a

સહઅવયવ :
A11 = (-1)1+1 d = d
A12 = (-1)1+2 b = -b
A21 = (-1)2+1 c = -c
A22 = (-1)2+2 a = a

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4

પ્રશ્ન 2.
(i) \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|\)
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4 1

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 4 \\
3 & 5 & -1 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ
A = \(\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 4 \\
3 & 5 & -1 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right|\)
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4 2

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4

પ્રશ્ન 3.
બીજી હારના ઘટકોના સહઅવયવના ઉપયોગથી
Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
5 & 3 & 8 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right|\) નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
5 & 3 & 8 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\)
બીજી હારનાં પટકો a21, a22 તથા a23 છે.
a21 નો સહઅવયવ A21 = (-1)2+1 \(\left|\begin{array}{ll}
3 & 8 \\
2 & 3
\end{array}\right|\) = -(9 – 16) = 7
a22 નો સહઅવયવ A22 = (-1)2+2 \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 8 \\
1 & 3
\end{array}\right|\) = 15 – 8 = 7
a23 નો સહઅવયવ A23 = (-1)2+3 \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right|\) = -(10 – 3) = -7
Δ = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23
= 2(7) + 0(7) + 1(-7)
= 14 + 0 – 7 = 7

પ્રશ્ન 4.
ત્રીજા સ્તંભના ઘટકોના અવયવના ઉપયોગથી
Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & y z \\
1 & y & z x \\
1 & z & x y
\end{array}\right|\) નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & y z \\
1 & y & z x \\
1 & z & x y
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\)
ત્રીજા સ્તંભનાં ઘટકો a13, a23 તથા a33 છે.
a13 નો સહઅવયવ A13 = (-1)1+3 \(\left|\begin{array}{ll}
1 & y \\
1 & z
\end{array}\right|\) = z – y
a23 નો સહઅવયવ A23 = (-1)2+3 \(\left|\begin{array}{ll}
1 & x \\
1 & z
\end{array}\right|\) = -(z – x) = (x – z)
a33 નો સહઅવયવ A33 = (-1)3+3 \(\left|\begin{array}{ll}
1 & x \\
1 & y
\end{array}\right|\) = y – x
∴ Δ = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33
= yz(z – y) + zx(x – z) + xy(y – x)
= z2y – y2z + x2z – z2x + y2x – x2y
= xyz – y2z – x2y + xy2 – z2x + yz2 + zx2 – xyz
(xyz ઉમેરતાં અને બાદ કરતાં)
= yz(x – y) – xy(x – y) – z2(x – y) + zx(x – y)
= (x – y) (yz – xy – z2 + zx)
= (x – y) [y(z – x) – z(z – x)]
= (x – y) (y – z) (z – x)

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.4

પ્રશ્ન 5 માં વિધાન સારું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી સોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 5.
જો Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|\) અને aij નો સહઅવયવ Aij હોય, તો Δ નું મૂલ્ય ……………….
(A) a11 A31 + a12 A32 + a13 A33
(B) a11 A11 + a12 A21 + a13 A31
(C) a21 A11 + a22 A12 + a23 A13
(D) a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
ઉત્તરઃ
D = a11 A11 + a21 A21 + a31 A31
(નોંધ : ઘટકોનો Suffix અને સહઅવયવનો Suffix સમાન હોવા જોઈએ, જેમ કે, a21 A21)

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *