GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.3

પ્રશ્ન 1.
એક પાત્રમાં 5 લાલ રંગના અને 5 કાળા રંગના દડા છે. યાદચ્છિક રીતે એક દડો પસંદ કરવામાં આવે છે. તેનો રંગ નોંધીને તેને પાત્રમાં પાછો મૂકી દેવાય છે. તદુપરાંત, જે રંગ જે નોંધ્યો હતો તે રંગના 2 વધારાના ઇંડા પાત્રમાં મૂકવામાં આવે છે. અને ત્યાર બાદ એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, બીજો દડો લાલ રંગનો હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ

દડાઓની સંખ્યા	ઘટના A ઉદ્ભવ્યા બાદ	ઘટના B ઉદ્ભવ્યા બાદ
લાલ રંગના = 5 કાળા રંગનો = 5	7 5	5 7
કુલ = 10	12	12

ધારો કે ઘટના A =યાદચ્છિક રીતે પસંદ થયેલ દડો લાલ રંગનો હોય.
ઘટના B = યાદચ્છિક રીતે પસંદ થયેલ દડો કાળા રંગનો હોય.
∴ P(A) = \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
ઘટના C = પસંદ થયેલ બીજો દડો લાલ રંગનો હોય.
∴ P(C | A) = \(\frac{7}{12}\)
(∵ ઘટના A ઉદ્ભવ્યા બાદ પાત્રમાં લાલ દંડા 5 + 2 = 7 થાય છે. કુલ દડા = 12)
∴ P(C | B) = \(\frac{5}{12}\)
(∵ ઘટના B ઉદ્ભવ્યા બાદ પાત્રમાં લાલ દડા 5 + 2 = 7 થાય છે. કુલ દડા = 12)
હવે P(C) = P(A) P(C | A) + P(B) P(C | B)

∴ બીજો દડો લાલ રંગનો હોવાની સંભાવના \(\frac{1}{2}\) છે.

પ્રશ્ન 2.
એક થેલામાં 4 લાલ રંગના અને 4 કાળા રંગના દડા છે. બીજા થેલામાં 2 લાલ રંગના અને 6 કાળા રંગના દડા છે. બેમાંથી એક થેલો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે અને એક દડો તે થેલામાંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. તે લાલ રંગનો માલૂમ પડે છે. ઠંડી પહેલા થેલામાંથી પસંદ કર્યો હોય તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ

	શૈલી I	શૈલી II
લાલ રંગના દડા	4	2
કાળા રંગના દડા	4	6

ઘટના E₁ = પ્રથમ ઘેલો પસંદ થાય.
ઘટના E₂ = શ્રીએ ઘેલો પસંદ થાય.
∴ P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
ઘટના A = થેલામાંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ થયેલ દર્દી લાલ હોય.
P(A | E₁) = \(\frac{4}{8}\), P(A | E₂) = \(\frac{2}{8}\)
દડો પહેલા થેલામાંથી પસંદ કર્યો હોય તેની સંભાવના

પ્રશ્ન 3.
કૉલેજના વિદ્યાર્થીઓ પૈકી 60 % વિદ્યાર્થીઓ છાત્રાલયમાં રહે છે. અને 40 % વિદ્યાર્થીઓ છાત્રાલયમાં રહેતા નથી તેમ જ્ઞાત છે. આગળના વર્ષના પરિણામ પરથી માહિતી મળે છે કે, છાત્રાલયમાં રહેતા વિદ્યાર્થીઓ પૈકી 30 % વિદ્યાર્થીઓએ વાર્ષિક પરીક્ષામાં A ગ્રેડ મેળવ્યો છે અને છાત્રાલયમાં નહિ રહેનારા વિદ્યાર્થીઓ પૈકીના 20 % વિદ્યાર્થીઓએ તેમની વાર્ષિક પરીક્ષામાં A ગ્રેડ મેળવ્યો છે. વર્ષાને કૉલેજમાંથી એક વિદ્યાર્થી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યો અને તેણે A ગ્રેડ મેળવ્યો છે તેમ આપેલ હોય, તો આ વિદ્યાર્થી છાત્રાલયનો હોવાની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે ઘટના E₁ = વિદ્યાર્થી છાત્રાલયમાં રહે છે.
ઘટના E₂ = વિદ્યાર્થી છાત્રાલયમાં રહેતા નથી.
ઘટના A = વિદ્યાર્થી A ગ્રેડ મેળવે છે.
આપેલ માહિતીને આધારે,
P(E₁) = \(\frac{60}{100}=\frac{6}{10}\),
P(E₂) = \(\frac{40}{100}=\frac{4}{10}\)
P(A | E₁) = \(\frac{30}{100}=\frac{3}{10}\),
P(A | E₂) = \(\frac{20}{100}=\frac{2}{10}\),
યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ વિદ્યાર્થીએ A ગ્રેડ મેળવ્યો છે તેમ આપેલ હોય તો આ વિદ્યાર્થી છાત્રાલયનો હોવાની સંભાવના
= P (E₁ | A)

પ્રશ્ન 4.
બહુવિકલ્પ કસોટીમાં પ્રશ્નનો જવાબ આપવામાં, વિદ્યાર્થી કાં તો જવાબ જાણે છે અથવા અનુમાન કરે છે. વિદ્યાર્થી જવાબ જાણે છે તેની સંભાવના \(\frac{3}{4}\) અને અનુમાન કરે છે તેની સંભાવના \(\frac{1}{4}\) છે. માની લો કે વિદ્યાર્થી જે જવાબનું અનુમાન કરે છે તે સાચો હોય તેની સંભાવના \(\frac{1}{4}\) છે. આપેલ હોય કે તેણે તે જવાબ સાચો આપ્યો છે ત્યારે વિદ્યાર્થીએ આપેલ જવાબ તે જાણતો હતો તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે ઘટના E₁ = વિદ્યાર્થી પ્રશ્નનો જવાબ જાણે છે.
ઘટના E₂ = વિદ્યાર્થી પ્રશ્નના જવાબનું અનુમાન કરે છે.
ઘટના A = વિદ્યાર્થી સાચું જવાબ આપે છે.
આપેલ માહિતીના આધારે,
P(E₁) = \(\frac{3}{4}\)
P(E₂) = \(\frac{1}{4}\)
P(A | E₂) = \(\frac{1}{4}\)
અહીં E₁ અને E₂ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ છે.
P(A | E₁) = વિદ્યાર્થી પ્રશ્નનો જવાબ જાણે અને તે સાચ આપે છે.
= 1
માંગેલ સંભાવના = P(E₁ | A)

પ્રશ્ન 5.
એક પ્રયોગશાળા રક્ત પરીક્ષણમાં, જ્યારે તે ખરેખર રોગ હોય ત્યારે તે રોગને શોધી કાઢવામાં 99 % અસરકારક છે. તેમ છતાં, સ્વસ્થ વ્યક્તિનો પરીક્ષણ અહેવાલ ખોટો અને હકારાત્મક 0.5 % સુધી પણ આપે છે. (એટલે કે, જો સ્વસ્થ વ્યક્તિનું પરીક્ષણ કરાય, તો 0.005 સંભાવના સાથે પરીક્ષણ નિદાન કરશે કે તેને બીમારી છે.) જો વસતીના 0.1 % લોકોને ખરેખર બીમારી હોય, તો આપેલ હોય કે તેના પરીક્ષણનું પરિણામ હકારાત્મક છે તે પરિસ્થિતિમાં તેને બીમારી હોવાની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે ઘટના E₁ = પસંદ થયેલ વ્યક્તિને બીમારી હોય.
ઘટના E₂ = પસંદ થયેલ વ્યક્તિને બીમારી નથી.
ઘટના A = પ્રયોગશાળાનું પરીક્ષા હકારાત્મક હોય,
P(E₁) = 0.1% = \(\frac{1}{1000}\) = 0.001
P(E₂) = 1 – P(E₁) = 1 – 0.001 = 0.999
P(A | E₁) = 99% = \(\frac{99}{100}\) = 0.005
આપેલ હોય કે તેના પરીક્ષાનું પરિણામ હકારાત્મક છે ત્યારે બીમારી હોવાની સંભાવના,

પ્રશ્ન 6.
ત્રણ સિક્કા આપેલ છે. એક સિક્કાની બંને બાજુ છાપ છે. બીજો અસમતોલ સિક્કો છે. તેમાં છાપ મળવાની સંભાવના 75 % છે. અને ત્રીજો સમતોલ સિક્કો છે. ત્રણમાંથી એક સિક્કો યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરીને ઉછાળ્યો. તે છાપ બતાવે છે, તો તે બે છાપ ધરાવતો સિક્કો હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
ત્રા સિક્કા આપેલ છે.
ઘટના E₁ = સિક્કાની બંને બાજુ છાપ છે.
ઘટના E₂ = અસમતોલ સિક્કો છે.
ઘટના E₃ = સમતોલ સિક્કો છે.
ઘટના A = યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ સિક્કો છાપ બતાવે છે.
∴ P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\)
P(A | E₁) = 1, P(A | E₂) = 75% = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
P(A | E₃) = \(\frac{1}{2}\)
માંગેલ સંભાવના = P(E₁ | A)

પ્રશ્ન 7.
એક વીમાકંપનીએ 2000 સ્કૂટર ચાલકો, 4000 કાર-ચાલકો અને 6000 ટ્રક-ચાલકોનો વીમો ઉતાર્યો. તેમના દ્વારા થતા અકસ્માતોની સંભાવના અનુક્રમે 001, 0.03 અને 0.15 છે. વીમાધારકો પૈકીના એક વ્યક્તિને અકસ્માત થયો. તે સ્કૂટર- ચાલક હોવાની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે ઘટના E₁ = વ્યક્તિ સ્કૂટર ચાલક હોય.
ઘટના E₂ = વ્યક્તિ કાર ચાલક હોય,
ઘટના E₃ = વ્યક્તિ ટ્રક ચાલક હોય.
અને ઘટના A = વ્યક્તિને અકસ્માત થાય.

વળી P(A | E₁) = 0.01, P(A | E₂) = 0.03
P(A | E₃) = 0.15
વ્યક્તિને અકસ્માત થયો હોય તો તે સ્કૂટર ચાલક હોવાની
સંભાવના = P(E₁ | A)

પ્રશ્ન 8.
એક ફેક્ટરી પાસે બે યંત્રો A અને B છે. ભૂતકાળની નોંધ બતાવે છે કે, યંત્ર A ઉત્પાદિત વસ્તુઓ પૈકી 60 % વસ્તુઓનું અને યંત્ર B 40 % વસ્તુઓનું ઉત્પાદન કરે છે. વધુમાં, યંત્ર A દ્વારા ઉત્પાદિત વસ્તુઓ પૈકી 2 % અને યંત્ર B દ્વારા ઉત્પાદિત વસ્તુઓ પૈકી 1 % વસ્તુઓ ખામીયુક્ત હતી. આ બધી વસ્તુઓ એક પુરવઠાગારમાં મૂકી દીધી અને ત્યાર બાદ આમાંથી એક વસ્તુ યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરી અને તે ખામીયુક્ત માલૂમ પડી, તો તે યંત્ર B દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે ઘટના A = યંત્ર A ઉત્પાદિત વસ્તુ
ઘટના B = યંત્ર B ઉત્પાદિત વસ્તુ
ઘટના D = ઉત્પાદિત વસ્તુ ખામીયુક્ત હોય
આપેલ છે કે,
P(A) = \(\frac{60}{100}=\frac{6}{10}\),
P(B) = \(\frac{40}{100}=\frac{4}{10}\)
P(D | A) = \(\frac{2}{100}\)
P(D | B) = \(\frac{1}{100}\)
યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ થયેલ વસ્તુ ખામીયુક્ત હોય તો તે યંત્ર B દ્વારા ઉત્પાદિત હોવાની સંભાવના = P (B | D)

પ્રશ્ન 9.
એક નિગમમાં નિયામકોની સમિતિમાં હોદો મેળવવા માટે બે સમૂહો હરીફાઇ કરી રહ્યા છે. પ્રથમ અને દ્વિતીય સમૂહો જીતી તેની સંભાવનાઓ અનુક્રમે 0.6 અને 0.4 છે. વધુમાં, જો પ્રથમ સમૂહ જીતશે તો નવી ઉત્પાદિત વસ્તુ રજૂ કરવાની સંભાવના 0.7 છે અને દ્વિતીય સમૂહ માટે અનુરૂપ સંભાવના 0.3 છે. નવી ઉત્પાદિત વસ્તુ દ્વિતીય સમૂહ દ્વારા રજૂ થઈ હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે G₁ = પ્રથમ સમૂહ જીતે
G₂ = દ્વિતીય સમૂહ જીતે
P = નવી ઉત્પાદિત વસ્તુ રજૂ કરે.
આપેલ છે કે P(G₁) = 0.6, P(G₂) = 0.4
વળી P(A | G₁) = 0.7, P(A | G₂) = 0.3
નવી ઉત્પાદિત વસ્તુ દ્વિતીય સમૂહ દ્વારા રજૂ થાય તેની
સંભાવના = P(G₂ | P)

પ્રશ્ન 10.
ધારો કે એક છોકરી પાસો ઉછાળે છે. જો તેને 5 કે 6 મળે તો, તે સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળે છે અને છાપની સંખ્યા નોંધે છે. જો તેને 1, 2, 3 અથવા 4 મળે તો તે સિક્કાને એક વખત ઉછાળે છે અને છાપ અથવા કાંટો મળ્યો તે નોંધે છે. જો બરાબર એક છાપ મળી હોય, તો તે પાસા પર 1, 2, 3 અથવા 4 મળ્યા હોવાની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે ઘટના E₁ = પાસા પર 5 કે 6 મળે.
ઘટના E₂ = પાસા પર 1, 2, 3 અથવા 4 મળે,
∴ P(E₁) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
P(E₂) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
હવે સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળતા મળનો
નિદર્શાવકાશ = {HHE, HT, ETH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
ઘટના A = બરાબર એક છાપ મળે,
હવે પાસા ઉપર 5 કે 6 મળે તો સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળે છે. આ સંજોગોમાં P(A | E₁) = \(\frac{3}{8}\)
પાસા પર 1, 2, 3 કે 4 મળે તો તે સિક્કાને એક વખત ઉછાળે
છે. આ સંજોગોમાં P(A | E₂) = \(\frac{1}{2}\)
હવે જો બરાબર એક છાપ મળી હોય તો તે પાસા પર 1, 2, 3 અથવા 4 મળ્યા હોય તેની સંભાવના,

પ્રશ્ન 11.
એક કારખાનાદાર પાસે ત્રણ યંત્ર ચાલકો A, B અને C છે. પ્રથમ ચાલક A, 1 % ખામીયુક્ત વસ્તુઓનું ઉત્પાદન કરે છે. બીજા બે ચાલકો B અને C અનુક્રમે 5 % અને 7 % ખામીયુક્ત વસ્તુઓનું ઉત્પાદન કરે છે. A કામના નિશ્ચિત સમયનો, 50 % સમય કામ પર રહે છે. B 30 % સમય કામ પર રહે છે અને C 20 % સમય કાર્ય કરે છે. ખામીયુક્ત વસ્તુનું ઉત્પાદન થયું છે. તેનું ઉત્પાદન A દ્વારા થયું હોવાની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે ઘટના E₁ = યંત્ર ચાલક A દ્વારા થયેલ કાર્ય
ઘટના E₂ = યંત્ર ચાલક B દ્વારા થયેલ કાર્ય
ઘટના E₃ = યંત્ર ચાલક C દ્વારા થયેલ કાર્ય અને
ઘટના A = વસ્તુનું ઉત્પાદન ખામીયુક્ત હોય
આપેલ છે કે,

ખામીયુક્ત વસ્તુનું ઉત્પાદન A દ્વારા થયું હોય તેની સંભાવના,

પ્રશ્ન 12.
52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું ખોવાઇ ગયું છે. બાકી રહેલાં પત્તાંની થોકડીમાંથી બે પત્તાં યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યાં અને માલૂમ પડ્યું કે તે બંને ચોકઠનાં પત્તાં છે. ખોવાયેલ પનું ચોક્ટનું હોય તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ઘટના E₁ = ખોવાયેલ પત્તું ચોકટનું હોય.
ઘટના E₂ = ખોવાયેલ પત્તું લાલનું હોય.
ઘટના E₃ = ખોવાયેલ પત્તું કુલ્લીનું હોય.
ઘટના E₄ = ખોવાયેલ પત્તું કાળીનું હોય.
∴ P(E₁) = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
P(E₂) = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
P(E₃) = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
ઘટના A = બાકી રહેલ પત્તાંમાંથી બે પત્તાં ચોટના પસંદ કરવામાં આવે છે.
P(A | E₁) = ચોકટનું પત્તું ખોવાઈ ગયા પછી બાકી રહેલ પત્તાંમાંથી બે પત્તાં ચોકટનાં પસંદ કરવાની સંભાવના
= \(\frac{12 C_2}{51 C_2}\)
P(A | E₂) = લાલનું પત્તું ખોવાઈ ગયા પછી બાકી રહેલ પત્તાંમાંથી બે પત્તાં ચોકટનાં પસંદ કરવાની સંભાવના
= \(\frac{13 C_2}{51 C_2}\)
તેવી જ રીતે P(A | E₃) = \(\frac{13 \mathrm{C}_2}{51 \mathrm{C}_2}\), P(A | E₄) = \(\frac{13 C_2}{51 C_2}\)
હવે ખોવાયેલ પત્તું ચોકટનું હોય તેની સંભાવના

પ્રશ્નો 13 તથા 14માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 13.
A સત્ય બોલે છે તેની સંભાવના \(\frac{4}{5}\) છે. એક સિક્કો ઉછાળ્યો છે. A માહિતી આપે છે કે છાપ મળી છે. ખરેખર છાપ હતી તેની સંભાવના …………….. હોય.
(A) \(\frac{4}{5}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) \(\frac{1}{5}\)
(D) \(\frac{2}{5}\)
ઉત્તરઃ
(A) \(\frac{4}{5}\)
ધારો કે ઘટના E₁ = સિક્કો ઉછાળતા છાપ મળે.
ઘટના E₂ = સિક્કો ઉછાળતા છાપ ન મળે.
અર્થાત્ કાંટો મળે.
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\), P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
P(A | E₁) = જ્યારે સિક્કા પર છાપ મળે ત્યારે A કહે કે છાપ મળે છે. અર્થાત્ A સત્ય બોલે છે.
= \(\frac{4}{5}\)

P(A | E₂) = જયારે સિક્કા પર છાપ ન મળે ત્યારે A કહે કે છાપ મળે છે. અર્થાત્ A સાચું બોલે નહિ.
= 1 – \(\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)
હવે, A માહિતી આપે છે કે છાપ મળી અને ખરેખર છાપ મળી
હતી તેની સંભાવના,

∴ વિકલ્પ (A) સત્ય છે.

પ્રશ્ન 14.
જો P(B) ≠ 0 અને A ⊂ B હોય તેવી બે ઘટનાઓ A અને B માટે નીચેનામાંથી કર્યું સત્ય છે ?
(A) P(A | B) = \(\frac{P(B)}{P(A)}\)
(B) P(A | B) < P(A)
(C) P(A | B) ≥ P(A)
(D) આમાંથી એક પણ હિ
ઉત્તરઃ
(B) P(A | B) < P(A)
P(B) ≠ 0 અને A ⊂ B
∴ A ∩ B = A
P(A | B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
= \(\frac{P(A)}{P(B)}\)
પરંતુ P(B) ≤ 1
∴ P(A | B) < P(A)
∴ વિકલ્પ (B) સત્ય છે.