GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 4 સમતલમાં ગતિ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 4 સમતલમાં ગતિ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 4 સમતલમાં ગતિ

GSEB Class 11 Physics સમતલમાં ગતિ Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલી ભૌતિક રાશિઓમાંથી દર્શાવો કે કઈ દિશ રાશિ છે અને કઈ અદિશ રાશિ છે :
કદ, દ્રવ્યમાન, ઝડપ, પ્રવેગ, ઘનતા, મોલસંખ્યા, વેગ, કોણીય આવૃત્તિ, સ્થાનાંતર, કોણીય વેગ
ઉત્તર:
અદિશ રાશિ : કદ, ઝડપ, ઘનતા, મોલસંખ્યા, કોણીય આવૃત્તિ.
સદિશ રાશિ : પ્રવેગ, વેગ, સ્થાનાંતર, કોણીય વેગ.

પ્રશ્ન 2.
નીચે આપેલ યાદીમાંથી બે અદિશ રાશિઓ ઓળખી બતાવો :
બળ, કોણીય વેગમાન, કાર્ય, વિદ્યુતપ્રવાહ, રેખીય વેગમાન, વિદ્યુતક્ષેત્ર, સરેરાશ વેગ, ચુંબકીય ચાકમાત્રા, સાપેક્ષ વેગ
ઉત્તર :
કાર્ય અને વિદ્યુતપ્રવાહ બે અદિશ રાશિઓ છે.

પ્રશ્ન 3.
નીચે આપેલ યાદીમાંથી ફક્ત સદિશ રાશિઓ ઓળખી બતાવો :
તાપમાન, દબાણ, આઘાત, સમય, પાવર, કુલ પથલંબાઈ, ઊર્જા, ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન, ઘર્ષણાંક, વિદ્યુતભાર
ઉત્તર:
આઘાત = વેગમાનમાં ફેરફાર = બળ × સમય. બળ અને વેગમાન બંને સદિશ રાશિઓ હોવાથી ‘આઘાત’ પણ સદિશ રાશિ છે.

પ્રશ્ન 4.
કારણ સહિત જણાવો કે, અદિશ તથા સદિશ રાશિઓ સાથે નીચે દર્શાવેલ કઈ પ્રક્રિયાઓ અર્થપૂર્ણ છે?
(a) બે અદિશોનો સરવાળો
(b) સમાન પરિમાણના એક સદિશ અને એક અદિશનો સરવાળો
(c) એક સદિશનો એક અદિશ સાથે ગુણાકાર
(d) બે અદિશોનો ગુણાકાર
(e) બે સદિશોનો સરવાળો
(f) એક સદિશના ઘટકનો તે જ સિદિશ સાથે સરવાળો.
ઉત્તર :
(a) બે અદિશોનો સરવાળો : આ પ્રક્રિયા અર્થપૂર્ણ નથી, કારણ કે જે બે અદિશ રાશિઓ સમાન ભૌતિક રાશિઓ દર્શાવતી હોય તેના જ સરવાળા અર્થપૂર્ણ છે. દા. ત., (5 m + 3 m) પ્રક્રિયા શક્ય છે, પરંતુ (5 m + 3 kg) સરવાળો અર્થવિહીન છે.

(b) સમાન પરિમાણના એક સદિશ અને એક અદિશનો સરવાળો ઃ આ પ્રક્રિયા અર્થપૂર્ણ નથી, કારણ કે અદિશ રાશિને સદિશ રાશિમાં ઉમેરી શકાય નહીં. દા. ત., ઝડપ અને વેગ બંનેનાં પરિમાણ સમાન છે, પરંતુ વેગને દિશા હોવાથી ઝડપ અને વેગનો સરવાળો થઈ શકે નહિ.

(c) એક સદિશનો એક અદિશ સાથે ગુણાકાર : આ પ્રક્રિયા અર્થપૂર્ણ છે. દા. ત., સદિશ રાશિ પ્રવેગ \(\vec{a}\) ને અદિશ રાશિદળ m સાથે ગુણવામાં આવે તો આપણને બળ નામની નવી ભૌતિક રાશિ મળે છે. \(\vec{F}=m \vec{a}\).

(d) બે અદિશોનો ગુણાકાર : આ પ્રક્રિયા અર્થપૂર્ણ છે. દા. ત., આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ બંને અદિશ રાશિઓનો ગુણાકાર કરતાં આપણને માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ મળે છે. υ = f λ, જે અર્થપૂર્ણ છે.

(e) બે સદિશોનો સરવાળો : આ પ્રક્રિયા અર્થપૂર્ણ નથી. ફક્ત બે સમાન સદિશ ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો થઈ શકે. દા. ત., બળ \(\vec{F}\) અને વેગ \(\vec{v}\)નો સરવાળો થઈ શકે નહિ.

(f) એક સદિશના ઘટકનો તે જ સદિશ સાથે સરવાળો ઃ આ પ્રક્રિયા અર્થવિહીન છે, કારણ કે દેશના ઘટકને તે દિશમાં ઉમેરવાથી કોઈ ઉપયોગી પરિણામ મળતું નથી.

પ્રશ્ન 5.
નીચે આપેલ પ્રત્યેક કથનને ધ્યાનપૂર્વક વાંચો અને કારણ સહિત દર્શાવો કે તે ખરું છે કે ખોટું :
(a) કોઈ સદિશનું મૂલ્ય હંમેશાં અદિશ હોય છે.
(b) કોઈ સદિશનો દરેક ઘટક હંમેશાં અદિશ હોય છે.
(c) કોઈ કણ દ્વારા કપાયેલ અંતરની કુલ પથલંબાઈ હંમેશાં સ્થાનાંતર સદિશના મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
(d) કોઈ કણની સરેરાશ ઝડપ (કુલ પથલંબાઈ ભાગ્યા તે પથ કાપવા લાગેલો સમય) સમાન સમયગાળામાં કણના સરેરાશ વેગના મૂલ્યથી વધારે કે તેના જેટલી હોય છે.
(e) ત્રણ સદિશો કે જે એક જ સમતલમાં નથી તેનો સરવાળો કદાપિ શૂન્ય સદિશ થતો નથી.
ઉત્તર :
(a) આ વાક્ય ખરું છે, કારણ કે સદિશનું મૂલ્ય એક સંખ્યા હોય છે, જેને કોઈ દિશા હોતી નથી.

(b) આ વાક્ય ખોટું છે, કારણ કે સદિશનો દરેક ઘટક સદિશ જ હોય છે.

(c) આ વાક્ય ખોટું છે. પથલંબાઈ એ કણે ખરેખર કાપેલું અંતર દર્શાવે છે, જ્યારે સ્થાનાંતર એ અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર દર્શાવે છે. આમ, પથલંબાઈ હંમેશાં સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલી અથવા તેના કરતાં વધારે હોય છે.
જ્યારે કણ સુરેખ પથ પર એક જ દિશામાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર સમાન હોય છે.

(d) આપેલ વાક્ય ખરું છે, કારણ કે પથલંબાઈ હંમેશાં સ્થાનાંતરના મૂલ્ય કરતાં વધારે અથવા તેના જેટલી હોય છે.

(e) આપેલ વાક્ય ખરું છે, કારણ કે બે સિદેશોના સરવાળાથી મળતો પરિણામી સદિશ એ ત્રીજા દિશના સમતલમાં ના હોય, તો તેમનો સરવાળો શક્ય નથી. આથી ત્રણેય સદિશોના સરવાળાથી શૂન્ય સિંદેશ મળતો નથી.

પ્રશ્ન 6.
નીચે દર્શાવેલ અસમતાઓ ભૌમિતિક કે અન્ય કોઈ રીતે સાબિત કરો :

તેમાં સમતાનું ચિહ્ન ક્યારે લાગુ પડે છે?
ઉત્તર:

આકૃતિમાં દર્શાવેલ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ OPSQના બે સદિશો \(\overrightarrow{O P}=\vec{a}\) અને \(\overrightarrow{O Q}=\vec{b}\) ધ્યાનમાં લો. સિંદેશ \(\overrightarrow{O S}\) એ દિશો \(\overrightarrow{O P}\) અને \(\overrightarrow{O Q}\) ના સરવાળાનો પરિણામી સદિશ દર્શાવે છે. \(\overrightarrow{O S}=\vec{a}+\vec{b}\)
આમ, OP = \(|\vec{a}|\),
OQ = \(|\vec{b}|\) અને OS = \(|\vec{a}+\vec{b}|\)

(a) \(|\vec{a}+\vec{b}|\) ≤ \(|\vec{a}|+|\vec{b}|\) :
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ Δ OPSને ધ્યાનમાં લો. આપણે જાણીએ છીએ કે, ત્રિકોણની કોઈ એક બાજુની લંબાઈ એ બીજી બે બાજુઓની લંબાઈઓના સરવાળા કરતાં નાની હોય છે.
OS < OP + PS
OS < OP + OQ
∴ \(|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|\) …………. (1)
જ્યારે સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) બંને એક જ સુરેખા પર એક જ દિશામાં હોય, તો
\(|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|\) …………. (2)
આમ, સમીકરણ (1) અને (2) પરથી કહી શકાય કે,
\(|\vec{a}+\vec{b}|\) ≤ \(|\vec{a}|+|\vec{b}|\)

(b) \(|\vec{a}+\vec{b}|\) ≥ \(|| \vec{a}|-| \vec{b}||\) :
Δ OPS પરથી, OS + PS > OP
OS > |OP – PS| (જો OP < PS હશે તો ઋણ મૂલ્ય મળે એટલે (OP – PS)નું મૉડ્યુલસ લીધેલ છે.) OS > |OP – OQ| (∴ PS = OQ)
∴ \(|\vec{a}+\vec{b}|>|| \vec{a}|-| \vec{b}||\) ………….. (3)
જો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) એક જ સુરેખા પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે, તો
\(|\vec{a}+\vec{b}|=|| \vec{a}|-| \vec{b}||\) ………….. (4)
સમીકરણ (3) અને (4) પરથી,
\(|\vec{a}+\vec{b}|\) ≥ \(|| \vec{a}|-| \vec{b}||\)

(c) \(|\vec{a}-\vec{b}|\) ≤ \(|\vec{a}|+|\vec{b}|\) :
આપેલ આકૃતિમાં, \(\overrightarrow{O P}=\vec{a}, \overrightarrow{O T}=\overrightarrow{P R}=-\vec{b}\) અને \(\overrightarrow{O R}=\vec{a}-\vec{b}\)
Δ ORP પરથી,
OR < OP + PR
∴ \(|\vec{a}-\vec{b}|<|\vec{a}|+|-\vec{b}|\)
\(|\vec{a}-\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|\) …………… (5) જો બંને દિશો એક જ સુરેખા પર પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો \(|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|\) …………… (6) સમીકરણ (5) અને (6) પરથી,
\(|\vec{a}-\vec{b}|\) ≤ \(|\vec{a}|+|\vec{b}|\)

(d) \(|\vec{a}-\vec{b}|\) ≥ \(|| \vec{a}|-| \vec{b}||\) :
Δ OPR પરથી, OR + PR > OP
OR > |OP – PR|
OR > |OP – OT|
∴ \(|\vec{a}-\vec{b}|>|| \vec{a}|-|-\vec{b}||\)
\(|\vec{a}-\vec{b}|>|| \vec{a}|-| \vec{b}||\) ………….. (7)
જો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) એક જ સુરેખા પર એક જ દિશામાં હોય, તો
\(|\vec{a}-\vec{b}|=|| \vec{a}|-| \vec{b}||\) …………….. (8)
સમીકરણ (7) અને (8) પરથી,
\(|\vec{a}-\vec{b}|\) ≥ \(|| \vec{a}|-| \vec{b}||\)

પ્રશ્ન 7.
\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}\) = 0 વિધાનોમાંથી કયું ખરું છે :
(a) \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) તથા \(\vec{d}\) દરેક શૂન્ય સદિશ છે.
(b) (\(\vec{a}+\vec{c}\))નું મૂલ્ય (\(\vec{b}+\vec{d}\))ના મૂલ્ય જેટલું છે.
(c) \(\vec{a}\) નું માન \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) તથા \(\vec{d}\)ના માનના સરવાળાથી
ક્યારેય વધારે ન હોઈ શકે.
(d ) જો \(\vec{a}\) અને \(\vec{d}\) એક રેખસ્થ ન હોય, તો \(\vec{b}+\vec{c}\), \(\vec{a}\) અને \(\vec{d}\) વડે બનતા સમતલમાં હશે અને જો \(\vec{a}\) અને \(\vec{d}\) એક રેખસ્થ હોય, તો \(\vec{a}\) અને \(\vec{d}\) ની રેખામાં હશે.
ઉત્તર:
(a) આપેલ વિધાન ખરું નથી. આપેલા ચારેય દિશો એ શૂન્ય સદિશ હોવા જરૂરી નથી. \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{d}\) અને તે ચારેય અશૂન્ય સદિશોનો સ૨વાળો શૂન્ય જુદી જુદી ઘણી રીતે મળી શકે છે. દા. ત., કોઈ પણ ત્રણ સદિશોનો સરવાળો એ ચોથા સદિશના માન જેટલો અને વિરુદ્ધ દિશામાં મળે તો આપણને પરિણામી શૂન્ય સદિશ મળી શકે છે.

(b) આપેલ વિધાન ખરું છે. કારણ કે,
\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}\) = 0
∴ \(\vec{a}+\vec{c}=-(\vec{b}+\vec{d})\)
∴ \(|\vec{a}+\vec{c}|=|\vec{b}+\vec{d}|\)
આમ, (\(\vec{a}+\vec{c} \mid\))નું મૂલ્ય (\(\vec{b}+\vec{d} \mid\)) જેટલું છે.

(c) આપેલ વિધાન ખરું છે. કારણ કે,
\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}\) = 0
∴ \(\vec{a}=-(\vec{b}+\vec{c}+\vec{d})\)
∴ \(|\vec{a}|=|\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}|\)
આમ, \(\vec{a}\) નું મૂલ્ય \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) અને \(\vec{d}\) ના સરવાળાના મૂલ્યથી વધારે ના હોઈ શકે. \(\vec{b}\), \(\vec{a}\) અને \(\vec{a}\) સદિશોનાં મૂલ્યોનો સરવાળો સદિશવના મૂલ્ય કરતાં વધા૨ે ના હોઈ શકે. આથી આપેલ વિધાન સત્ય છે.

(d) આપેલ વિધાન ખરું છે, કારણ કે (\(\vec{b}+\vec{c} \mid\)), \(\vec{a}\) અને \(\vec{d}\) નો સરવાળો ત્યારે જ શૂન્ય થાય, જ્યારે \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) એ \(\vec{a}\) અને \(\vec{d}\) વડે બનતા સમતલમાં હોય. જો \(\vec{a}\) અને \(\vec{d}\) એક રેખસ્થ હોય, તો \(\vec{b}+\vec{c} \mid\) એ \(\vec{a}\) અને તેની રેખામાં હશે. આ પરિસ્થિતિમાં જ \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}\) = 0 થશે.

પ્રશ્ન 8.
ત્રણ છોકરીઓ 200 m ત્રિજ્યાવાળી વર્તુળાકાર રિંગમાં બરફની સપાટી પર સ્કેટિંગ કરી રહી છે. તે સપાટીની કિનારી પર બિંદુ Pથી સ્કેટિંગ શરૂ કરે છે તથા Pના વ્યાસાંત બિંદુ Q પર જુદા જુદા પથો પર થઈને આકૃતિ 4.41માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પહોંચે છે. દરેક છોકરીના સ્થાનાંતર સદિશનું માન કેટલું છે? કઈ છોકરી માટે તેનું માન તેની મૂળ સ્કેટની પથલંબાઈ જેટલું થશે?

ઉત્તર:
દરેક છોકરીનું સ્થાનાંતર = \(\overrightarrow{P Q}\)
∴ દરેક છોકરીના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય,
|\(\overrightarrow{P Q}\)| = વર્તુળાકાર રિંગનો વ્યાસ
= 2 × ત્રિજ્યા
= 2 × 200 = 400 m
છોકરી B માટે તેનું સ્થાનાંતરનું માન તેની મૂળ સ્કેટની પથલંબાઈ જેટલું હશે.

પ્રશ્ન 9.
કોઈ સાઇકલ-સવાર 1 km ત્રિજ્યાવાળા એક વર્તુળાકાર બગીચાના કેન્દ્ર Oથી ગતિ શરૂ કરે છે તથા બગીચાના કિનારા P સુધી પહોંચે છે. ત્યાંથી તે બગીચાના પરિઘ પર સાઇકલ ચલાવતા ચલાવતા QO માર્ગે (આકૃતિ 4.42માં દર્શાવ્યા મુજબ) કેન્દ્ર O પર પાછો આવે છે. જો આ ચક્કર કાપવા માટે તેને 10 મિનિટ જેટલો સમય લાગતો હોય, તો સાઇકલ-સવારનું (a) ચોખ્ખું સ્થાનાંતર (b) સરેરાશ વેગ તથા (c) સરેરાશ ઝડપ કેટલી હશે?

ઉત્તર :
(a) અહીં, સાઇકલ-સવારનું અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન એક જ હોવાથી તેનું ચોખ્ખું સ્થાનાંતર શૂન્ય થશે.

(b)

(c) વર્તુળાકાર બગીચાની ત્રિજ્યા r = 1 km, t = 10 min
= \(\frac{10}{60}\)h = \(\frac{1}{6}\)h
સાઇકલ-સવારે કાપેલ કુલ અંતર
= OP + PQ + OQ
= r + \(\frac{2 \pi r}{4}\) + r
= 1 + \(\frac{2 \times 3.14 \times 1}{4}\) + 1
= 3.57 km

= \(\frac{3.57 \mathrm{~km}}{1 / 6 \mathrm{~h}}\) = 21.43 km h^-1

પ્રશ્ન 10.
એક ખુલ્લા મેદાનમાં એક કારચાલક એવો રસ્તો પકડે છે કે જે દરેક 500 મીટર અંતર બાદ તેની ડાબી બાજુ 60° ના ખૂણે વળાંક લે છે. એક વળાંકથી શરૂ કરી, કારચાલકના ત્રીજા, છઠ્ઠા તથા આઠમા વળાંક પાસે સ્થાનાંતર શોધો. આ દરેક સ્થિતિમાં કારચાલકની કુલ પથલંબાઈની તેના સ્થાનાંતરના માન સાથે તુલના કરો.
ઉકેલ:

આકૃતિમાં કારચાલકનો રસ્તો દર્શાવ્યો છે. કારચાલક બિંદુ Aથી મુસાફરીની શરૂઆત કરે છે અને તે નિયમિત ષટ્કોણ આકારના પથ પર મુસાફરી કરે છે. ષટ્કોણ ABCDEFA દરેક બાજુની લંબાઈ 500 m છે. નિયમિત ષટ્કોણમાં તેના કેન્દ્રથી કોઈ એક શિરોબિંદુ વચ્ચેનું અંતર એ ષટ્કોણની એક બાજુની લંબાઈ જેટલું હોય છે.

(a) કારચાલક બિંદુ A આગળથી શરૂઆત કરીને બિંદુ D આગળ ત્રીજો વળાંક લે છે. આ મુસાફરી દરમિયાન તેનો સ્થાનાંતર સદિશ \(\overrightarrow{A D}\) થશે. આ સ્થાનાંતરનું માન,
|\(\overrightarrow{A D}\)| = AO + OD = 500 m + 500 m
= 1000 m = 1 km
આ સ્થાનાંતર સદિશ \(\overrightarrow{A D}\) એ પ્રારંભિક દિશા સાથે 60° ના કોણે છે.
બિંદુ Aથી D સુધીનું કુલ અંતર (કુલ પથલંબાઈ)
= AB + BC + CD
= 500 m + 500 m + 500 m
= 1500 m = 1.5 km

(b) કારચાલક છઠ્ઠો વળાંક બિંદુ A આગળ લે છે, એટલે કે તેનું અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન એક જ છે. આથી તેનું ચોખ્ખું સ્થાનાંતર શૂન્ય સદિશ (\(\overrightarrow{0}\)) થશે.
આ દરમિયાન તેણે કાપેલું કુલ અંતર,
= AB + BC + CD + DE + EF + FA
= 500 +500 +500 + 500 + 500 + 500
= 3000 m = 3 km

(c) કારચાલક તેનો આઠમો વળાંક બિંદુ C આગળ લે છે. બિંદુ A અને C વચ્ચેનો સ્થાનાંતર સદિશ \(\overrightarrow{A C}\) થશે. આ સ્થાનાંતરનું માન,
|\(\overrightarrow{A C}\)| = AR + RC
= AB sin 60° + BC sin 60°
= 500 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + 500 × \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
= 500√3 = 866 m
આ સ્થાનાંતર સદિશ \(\overrightarrow{A C}\) , તેની પ્રારંભિક દિશા સાથે 30° ના કોણે છે.
કાપેલું કુલ અંતર
= AB + BC + CD + DE + EF + FA + AB + BC
= 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500 + 500
= 4000 m = 4 km
આપેલ ત્રણેય કિસ્સામાં સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય પથલંબાઈ કરતાં ઓછું છે.

પ્રશ્ન 11.
એક મુસાફર એક નવા શહેરમાં સ્ટેશન પર ઊતરીને ટૅક્સિ કરે છે. સ્ટેશનથી સુરેખ રોડ પર તેની હૉટલ 10 km દૂર છે. ટૅક્સિ ડ્રાઇવર મુસાફરને 23 km લંબાઈના વાંકાચૂંકા માર્ગે 28 minમાં હૉટલ પર પહોંચાડે છે, તો (a) ટૅક્સિની સરેરાશ ઝડપ અને (b) સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય કેટલું હશે? શું આ બંને સમાન હશે?
ઉકેલ:
સ્થાનાંતર = 10 km, કુલ પથલંબાઈ = 23 km

આ દર્શાવે છે કે ટૅક્સિની સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ સમાન નથી. જ્યારે ટૅક્સિ સુરેખ પથ પર એક જ દિશામાં ગતિ કરે તો જ સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ સમાન થાય.

પ્રશ્ન 12.
વરસાદ શિરોલંબ દિશામાં 30 m s^-1ની ઝડપથી પડી રહ્યો છે. કોઈ સ્ત્રી ઉત્તરથી દક્ષિણ દિશા તરફ 10 ms^-1ની ઝડપથી સાઇકલ ચલાવી રહી છે. તેને પોતાની છત્રી કઈ દિશામાં રાખવી જોઈએ?
ઉકેલ:

આકૃતિ 4.44માં વર્ણવેલ પરિસ્થિતિ દર્શાવેલ છે. વરસાદ શિરોલંબ અધોદિશામાં પડે છે, જે \(\overrightarrow{O C}\) સદિશ વડે દર્શાવેલ છે. સાઇકલ-
સવાર ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ જાય છે, જે \(\overrightarrow{O A}\) સદિશ વડે દર્શાવેલ છે.
વરસાદનો વેગ, \(\overrightarrow{O C}=\vec{v}_{\mathrm{R}}\) = 30 m s^-1 (શિરોલંબ અધોદિશામાં)
સ્ત્રીનો વેગ, \(\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{v_{\mathrm{w}}}\) = 10 m s^-1 (ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ)
વરસાદથી બચવા માટે સ્ત્રીએ, સ્ત્રીની સાપેક્ષે વરસાદનો વેગ (\(\vec{v}_{\mathrm{RW}}\)) જે દિશામાં હોય તે દિશામાં તેણીએ છત્રી પકડવી જોઈએ. \(\vec{v}_{\mathrm{RW}}\) ની દિશા નીચે મુજબ મેળવી શકાય :
\(\vec{v}_{\mathrm{RW}}=\vec{v}_{\mathrm{R}}-\overrightarrow{v_{\mathrm{w}}}\)
= \(\overrightarrow{v_{\mathrm{R}}}+\left(-\vec{v}_{\mathrm{w}}\right)\)
= \(\overrightarrow{O C}+(\overrightarrow{O B})\) (આકૃતિમાં \(\overrightarrow{O B}=-\vec{v}_{\mathrm{w}}\) દર્શાવે છે.)
\(\overrightarrow{O C}\) અને \(\overrightarrow{O B}\) સિદેશથી બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના કર્ણની દિશા એ \(\vec{v}_{\mathrm{RW}}\) ની દિશા થશે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ \(\vec{v}_{\mathrm{RW}}\) એ વરસાદની દિશા (\(\overrightarrow{v_{\mathrm{R}}}\))ને θ કોણે છે.
∴ tan θ = \(\frac{C D}{O C}=\frac{O B}{O C}=\frac{10}{30}\)
∴ tan θ = \(\frac{1}{3}\)
∴ θ = tan^-1(\(\frac{1}{3}\)) = 18.43° = 18° 26′
આમ, સ્ત્રીએ વરસાદથી બચવા માટે છત્રીને ઊર્ધ્વદિશા સાથે 18°26′ કોણે દક્ષિણ દિશા તરફ ઢળતી રાખવી જોઈએ.

પ્રશ્ન 13.
એક વ્યક્તિ સ્થિર પાણીમાં 4.0 km/hની ઝડપથી તરી શકે છે. 1 km પહોળાઈની નદીનું પાણી 3.0 km/hની અચળ ઝડપથી વહી રહ્યું હોય અને વ્યક્તિ આ વહેણને લંબરૂપે તરવાનો પ્રયત્ન કરતો હોય, તો જ્યારે તે નદીના બીજા કિનારે પહોંચશે ત્યારે તે નદીના વહેણ તરફ કેટલે દૂર પહોંચશે?
ઉકેલ:
આકૃતિમાં \(\overrightarrow{v_{\mathrm{M}}}\) એ માણસની સ્થિર પાણીમાં વેગની દિશા અને \(\overrightarrow{v_{\mathrm{R}}}\) એ નદીના પાણીના વેગની દિશા દર્શાવે છે. \(\vec{v}\) એ પરિણામી વેગની દિશા દર્શાવે છે.

માણસ A સ્થાન આગળની તરવાની શરૂઆત કરશે તો પાણીના વેગને કારણે તે સ્થાન Bને બદલે સ્થાન C આગળ પહોંચશે. એટલે \(\vec{v}\) જેટલા વેગથી AC જેટલું અંતર કાપવા માટે જેટલો સમય લાગશે તેટલો જ સમય એ AB જેટલું અંતર \(\overrightarrow{v_{\mathrm{M}}}\) જેટલા વેગથી કાપવા લાગશે.
નદી ક્રૉસ કરવા માટે લાગતો સમય, t = \(\frac{A B}{v_{\mathrm{M}}}=\frac{1 \mathrm{~km}}{4 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}}\)
= \(\frac{1}{4}\)h = 15 min

નદીની વહેણની દિશામાં કાપેલું અંતર,
BC = υ_R × t = 3 km h^-1 × \(\frac{1}{4}\)h = 0.75 km
∴ BC = 750 m

પ્રશ્ન 14.
એક બંદર (Harbour) પાસે હવા 72 km/h ઝડપથી વહી રહી છે. આ બંદરમાં ઊભેલી એક નૌકા ઉપર લગાવેલ ઝંડો N – E દિશામાં ફરકી રહ્યો છે. જો આ નૌકા ઉત્તર દિશામાં 51km/hની ઝડપથી ગતિ કરવાનું શરૂ કરે, તો નૌકા પર લગાવેલ ઝંડો કઈ દિશામાં ફરકશે?
ઉકેલ:
નૌકા જ્યારે સ્થિર છે ત્યારે ઝંડો N – E દિશામાં ફરકે છે, એટલે કે પવનની દિશા N – E દિશામાં છે. નૌકા જ્યારે ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરશે ત્યારે ઝંડો એ નૌકાની સાપેક્ષે જે પવનની દિશા હશે તે દિશામાં ફરકશે.

પવનનો વેગ
\(\overrightarrow{O A}=\vec{v}_{\mathrm{W}}\)
= 72 km h^-1
(N – E દિશામાં)
નોકાનો વેગ \(\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{v_{\mathrm{B}}}\) 51 km h^-1 (ઉત્તર દિશામાં)
નૌકાની સાપેક્ષે પવનનો વેગ, \(\vec{v}_{\mathrm{WB}}=\vec{v}_{\mathrm{W}}-\vec{v}_{\mathrm{B}}\)
= \(\vec{v}_{\mathrm{W}}+\left(-\vec{v}_{\mathrm{B}}\right)\)
= \(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}\)
= \(\overrightarrow{O D}\)
આમ, નૌકા પરનો ઝંડો એ \(\overrightarrow{O D}\) સદિશની દિશામાં ફરકશે.
\(\vec{v}_{\mathrm{WB}}=\overrightarrow{O D}\) ની દિશા :
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, \(\vec{v}_{\mathrm{W}}\) અને \(-\vec{v}_{\mathrm{B}}\) વચ્ચેનો કોણ
θ = 45° +90° = 135°
જો \(\vec{v}_{\mathrm{WB}}\) એ \(\vec{v}_{\mathrm{W}}\) સદિશ સાથે β કોણ બનાવતો હોય, તો
tan β = \(\frac{v_{\mathrm{B}} \sin \theta}{v_{\mathrm{W}}+v_{\mathrm{B}} \cos \theta}\)
= \(\frac{51 \times \sin 135^{\circ}}{72+\left(51 \times \cos 135^{\circ}\right)}\)
= \(\frac{51 \times \sin 45^{\circ}}{72+\left(51 \times\left(-\cos 45^{\circ}\right)\right)}\)
= \(\frac{51 \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{72-\left(51 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}\)
= 1.0037
∴ β = tan^-1 (1.0037) = 45.01°
પૂર્વ (East) દિશા સાથેનો ખૂણો = 45.01° – 45°
= 0.01°
આમ, ઝંડો લગભગ પૂર્વ દિશામાં ફરકશે.

પ્રશ્ન 15.
એક લાંબા હૉલની છત 25 m ઊંચી છે. 40 m s^-1ની ઝડપથી ફેંકવામાં આવેલ દડો છતને અથડાયા વગર પસાર થઈ શકે તે રીતે કેટલું મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતર કાપશે ?
ઉકેલ:
υ₀ = 40 m s^-1, h_max = 25 m, R = ?
ધારો કે, દડાને θ₀ જેટલા પ્રક્ષિપ્ત કોણે ફેંકવામાં આવે છે જેથી તે 25 m જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે.

∴ R = 150.5 m

પ્રશ્ન 16.
ક્રિકેટનો કોઈ ખેલાડી દડાને 100m જેટલા મહત્તમ સમક્ષિતિજ અંતર સુધી ફેંકી શકે છે. આ ખેલાડી આ જ દડાને જમીનથી ઉપર તરફ કેટલી ઊંચાઈ સુધી ફેંકી શકશે?
ઉકેલ:
મહત્તમ અવિધ R_max = 100 m
જો પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ હોય, તો મહત્તમ અધિ,
R_max = \(\frac{v_0^2}{g}\) = 100
∴ υ₀² = 100 g
દડાની ઊર્ધ્વદિશાની ગતિ માટે,
υ² – υ₀² = – 2 gh
મહત્તમ ઊંચાઈએ υ = 0 હોવાથી,
0² – (100 g) = – 2 gh
∴ h = \(\frac{100 g}{2 g}\) = 50 m
આમ, ક્રિકેટર એ જ દડો 50mની ઊંચાઈ સુધી ફેંકી શકશે.

પ્રશ્ન 17.
80 cm લાંબા દોરડાના છેડે એક પથ્થર બાંધેલ છે તેને અચળ ઝડપથી સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ફેરવવામાં આવે છે. જો પથ્થર 25 secમાં 14 પરિભ્રમણ પૂરા કરતો હોય, તો પથ્થરના પ્રવેગનું માન તથા તેની દિશા શોધો.
ઉકેલ:
r = 80 cm = 0.8 m
પથ્થરની કોણીય આવૃત્તિ ω = 2πυ
2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{14}{25}\) rps
= \(\frac{88}{25}\)
પથ્થરનો પ્રવેગ a = ω²r
= (\(\frac{88}{25}\)) (0.8)
= (12.39) (0.8)
∴ a = 9.91 m s^-1
આ પ્રવેગની દિશા વર્તુળ પરના દરેક બિંદુએ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

પ્રશ્ન 18.
એક વિમાન 900 km h^-1ની અચળ ઝડપથી ઊડી રહ્યું છે અને 1.00 km ત્રિજ્યાનું સમક્ષિતિજ વર્તુળ બનાવે છે. તેના કેન્દ્રગામી પ્રવેગની ગુરુત્વીય પ્રવેગ સાથે સરખામણી કરો.
ઉકેલ:
r = 1 km = 1000 m
υ = 900 km h^-1 = \(\frac{900 \times 1000}{3600}\) = 250 m s m s^-1
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ a_c = \(\frac{v^2}{r}=\frac{(250)^2}{1000}\) = 62.5 m s^-2
હવે, \(\frac{a_{\mathrm{c}}}{g}=\frac{62.5}{9.8}\) = 6.38
∴ a_c = 6.38 × g

પ્રશ્ન 19.
નીચે આપેલ વિધાનોને ધ્યાનથી વાંચો અને કારણ સહિત દર્શાવો કે તે સાચાં છે કે ખોટાં :
(a) વર્તુળગતિમાં કોઈ કણનો ચોખ્ખો પ્રવેગ હંમેશાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાની દિશામાં કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
(b) કોઈ બિંદુ પાસે કણનો વેગ હંમેશાં તે બિંદુ પાસેના પથની દિશામાં દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
(c) નિયમિત વર્તુળગતિ કરતાં કણ માટે એક પરિભ્રમણ પર લીધેલ સરેરાશ પ્રવેગ O સદિશ હોય છે.
ઉકેલ:
(a) આપેલ વિધાન ખોટું છે. જ્યારે કોઈ કણ નિયમિત વર્તુળ
ગતિ એટલે કે અચળ ઝડપથી ગતિ કરતો હોય તો જ તેનો ચોખ્ખો પ્રવેગ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાની દિશામાં કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(b) આપેલ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે વર્તુળાકાર માર્ગ પરના જે બિંદુએથી તે પથ છોડે ત્યારે તે બિંદુ પાસેના પથની દિશામાં દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(c) આપેલ વિધાન સત્ય છે. વર્તુળના કોઈ પણ વ્યાસના અંતે આવેલાં બે બિંદુઓએ પ્રવેગના સદિશો સમાન મૂલ્યના, પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. આથી નિયમિત વર્તુળગતિ કરતાં કણ માટે એક પરિભ્રમણ પર લીધેલ સરેરાશ પ્રવેગ એ શૂન્ય સદિશ હોય છે.
પ્રશ્ન 20.
એક કણનો સ્થાનસદિશ નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે છે :
\(\vec{r}\) = 3.0tî – 2.0 t²ĵ + 4.0k̂m
જ્યાં, t સેકન્ડમાં તથા દરેક સહગુણકનો એકમ એ રીતે છે કે જેથી ૪ મીટરમાં મળે.
(a) કણનો” તથા ૢ મેળવો.
(b) t = 2.0 સેકન્ડે કણના વેગનું માન તથા દિશા શોધો.
ઉકેલ:

θ = -70°
અહીં, 6 એ X-અક્ષ સાથે નીચેની તરફ 70°ના કોણે વેગની દિશા દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 21.
કોઈ કણ t = 0 સમયે ઊગમબિંદુથી 10.0ĵm/sના વેગથી ગતિ શરૂ કરે છે અને XY સમતલમાં તેનો અચળ પ્રવેગ (8.0î + 2.0ĵ) ms^-2 છે, તો (a) કયા સમયે તેનો યામ 16m થશે? આ સમયે તેનો પુન્યામ કેટલો હશે? (b) આ સમયે તેની ઝડપ કેટલી હશે?
ઉકેલ :
(a) \(\vec{v}\)₀ = 10.0ĵ ms^-1, \(\vec{a}\) = (8.0î + 2.0ĵ) ms^-2
t સમયે કણનું સ્થાન,
\(\vec{r}\) = \(\vec{v}\)₀t + \(\frac{1}{2}\)\(\vec{a}\)t²
= 10.0ĵ t + \(\frac{1}{2}\) (8.0î + 2.0ĵ) t²
∴ xî + yĵ = 4.0î t² + (10.0t + 1.0 t²) ĵ
બંને બાજુના x અને પુ યામો સરખાવતાં,
x = 4.0 t²
y = 10.0 t + 1.0 t²
જ્યારે x = 16 m છે. ⇒ 16 = 4.0 t²
∴ t² = \(\frac{16}{4}\) = 4
∴ t = 2 s
t = 2 s સમયે પુ-યામ,
y = 10.0 t + 1.0 t²
= 10.0 (2) + 1.0 (2)² = 24 m

(b)

પ્રશ્ન 22.
î તથા ĵ અનુક્રમે X અને Y અક્ષ પરના એકમ સંદેશ છે. સદિશો î + ĵ તથા î – ĵ નાં મૂલ્યો અને દિશા કઈ હશે? દિશ A = 2î + 3ĵ ના î + ĵ તથા î – ĵની દિશાઓમાં ઘટક શોધો.
(તમે આલેખીય રીતનો ઉપયોગ કરી શકો છો.)
ઉકેલ :
(a) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ î એ X-દિશાનો એકમ સદિશ છે અને ĵ એY-દિશાનો એકમ સંદેશ છે.
\(\overrightarrow{O A}\) = î, \(\overrightarrow{O B}\) = ĵ,
\(\overrightarrow{O C}\) = -ĵ

પ્રશ્ન 23.
અવકાશમાં કોઈ સ્વૈચ્છિક ગતિ માટે નીચે આપેલા સંબંધો પૈકી કયો સાચો છે ?

ઉત્તર:
સ્વૈચ્છિક ગતિમાં કણ નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરતો ના પણ હોય. આથી આપેલ સમીકરણો પૈકી સમીકરણ (a), (c) અને (d) ખોટા છે, કારણ કે આ ત્રણેય સમીકરણો નિયમિત પ્રવેગી ગતિ માટે છે. ફક્ત સમીકરણ (b) અને (e) એ સ્વૈચ્છિક ગતિ માટે સાચા સંબંધો દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 24.
નીચે દર્શાવેલ દરેક વિધાન ધ્યાનપૂર્વક વાંચો અને કારણ તથા ઉદાહરણ સહિત દર્શાવો કે તે ખરું છે કે ખોટું ઃ અદિશ રાશિ તે છે કે જે
(a) કોઈ પ્રક્રિયામાં અચળ રહે છે.
(b) તે ક્યારેય ઋણ નથી હોતી.
(c) તે પરિમાણ રહિત હોય છે.
(d) અવકાશમાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુ વચ્ચે બદલાતી નથી.
(e) તે દરેક અવલોકનકાર માટે એક મૂલ્ય હોય છે પછી ભલે તેના યામાક્ષોનાં નમન (Orientations) જુદાં હોય.
ઉત્તર:
(a) આપેલ વિધાન ખોટું છે. દા. ત., ગતિ-ઊર્જા એ અદિશ રાશિ છે, પરંતુ અસ્થિતિ સ્થાપક અથડામણ દરમિયાન ગતિ-ઊર્જા અચળ રહેતી નથી.

(b) આપેલ વિધાન ખોટું છે. દા. ત., તાપમાન અદિશ રાશિ છે, પરંતુ તેનું મૂલ્ય ઋણ હોઈ શકે છે.

(c) આપેલ વિધાન ખોટું છે. દા. ત., દળ, ઘનતા, ઊર્જા જેવી અદિશ રાશિઓ પરિમાણ રહિત નથી.

(d) આપેલ વિધાન ખોટું છે. દા. ત., વાતાવરણમાં ઘનતા, તાપમાન જેવી અદિશ રાશિઓ દરેક બિંદુએ અલગ અલગ હોય છે.

(e) આપેલ વિધાન ખરું છે. દા. ત., પદાર્થનું દળ એ જુદા જુદા અવલોકનકાર જુદી જુદી યામાક્ષોનાં નમન પરથી માપે તોપણ સમાન હોય છે.

પ્રશ્ન 25.
કોઈ વિમાન પૃથ્વીથી 3400 mની ઊંચાઈએ ઊડી રહ્યું છે. જો પૃથ્વી પરના કોઈ અવલોકનબિંદુ પાસે વિમાન દ્વારા 10 secમાં કપાયેલ અંતર 30નો કોણ બનાવતું હોય, તો વિમાનની ઝડપ કેટલી હશે?
ઉકેલ:
ધારો કે, વિમાન અવલોકનબિંદુ Oથી 3400 mની ઊંચાઈએ ઊડે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ 10 sમાં તે AB જેટલું અંતર કાપે છે. આકૃતિ પરથી,

tan θ = \(\frac{A C}{O C}\)
∴ tan 15° = \(\frac{x}{3400}\)
∴ x = 3400 × tan 15°
= 3400 × 0.2679
= 910.86 m

∴ વિમાનની ઝડપ = 182.2 m s^-1

પ્રશ્ન 26.
કોઈ દેિશને માન તથા દિશા બંને હોય છે. શું અવકાશમાં તેને કોઈ સ્થાન હોય છે? શું સમય સાથે તે બદલાઈ શકે? શું અવકાશમાં જુદાં જુદાં સ્થાનો પાસે બે સમાન દિશો \(\vec{a}\) તથા \(\vec{b}\) સમાન ભૌતિક અસર દર્શાવશે? તમારા ઉત્તરના સમર્થનમાં ઉદાહરણ આપો.
ઉત્તર:
(i) અવકાશમાં સિદિશ જ્યારે સ્થાન બદલે ત્યારે જો તેના માન અને દિશામાં ફેરફાર થતો ના હોય, તો કહી શકાય કે અવકાશમાં સદિશને નિશ્ચિત સ્થાન હોતું નથી. પરંતુ જો તે સ્થાનસદિશ હોય, તો તેને નિશ્ચિત સ્થાન હોય છે.

(ii) સદિશ એ સમય સાથે બદલાઈ શકે છે. દા. ત., પ્રવેગી ગતિ કરતા કણનો વેગનો સદિશ સમય સાથે બદલાય છે.

(iii) અવકાશમાં જુદાં જુદાં સ્થાનો પાસે બે સમાન દિશો સમાન ભૌતિક અસર ઉત્પન્ન કરતા નથી. દા. ત., દઢ પદાર્થ પર બે જુદાં જુદાં બિંદુઓએ સમાન બળ (\(\vec{F}\)) લગાવતાં તે અલગ અલગ ટૉર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.

પ્રશ્ન 27.
કોઈ દેિશને માન તથા દિશા બંને હોય છે. શું તેનો અર્થ એ થાય કે કોઈ રાશિ જેને માન અને દિશા બંને હોય, તે સદિશ જ હશે? કોઈ વસ્તુનું પરિભ્રમણ, ભ્રમણાક્ષની દિશા તથા કોણીય સ્થાન વડે દર્શાવી શકાય છે. શું તેનો અર્થ એ થાય કે કોઈ પણ પરિભ્રમણ એક સદિશ છે?
ઉત્તર:
કોઈ રાશિને માન અને દિશા બંને હોય, પરંતુ જો તે સદિશોના સરવાળાના નિયમને અનુસરતી ના હોય, તો તે સદિશ રાશિ નથી. દા. ત., વિદ્યુતપ્રવાહને દિશા અને મૂલ્ય બંને છે, પરંતુ તે સદિશ સરવાળાના નિયમને અનુસરતા નથી. આથી તે સદિશ રાશિ નથી.

કોઈ દઢ પદાર્થનું તેના અક્ષને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ એ સદિશ રાશિ ગણી શકાય નહિ, કારણ કે પરિભ્રમણ સદિશ એ સદિશ સરવાળાના નિયમને અનુસરતા નથી. પરંતુ પદાર્થના સૂક્ષ્મ પરિભ્રમણને સદિશ તરીકે ગણી શકાય, કારણ કે સદિશ સરવાળાના નિયમને અનુસરે છે.

પ્રશ્ન 28.
(a) કોઈ વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળેલ તારની લંબાઈ
(b) કોઈ સમતલ ક્ષેત્રફળ
(c) કોઈ ગોળા સાથે સદિશને સાંકળી શકાય? સમજાવો.
ઉત્તર:
(a) કોઈ વર્તુળાકાર લૂપમાં વાળેલ તારની લંબાઈને કોઈ દિશ સાથે સાંકળી શકાય નહિ.
(b) કોઈ સમતલ ક્ષેત્રફળ સાથે સદિશને સાંકળી શકાય જેને ક્ષેત્રફળ સદિશ (\(\vec{A}\)) કહે છે. જેની દિશા સમતલની બહારની તરફ સમતલને લંદિશામાં હોય છે.
(c) ગોળાના કદ સાથે કોઈ સદિશ સાંકળી શકાય નહિ, પરંતુ ગોળાની સપાટી પરના ક્ષેત્રફળ સાથે ક્ષેત્રફળ સદિશ સાંકળી
શકાય.

પ્રશ્ન 29.
બંદૂકમાંથી સમક્ષિતિજ સાથે 30° ના કોણે છોડેલી ગોળી જમીનને 3.0 km દૂર અથડાય છે. પ્રક્ષિપ્ત કોણનું મૂલ્ય ગોઠવીને આપણે 5.0 km દૂર આવેલા લક્ષ્ય પર ગોળી મારી શકીએ? ગણતરી કરીને જણાવો. હવાનો અવરોધ અવગણો.
ઉકેલ :
પ્રથમ કિસ્સામાં, R = 3 km = 3000 m, θ = 30°
સમક્ષિતિજ અવિધ,
R = \(\frac{v_0^2 \sin 2 \theta}{g}\)
3000 = \(\frac{v_0^2}{g}\) sin (2 × 30°)
\(\frac{v_0^2}{g}=\frac{3000}{\sin 60^{\circ}}=\frac{3000}{\sqrt{3} / 2}\) = 2000 √3
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવિધ,
R_max = \(\frac{v_0^2}{g}\)
= 2000√3
= 3464 m = 3.46 km
અહીં, પ્રક્ષિપ્ત કોણનું મૂલ્ય ગોઠવીને ગોળીને મહત્તમ 3.64 km દૂર સુધી મારી શકાય છે, પરંતુ લક્ષ્ય 5 km જેટલા અંતરે હોવાથી આ લક્ષ્ય પર ગોળી મારી શકાશે નહિ.

પ્રશ્ન 30.
એક ફાઇટર જેટ પ્લેન 1.5kmની ઊંચાઈ પર 720 km / hની ઝડપથી સમક્ષિતિજ દિશામાં ઊડી રહ્યું છે. જો તે વિમાન વિરોધી તોપની બરાબર ઉપરથી પસાર થતું હોય, તો શિરોલંબ દિશા સાથે તોપના નાળચાનો ખૂણો કેટલો હોવો જોઈએ કે જેથી 600 m s^-1ની ઝડપથી છોડેલ ગોળો ફાઇટર પ્લેનને અથડાય? ફાઇટર પ્લેનના પાઇલૉટે લઘુતમ કેટલી ઊંચાઈએ પ્લેન ઉડાડવું જોઈએ કે જેથી તે ગોળાથી બચી શકે? (g= 10 m s^-2)
ઉકેલ:
આપેલા દાખલાની પરિસ્થિતિ નીચે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે :

પ્લેનની ઝડપ υ_x = 720 km h^-1
= \(\) ms^-1 = 200 m s^-1
ગોળાની ઝડપ υ₀ = 600 m s^-1
પ્લેનની ઊંચાઈ y = 1.5 km = 1500 m
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પ્લેન સમક્ષિતિજ દિશામાં AB પથ પર ગતિ કરે છે અને તોપમાંથી છોડેલો ગોળો OB પથ પર ગતિ કરે છે.
જ્યારે પ્લેન સમક્ષિતિજ દિશામાં જેટલું અંતર કાપશે, તેટલું જ સમક્ષિતિજ દિશામાં ગોળો અંતર કાપશે ત્યારે ગોળો પ્લેનને અથડાશે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્લેને કાપેલું અંતર
= સમક્ષિતિજ દિશામાં ગોળાએ કાપેલું અંતર
પ્લેનની ઝડપ × t = સમક્ષિતિજ દિશામાં ગોળાની ઝડપ × t
200 × t = υ₀ sin θ × t
∴ sin θ = \(\frac{200}{v_0}=\frac{200}{600}=\frac{1}{3}\)
∴ θ = sin^-1(\(\frac{1}{3}\)) = 19.5° (ઊર્ધ્વદિશા સાથે)
એટલે કે તોપનું નાળચું ઊર્ધ્વદિશા સાથે 19.5°ના કોણે ગોઠવીને ગોળો છોડવો જોઈએ, જેથી તે ગોળો પ્લેન સાથે અથડાશે.

= 15994.3m
≈ 16000 m = 16 km
આમ, જો પાઇલૉટ ફાઇટર પ્લેનને ઓછામાં ઓછી 16 kmની ઊંચાઈએ ઊડાડે તો તે તોપના ગોળાથી બચી શકશે.

પ્રશ્ન 31.
એક સાઇકલ-સવાર 27 km/hની ઝડપથી સાઇકલ ચલાવી રહ્યો છે. જેવો તે રસ્તા પર 80 m ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર વળાંક પર પહોંચે તેવો તે, બ્રૂક લગાવી દરેક સેકન્ડે પોતાની ઝડપ 0.50 m / sના એકસમાન દરથી ઓછી કરે છે. વર્તુળાકાર પથ પર સાઇકલ-સવારના ચોખ્ખા પ્રવેગનું મૂલ્ય તથા દિશા શોધો.
ઉકેલ :
r = 80 m,υ = 27 km h^-1 = \(\frac{27 \times 1000}{3600}\)
= 7.5 m s^-1
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ a_c = \(\frac{v^2}{r}\)
= \(\frac{(7.5)^2}{80}\) = 0.7 ms^-2
ધારો કે, સાઇકલ-સવાર વર્તુળાકાર વળાંકના બિંદુ A આગળ બ્રેક લગાવે છે. આ બિંદુએ સ્પર્શીય પ્રવેગ a_T એ વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
a_T = 0.5 m s^-2
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ a_c અને a_tપરસ્પર લંબ હોવાથી ચોખ્ખો પ્રવેગ,

a = \(\sqrt{a_{\mathrm{T}}^2+a_{\mathrm{c}}^2}\)
= \(\sqrt{(0.5)^2+(0.7)^2}\)
= \(\sqrt{0.74}\)
= 0.86 m s^-2
જો પ્રવેગ \(\vec{a}\) એ સ્પર્શીય પ્રવેગ \(\vec{a}_{\mathrm{T}}\) સાથે θ કોણ બનાવતો હોય, તો
tan θ = \(\frac{a_c}{a_{\mathrm{T}}}=\frac{0.7}{0.5}\) = 1.4
∴ θ = tan^-1 (1.4) = 54.5° = 54°28′

પ્રશ્ન 32.
(a) દર્શાવો કે, કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ X-અક્ષ તથા તેના વેગ સદિશ વચ્ચે બનતો ખૂણો સમયના પદમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય છે :
θ (t) = tan^-1 (\(\frac{v_{0 \mathrm{y}}-g t}{v_{0 \mathrm{x}}}\))
(b) ઊગમબિંદુ આગળથી પ્રક્ષિપ્ત કરેલા પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ θ₀ =tan^-1 (\(\frac{4 h_{\mathrm{m}}}{R}\)) વડે અપાય છે તેમ સાબિત કરો. અહીં સંજ્ઞાઓને પ્રચલિત અર્થ છે.
ઉકેલઃ

(a) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ કોઈ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને પ્રારંભિક વેગ \(\vec{v}_0\) થી θ_o કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. υ_ox અને υ_oy એ υ_o ના અનુક્રમે X અને Y દિશાના ઘટકો છે.
ધારો કે, t સમયે પદાર્થ બિંદુ A આગળ છે. તેનો વેગ \(\vec{υ}\) અને તે X-અક્ષ સાથે θ કોણે છે. \(\vec{υ}\) નો X-ઘટક અને Y-ઘટક નીચે મુજબ મળશે :
υ_x = υ_ox
(પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં સમક્ષિતિજ ઘટક બદલાતો નથી.)
υ_y = υ_oy – gt
tanθ = \(\frac{v_{\mathrm{y}}}{v_{\mathrm{x}}}=\frac{v_{\mathrm{Oy}}-g t}{v_{0 \mathrm{x}}}\)
∴ θ = tan^-1(\(\frac{v_{0 \mathrm{yy}}-g t}{v_{\mathrm{ox}}}\))

(b) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ,
h_m = \(\frac{v_0^2 \sin ^2 \theta_0}{2 g}\)
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અધિ,
R = \(\frac{v_0^2 \sin 2 \theta_0}{g}=\frac{v_0^2\left(2 \sin \theta_0 \cos \theta_0\right)}{g}\)