GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 9 શ્રેણી અને શ્રેઢી Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
સાબિત કરો કે, સમાંતર શ્રેણીમાં (m + n)મા તથા (m – n)મા પદોનો સરવાળો mમા પદ કરતાં બમણો થાય છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ ત અને સામાન્ય તફાવત ત છે.
∴ a_m+n = a + (m + n – 1) d
∴ a_m-n = a + (m – n – 1) d અને a_m = a + (m – 1) d
∴ a_m+n + a_m-n
= a + (m + n – 1) d + a + (m – n – 1) d
= 2a + (m + n – 1 + m – n – 1) d
= 2a + (2m – 2) d
= 2a + 2 (m – 1) d અને 2a_m = 2a + 2 (m – 1 ) d
∴ a_m+n + a_m-n = 2a_m
∴ (m + n)મું પદ અને (m – n)મા પદનો સરવાળો એ mમા પદ કરતાં બમણો છે.

પ્રશ્ન 2.
જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો 24 અને તેમનો ગુણાકાર 440 હોય, તો આ સંખ્યાઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓ a−d, a, a + d છે.
હવે, તેમનો સરવાળો = a – d + a + a + d = 24
∴ 3a = 24 ∴ a = 8
અને તેમનો ગુણાકાર = (a – d) · a · (a + d) = 440
∴ a (a² – d²) = 440
∴ 8(64 – d²) = 440 ( a = 8)
∴ 64 – d² = 55 ∴ d² = 9 ∴ d = ± 3
d = 3 માટે a – d = 8 – 3 = 5, a + d = 8 + 3 = 11
∴ આ સંખ્યાઓ 5, 8, 11 છે તથા
d = -૩ માટે a – d = 8 – (– 3) = 11,
a + d = 8 + (– 3) = 5
∴ આ સંખ્યાઓ 11, 8, 5 છે.
∴ માગેલી સંખ્યાઓ 5, 8, 11 અથવા 11, 8, 5 છે.

પ્રશ્ન 3.
જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલાં પ્રથમ n, 2n, 3n પદોના સરવાળા અનુક્રમે S₁, S₂ અને S₃ હોય, તો બતાવો કે S₃ = 3(S₂ – S₁).
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ વ અને સામાન્ય ગુણોત્તર d છે.

પ્રશ્ન 4.
200 અને 400 વચ્ચેની 7 વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
200 અને 400ની વચ્ચે 7 વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ 203, 210, 217, ……………. 399 છે, જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે. જ્યાં,
a = 203 અને d = 7.
ધારો કે, પદોની સંખ્યા n છે.
∴ a_n = 399
∴ a + (n – 1) d = 399
∴ 203 + (n – 1) 7 = 399
∴ 7 (n – 1) = 196
∴ n – 1 = 28
∴ n = 29

પ્રશ્ન 5.
1થી 100 વચ્ચેની 2 અથવા 5 વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
1થી 100માં 2 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ 2, 4, 6, …………… 100 છે, જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
જ્યાં, a = 2; d = 2 અને a_n = 100
∴ a+ (n – 1) d = 100
∴ 2 + (n – 1) 2 = 100
∴ 2(n – 1) = 98
∴ n – 1 = 49
∴ n = 50

તેથી 2 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓનો સરવાળો,
S₅₀ = \(\frac{50}{2}\)[2a + (50 – 1) d]
= 25 [2 × 2 + 49 × 2]
= 25 [498]
= 25 × 102
= 2550

1થી 100માં 5 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ 5, 10, 15, …, 100 છે. જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
જ્યાં, a = 5; d= 5 અને a_n = 100
∴ a+ (n – 1) d = 100
∴ 5+ (n – 1) 5 = 100
∴ 5 (n – 1) = 95
∴ n – 1 = 19 ∴ n = 20

તેથી 5 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી સંખ્યાઓનો સ૨વાળો,
S₂₀ = \(\frac{20}{2}\)[2a + (20 – 1) d]
= 10[2 × 5 + 19 × 5]
= 10 [10 + 95] = 10 × 105
= 1050

∴ 1થી 100માં 2 અને 5 વડે ભાગી શકાય. અર્થાત્ 10 વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓ 10, 20, 30, ………. 100 છે, જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે. જ્યાં, a = 10; d = 10 અને a_n = 100
∴ a + (n – 1) d = 100
∴ 10 + (n – 1) 10 = 100
∴ 10 (n – 1) = 90
∴ n – 1 = 9
∴ n = 10

તેથી 2 અને 5 વડે ભાગી શકાય તેવી સંખ્યાઓનો સરવાળો,
S₁₀ = \(\frac{10}{2}\)[2a + (10-1) d]
= 5 [2 × 10 + 9 × 10]
= 5 (20 + 90)
= 5 × 110
= 550

∴ માગેલ સરવાળો = S₅₀ + S₂₀ – S₁₀
= 2550 + 1050 – 550
= 3600 – 550
= 3050

પ્રશ્ન 6.
જેને 4 વડે ભાગતાં શેષ 1 વધે તેવી બે આંકડાની સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
જેને 4 વડે ભાગતાં 1 શેષ વધે તેવી સંખ્યાઓ 13, 17, 21, ………… 97 છે, જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે. જ્યાં, a = 13, d = 4 અને a_n = 97.
∴ a+ (n – 1) d = 97
∴ 13 + (n – 1) 4 = 97
∴ 4 (n – 1) = 84
∴ n− 1 = 21
∴ n = 22
∴ માગેલો સરવાળો = \(\frac{n}{2}\)(a + l); જ્યાં, l = a_n = 97
= \(\frac{22}{2}\)(13 +97)
= 11 × 110 = 1210

પ્રશ્ન 7.
જો વિધેયf (x + y) = f (x) f (g) (∀x, y ∈ N) એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત હોય કે જેથી f (1) = 3 અને \(\sum_{x=1}^n\)f (x) = 120, તો nનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, f (x + y) = f (x) · f (y) અને f(1) = 3 આપેલ છે.
∴ f (2) = f (1 + 1) = f(1) · f (1) = 3²
∴ f (3) = f (1 + 2) =f (1) · f (2) = 3 · 3² = 3³
∴ f (4) = f (1 + 3) = f (1) · f (3) = 3 · 3³ = 3⁴ …
આ જ પ્રમાણે,
f (n) = 3ⁿ
હવે, \(\sum_{x=1}^n\)f (x) = 120
∴ f (1) + f (2) + f (3) + …… + f(n) = 120
∴ 3 + 3² + 3³ + …. + 3ⁿ = 120
∴ 3 = \(\left(\frac{3^n-1}{3-1}\right)\) = 120
∴ \(\frac{3}{2}\) = (3n – 1) = 120
∴ 3ⁿ – 1 = \(\frac{120 \times 2}{3}\) = 80
∴ 3ⁿ = 81 = 3⁴
∴ n = 4

પ્રશ્ન 8.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં કેટલાંક પદોનો સરવાળો 315 છે. તેનું પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તર અનુક્રમે 5 અને 2 છે. તેનું છેલ્લું પદ અને પદોની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આ સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a, સામાન્ય ગુણોત્તર r અને પદોની કુલ સંખ્યા n છે.
∴ a = 5, 7 = 2 અને S_n = 315
હવે, S_n = \(\frac{a \cdot\left(r^n-1\right)}{r-1}\) પરથી,
∴ \(\frac{5\left(2^n-1\right)}{2-1}\) = 315
∴ 2ⁿ – 1 = \(\frac{315}{5}\) = 63
∴ 2ⁿ = 64 = 26
∴ n = 6
∴ છેલ્લું પદ = a₆ = a · r⁵ = 5 · (2)⁵ = 5 (32) = 160
આમ, છેલ્લું પદ = 160 અને પદોની કુલ સંખ્યા = 6 છે.

પ્રશ્ન 9.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ 1 છે. તેના ત્રીજા અને પાંચમા પદોનો સરવાળો 90 છે. આ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ = a અને સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.
∴ a = 1, a₃ + a₅ = 90
∴ ar² + ar⁴ = 90
∴ r² + r⁴ = 90 (∵ a = 1)
∴ r⁴ + r² – 90 = 0
∴ (r² + 10) (r² − 9) = 0
∴ r² – 9 = 0 (·.: r² + 10 ≠ 0)
∴ r² = 9
∴ r = ± 3
∴ સામાન્ય ગુણોત્તર = ±3 છે.

પ્રશ્ન 10.
સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો 56 છે. જો આ સંખ્યાઓમાંથી 1, 7 અને 21 બાદ કરવામાં આવે, તો આપણને સમાંતર શ્રેણી મળે છે. આ સંખ્યાઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓ
a, ar, ar²
હવે, તેમનો સરવાળો
= a + ar + ar² = 56 …………..(1)
∴ a (1 + r + r²) = 56
આ સંખ્યાઓમાંથી 1, 7, 21 બાદ કરતાં મળતી સંખ્યાઓ
a – 1, ar − 7, ar² – 21, જે સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
(ar² – 21) – (ar – 7) = (ar – 7) – (a – 1)
∴ ar² – 21 – ar + 7 = ar – 7 – a + 1
∴ ar² – 2ar + d = 8
∴ a (r² – 2r + 1) = 8
(1) અને (2)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\(\frac{a\left(1+r+r^2\right)}{a\left(r^2-2 r+1\right)}=\frac{56}{8}\)
∴ \(\frac{1+r+r^2}{r^2-2 r+1}\) = 7
∴ 1+ r + r² = 772 – 14r + 7
∴ 6r² – 15r + 6 = 0
∴ 2r² – 5r + 2 = 0
∴ 2r² – 4r – r + 2 = 0
∴ 2r (r – 2) – 1 (r – 2) = 0
∴ (r – 2) (2r – 1) = 0
∴ r – 2 = 0 અથવા 2r – 1 = 0
∴ r = 2 અથવા r = \(\frac{1}{2}\)
r = 2 માટે (1) પરથી,
a (1 + 2 + 4) = 56
∴ 7a = 56
∴ a = 8
∴ મળતી સંખ્યાઓ 8, 8(2), 8 (2)². અર્થાત્ 8, 16, 32.
r = \(\frac{1}{2}\) માટે (1) પરથી,
a (1 + \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\)) = 56
∴ \(\frac{7 a}{4}\) = 56
∴ a = 32
∴ મળતી સંખ્યાઓ 32, 32(\(\frac{1}{2}\)), 32(\(\frac{1}{2}\))².
અર્થાત્ 32, 16, 8.
∴ માગેલી સંખ્યાઓ 8, 16, 32 અથવા 32, 16, 8 છે.

પ્રશ્ન 11.
એક સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પદોની સંખ્યા યુગ્મ છે. જો બધાં જ પદોનો સરવાળો, અયુગ્મ સ્થાને રહેલ પદોના સરવાળા કરતાં ૐ ગણો હોય, તો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a, સામાન્ય ગુણોત્તર r અને પદોની સંખ્યા 2n છે.
∴ a₁ + a₂ + a₃ + ………….. + a_2n = 5 (a₁ + a₃ + a₅ + …………. + a_2n-1
∴ a + ar + ar² + ….. + ar^2n-1 = 5 (a + ar² + ar⁵ + ……… + ar^2n-2)

∴ 1 + r = 5
∴ r = 4
∴ આ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર 4 છે.

પ્રશ્ન 12.
સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો 56 છે. તેનાં છેલ્લાં ચાર પદોનો સરવાળો 112 છે. તેનું પ્રથમ પદ 11 છે, તો પદોની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ વ, સામાન્ય તફાવત d અને પદોની સંખ્યા n છે.
∴ a = 11 અને S₄ = 56
∴ \(\frac{4}{2}\)[2a + (4 – 1) d] = 56
∴ 2a + 3d = 28
∴ 22 + 3d = 28 (∵ a = 11)
∴ 3d = 6. d = 2
ધારો કે, આ સમાંતર શ્રેણીનું છેલ્લું પદ l છે.
∴ છેલ્લાં 4 પદો l, l – d, l – 2d અને l – 3d થશે, જેમનો સરવાળો 112 છે.
∴ l + l – d + l – 2d + l – 3d = 112
∴ 41 – 6d = 112
∴ 41 – 6 (2) = 112
∴ 41 = 124 ∴l = 31
પણ l = a_n = a + (n – 1) d
∴ 11 + (n – 1) 2 = 31
∴ 2 (n − 1) = 20
∴ પદોની સંખ્યા 11 છે.

પ્રશ્ન 13.
જો \(\frac{a+b x}{a-b x}=\frac{b+c x}{b-c x}=\frac{c+d x}{c-d x}\) (x ≠ 0), તો સાબિત કરો કે a, b, c અને d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
ઉત્તરઃ

∴ a, b, c અને ત સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

પ્રશ્ન 14.
જો સમગુણોત્તર શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો s, ગુણાકાર P અને પ્રથમ n પદોનાં વ્યસ્ત પદોનો સરવાળો R હોય, તો સાબિત કરો ક P²Rⁿ = Sⁿ.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.
∴ S = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\)
P = a × ar × ar² × ……… × ar^n-1
= aⁿ. r^{1 + 2 + 3 + … + (n − 1)}
જ્યાં 1 + 2 + 3 + … + (n − 1)

પ્રશ્ન 15.
જો સમાંતર શ્રેણીના Đ, q અને માા પદો અનુક્રમે a, b, c હોય, તો બતાવો ક, (q − r) a + (r− p) b + (p − q) c = 0.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ A અને સામાન્ય તફાવત D છે.
∴ A+ (p – 1) D = a …………..(1)
A + (q – 1) D = b ………….(2)
A + (r – 1) D = c ……………..(3)
(1) અને (2)ની બાદબાકી લેતાં, (p – q) D = a – b
∴ p – q = \(\frac{a-b}{\mathrm{D}}\)
(2) અને (3)ની બાદબાકી લેતાં, (q−r) D = b – c
∴ q – r = \(\frac{b-c}{\mathrm{D}}\)
(1) અને (3)ની બાદબાકી લેતાં, (r−p) D = c – a
∴ r – p = \(\frac{c-a}{\mathrm{D}}\)
∴ (q – r) a + (r – p) b + (p – q) c ((4), (5) અને (6) પરથી)
= \(\frac{1}{D}\)(ab – ac + bc – ab + ac – bc)
= \(\frac{1}{D}\)(0) = 0
∴ (q − r) a + (r− p) b + (p − q) c = 0

પ્રશ્ન 16.
જો a\(\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\), b\(\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\), c\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો સાબિત કરો કે a, b, c સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, a\(\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\), b\(\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\), c\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

∴ a, b, c સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

પ્રશ્ન 17.
જો a, b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો સાબિત કરો કે (aⁿ + bⁿ), (bⁿ + cⁿ), (cⁿ + dⁿ) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર ૪ છે.
c = ar², d = ar³
∴ b = ar, c = ar², d = ar³
(aⁿ + bⁿ), (bⁿ + cⁿ), (cⁿ + dⁿ) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે તેમ બતાવવા માટે,

∴ (aⁿ + bⁿ), (bⁿ + cⁿ), (cⁿ + dⁿ) સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

પ્રશ્ન 18.
જો a, b, c, તુ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય અને જો a અને b, x² – 3x + p = 0નાં બીજ હોય અને c, d, x² – 12x + q = 0નાં બીજ હોય, તો સાબિત કરો કે (q + P) : (q – p) = 17 : 15.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર r છે.
∴ b = ar, c = ar², d = ar³
હવે, a અને b તે x² – 3x + p = 0નાં બીજ હોવાથી,
a + b = 3 અને ab = p
તથા c અને d એ x² − 12x + q = 0નાં બીજ હોવાથી,
∴ c + d = 12 અને cd = q
a + b = 3 પરથી,
a + ar = 3 (∵ b = ar)
∴ a (1 + r) = 3
c + d = 12 પરથી,
ar² + ar³ = 12 (∵ c = ar², d = ar³)
∴ ar² (1 + r) = 12
∴ \(\frac{a r^2(1+r)}{a(1+r)}=\frac{12}{3}\)
∴ r² = 4
હવે \(\frac{q}{p}=\frac{c d}{a b}=\frac{a r^2 \times a r^3}{a \times a r}\) = r4 = 16 = \(\frac{16}{1}\)
હવે, યોગ-વિયોગ પ્રમાણ લેતાં,
\(\frac{q+p}{q-p}=\frac{16+1}{16-1}=\frac{17}{15}\)
∴ (q + p) : (q – p) = 17 : 15

પ્રશ્ન 19.
બે સંખ્યાઓ a અને bના સમાંતર અને સમગુણોત્તર મધ્યકોનો ગુણોત્તર_m: n છે. બતાવો કે,
a:b= (m + \(\sqrt{m^2-n^2}\)) : (m – \(\sqrt{m^2-n^2}\)).
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે ધન સંખ્યાઓ a અને bનો સમાંતર મધ્યક A અને ગુણોત્તર મધ્યક G છે. જ્યાં, a > b

∴ a : b = (m + \(\sqrt{m^2-n^2}\)) : (m – \(\sqrt{m^2-n^2}\))

પ્રશ્ન 20.
જો a, b, c સમાંતર શ્રેણીમાં; b, c, d એ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં અને \(\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}\) મૈં એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો સાબિત કરો કે a, c, e સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
ઉત્તરઃ
a, b, c સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
∴ b = \(\frac{a+c}{2}\) …(1)
b, c, d સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે..
∴ c² = bd …….(2)
\(\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}\) સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
∴ \(\frac{2}{d}=\frac{1}{c}+\frac{1}{e}=\frac{e+c}{c e}\)
∴ d = \(\frac{2 c e}{e+c}\) ………(3)
(1) અને (3)નો ગુણાકાર કરતાં,
bd = \(\left(\frac{a+c}{2}\right)\left(\frac{2 c e}{e+c}\right)\)
∴ c² = \(\frac{c e(a+c)}{e+c}\) ((2) પ્રમાણે)
∴ c = \(\frac{e(a+c)}{e+c}\)
∴ c (e + c) e (a + c)
∴ ce + c² = ae + ce
∴ c² = ae
∴ a, c, e સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

પ્રશ્ન 21.
નીચેની શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો શોધો :
(1) 5 + 55 + 555 + …
ઉત્તરઃ
5 + 55 + 555 + ………. n પદો
= 5 (1 + 11 + 111 + … પદો)

(2) 0.6 + 0.66 + 0.666 + …………..
= 6 (0.1 + 0.11 + 0.111 + … n પદો)

પ્રશ્ન 22.
શ્રેઢી 2 × 4 + 6 × 8 +… (n પદો)નું 20મું પદ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં આપેલી શ્રેઢી 2 × 4 + 4 × 6 + 6 x 8 + … n પદો
∴ શ્રેઢીનું 20મું પદ
= (સમાંતર શ્રેણી 2, 4, 6, …………નું 20મું પદ) × (સમાંતર શ્રેણી 4, 6, 8, …નું 20મું પદ)
= [2 + (20 – 1) 2] × [4 + (20 − 1) 2]
= (2 + 38) × (4 + 38) = 40 × 42
= 1680

પ્રશ્ન 23.
શ્રેઢી 8 + 7 + 13 + 21 + 31 + …નાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, આપેલ શ્રેઢીનાં n પદોનો સરવાળો S_n છે.
∴ S_n = 3 + 7 + 13 + 21 + 31 + … + a_n-2 + a_n-1 + a_n ……(2)

પરિણામ (1) અને (2) લેતાં,
0 = 3 + 4 + 6 + 8 + 10 + … n પદો – a_n
∴ a_n = 3 + (4 + 6 + 8 + 10 + … (n − 1) પદો)
= 3 + \(\frac{(n-1)}{2}\)[2 × 4+ (n – 1 – 1)2]
= 3 + \(\frac{(n-1)}{2}\)(8 + 2n – 4)
= 3 + (n – 1) (n + 2)
= 3 + n² + n − 2
= n² + n + 1
∴ a_r = r² + r + 1
∴ 3 +7 +13 + 21 + 31 + … n પદો

પ્રશ્ન 24.
જો S₁, S₂, S₃ અનુક્રમે પ્રથમ n પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો, તેમના વર્ગોનો સરવાળો અને તેમના ઘનનો સરવાળો દર્શાવે, તો સાબિત કરો કે 9S₂² = S₃(1 + 8S₁)
ઉત્તરઃ
અહીં, S₁, S₂ અને S₃ એ અનુક્રમે પ્રથમ n પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, તેમના વર્ગો અને તેમના ઘનનો સરવાળો છે.

∴ 9S₂² = S₃(1 + 8S₁)

પ્રશ્ન 25.
નીચેની શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો શોધો :
\(\frac{1^3}{1}+\frac{1^3+2^3}{1+3}+\frac{1^3+2^3+3^3}{1+3+5}\) + ………..
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 26.
સાબિત કરો કે, \(\frac{1 \times 2^2+2 \times 3^2+\ldots+n \times(n+1)^2}{1^2 \times 2+2^2 \times 3+\ldots+n^2 \times(n+1)}=\frac{3 n+5}{3 n+1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 27.
એક ખેડૂત પુનઃવેચાણનું ટ્રૅક્ટર ₹ 12,000માં ખરીદે છે. તે ₹ 6,000 રોકડા ચૂકવે છે અને બાકીની રકમ 500ના વાર્ષિક હપતામાં અને 12 % વ્યાજે ચૂકવે છે, તો તેણે ટ્રૅક્ટરની શું કિંમત ચૂકવી હશે?
ઉત્તરઃ
ટ્રૅક્ટરની કિંમત = ₹ 12,000
ચૂકવેલી રોકડ રકમ = ₹ 6,000
∴ ચૂકવવાની બાકી રહેલી રકમ = ₹ 6,000
પ્રથમ હપતા સાથે હૈં 6,000નું વ્યાજ = \(\frac{6,000 \times 12 \times 1}{100}\)
= ₹ 720
બીજા હપતા સાથે હૈં 5,500નું વ્યાજ = \(\frac{6,000 \times 12 \times 1}{100}\)
= ₹ 660
ત્રીજા હપતા સાથે હૈં 5,000નું વ્યાજ = \(\frac{5,000 \times 12 \times 1}{100}\)
= ₹ 600
આ પ્રમાણે આગળ વધતાં,
છેલ્લા હપતા સાથે અર્થાત્ 12મા હપતા સાથે
₹ 500નું વ્યાજ = \(\frac{500 \times 12 \times 1}{100}\) = ₹ 60
∴ ચૂકવેલ કુલ વ્યાજ = 7 (720 + 660 + 600 + … + 60)

હવે, કૌસમાંની સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, જેમાં 12 પદો છે.
∴ ચૂકવેલ કુલ વ્યાજ = \(\frac{12}{2}\)(720 + 60)
= 6 × 780 = ₹ 4,680
આમ, ટ્રૅક્ટર માટે ચૂકવેલી કુલ રકમ = ₹ 12,000 + ₹ 4,680
= ₹ 16,680

પ્રશ્ન 28.
શમશાદ અલી એક સ્કૂટર ₹ 22,000માં ખરીદે છે. તે ₹ 4,000 રોકડા ચૂકવે છે અને બાકીની રકમ ર્ 1,000ના વાર્ષિક હપતાથી અને 10% વ્યાજે ચૂકવે છે, તો તેણે સ્કૂટરની શું કિંમત ચૂકવી હશે?
ઉત્તરઃ
સ્કૂટરની કિંમત = ₹ 22,000
ચૂકવેલી રોકડ રકમ = ₹ 4,000
∴ ચૂકવવાની બાકી રહેલી રકમ = ₹ 18,000
પ્રથમ હપતા સાથે હૈં 18,000નું વ્યાજ = \(\frac{18,000 \times 10 \times 1}{100}\)
= ₹ 1,800

બીજા હપતા સાથે ર્ 17,000નું વ્યાજ = \(\frac{17,000 \times 10 \times 1}{100}\)
= ₹ 1,700

ત્રીજા હપતા સાથે ર્ 16,000નું વ્યાજ = \(\frac{16,000 \times 10 \times 1}{100}\)
= ₹ 1,600

આ પ્રમાણે આગળ વધતાં,
છેલ્લા હપતા સાથે અર્થાત્ 18મા હપતા સાથે
₹ 1,000નું વ્યાજ = \(\frac{1000 \times 10 \times 1}{100}\) = ₹ 100

∴ ચૂકવેલ કુલ વ્યાજ
= ₹ (1,800+ 1,700+ 1,600 + ……….. + 100)

હવે, કૌંસમાંની સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે, જેમાં 18 પદો છે.
∴ ચૂકવેલ કુલ વ્યાજ = \(\frac{18}{2}\)(1,800 + 100)
= 9 × 1,900 = ₹ 17,100
આમ, સ્કૂટર માટે ચૂકવેલી કુલ રકમ = ₹ 22,000 + ₹ 17,100
= ₹ 39,100

પ્રશ્ન 29.
એક માણસ તેના ચાર મિત્રોને પત્ર લખે છે. તે દરેકને સૂચના આપે છે કે આ પત્ર તેમના અન્ય ચાર મિત્રોને મોકલે અને તેમને પણ આ જ પ્રમાણેની સાંકળ આગળ વધારવાની છે. માની લઈએ કે આ સાંકળ તૂટતી નથી અને દરેક પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ 50 પૈસા આવે છે, તો 8મી વખત પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ શોધો.
ઉત્તરઃ
પ્રથમ જૂથમાં મોકલેલા પત્રોની સંખ્યા = 4
બીજા જૂથમાં મોકલેલા પત્રોની સંખ્યા = 4 × 4 = 16
ત્રીજા જૂથમાં મોકલેલા પત્રોની સંખ્યા = 16 × 4 = 64
∴ પત્રોની સંખ્યાથી રચાતી શ્રેણી 4, 16, 64, …… થશે. જે
એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે. જ્યાં, a = 4; r = 4 અને n = 8.

∴ આઠમા જૂથમાં મોકલેલા પત્રોની સંખ્યા
S₈ = \(\frac{a\left(r^8-1\right)}{r-1}=\frac{4\left(4^8-1\right)}{4-1}=\frac{4 \times 65,535}{3}\) = 87,380
હવે, દરેક પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ 50 પૈસા = ₹ \(\frac{1}{2}\) છે.
∴ આઠમી વખત પત્ર મોકલવાનો ખર્ચ = 87,380 × \(\frac{1}{2}\)
= ₹ 43,690

પ્રશ્ન 30.
એક માણસ વાર્ષિક 5%ના સાદા વ્યાજે બૅન્કમાં ₹ 10,000 જમા કરાવે છે, તો તેણે જમા કરાવેલ રકમથી 15મા વર્ષમાં જમા રકમ અને 20 વર્ષ પછીની કુલ રકમ શોધો.
ઉત્તરઃ
જમા કરાવેલ રકમ = ₹ 10,000; વ્યાજનો દર = 5 %
∴ 1 વર્ષનું વ્યાજ = \(\frac{10.000 \times 5}{100}\) = 500
∴ ક્રમશઃ વર્ષોમાં બૅન્કમાં રહેલી રકમ
10,000; 10,500; 11,000; ………. જે એક સમાંતર શ્રેણી છે.
જ્યાં, a = 10,000; d = 500
∴ 15મા વર્ષે તે માણસની બૅન્કમાં જમા રકમ,
a₁₅ = a + (15 – 1) d
= 10,000 + 14 × 500
= 10,000 + 7,000
= 17,000
20 વર્ષ પછીની કુલ રકમ,
a₂₁ = a + (21 – 1) d
= 10,000+ 20 × 500
= 10,000+10,000
= 20,000
આમ, 15મા વર્ષે તે માણસની બૅન્કમાં જમા રકમ = ₹ 17,000
અને 20 વર્ષ પછી તેની કુલ રકમ = ₹ 20,000 છે.

પ્રશ્ન 31.
એક વેપારી ગણતરી કરે છે કે એક મશીન તેને ર્ 15,625માં મળે છે અને દર વર્ષે તેનો ઘસારો 20% છે, તો પાંચ વર્ષ પછી આ મશીનની અંદાજિત કિંમત કેટલી હશે?
ઉત્તરઃ
અહીં, મશીનની કિંમત = ₹ 15,625
ઘસારાનો વાર્ષિક દર = 20%
∴ એક વર્ષના અંતે મશીનની કિંમત

જે સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
જ્યાં, a = 15,625(\(\frac{4}{5}\)) અને r = 5.
∴ પાંચ વર્ષના અંતે મશીનની કિંમત,
a₅ = ar4
= 15,625\(\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{4}{5}\right)^4\)
= \(\frac{15,625 \times 4^5}{5^5}=\frac{15,625 \times 1024}{3125}\) = 5,120
આમ, પાંચ વર્ષ પછી મશીનની અંદાજિત કિંમત ₹ 5,120 હશે.

પ્રશ્ન 32.
એક કામ અમુક દિવસમાં પૂરું કરવા 150 માણસો રોકાયેલા હતા. બીજા દિવસે 4 માણસ કામ છોડી દે છે, ત્રીજા દિવસે બીજા 4 માણસો કામ છોડી દે છે અને આમ ચાલ્યા કરે છે. આવું થવાથી કામ પૂરું થવામાં 8 દિવસ વધુ લાગે છે, તો કામ કેટલા દિવસમાં પૂરું થાય તે શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, n દિવસોમાં કામ પૂરું થાય છે.
હવે, દરરોજ 4 માણસો કામ છોડી દે છે.
∴ ક્રમશઃ દિવસોમાં કામ કરનાર માણસોની સંખ્યા
= 150, 146, 142, ………….. જે એક સમાંતર શ્રેણી છે.
જ્યાં, a = 150 અને d = 4
n દિવસોમાં કામ પૂરું કરવા માટે લાગતા માણસોની સંખ્યા

જો કોઈ પણ વ્યક્તિ કામ ન છોડે, તો કામ પૂરું કરવા માટે લાગતા દિવસો = (n – 8) થશે.
∴ કામ પૂરું કરવા માટે લાગતા માણસો
∴ n (152 – 2n) = 150 (n – 8)
∴ 152n – 2n² = 150n -1200
∴ 2n² – 2n – 1200 = 0
∴ n² – n – 600 = 0
∴ (n – 25) (n + 24) = 0
∴ n – 25 = 0 અથવા n + 24 = 0
∴ n = 25 અથવા n = – 24
પણ, n ≠ – 24
∴ n = 25
આમ, 25 દિવસમાં કામ પૂરું થશે.