GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 8 દ્વિપદી પ્રમેય Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 8 દ્વિપદી પ્રમેય Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 8 દ્વિપદી પ્રમેય Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
જો (a + b)ⁿના વિસ્તરણનાં પ્રથમ ત્રણ પદો અનુક્રમે 729, 7290 અને 80875 હોય, તો a, bઅને n શોધો.
ઉત્તરઃ
(a + b)ⁿના વિસ્તરણમાં (r + 1)મું પદ

હવે, (1) અને (3)નો ગુણાકાર કરતાં,

∴ 12n – 12 = 10n ∴2n = 12 ∴ n = 6
હવે, (1) ⇒ aⁿ = 729 ∴ a⁶ = 729 = 3⁶ ∴a = 3
હવે, (2) ⇒ n·a^n-1. b = 7290
6.3^6-1. b = 7290
6.3⁵. b = 7290
∴ b = \(\frac{7290}{(6)(243)}\) = 5
∴ b = 5
આમ, a = 3, b = 5 અને n = 6 છે.

પ્રશ્ન 2.
જો (3 + ax)⁹ના વિસ્તરણમાં x² અને x³ રૈના સહગુણકો સમાન હોય, તો a શોધો.
ઉત્તરઃ
(3 + ax)⁹ માટે T_r+1 = (9) · 39 -1· (ax)’

પણ x²નો સહગુણક = x³નો સહગુણક (: આપેલ છે.)
∴\(\left(\begin{array}{l}
9 \\
3
\end{array}\right)\) · 3⁷ · a² = \(\left(\begin{array}{l}
9 \\
3
\end{array}\right)\) · 3⁶· a³
∴ 36. 37. a2 = 84.36. a3
∴ \(\frac{36 \cdot 3^7}{84 \cdot 3^6}=\frac{a^3}{a^2}\)
∴ a = \(\frac{(36) \cdot 3}{84}=\frac{9}{7}\)
∴ a = \(\frac{9}{7}\)

પ્રશ્ન 3.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી (1 + 2x)⁶ (1 – x)⁷ના ગુણાકારમાં x⁵નો સહગુણક શોધો.
ઉત્તરઃ
દ્વિપદી પ્રમેય પરથી,
(1 + 2x)⁶· (1 − x)⁷

= {1 + 12x + 60x² + 160x³ + 240x² + (192)x⁵ + 64x⁶} · {1 – 7x + 21x² – 35x³ + 35x⁴ – 21x⁵ + 7x⁶ – x⁷}
∴ x⁵ નો સહગુણક
= (1) (− 21) + (12) (35) + (60) (-35) + (160) (21) + (240) (-7) + (192) (1)
= -21 + 420 – 2100 + 3360 – 1680 + 192
= 171

પ્રશ્ન 4.
જો a અને b ભિન્ન પૂર્ણાંક હોય, તો સાબિત કરો કે aⁿ – bⁿ નો એક અવયવ a – b છે. જ્યાં, n એ ધન પૂર્ણાંક છે. [સૂચનઃ aⁿ = (a – b + b)ⁿ લઈ વિસ્તરણ કરો.]
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
(√3 + √2)⁶ – (√૩ – √2 )ની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 6.
(a² + \(\sqrt{a^2-1}\))⁴ + (a² – \(\sqrt{a^2-1}\))⁴ ની દિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
વિસ્તરણનાં પ્રથમ ત્રણ પદોનો ઉપયોગ કરી (0.99)ની આશરે કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
(0.99)⁵ = (1 – 0.01)⁵
= 1 – \(\left(\begin{array}{l}
5 \\
1
\end{array}\right)\) (0.01) + \(\left(\begin{array}{l}
5 \\
1
\end{array}\right)\) (0.01)² – …………..
= 1 – 5 (0.01) + (10) (0.0001) – …
= 1 – 0.05 + 0.001 – …
= 0.951 – …
∴ (0.99)⁵ ની આશરે કિંમત 0.951 છે.

પ્રશ્ન 8.
જો \(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n\)ના વિસ્તરણના શરૂઆતથી પાંચમા પદ અને છેલ્લેથી પાંચમા પદનો ગુણોત્તર √6 : 1 હોય, તો n શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\left(\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{3}}\right)^n\)
અહીં, કુલ પદોની સંખ્યા (n + 1) છે. તેથી છેલ્લેથી પાંચમું પદ (n + 1) − 4 = (n – 3)મું પદ થશે.
∴ શરૂઆતથી પાંચમું પદ = T₅ અને છેલ્લેથી પાંચમું પદ = T_n-3

પ્રશ્ન 9.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી \(\left(1+\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right)^4\), x ≠ 0નુ વિસ્તરણ કરો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી (3x² – 2x + 3a²)⁸નું વિસ્તરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, (3x² – 2ax + 3a²)³
= {(3x² − 2ax) + 3a²}³

= (3x² – 2ax)³ + (3) (3a²) (3x² – 2ax)² + (3) (9a⁴) (3x² – 2ax) + 27a⁶
= (27x⁶ – 54ax⁵ + 36a²x² – 8a³x³) +9a² (9x⁴ – 12ax³ + 4a²x²) +27a⁴ (3x² – 2ax) + 27a⁶
= 27x⁶ – 54ax⁵ + 36a²x² – 8a³x³ + 81a²x² – 108a³x³ + 36a²x² + 81a⁴x² – 54a⁵· x + 27a⁶
= 27x⁶ – 54ax⁵ + 117a²x⁴ – 116a³x³ + 117a⁴x² – 54a⁵x + 27a⁶