GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
DAUGHTER શબ્દના મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને 2 સ્વરો અને 3 વ્યંજનો દ્વારા અર્થસભર કે અર્થ રહિત કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?
ઉત્તરઃ
DAUGHTER શબ્દના મૂળાક્ષરોમાં 3 સ્વરો A, U, E તથા 5 વ્યંજનો D, G, H, T, R છે. 3 સ્વરોમાંથી 2 સ્વરોની પસંદગી ³C₂ રીતે થાય અને 5 વ્યંજનોમાંથી 3 વ્યંજનોની પસંદગી ⁵C₃‚ રીતે થાય. 2 સ્વરો અને 3 વ્યંજનો સાથે આવે તેવી પસંદગીના પ્રકારોની
સંખ્યા = ³C₂ × ⁵C₃
= \(\frac{3 !}{2 ! 1 !} \times \frac{5 !}{3 ! 2 !}\)
= \(\frac{3 \times 2 !}{2 !} \times \frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2 \times 1}\)
= 3 × 10 = 30
હવે, દરેક પસંદગી 5 ભિન્ન અક્ષરોની છે, જે દરેકમાં 5 અક્ષરોની ગોઠવણી 5! રીતે કરી શકાય.
આમ, મળતા કુલ શબ્દોની સંખ્યા
= 30 × 5!
= 30 × 120
= 3600

પ્રશ્ન 2.
EQUATION શબ્દના બધા મૂળાક્ષરોનો એકસમયે ઉપયોગ કરીને સ્વરો અને વ્યંજનો એક જ સાથે આવે તે રીતે અર્થસભર કે અર્થ રહિત કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?
ઉત્તરઃ
‘EQUATION’ શબ્દના મૂળાક્ષરોમાં 5 સ્વરો E, U, A, I, O છે, જેમનું એક જૂથ બનાવીએ. 3 વ્યંજનો છુ, T, N છે, તેમનું બીજું જૂથ બનાવીએ, જે નીચે દર્શાવેલ છે :

આ બે જૂથની ગોઠવણી 2! રીતે થાય.
હવે, 5 સ્વરોની ગોઠવણી જૂથમાં 5 ! રીતે થાય અને 3 વ્યંજનોની ગોઠવણી અન્ય જૂથમાં 3! ૨ીતે થાય.
આથી સ્વરો અને વ્યંજનો એકસાથે આવે તેવા શબ્દોની
સંખ્યા
= 2! × 5 ! × 3!
= 2 × 120 × 6
= 1440

પ્રશ્ન 3.
9 કુમારો અને 4 કુમારીઓમાંથી 7 સભ્યોની સમિતિ બનાવવી છે, જેમાં ( 1 ) બરાબર ૩ કુમારીઓ હોય, ( 2 ) ઓછામાં ઓછી ૩ કુમારીઓ હોય તથા (૩) વધુમાં વધુ ૩ કુમારીઓ હોય એવી કેટલી સમિતિની રચના થઈ શકે?
ઉત્તરઃ
અહીં, 9 કુમારો અને 4 કુમારીઓમાંથી 7 સભ્યોની સમિતિ બનાવવી છે.
(1) સમિતિમાં 3 કુમારીઓ હોય ત્યારે બાકીના 4 કુમારો હોય. 4 કુમારીઓમાંથી 3 કુમારીઓની અને 9 કુમારોમાંથી 4 કુમારોની પસંદગીના પ્રકારોની સંખ્યા
= ⁴C₃ × ⁹C₃
= \(\frac{4 !}{3 ! 1 !} \times \frac{9 !}{4 ! 5 !}\)
= \(\frac{4 \times 3 !}{3 !} \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 !}\)
= 4 × 126
= 504
∴ બરાબર 3 કુમારીઓ હોય તેવી 504 સમિતિઓ બને.

(2) સમિતિમાં ઓછામાં ઓછી 3 કુમારીઓ હોય. અહીં નીચે મુજબ વિકલ્પો મળે :
સમિતિમાં 3 કુમારીઓ અને 4 કુમારો હોય) અથવા 4 કુમારીઓ (અને 3 કુમારો હોય) જેની પસંદગીના પ્રકારોની સંખ્યા = ⁴C₃ × ⁹C₄ + ⁴C₄ × ⁹C₃
= \(\frac{4 !}{3 ! 1 !} \times \frac{9 !}{4 ! \times 5 !}+1 \times \frac{9 !}{3 ! 6 !}\)
= \(\frac{4 \times 3 !}{3 !} \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 !}+\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{3 \times 2 \times 1 \times 6 !}\)
= 504 + 84
= 588

(૩) વધુમાં વધુ 3 કુમારીઓ હોય.
અહીં, નીચે મુજબ વિકલ્પો મળે :

કુમારીઓ (4માંથી)	કુમારો (9માંથી)
3	4
2	5
1	6
0	7

∴ માગેલા પ્રકારોની સંખ્યા

= 504 + 756 + 336 + 36
= 1632

પ્રશ્ન 4.
EXAMINATION શબ્દના તમામ ભિન્ન ક્રમચયોને જો શબ્દકોશ પ્રમાણે ગોઠવી યાદી બનાવવામાં આવે તો પ્રથમ શબ્દ Eથી શરૂ થાય તે શબ્દ પહેલાં કેટલા શબ્દો હશે?
ઉત્તરઃ
EXAMINATION શબ્દમાં કુલ 11 અક્ષરો છે. જેમાં A બે વખત, N બે વખત, I બે વખત છે અને બાકીના અક્ષરો ભિન્ન છે.
હવે, આ શબ્દના બધા જ અક્ષરોના ક્રમચયોને શબ્દકોશ પ્રમાણે ગોઠવતા પ્રથમ શબ્દ થી શરૂ થાય તે પહેલાં બધા જ શબ્દોમાં પ્રથમ અક્ષર A હશે.
આથી પ્રથમ અક્ષર A હોય તેવા ક્રમચયો શોધીએ. અહીં, પ્રથમ અક્ષર A સ્થિત (fix) કરી દઈએ. હવે, બાકી રહેલા 10 અક્ષરોમાં N બે વખત, I બે વખત છે અને બાકીના અક્ષરો ભિન્ન છે.
∴ પ્રથમ અક્ષર A હોય તેવા ક્રમચયોની સંખ્યા
= \(\frac{10 !}{2 ! 2 !}=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 2}\)
= 9,07,200
આમ, પ્રથમ શબ્દ Eથી શરૂ થાય તે શબ્દ પહેલાં 9,07,200 શબ્દો હશે.

પ્રશ્ન 5.
અંકો 0, 1, 3, 5, 7 અને 9ના ઉપયોગથી પુનરાવર્તન વગર 6 અંકોની 10 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી કેટલી સંખ્યાઓ બને?
ઉત્તરઃ
અહીં, 0, 1, 3, 5, 7, 9 અંકો વડે 6 અંકોની 10 વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓ બનાવવાની છે.
સંખ્યા 10 વડે વિભાજ્ય થવા તેમાં એકમનો અંક છ હોવો જોઈએ. આથી અહીં એકમના સ્થાને ‘0’ સ્થિત (fix) કરી દઈએ.

હવે, આગળના 5 અંકોની ગોઠવણી 1, 3, 5, 7, 9 વડે 5! રીતે થાય.
∴ માગેલી સંખ્યાઓ = 5! × 1
= 120

પ્રશ્ન 6.
અંગ્રેજી વર્ણમાળામાં 5 સ્વરો અને 21 વ્યંજનો છે. મૂળાક્ષરોમાંથી 2 ભિન્ન સ્વરો અને 2 ભિન્ન વ્યંજનો દ્વારા કેટલા શબ્દો બનાવી શકાય?
ઉત્તરઃ
5 સ્વરોમાંથી 2 ભિન્ન સ્વરોની પસંદગી ⁵C₂ રીતે અને 21 વ્યંજનોમાંથી 2 ભિન્ન વ્યંજનોની પસંદગી ²¹C₂ રીતે થાય. આમ, અહીં પસંદગીના પ્રકારોની સંખ્યા
= ⁵C₂ × ⁵C₂
= \(\frac{5 !}{2 ! \times 3 !} \times \frac{21 !}{2 ! \times 19 !}\)
= \(\frac{5 \times 4 \times 3 !}{2 \times 1 \times 3 !} \times \frac{21 \times 20 \times 19 !}{2 \times 1 \times 19 !}\)
= 10 × 210
= 2100
હવે, દરેક પસંદગીમાં 4 ભિન્ન અક્ષરો રહેલા છે. આ 4 અક્ષરોની ગોઠવણી 4! રીતે કરી શકાય.
આથી 2 ભિન્ન સ્વરો અને 2 ભિન્ન વ્યંજનો દ્વારા બનતા શબ્દોની સંખ્યા = 2100 × 4 !
= 2100 × 4 × 3 × 2 × 1
= 50,400

પ્રશ્ન 7.
એક પરીક્ષામાં 12 પ્રશ્નો ધરાવતું પ્રશ્નપત્ર બે ભાગમાં વહેંચાયેલું છે. ભાગ માં 5 પ્રશ્નો અને ભાગ 11માં 7 પ્રશ્નો આવેલા છે. દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા 3 પ્રશ્નો પસંદ કરીને વિદ્યાર્થીએ કુલ 8 પ્રશ્નોના જવાબનો પ્રયત્ન કરવો જરૂરી છે. વિદ્યાર્થી કુલ કેટલા પ્રકારે પ્રશ્નો પસંદ કરી શકશે?
ઉત્તરઃ
અહીં, ભાગ 1માં 5 પ્રશ્નો અને ભાગ IIમાં 7 પ્રશ્નો છે. વિદ્યાર્થીને 8 પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. જેમાં દરેક ભાગમાંથી ઓછામાં ઓછા 3 પ્રશ્નો હોવા જોઈએ.
અહીં, પ્રશ્નોની પસંદગીમાં નીચે મુજબ વિકલ્પો મળે :

ભાગ 1 (5 પ્રશ્નોમાંથી)	ભાગ II (7 પ્રશ્નોમાંથી)
3	5
4	4
5	5

આથી માગેલા પ્રકારોની સંખ્યા
= ⁵C₃ x ⁷C₅ + ⁵C₄ × ⁷C₄+ ⁵C₅ × ⁷C₃
= \(\frac{5 !}{3 ! 2 !} \times \frac{7 !}{5 ! 2 !}+\frac{5 !}{4 ! 1 !} \times \frac{7 !}{4 ! 3 !}+1 \times \frac{7 !}{3 ! 4 !}\)
= \(\frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{7 \times 6}{2 \times 1}+5 \times \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}+\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}\)
= (10 × 21) + (5 × 35) + 35
= 210 + 175 + 35
= 420

પ્રશ્ન 8.
52 પત્તાંમાંથી 5 પત્તાંની પસંદગીમાં બરાબર એક બાદશાહ આવે તે કેટલા પ્રકારે નક્કી કરી શકાય?
ઉત્તરઃ
અહીં, 52 પત્તાંમાંથી 5 પત્તાંની પસંદગી કરવાની છે, જેમાં બરાબર એક બાદશાહ આવે.
52 પત્તાંમાં 4 બાદશાહ હોય છે. આ 4 બાદશાહમાંથી 1ની પસંદગી ⁴C₁‚ રીતે થાય. હવે, બાદશાહ સિવાયનાં 52 – 4 = 48
પત્તાંમાંથી બાકી રહેલાં 4 પત્તાંની પસંદગી ⁴⁸C₄ રીતે થાય.
∴ માગેલા પ્રકારોની સંખ્યા = ⁴C₁ × ⁴⁸C₄
= 4 × \(\frac{48 !}{4 ! \times 44 !}\)
= 4 × \(\frac{48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 44 !}\)
= 7,78,320

પ્રશ્ન 9.
5 પુરુષો અને 4 સ્ત્રીઓને હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાં છે કે સ્ત્રીઓ યુગ્મ સ્થાન પર હોય. આવી કેટલી ગોઠવણી શક્ય બને?
ઉત્તરઃ
અહીં, 5 પુરુષો અને 4 સ્ત્રીઓને હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે સ્ત્રીઓ યુગ્મ સ્થાન પર હોય.
અહીં, હારમાં કુલ 5 + 4 = 9 સ્થાન છે, જેમાં યુગ્મ-સ્થાન બીજું, ચોથું, છઠ્ઠું અને આઠમું છે.
આ 4 સ્થાનો પર 4 સ્ત્રીઓની ગોઠવણી 4! રીતે કરી શકાય અને બાકીનાં 5 સ્થાનો પર 5 પુરુષોની ગોઠવણી 5! રીતે કરી શકાય.
આમ, માગેલ ગોઠવણીના પ્રકારોની સંખ્યા
= 4! × 5!
= (4 × 3 × 2 × 1) × (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 24 × 120
= 2880

પ્રશ્ન 10.
25 વિદ્યાર્થીઓના વર્ગમાં 10 વિદ્યાર્થીઓને પર્યટન પર લઈ જવા માટે પસંદ કરવાના છે. ત્રણ વિદ્યાર્થીઓએ એવું નક્કી કર્યું કે કાં તો એ ત્રણેય પર્યટન પર જશે અથવા ત્રણેયમાંથી કોઈ નહિ જાય. પર્યટન પર લઈ જવા માટે વિદ્યાર્થીઓને કેટલા પ્રકારે પસંદ કરી શકાય?
ઉત્તરઃ
અહીં, 25 વિદ્યાર્થીઓમાંથી 10 વિદ્યાર્થીઓને પસંદ કરવાના છે. જેમાં 3 ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ હોય અથવા 3 ચોક્કસ વિદ્યાર્થીઓ ન હોય.
(1) 3 વિદ્યાર્થીઓ પર્યટન ૫૨ જવાનું નક્કી કરે તો બાકી રહેલા 25 – 3 = 22 વિદ્યાર્થીઓમાંથી અન્ય 7 વિદ્યાર્થીઓની જ પર્યટન પર લઈ જવા માટે પસંદગી કરવાની બાકી રહે, જે ²²C₇ રીતે થઈ શકે.
( 2 ) 3 વિદ્યાર્થીઓ પર્યટન પર જવાની ના પાડે તો બાકી રહેલા 25 – 3 = 22 વિદ્યાર્થીઓમાંથી પર્યટન પર લઈ જવા માટે 10 વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી કરવી પડે, જે ²²C₁₀ રીતે થઈ શકે.
આમ, માગેલા પ્રકારોની સંખ્યા = ²²C₇ + ²²C₁₀

પ્રશ્ન 11.
તમામ S સાથે આવે તે રીતે ASSASSINATION શબ્દના મૂળાક્ષરોની ગોઠવણી કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?
ઉત્તરઃ
ASSASSINATION શબ્દમાં કુલ 13 મૂળાક્ષરો છે. જેમાં A ત્રણ વખત, S ચાર વખત, I બે વખત, N બે વખત છે અને બાકીના મૂળાક્ષરો ભિન્ન છે. હવે, તમામ S સાથે આવે તેવી ગોઠવણી કરવા માટે ચારેય Sનું એક જૂથ બનાવીએ અને આ જૂથને એક જ અક્ષર તરીકે લઈએ તો આ જૂથ અને S સિવાયના 13 – 4 = 9 અક્ષરો એમ કુલ 10 અક્ષરો ગણાય. જેમાં A ત્રણ વખત, I બે વખત, N બે વખત છે અને બાકીના બે અક્ષરો ભિન્ન છે, જે નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છેઃ

વળી, જૂથમાં ચાર Sની ગોઠવણી 1 રીતે જ થઈ શકે.
આમ, તમામ S સાથે આવે તે રીતે ASSASSINATION
શબ્દના મૂળાક્ષરોની ગોઠવણીના પ્રકારોની સંખ્યા
= 1 × \(\frac{10 !}{3 ! \times 2 ! \times 2 !}\)
= \(\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2 \times 2}\)
= 1,51,200