GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 15 આંકડાશાસ્ત્ર Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 15 આંકડાશાસ્ત્ર Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 15 આંકડાશાસ્ત્ર Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
આઠ અવલોકનોના મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે 9 અને 9.25 છે, જો આમાંથી છ અવલોકનો 6, 7, 10, 12, 12 અને 13 હોય, તો બાકીનાં બે અવલોકનો શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, n = 8, x̄ = 9, વિચરણ (σ²) = 9.25 તથા છ અવલોકનો 6, 7, 10, 12, 12, 13 આપેલા છે.
ધારો કે, બાકીનાં બે અવલોકનો x₁ અને x₂ છે.

∴ 90.25 × 8 = 642 + x₁² + x₂²
∴ 722 = 642 + x₁² + x₂²
∴ x₁² + x₂² = 80 ……..(2)
હવે, (x₁ + x₂)² = x₁² + x₂² + 2x₁x₂
∴ (12)² = 80 + 2x₁x₂ [ (1) અને (2) પરથી]
∴ 144 – 80 = 2x₁x₂ …… (2)
∴ 2x₁x₂ = 64
∴ x₁x₂ = 32 …… (3)
હવે, (x₁ – x₂)² = x₁² + x₂² −2x₁x₂
= 80 – 2 × 32 [ (2) અને (3) પરથી]
= 16

∴ x₁ – x₂ = ± 4
∴ x₁ – x₂ = 4 ………..(4)
અથવા x₁ − x₂ = – 4 ……….(5)
(1) અને (4)નો સરવાળો કરતાં,
2x₁ = 16 ∴ x₁ = 8
∴ (1) પરથી, 8 + x₂ = 12 ∴ x₂ = 4
(1) અને (5)નો સરવાળો કરતાં,
2x₁ = 8 ∴ x₁ = 4
∴ (1) પરથી, 4 + x₂ = 12 ∴ x₂ = 8
∴ x₁ = 8, x₂ = 4 અથવા x₁ = 4, x₂ = 8
તેથી બાકીનાં બે અવલોકનો 4 અને 8 છે.

પ્રશ્ન 2.
સાત અવલોકનોના મધ્યક તથા વિચરણ અનુક્રમે 8 અને 16 છે. જો આમાંથી પાંચ અવલોકનો 2, 4, 10, 12, 14 હોય, તો બાકીનાં બે અવલોકનો શોધો.
ઉત્તરઃ
દાખલા નંબર (1) મુજબ.
જવાબ : 6 અને 8

પ્રશ્ન 3.
6 અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે 8 અને 4 છે. જો પ્રત્યેક અવલોકનને 3 વડે ગુણવામાં આવે, તો પરિણામી અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, પ્રમાણિત વિચલન = 4 આપેલ છે.
n = 6, x̄ = 8
ધારો કે, છ અવલોકનો x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆

હવે, દરેક અવલોકનોને 3 વડે ગુણતાં મળતાં નવાં અવલોકનો 3x₁, 3x₂, 3x₃, 3x₄, 3x₅, 3x₆ થશે.

પ્રશ્ન 4.
જો n અવલોકનો x₁, x₂, ……………….. , x_nના મધ્યક x̄ અને વિચરણ σ² હોય, તો સાબિત કરો કે, અવલોકનો ax₁, ax₂, ax₃, ……………….., ax_n ના મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે ax̄ અને a²σ² છે, (a ≠ 0).
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
20 અવલોકનોના મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે 10 અને 2 છે, પુનઃતપાસ કરતાં માલૂમ પડ્યું કે અવલોકન 8 ખોટું છે. નીચે આપેલ પ્રત્યેક કિસ્સામાં સાચો મધ્યક અને સાચું પ્રમાણિત વિચલન શોધો :
(1) ખોટા અવલોકનને દૂર કરવામાં આવે.
(2) તેને બદલે 12 મૂકવામાં આવે.
ઉત્તરઃ
અહીં, n = 20, x̄ = 10, પ્રમાણિત વિચલન = 2 આપેલ છે.
x̄ = \(\frac{\sum x_i}{20}\)
∴ 10 = \(\frac{\sum x_i}{20}\)
∴ Σx_i = 200 ……….(1)

∴ Σx_i² = 2080 ………………(2)
(1) સાચો Σx_i = Σx_i – ખોટું અવલોકન
જ્યાં, ખોટું અવલોકન = 8
= 200 – 8 [∵ (1) પરથી]
= 192
સાચો Σx_i = Σx_i² – (ખોટું અવલોકન)²
= 2080 – (8)²
= 2080 – 64
= 2016
હવે, ખોટા અવલોકનને બાદ કરતાં,
∴ સાચો n = 20 – 1 = 19

તેથી સાચો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે 10.1 અને 2.02 છે.

(2) સાચી કિંમત = 12, ખોટી કિંમત = 8
∴ સાચો Σx_i = Σx_i – (ખોટી કિંમત) + (સાચી કિંમત)
= 200 – 8 + 12 [∵ (1) પરથી]
= 204

સાચો Σx_i² = Σx_i² – (ખોટી કિંમત)² + (સાચી કિંમત)²
= 2080 – (8)² + (12)² [∵ (2) પરથી]
= 2080 – 64 + 144
= 2080 + 80
= 2160

તેથી સાચો મધ્યક અને સાચું પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે 10.2 અને 1.98 છે.

પ્રશ્ન 6.
એક ધોરણના 50 વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા ત્રણ વિષયો ગણિત, ભૌતિક- શાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રમાં મેળવેલા ગુણનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન નીચે મુજબ છેઃ

કયા વિષયમાં સૌથી વધુ વિચરણ અને કયા વિષયમાં સૌથી ઓછું વિચરણ છે?
ઉત્તરઃ
આપણે ત્રણેય વિષયના ચલનાંક શોધીશું.

તેથી રસાયણશાસ્ત્રનો ચલનાંક સૌથી વધુ અને ગણિતનો ચલનાંક સૌથી ઓછો છે.

પ્રશ્ન 7.
100 અવલોકનોના સમૂહનો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે 20 અને 3 છે. પછીથી જાણ થાય છે કે ત્રણ અવલોકનો 21, 21 અને 18 ખોટાં હતાં. આ ખોટાં અવલોકનોને દૂર કરવામાં આવે, તો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, n = 100, x̄ = 20, પ્રમાણિત વિચલન = 3 આપેલ છે. ખોટાં અવલોકનો : 21, 21, 18

∴ Σx_i² = 40900 …………(2)
સાચો Σx_i = Σx_i − (ખોટાં અવલોકનો)
= 2000 – (21 + 21 + 18) [∵ (1) પરથી]
= 2000 – 60
= 1940

સાચો Σx_i² = Σx_i² – (ખોટાં અવલોકનોના વર્ગોનો સરવાળો)
= 40900 – [(21)² + (21)² + (18)²]
= 40900 – (441 + 441 + 324)
= 40900 – 1206
= 39694
ખોટાં અવલોકનો દૂર કર્યા બાદ
સાચો n = 100 – 3 = 97

તેથી ખોટાં અવલોકનો દૂર કર્યા બાદ મળતો મધ્યક અને પ્રમાણિત વિચલન અનુક્રમે 20 અને 3.036 છે.