GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.2

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.2

નીચેના પ્રશ્નક્રમાંક 1થી 6 માટે નાભિના યામ, પરવલયના અક્ષનું સમીકરણ, નિયામિકાનું સમીકરણ અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો :

પ્રશ્ન 1.
y² = 12x
ઉત્તરઃ
અહીં, પરવલયનું સમીકરણ y² = 12x છે, જેને y² = 4ax સાથે સરખાવતાં,
40 = 12 ∴ a = 3
∴ નાભિના યામ (a, 0) = (3, 0) છે.
અક્ષનું સમીકરણ u = 0 અર્થાત્ X-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ x + a = 0 અર્થાત્ x + 3 = 0 અર્થાત્ x = −3 છે.
નાભિલંબની લંબાઈ 40 = 12 છે.

પ્રશ્ન 2.
x² = 6y
ઉત્તરઃ
અહીં, પરવલયનું સમીકરણ x² = 6y છે, જેને x² = 4ay સાથે સરખાવતાં,
4a = 6
∴ a = \(\frac{3}{2}\)
∴ નાભિના યામ (0, a) = (o, \(\frac{3}{2}\)) છે.
અક્ષનું સમીકરણ x = 0 અર્થાત્ Y-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ y + a = 0 અર્થાત્ y + \(\frac{3}{2}\) = 0
અર્થાત્ Y = –\(\frac{3}{2}\) છે.
નાભિલંબની લંબાઈ 4a = 6 છે.

પ્રશ્ન 3.
y² =- 8x
ઉત્તરઃ
અહીં, પરવલયનું સમીકરણ y² = 8x છે, જેને y² = -4ax સાથે સરખાવતાં,
4a = 8 ∴ a = 2
∴ નાભિના યામ (−a, 0) = (− 2, 0) છે.
અક્ષનું સમીકરણ y = 0 અર્થાત્ X-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ x – a = 0 અર્થાત્ x − 2 = 0 અર્થાત્ x = 2 છે.
નાભિલંબની લંબાઈ 4a = 8 છે.

પ્રશ્ન 4.
x² = – 16y
ઉત્તરઃ
અહીં, પરવલયનું સમીકરણ x² = -16y છે, જેને x² = -4ay સાથે સરખાવતાં,
4a = 16 ∴ a = 4
∴ નાભિના યામ (0, − a) = (0, – 4) છે.
અક્ષનું સમીકરણ x = 0 અર્થાત્ Y-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ y − a = 0 અર્થાત્ y − 4 = 0 અર્થાત્ y = 4 છે.
નાભિલંબની લંબાઈ 4a = 16 છે.

પ્રશ્ન 5.
y² = 10x
ઉત્તરઃ
અહીં, પરવલયનું સમીકરણ y² = 10x છે, જેને y² = 4ax સાથે સરખાવતાં,
4a = 10 ∴ a = \(\frac{5}{2}\)
∴ નાભિના યામ (a, 0) = (\(\frac{5}{2}\), o) છે. ૦)
અક્ષનું સમીકરણ y = 0 અર્થાત્ X-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ x + a = 0 અર્થાત્ x + \(\frac{5}{2}\) = 0
અર્થાત્ x = – \(\frac{5}{2}\) છે.
નાભિલંબની લંબાઈ 4a = 10 છે.

પ્રશ્ન 6.
x² = − 9y
ઉત્તરઃ
અહીં, પરવલયનું સમીકરણ x² = – 9y છે, જેને x² = – 4ay સાથે સરખાવતાં,
4a = 9 ∴ a = \(\frac{9}{4}\)
∴ નાભિના યામ (0, − a) = (o, \(\frac{-9}{4}\)) છે.
અક્ષનું સમીકરણ x = 0 અર્થાત્ Y-અક્ષ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ y −a = 0 અર્થાત્ y – \(\frac{9}{4}\) = 0
અર્થાત્ y = \(\frac{9}{4}\) છે. !
નાભિલંબની લંબાઈ 4a = 9 છે.

નીચેના પ્રશ્નક્રમાંક 7થી 12માં આપેલી શરતો પ્રમાણે પરવલયનું સમીકરણ મેળવો :

પ્રશ્ન 7.
નાભિ (6, 0); નિયામિકા x = – 6
ઉત્તરઃ
અહીં, નિયામિકાનું સમીકરણ x = – 6 છે, જે Y-અક્ષને સમાંતર છે.
ધારો કે, પરવલયનું સમીકરણ, y² = 4ax ……..(1)
∴ તેની નાભિ (a, 0) = (6, 0) આપેલ છે.
∴ a = 6, જે સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
પરવલયનું સમીકરણ y² = 24x થશે.

પ્રશ્ન 8.
નાભિ (0, −3); નિયામિકા y = 3
ઉત્તરઃ
અહીં, નિયામિકાનું સમીકરણ y = 3 છે,
જે X-અક્ષને સમાંતર છે.
ધારો કે, ૫૨વલયનું સમીકરણ x² = – 4au
∴ તેની નાભિ (0, – a) = (0, − 3) આપેલ છે.
∴ a = 3 જે સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
પરવલયનું સમીકરણ x² = – 12y થશે.

પ્રશ્ન 9.
શિરોબિંદુ (0, 0); નાભિ (3, 0)
ઉત્તરઃ
અહીં, શિરોબિંદુ (0, 0) અને નાભિ (3, 0) છે.
ધારો કે, પરવલયનું સમીકરણ
y² = 4ax ……(1)
∴ તેની નાભિ (a, 0) = (3, 0) આપેલ છે.
∴ a = 3 જે સમીકરણ (1)માં મૂકતાં, પરવલયનું સમીકરણ પુ = 12x થશે.

પ્રશ્ન 10.
શિરોબિંદુ (0, 0); નાભિ (– 2, 0)
ઉત્તરઃ
અહીં, શિરોબિંદુ (0, 0) અને નાભિ (–2, 0) છે.
ધારો કે, પરવલયનું સમીકરણ
y² = 4ax ……(1)
∴ તેની નાભિ (−a, 0) = (– 2, 0) આપેલ છે.
∴ a = 2 જે સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
પરવલયનું સમીકરણ y² = – 8x થશે.

પ્રશ્ન 11.
શિરોબિંદુ (0, 0), (2, 3)માંથી પસાર થતાં અને X-અક્ષ જેનો અક્ષ હોય.
ઉત્તરઃ
અહીં, પરવલયનું શિરોબિંદુ (0, 0) અને તેનો અક્ષ એ X-અક્ષ છે. ધારો કે, પરવલયનું સમીકરણ
y² = 4ax
આ પરવલય બિંદુ (2, 3)માંથી પસાર થાય છે.
∴ (3)² = 4a (2)
∴ 9 = 8a
∴ a = \(\frac{9}{8}\) સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
પરવલયનું સમીકરણ y² = \(\frac{9}{2}\)x
∴ 2y² = 9x

પ્રશ્ન 12.
શિરોબિંદુ (0, 0), (5, 2)માંથી પસાર થતાં અને -અક્ષ પ્રત્યે સંમિત.
ઉત્તરઃ
અહીં, પરવલયનું શિરોબિંદુ (0, 0) છે અને તે Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત છે.
∴ તેનો અક્ષ એ Y-અક્ષ છે.
ધારો કે, પરવલયનું સમીકરણ
x² = 4ay
આ પરવલય (5, 2)માંથી પસાર થાય છે.
∴ (5)² = 4a (2)
∴ 25 = 8a
∴ a = \(\frac{25}{8}\) જે સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
∴ પરવલયનું સમીકરણ x² = \(\frac{25}{2}\)y
2x² = 25y