GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.1

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.1

નીચેના પ્રશ્નો 1થી 5 પૈકી પ્રત્યેકમાં વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો:

પ્રશ્ન 1.
કેન્દ્ર (0, 2) અને 2 ત્રિજ્યાવાળા
ઉત્તરઃ
(h, k) કેન્દ્ર અને r ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ
(x – h)² + (y – k)² = r² છે.
અહીં, (h, k) = (0, 2) અને r = 2
∴ માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ (x – 0)² + (y – 2)² = 2²
∴ x² + y² – 4y + 4 = 4
∴ x² + y² – 4y = 0

પ્રશ્ન 2.
કેન્દ્ર (– 2, 3) અને 4 ત્રિજ્યાવાળા
ઉત્તરઃ
(h, k) કેન્દ્ર અને ૪ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ
(x – h)² + (y – k)² = r² છે.
અહીં, (h, k) = (– 2, 3) અને r = 4
∴ માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ (x + 2)² + (y – 3)² = 4²
∴ x² + 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 16
∴ x² + y² + 4x – 6y – 3 = 0

પ્રશ્ન 3.
કેન્દ્ર (\(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\)) અને \(\frac{1}{12}\) ત્રિજ્યાવાળા
ઉત્તરઃ
(h, k) કેન્દ્ર અને 1 ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ
(x – h)² + (y – k)² = r² છે.
અહીં, (h, k) = (\(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\)) અને r = \(\frac{1}{12}\)
∴ માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ
(x − \(\frac{1}{2}\))² + (y − \(\frac{1}{4}\))² = (\(\frac{1}{2}\))²
∴ x² – x + \(\frac{1}{4}\) + y² – \(\frac{1}{2}\)y + \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{1}{144}\)
∴ 36x² + 36y² – 36x – 18y + 11 = 0

પ્રશ્ન 4.
કેન્દ્ર (1, 1) અને √2 ત્રિજ્યાવાળા
ઉત્તરઃ
(h, k) કેન્દ્ર અને ૪ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ (x − h)² + (y − k)² = r²
અહીં, (h, k) = (1, 1) અને r = √2
∴ માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ (x – 1)² + (y – 1)² = (√2 )²
∴ x² – 2x + 1 + y² – 2y + 1 = 2
∴ x² + y² – 2x – 2y = 0

પ્રશ્ન 5.
કેન્દ્ર (-a, -b) અને \(\sqrt{a^2-b^2}\) ત્રિજ્યાવાળા
ઉત્તરઃ
(h, k) કેન્દ્ર અને 1 ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ (x − h)² + (y − k)² = r²
અહીં, (h, k) = (−a, −b) અને r = \(\sqrt{a^2-b^2}\)
∴ માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ
(x + a)² + (y + b)² = (\(\sqrt{a^2-b^2}\))²
∴ x² + 2ax + a² + y² + 2by + b2 = a² – b²
∴ x² + y² + 2ax + 2by + 2b² = 0

નીચેના પ્રશ્નો 6થી 9 પૈકી પ્રત્યેકમાં વર્તુળનું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા શોધો :

પ્રશ્ન 6.
(x + 5)² + (y – 3)² = 36
ઉત્તરઃ
(x + 5)² + (y − 3)² = 36ને
(x − h)² + (y − k)² = r² સાથે સરખાવતાં,
h = =-5, k = 3 અને r² = 36
∴ કેન્દ્ર C (h, k), એટલે કે C (− 5,8) અને ત્રિજ્યા r = 6.

પ્રશ્ન 7.
x² + y² – 4x – 8y – 45 = 0
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ સમીકરણ x² + y² – 4x – 8y – 45 = 0 છે.
(x² – 4x) + (y² – 8y) = 45
∴ (x² – 4x + 4) + (y² − 8y + 16) = 45 + 4 + 16
∴ (x – 2)² + (y – 4)² = 65ને (x− h)² + (y − k)² = r² સાથે સરખાવતાં,
h = 2, k = 4 અને r² = 65
∴ કેન્દ્ર C(h, k), 224 3 C(2, 4) 27

પ્રશ્ન 8.
x² + y² – 8x + 10y – 12 = 0
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ સમીકરણ x² + y² – 8x + 10y – 12 = 0 છે.
∴ (x² – 8x) + (y² + 10y) = 12
∴ (x² – 8x + 16) + (y² + 10y + 25) = 12+ 16 + 25
∴ (x − 4)² + (y + 5)² = 53+ (x – h)² + (y – k)² = r સાથે સરખાવતાં,
h = 4, k = -5 અને r² = 53
∴ C(h, k), એટલે કે C(4, -5) 27 અને ત્રિજ્યા r = \(\sqrt{53}\)

પ્રશ્ન 9.
2x² + 2y² – x = 0
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ સમીકરણ 2x² + 2y² – x = 0 છે.

પ્રશ્ન 10.
જેનું કેન્દ્ર રેખા 4x + U = 16 ઉપર હોય તથા જે (4, 1) અને (6, 5)માંથી પસાર થતું હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (4, 1) અને B (6, 5) માગેલા વર્તુળ પરનાં બિંદુઓ છે.
ધારો કે, C (h, k) આ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.
∴ CA² = CB² = (Aru)²
∴ (h − 4)² + (k − 1)² = (h − 6)² + (k − 5)²
∴ h² – 8h + 16 + k² − 2k + i
= h² – 12h +36 + k² – 10y + 25
∴ 4h + 8k = 44
∴ h + 2k = 11 ……….(1)
વળી, C (h, k) એ રેખા 4x + y = 16 પર છે.
∴ 4h + k = 16 ….(2)
8h + 2k = 32 (સમીકરણ (2)ને 2 વડે ગુણતાં)
સમીકરણ (3) અને સમીકરણ (1)ની બાદબાકી કરતાં,
7h = 21 ∴ h = 3
4 (3) + k = 16 ( (2) પરથી)
∴ 12 + k = 16
∴ k = 4
∴ કેન્દ્ર C (3, 4) છે.
∴ ત્રિજ્યા = CA = \(\sqrt{(4-1)^2+(3-4)^2}\)
= \(\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)

∴ માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ (x-h)? + (u-k)2 = r અનુસાર,
(x – 3)² + (y – 4)² = (\(\sqrt{10}\))²
∴ x² – 6x + 9 + y² – 89 + 16 = 10
∴ x² + y² – 6x – 89 + 15 = 0

પ્રશ્ન 11.
જેનું કેન્દ્ર રેખા x – 3y – 11 = ૦ ઉપર હોય તથા જે (2, 3) અને (– 1, 19માંથી પસાર થતું હોય તેવા વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
ઉકેલઃ દાખલા નં. 10 મુજબ.
જવાબઃ x + 2 − 7x + 59 – 14 = 0

પ્રશ્ન 12.
જેનું કેન્દ્ર X-અક્ષ પર હોય અને જે (2, 3)માંથી પસાર થતું હોય અને જેની ત્રિજ્યા 5 હોય એવા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, C (h, 0) વર્તુળનું કેન્દ્ર છે, જે X-અક્ષ પર છે. આ વર્તુળ A (2, 3)માંથી પસાર થાય છે, અને તેની ત્રિજ્યા 5 છે.
∴ CA = 5
∴ \(\sqrt{(h-2)^2+(0-3)^2}\) = 5
∴ (h – 2)² + 9 = 25
∴ (h – 2)² = 16
∴ h – 2 = + 4
∴ h – 2 = 4 અથવા h–2 = -4
∴ h = 6 અથવા h = – 2
∴ એવાં બે વર્તુળો છે, જે આપેલ શરતોનું પાલન કરે છે અને તેમનાં કેન્દ્રો (6, 0) અને (– 2, 0) છે.
∴ માગેલાં વર્તુળોનાં સમીકરણો
(x – 6)² + (y – 0)² = 52 અને (x + 2)² + (y – 0)² = 5²
એટલે કે x² – 12x +36 + y² = 25 અને
x² + 4x + 4 + y² = 25
એટલે કે x² + y² − 12x + 11 = 0 અને
x² + y² + 4x – 21 = 0

પ્રશ્ન 13.
ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતાં અને અક્ષો પર અંતઃખંડ a અને b બનાવતાં વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.

ઉત્તરઃ
અહીં, વર્તુળ ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તે X અને Y અક્ષો પર અનુક્રમે a અને b અંતઃખંડો કાપે છે.
∴ તે X-અક્ષને A (a, 0) અને Y-અક્ષને (0, b)માં છેદે.
હવે, ∠AOB = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ AB આ વર્તુળનો વ્યાસ છે, જેનું મધ્યબિંદુ C એ વર્તુળનું કેન્દ્ર થશે.

∴ x² + y² – ax – by = 0

બીજી રીત :
\(\overline{\mathrm{AB}}\) એ આ વર્તુળનો વ્યાસ છે.
જ્યાં A= (a, 0) અને B = (0, b) છે.
∴ વ્યાસાંત બિંદુ સમીકરણ અનુસાર, આ વર્તુળનું સમીકરણ
(x – a) (x – 0) + (y – 0) (y – b) = 0
∴ x² – ax + y² – by = 0
∴ x² + y² – ax – by = 0

પ્રશ્ન 14.
કેન્દ્ર (2, 2)વાળા અને બિંદુ (4, 5)માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, વર્તુળનું કેન્દ્ર C (2, 2) છે અને આ વર્તુળ પરનું બિંદુ A (4, 5) છે.
∴ તેની ત્રિજ્યા = CA
= \(\sqrt{(4-2)^2+(5-2)^2}\)
= \(\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)
∴ માગેલા વર્તુળનું સમીકરણ (x – h)² + (y − k)² = r² અનુસાર,
(x – 2)² + (y – 2)² = (\(\sqrt{13}\) )²
∴ x² – 4x + 4 + y² – 4 + 4 = 13
∴ x² + y² – 4x – 4y = 5

પ્રશ્ન 15.
બિંદુ (– 2.5, 3.5) એ વર્તુળ x² + y² = 25ની અંદર, બહાર કે ઉપર છે તે નક્કી કરો.
ઉત્તરઃ
અહીં, વર્તુળનું સમીકરણ x² + y² = 25નું કેન્દ્ર 0 (0, 0) છે અને ત્રિજ્યા r = 5 છે.
ધારો કે, A (– 2.5, 3.5) છે.

∴ બિંદુથી વર્તુળના કેન્દ્રનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતાં ઓછું હોવાથી બિંદુ A તે આપેલા વર્તુળની અંદર છે.
નોંધઃ જો વર્તુળનું કેન્દ્ર C અને ત્રિજ્યા હોય અને
(1) CA > 7, તો A વર્તુળની બહાર છે.
(2) CA < r, તો A વર્તુળની અંદર છે.
(3) CA = 7, તો A વર્તુળ પર છે.