Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Ex 1.2 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 1 ગણ Ex 1.2
પ્રશ્ન 1.
નીચેનામાંથી ક્યા ગણ ખાલી ગણનાં ઉદાહરણ છે?
(1) 2 વડે વિભાજ્ય અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ
(2) યુગ્મ અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ
(૩) {x: x એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, x < 5 અને x > 7}
(4) {y: Y એ બે ભિન્ન સમાંતર રેખાઓનું સામાન્ય બિંદુ છે.}
ઉત્તરઃ
(1) 2 વડે વિભાજ્ય અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ :
2 વડે વિભાજ્ય હોય તેવી કોઈ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનું અસ્તિત્વ નથી. આથી આપેલ ગણ એક પણ ઘટક ધરાવતો નથી.
આમ, આપેલ ગણ ખાલી ગણનું ઉદાહરણ છે.
(2) યુગ્મ અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ :
માત્ર ‘2’ એવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, જે યુગ્મ છે અને અવિભાજ્ય છે. આપેલ ગણમાં એક ઘટક ‘2’ મળે.
આપેલ ગણ ખાલી ગણનું ઉદાહરણ નથી.
(૩) {x : x એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે, x < 5 અને x > 7} :
અહીં, 5 કરતાં નાની અને 7 કરતાં મોટી હોય એવી કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યાનું અસ્તિત્વ નથી. આથી આપેલ ગણ એક પણ ઘટક ધરાવતો નથી.
આમ, આપેલ ગણ ખાલી ગણનું ઉદાહરણ છે.
(4) {x : x એ બે ભિન્ન સમાંતર રેખાઓનું સામાન્ય બિંદુ છે. }
બે સમાંતર રેખાઓ ક્યારેય છેદતી નથી. આથી બે સમાંતર રેખાઓના સામાન્ય બિંદુનું અસ્તિત્વ નથી.
આથી આપેલ ગણ એક પણ ઘટક ધરાવતો નથી.
આમ, આપેલ ગણ ખાલી ગણનું ઉદાહરણ છે.
પ્રશ્ન 2.
નીચેનામાંથી કયા ગણ સાન્ત ગણ અને કયા ગણ અનંત ગણ છે?
(1) વર્ષના મહિનાઓનો ગણ
(2) {1, 2, 3, …}
(3) {1, 2, 3, ……… 99, 100}
(4) 100 કરતાં મોટા ધન પૂર્ણાંકોનો ગણ
(5) 99 કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ
ઉત્તરઃ
(1) વર્ષના મહિનાઓનો ગણ :
વર્ષના બાર મહિનાઓ હોવાથી આ ગણમાં બાર ઘટકો છે, જે સાન્ત છે.
આમ, આપેલ ગણ સાન્ત ગણ છે.
(2) {1, 2, 3, …}:
આ ગણમાં સભ્યોની સંખ્યા અનંત છે. આમ, આ ગણ અનંત ગણ છે.
(3) {1, 2, 3, … 99, 100}
આ ગણમાં સભ્યોની સંખ્યા 100 છે, જે સાન્ન છે.
આમ, આ ગણ સાન્ત ગણ છે.
(4) 100 કરતાં મોટા ધન પૂર્ણાંકોનો ગણ :
100 કરતાં મોટા ધન પૂર્ણાંકો 101 102, 103, અનંત છે.
આમ, આ ગણ અનંત ગણ છે.
(5) 99 કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ :
99 કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2, 3, 5, ……. 97 સાન્ત છે.
આમ, આ ગણ સાન્ત ગણ છે.
પ્રશ્ન 3.
નીચેના ગણોમાંથી કયા ગણ સાન્ત અને કયા ગણ અનંત છે, તે શોધો :
(1) x-અક્ષને સમાંતર રેખાઓનો ગણ
(2) અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોનો ગણ
(૩) 5ની ગુણિત સંખ્યાઓનો ગણ
(4) પૃથ્વી પર વસતાં પ્રાણીઓનો ગણ
(5) ઊગમબિંદુ (0, 0)માંથી પસાર થતાં વર્તુળોનો ગણ
ઉત્તરઃ
(1) x-અક્ષને સમાંતર રેખાઓનો ગણ :
x-અક્ષને સમાંતર અનંત રેખાઓ દોરી શકાય.
∴ આપેલ ગણ અનંત ગણ છે.
(2) અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોનો ગણ :
અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોની સંખ્યા 26 છે, જે સાન્ત છે.
∴ આપેલ ગણ સાન્ત ગણ છે.
(3) 5ની ગુણિત સંખ્યાઓનો ગણ :
5ની ગુણિત સંખ્યાઓ 5, 10, 15,
∴ આપેલ ગણ અનંત ગણ છે.
(4) પૃથ્વી પર વસતાં પ્રાણીઓનો ગણ :
પૃથ્વી પર વસતાં પ્રાણીઓની સંખ્યા ખૂબ જ મોટી છે.
પરંતુ તે અનંત નથી અને સાન્ત છે.
∴ આપેલ ગણ સાન્ત ગણ છે.
(5) ઊગમબિંદુ (0, 0)માંથી પસાર થતાં વર્તુળોનો ગણ
ઊગમબિંદુ (0, 0)માંથી પસાર થતાં અનંત વર્તુળો દોરી શકાય.
∴ આપેલ ગણ અનંત ગણ છે.
પ્રશ્ન 4.
નીચેનામાંથી નક્કી કરો કે A = B છે કે નહિ :
(1) A = {a, b, c, d}, B = {d, c, b, a}
(2) A = {4, 8, 12, 16}, B = {8, 4, 16, 18}
(3) A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {x:x એ યુગ્મ ધન પૂર્ણાંક છે અને x < 10}
(4) A = {x:x એ 10નો ગુણિત છે}, B = {10, 15, 20, 25, 30,…}
ઉત્તરઃ
(1) A = {a, b, c, d}, B = {d, c, b, a}
અહીં, ગણ Aનો પ્રત્યેક ઘટક એ ગણ Bનો પણ ઘટક છે અને ગણ Bનો પ્રત્યેક ઘટક ગણ Aનો પણ ઘટક છે. આથી ગણ A અને B સમાન ગણ છે.
∴ A = B
(2) A = {4, 8, 12, 16}, B = {8, 4, 16, 18} અહીં, 12 ∈ A પરંતુ 12 ∉ B અને 18 ∈ B પરંતુ 18 ∉ A
આથી આપેલ ગણ સમાન ગણ નથી.
∴ A ≠ B
(3) A = {2, 4, 6, 8, 10},
B = {x : x એ યુગ્મ ધન પૂર્ણાંક છે અને x ≤ 10}
અહીં, A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {2, 4, 6, 8, 10}
A અને Bના બધા જ સભ્યો સમાન છે.
∴ A અને B સમાન ગણ છે.
∴ A = B
(4) A = {x: xએ 10નો ગુણિત છે},
B = {10, 15, 20, 25, 30, …}
અહીં, A = {10, 20, 30, 40, …}
B = {10, 15, 20, 25, 30, …}
અહીં, 15 ∈ B પરંતુ 15 ∉ A, 25 ∈ B પરંતુ 25 ∉ A વગેરે.
આથી A અને B સમાન ગણ નથી.
∴ A ≠ B
પ્રશ્ન 5.
નીચે આપેલી જોડીઓના ગણ સમાન છે? કારણ આપો :
(1) A = {2, 8}, B = {x:x એ x2 + 5x + 6 = 0નો ઉકેલ છે.}
(2) A = {x:x એ FOLLOW શબ્દનો મૂળાક્ષર છે.}, B = {પુ છુ એ WOLF શબ્દનો મૂળાક્ષર છે.}
ઉત્તરઃ
(1) A = {2, 3},
B = {x:x એ x + 5x + 6 = 0નો ઉકેલ છે.}
અહીં, A = {2, 3}
હવે, x + 5x + 6 = 0
∴ (x + 3) (x + 2) = 0
∴ x + 3 = 0 અથવા x + 2 = 0
∴ x = − 3
અથવા x = ~2
∴ B = {− 3, -2}
અહીં, ગણ A અને Bના સભ્યો સમાન નથી. આથી
A અને B સમાન ગણો નથી.
∴ A ≠ B
(2) A = {x : x એ FOLLOW શબ્દનો મૂળાક્ષર છે.},
B = {u : પુ એ WOLF શબ્દનો મૂળાક્ષર છે.} અહીં, FOLLOW શબ્દના મૂળાક્ષરો F, O, L, L, O, W છે.
∴ A = {F, O, L, W}
WOLF શબ્દના મૂળાક્ષરો W, O, L, F છે.
∴ B = {W, 0, L, F}
અહીં, A અને Bના બધા જ સભ્યો સમાન છે. (ગણમાં સભ્યોના ક્રમનું મહત્ત્વ નથી.) આથી A અને B સમાન ગણો છે.
∴ A = B
પ્રશ્ન 6.
નીચે આપેલા ગણમાંથી સમાન ગણ પસંદ કરો:
A = {2, 4, 8, 12}
B = {1, 2, 3, 4}
C= {4, 8, 12, 14}
D = {3, 1, 4, 2}
E = {−1, 1}
F = {0, a}
G = {1, – 1}
H = {0, 1}
ઉત્તરઃ
અહીં, B = {1, 2, 3, 4} અને D = {3, 1, 4, 2}
ગણમાં ઘટકોનું પુનરાવર્તન ગણને બદલતું ન હોવાથી B અને D સમાન ગણ છે.
E = {− 1, 1} અને G = {1, − 1} ગણમાં ઘટકોનું પુનરાવર્તન ગણને બદલતું ન હોવાથી E અને G સમાન ગણ છે.