GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.5

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.5 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.5

પ્રશ્ન 1.
નીચે ત્રિકોણની બાજુઓ આપેલી છે. તે પૈકી કયા ત્રિકોણો કાટકોણ ત્રિકોણો છે, તે નક્કી કરો. જે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ હોય, તેના કર્ણની લંબાઈ શોધોઃ
(i)7 સેમી, 24 સેમી, 25 સેમી
(ii) 3 સેમી, 8 સેમી, 6 સેમી
(iii) 50 સેમી, 80 સેમી, 100 સેમી
(iv) 13 સેમી, 12 સેમી, 5 સેમી
ઉત્તરઃ
(i) 7 સેમી, 24 સેમી, 25 સેમી
અહીં, સૌથી મોટી બાજુ 25 સેમી છે.
25² = 625 અને 7² + 24² = 49 + 576 = 625
∴ 25² = 7² + 24²
અહીં, સૌથી મોટી બાજુની લંબાઈનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગના સરવાળા જેટલો છે. આથી 7 સેમી, 24 સેમી અને 25 સેમી બાજુઓવાળો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને તેના કર્ણની લંબાઈ 25 સેમી છે.

(ii) 3 સેમી, 8 સેમી, 6 સેમી
અહીં, સૌથી મોટી બાજુ 8 સેમી છે.
8² = 64 અને 3² + 6² = 9 + 36 = 45
∴ 8² ≠ 3² + 6²
આથી 3 સેમી, 8 સેમી અને 6 સેમી બાજુઓવાળો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.

(iii) 50 સેમી, 80 સેમી, 100 સેમી
અહીં, સૌથી મોટી બાજુ 100 સેમી છે.
100² = 10000 અને
50² + 80² = 2500 + 6400 = 8900
∴ 100² ≠ 50² + 80²
આથી 50 સેમી, 80 સેમી અને 100 સેમી બાજુઓવાળો છે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ નથી.

(iv) 13 સેમી, 12 સેમી, 5 સેમી
અહીં, સૌથી મોટી બાજુ 13 સેમી છે.
13² = 169 અને 12² + 5² = 144 + 25 = 169
13² = 12² + 5²
અહીં, સૌથી મોટી બાજુની લંબાઈનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગના સરવાળા જેટલો છે. આથી 13 સેમી, 12 સેમી અને 5 સેમી બાજુઓવાળો ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે અને તેના કર્ણની લંબાઈ 18 સેમી છે.

પ્રશ્ન 2.
ત્રિકોણ PQR માં ∠P કાટખૂણો છે અને આ એ QR પરનું એવું $ PM ⊥ QR. બિંદુ છે કે, PM² = QM. MR.
ઉત્તરઃ

ત્રિકોણ PQR માં ∠P કાટખૂણો છે અને M એ OR પરનું એવું બિંદુ છે કે PM ⊥ QR.
∆ RMP ~ ∆ PMQ ~ ∆ RPQ (પ્રમેય 6.7)
હવે, ∆ RMP ~ ∆ PMQ
∴ \(\frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{QM}}=\frac{\mathrm{RM}}{\mathrm{PM}}\)
∴ PM² = QM · MR

પ્રશ્ન 3.
આપેલ આકૃતિમાં, ત્રિકોણ ABD માં ∠A કાટખૂણો છે અને AC ⊥ BD. સાબિત કરો કે,

(i) AB² = BC . BD
(ii) AC² = BC . DC
(iii) AD² = BD . CD
ઉત્તરઃ
∆ ABD માં ∠A કાટખૂણો છે અને AC⊥BD.
∴ ∆ BCA ~ ∆ ACD ~ ∆ BAD (પ્રમેય 6.7)

(i) ∆ BCA ~ ∆ BAD
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DB}}=\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AB}}\)
∴ AB² = BC · BD

(ii) ∆ BCA ~ ∆ ACD
\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{DC}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)
∴ AC² = BC • DC

(iii) ∆ ACD ~ ∆ BAD
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BD}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AD}}\)
∴ AD² = BD. CD

પ્રશ્ન 4.
સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ ABCમાં 2 c કાટખૂણો છે. સાબિત – કરો કે, AB² = 2AC² ABC એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેમાં 2 C કાટખૂણો છે.
ઉત્તરઃ

આથી ∆ ABC માં AB કર્ણ છે અને બાકીની બે બાજુઓ સમાન છે, એટલે કે, BC = AC.
∆ ABC માં, ∠C = 90°
∴ પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
AB² = BC² + AC²
∴ AB² = AC² + AC² ( BC = AC)
∴ AB² = 2AC²

પ્રશ્ન 5.
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC માં AC = BC. જો AB² = 2AC² હોય, તો સાબિત કરો કે ABC કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
ઉત્તરઃ
∆ ABCમાં, AC = BC અને AB² = 2AC².
AB² = 2AC²
∴ AB² = AC² + AC²
∴ AB² = AC² + BC² ( AC = BC)
આથી પાયથાગોરસ પ્રમેયના પ્રતીપ મુજબ, ∆ ABC કાટકોણ ત્રિકોણ છે, જેમાં ∠C કાટખૂણો છે.

પ્રશ્ન 6.
સમબાજુ ત્રિકોણ ABCની બાજુ 24 છે. તેના દરેક વેધ શોધો. ∆ ABCમાં, AB = BC = CA = 2a.
ઉત્તરઃ

ધારો કે, AD એ ∆ ABCનો વેધ છે.
∴ ADB = ∠ADC = 90°
∆ ADB અને ∆ ADCમાં,
∠ADB = ∠ADC = 90°
AB = AC
AD = AD
∴ એકરૂપતાની કાકબા શરત મુજબ, ∆ ADB ≅ ∆ ADC
∴ BD = CD
પરંતુ, BD + CD = BC
∴ BD = CD = \(\frac{1}{2}\) BC = \(\frac{1}{2}\) (2a) = a
હવે, ∆ ADBમાં ∠D = 90°
પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
AB² = AD² + BD ²
∴ (2a)² = AD² + (a)²
∴ 4a² – a² = AD²
∴ AD² = 3a²
∴ AD = √3a
સમબાજુ ત્રિકોણના દરેક વેધ સમાન હોય છે. આમ, 20 બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ABCનો દરેક વેધ √3a છે.

પ્રશ્ન 7.
સાબિત કરો કે, સમબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો તેના વિકર્ણોના વર્ગોના સરવાળા જેટલો થાય છે.
ઉત્તરઃ
પક્ષ: ABCD સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાધ્ય: AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²

સાબિતી: ABCD સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∴ AB = BC = CD = DA ……………. (1)
ધારો કે, તેના વિકણ AC અને BD, Mમાં છેદે છે.
આથી MA = MC = \(\frac{1}{2}\) AC,
MB = MD = \(\frac{1}{2}\) BD અને
∠AMB = ∠BMC = ∠CMD = ∠DMA = 90°
∆ AMBમાં, ∠AMB = 90°
AB² = MA² + MB² (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
AB² =\(\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}+\left(\frac{B D}{2}\right)^{2}\)

AB² = \(\frac{\mathrm{AC}^{2}}{4}+\frac{\mathrm{BD}^{2}}{4}\)

∴ 4AB² = AC² + BD²
∴ AB² + AB² + AB² + AB² = AC² + BD²
∴ AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD²

પ્રશ્ન 8.
આપેલ આકૃતિમાં, 9 ત્રિકોણ ABCની અંદરનું બિંદુ છે, OD ⊥ BC, OE ⊥ AC અને OF ⊥ AB સાબિત કરો કે,
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
ઉત્તરઃ

OA, OB અને OC જોડો.
અહીં, ∆ OFA અને ∆ OFB માં ∠F = 90°, A ODB અને ∆ ODCમાં 2 ∠D = 90° તથા OC અને OEAમાં ∠E = 90°.
આથી દરેક ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ થાય.
(i) ∆ OFA માં, ∠F = 90°
OA² = OF² + AF²
AF² = OA² – OF² …………… (1)
∆ ODBમાં, ∠D = 90°
OB² = OD² + BD²
BD² = OB² – OD² …………… (2)
∆ OECમાં, ∠E = 90°
OC² = OE² + CE²
CE² = OC² – OE² ………………. (3)
(1), (2) અને (3)નો સરવાળો લેતાં,
AF² + BD² + CE² = OA² -OF² + OB² – OD² + OC² – OE²
OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²

(ii) AF² + BD² + CE² = OA² + OB² + OC² + OD² + OE² + OF²
AF² + BD² + CE² = (OA² – OE²) + (OB² – OF²) + (OC² – OD²)
AF² + BD²+ CE² = AE² + BF² + CD² (∵ ∆ OAE, ∆ OBF અને ∆ OCD કાટકોણ ત્રિકોણો છે.)
AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²

પ્રશ્ન 9.
10 મીટર લાંબી એક નિસરણી જમીનથી 8 મીટર ઊંચે આવેલી એક બારીને અડકે છે. નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલના તળિયેથી અંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, AB દીવાલ છે તથા A બારી છે અને AC નિસરણી છે.
આથી AC = 10 મી અને AB = 8મી.
∆ ABCમાં, ∠B = 90°.
AC² = AB² + BC² (પાયથાગોરસ પ્રમેય)

10² = 8² + BC²
BC² = 10² – 8²
BC² = 100 – 64
BC² = 36
BC = 6 મી આમ, નિસરણીના નીચેના છેડાનું દીવાલના તળિયેથી અંતર 6 મી છે.

પ્રશ્ન 10.
18 મીટર ઊંચા શિરોલંબ થાંભલાના ઉપરના છેડાથી 24 મીટર લાંબા તારનો એક છેડો જોડાયેલો છે. તે તારનો બીજો છેડો એક ખીલા સાથે જોડાયેલો છે. થાંભલાના આધારથી કેટલા અંતરે ખીલો લગાડવામાં આવે, તો તાર તંગ રહે?
ઉત્તરઃ
અહીં, AB એ 18 મીટર ઊંચો છે. થાંભલો છે. જેના ઉપરના છેડા Aથી 24 મીટર લાંબા તાર ACનો એક છેડો જોડાયેલ છે. તારનો બીજો છેડો C એ એક ખીલા સાથે જોડાયેલ છે.

હવે, AC = 24 મી અને AB = 18 મી.
∆ ABC માં, ∠B = 90°
AC² = AB² + BC² (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
24² = 18² + BC²
BC² = 576 – 324
BC² = 252
BC² = 4 × 9 × 7
BC = 2 × 3 × √7
BC = 6√7 મી
આમ, થાંભલાના આધારથી 6√7 મી અંતરે ખીલો લગાડવામાં આવે, તો તાર તંગ રહે.

પ્રશ્ન 11.
એક વિમાન એક વિમાનમથકની ઉત્તર દિશામાં 1000 કિમી કલાકની ઝડપથી ઊડે છે. એ જ સમયે, બીજું એક વિમાન એ જ વિમાનમથકની પશ્ચિમ દિશામાં 1200 કિમી / કલાકની ઝડપે ઊડે છે. 1\(\frac{1}{2}\) કલાક પછી આ વિમાનો એકબીજાથી કેટલા દૂર હશે?
ઉત્તરઃ
અહીં, A વિમાનમથક છે. B એ 1000 કિમી / કલાકની ઝડપે ઉત્તર દિશામાં ઊડતા પ્રથમ વિમાનનું 1\(\frac{1}{2}\) પછીનું સ્થાન તથા C એ 1200 કિમી કલાકની ઝડપે પશ્ચિમ દિશામાં ઊડતા દ્વિતીય વિમાનનું 1\(\frac{1}{2}\) કલાક પછીનું સ્થાન છે.

[નિોંધઃ પ્રશ્નમાં વિમાનોની ઊંચાઈનો ઉલ્લેખ કરેલ નથી. તેથી સરળતા માટે આપણે B અને C સરખી ઊંચાઈ પર લઈશું. તેમજ વિમાનમથક દર્શાવતા બિંદુ Aને પણ તે જ ઊંચાઈ પર સમજીશું.]

હવે, AB = પ્રથમ વિમાને 1\(\frac{1}{2}\) કલાકમાં કાપેલ અંતર
= ઝડપ × સમય = 1000 × \(\frac{3}{2}\)
= 1500 કિમી
તે જ રીતે, AC = દ્વિતીય વિમાને 1\(\frac{1}{2}\) કલાકમાં કાપેલ અંતર
= ઝડપ × સમય = 1200 × \(\frac{3}{2}\)
= 1800 કિમી
વળી, ∠BAC એ ઉત્તર દિશા અને પશ્ચિમ દિશા દ્વારા બનતો ખૂણો છે.
આથી ∠BAC = 90°
હવે, ∆ ABCમાં, ∠A = 90°
BC² = AB² + AC² (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
BC² = (1500)² + (1800)²
BC² = 22500 + 32400
BC² = 54900
BC = \(\sqrt{100 \times 9 \times 61}\)
BC = \(300 \sqrt{61}\) કિમી
આમ, 1\(\frac{1}{2}\) કલાક પછી આ વિમાનો એકબીજાથી \(300 \sqrt{61}\) કિમી દૂર હશે.

પ્રશ્ન 12.
6 મીટર અને 11 મીટર ઊંચાઈના બે થાંભલા સમતલ જમીન પર આવેલા છે. જો થાંભલાના નીચેના છેડા વચ્ચેનું અંતર 12 મીટર હોય, તો તેમના ઉપરના છેડા વચ્ચેનું અંતર શોધો.
ઉત્તરઃ

અહીં, AB અને CD એ અનુક્રમે 6 મી અને 11 મી ઊંચાઈ ધરાવતા બે થાંભલા છે. જેમના નીચેના છેડા વચ્ચેનું અંતર 12 મી છે.
આથી AB = 6 મી, BD = 12 મી, CD = 11 મી, ∠B = 90° અને ∠D = 90°.
AE || BC દોરો.
હવે, ચતુષ્કોણ ABDEમાં,
∠B = ∠D = ∠E = ∠A = 90°
માટે, ABDE લંબચોરસ છે.
ED = AB = 6મી અને AE = BD = 12 મી
આથી CE = CD – DE = 11 – 6 = 5 મી
હવે, ∆ AECમાં, ∠E = 90°
AC² = AE² + CE² (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
AC² = 12² + 5²
AC² = 144 + 25
AC² = 169
AC = 18મી ક
આમ, થાંભલાઓના ઉપરના છેડા વચ્ચેનું અંતર 13મી થાય.

પ્રશ્ન 13.
ABCમાં AC કાટખૂણો છે અને D અને E અનુક્રમે તેની બાજુઓ CA અને CB પરનાં બિંદુઓ છે. સાબિત કરો કે, AE² + BD² = AB² + DE².
ઉત્તરઃ
∆ ABCમાં, ∠C કાટખૂણો છે અને D અને E અનુક્રમે બાજુઓ CA અને CB પરનાં બિંદુઓ છે.

આથી આરેથ ત્રિકોણ BCD, BCA, ECD અને ECA કાટકોણ ત્રિકોણ થાય જે દરેકમાં AC કાટખૂણો છે.
આથી દરેક ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસ પ્રમેયનો ઉપયોગ થઈ શકે.
∆ ECAમાં, AE² = EC² + CA² ……………..(1)
∆ BCDમાં, BD² = BC² + CD² …………… (2)
∆ BCAમાં, AB² = BC² + CA² ……………. (3)
∆ ECDમાં, DE² = EC² + CD² …………… (4)
(1) અને (2)નો સરવાળો લેતાં,
AE² + BD² = EC² + CA² + BC² + CD²
= (BC² + CA²) + (EC² + CD²)
= AB² + DE² ((3) અને (4) પરથી)
આમ, AE² + BD² = AB² + DE²

પ્રશ્ન 14.
Aમાંથી ∆ ABCની બાજુ BC પર દોરેલો લંબ BCને Dમાં એવી રીતે છેદે છે કે DB = 3CD. (જુઓ આપેલ આકૃતિ). સાબિત કરો કે, 2AB² = 2AC² + BC².

ઉત્તરઃ
DB = 3CD
BC = DB + CD = 3CD + CD
BC = 4CD ……….. (1)
∆ ADBમાં, ∠D = 90°
AB² = AD² + DB² (પાયથાગોરસ પ્રમેય) …… (2)
∆ ADCમાં, ∠D = 90°
AC² = AD² + CD² (પાયથાગોરસ પ્રમેય) ………….. (3)
(2)માંથી (3) બાદ કરતાં,
AB² – AC² = (AD² + DB²) – (AD² + CD²)
∴ AB² – AC² = DB² – CD²
∴ AB² – AC² = (DB + CD) (DB – CD)
∴ AB² – AC² = (BC) (3CD – CD)
∴ AB² – AC² = (BC) (2CD)
સમીકરણને 2 વડે ગુણતાં,
∴ 2AB² – 2AC² = (BC) (4CD)
∴ 2AB² – 2AC² = (BC) (BC) ((1) પરથી)
∴ 2AB² = 2AC² + BC²

પ્રશ્ન 15.
સમબાજુ ત્રિકોણ ABCની બાજુ BC પર D એવું બિંદુ છે કે જેથી BD = \(\frac{1}{3}\) BC. સાબિત કરો કે, 9AD² = 7AB².
ઉત્તરઃ
પક્ષ: સમબાજુ ત્રિકોણ ABCની બાજુ BC પર D એવું બિંદુ છે કે જેથી BD = \(\frac{1}{3}\) BC.
સાધ્યઃ 9AD² = 7AB²

રચનાઃ AM ⊥ BC દોરો, જ્યાં M એ BC પર હોય.
સાબિતી : ∆ ABC સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
ધારો કે, AB = BC = AC = a સમબાજુ ∆ ABCમાં AM વેધ છે.
AM મધ્યગા છે.
BM = \(\frac{1}{2}\) BC = \(\frac{1}{2}\)a

BD = \(\frac{1}{3}\) BC.

આથી DC = \(\frac{2}{3}\) BC

BD = \(\frac{1}{3}\) BC = \(\frac{1}{3}\) a

DM = BM – BD = \(\frac{1}{2}[/latex ]a – [latex]\frac{1}{3}\) a = \(\frac{1}{6}\) a
∆ AMBમાં, ∠M = 90°
∴ AB² = AM² + BM²
a² = AM² + a²
AM² = \(\frac{3}{4}[/latex ] a²
∆ AMDમાં, ∠M = 90°
∴ AD² = AM² + DM²
= [latex]\frac{3}{4} a^{2}+\left(\frac{1}{6} a\right)^{2}\)

= \(\frac{3}{4} d^{2}+\frac{1}{36} a^{2}\)

= \(\frac{27 a^{2}+a^{2}}{36}\)

= \(\frac{28}{36} a^{2}\)

AD² = \(\frac{7}{9}\) a²
9AD² = 7a²
9AD² = 7 AB²(∵ AB = a).

પ્રશ્ન 16.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં સાબિત કરો કે, કોઈ પણ બાજુના વર્ગના 3 ગણા એ તેના કોઈ પણ વેધના વર્ગના 4 ગણા બરાબર છે.
ઉત્તરઃ

ABC એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે, જેમાં AD વેધ છે.
ધારો કે, AB = BC = CA = a એકમ.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં વેધ એ મધ્યગા પણ છે.
∴ AD મધ્યગા છે.
∴ BD = \(\frac{1}{2} \mathrm{BC}=\frac{a}{2}\) એકમ
∆ ADBમાં, ∠D = 90°
∴ AB² = AD² + BD²
∴ (a)² = AD² + (\(\frac{a}{2}\))²
∴ a² = AD² + \(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\)
∴ a² = AD² + \(\frac{a^{2}}{4}\)
∴ \(\frac{3}{4}\) a² = 4AD²
∴ ૩ (બાજુ)² = 4 (વેધ)²

પ્રશ્ન 17.
સાચો જવાબ જણાવો અને ચકાસો. ∆ ABCમાં, AB = 6√3 સેમી, AC = 12 સેમી અને BC = 6 સેમી હોય, તો ખૂણો B = ……..
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45
ઉત્તરઃ
સાચો વિકલ્પ (C) 90° છે.
∆ ABCમાં, AB = 6√3 સેમી = 10.38 સેમી (આશરે), AC = 12 સેમી અને BC = 6 સેમી
અહીં, AC એ સૌથી મોટી બાજુ છે.
હવે, 122 = 144 અને . (6√3)² + (6)² = 108 + 36 = 144 .
આમ, 12² = (6√3)² + (6)²
આથી પાયથાગોરસ પ્રમેયના પ્રતીપ અનુસાર ∆ ABC એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
જેમાં AC કર્ણ છે અને તેની સામેનો ખૂણો B કાટખૂણો છે. આમ, ∠B = 90°.