GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.2

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ સમીકરણના ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો:
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) 2x² + 7x + 5√2 = 0
(iv) √2x² – x + \(\frac{1}{8}\) = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0

(i) x² – 3x – 10 = 0
ઉત્તરઃ
∴ x² – 5x + 2x – 10 = 0
∴ x (x – 5) + 2 (x – 5) = 0
∴ (x – 5) (x + 2) = 0
આથી x – 5 = 0 અથવા x + 2 = 0
∴ x = 5 અથવા x = – 2
આમ, આપેલ સમીકરણના ઉકેલ 5 અને – 2 છે.
ચકાસણીઃ
x = 5 માટે, ડો.બા.
= (5)² – 3 (5) – 10
= 25 – 15 – 10
= 0
= જ.બા.

x = – 2 માટે, ડો.બા.
= (-2)² -3(-2) – 10
= 4 + 6 – 10 = 0.
= જ.બા.
આમ, બંને ઉકેલની ચકાસણી થાય છે. નોંધ લેશો કે, ચકાસણી એ પ્રશ્નના ઉત્તરનો ભાગ નથી. પરંતુ તમારા પોતાના સંતોષ માટે છે કે તમે સાચા જવાબ મેળવ્યા છે.

(ii) 2x² + x – 6 = 0
∴ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
∴ 2x (x + 2) – 3 (x + 2) = 0
∴ (x + 2) (2x – 3) = 0.
∴ x + 2 = 0 અથવા 2x – 3 = 0
∴ x = – 2 અથવા x = \(\frac{3}{2}\) આમ, આપેલ સમીકરણના ઉકેલ – 2 અને \(\frac{3}{2}\) છે.

(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
∴ √2x + 2x + 5x + 5√2 = 0
∴ √2x (x + √2) + 5 (x + √2) = 0
∴ (x + √2 ) (√2 x + 5) = 0
∴ x + √2 = 0 અથવા √2x + 5 = 0
∴ x = – √2 અથવા x = \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\)
આમ, આપેલ સમીકરણના ઉકેલ – √2 અને \(-\frac{5}{\sqrt{2}}\) છે.

(iv) 2x² – x + = 0 .
∴ 16x² – 8x + 1 = 0 (8 વડે ગુણતાં)
∴ 16x² – 4x – 4x + 1 = 0
∴ 4x (4x – 1) – 1 (4x – 1) = 0
∴ (4x – 1) (4x – 1) = 0
∴ 4x – 1 = 0 અથવા 4x – 1 = 0
∴ x = \(\frac{1}{4}\) અથવા x = \(\frac{1}{4}\)
આમ, આપેલ સમીકરણના ઉકેલ \(\frac{1}{4}\) અને \(\frac{1}{4}\) છે.
નોંધઃ આ પ્રશ્નમાં આપેલ સમીકરણને પુનરાવર્તિત (અનન્ય) ઉકેલ છે.

(v) 100x² – 20x + 1 = 0
∴ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
∴ 10x (10x – 1)- 1 (10x – 1) = 0.
∴ (10x – 1) (10x – 1) = 0
∴ 10x – 1 = 0 અથવા 10x – 1 = 0
∴ x = \(\frac{1}{10}\) અથવા x = \(\frac{1}{10}\)
આમ, આપેલ સમીકરણના પુનરાવર્તિત ઉકેલ \(\frac{1}{10}\) અને \(\frac{1}{10}\) છે.

પ્રશ્ન 2.
પાઠ્યપુસ્તકનાં ઉદાહરણ (1)માં આપેલ પ્રશ્નોના ઉકેલ મેળવોઃ

(1) જ્હૉન અને જીવંતી પાસે કુલ 45 લખોટીઓ હતી. પ્રત્યેક વ્યક્તિ પાંચ-પાંચ લખોટી ખોઈ કાઢે છે અને હવે તેમની પાસે બાકી રહેલી લખોટીઓની સંખ્યાનો ગુણાકાર 124 છે. તેમની પાસે શરૂઆતમાં કેટલી લખોટીઓ હતી?

(2) એક કુટિર ઉદ્યોગ એક દિવસમાં કેટલાંક રમકડાં બનાવે છે. પ્રત્યેક રમકડું બનાવવાનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) 55માંથી એક દિવસમાં ઉત્પાદિત થતાં રમકડાંની સંખ્યા બાદ કરીએ તેટલો છે. કોઈ એક ચોક્કસ દિવસે કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ 750 છે. તે દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા શોધો.

ઉત્તરઃ
(i) ધારો કે, જ્હૉન પાસે x લખોટીઓ હતી. આથી જીવંતી પાસેની લખોટીઓની સંખ્યા = 45 – x
હૉન પાસે 5 લખોટીઓ ખોઈ કાઢ્યા બાદની લખોટીઓની સંખ્યા = x – 5.
જીવંતી પાસે 5 લખોટીઓ ખોઈ કાઢ્યા પછીની લખોટીઓની સંખ્યા = 45 – x – 5 = 40 – x.
આથી તેમનો ગુણાકાર = (x – 5) (40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
= -x² + 45x – 200
આ ગુણાકાર 124 આપેલ છે.
આથી – x² + 45x – 200 = 124
– x² + 45x – 324 = 0
x² – 45x + 324 = 0
x² – 36x – 9x + 324 = 0
x (x – 36) – 9 (x – 36) = 0
(x – 36) (x – 9) = 0
x – 36 = 0 અથવા x – 9 = 0
x = 36 અથવા x = 9
અહીં, બંને જવાબ શક્ય છે.
45 – x = 45 – 36 = 9 અથવા
45-X = 45 – 9 = 36.
આમ, હૉન અને જીવંતી પાસે શરૂઆતમાં અનુક્રમે 36 અને 9 લખોટીઓ અથવા અનુક્રમે 9 અને 36 લખોટીઓ હતી.

(ii) ધારો કે, નિશ્ચિત દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા x છે.
આથી પ્રત્યેક રમકડું બનાવવાનો ખર્ચ (રૂપિયામાં) = 55 – x.
આથી તે દિવસનો રમકડાં બનાવવાનો કુલ ખર્ચ (રૂપિયામાં) = x (55 – x).
આથી x (55 – x) = 750
55x – x² = 750
– x² + 55x – 750 = 0
x² – 55x + 750 = 0
x² – 30x – 25x + 750 = 0
x (x – 30) – 25 (x – 30) = 0
(x – 30) (x – 25) = 0
x – 30 = 0 અથવા x – 25 = 0
x = 30 અથવા x = 25 અહીં, બંને જવાબ શક્ય છે. આમ, તે દિવસે ઉત્પાદિત રમકડાંની સંખ્યા 30 અથવા 25 છે.

પ્રશ્ન 3.
બે એવી સંખ્યાઓ શોધો કે જેમનો સરવાળો 27 અને ગુણાકાર 182 હોય.
ઉત્તરઃ
જેમનો સરવાળો 27 થાય તેવી બે સંખ્યાઓ પૈકીની પહેલી સંખ્યા ધારો કે, x છે.
માટે, બીજી સંખ્યા 27 – x થાય અને તે બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર x (27 – x) થાય.
હવે, આ ગુણાકાર 182 આપેલ છે.
x (27 – x) = 182
27x – x² – 182 = 0
x² – 27x + 182 = 0
X² 14x – 13x + 182 = 0
x (x – 14) – 13 (x – 14) = 0
(x – 14) (x – 13) = 0.
x – 14 = 0 અથવા X – 13 = 0
x = 14 અથવા x = 13
અહીં, બંને જવાબ શક્ય છે.
આથી જો x = 14, તો પહેલી સંખ્યા = x = 14 અને બીજી સંખ્યા = 27 -x = 27 -14 = 13 થાય.
જો x = 13, તો પહેલી સંખ્યા = x = 13 અને બીજી સંખ્યા = 27 – x = 27 – 13 = 14 થાય.
આમ, દરેક સંજોગોમાં, માગેલ સંખ્યાઓ 13 અને 14 છે.

પ્રશ્ન 4.
જેના વર્ગોનો સરવાળો 365 થાય એવી બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાક સંખ્યાઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, બે ક્રમિક ધન પૂર્ણાકો x અને x + 1 છે.
આથી તેમના વર્ગોનો સરવાળો
= (x)² + (x + 1)²
= x² + X² + 2x + 1
= 2x² + 2x + 1 આ સરવાળો 365 આપેલ છે.
2x² + 2x + 1 = 365
2x + 2x-364 = 0
x² + x – 182 = 0
x² + 14x – 13x – 182 = 0
x (x + 14) – 13 (x + 14) = 0
(x + 14) (x – 13) = 0 :
x + 4 = 0 અથવા x – 13 = 0
x = – 14 અથવા x = 13
પરંતુ, x એ ધન પૂર્ણાક હોવાથી x = – 14 શક્ય નથી.
આથી x = 13 અને x + 1 = 13 + 1 = 14
આમ, માગેલ ધન ક્રમિક પૂર્ણાકો 13 અને 14 છે.

પ્રશ્ન 5.
એક કાટકોણ ત્રિકોણનો વેધ તેના પાયા કરતાં 7 સેમી નાનો છે. જો કર્ણની લંબાઈ 13 સેમી હોય, તો બાકીની બે બાજુનાં માપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, કાટકોણ ત્રિકોણનો પાયો x સેમી છે.
આથી તેના વેધની લંબાઈ (x – 7) સેમી થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ 13 સેમી છે. પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
(પાયો)² + (વેધ)² = (કર્ણ)²
(x)² + (x – 7)² = (13)²
x² + x² – 14x + 49 = 169
2x² – 14x – 120 = 0
x² – 7x – 60 = 0
x² – 12x + 5x – 60 = 0
x (x – 12) + 5 (x – 12) = 0
(x- 12) (x + 5) = 0
x – 12 = 0 અથવા x + 5 = 0
x = 12 અથવા x = – 5
ત્રિકોણના પાયાની લંબાઈ કદી ઋણ ન હોઈ શકે. આથી x = – 5 શક્ય નથી.
∴ x = 12
આથી ત્રિકોણનો પાયો = x = 12 સેમી અને
વેધ = x – 7 = 12 – 7 = 5 સેમી આમ, આપેલ ત્રિકોણની બાકીની બે બાજુનાં માપ 12 સેમી અને 5 સેમી છે.

પ્રશ્ન 6.
એક કુટિર ઉદ્યોગ એક દિવસમાં કેટલીક માટીની વસ્તુઓ બનાવે છે. એક નિશ્ચિત દિવસે એ જણાયું કે પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત (રૂપિયામાં), તે દિવસે ઉત્પાદિત વસ્તુના બમણા કરતાં 3 વધુ હતી. જો તે દિવસે કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ ₹ 90 હોય, તો ઉત્પાદિત વસ્તુની સંખ્યા અને પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, તે નિશ્ચિત દિવસે ઉત્પાદિત થયેલ વસ્તુઓની સંખ્યા x છે.
માટે, આપેલ માહિતી મુજબ, દરેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત (રૂપિયામાં) 2x + 3 થાય.
આથી તે દિવસે કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ (રૂપિયામાં) = x (2x + 3) = 2x² + 3x
આ કુલ ઉત્પાદન ખર્ચ ₹ 90 આપેલ છે.
2x² + 3x = 90
2x² + 3x – 90 = 0
2x² – 12x + 5x – 90 = 0
2x (x – 6) + 15 (x – 6) = 0
(x – 6) (2x + 15) = 0.
x – 6 = 0 અથવા 2x + 15 = 0
x = 6 અથવા x = – \(\frac{15}{2}\)
x એ ઉત્પાદિત વસ્તુઓની સંખ્યા દર્શાવતી હોવાથી x = – \(\frac{15}{2}\) શક્ય નથી.
x = 6 અને 2x + 3 = 2 (6) + 3 = 15.
આમ, તે નિશ્ચિત દિવસે ઉત્પાદિત થયેલ વસ્તુઓની સંખ્યા 6 છે અને પ્રત્યેક વસ્તુની ઉત્પાદન કિંમત ₹ 15 છે.