GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 12 પરમાણુઓ

Gujarat Board GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 12 પરમાણુઓ Important Questions and Answers.

GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 12 પરમાણુઓ

પ્રશ્ન 1.
વાયુમાં વિદ્યુતવિભાર અંગેના થોમસનના પ્રયોગોએ શું દર્શાવ્યું ? અને પ્લમ પુડિંગ મૉડલ સમજાવો.
ઉત્તર:

• આ પ્રયોગો એ દર્શાવ્યું કે, વિવિધ તત્ત્વોના પરમાણુઓ ઋન્ન વિદ્યુતભારિત ઘટકો (ઇલેક્ટ્રોન) ધરાવે છે.
• આ ઘટકો (ઇલેક્ટ્રૉન) બધા પરમાણુઓ માટે એકસમાન હોય છે. બધા પરમાણુઓ ઋણ વિદ્યુતભારિત ઘટક હોવાં છતાં બધા પરમાણુઓ વિદ્યુતીય રીતે તટસ્થ છે.
• આથી, આ ઋણ વિદ્યુતભારને તટસ્થ કરવા તેમાં ધન વિદ્યુતભાર પણ હોવો જોઈએ. આ સમજવા માટે થોમસને પરમાણ્ મૉડલ સમજાવ્યું જેને પ્લમ પુડિંગ મૉડલ કહે છે. આ મૉડલ અનુસાર, પરમાણુનો ધન વિદ્યુતભાર પરમાણુના સમગ્ર કદમાં નિયમિત રીતે વિતરીત થયેલો હોય છે.
• આ મૉડલમાં ઋણ વિદ્યુતભારવાળા ઇલેક્ટ્રૉન, તડબૂચમાંના બીજની માફક તેમાં જકડાયેલા હોય છે જેને પરમાણુનું પ્લમ પુડિંગ મૉડલ કહે છે.

પ્રશ્ન 2.
પ્લમ પુડિંગ પરમાણુ મોડલની મર્યાદાઓ જણાવો.
ઉત્તર:
આ મૉડલની અમુક મર્યાદાઓ છે:
સ્થિતવિદ્યુતશાસ્ત્રના નિયમ અનુસાર વિદ્યુતભારનું સ્થિર વિતરણ શક્ય નથી. કારણ કે, પરમાણુમાંનો ઇલેક્ટ્રૉન તેમાંના ધન વિદ્યુતભારને કારણે કુલંબીય બળ અનુભવે છે. તેથી તેઓ સ્થિર રહી ન શકે પણ પ્રવેગી ગતિ કરે છે. તેથી, આ મૉડલમાં સૂચવેલ છે તેના કરતાં ઇલેક્ટ્રૉન અને ધન વિદ્યુતભારોનું વિતરણ ઘણું અલગ છે. દરેક ઘટ્ટ દ્રવ્ય પોતાના તાપમાન અનુસાર વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે. જેમાં ઘણી તરંગલંબાઈઓનું સતત વિતરણ ોય છે. જે કે તેમની તીવ્રતા અલગ હોય છે.

આના કરતાં વિરુદ્ધ ઓછી ઘનતાના વાયુને ગરમ કરતાં તેમાંથી ઉત્સર્જિત પ્રકાશમાં કેટલીક ચોક્કસ તરંગલંબાઈઓ જ હાજર હોય છે. આ પ્રકાશનો વર્ણપટ પ્રકાશિત રેખાઓની શ્રેન્ની રૂપે દેખાય છે. આવા વાયુઓમાં પરમાણુમાં અવકાશ વધારે હોવાના લીધે ઉત્સર્જિત વિકિરણ, પરમાણુઓ કે અણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયાને બદલે વ્યક્તિગત પરમાણુઓને લીધે હોવાનું માની શકાય છે. દરેક તત્ત્વ સાથે વિકિરણનો લાક્ષણિક વર્ણપટ સંક્ળાયેલ છે. દા.ત., હાઇડ્રોજન હંમેશાં એવી રેખાઓનો સમૂહ આપે છે કે જેમનાં સ્થાનો વચ્ચે જુદું-જુદું નિશ્ચિત અંતર છે એટલે કે તેઓ નિશ્ચિત સ્થાનો પર છે. આ હકીકત એમ સૂચવે છે કે, પરમાણુના આંતરિક બંધારણ અને તેના દ્વારા ઉત્સર્જિત વર્ણપટ વચ્ચે ગાઢ સંબંધ છે.

પ્રશ્ન 3.
ધર્ડે પરમાણુનું ન્યુક્લિયર મૉડલ ક્યા પ્રયોગના આધારે આપ્યું ?
ઉત્તર:

• અર્નેસ્ટ રધર” કેટલાંક રેડિયોએક્ટિવ તત્ત્વોમાંથી ઉત્સર્જિત કોના પ્રકીર્ણનના પ્રયોગ પરથી પરમાણુના બંધારણની જાણકારી મેળવી અને આ પ્રયોગના પરિણામોની સમજૂતી પરથી પરમાણુના મૉડલની સમજૂતી આપી.
• આ મૉડલને સૂર્યમંડળમાં સૂર્યની આસપાસ ગ્રહો જેમ પરિભ્રમણ કરે છે તેમ પરમાણુના સૂક્ષ્મ કેન્દ્ર પર પરમાણુનું સમગ્ર દળ કેન્દ્રિત થયેલું હોય છે જેને પરમાલૂનું ન્યુક્લિયસ કહે છે અને તેનાં પર સમગ્ર ધન વિદ્યુતભાર કેન્દ્રિત થયેલો હોય છે અને ઋણ વિદ્યુતભારિત ઇલેક્ટ્રોન આ ન્યુક્લિયસની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે.
• જેને પરમાણુનું પ્લેનેટરી મોડલ પણ કહે છે અથવા ધરર્ડનું ન્યુક્લિયર મોડલ કહે છે જે આજે આપણે સ્વીકારેલ છે.

આમ, છતાં પરમાણુઓ અમુક નિશ્ચિત તરંગલંબાઈનો જ પ્રકાશ કેમ ઉત્સર્જિત કરે છે તે સમજાવી શક્યું નહીં. દા.ત. : એક જ ઇલેક્ટ્રોન અને એક જ પ્રોટૉન ધરાવતો હાઇડ્રોજન પરમાણુ નિશ્ચિત તરંગલંબાઈઓનો જટિલ વર્ણપટ કેવી રીતે ઉત્સર્જિત કરે છે ?

1. હાઇડ્રોજન અને બીજા અણુઓની પ્રાયોગિક રીતે દેખાતી વર્ણપટ્ટ રેખાઓનું ઉદ્ગમ સમજાવી શકાતું નથી.
2. રરફર્ડના પ્રયોગમાં જેમ પાતળા ધાતુના પતરામાંથી મોટા કોણે મળતાં પ્રર્કિલન સમજાવી શકતું નથી.

વધુ માહિતી :
ધર પરમાણુ મૉડલની મર્યાદા લખો.
પ્રચલિત યંત્રશાસ્ત્ર અનુસાર પોતાની ગતિ-ઊર્જા અનુસાર ઇલેક્ટ્રૉન ન્યુક્લિયસને ફરતે શક્ય તેવી અનંત કથાઓ પૈકી કોઇપણ કક્ષામાં પરિભ્રમલ કરી શકે છે. મતલબ કે ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ત્રિજયા ઉપર કોઇપણ પ્રકારની મર્યાદા ના હોઇ શકે. વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ પ્રવેગિત ગતિ થશે. પરંતુ પ્રર્વેગિત વિદ્યુતભાર વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના સ્વરૂપમાં ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરે.
જો કક્ષામાં રહેલો ઇલેક્ટ્રૉન સતત રીતે ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરે, તો તેની ઊર્જા અને તેથી તેની ત્રિજ્યા સતત રીતે ઘટતી જાય. તેથી આવી કક્ષા વર્તુળાકાર હોવાને બદલે કમાન આકારની (Spiral) હોય અને તે ન્યુક્લિયસમાં પરિણમે છે. આવા, સંજોગોમાં પરમાણુ સ્થિરતા ધરાવી શકે નહીં. આમ ૨૨ફર્ડનું પરમાણુ મૉડલ પરમાણુની સ્થિરતા સમજાવવામાં નિષ્ફળ રહ્યું.

પ્રશ્ન 4.
ગેઇગરૂમાર્સ્કનનો પ્રકીર્ણનનો પ્રયોગ વર્ણવો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ રેડિયોઍક્ટિવ સ્ત્રોત (બીસ્મથ₈₃²¹⁴Bi)માંથી ઉત્સર્જિત થતા 5.5 MeV વાળા α -કોની કિરણાવલિને સુવર્ણના પાતળા વરખ પર આપાત કરવામાં આવે છે. રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ ₈₃²¹⁴Bi માંથી ઉત્સર્જાયેલા α-કોને સીસાના બ્લોક વચ્ચેથી પસાર કરીને પાતળો કિરણઇડ રચવામાં આવે છે જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ આ કિન્નઇડને 2.1 × 10^{– 7}m જાડાઈના પાતળા સુવર્ણના વરખ પર આપાત કરવામાં આવે છે.

પ્રકેરિત ત્ર-કોં પડદા પર અથડાય ત્યારે ક્રિક પ્રકાશનો ઝબકારો (Scintillation) થાય છે.
આ ઝબકારાને માઇક્રોસ્કોપ વડે જોઈ શકાય છે અને પ્રતિ કોની સંખ્યાના વિતરણનો પ્રકીર્ણન કોણના વિધેય તરીકે અભ્યાસ કરી શકાય છે.
આ સમગ્ર ઉપકરણને શૂન્યાવકાશ ધરાવતી ચેમ્બરમાં મૂકવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 5.
ગેઇગર-માર્ડનના -કણ પ્રકીર્ણનના પ્રાયોગિક પરિણામોની ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:
આપેલા સમયગાળામાં જુદા-જુદા કોંન્ને પ્રકેરિત થયેલાં -ક્લોની કુલ સંખ્યાનો એક લાક્ષણિક આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

આલેખમાં ટપકાંઓ પ્રયોગથી મળેલ મૂલ્યો દર્શાવે છે અને સળંગ વક્ર એ લક્ષ્ય પરમાણુને ધન વિદ્યુતભારિત ન્યુક્લિયસ છે તેવી પૂર્વધારણા પર આધારિત સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યો દર્શાવે છે.
ઘણાં -કણો વરખમાં થઈને પસાર થઈ જાય છે તેનો અર્થ એ છે, કે તેઓ કોઈ સંઘાત અનુભવતા નથી.
લગભગ 0.14 % α -કણોનું 1* કરતાં વધારે પ્રકીર્ણન થાય છે અને લગભગ 8000 માંથી 1 નું વિચલન 90° કરતાં વધુ થાય છે.

પ્રશ્ન 6.
પ્રકીર્ણન પામતા -કણો માટે સારફર્ડની દલીલ સમજાવો.
ઉત્તર:

• રધર્યું એવી દલીલ કરી કે, મોટા ભાગના -કો ખૂબ જ નાના કોન્ને પ્રકીર્ણન પામતા હોવાથી પરમાત્રુઓ પોલા હશે.
• જો પરમાણુના દળનો મોટો ભાગ તેના કેન્દ્ર પર ખીચોખીચ કેન્દ્રિત થયેલો હોય અને તેના પર ધન વિદ્યુતભાર હોય તો, આ ધન વિદ્યુતભાર અને ત-કણના ધન વિદ્યુતભાર વચ્ચે કુલંબ અપાકર્ષણબળ લાગી શકે.
• જો આમ હોય તો, આપાત -કણ, ધન વિદ્યુતભારને ભેઘા વિના ખૂબ નજીક પહોંચી શકે અને વિચલન પામે આ દલીલ ન્યુક્લિયર પરમાણુના અધિતર્કનું સમર્થન કરે છે. તેથી, ધર્ડને ન્યુક્લિયસની શોધનું બહુમાન મળ્યું.
• તેણે દલીલમાં એવું અનુમાન કર્યું કે, ઇલેક્ટ્રૉન ન્યુક્લિયસથી થોડા અંતરે છે. જેમ ગ્રહો સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે તેમ ઇલેક્ટ્રૉન ન્યુક્લિયસની આસપાસ નિયત કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં હશે.
• રધરફરે કરેલા પ્રયોગ પરથી ન્યુક્લિયસનું પરિમાણ 10^-15 m થી 10^–14 m નું હોવાનું સૂચવ્યું હતું. પન્ન ગતિવાદ પરથી પરમાલૂનું પરિમાણ 10⁻¹⁰m હોવાનું ગણાય છે.
• તેથી પરમાત્રુનું પરિમાણ ન્યુક્લિયસના પરિમાણથી 10⁴ થી 10⁵ (10,000 થી 1,00,0000) ગણું મોટું છે.

પ્રશ્ન 7.
પ્રકીર્ણન પામતા -કો માટે રઘરર્ડની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
રધરર્ડે સૂચવ્યું કે મોટા ભાગના હકો નાના કોળું પ્રકીર્ણન પામતા હોવાથી પરમાણુઓ પોલા હશે.
સુવર્ણ વરખ અત્યંત પાતળો હોવાથી આપણે એવું ધારી શકીએ કે તેમાંથી પસાર થતાં -કણો એક કરતાં વધુ પ્રકીર્ણન અનુભવતા નહીં હોય.
-શો એ હિલિયમ પરમાત્રુનો ન્યુક્લિયસ છે તેથી તેનું દળ મિલિયમ પરમાણુના દળ જેટલું છે અને તેના પર 2 જેટલો ધન વિદ્યુતભાર છે.
સુવર્ણનો પરમાણુક્રમાંક Z = 79 છે તેથી તેનાં ન્યુક્લિયસનું દળ -કણના ન્યુક્લિયસના દળ કરતાં લગભગ 50 ગણું વધારે છે. તેથી પ્રકીર્ણનની પ્રક્રિયામાં તે સ્થિર રહે છે તેમ માની શકાય.
આ સંજોગોમાં ન્યૂટનના બીજા નિયમનો ઉપયોગ તથા ક્લ તથા સુવર્ણના ધન વિદ્યુતભારિત ન્યુક્લિયસ વચ્ચેના કુલંબ અપાકર્ષન્નબળના ઉપયોગથી α-કણના ગતિપથની ગણતરી કરી શકાય.
આ કુલંબ અપાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય,
F = \(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{(Z e)(2 e)}{r^2}\) છે.
જ્યાં r એ α-કણ અને સુવર્ણના ન્યુક્લિયસો વચ્ચેનું અંતર છે એ શૂન્યાવકાશની પરિમટવિટી છે.
અને ∈₀ આ બળનું માન અને દિશા બંનેના ન્યુક્લિયસોને જોડતી રેખા પર છે અને -ણના સ્થાનાંતર સાથે સતત બદલાય છે.

પ્રશ્ન 8.
જુદા-જુદા સંચાત પ્રાયલ (ઇમ્પેક્ટ-પેરામીટર) માટે -કણનો ગત્તિમાર્ગ દર્શાવો અને તેની મદદથી ઘરફર્ડે ન્યુક્લિયસના પરિમાણની ઉચ્ચ સીમા કેટલી નક્કી કરી ?
ઉત્તર:
સંઘાત પ્રાચલ b (ઇમ્પેક્ટ પેરામીટર)એ α-કણના પ્રારંભિક વેગસદિશ અને ન્યુક્લિયસના કેન્દ્ર વચ્ચેનું લંબઅંતર છે અને α -કણનો ગતિપથ ન્યુક્લિયસ સાથેની અથડામણના સંધાત પ્રાચલ પર આધાર રાખે છે.
α-કણોની આપેલ કિરણાવલિમાં સંપાત પ્રાચલ b જુદા-જુદા હોય છે. આથી તેના કિરણો જુદી-જુદી સંભાવનાઓથી જુદી-જુદી દિશાઓમાં પ્રકીર્ણન પામે છે જે આકૃતિમાં બતાવેલ છે. કિરણાવલિમાં બધા કર્મોની ગતિઊર્જા લગભગ સમાન હોય છે.

જે α -ક્લનો સંધાત પ્રાચલ b નાનો હોય તે ન્યુક્લિયસની વધારે નજીક હોય અને તેનું પ્રકીર્ણન મોટું થાય છે એટલે કે, પ્રકીર્ણન કોણ મોટો હોય છે.
જે α-ક્સ માટે સંઘાત પ્રાચલ લઘુતમ (b = 0) હોય તેનું પ્રકીર્ણન 180° (માર્ચ 2020) એટલે કે તેના ગતિપથની દિશા ઊલટાઈ જાય છે જેને સન્મુખ (Head on) સંઘાત કહેવાય છે.
જેમ-જેમ α-કણનો સંઘાત પ્રાચલ મોટો થતો જાય છે તેમ-તેમ પ્રકીર્ણન કોણ ઘટતો જાય છે અને મોટા સંધાત પ્રાચલ માટે -કા પ્રકીર્ણન પામ્યા સિવાય (ગતિપથમાંથી વિચલન પામ્યા સિવાય) પોતાના મૂળ ગતિપથ પર જ ગતિ ચાલુ રાખે છે. એટલે કે પ્રકીર્ણન કોણ θ = 0° હોય છે.

આમ, આપાત કણો પૈકી ખૂબ જ ઓછા કણો પાછા ફેંકાય છે એટલે કે સન્મુખ સંષાત અનુભવતા -કોની સંખ્યા નાની છે. આનો અર્થ એ છે કે પરમાલૂનું દળ નાના કદમાં કેન્દ્રિત થયેલું છે. આથી રપરર્ડનો પ્રકીર્ણનનો પ્રયોગ એ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા નક્કી કરવા માટેની શક્તિશાળી રીત છે.
આ પ્રયોગ પરથી રપરર્ડે ન્યુક્લિયસનું પરિમાણ 10^–15 m થી 10^-14m હોવાનું સૂચવ્યું.
વધુ માહિતી :

પ્રશ્ન 9.
પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન જુદી-જુદી કક્ષામાં ન્યુક્લિયસની આસપાસ શાથી ફરે છે તે ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જાના સૂત્રો પરથી સમજાવો.
ઉત્તર:
રધરર્ડના પરમાણુ અંગેના ન્યુક્લિયર મૉડલ અનુસાર, પરમાણુ તેના કેન્દ્રમાં ખૂબ નાના, દળદાર અને ધન વિદ્યુતભારિત ન્યુક્લિયસ અને તેની આસપાસ સ્થાયી કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉનનો બનેલો છે જે વિદ્યુતની દૃષ્ટિએ તટસ્થ ગોળો છે. ભ્રમણ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉન અને ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત આકર્ષણ બળ તેમને કક્ષામાં ગતિ ચાલુ રાખવા માટેનું જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનને સ્થાયી કક્ષામાં ગતિ કરવા માટે, F_e = F_c જ્યાં F_e = વિદ્યુતબળ
F_c = કેન્દ્રગામીબળ
∴ \(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r^2}=\frac{m v^2}{r}\)
∴ r = \(\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \cdot m v^2} \) ………………………………. (1)
જે કીય ત્રિજયા અને ઇલેક્ટ્રૉનના વેગ વચ્ચેનો સંબંધ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા,

આ સૂત્રમાં ઋણ ચિહ્ન સૂચવે છે કે સ્થિત વિદ્યુતબળ -r દિશામાં છે.
આમ, હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઊર્જા,
E = K + U
= \(\frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 r}-\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \)
[∵ સમીકરણ (1) અને (2) પરથી]
∴ E = \(\frac{e^2-2 e^2}{8 \pi \epsilon_0 r}=-\frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 r} \)
∴ E = \(-\frac{e^2}{8 \pi \epsilon_0 r}\)
ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા ઋણ છે તે એવું સૂચવે છે કે, ઇલેક્ટ્રૉન ન્યુક્લિયસ સાથે બંધિત છે.
જો કુલ ઊર્જા E ધન હોત, તો ઇલેક્ટ્રૉન ન્યુક્લિયસની આસપાસ બંધ કક્ષામાં ફઓ ન હોત.

પ્રશ્ન 10.
ઉત્સર્જન રેખીય વર્ણપટ અને શોષણ વર્ણપટ સમજાવો.
ઉત્તર:
દરેક તત્ત્વ પોતાના તાપમાન અનુસાર જુદી-જુદી તરંગલંબાઈવાળા વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે. તેથી દરેક તત્ત્વ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણનો લાક્ષણિક વર્ણપટ હોય છે.
નીચા દબાણે પરમાણુક વાયુ કે બાષ્પમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરીને તેને ઉત્તેજિત કરવામાં આવે ત્યારે તેમાંથી ઉત્સર્જિત વિકિરણના વર્ણપટમાં અમુક નિશ્ચિત તરંગલંબાઈઓ જ હોય છે. આ પ્રકારના વર્ણપટને ઉત્સર્જન રેખીય વર્ણપટ કર્યો છે. પરમાણુક હાઇડ્રોજન વડે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે.

કોઈ વાયુના ઉત્સર્જિત રેખીય વર્ણપટનો અભ્યાસ તે વાયુની ઓળખ માટે થાય છે.
પરમાણુક વાયુમાંથી શ્વેત પ્રકાશ પસાર થાય ત્યારે તેમાંથી નિર્ગમન પામતાં પ્રકાશમાં પરમાણુની લાક્ષણિકતા ધરાવતી અમુક ચોક્કસ તરંગલંબાઈઓ ગેરહાજર હોય છે. તેથી નિર્ગમન પામતા પ્રકાશના વર્ણપટમાં કેટલીક કાળી (અપ્રકાશિત) રેખાઓ દેખાય છે. આ અપ્રકાશિત રેખાઓથી બનતા વર્ણપટને વાયુના દ્રવ્યનો શોષણ વર્ણપટ કરે છે.

પ્રશ્ન 11.
હાઇડ્રોજન વર્ણપટ શ્રેણી કોને કહે છે ?
ઉત્તર:
કોઈ ચોક્કસ તત્ત્વ વડે ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિઓ નિયમિતતા ધરાવે છે. હાઇડ્રોજન સૌથી સાદો પરમાણુ છે. તેમાંથી ઉત્સર્જાતા વિકરણોની રેખાઓને આવૃત્તિ (તરંગલંબાઈ)ને ક્રમશઃ ગોઠવતાં વર્ણપટ મળે છે અને હાઇડ્રોજન પરમાણુનો વર્ણપટ સૌથી સાદો છે.
પરમાણુના વર્ણપટમાં મળતી રેખાઓના તેમની આવૃત્તિ કે તરંગલંબાઈ અનુસાર ચોક્કસ સમૂહ બનાવી શકાય છે અને આવા સમૂહને વર્ણપટ શ્રેણી કહે છે. હાઇડ્રોજન વર્ણપટના કેટલાક સમૂહોમાંની રેખાઓ આકૃતિમાં દર્શાવી છે.

હાઇડ્રોજન વર્ણપટમાં જુદા-જુદા સમૂહોમાંની રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર નિયમિત રીતે ઘટતું જાય છે.
આ દરેક સમૂહને વર્ણપટ શ્રેણી કહે છે.

પ્રશ્ન 12.
હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટમાં મળતી જુદી-જુદી વર્ણપટ શ્રેણીને વિસ્તારથી સમજાવો અને વર્ણપટ શ્રેણીઓનાં નામ તથા તરંગ સંખ્યા શોધવાના સૂત્રો આપો.
ઉત્તર:
ઈ.સ. 1885 માં સ્વિડનના શાળાના શિક્ષક જોહ્ન જૅક્બ બામર દ્વારા ઘઇડ્રોજન વર્ણપટના દેશ્ય વિભાગમાં બામર શ્રેણી જોવા મળી જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

આકૃતિમાં લાલ રંગનો વિભાગમાં દેખાતી મહત્તમ તરંગલંબાઈ 656.3 nm ની રેખાને H_α કહે છે.
બ્રૂ-ગ્રીન વિભાગમાં દેખાતી 486.1 nm તરંગલંબાઈની રેખાને H_β રેખા કહે છે.
જાંબલી વિભાગમાં દેખાતી 434.1 nm તરંગલંબાઈની રેખાને H_γ રેખા કહે છે.
જેમ તરંગલંબાઈ ઘટતી જાય તેમ રેખાઓ એકબીજીની વધુ નજીક આવેલી અને ઓછી તીવ્રતા ધરાવતી જણાય છે.

બામરૈ શ્રેણીની તરંગલંબાઈ માટે આનુભિવક સૂત્ર આપ્યું જે \(\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right]\)
જ્યાં λ= તરંગલંબાઈ
R = રીડબર્ગ અચળાંક = 1.097 × 10⁷m^-1 છે.
n = પૂર્ણાંક મૂલ્યો 3, 4, 5,
આ સમીકરણમાં n = 3 લેતાં H_α રેખા (મહત્તમ તરંગલંબાઈ) મળે.

અથવા λ = 656.2 nm
⇒ n = 4 લેતાં H_β રેખા મળે તેની તરંગલંબાઈ,

⇒ n = ∞ લેતાં અનંતમી રેખા મળે જેની તરંગલંબાઈ સૌથી ટૂંકી (નાની) હોય.

∴ λ = 364.6 nm

આ અનંત (સીમા) રેખાથી આગળ કોઈ સ્પષ્ટ રેખા દેખાતી નથી પણ તેના બદલે ઝાંખો સતત વર્ણપટ દેખાય છે.
આ ઉપરાંત બીજી શોધાયેલી વર્ણપટ શ્રેણીઓને તેમના શોધકના નામ પરથી શ્રેણીઓના નામ આપેલા છે અને તેમના સૂત્રો નીચે

મુજબ છે :
લાઇમન શ્રેણી : પારજાંબલી (અલ્ટ્રાવાયોલેટ) વિભાગમાં મળે.
\(\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{1^2}-\frac{1}{n^2}\right]\) જ્યાં n = 2, 3, 4, …
જો n = 2 તો લાઈમન શ્રેણીની H_α રેખા મળે.
n = 3 તો લાઈમન શ્રેણીની H_β રેખા મળે.
n = 4 તો લાઈમન શ્રેણીની H_γ રેખા મળે.

પાચન શ્રેણી : પારરક્ત વિભાગમાં મળે.
\(\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{3^2}-\frac{1}{n^2}\right]\) જ્યાં 1 = 4, 5, 6, …
જો n = 4 તો પાચન શ્રેણીની H_α રેખા મળે.
n = 5 તો પાચન શ્રેણીની H_β રેખા મળે.
n = 6 તો પાશ્ચન શ્રેણીની H_γ રેખા મળે.

બ્રેકેટ શ્રેણી : પા૨૨ક્ત વિભાગમાં મળે.
\(\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{5^2}-\frac{1}{n^2}\right] \) જ્યાં n = 5, 6, 7, ………………. ,
જો n = 5 તો બ્રેકેટ શ્રેણીની H_α રેખા મળે.
n = 6 તો બૅકેટ શ્રેણીની H_β રેખા મળે.
n = 7 તો જૅકેટ શ્રેણીની H_γ રેખા મળે.

ફંડ શ્રેણી : પારરક્ત વિભાગમાં મળે.
\(\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{5^2}-\frac{1}{n^2}\right] \) જ્યાં n = 6, 7, 8, ….
જો n = 6 તો ફંડ શ્રેત્રીની H_α રેખા મળે.
or = 7 તો ફંડ શ્રેત્રીની H_β રેખા મળે.
n = 8 તો ફંડ શ્રેણીની H_γ રેખા મળે.

ઉપરની બધી જ શ્રેણીઓ માટેનું વ્યાપક સૂત્ર નીચે મુજબ છે.
\(\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right] \) જ્યાં m = n – 1
જો m = 1 ⇒ લાઇમન શ્રેણી m = 2, બામર શ્રેણી m = 3, પાશ્ચન શ્રેણી m = 4, જૅકેટ શ્રેણી અને m = 5 તો ફંડ શ્રેણી માટેના સૂત્રો મળે.

પ્રશ્ન 13.
બામર સૂત્રને પ્રકાશની આવૃત્તિના પદમાં લખો.
ઉત્તર:
બામર સૂત્ર : \( \frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right]\) માં ; \(\frac{1}{\lambda}=\frac{v}{c} \) મૂકતાં,
∴ \(\frac{v}{c}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right] \)
∴ v = Rc\(\left[\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right]\)
જે બામર શ્રેણીની આવૃત્તિ માટેનું સૂત્ર છે.

પ્રશ્ન 14.
બોહ્રના પરમાણુ મૉડલની સફળતા જણાવો.
ઉત્તર:
હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની સ્થિરતા અને ઊર્જા સમજાવી શકાય છે.
બહુ ઓછા તત્ત્વો જેવાં કે, H₂, He⁺ (સીંગલી આયોનાઇઝ હિલિયમ), Li²⁺ (ડબલી આયોનાઇઝ લિથિયમ), Be³⁺ (ત્રીપલી આયોનાઇઝડ બેરિલિયમ)ના વર્ણપટની બામર શ્રેણી માટે \(\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right] \), n = 2,3,4……….., સૂત્રો લાગુ પાડી શકાય છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં જો ઇલેક્ટ્રોન નીચી ઊર્જાવાળા સ્તરમાંથી ઊંચી ઊર્જાવાળા સ્તરમાં સંક્રાંતિ પામે, તો શોષાતા વિકિરણની તરંગલંબાઈ અને જો ઇલેક્ટ્રૉન ઊંચી ઊર્જાવાળા સ્તરમાંથી નીચી ઊર્જાવાળા સ્તરમાં સંક્રાંતિ પામે, તો ઉત્સર્જાતા વિકિરણની
તરંગલંબાઈ \(\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right]\) સૂત્રથી મળે છે.
જ્યાં n = 2, 3, 4, .. અને m = n- 1

પ્રશ્ન 15.
ફર્ડનું પરમાણુ મૉડલ સમજાવીને તેની મર્યાદા જણાવો.
ઉત્તર:
જેમ સૂર્યની આસપાસ ગ્રહો ભ્રમણ કરે છે તેમ રજ્જુ સૂચવેલા પરમાણુ મૉડલમાં કેન્દ્રમાં ન્યુક્લિયસ અને તેની આસપાસ ભ્રમણ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉનનું બનેલું પરમાણુ સ્થાયી છે.
આ બંનેમાં મૂળભૂત તફાવત એ છે કે, સૂર્ય અને ગ્રહોના બનેલા તંત્રમાં ગ્રહો ગુરુત્વાકર્ષણ બળથી પકડાયેલા રહે છે. જયારે ન્યુક્લિયસ-ઇલેક્ટ્રૉનના બનેલા પરમાણુમાં કુલંબ બળના નિયમથી આંતરક્રિયા કરે છે.
રધરફર્ડના પરમાણુ મૉડલની મર્યાદા: પ્રચલિત યંત્રશાસ્ત્ર અનુસાર ઇલેક્ટ્રોનની ક્લીય ત્રિજયા ઉપર કોઈ પણ પ્રકારની મર્યાદા ન હોઈ શકે.
ન્યુક્લિયસની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ કેન્દ્રગામી હોય છે.
પ્રચલિત વિદ્યુતચુંબકીય વાદ અનુસાર પ્રર્વેગિત ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર (ઇલેક્ટ્રોન) વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણના સ્વરૂપમાં ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરે આથી ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા સતત ઘટતી જાય. આથી ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા વર્તુળાકાર રહેવાના બદલે કમાન (સર્પિલ) આકારની થાય તેથી અંતમાં તે ન્યુક્લિયસમાં પડી જાય. જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

આમ, આવી . પરમાણુ સ્થાપી ન જ હોઈ શકે.
ઉપરાંત પ્રચલિત વિદ્યુતચુંબકીય વાદ અનુસાર ભ્રમણ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉન વડે ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણની આવૃત્તિ, પરિભ્રમણની આવૃત્તિ જેટલી હોય છે.
આથી ઇલેક્ટ્રોન જેમ-જેમ અંદર તરફ સર્પિલ ગતિ કરે, તેમ- તેમ તેનો કોણીય વેગ અને તેથી આવૃત્તિ સતત બદલાયા કરે તેથી ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ પણ સતત બદલાય અને સતત વર્ણપટ ઉત્સર્જિત કરે જે હકીકતમાં જીવા મળતા રેખીય વર્ણપટની વિરુદ્ધ છે.
આમ, ધર્ડનું પરમાણુ મોડલ એવું જણાવે છે કે, પરમાણુનું બંધારણ (મૉડલ) સમજાવવા માટે પ્રચલિત ખ્યાલો પૂરતા નથી. કારણ કે, આ મૉડલ પરમાણુની સ્થિરતા સમજાવવામાં નિષ્ફળ જાય છે.

પ્રશ્ન 16.
બોહ્રનું પરમાણુ મૉડલ સમજાવો.
ઉત્તર:
1913માં બી એવા નિર્ણય પર પહોંચ્યા કે મોટા માપક્રમની ઘટનાઓને સમજાવવામાં વિદ્યુતચુંબકીય વાદ સફળ હોવા છતાં તે નાના (પરમાણુ) માપક્રમની પ્રક્રિયાઓને લાગુ પાડી શકાતો નથી. પ્રચલિત યંગશાસ્ત્રના અને વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંતોથી જુદા પડતા ખ્યાલોની, પરમાણુનું બંધારણ અને તેનો પરમાણુ વર્ણપટ સાથેનો સંબંધ સમજવા માટે જરૂર પડે છે.

બોફ્ટે પ્રચલિત અને શરૂઆતના ક્વૉન્ટમ ખ્યાલોને સંયોજિત કરીને નીચે મુજબના બન્ને અધિતર્કો આપ્યા :
1. પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉન કેટલીક સ્થાયી કક્ષાઓમાં વિકિરણ ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કર્યા વિના ભ્રમણ કરી શકે છે. આ બાબત વિદ્યુતચુંબકીય વાદના અનુમાનો કરતાં વિરુદ્ધ છે. આ અધિતર્ક અનુસાર દરેક પરમાણુ કેટલીક ચોક્કસ સ્થાયી અવસ્થાઓમાં હોઈ શકે છે અને દરેક શક્ય અવસ્થા ચોક્કસ મૂલ્યની ઊર્જા ધરાવે છે. આ અવસ્થાઓને પરમાણુની સ્થાયી અવસ્થાઓ કહે છે.

2. ન્યુક્લિયસની આસપાસ ઇલેક્ટ્રૉન માત્ર એવી જ કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરે છે કે જેમાં તેનું કોણીય વેગમાન \(\frac{h}{2 \pi} \) ના કોઈ પૂર્ણાંક ગુલાંક જેટલું હોય. જયાં h એ પ્લાન્કનો અચળાંક (= 6.6 × 10^-34JS) છે. આમ, કશીય ઇલેક્ટ્રૉનના કોણીય વેગમાન (L) નું ક્વૉન્ટમીકરણ થયેલ છે એટલે કે,
L = \(\frac{n h}{2 \pi}\) = mvr
આ અતિર્ક સ્થાયી અવસ્થાઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

3. બોરના ત્રીજા અધિતર્કમાં પ્લાન્ક અને આઇન્સ્ટાઈન દ્વારા વિકસિત કરેલા પ્રારંભિક ક્વૉન્ટમ ખ્યાલોનો પરમાણુવાદમાં સમાવેશ કરેલો હતો. આ અધિત જણાવે છે કે, ઇલેક્ટ્રૉન તેની વિકિરણ ઉત્સર્જિત ન કરતી એક કક્ષામાંથી નિમ્ન ઊર્જાની બીજી ક્શામાં સંક્રાંતિ કરી શકે છે અને જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉન આવી સંક્રાંતિ કરે છે ત્યારે એક ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે જેની ઊર્જા, પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓની ઊર્જાઓ વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.

ઉત્સર્જિત ફોટોનની આવૃત્તિ,
h_v = E_i – E_f
∴ v = \(\frac{\mathrm{E}_i-\mathrm{E}_f}{h} \)
જ્યાં
v = ફોટોનની આવૃત્તિ
E_i = પ્રારંભિક અવસ્થાની ઊર્જા અને
E_f = અંતિમ અવસ્થાની ઊર્જા છે.
તથા E_i > E_f છે.

પ્રશ્ન 17.
બોહ્ર મૉડલ પર આધારિત આપેલ પરમાણુના ઇલેક્ટ્રૉનની ‘n’ મી’ કક્ષીય ત્રિજ્યાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં બોહ્રનું પરમાણુ મોડલ દર્શાવેલ છે.

ધારો કે, ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ m, વિદ્યુતભાર e, ‘n’ મી કક્ષામાં રેખીય ઝડપ v_n, અને કક્ષાની ત્રિજયા, r_n છે તથા ન્યુક્લિયસ પરનો વિદ્યુતભાર Z_e છે. જ્યાં Z = તત્ત્વનો પરમાણુક્રમાંક છે.
ઇલેક્ટ્રૉનને વર્તુળાકાર ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ, ઇલેક્ટ્રૉન અને ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનું કુલંબ આકર્ષણ બળ પૂરું પાડે છે.
∴ \(\frac{m v_n^2}{r_n}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{(\mathrm{Ze} e)(e)}{r_n^2}=\frac{\mathrm{Z} e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n^2} \) …………………… (1)
જ્યાં ∈₀ = માધ્યમની પરિમિટિવટી છે.

બોહ્રના અધિતર્ક-2 પરથી ‘′nમી” કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનનું કોણીય વેગમાન L_n હોય તો,
L_n = \(\frac{n h}{2 \pi}\)
∴ mv_nr_n = \(\frac{n h}{2 \pi}\) ………………………….. (2)
સમીકરણ (1) પરથી,
v_n(mv_nr_n) = \(\frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0}\)
સમીકરણ (2) નું મૂલ્ય મૂકતાં,
v_n \(\frac{n h}{2 \pi}=\frac{Z e^2}{4 \pi \epsilon_0} \) [સમીકરણ (2) પરથી]
∴ v_n = \(\frac{Z e^2}{4 \pi \in_0} \cdot \frac{1}{\frac{n h}{2 \pi}} \)
∴ v_n = \(\frac{1}{n} \cdot \frac{\mathrm{Z} e^2}{2 h \epsilon_0} \) …………………………….. (3)
∴ v_n ∝ \(\frac{\mathrm{Z}}{n}\) જ્યાં e,2,h,∈₀ અચળ

આમ, ‘nમી’ કક્ષામાં કશીય વેગ ઘટીને 7માં ભાગનો થાય છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે Z = 1 લેતાં,
v_n ∝ \(\frac{1}{n}\)
હવે સમીકરણ (2) પરથી, nh
r_n = \(\frac{n h}{2 \pi m v_n} \)
સમીકરણ (3) નું મૂલ્ય મૂકતાં,

હાઇડ્રોજન માટે Z = 1
∴ r_n = \(\frac{n^2 h^2 \in_0}{\pi m e^2} \) ………………………….. (4)
∴ r_n ∝ n² [∵ બાકીના પદ અચળ]
સૌથી અંદરની કક્ષા (n = 1) માટે કશીય ત્રિજ્યાને બોર ત્રિજ્યા કહે છે અને તેને a₀ સંકેતથી રજૂ કરી શકાય છે. સમીકરણ (4) માં n = 1 મૂકતાં,
r₁ = a₀ = n²\(\left(\frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2}\right) \)
h, ∈₀, π, m અને e ના પ્રચલિત મૂલ્યો મૂક્તાં,
a₀ = 5.29 x 10^-11 m અથવા આશરે 0.53 Å મળે છે.

પ્રશ્ન 18.
બોહ્રના પરમાણુ મૉડલ માટે ‘nમી’ કક્ષાની ત્રિજ્યા r_n = \(\frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m Z e^2} \) સૂત્ર સ્વીકારીને ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જાનું સૂત્ર તાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં બોહ્રનું પરમાણુ મૉડલ દર્શાવેલ છે.

ધારો કે, ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ m, વિદ્યુતભાર e, ‘n’મી કક્ષામાં રૂખીય ઝડપ ‘v_n અને કક્ષીય ત્રિજ્યા r_n છે.
ન્યુક્લિયસનો ધન વિદ્યુતભાર Ze છે. જ્યાં Z = તત્ત્વનો પરમાણુક્રમાંક છે.
ઇલેક્ટ્રૉનને ન્યુક્લિયસની આસપાસ વર્તુળાકાર ગતિ કરાવવા જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ, ઇલેક્ટ્રૉન અને ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનું કુલંબ આકર્ષણ બળ પૂરું પાડે છે,

⇒ ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા,
E_n = ગતિઊર્જા K + સ્થિતિઊર્જા U
= \(\frac{\mathrm{Ze}^2}{8 \pi \epsilon_0 r_n}-\frac{\mathrm{Ze}^2}{4 \pi \epsilon_0 r_n} \) [∵ સમીકરણ (1) અને (2) પરથી]
= \(-\frac{Z \mathrm{e}^2}{8 \pi \epsilon_0 r_n} \)

હવે r_n = \(\frac{n^2 h^2 \in_0}{\pi m \mathrm{Ze}^2}\) મૂકતાં,
E_n = \(-\frac{\mathrm{Ze}^2}{8 \pi \epsilon_0} \times \frac{\pi m Z \mathrm{e}^2}{n^2 h^2 \epsilon_0} \)
∴ E_n = \(-\frac{m Z^2 \mathrm{e}^4}{8 n^2 h^2 \epsilon_0^2} \) ………………………….. (3)
∴ E_n ∝ \(-\frac{Z^2}{n^2} \) [∵ બાકીના પો અચળ]
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે Z = 1 લેતાં,
E_n = \(\frac{m e^4}{8 n^2 h^2 \epsilon_0^2} \) ………………………………….. (4)
જે પરમાણુની ‘n’મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા છે. આ સૂત્ર મેળવવા એવું ધારેલું છે કે, ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા વર્તુળાકાર છે. સમીકરણ (4) માં m,e, h અને ∈₀ ના સ્વીકૃત મૂલ્યો મૂકતાં,

કુલ ઊર્જાનું ઋલ મૂલ્ય એમ સૂચવે છે કે, ઇલેક્ટ્રૉન ન્યુક્લિયસ સાથે બંધાયેલો છે.

વધુ માહિતી :

પ્રશ્ન 19.
પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા E_n = \(-\frac{Z^2 m e^4}{8 \in_0^2 n^2 h^2} \) પૂર્વધારણાના આધારે મેળવેલ છે ? તે ક્યારે સાચું છે ?
ઉત્તર:
E_n = \(-\frac{Z^2 m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}\) સૂત્ર મેળવવા માટે ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા વર્તુળાકાર ધારેલી છે પણ ખરેખર વ્યસ્ત વર્ગના બળની અસર હેઠળ ક્યાઓ દીર્યવૃત્તીય આકારની હોય છે. જેમ કે, સૂર્યની આસપાસ ગ્રહની કક્ષાઓ દીર્યવૃત્તીય હોય છે. પણ સોમરફેલ્ડ નામના વૈજ્ઞાનિકે દર્શાવ્યું કે વર્તુળાકાર કક્ષાઓનું નિયંત્રણ હળવું કરવામાં આવે તો ઉપરનું સૂત્ર દીર્ઘવૃત્તીય કક્ષાઓને પણ લાગુ પાડી શકાય છે.

પ્રશ્ન 20.
પરમાણુની ધરા અવસ્થા કોને કહે છે ? અને હાઇડ્રોજન પરમાણુની આયનીકરણ ઊર્જા અને ઉત્તેજિત ઊર્જા કોને કહે છે ?
ઉત્તર:
પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા E_n = \(-\frac{m Z^2 \mathrm{e}^4}{8 n^2 h^2 \epsilon_0^2} \) છે
∴ E_n = \(-\frac{13.6 \mathrm{Z}^2}{n^2} \mathrm{eV}\)
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે જેમ-જેમ ‘n’ નું મૂલ્ય વધે તેમ-તેમ ઋણ E_n, ઘટે છે એટલે કે ઊર્જા વધે છે, એટલે કે ન્યુક્લિયસથી દૂરની કક્ષાઓમાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા ક્રમશઃ વધે છે.

જ્યારે ન્યુક્લિયસની સૌથી નજીક એટલે n = 1 કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉન ભ્રમણ કરતો હોય ત્યારે તેની ઊર્જા લઘુતમ (મહત્તમ ઋણ મૂલ્ય) હોય છે. પરમાણુની આવી નિમ્નતમ અવસ્થાને પરમાણુની ધરા અવસ્થા કહે છે.
બોહર ત્રિજયા a₀ ની કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા
E₁ = \(-\frac{13.6 Z^2}{n^2} \mathrm{eV} \)
હાઇડ્રોજન માટે Z = 1, n = 1
∴ E₁ = – 13.6 eV

આથી, હાઇડ્રોજન પરમાણુની ધરા અવસ્થામાંથી ઇલેક્ટ્રૉનને મુક્ત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા 13.6 eV છે. જેને હાઇડ્રોજન પરમાણુની આયનીકરણ ઊર્જા કહે છે.
મોટાભાગના હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ ઓરડાના તાપમાને ધરા અવસ્થામાં હોય છે. જ્યારે આ પરમાણુ કોઈક રીતે ઊર્જા પ્રાપ્ત કરે છે ત્યારે તે ઇલેક્ટ્રૉન દૂરની (ઊંચી) અવસ્થામાં જવા માટે શક્તિમાન બને છે. જેને પરમાણુની ઉત્તેજિત અવસ્થા કહે છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનને પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા (n = 2) માં લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા
E₂ – E₁ = \(-\frac{13.6}{2^2}-\left(-\frac{13.6}{1^2}\right)\)
= \(\left(13.6-\frac{13.6}{4}\right)\) eV ઊર્જાની જરૂર પડે.
= 13.6 – 3.4 = 10.2 eV

અને H-પરમાણુમાં ધરા અવસ્થામાંના ઇલેક્ટ્રૉનને બીજી ઉત્તેજિત (n = ૩) અવસ્થામાં લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા
E₃ – E₁ = \(-\frac{13.6}{3^2}-\left(-\frac{13.6}{1^2}\right) \)
= 13.6 – 1.51
= 12.09 eV
આમ, હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ધરા અવસ્થામાંના ઇલેક્ટ્રૉનને બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થામાં લઈ જવા માટે 12.09 eV ઊર્જાની જરૂર પડે છે.
આ જ રીતે, ત્રીજ ઉત્તેજિત અવસ્થા કે ચૌથી ઉત્તેજિત અને અનંત ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રૉનને લઈ જવા જરૂરી ઊર્જા અનુક્રમે 12.75 eV, 13.06 eV અને 13.6 eV ની જરૂર પડે. જે ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ઇલેક્ટ્રૉન ઓછી ઊર્જાવાળી અવસ્થામાં પાછો આવે ત્યારે આ પ્રક્રિયામાં એક ફોટોનનું ઉત્સર્જન થાય છે.

જેમ-જેમ હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઉત્તેજિતતા વધે છે એટલે કે જેમ-જેમ n વધે છે તેમ-તેમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ઇલેક્ટ્રૉનને મુક્ત કરવા માટે જરૂરી લઘુતમ ઊર્જા ઘટતી જાય છે.
આમ, સમીકરણ E_n = \(-\frac{13.6}{n^2} \) eV પરથી હાઇડ્રોજન
પરમાણુની સ્થાયી અવસ્થાઓનું ઊર્જા સ્તર આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.

આકૃતિમાં જુદી-જુદી કક્ષાઓ માટેની ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જાને ઊભી અક્ષ પર આડી રેખાઓ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઊર્જા સ્તરો આડી રેખાઓ વર્ડ દર્શાવેલ છે.
જેમ-જેમ ક્વૉન્ટમ નંબર વર્ષે તેમ-તેમ બે ક્રમિક ઊર્જા સ્તરો વચ્ચેની ઊર્જાનો તફાવત ઘટતો જાય છે.

પ્રશ્ન 21.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊંચી ઊર્જા અવસ્થામાંથી નીચી ઊર્જા અવસ્થામાં સંક્રાંતિ કરે ત્યારે ઉત્સર્જાતા વિકિરણની આવૃત્તિ અને તરંગ સંખ્યાના સૂત્રો મેળવો.
ઉત્તર:
બોલ્ફ મૉડલની ત્રીજી પૂર્વધારણા પરથી જ્યારે પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉન ઊંચી ઊર્જા અવસ્થા n_i માંથી નીચી ઊર્જા અવસ્થા n_f માં સંક્રાંતિ કરે છે ત્યારે તેમની ઊર્જાના તફાવત જેટલી ઊર્જાનો ફોટોન ઉત્સર્જિત થાય છે. અહીં, n_i > n_f
n_i અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા,
E_ni = \(-\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2 n_i^2} \) ……………………….. (1)
n_f અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા,
E_nf = \(-\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2 n_f^2} \) ……………………………. (2)
E_ni > E_nf
∴ E_ni – E_nf = \(-\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2 n_i^2}-\left(-\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2 n_f^2}\right)\)
hv_if = \(\frac{m e^4}{8 \in_0^2 h^2}\left[\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right]\) જે હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટ માટેનું રીડબર્ગનું સૂત્ર છે.
∴ v_if = \(\frac{m e^4}{8 \in_0^2 h^3}\left[\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right] \) જે વિકિરણની આવૃત્તિનું સૂત્ર છે.

પણ c = λ_ifv_if
∴ V_if = \(\frac{c}{\lambda_{i f}} \)
∴ \(\frac{c}{\lambda_{i f}} \) = \(\frac{m e^4}{8 \in_0^2 h^3}\left[\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right] \)
∴ \(\frac{1}{\lambda_{i f}}=\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^3 c}\left[\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right] \) જે ઉત્સર્જાતા ફોટોનની તરંગ સંખ્યા માટેનું સૂત્ર છે.

પણ \(\frac{m e^4}{8 \in_0^2 h^3 c}\) રીડબર્ગ અચળાંક R અને દરેકના સ્વીકૃત મૂલ્યો મૂકી સાદુંરૂપ આપતાં સૈદ્ધાંતિક મૂલ્ય R = 1.03 × 10⁷ m^-1 મળે છે.
બામરના પ્રયોગ પરથી તેનું મૂલ્ય R = 1.097 × 10⁷ m^-1 મળે છે.
∴ \(\frac{1}{\lambda_{i f}}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right]\)
જ્યાં n_f = નીચી ઊર્જા અવસ્થાનો ક્વૉન્ટમ એક
n_i = ઊંચી ઊર્જા અવસ્થાનો ક્વૉન્ટમ અંક
રીડબર્ગ અચળાંકના સૈદ્ધાંતિક અને પ્રાયોગિક મૂલ્યોની સમાનતાએ બોહ્ર મૉડલને સમર્થન પૂરું પાડ્યું.

પ્રશ્ન 22.
પરમાણુમાં ઊર્જા સ્તરો વચ્ચેની સંક્રાંતિથી રેખીય વર્ણપટો આકૃતિ દોરીને સમજાવો.
ઉત્તર:
વિવિધ પરમાણુ અવસ્થાઓ વચ્ચેની સંક્રાંતિથી ઉત્સર્જાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈનું રીડબર્ગનું સૂત્ર,
\(\frac{1}{\lambda_{i f}}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right]\) અને n_f < n_i
જો n_f = 1 અને n_i = 2, 3, 4,…………………, લઈએ તો લાઈમન શ્રેણીની અનુક્રમે α, β, γ, δ, ……….., રેખાઓની તરંગ સંખ્યા મળે.
જો n_f = 2 અને n_i = 3, 4, 5, …………………, લઈએ તો બામર શ્રેણીની અનુક્રમે α, β, γ, δ, ……….., રેખાઓની તરંગલંબાઈ મળે.
જો n_f = 3 અને n_i= 4, 5, 6, …………………, લઈએ તો પાચન શ્રેણીની અનુક્રમે α, β, γ, δ, ……….., રેખાઓની તરંગલંબાઈ મળે.
જો n_f = 4 અને n_i = 5, 6, 7, …………………, લઈએ તો બૅકેટ શ્રેણીની અનુક્રમે α, β, γ, δ, ……….., રેખાઓની તરંગલંબાઈ મળે.
જો n_f = 5 અને n_i = 6, 7, 8, …………………, લઈએ તો ફંડ શ્રેણીની અનુક્રમે α, β, γ, δ, ……….., રેખાઓની તરંગલંબાઈ મળે.

આ બધી હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનની જુદી-જુદી સંક્રાંતિથી મળતી વર્ણપટ રેખાઓ નીચે આકૃતિમાં દર્શાવી છે. કુલ ઊર્જા E(eV)

પ્રશ્ન 23.
ઉત્સર્જન રેખાઓ અને શોષણ રેખાઓ સમજાવો.
ઉત્તર:

• જ્યારે પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉન ઉચ્ચ ઊર્જા અવસ્થામાંથી નિમ્ન ઊર્જા અવસ્થામાં સંક્રાંતિ કરે છે ત્યારે બંને અવસ્થામાં તેમની ઊર્જાના તફાવતને અનુરૂપ આવૃત્તિવાળો પ્રકાશ (ફોટોન) ઉત્પન્ન કરે છે જે રંગીન પ્રકાશિત રેખાઓ ઉત્પન્ન કરે છે.
• આ રંગીન રેખાઓને તરંગલંબાઈ કે આવૃત્તિ અનુસાર ક્રમશઃ ગોઠવતા વર્ણપટ મળે છે. આ રીતે મળતા વર્ણપટની રેખાઓને ઉત્સર્જન રેખાઓ કહે છે.
• જો પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન નિમ્ન ઊર્જા અવસ્થામાંથી ઉચ્ચ ઊર્જા અવસ્થામાં જાય તો બંને અવસ્થાઓની ઊર્જાના તફાવત જેટલી
  ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનને ઇલેક્ટ્રોન શોધે તો આ ક્રિયાને શોષણ કહે છે.
• જો સતત મૂલ્યો ધરાવતી આવૃત્તિઓના ફોટોનને ઓછી ઘનતાવાળા વાયુમાંથી પસાર કરી સ્પેક્ટ્રોમીટર વડે જોવામાં
  આવે તો એક સળંગ વર્ણપટમાં અપ્રકાશિત એવી શોષણ રેખાઓ મળે છે.
• અપ્રકાશિત રેખાઓ વાયુના પરમાણુ વડે શોષાયેલી આવૃત્તિઓનું સૂચન કરે છે.

પ્રશ્ન 24.
પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉન તરંગ તરીકે વર્તે તે માટે કોણીય વેગમાનનું ક્વૉન્ટાઇઝેશન સમજાવો.
ઉત્તર:
પરમાણુ મૉડલ રજૂ કરવા બોન્ફ્રે તેની બીજી પૂર્વધારણામાં કહ્યું કે ન્યુક્લિયસની આસપાસ ક્વીય ભ્રમણ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉનનું કોબ્રીય વેગમાનનું ક્વૉન્ટાઇઝેશન થાય છે.
1923 માં લૂઈ ડી-બ્રોગ્લીએ આ માટેનો ઉકેલ જણાવ્યો. ડી-પ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ ઇલેક્ટ્રૉન જેવાં દ્રવ્ય કણોને પણ તરંગ પ્રકૃતિ હોય છે. જેની પ્રાયોગિક ચકાસણી ડેવિસન અને ગર્મરે કરી.
બોટ્ટે સૂચવ્યું કે વર્તુળાકાર કક્ષામાંના ઇલેક્ટ્રૉનને દ્રવ્ય તરંગ તરીકે જોવું જોઈએ.
. દોરી પર પ્રસરતા તરંગોની જેમ, દ્રવ્ય તરંગો પણ અનુનાદ અનુભવી સ્થિત તરંગો ઉપજાવે છે.
જ્યારે દોરીને ખેંચી છોડી દેવામાં આવે ત્યારે દોરીમાં મોટી સંખ્યામાં તરંગો (એટલે તરંગલંબાઈઓ) ઉત્પન્ન થાય છે.
જે તરંગો માટે છેડાઓ પર નિષ્પદ બિંદુઓ હોય અને સ્થિત તરંગો રચતા હોય તેવા જ તરંગો દોરી પર ટકી રહે છે. એટલે કે, દોરીમાં સ્થિત તરંગો ત્યારે રચાય છે કે જ્યારે તરંગે દોરી પર જતાં અને પાછા આવતાં કાપેલું કુલ અંતર, એક તરંગલંબાઈ, બે તરંગલંબાઈ અથવા તરંગલંબાઈના કોઈ પણ પૂર્ણાંક ગણું હોય.
આ સિવાયની તરંગલંબાઈઓ ધરાવતા તરંગો મૂળ તરંગ અને પરાવર્તિત તરંગ સાથે વ્યતિકરણ અનુભવે છે અને તેમનો કંવિસ્તાર ઝડપથી ઘટીને તેમની સરેરાશ તીવ્રતા શૂન્ય થાય. આ સંજોગોમાં ઇલેક્ટ્રૉન આવી કક્ષામાં રહી શકે નહીં.
r_n ત્રિજ્યાની ‘n મી’ વર્તુળાકાર કક્ષામાં એક ભ્રમણ માટે ઇલેક્ટ્રૉને કાપેલું અંતર કક્ષાના પરિઘ જેટલું હોય છે.
∴ કક્ષાનો પરિધ = n તરંગલંબાઈ
∴ 2πr_n = nλ ………………………….. (1) જયાં n = 1, 2, 3, ……………………….,

આકૃતિમાં ચાર તરંગલંબાઈ માટે વર્તુળાકાર કક્ષા પરનું સ્થિત તરંગ દર્શાવેલ છે.
∴ અહીં n = 4
ડી-બૉગ્લી તરંગલંબાઈ અને વેગમાનનો સંબંધ,
λ = \(\frac{h}{p}=\frac{h}{m v_n} \) …………………………………. (2) [∵ p = mv_n]
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
2πr_n = n\(\left(\frac{h}{m v_n}\right) \)
∴ mv_nr_n = \(\frac{n h}{2 \pi}\)
જે પરમાણુ મૉડલ માટે બોરની પૂર્વધારણા બીજી છે જે ન્યુક્લિયસની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રૉનનું કોણીય વેગમાન \(\frac{h}{2 \pi}\) ના પૂર્ણાંક ગુલ્લાંક જેટલું હોય છે. આમ,
ડી-બ્રૉગ્લી એ કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રૉનના કોબ્રીય વેગમાનના ક્વૉન્ટમીકરાની સમજૂતી આપી.
ક્વૉન્ટમીકૃત ઇલેક્ટ્રૉન કક્ષાઓ અને ઊર્જા અવસ્થાઓ ઇલેક્ટ્રૉનના તરંગ સ્વરૂપના કારણે છે અને માત્ર અનુનાદિત સ્થિત તરંગો ટકી શકે છે.

પ્રશ્ન 25.
બોહ્રના પરમાણુ મૉડલની મર્યાદાઓ જણાવો.
ઉત્તર:
1. બોહ્ર પરમાણુ મૉડલ હાઇડ્રોજન જેવા પરમા ઓને લાગુ પડે છે. એટલે કે, આ મૉડલ બે ઇલેક્ટ્રૉન ધરાવતા હિલિયમ જેવા પરમાણુઓને પણ લાગુ પાડી શકાતું નથી. ઉપરાંત હાઇડ્રોજન વર્ણપટ રેખાઓ એક કરતાં વધારે રેખાઓની બનેલી હોવાનું જણાય છે. આ હકીકત બોહર મૉડલથી સમજાવી શકાતી નથી. બોર મૉડલની રચનામાં ધન વિદ્યુતભારિત ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચેનું વિધુતબળ સંક્ળાયેલું છે. તે બહુ- ઇલેક્ટ્રૉન પરમાણુઓમાં દેખાતા ઇલેક્ટ્રૉન-ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચેના વિદ્યુતબળોનો સમાવેશ કરતું નથી.

2. બોહ્રર મૉડલ, હાઇડ્રોજન પરમાણુઓ વડે ઉત્સર્જિત પ્રકાશની આવૃત્તિઓનું સાચી રીતે પૂર્વાનુમાન કરે છે, તેમ છતાં આ મૉડલ વર્ણપટમાં આવૃત્તિઓની સાપેક્ષ તીવ્રતાઓ સમજાવી શકતું નથી.

3. બોરનું મૉડલ તીવ્રતાના ફેરફારો સમજાવવા માટે અશક્ત છે. એટલે કે આ મોડલથી વર્ણપટ રેખાઓની તીવ્રતા પણ સમજાવી શકાતી નથી.

4. આ મૉડલ જટિલ પરમાણુઓને લાગુ પાડી શકાતું નથી. પણ આ માટે ક્વૉન્ટમ યંત્રશાસ્ત્ર પર આધારિત મૂળભૂત રીતે અલગ પડતા નવા વાદનો ઉપયોગ કરવો પડે છે. એટલે કે બોર મોડલની ગાતરીમાં પ્રચલિત મિકેનિક્સ જ વપરાયું છે. પ્રચલિત મિકેનિક્સ અને ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંતોનું જોડાણ એક કર્જ઼ડા દંપતી જેવું છે.

5. ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા વર્તુળાકાર પણ હોવી જરૂરી નથી. તે લંબગોળ પણ હોઈ શકે છે.

દર્પણના પરીક્ષાલક્ષી દાખલા

પ્રશ્ન 1.
લાઇમન અને પાચન શ્રેણીઓની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઈઓ અનુક્રમે λ₁ અને λ₂ છે, તો λ₁: λ₂ શોધો.
ઉત્તર:
લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઈ
∴ \(\frac{1}{\lambda_1}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{1^2}-\frac{1}{n_i^2}\right]\) [∵ પ્રથમ રેખા માટે n₁ = 2]
∴ \(\frac{1}{\lambda_1}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right]=\mathrm{R}\left[1-\frac{1}{4}\right] \)
∴ \(\frac{1}{\lambda_1}=\frac{3 R}{4} \) ………………………… (1)
⇒ પાશ્ચન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઈ λ₂,
∴ \(\frac{1}{\lambda_2}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\right]\) [ ∵ પ્રથમ રેખા માટે n_i = 4]
∴ \(\frac{1}{\lambda_2}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{9}-\frac{1}{16}\right]=\mathrm{R}\left[\frac{7}{144}\right] \)
∴ \(\frac{1}{\lambda_2}=\frac{7 \mathrm{R}}{144} \) ……………………………. (2)
⇒ સમીકરણ (2) અને સમીકરણ (1) નો ગુન્નોત્તર લેતાં,
\(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{7 \mathrm{R}}{144} \times \frac{4}{3 \mathrm{R}}\)
∴ \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{7}{108} \)

પ્રશ્ન 2.
હાઇડ્રોજન પરમાણુના વર્ણપટમાં લાઇમન શ્રેણીની બીજી રેખા અને પહેલી રેખાની તરંગસંખ્યાનો તફાવત શોધો. R = 1.09 x 10⁷ m^-1 લો.
ઉત્તર:
હાઇડ્રોજન પરમાણુની લાઇમન શ્રેણીની બીજી રેખા માટે,
\(\frac{1}{\lambda_2}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}\right]=\mathrm{R}\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{9}\right]\)
\( \frac{1}{\lambda_2}=\frac{8 R}{9}\) …………………………….. (1)
અને લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખા માટે,
\(\frac{1}{\lambda_1}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right]=\mathrm{R}\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\right] \)
\(\frac{1}{\lambda_1}=\frac{3 R}{4} \) …………………………………… (2)
⇒ તરંગસંખ્યાનો તફાવત,
\(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1}=\frac{8 \mathrm{R}}{9}-\frac{3 \mathrm{R}}{4}=\mathrm{R}\left[\frac{8}{9}-\frac{3}{4}\right] \)
= 1.09 × 10⁷ \(\left[\frac{32-27}{36}\right]\)
= 1.09 × 10⁷ × \(\frac{5}{36} \)
= 0.1513 × 10⁷ m^-1

પ્રશ્ન 3.
બામર શ્રેણીની H_β રેખાની તરંગલંબાઈ 4860 Å હોય તો H_α રેખાની તરંગલંબાઈ શોધો.
ઉત્તર:
H₂ પરમાણુના વર્ણપટની બામર શ્રેણીની H_β રેખા માટે
\(\frac{1}{\lambda_\beta}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}\right]=\mathrm{R}\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right] \)
\(\frac{1}{\lambda_\beta}=\frac{3 R}{16} \) ………………………………… (1)
⇒ H₂ પરમાણુના વર્ણપટની બામર શ્રેણીની H_α રેખા માટે
\(\frac{1}{\lambda_\alpha}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right]=\mathrm{R}\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right]\)
\(\frac{1}{\lambda_\alpha}=\frac{5 \mathrm{R}}{36}\) ………………………………………… (2)

⇒ સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (2) નો ગુન્નોત્તર લેતાં,
\(\frac{\lambda_\alpha}{\lambda_\beta}=\frac{3 R}{16} \times \frac{36}{5 R}\)
λ_α = \(\lambda_\beta \times \frac{27}{20}\)
= \(4860 \times \frac{27}{20}\)
∴ λ_α = 6561 Å

પ્રશ્ન 4.
H₂ વર્ણપટ માટે લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઈ λ છે, તો ફંડ શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઈ શોધો.
ઉત્તર:
લાઇમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઈ λ હોય તો
\(\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right]=\mathrm{R}\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\right]\)
\(\frac{1}{\lambda}=\frac{3 R}{4} \) …………………………… (1)
⇒ ફંડ શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઈ λ’ હોય તો
\(\frac{1}{\lambda^{\prime}}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{5^2}-\frac{1}{6^2}\right]=\mathrm{R}\left[\frac{1}{25}-\frac{1}{36}\right] \)
\(\frac{1}{\lambda^{\prime}}=\frac{11 \mathrm{R}}{900} \) ………………………………… (2)
⇒ સમીકરણ (1) અને સમીકરણ (2) નો ગુણોત્તર લેતાં,
\(\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda}=\frac{3 R}{4} \times \frac{900}{11 R}=\frac{2700}{44} \)
λ’ = 61.36 λ

પ્રશ્ન 5.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં એક ઇલેક્ટ્રૉન n = 6 માંથી n = 3 મી કક્ષામાં સંક્રાંતિ કરે છે, તો ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ શોધો.
ઉત્તર:
H₂ પરમાણુમાં ઉત્સર્જાતા વિકિરણની તરંગ સંખ્યા,
\(\frac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left[\frac{1}{3^2}-\frac{1}{6^2}\right]=\mathrm{R}\left[\frac{1}{9}-\frac{1}{36}\right] \)
\(\frac{1}{\lambda}=\frac{27 \mathrm{R}}{324}=\frac{\mathrm{R}}{12} \) ……………………….. (1)
⇒ કવે, c = λv
∴ \(\frac{1}{\lambda}=\frac{v}{c} \)
∴ \(\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{R}}{12}\) [∵ સમીકરણ (1) પરથી]
∴ v = \(\frac{\mathrm{Rc}}{12}=\frac{1.09 \times 10^7 \times 3 \times 10^8}{12}\)
∴ v = 0,2725 × 10¹⁵ Hz

પ્રશ્ન 6.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉન 5.29 × 10^-11m ત્રિજ્યા ધરાવતી કક્ષામાં ન્યુક્લિયસને ફરતે પરિભ્રમણ કરે છે. બોહ્રની Allowed ઇલેક્ટ્રોન-કક્ષા માટેની શસ્તને આધારે આ કક્ષાને અનુરૂપ મુખ્ય ક્વૉન્ટમ અંક શોધો.
h = 6.625 × 10^–34 Js, e = 1.6 x 10^-19 C, ∈₀ = 8.85 × 10^-12 MKS, m = 9.1 × 10^–31 kg તમારા જવાબ પરથી તારણ આપો.
ઉત્તર:
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે Z=1 છે અને ઇલેક્ટ્રૉનને જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કુલંબીય બળ દ્વારા પૂરું પડે છે,
∴ \(\frac{m v^2}{r}=\frac{1}{4 \pi \in_0} \frac{e^2}{r^2}\) (∵ Z = 1)
∴ v² = \(\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 \cdot m r}\)
અહીં રેખીય વેગમાન p = mv
∴ p = \(\sqrt{\frac{m e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}}\)
ડી–બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
λ= \(\frac{h}{p}=\frac{h}{e} \sqrt{\frac{4 \pi \epsilon_0 r}{m}} \)
= \(\frac{6.625 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}}\left[\frac{4 \times 3.14 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 5.29 \times 10^{-11}}{9.1 \times 10^{-31}}\right]^{\frac{1}{2}}\)
= 4.141×10^-15 x [64.617×10⁸]^{\(\frac{1}{2} \)}
= 33.28 x 10^-11
λ = 3.328 × 10^-10 m
= 3.328 A°

પરંતુ allowed ઇલેક્ટ્રૉન કક્ષા માટેની બોહ્રની ક્વૉન્ટમ શરત મુજબ,
2πr = nλ
∴ n = \(\frac{2 \pi r}{\lambda}=\frac{2 \times 3.14 \times 5.29 \times 10^{-11}}{3.328 \times 10^{-10}}\)
= 9.98 × 10^-1
≈ 1
આમ બોહ્રની ક્વૉન્ટમ શરત મુજબ કહી શકાય કે ઇલેક્ટ્રોન તેની ધરાસ્થિતિ (n = 1) માં છે, જ્યારે ડી-બ્રૉગ્સી અધિતર્ક મુજબ કહી શકાય કે આપેલ કક્ષાનાં પરિધ માટે એક ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ બંધબેસતી આવે છે.

પ્રશ્ન 7.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉન તૃતીય ઉત્તેજિત અવસ્થામાંથી ધરાસ્થિતિમાં આવે ત્યારે ઉત્સર્જાતા વિકિરણની તરંગલંબાઈ અને તેને અનુરૂપ ફોટોનની ઊર્જાની eV માં ગણતરી કરો. (માર્ચ – 2016) રીંડબર્ગનો અચળાંક = 1.097 × 10⁷ m⁻¹,
c = 3 × 10⁸ m s^-1, h = 6.62 × 10^–34 J s
ઉત્તર:
R = 1,097 × 10⁷ m^-1
c = 3 × 10⁸ ms^-1
h = 6.62 × 10^–34 Js
n_i = 4 [તૃતીય ઉત્તેજિત અવસ્થા = 3 + 1]
n_f = 1

∴ E = 1.277 eV

પ્રશ્ન 8.
H⁺_e આયનમાંથી ઇલેક્ટ્રૉનને દૂર કરવા જરૂરી ઊર્જા ગણો.
ઉત્તર:
જરૂરી ઊર્જા E = \(-\frac{m Z^2 e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}\)
E = \(-\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} \cdot \frac{z^2}{n^2}\)
અહીં, \(-\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2}\) = 13.6 eV
E = \(13.6 \frac{Z^2}{n^2} e V \)
H⁺_e ઓયન માટે, Z=2 અને n=1 લેતાં,
E = \(\frac{13.6 \times 4}{1} \) = 54.4 eV

પ્રશ્ન 9.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનનું ‘ દળ, તેના કક્ષીય આવર્તકાળ અને કક્ષાની ત્રિજ્યાના સ્વરૂપમાં મેળવો.
ઉત્તર:
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનને જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કુટુંબીય બળ દ્વારા પૂરું પડાય છે.
∴ \(\frac{m v^2}{r}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r^2} \) (Z = 1)
∴ \(\frac{m r^2 \omega^2}{r}=\frac{1}{4 \pi \in_0} \frac{e^2}{r^2} \) (∵ v = rω)
∴ \(m \omega^2=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r^3}\)

અહીં ω = \(\frac{2 \pi}{T} \) લેતાં,
∴ \( m\left(\frac{4 \pi^2}{\mathrm{~T}^2}\right)=\frac{1}{4 \pi \in_0} \frac{e^2}{r^3}\)
∴ m = \(\frac{e^2 T^2}{16 \pi^3 \epsilon_0 r^3} \)

પ્રશ્ન 10.
જો હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઉત્તેજિત અવસ્થામાં સરેરાશ 10^-8 રહી શકતો હોય, તો ઇલેક્ટ્રૉન n = 2 અવસ્થામાંથી n = 1 અવસ્થામાં સંક્રાંતિ કરે તે પહેલાં લગભગ કેટલાં પરિભ્રમણ
કરશે ? બોહ્ર ત્રિજ્યા 0.53 Å અને વેગ v₁ = 2.19 × 10⁶ m/s.
ઉત્તર:
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ‘n’ મી કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉનનો વેગ
v_n = \(\frac{v_1}{n}\)
= \(\frac{2.19 \times 10^6}{n} \)
∴ v₂ = \(\frac{2.19 \times 10^6}{2}\) = 1.095 × 10⁶ m/s

અને ‘n’ મી. કક્ષામાં ત્રિજ્યા
r_n = n²r₁
= (2)² x 0.53 Å
= 4 x 0.53 Å
= 2.12 Å

⇒ એક સેકન્ડમાં પરિભ્રમણની સંખ્યા,
v = \( \frac{v_n}{2 \pi r_n}=\frac{v_2}{2 \pi r_2}\)
∴ v = \(\frac{1.095 \times 10^6}{2 \times 3.14 \times 2.12 \times 10^{-10}} \)
= 0.0822 × 10¹⁶ s^-1

⇒ 10^–8 સેકન્ડમાં પરિભ્રમજ્ઞની સંખ્યા,
N = v x t
= 0.0822 x 10¹⁶ × 10^-8
∴ N = 8.22 × 10⁶ પરિભ્રમણ

વિશેષ માહિતી : Higher Order Thinking Skills (HOTS)

પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા વિરુદ્ધ અવસ્થા (ક્ષીય ચિત્ર)
ભૌતિકવિજ્ઞાનના અભ્યાસમાં એક યા બીજી સમયે આપણને પરમબ્રૂના બોહ્ર મૉડલની ઓળખ થયેલી છે. આ મૉડલનું ક્વૉન્ટમ તંત્રશાસ્ત્રના ઇતિહાસમાં અને વિશેષ કરીને પરમાણ્નું બંધારણ સમજાવવામાં આગવું સ્થાન છે. પ્રચલિત ખ્યાલો મુજબ તો પ્રર્વેગિત કણને વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરવાની જરૂર છે, તેનાથી વિપરીત (વિરુદ્ધ) બોહરે ઇલેક્ટ્રૉન માટે નિશ્ચિત ઊર્જા ક્ષાઓનો ક્રાંતિકારી વિચાર રજૂ કર્યો તે એક સિમાચિહ્ન બની ગયેલ છે. બોહે નિશ્ચિત ક્શાઓમાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રૉનના કીશીય વૈગમાનના ક્વૉન્ટમીકરણ (Quantisation) નો ખ્યાલ રજૂ કર્યો. આમ, તે પરમાણુના બંધારણ અંગેનું અર્ધ-પ્રચલિત (Semi Classical) ચિત્ર હતું.

હવે, ક્વૉન્ટમ યંત્રશાસ્ત્રનો વિકાસ થતાં આપણે પરમાણુના બંધારણ અંગે વધુ સારી સમજણ ધરાવીએ છીએ. શ્રોડિજર (Schrodinger) ના તરંગ સમીકરણના ઉકેલો પ્રોટોનના આકર્ષા બળોને લીધે પરમાણુમાં બંધિત ઇલેક્ટ્રૉનનો તરંગ જેવો પ્રકાર દર્શાવે છે.

બોલ્ફ મૉડલમાં ઇલેક્ટ્રૉનની કક્ષા, ન્યુક્લિયસની આસપાસ ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિનો વર્તુળાકાર પથ છે. પરંતુ ક્વૉન્ટમ યંત્રશાસ્ત્ર મુજબ પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિ સાથે કોઈ નિશ્ચિત માર્ગ (પથ) આપણે સાંકળી શકીએ નહીં. આપણે માત્ર ન્યુક્લિયસની આસપાસ અમુક નિશ્ચિત વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રૉનને શોધવાની સંભાવના (Probability) ની જ વાત કરી શકીએ. આ સંભાવના એક-ઇલેક્ટ્રૉન તરંગવિધેય જેને Orbital કહે છે તેના પરથી નક્કી કરી શકાય છે.

આવું વિધેય ઇલેક્ટ્રૉનના ફક્ત યામો પર જ આધારિત છે. આથી, એ જરૂરી છે કે આપણે આ બે મૉડલ વચ્ચે રહેલો માર્મિક (સૂક્ષ્મ, subtle) તફાવત સમજીએ : બોસ્ફૂર મૉડલ એક ઇલેક્ટ્રૉન પરમાણુઓઆયનો માટે જ માન્ય છે, આ મૉડલમાં દરેક કક્ષાને અપાતું ઊર્જાનું મૂલ્ય મુખ્ય ક્વોન્ટમ અંક પર આધારિત છે. આપણે જાણીએ છીએ કે, એક-ઇલેક્ટ્રૉન પરમાણુ આયન માટે પરમાણુની સ્થાયી અવસ્થા સાથે સંકળાયેલ ઊર્જાનું મૂલ્ય માત્ર n પર આધારિત છે.

બહુ-ઇલેક્ટ્રૉન પરમાણુઆયન માટે આ સાચું નથી. હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુઓઆયનો માટે શ્રોડિંજરના તરંગ સમીકરણના ઉકેલ જેને તરંગ વિષય કહે છે તે, ન્યુક્લિયસની આસપાસ વિવિધ વિસ્તારોમાં ઇલેક્ટ્રૉનને શોધવાની સંભાવના અંગે માહિતી આપે છે. આ Orbitalને બોર મોડલમાં ઇલેક્ટ્રૉન માટે વ્યાખ્યાયિત કરેલ કક્ષા (Orbit) સાથે કોઈ સામ્યતા નથી.

ફ્રેન્ક-હર્ટ્ઝનો પ્રયોગ (Franck-Hertz Experiment)
પરમાર્થ્રોમાં અમુક નિશ્ચિત ઊર્જા સ્તરોના અસ્તિત્વની પ્રત્યક્ષ ચકાસણી 1914માં જૅમ્સ ફ્રેન્ક અને ગુસ્તાવ હર્ટ્ઝ દ્વારા કરવામાં આવી હતી. તેમણે વિવિધ ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રૉનને મર્ક્યુરીની બાષ્પ (Vapour) માંથી પસાર કરીને મળતાં મર્ક્યુરી બાષ્પના વર્ણપટનો અભ્યાસ કર્યો. ઇલેક્ટ્રૉન પર જુદી-જુદી તીવ્રતા ધરાવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર લાગુ પાડીને ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા બદલવામાં આવી હતી. ઇલેક્ટ્રૉન મર્ક્યુરીના પરમાણુ સાથે અથડાઈને મર્ક્યુરી પરમાણુઓને ઊર્જા પહોંચાડતા હતા.

આવું ત્યારે જ થઈ શકે કે આપાત ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા મર્ક્યુરી પરમાણુના સ્તરમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા અને તેની ઉપરના ખાલી સ્તરની ઊર્જાના તફાવત કરતાં વધુ હોય (જુઓ આકૃતિ). દાખલા તરીકે, ઇલેક્ટ્રૉન વડે ભરાયેલા Hg પરમાજીના ઊર્જા સ્તર અને ઉપરના ખાલી સ્તર વચ્ચેનો તફાવત 4.9 eV છે. જો 4.9 eV જેટલી કે તે કરતાં વધુ ઊર્જા ધરાવતો કોઈ ઇલેક્ટ્રૉન મર્ક્યુરી બાષ્પમાંથી પસાર થાય તો મર્ક્યુરી પરમાણુમાંનો ઇલેક્ટ્રૉન આ આપાત ઇલેક્ટ્રૉનમાંથી ઊર્જાનું શોષણ કરી શકે અને ઉચ્ચ સ્તર સુધી ઉત્તેજિત થઈ શકે. (આકૃતિ (a)), આ રીતે આપાત થઈને અથડાતા ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા આટલી માત્રામાં ઘટે છે.

ત્યારપછી, આ ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રૉન વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરીને ધરા અવસ્થામાં પાછો પડે છે.
ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઈ
λ = \(\frac{h c}{\mathrm{E}}=\frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4.9 \times 1.6 \times 10^{-19}}\) = 253 nm છે.
પ્રત્યક્ષ માપનમાં ફ્રેન્ક અને ર્ટ્ઝને જણાયું કે મર્ક્યુરીના ઉત્સર્જન વર્ણપટમાં આ તરંગલંબાઈને અનુરૂપ રેખા હાજર છે. પરમાણુમાં નિશ્ચિત ઊર્જાવાળા સ્તરો અંગે બોરના મૂળભૂત વિચાર અને ફોટોનના ઉત્સર્જનની પ્રક્રિયાની આ પ્રાયોગિક ચકાસણી માટે ફ્રેન્ક અને હર્ઝને 1925 માં નોબલ પ્રાઈઝ એનાયત થયું હતું.

લેસર પ્રકાશ (Laser Light)
ભીડવાળા બજાર અથવા રેલવે સ્ટેશનનો વિચાર કરો જેનાં એક દરવાજેથી દાખલ થઈને લોકો બધી દિશામાં જતા હોય. તેમનાં પગલાં અસ્તવ્યસ્ત હોય છે અને તેમની વચ્ચે કોઈ કળા સંબંધ હોતો નથી. બીજી તરફ, મોટી સંખ્યાના સૈનિકો નિયંત્રિક કૂચમાં હોય, તેનો વિચાર કર્યો. તેમનાં પગલાં (કદમો) વચ્ચે ખૂબ સારો સંબંધ છે. અહીંની આકૃતિ જુઓ.

આ તફાવત, મીણબત્તી કે બલ્બ જેવા સામાન્ય ઉદ્ગમ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાર અને લેસર વડે ઉત્સર્જિત પ્રકાશ વચ્ચેના તફાવત જેવો છે. LASER એ Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation નું ટૂંકું સ્વરૂપ છે. 1960 માં તેની શરૂઆતથી વિકાસ થતાં તે વિજ્ઞાન અને ટેક્નોલૉજીના દરેક ક્ષેત્રમાં દાખલ થયેલ છે.

ભૌતિકવિજ્ઞાન, રસાયણવિજ્ઞાન, જીવવિજ્ઞાન, ઔષધવિજ્ઞાન, શસ્ત્રક્રિયા (Surgery), ઇજનેરી વગેરેમાં તેના ઉપયોગ જણાયા છે. 0.5mW પાવર જેવા ઓછા પાવરના લેસર પેન્સિલ લેસર્સ કહેવાય છે અને તેઓ દર્શક (Pointer) તરીકે વપરાય છે. જુદા-જુદા પાવરના લેસર પણ હોય છે, જેમાંથી કેટલાક આંખની અથવા હોજરી (Stomach) માંની ગ્રંથિની નાજુક શસ્ત્રક્રિયા માટે યોગ્ય છે. અંતમાં, કેટલાક લેસર સ્ટીલને કાપી શકે કે કાયમી જોડાણ (Welding) કરી શકે તેવા હોય છે.

ઉદ્ગમમાંથી પ્રકાશ, તરંગોના પેકેટ (Packets) સ્વરૂપે ઉત્સર્જિત થાય છે. સામાન્ય ઉદ્ગમમાંથી આવતો પ્રકાશ પન્ની તરંગલંબાઈઓનું મિશ્રણ ધરાવે છે. વળી જુદા-જુદા તરંગો વચ્ચે કોઈ કળા સંબંધ પણ હોતો નથી. તેથી આવો પ્રકાશ, કોઈ છિદ્રમાંથી પસાર કરવામાં આવે તો પણ ઝડપથી ફેલાઈ જાય છે અને કિરણાવધિનું પરિમાત્ર અંતર સાથે ઝડપથી વધતું જાય છે. લેસર પ્રકાશની બાબતમાં, દરેક પેકેટની તરંગલંબાઈ લગભગ સમાન હોય છે. વળી, તરંગોના પેકેટની સરેરાશ લંબાઈ ઘણી વધારે હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે, લંબા સમયગાળા સુધી ઘણો સારો કળા-સંબંધ હોય છે. આના પરિણામે લેસર કિરણાવલિનું ફેલાઈ જવું ઘણું ઘી જાય છે.

જો ઉદ્ગમમાં N પરમાણુઓ હોય અને દરેક I તીવ્રતાનો પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરતા હોય તો સામાન્ય ઉદ્ગમ વડે ઉત્પન્ન થતી તીવ્રતા NI નો સમપ્રમાણમાં હોય છે, જ્યારે લેસર ઉદ્ગમમાં તે NIને સમપ્રમાણમાં છે. N ખૂબ જ મોટી સંખ્યા છે તેમ વિચારતાં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સામાન્ય ઉદ્ગમમાંથી આવતા પ્રકાશ કરતાં લેસરમાંથી આવતો પ્રકાશ ખૂબ તીવ્ર હોય છે.

જયારે એપોલો મિશન (Apollo Mission) ના અવકાશયાત્રીઓ ચંદ્ર પર પહોંચ્યા ત્યારે તેમણે પૃથ્વી તરફ રહે તે રીતે એક અરીસો તેની સપાટી પર મૂક્યો. પછી પૃથ્વી પરના વિજ્ઞાનીઓએ તીવ્ર લેસર કિરણ તેના પર મોકલ્યું જે અરીસા વડે પરાવર્તિત થઈને પૃથ્વી પર પાછું મેળવવામાં આવ્યું હતું. પરાવર્તિત લેસર કિરણનું પરિમાણ (Size) અને યાત્રાનો જવા-આવવાનો કુલ સમય માપવામાં આવ્યો હતો. આ પરથી (a) લેસર કિરણના અત્યંત ઓછા ફેલાવાનું અને (b) પૃથ્વીથી ચંદ્રના અંતરનું ચોકસાઈથી માપન થયું હતું.