GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 6 કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર

Gujarat Board GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 6 કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર Important Questions and Answers.

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 6 કાર્ય, ઊર્જા અને પાવર

પ્રશ્નોત્તર

પ્રશ્ન 1.
રોજિંદા જીવનમાં થતું કાર્ય અને વૈજ્ઞાનિક દૃષ્ટિએ થતું કાર્ય વચ્ચેનો ભેદ યોગ્ય ઉદાહરણ દ્વારા સ્પષ્ટ કરો.
ઉત્તર:
રોજિંદા જીવનમાં વ્યક્તિની શારીરિક અને માનસિક પ્રવૃત્તિને આપણે કાર્ય કહીએ છીએ.

• ઉદાહરણ તરીકે ખેતર ખેડતો ખેડૂત, બાંધકામ માટે ઈંટો લઈ જતો મજૂર, સ્પર્ધાત્મક પરીક્ષા માટે મહેનત કરતો વિદ્યાર્થી, સૃષ્ટિ સૌંદર્યનું ચિત્ર દોરતો ચિત્રકાર, આ બધાં જ કાર્ય કરે છે તેમ કહેવાય.
  પરંતુ ઉપરોક્ત ઉદાહરણોમાં વૈજ્ઞાનિક દૃષ્ટિએ કોઈ કાર્ય થતું નથી.
• ઉપરના ઉદાહરણમાં બાંધકામ માટે ઈંટો લઈ જતો મજૂર, જો કોઈ લારીમાં ઈંટો મૂકીને લારીને ખેંચીને લઈ જાય, તો ઈંટો અને લારી પર કાર્ય થયું છે તેમ કહેવાય, એ વૈજ્ઞાનિક દૃષ્ટિએ થયેલું કાર્ય છે.
  (કારણ કે અહીં મજૂર લારી પર બળ લગાડે છે આને પરિણામે લારી અને ઈંટોનું સ્થાનાંતર થાય છે.)
  [કોઈ કારણસર જ્યારે પદાર્થનું મૂળ સ્થાન બદલાઈ જાય છે ત્યારે તે પદાર્થે સ્થાનાંતર કર્યું છે તેમ કહેવાય. પદાર્થના સ્થાનમાં થતા ફેરફારને સ્થાનાંતર કહે છે.]

પ્રશ્ન 2.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર અથવા ડૉટ (·) ગુણાકાર એટલે શું? યોગ્ય આકૃતિની મદદથી આ ગુણાકારનું ભૌમિતિક અર્થઘટન સમજાવો.
ઉત્તર:
જો બે સદિશ રાશિઓનો ગુણાકાર એવી રીતે કરવામાં આવે કે જેથી મળતું પરિણામ અદિશ રાશિ હોય, તો દિશોના તેવા ગુણાકારને અદિશ ગુણાકાર અથવા ડૉટ (·) ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે.

બે સદિશો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\)ના અદિશ ગુણાકારને નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે :
\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = AB cos θ …………… (6.1)
જ્યાં, θ = \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે.

• અદિશ ગુણાકારને દર્શાવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતા ડૉટ (·)ને કારણે તેને ડૉટ ગુણાકાર (પ્રોડક્ટ) પણ કહે છે.
• અહીં, સમીકરણ (6.1)માં A, B અને cos θ અદિશો હોવાથી \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) નો અદિશ ગુણાકાર પણ અદિશ જ છે. બંને સદિશ \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\)ને દિશા હોય છે પણ તેમના અદિશ ગુણાકારને કોઈ દિશા હોતી નથી.
  બે સદિશોના અદિશ ગુણાકારનું ભૌમિતિક અર્થઘટન :

• આકૃતિ 6.2 (a) અને 6.2 (b)માં બે સદિશો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\)ને એક સામાન્ય બિંદુ O આગળથી દર્શાવ્યા છે તથા θ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
• આકૃતિ 6.2 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ \(\vec{B}\)ના શીર્ષ પરથી \(\vec{A}\) પર લંબ દોરતાં OM = B cos θ એ \(\vec{B}\)નો \(\vec{A}\) પરનો પ્રક્ષેપ મળે છે અને આકૃતિ 6.2 (b)માં દર્શાવ્યા મુજબ \(\vec{A}\)ના શીર્ષ પરથી \(\vec{B}\) પર લંબ દોરતાં ON = A cos θ એ \(\vec{A}\)નો \(\vec{B}\) પરનો પ્રક્ષેપ મળે છે.
• તેથી \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = AB cos θ = A (OM) અને
  \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = AB cos θ = B(A cos θ) = B (ON) થાય છે.
  આમ, \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) એ \(\vec{A}\)નું મૂલ્ય અને \(\vec{B}\)ના \(\vec{A}\) પરના પ્રક્ષેપનો ગુણાકાર છે.
  બીજી રીતે કહીએ તો, \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) એ \(\vec{B}\)નું મૂલ્ય અને \(\vec{A}\)ના \(\vec{B}\) પરના પ્રક્ષેપનો ગુણાકાર છે.
• ટૂંકમાં, બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર એટલે બેમાંથી એક સંદેશનું મૂલ્ય અને બીજા દિશનો પહેલા સદિશ પરના પ્રક્ષેપનો ગુણાકાર.

પ્રશ્ન 3.
બે સદિશોના અદિશ ગુણાકાર માટે (i)ક્રમનો નિયમ (ii)વિભાજનનો નિયમ લખો અને સાબિત કરો.
ઉત્તર:
(i) ક્રમનો નિયમ (Commutative law) : અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ અનુસરે છે.
\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = AB cos θ = BA cos θ
∴ \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = \(\vec{B}\) · \(\vec{A}\) …………. (6.2)
આમ, સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર સમક્રમી છે.

(ii) વિભાજનનો નિયમ (Distributive law) :

આકૃતિ 6.3માં દર્શાવ્યા અનુસાર,
\(\overrightarrow{O P}=\vec{A}, \overrightarrow{O B}=\vec{B}, \overrightarrow{Q R}=\vec{C}\)
હવે, અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા અનુસાર,
A · (\(\vec{B}\) + \(\vec{C}\))
= (\(\vec{A}\)નું મૂલ્ય) × (\(\vec{B}\) + \(\vec{C}\))નો \(\vec{A}\) પરનો પ્રક્ષેપ)
= |\(\vec{A}\)| (ON)
= |\(\vec{A}\)| (OM + MN)
= |\(\vec{A}\)| (OM) + |\(\vec{A}\)| (MN)
= |\(\vec{A}\)| (\(\vec{B}\)નો \(\vec{A}\) પરનો પ્રક્ષેપ) + |\(\vec{A}\)| (\(\vec{C}\)નો \(\vec{A}\) પરનો પ્રક્ષેપ)
= \(\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{A} \cdot \vec{C}\)
∴ \(\vec{A} \cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{A} \cdot \vec{C}\) ……………… (6.3)
આમ, સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર વિભાજનનો નિયમ અનુસરે છે.

પ્રશ્ન 4.
દર્શાવો કે
(i) સદિશનું મૂલ્ય તેના પોતાની સાથેના અદિશ ગુણાકારના વર્ગમૂળના મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
(ii) પરસ્પર લંબ એવા બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
(i) જો \(\vec{A}\) || \(\vec{B}\) હોય, તો θ = 0° થાય.
પણ cos 0° = 1
હવે, \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = AB cos 0° = AB
જો \(\vec{B}\) = \(\vec{A}\) હોય, તો \(\vec{A}\) · \(\vec{A}\) = A · A cos 0° = = A²
∴ A = \(\sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A}}\) ……………. (6.4)
આમ, સદિશનું મૂલ્ય તેના પોતાની સાથેના અદિશ ગુણાકારના વર્ગમૂળના મૂલ્ય જેટલું હોય છે.

(ii) જો \(\vec{A}\) ⊥ \(\vec{B}\) હોય, તો θ = 90° થાય.
પણ cos 90° = 0
હવે, \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = AB cos 90° = 0
આમ, પરસ્પર લંબ એવા બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય છે.

પ્રશ્ન 5.
(i) કાર્રેઝીય યામ-પદ્ધતિના એકમ સદિશો માટે અદિશ ગુણાકાર સમજાવો.
(ii) \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\)ને કાર્રેઝીય ઘટકોના સ્વરૂપમાં લખો.
ઉત્તર:
(i) કાર્ડેઝીયા યામ-પદ્ધતિના એકમ સદિશો î, ĵ અને k̂ છે.
î · î = |î| |î| cos 0° (∵ સમાન સદિશ હોવાથી 0 = 0°)
î · î = 1
આ જ રીતે, ĵ · ĵ = 1 અને k̂· k̂ = 1
હવે, î· ĵ= |î| |ĵ| cos 90° (∵ î અને ĵ પરસ્પર લંબદિશો છે.)
î · ĵ = 0
આ જ રીતે, ĵ · k̂ = 0 અને k̂ · l̂ = 0.

(ii) સદિશ \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\)ને કાર્રેઝીય ઘટકોના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય :
\(\vec{A}\) = A_x î + A_y Ĵ + A_z k̂
\(\vec{A}\) = B_x î+ B_y Ĵ + B_z k̂
\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\)
= (A_x î + A_y Ĵ + A_z k̂) · (B_x î+ B_y Ĵ + B_z k̂)
A_xB_x(î · î) + A_xB_y(î · Ĵ) + A_xB_z(î · k̂)
+ A_yB_x(Ĵ · î) + A_yB_y(Ĵ · Ĵ)
+ A_yB_z(Ĵ · k̂) + A_zB_x(k̂ · î)
+ A_zB_y(k̂ · ĵ) + A_zB_z(k̂ · k̂)
ઉપર્યુક્ત સમીકરણમાં î · î = Ĵ · Ĵ = k̂ · k̂ = 1 અને î · Ĵ = Ĵ · k̂ = k̂ · î = મૂકતાં,
\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z ………… (6.5)

પ્રશ્ન 6.
સાબિત કરો કે, \(|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}\).
ઉત્તર:
આપણે જાણીએ છીએ કે,
\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = \(\vec{B}\) = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z
\(\vec{B}\) = \(\vec{A}\) મૂકતાં,
\(\vec{A}\) · \(\vec{A}\) = \(\vec{B}\) = A_xA_x + A_yA_y + A_zA_z
|\(\vec{A}\)||\(\vec{A}\)| cos 0° = A_x² + A_y² + A_z²
∴ |\(\vec{A}\)|² = A_x² + A_y² + A_z²
∴ \(|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}\) …………. (6.6)

પ્રશ્ન 7.
બે સદિશોના અદિશ ગુણાકારની મદદથી તેમની વચ્ચેનો કોણ કેવી રીતે શોધી શકાય?
ઉત્તર:
\(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર,
\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = |\(\vec{A}\)||\(\vec{B}\)| cos θ
જ્યાં, θ એ \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
∴ cos θ = \(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}||\vec{B}|}\) …………… (6.7)
કાર્રેઝીય ઘટકોના સ્વરૂપમાં,
\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z
\(|\vec{A}|=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}\) સદિશ \(\vec{A}\)નું મૂલ્ય
\(|\vec{B}|=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}\) સદિશ \(\vec{A}\) નું મૂલ્ય
∴ સમીકરણ (6.7)માં ઉપર્યુક્ત મૂલ્યો મૂકતાં,
cos θ = \(\frac{A_x B_{\mathrm{x}}+A_y B_y+A_z B_z}{\sqrt{A_{\mathrm{x}}^2+A_y^2+A_z^2} \sqrt{B_{\mathrm{x}}^2+B_y^2+B_z^2}}\) …………… (6.8)

પ્રશ્ન 8.
સદિશોના અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મો જણાવો.
ઉત્તર:
(1) ક્રમનો નિયમ : \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = \(\vec{B}\) · \(\vec{A}\)

(2) વિભાજનનો નિયમ :
\(\vec{A} \cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A} \cdot \vec{B}+\vec{A} \cdot \vec{C}\)

(3) જો \(\vec{A}\) || \(\vec{A}\), તો θ = 0°
∴ \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = AB cos 0° = AB

(4) જો \(\vec{A}\) ⊥ \(\vec{A}\), તો θ = 90°
∴ \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = AB cos 90° = 0

(5) î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1
î · ĵ = ĵ · ĵ = k̂ · î = 0

(6) જો \(\vec{A}\) = A_xî + A_yĴ + A_zk̂
\(\vec{B}\) = B_xî + B_yĴ + B_zk̂ તો
\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = A_xB_x + A_yA_y + A_zB_z

(7) \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = AB cos θ
∴ cos θ = \(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{A B}\)
∴ \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) દિશો જો કાર્રેઝીય ઘટકોના સ્વરૂપમાં હોય, તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો θ, નીચેના સૂત્ર પરથી મળે :
cos θ = sin (90° – θ)

પ્રશ્ન 9.
λ\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = \(\vec{A}\) · λ \(\vec{B}\) સાબિત કરો. જ્યાં λ = વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
ઉત્તર:
અહીં,
ડા.બા. = λ\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\)
= λ (A_x î + A_y ĵ + A_z k̂) · (B_xî + B_y ĵ + B_z k̂)
= (λ A_xB_x + λ A_yB_y + λ A_zB_z) ………… (6.9)
જ.બા. = \(\vec{A}\) · λ\(\vec{B}\)
= (A_x î + A_y ĵ + A_z k̂) · λ(B_xî + B_y ĵ + B_z k̂)
= A_xλB_x + A_yλB_y + A_zλB_z)
= (λ A_xB_x + λ A_yB_y + λ A_zB_z) …………… (6.10)
સમીકરણ (6.9) અને સમીકરણ (6.10) પરથી સાબિત થાય
છે કે, λ\(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = \(\vec{A}\) · λ\(\vec{B}\)

પ્રશ્ન 10.
અચળ બળની અસર હેઠળ ગતિ કરતા પદાર્થ માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનું ગાણિતિક સ્વરૂપ મેળવો અને તેનું કથન લખો.
ઉત્તર:
એક દિશામાં (એકપરિમાણમાં) a જેટલા અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરતા પદાર્થનું સમીકરણ,
υ² – u² = 2ax છે. …………….. (6.11)
જ્યાં, u = પ્રારંભિક વેગ
υ = અંતિમ વેગ
x = t સમયમાં પદાર્થે કાપેલ અંતર
સમીકરણ (6.11)ની બંને બાજુને \(\frac{m}{2}\) વડે ગુણતાં,
\(\frac{1}{2}\) mυ² – \(\frac{1}{2}\) mu² = \(\frac{1}{2}\) m(2 ax)
= (ma) x
= (F) x ……………. (6.12)
(∵ ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ F = ma વાપરતાં)

• હવે, સમીકરણ (6.11)ને સદિશોનો ઉપયોગ કરીને ત્રિપરિમાણમાં દર્શાવતાં,
  υ² – u² = 2 \(\vec{a}\) · \(\vec{d}\) મળે. ………….. (6.13)
  સમીકરણ (6.13)ની બંને બાજુને \(\frac{m}{2}\) વડે ગુણતાં,

જ્યાં, K_f = \(\frac{1}{2}\) mυ² = પદાર્થની અંતિમ ગતિ-ઊર્જા
K_i = \(\frac{1}{2}\) mu² = પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જા
Δ K = પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર
W = પદાર્થ પર લાગતાં ચોખ્ખા (પરિણામી) બળ વડે થતું કાર્ય

• અહીં કાર્યમાં, બળ અને તે જે સ્થાનાંતર સુધી લાગે છે તેનો ઉલ્લેખ છે. પદાર્થ પર લાગતાં બળ વડે થતા ચોક્કસ સ્થાનાંતર દરમિયાન તેના પર કાર્ય થાય છે.
• સમીકરણ (6.14) એ કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનું ગાણિતિક સ્વરૂપ છે. તેનું કથન નીચે મુજબ છે :
  “પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર તેના પર લાગતા ચોખ્ખા (પરિણામી) બળ વડે થતાં કાર્ય જેટલો હોય છે.’’

કાર્ય-ઊર્જા (WE) પ્રમેય પરથી ફલિત થતી સામાન્ય બાબતો :

1. જો પદાર્થની ઝડપ અચળ રહેતી હોય, તો તેની ગતિ- ઊર્જામાં થતો ફેરફાર AK શૂન્ય હોય છે.
   ઉદાહરણ : નિયમિત વર્તુળમય ગતિ કરતા પદાર્થની ઝડપ અચળ હોય છે અને સમગ્ર વર્તુળમાર્ગ પર તેની ગતિ-ઊર્જા K અચળ હોય છે.
2. જો પદાર્થ પર લાગતાં પિરણામી બળને લીધે પદાર્થનું સ્થાનાંતર થાય તો તે પદાર્થ પર કાર્ય થાય અને પદાર્થની ઝડપ અને પરિણામે તેની ગતિ-ઊર્જામાં વધારો થાય.
3. જ્યારે બળનો સ્થાનાંતરની દિશા પરનો ઘટક પદાર્થના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય ત્યારે થતું કાર્ય ઋણ હોય છે. અહીં પદાર્થ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે, તેથી તેની ગતિ-ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.

પ્રશ્ન 11.
કાર્યની વ્યાપક વ્યાખ્યા લખો. દ્વિ-પરિમાણમાં અચળ બળ વડે થતા કાર્યનું (વ્યાપક) સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
“બળ વડે થતા સ્થાનાંતરનાં મૂલ્ય અને સ્થાનાંતરની દિશામાં બળના ઘટકના ગુણાકારને કાર્ય કહે છે.’’

• આકૃતિ 6.4માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક m દળવાળા પદાર્થ (બ્લૉક) પર બળ \(\vec{F}\) સમક્ષિતિજ સાથે θ ખૂણે લાગે છે અને તેથી પદાર્થ(બ્લૉક)નું સ્થાનાંતર X-અક્ષની દિશામાં (સમક્ષિતિજ દિશામાં) \(\vec{d}\) જેટલું થાય છે.
• આ સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) માટે લગાડેલ બળ \(\vec{F}\) પૂરેપૂરું જવાબદાર નથી, કારણ કે આ લગાડેલ બળ \(\vec{F}\) નો સમક્ષિતિજ દિશામાં ઘટક F cos θ છે અને ઊર્ધ્વદિશામાં ઘટક F sin θ છે.
  બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક F cos θ જ સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર માટે જવાબદાર છે અને બળનો ઊર્ધ્વઘટક F sin θ એ સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર માટે જવાબદાર નથી.
• હવે કાર્યની સામાન્ય વ્યાખ્યા અનુસાર,
  કાર્ય W = (સ્થાનાંતર માટે જવાબદાર બળ) × (તે જવાબદાર બળને કારણે થતું સ્થાનાંતર)
• તેથી હવે ઉપરના પ્રસ્તુત કિસ્સામાં કાર્યની વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે આપી શકાય :
  કાર્ય W = (સ્થાનાંતરની દિશામાં બળનો ઘટક) × (સ્થાનાંતર)
  ∴ W = (F cos θ)d …………….. (6.15)
  જ્યાં, θ = \(\vec{F}\) અને \(\vec{d}\) વચ્ચેનો ખૂણો
  અથવા
  W = F (d cos θ) ……………….. (6.16)
  અહીં, d cos θ = બળની દિશામાં સ્થાનાંતરનો ઘટક છે.
• અહીં, સમીકરણ (6.15) તથા (6.16)ની જમણી બાજુ સિદેશ રાશિ બળ \(\vec{F}\) નું મૂલ્ય F તથા સદિશ રાશિ સ્થાનાંતર \(\vec{d}\)નું મૂલ્ય d ગુણાકારમાં આવેલ છે તથા ડાબી બાજુની રાશિ કાર્ય W અદિશ રાશિ છે.
  તેથી ઉપરોક્ત બે સમીકરણો (6.15) અને (6.16)ને નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય છે :
  W = \(\vec{F}\) . \(\vec{d}\) ……………….. (6.17)
• આમ, પદાર્થ પર થતું કાર્ય W એ તેના પર લાગતાં બળ \(\vec{F}\) અને તેના સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) ના અદિશ ગુણાકારરૂપે હોય છે.

પ્રશ્ન 12.
કેવા સંજોગોમાં કાર્ય ધન મળે? યોગ્ય ઉદાહરણ વડે સમજાવો.
ઉત્તર:
કાર્યની વ્યાપક વ્યાખ્યા અનુસાર,
W = \(\vec{F}\) · \(\vec{d}\) = Fd cos θ
જ્યાં, θ = \(\vec{F}\) અને \(\vec{d}\) વચ્ચેનો ખૂણો.
હવે જો θ = 0° હોય કે θ < 90° હોય, તો ઉપરના સૂત્ર પરથી કાર્ય W ધન મળે.

ઉદાહરણ 1 : અમુક ઊંચાઈ પરથી મુક્તપતન કરતો પદાર્થ.
આ પદાર્થ પર પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ m\(\vec{g}\) અધોદિશામાં અને પદાર્થનું સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) પણ અધોદિશામાં છે. તેથી અહીં θ = ૦° થાય.
તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય,
W = (mg) (d) cos 0°
W = mgd
જ્યાં,, m = પદાર્થનું દળ, d = પદાર્થનું સ્થાનાંતર અને g = ગુરુત્વપ્રવેગ.

ઉદાહરણ 2 : એક પ્લૅટફૉર્મ પર રહેલી બૅગને તેના હૅન્ડલ વડે (પ્લૅટફૉર્મની સમક્ષિતિજ સપાટી સાથે અમુક θ જેટલા ખૂણે યોગ્ય બળ લગાડીને) ખેંચતા, બૅગ સમક્ષિતિજ સપાટી પર ગતિ કરવા લાગે છે. અહીં ખેંચાણ બળ \(\vec{F}\) અને બૅગના સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ < 90° છે અને બૅગ પર થયેલું કાર્ય W ધન છે.
આમ, θ = 0° કે θ < 90° હોય છે ત્યારે કાર્ય ધન મળે છે અને આ સ્થિતિમાં બળ વડે પદાર્થ પર કાર્ય થાય છે.

પ્રશ્ન 13.
કેવા સંજોગોમાં કાર્ય ઋણ મળે છે? યોગ્ય ઉદાહરણ વડે સમજાવો.
ઉત્તર:
જો પદાર્થ પર લાગતાં બળ \(\vec{F}\) અને તેના સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ એવો હોય કે 90° < θ ≤ 180° હોય, તો
કાર્ય W ઋણ મળે છે.
W = Fd cos θ = Fd cos 180° = – Fd (∵ cos 180° = – 1)
આ સ્થિતિમાં પદાર્થ પોતે બળની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે તેમ કહેવાય છે.

ઉદાહરણ 1 : ખૂબ ઝડપથી ગતિ કરતી મોટરકારની ઝડપ ઘટાડવા માટે જ્યારે બ્રેક લગાડવામાં આવે છે ત્યારે આ બ્રેકિંગ બળ તેના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી બ્રેકિંગ બળ દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ મળે છે.
અહીં, મોટરકાર દ્વારા બ્રેકિંગ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય થયું છે તેમ કહેવાય.

ઉદાહરણ 2 : સમક્ષિતિજ સીધા રસ્તા પર અચળ વેગથી ગતિ કરતાં કોઈ વાહનનું એન્જિન અચાનક બંધ થઈ જાય, તો રસ્તા વડે વાહન પર (વાહનના ટાયર પર) તેની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ઘર્ષણબળ લાગે છે, પરિણામે વાહન થોડુંક અંતર કાપીને સ્થિર થઈ જાય છે.
અહીં, ઘર્ષણબળ અને વાહનના સ્થાનાંતરની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો θ = 180° છે અને cos 180° = – 1 છે. તેથી ઘર્ષણબળ વડે થતું કાર્ય ઋણ છે.

પ્રશ્ન 14.
કેવા સંજોગોમાં કાર્ય શૂન્ય મળે છે? યોગ્ય ઉદાહરણ
વડે સમજાવો.
ઉત્તર:
(1) પદાર્થનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય ત્યારે

• ઈંટની દૃઢ દીવાલ પર ગમે તેટલું બળ લગાડતાં, લગાડેલા બળ વડે કાર્ય થતું નથી, કારણ કે દીવાલ બિલકુલ ખસતી નથી.
• કોઈ વેઇટલિફ્ટર 150 kg દળ તેના ખભા પર 30s સુધી સ્થિર ઊંચકી રાખે, તોપણ તેના વડે આ સમયગાળા દરમિયાન કોઈ કાર્ય થતું નથી, કારણ કે 150 kg દ્રવ્યમાનનું કોઈ સ્થાનાંતર થતું નથી.
• આકૃતિ 6.5માં એક બ્લૉકને દોરી વડે દૃઢ આધાર પરથી લટકાવ્યો છે. બ્લૉક પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ mg લાગે છે, છતાં આ બળ વડે કાર્ય થતું નથી, કે બ્લૉકનું સ્થાનાંતર d = 0 છે.

(2) બળ શૂન્ય હોય ત્યારે
ઘર્ષણ રહિત – લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર શરૂઆતથી જ સરકતા ચોસલા (બ્લૉક) પર સમક્ષિતિજ દિશામાં બળ લાગતું ન હોય (કારણ કે અહીં ઘર્ષણ થતું નથી) છતાં પણ ચોસલું મોટું સ્થાનાંતર કરે તોપણ કાર્ય થતું નથી.

(3) બળ અને (તેના વડે થતું) સ્થાનાંતર પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે

• સમક્ષિતિજ લીસા ટેબલ પર ગતિ કરતા બ્લૉક પર લાગતાં ગુરુત્વીય બળ mg વડે બ્લૉક પર કોઈ કાર્ય થતું નથી, કારણ કે ગુરુત્વીય બળ, સ્થાનાંતરને લંબરૂપે લાગે છે.
• પૃથ્વીની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતાં ચંદ્ર પર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે કોઈ કાર્ય થતું નથી, કારણ કે ચંદ્રના ગતિમાર્ગ પરના દરેક બિંદુએ ચંદ્રનું તત્કાલીન સ્થાનાંતર, ત્યાં સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે, જ્યારે પૃથ્વી વડે ચંદ્ર પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળમાર્ગના કેન્દ્ર તરફ (અંદરની તરફ) ત્રિજ્યાવર્તી હોય છે. તેથી m\(\vec{g}\) અને \(\vec{d}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = \(\frac{\pi}{2}\) rad (= 90°) અને cos 90° = 0. તેથી W = (mg) (d) cos 90° = 0.

પ્રશ્ન 15.
કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર લખો. કાર્યના SI અને CGS એકમપદ્ધતિમાંના એકમો જણાવો અને તેમની વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
ઉત્તર:
કાર્યનું પારિમાણિક સૂત્ર M¹L²T^-2 છે.

• કાર્યનો SI એકમપદ્ધતિમાંનો એકમ સ્કૂલ (J) અને CGS એકમપદ્ધતિમાંનો એકમ અર્ગ (erg) છે.
• હવે, 1 અર્ગ = 1 dyn cm
  = 1 (g cm s^-2) cm
  = 1 (10^-3 kg × 10^-2ms^-2) × 10^-2m
  = 10^-7 (kg m s^-2) m
  = 10^-7 (N) m
  = 10^-7 જૂલ
  નોંધ : કાર્ય / ઊર્જાના વૈકલ્પિક એકમોનો જૂલ (J) સાથેનો સંબંધ નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવ્યો છે :

અર્ગ	10-7J
ઇલેક્ટ્રૉન વૉલ્ટ (eV)	1.6 × 10-19 J
કૅલરી (cal)	4.186 J
કિલોવૉટ અવર (kWh)	3.6 × 106 J

પ્રશ્ન 16.
ઊર્જા એટલે શું? ગતિ-ઊર્જા કોને કહે છે? ટૂંકમાં સમજાવો.
ઉત્તર:
ઊર્જા એટલે કાર્ય કરવાની ક્ષમતા.

• પદાર્થની ગતિના કારણે તેમાં રહેલ કાર્ય કરવાની ક્ષમતાને પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા કહે છે.
• બીજી રીતે એમ પણ કહેવાય કે, પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા એ પદાર્થની ગતિ દ્વારા પદાર્થ વડે થઈ શકતા કાર્યનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
• m દળના પદાર્થનો રેખીય વેગ \(\vec{υ}\) હોય, તો તેની ગતિ-ઊર્જા Kનું મૂલ્ય, K = \(\frac{1}{2}\) m\(\vec{υ}\)· \(\vec{υ}\) = \(\frac{1}{2}\)mυ².
  આમ, પદાર્થના દળ અને તેના વેગના વર્ગના ગુણાકારના અડધા મૂલ્યને પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા કહેવામાં આવે છે.
  તાર્કિક રીતે વિચારતાં કહી શકાય કે વધુ ઝડપથી ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા, ઓછી ઝડપથી ગતિ કરતા તે જ પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા કરતાં વધારે હોય છે.
  દા. ત.,
  1. ઝડપથી વહેતા પ્રવાહ(વહેણ)ની ગતિ-ઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને અનાજ દળવા માટેની રચના /સાધન વડે અનાજ દળી શકાય છે.
  2. પવનની ગતિ-ઊર્જાનો ઉપયોગ કરીને સઢવાળા વહાણ ચાલે છે.
  3. બંદૂકમાંથી છૂટેલી ગોળી, તેની ગતિ-ઊર્જાને કારણે તેના ટાર્ગેટ(Target)માં ઘૂસી શકે છે.
  4. પવનચક્કીઓ (Wind-mills) પવનની ગતિ-ઊર્જાને લીધે ફરે છે.
• ગતિ-ઊર્જા અદિશ રાશિ છે અને તેનું મૂલ્ય હંમેશાં ધન હોય છે.
• ગતિ-ઊર્જાનો SI એકમ joule (J) અને પારિમાણિક સૂત્ર M¹L²T^-2 છે.

પ્રશ્ન 17.
ચલ બળ એટલે શું? એક-પરિમાણમાં યોગ્ય આકૃતિની મદદથી ચલ બળ વડે થતા કુલ કાર્યનું સૂત્ર મેળવો અને તેની જરૂરી સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
ચલ બળ એટલે બદલાતું બળ.

• જ્યારે પદાર્થ પર લાગતાં બળનું મૂલ્ય અને / અથવા દિશા બદલાતી હોય ત્યારે તેવા બળને ચલ બળ કહે છે. જે પદાર્થના સ્થાન અને / અથવા સમયનું વિધેય હોય છે.
  ધારો કે, એક કણ પર ચલ બળ, X-દિશામાં લાગે છે. તેથી આ કણ માત્ર X-દિશામાં ગતિ કરે છે.
  અહીં ફક્ત બળનું મૂલ્ય બદલાય છે, દિશા નહીં. આવા બળને F(x) વડે દર્શાવાય છે.
• જો કણનું સ્થાનાંતર Δx સૂક્ષ્મ હોય, તો આ બળ F(x)ને લગભગ અચળ ગણી શકાય છે અને તેથી થયેલ કાર્ય,
  ΔW = : F(x) Δx …………….. (6.18)
• હવે, આ ચલ બળ F(x) વિરુદ્ધ કણના સ્થાનાંતર xનો આલેખ યાદચ્છિક રીતે નીચે દર્શાવ્યા મુજબનો મળે છે :

• આકૃતિ 6.6માં દર્શાવેલ F(x) વિરુદ્ધ xના આલેખ તથા X-અક્ષ (સ્થાનાંતર-અક્ષ) દ્વારા ઘેરાતા બંધગાળાના ક્ષેત્રફળને નાની લંબચોરસ પટ્ટીઓમાં વિભાજિત કરેલો દર્શાવ્યો છે.
• હવે, કણના સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર Δx માટેનું કાર્ય ΔW = F(x) Δx એ લગભગ આકૃતિ 6.6માં દર્શાવેલ x પહોળાઈની અને F(x) લંબાઈની એક લંબચોરસ પટ્ટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
• તેથી આકૃતિ 6.6માં દર્શાવ્યા મુજબની આવી બધી લંબચોરસ પટ્ટીઓના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરતાં કુલ કાર્ય મળે.
  આમ, કુલ કાર્ય,
  \(W \cong \sum_{x_{\mathrm{i}}}^{x_{\mathrm{f}}} F(x) \Delta x\) …………….. (6.19)
  અહીં, સ૨વાળો કણની પ્રારંભિક સ્થિતિ × થી અંતિમ સ્થિતિ x_f સુધીનો છે.
• જો કણનું સ્થાનાંતર Δx અર્થાત્ કોઈ એક લંબચોરસ પટ્ટીની પહોળાઈ શૂન્યની નજીક અતિ સૂક્ષ્મ લેવામાં આવે તો ઉપરોક્ત સરવાળામાં પદોની સંખ્યા અમર્યાદિત એટલે કે અનંત થાય, પરંતુ સરવાળાનું મૂલ્ય આકૃતિ 6.7માં દર્શાવેલ આલેખના નીચેના ક્ષેત્રફળના ચોક્કસ મૂલ્ય જેટલું થાય.
  આમ, કુલ કાર્ય W F(x) વિરુદ્ધ x ના આલેખ તથા સ્થાનાંતર- અક્ષ વડે ઘેરાતાં બંધગાળાનું ક્ષેત્રફળ.

• આમ, થયેલું કુલ કાર્ય,
  W = \(\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{x_i}^{x_{\mathrm{f}}} F(x) \Delta x\)
  = \(\int_{x_i}^{x_{\mathrm{f}}} F(x) d x\) ……………. (6.20)
  અહીં, જ્યારે Δx શૂન્યની નજીક પહોંચે ત્યારે આ સરવાળાના લક્ષને ‘lim’ વડે દર્શાવેલ છે.
  આમ, ચલિત બળ વડે થયેલ કાર્યને બળના સ્થાનાંતર પરના નિયત સંકલન વડે દર્શાવી શકાય છે.

પ્રશ્ન 18.
એક-પરિમાણમાં (X-દિશામાં) થતી પદાર્થની ગતિના કિસ્સામાં ચલ બળ માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય સાબિત કરો.
ઉત્તર:
એક-પરિમાણમાં (X-દિશામાં) ગતિ કરતા m દળ અને υ વેગ ધરાવતા એક પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\)mυ² છે, તો તેની ગતિ-ઊર્જાના ફેરફારનો દર નીચે મુજબ થાય :
\(\frac{d K}{d t}=\frac{d}{d t}\)(\(\frac{1}{2}\)mυ²)
= \(\frac{1}{2}\)m(2υ\(\frac{d υ}{d t}\))
= m\(\frac{d υ}{d t}\)υ
= m a υ
= (F) υ (∵ ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ વાપરતાં)
= F\(\frac{d x}{d t}\) ……………….. (6.21)
∴ dK = F dx ……………. (6.22)
પદાર્થના પ્રારંભિક સ્થાન x_iથી અંતિમ સ્થાન x_f સુધી સંકલન કરતાં,
\(\int_{K_i}^{K_{\mathrm{f}}} d K=\int_{x_i}^{x_{\mathrm{f}}} F d x\)
જ્યાં, K_i અને K_f એ X_i અને X_f સ્થાને પદાર્થની પ્રારંભિક અને અંતિમ ગતિ-ઊર્જાઓ છે.

સમીકરણ (6.24) એ ચલ બળ માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય રજૂ કરે છે. આમ, ચલ બળ માટે કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય સાબિત થાય છે.

અગત્યનું જ્ઞાન
પદાર્થ પર લાગતાં વિવિધ બળોને લીધે થતી પદાર્થની ગતિના કારણે થતું કુલ કાર્ય અને કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય વાપરવા અંગેની મહત્ત્વની જાણકારી :
પદાર્થ પર લાગતાં જુદાં જુદાં બળોને કારણે પદાર્થની ગતિ થતી હોય ત્યારે તેના પર થયેલું કુલ કાર્ય ગણતી વખતે અવલોકનકર્તા કઈ નિર્દેશ-ફ્રેમમાં રહીને પદાર્થની ગતિનું અવલોકન કરે છે તે મહત્ત્વનું છે.

કારણ કે, બળ એ નિર્દેશ-ફ્રેમ પર આધારિત નથી. અર્થાત્ બળ એ દરેક નિર્દેશ-ફ્રેમમાં સમાન કિંમત (મૂલ્ય) ધરાવે છે. પરંતુ સ્થાનાંતર નિર્દેશ-ફ્રેમ પર આધારિત હોય છે અને અલગ અલગ નિર્દેશ-ફ્રેમમાં તે અલગ અલગ મૂલ્યો (કિંમતો) ધરાવે છે. આથી બળ વડે થતું કાર્ય એ નિર્દેશ-ફ્રેમની પસંદગી પર આધારિત છે. (એટલે કે અવલોકનકર્તા કયા પ્રકારની નિર્દેશ- ફ્રેમમાં રહીને અવલોકન કરે છે તેના પર છે.)

ઉદાહરણ તરીકે, હાથમાં બૅગ પકડીને એક વ્યક્તિ લિફ્ટમાં ઊભો છે અને લિફ્ટ પ્રવેગી ગતિ કરીને ઉપ૨ તરફ જઈ રહી છે.

લિફ્ટની સાથે જોડાયેલ નિર્દેશ-ફ્રેમમાં માણસ બૅગના વજન (mg) જેટલું બળ, બૅગ પર ઊદિશામાં લગાડે છે, પરંતુ બૅગનું સ્થાનાંતર તેની દૃષ્ટિએ શૂન્ય છે, તેથી તે બળ વડે થતું કાર્ય શૂન્ય ગણાય. આમ, અહીં અવલોકનકર્તા અજડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમમાં રહીને બૅગની ગતિનું અવલોકન કરે છે અને તે બૅગ પર કાર્ય થતું નથી તેમ નોંધે છે.

પરંતુ તે જ વખતે જમીન સાથે જોડાયેલ નિર્દેશ-ફ્રેમમાં (જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમમાં) રહેલ અવલોકનકર્તા બૅગનું સ્થાનાંતર, લિફ્ટના સ્થાનાંતર જેટલું જ નોંધે છે અને તેને બૅગ પકડીને ઊભેલ વ્યક્તિ વડે લગાવેલ બળ વડે થતું કાર્ય અશૂન્ય જણાય છે.

તેથી હવે કહી શકાય કે, કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનું સ્વરૂપ જુદી જુદી નિર્દેશ-ફ્રેમમાં જુદું જુદું હોય છે.

કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય : દરેક બળો (સંરક્ષી, અસંરક્ષી, બાહ્ય, આંતરિક વગેરે) વડે કણ ૫૨ થતું કુલ કાર્ય એ કણની ગતિ- ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
અર્થાત્,
W_total = W_C + W_NC + W_ext + W_int = Δ K …………… (6.25)
જ્યાં, W_C = બધાં સંરક્ષી બળો દ્વારા થતું કાર્ય. અહીં
W_C = – ΔV. કારણ કે સંરક્ષી બળ વડે થતું કાર્ય એ ણની સ્થિતિ-ઊર્જા (V)માં થતા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
W_NC = બધાં અસંરક્ષી બળો વડે થતું કાર્ય
W_ext = બધાં બાહ્ય બળો વડે થતું કાર્ય
W_int = બધાં આંતિરક બળો વડે થતું કાર્ય

(એક કણના કિસ્સામાં W_int વ્યાખ્યાયિત થઈ શકતું નથી. જ્યારે બે કણો A અને Bથી બનેલું તંત્ર લેવામાં આવે તો \(\vec{F}\)_AB = – \(\vec{F}\)_BA હોવાથી બધાં આંતરિક બળોનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે, તેથી
W_int = 0.

પણ, હંમેશાં આંતરિક બળો વડે થતું કાર્ય શૂન્ય હોય તેવું નથી. કારણ કે કેટલીક વાર તંત્રની વિરૂપણ અને અવિરૂપણની ઘટનામાં તેનું અસ્તિત્વ હોય છે.

દઢ પદાર્થ(Rigid body)ના કિસ્સામાં આંતરિક બળો વડે થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.)

દઢ પદાર્થ પર લાગતાં વિવિધ બળોને કારણે તેની ગતિ થવાના કિસ્સામાં જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમમાંથી અવલોકન કરતાં, કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનું સ્વરૂપ નીચે મુજબ થશે :
– ΔV + W_NC + W_ext = ΔK (∵ W_C = – ΔV)
∴ W_NC + W_ext = ΔK + ΔV
= Δ(K + V)
= ΔE ……………… (6.26)
જ્યાં, E = K + V = દૃઢ પદાર્થની યાંત્રિક ઊર્જા

પરંતુ જો અજડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમમાંથી દૃઢ પદાર્થની ગતિનું અવલોકન કરવામાં આવે, તો કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનું સ્વરૂપ નીચે મુજબ થશે :
W_C + W_NC + W_ext + W_int + W_PS = ΔK
જ્યાં, W_PS = આભાસી બળ વડે થતું કાર્ય
∴ – ΔV + W_NC + W_ext + 0 + W_PS = ΔK
(∵ W_C = – ΔV અને દૃઢ પદાર્થના કિસ્સામાં W_int = 0)
∴ W_NC + W_ext + W_PS = Δ K + ΔV
= Δ(K + V)
= Δ E ……………… (6.27)

પ્રશ્ન 19.
સ્થિતિમાન (Potential) શબ્દનો અર્થ લખો. સ્થિતિ- ઊર્જા એટલે શું? તેની ટૂંકમાં સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
સ્થિતિમાન શબ્દ ક્રિયા કરવાની ક્ષમતા કે શક્યતા દર્શાવે છે.

સ્થિતિ-ઊર્જા : કોઈ પણ સંરક્ષી બળક્ષેત્રમાં રહેલો પદાર્થ પોતાના સ્થાનને કારણે અને / અથવા સંરચના(Configuration)ને કારણે કાર્ય કરવાની જે ક્ષમતા (ઊર્જા) ધરાવે છે, તેને પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા કહે છે.

ઉદાહરણ : ખેંચાયેલી ધનુષની પણછ (દોરી) સ્થિતિ-ઊર્જા ધરાવે છે. જ્યારે પણછ છોડવામાં આવે ત્યારે તીર ખૂબ ઝડપથી છૂટે છે.

આમ, સ્થિતિ-ઊર્જા એ કોઈ પદાર્થની કે તંત્રની સ્થિતિ અને / અથવા ગોઠવણીને અનુલક્ષીને ‘સંગૃહીત ઊર્જા’ છે. જ્યારે પદાર્થને છોડી દેવામાં આવે ત્યારે તેની અંદર સંગૃહીત થયેલી ઊર્જા મુક્ત થાય છે, જે ગતિ-ઊર્જામાં પરિણમે છે.

[પૃથ્વીની સપાટી (પોપડો) એકધારી નિયમિત નથી, પરંતુ તે અસતત અને અમુક જગ્યાએ ભંગાણવાળી છે. જેને તિરાડો (ફૉલ્ટલાઇન) કહે છે. આ તિરાડો પૃથ્વીના પોપડાઓ વચ્ચે ‘દબાયેલી સ્પ્રિંગ’ની જેમ હોય છે. તે ખૂબ સ્થિતિ-ઊર્જા ધરાવે છે.
જ્યારે આ તિરાડો એકબીજા સાથે ફરીથી ગોઠવાવા પ્રયત્ન કરે છે ત્યારે ધરતીકંપ થાય છે.]

સ્થિતિ-ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર (ગતિ-ઊર્જા અને કાર્યની જેમ) M¹L²T^-2 છે તથા તેનો SI એકમ જૂલ (J) છે.

પ્રશ્ન 20.
ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા એટલે શું? તેનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
પદાર્થના વજન (mg) અને કોઈ સંદર્ભસપાટી(પૃથ્વીની સપાટી)થી પદાર્થની ઊંચાઈ (h)ના ગુણાકારથી મળતી ભૌતિક રાશિને પૃથ્વીની સપાટીની સાપેક્ષમાં પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા કહે છે.

• આકૃતિ 6.8માં m દળના દડા પર બાહ્ય બળ \(\vec{F}\)_ext લાગવાના કારણે, પૃથ્વીની સપાટીની સાપેક્ષે તેની ઊર્ધ્વશિરોલંબ દિશામાંની ગતિ દર્શાવી છે.
• અહીં દડા ૫૨ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ \(\overrightarrow{m g}\) અધોદિશામાં, પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફની દિશામાં છે.
• જો દડાના ઊર્ધ્વદિશામાંના સ્થાનાંતરને ધન ગણવામાં આવે, તો દડા પર બાહ્ય બળ \(\vec{F}\)_ext લગાડીને તેને પૃથ્વીની સપાટીથી h << R_e (R_e = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) સુધી ધીરેથી ગતિ કરાવીને સ્થાનાંતરિત કરતાં બાહ્ય બળ વડે, ગુરુત્વાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ દડા પર થયેલું કાર્ય,
  W = બળ × સ્થાનાંતર
  = (mg) × h (∵ F_ext ≈ mg)
  = mgh …………….. (6.28)
  આ કાર્ય W, પદાર્થની (અહીં દડાની) અંદર સ્થિતિ-ઊર્જાના રૂપમાં સંગૃહીત થાય છે.
• વ્યાપકરૂપે, પૃથ્વીની સપાટીથી પદાર્થની ઊંચાઈ h સાથે સંકળાયેલી ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાને V (h) વડે દર્શાવાય છે અને તે પદાર્થને તેટલી ઊંચાઈએ લઈ જવા દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતા કાર્ય(જે અહીં – mgh છે)ના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે.
  ∴ V (h) = mgh ………………. (6.29)

પ્રશ્ન 21.
m દળનો પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટીથી y₁ ઊંચાઈએ આવેલા સ્થાન પરથી y₂ ઊંચાઈએ આવેલા સ્થાન પર જાય, તો તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતા કાર્યનું સૂત્ર મેળવો અને તેના પરથી ફલિત થતું પરિણામ જણાવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 6.9માં m દળનો પદાર્થ પ્રારંભિક સ્થાન A (x₁, y₁) પરથી અંતિમ સ્થાન B (x₂, y₂) પર બે જુદા જુદા (વક્ર) માર્ગો પ૨ ગતિ કરીને જાય છે તેમ દર્શાવ્યું છે.
• સૌપ્રથમ પદાર્થની માર્ગ 1 પર થતી ગતિનો વિચાર કરો.
• અહીં, પદાર્થની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેના પર \(\vec{F}\) = –\(\overrightarrow{m g}\) = – mgĵ જેટલું અચળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સતત લાગે છે.
  આ અચળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ \(\vec{F}\) = -mgĵ વડે થતું કાર્ય નીચે મુજબ ગણી શકાય :
• હવે પદાર્થ વક્રમાર્ગે ગતિ કરતો હોય તથા તો પ્રારંભિક બિંદુ \(\overrightarrow{r_1}\) થી અંતિમ બિંદુ \(\overrightarrow{r_2}\) પર જતો હોય અને તેના પર લાગતું બળ \(\vec{F}\) અચળ હોય, તો થતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર પરથી શોધી શકાય છે
  W = \(\int_{\overrightarrow{r_1}}^{\overrightarrow{r_2}} \vec{F} \cdot \vec{d} r\)
  અહીં, \(\vec{F}\) બળ અચળ હોવાથી,
  W = \(\vec{F} \cdot \int_{\overrightarrow{r_1}}^{\overrightarrow{r_2}} \vec{d} r\) ……………… (6.30)
  ∴ W = \(\vec{F} \cdot\left(\vec{r}_2-\overrightarrow{r_1}\right)\) ………….. (6.31)
  = \(\vec{F}\) . [(x₂ î + yĵ ) – (x₁î+ y₁ĵ )]
  = – mgĵ · [(x₂ – x₁) î + (y₂ – y₁) ĵ]
  – [mg (x₂ – x₁) (ĵ · î) + mg (y₂ – y₁) (ĵ · ĵ)]
  – mg (y₂ – y₁) (∵ ĵ · î = 0 અને ĵ · ĵ = 1)
  = – (mgy₂ – mgy₁)
• હવે જો માર્ગ 2 પર થતી પદાર્થની ગતિનો વિચાર કરવામાં આવે તોપણ અચળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ \(\vec{F}\) = -mgĵ દ્વારા થયેલું કાર્ય W = – (mgy₂ – mgy₁) જ મળે છે.
  આમ, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય એ માત્ર પદાર્થના પ્રારંભિક સ્થાન (A) અને અંતિમ સ્થાન (B) પર આધાર રાખે છે, તેમને જોડતા ગતિમાર્ગ પર આધારિત નથી. આ પ્રકારની ખાસિયત ધરાવતા બળને સંરક્ષી બળ કહે છે અને સંરક્ષી બળ જે ક્ષેત્રમાં પ્રવર્તે છે તેને સંરક્ષી બળક્ષેત્ર કહે છે. તેથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ છે અને તે ગુરુત્વીય ક્ષેત્રમાં પ્રવર્તતું હોવાથી ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર સંરક્ષી બળક્ષેત્ર છે.
  સંરક્ષી બળનાં બીજાં ઉદાહરણો : સ્થિત વિદ્યુત બળ અને આદર્શ સ્પ્રિંગમાં પ્રવર્તતું સ્પ્રિંગ બળ.

પ્રશ્ન 22.
સંરક્ષી બળક્ષેત્ર એટલે શું? સંરક્ષી બળ કોને કહે છે?
ઉત્તર:
જે બળક્ષેત્રમાં, બળના કારણે પદાર્થ પર થતું કાર્ય, પદાર્થના માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાનો પર જ આધાર રાખે છે અને આ સ્થાનોને જોડતાં માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી, તેવા બળક્ષેત્રને સંરક્ષી બળક્ષેત્ર અને આવા બળક્ષેત્રમાં પ્રવર્તતા બળને સંરક્ષી બળ કહે છે.

પ્રશ્ન 23.
પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જાની વ્યાપક અને સચોટ વ્યાખ્યા કાર્યના સંદર્ભમાં જણાવો અને સ્થિતિ-ઊર્જાનું વ્યાપક સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા માત્રને માત્ર સંરક્ષી બળક્ષેત્રમાં જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે. અસંરક્ષી બળક્ષેત્રમાં તેનો કોઈ જ અર્થ નથી.

વ્યાખ્યા : પદાર્થને (અથવા કોઈ તંત્રને) અનંત અંતરેથી સંરક્ષી બળક્ષેત્રમાં આપેલ બિંદુએ / સ્થાને લાવવા માટે સંરક્ષી બળ દ્વારા થતા કાર્યના ઋણ મૂલ્યને તે બિંદુ/સ્થાન પાસે પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા કહે છે. તેને વ્યાપકરૂપે V(r) વડે દર્શાવાય છે.

• હવે, ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા પરથી આપેલ સંરક્ષી બળક્ષેત્રમાં પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર dV, નીચેના સૂત્ર દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે :
  dV = – \(\vec{F}\) . \(\vec{d}\)r = – dW …………… (6.33)
  જ્યાં, \(\vec{F}\) = કોઈ સંરક્ષી બળ છે.
  ∴ \(\int_i^f d V=-\int_{\overrightarrow{r_1}}^{\overrightarrow{r_2}} \vec{F} \cdot \vec{d} r=-\int d W\)
  ∴ \(\Delta V=V_{\mathrm{f}}-V_{\mathrm{i}}=-\int_{\overrightarrow{r_1}}^{\overrightarrow{r_2}} \vec{F} \cdot \vec{d} r=-W\) …………….. (6.34)
  સામાન્ય રીતે આપણે સંદર્ભબિંદુને અનંત અંતરે લઈએ છીએ અને ત્યાં સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય લઈએ છીએ, એટલે કે r_i = ∞ (અનંત) અને V_i = 0. તેથી ઉપરોક્ત સમીકરણ (6.34)નું સ્વરૂપ નીચે મુજબ થશે :
  \(V(r)=-\int_{\infty}^{\vec{r}} \vec{F} \cdot \vec{d} r=-W\) …………….. (6.35)
  જ્યાં, \(\overrightarrow{r_{\mathrm{f}}}=\vec{r}\) લીધેલ છે.
• હવે, સંરક્ષી બળ \(\vec{F}\) અને તેની સાથે સંકળાયેલી સ્થિતિ-ઊર્જા V જો માત્ર એક ચલ r અથવા xનું જ વિધેય હોય, તો (અર્થાત્ આધારિત હોય, તો)
  સંરક્ષી બળ F = – \(\frac{d V(r)}{d r}\) અથવા \(\frac{-d V(x)}{d x}\) ………… (6.36)

યાદ રાખો
સ્થિતિ-ઊર્જા માત્ર સંરક્ષી બળના કિસ્સામાં જ વ્યાખ્યાયિત થાય છે અને તેનો આધાર નિર્દેશ-ફ્રેમની પસંદગી ઉપર પણ છે.

પ્રશ્ન 24.
પૃથ્વીની સપાટીથી h(<<R_e) ઊંચાઈએ આવેલા સ્થાને m દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર લખો અને તેની મદદથી ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું સૂત્ર મેળવો. જો પદાર્થને તે સ્થાનેથી મુક્ત કરવામાં આવે, તો તે જ્યારે જમીન પર પહોંચે તે પહેલાંની ક્ષણે ત્યાં તેની ગતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર પણ મેળવો.
ઉત્તર:
પૃથ્વીની સપાટીથી પદાર્થની ઊંચાઈ h એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા R_e કરતાં ઘણી નાની (h << Re) હોય, તો પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ગુરુત્વપ્રવેગ માં થતા ફેરફારને અવગણી શકાય છે. તેથી પૃથ્વીની સપાટીથી h (<< R_e) ઊંચાઈએ આવેલા સ્થાને m દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
V(h) = mgh …………… (6.37)
અહીં, પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા યાદચ્છિક રીતે શૂન્ય લીધી છે.

• હવે, ઊંચાઈ hને એક ચલ તરીકે લઈએ તો પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (સંરક્ષી બળ) F એ V(h)ના, hને અનુલક્ષીને મળતા વિકલિતના ઋણ મૂલ્ય બરાબર મેળવી શકાય છે.
  ∴ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ F = –\(\)V(h)
  = -mg ………….. (6.38)
  અહીં, ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે પદાર્થ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચેની તરફ (અધોદિશામાં) લાગે છે. (આપણે અહીં પૃથ્વીની સપાટીથી ઊર્ધ્વશિરોલંબ દિશાને ધન દિશા તરીકે સ્વીકારેલ છે.)
  હવે, જો પદાર્થને ઊંચાઈએથી મુક્ત કરવામાં આવે (u = 0), તો υ² – u² = 2gh સૂત્ર પરથી તે જમીનને સ્પર્શે તે પહેલાંની ક્ષણે તેની ઝડપ υ, સૂત્ર υ = 2gh પરથી મળે. એટલે કે, υ = \(\sqrt{2 g h}\) .
• પદાર્થ જમીન પર પહોંચે તે પહેલાંની ક્ષણે ત્યાં તેની ગતિ-ઊર્જા,
  K = \(\frac{1}{2}\)mυ²
  = \(\frac{1}{2}\)m(2gh)
  = mgh ………….. (6.39)
  જે દર્શાવે છે કે, h ઊંચાઈએ રહેલા પદાર્થને જ્યારે મુક્ત કરવામાં આવે ત્યારે, તે જમીન પર પહોંચે ત્યાં સુધી તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જાનું ગતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતર થતું જાય છે.

અગત્યની નોંધ
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અનંત અંતરે, જો m દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા યાદચ્છિક રીતે શૂન્ય લેવામાં આવે, તો ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ પરથી મળતા બળ માટે, પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ hના આપેલા મૂલ્ય માટે પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
V(h) = \(\frac{m g h}{1+\frac{h}{R_e}}\) સૂત્ર પરથી મળે.
આ સૂત્ર ખરેખર તો (પૃથ્વી + પદાર્થથી) બનેલા તંત્રની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતા ફેરફાર માટેનું છે. જો આ સૂત્રમાં h << R_e (જ્યાં, R_e = પૃથ્વીની ત્રિજ્યા) લેવામાં આવે, તો V(h) = mgh સૂત્ર મળે.

પ્રશ્ન 25.
સંરક્ષી બળોના કિસ્સામાં યાંત્રિક ઊર્જા-સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનું ગાણિતિક સ્વરૂપ મેળવો અને તેનું કથન લખો.
ઉત્તર:
ધારો કે, એક પદાર્થ પર સંરક્ષી બળ F લાગે છે, તેથી તે માત્ર X-દિશામાં (એક-પરિમાણમાં) Δx જેટલું સ્થાનાંતર કરે છે.

• આથી કાર્ય-ઊર્જા (WE) પ્રમેય અનુસાર
  (પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર) = (પદાર્થ પર થતું કાર્ય)
  ∴ ΔK = ΔW
  ∴ ΔK = F(x) Δ x ………………. (6.40)
• સંરક્ષી બળ માટે, વ્યાખ્યા મુજબ સ્થિતિ-ઊર્જા વિધેય V(x) નીચેના સૂત્ર પરથી મળે છે :
  – ΔV = F(x) Δ x ………….. (6.41)
• સમીકરણો (6.40) અને (6.41) પરથી,

• સમીકરણ (6.42) દર્શાવે છે કે, સંરક્ષી બળોના કિસ્સામાં, પદાર્થ માટે ગતિ-ઊર્જા K અને સ્થિતિ-ઊર્જા Vના ફેરફારનો સરવાળો શૂન્ય છે. એટલે કે ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જાનો સરવાળો K + V અચળ છે.
• જો પદાર્થના ગતિપથનું પ્રારંભિક સ્થાન x_i અને અંતિમ સ્થાન x_f હોય, તો સમગ્ર ગતિપથ માટે,
  K_i + V(x_i) = K_f + V(x_f) ………….. (6.43)
• K + V(x)ને પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા કહે છે.
• આમ, પદાર્થના ગતિપથ પરના દરેક બિંદુએ ગતિ-ઊર્જા K અને સ્થિતિ-ઊર્જા V(x) બદલાતાં હોઈ શકે છે, પરંતુ તેમનો સરવાળો અચળ રહે છે.
  યાંત્રિક ઊર્જા-સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત : જે તંત્ર પર સંરક્ષી બળો વડે કાર્ય થતું હોય તે તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.

અગત્યની નોંધ

• યાંત્રિક ઊર્જા-સંરક્ષણનો નિયમ (ΔK = -ΔV) માત્ર સંરક્ષી બળોના કિસ્સામાં જ સાચો છે.
• ઘર્ષણબળ એ અસંરક્ષી બળ છે, તેથી અસંરક્ષી બળ F_nc ની હાજરીમાં યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ દર્શાવતું સૂત્ર બદલવું પડે.

પ્રશ્ન 26.
સંરક્ષી બળની કેટલીક વ્યાખ્યાઓ લખો.
ઉત્તર:

1. જો બળ F(x)ના કિસ્સામાં, અદિશ રાશિ V(x)ને ΔV = – F(x)Δx સંબંધ વડે રજૂ કરી શકાય, તો F(x) ને સંરક્ષી બળ કહે છે.
2. સંરક્ષી બળ વડે પદાર્થ ૫૨ થયેલું કાર્ય માત્ર અંત્યબિંદુઓ એટલે કે, પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન | બિંદુ પર જ આધાર રાખે છે, તેમને જોડતા માર્ગ પર આધારિત નથી.
   એટલે કે, W = ΔK અને -W = ΔV પરથી,
   W = K_f – K_i = V(x_i) – V(x_f) થાય.
3. બંધ ગતિમાર્ગ પર સંરક્ષી બળ વડે થયેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે. એટલે કે,
   પદાર્થનું પ્રારંભિક સ્થાન x_i = અંતિમ સ્થાન x_f લેતાં,
   K_i + V(x_i) = K_f + V(x_f) સૂત્ર પરથી,
   K_i = K_f થાય.
   ∴ K_f – K_i = 0
   ∴W = 0
4. જો પદાર્થ પર માત્ર સંક્ષી બળો જ લાગતાં હોય, તો તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
   સંરક્ષી બળો માટે E = K + V = અચળ અથવા A K + AV = 0.

પ્રશ્ન 27.
m દળના દડાને / પદાર્થને H ઊંચાઈએથી પડતો મૂકવામાં આવે, તો દર્શાવો કે તેના ગતિમાર્ગ પરનાં દરેક બિંદુઓ પાસે તેની યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.
અથવા
H ઊંચાઈએથી મુક્તપતન કરતાં m દળના દડા / પદાર્થ માટે યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે તેમ દર્શાવો.
ઉત્તર:

 

• આકૃતિ 6.10માં m દળના દડાને H ઊંચાઈના એક ખડક (ભેખડ) પરથી નીચે પડતો દર્શાવ્યો છે.
• જમીનથી ઊંચાઈઓ H, h અને 0 (જમીન પર) પાસે દડાની યાંત્રિક ઊર્જાઓ અનુક્રમે E_H, E_h અને E₀ વડે દર્શાવી શકાય છે અને તેમનાં મૂલ્યો નીચેનાં સૂત્રો પરથી શોધી શકાય છે :

• સમીકરણ (6.44) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, જમીનથી H ઊંચાઈએ દડા પાસે માત્ર સ્થિતિ-ઊર્જા (mgH જેટલી) હોય છે.
• સમીકરણ (6.45) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, h ઊંચાઈએ તે અમુક અંશે ગતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતિરત થાય છે.
• સમીકરણ (6.48) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, તે પૂર્ણ રીતે ગતિ-ઊર્જા- રૂપે મળે છે.
• સમીકરણ (6.44), (6.47) અને (6.50) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, દડાની યાંત્રિક ઊર્જા હંમેશાં અચળ જળવાઈ રહે છે.
• ઉપરની ચર્ચા પરથી એ પણ સ્પષ્ટ છે કે, મુક્તપતન કરતો દડો / પદાર્થ જેમ જેમ નીચે તરફ ગતિ કરે છે તેમ તેમ તેની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા V, જેટલા પ્રમાણમાં ઘટતી જાય છે તેટલા જ પ્રમાણમાં તેની ગતિ-ઊર્જા K વધતી જાય છે.
• આકૃતિ 6.11માં H ઊંચાઈએથી મુક્તપતન કરતાં, દડાની / પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા V, ગતિ-ઊર્જા K અને યાંત્રિક ઊર્જા E ઊંચાઈ સાથે કેવી રીતે બદલાય છે તે દર્શાવ્યું છે.

પ્રશ્ન 28.
આદર્શ સ્પ્રિંગ માટે હૂકના નિયમનું ગાણિતિક સ્વરૂપ જણાવો. આદર્શ સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતા વધારા x_m અને ઘટાડા x_e દરમિયાન સ્પ્રિંગ બળ વડે થયેલાં કાર્યોનાં સૂત્રો મેળવો તથા સાબિત કરો કે, સ્પ્રિંગ બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
ઉત્તર:
એક વજન રહિત સ્પ્રિંગને આદર્શ સ્પ્રિંગ ગણી શકાય છે. કારણ કે, તેના વિસ્તરણ અને સંકોચન દરમિયાન તેની અંદર કોઈ પણ પ્રકારનું અવરોધક બળ / ઘર્ષણબળ ઉત્પન્ન થતું નથી.

• આકૃતિ 6.12 (a)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક આદર્શ સ્પ્રિંગનો એક છેડો દઢ દીવાલ સાથે જોડેલો છે અને તેના બીજા છેડા સાથે જોડાયેલ બ્લૉક એક લીસા સમક્ષિતિજ સમતલ પર સ્થિર પડેલો છે. સ્પ્રિંગ આ પરિસ્થિતિમાં પોતાની મૂળ સંતુલિત સ્થિતિમાં છે, તેને x = 0 વડે દર્શાવેલ છે.
• હવે, જો આદર્શ સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલો બ્લૉક x જેટલું ધન કે ઋણ સ્થાનાંતર અનુભવે તો સ્પ્રિંગની અંદર ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ એટલે કે સ્પ્રિંગ બળ F_S એ સ્થાનાંતર ૪ના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જેને હૂકનો નિયમ કહે છે અને તેને ગાણિતિક સ્વરૂપે નીચે મુજબ લખી શકાય છે :
  F_S ∝ – x
  ∴ F_S = – kx ………….. (6.51)
  અહીં, સમપ્રમાણતા અચળાંક k ને સ્પ્રિંગનો બળ-અચળાંક કહે છે, તેનો SI એકમ Nm^-1 અને પારિમાણિક સૂત્ર M¹L⁰T^-2 છે.
  સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈમાં થતા 1 એકમ ફેરફારદીઠ સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતાં સ્પ્રિંગ બળને સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક (બળ-અચળાંક) કહે છે.
  કડક (અક્કડ) સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક (બળ-અચળાંક) k મોટો અને નરમ સ્પ્રિંગનો k નાનો હોય છે.
• આકૃતિ 6.12 (b)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ધારો કે આપણે બ્લૉકને બહારની તરફ પ્રવેગ રહિત ખેંચીએ અને જો સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતો વધારો x_m હોય, તો સ્પ્રિંગ બળ (જે ચલિત બળ છે) વડે થયેલું કાર્ય,
  W_S = \(\int_0^{x_{\mathrm{m}}} F_{\mathrm{s}} d x\)
  = – \(\int_0^{x_{\mathrm{m}}} k x d x\)
  = – \(\frac{k x_{\mathrm{m}}^2}{2}\) …………….. (6.52)
• સમીકરણ (6.52), આકૃતિ 6.13માં દર્શાવેલા Δ OBAનું ક્ષેત્રફળ શોધીને પણ મેળવી શકાય છે. અહીં ખેંચાણ (બાહ્ય) બળ F વડે થયેલ કાર્ય + \(\frac{k x_{\mathrm{m}}^2}{2}\) છે જે ધન છે, કારણ કે તે સ્પ્રિંગ બળની
  વિરુદ્ધ દિશામાં છે અને તેની હાજરીમાં બ્લૉક જમણી બાજુ પ્રવેગ રહિત ગતિ કરે છે.
• આકૃતિ 6.12 (c)માં દર્શાવ્યા મુજબ જો સ્પ્રિંગનું x_c સ્થાનાંતર સુધી પ્રવેગ રહિત સંકોચન કરવામાં આવે તોપણ સ્પ્રિંગ બળ વડે થયેલું કાર્ય W_S = – \(\frac{k x_{\mathrm{c}}^2}{2}\) જેટલું હોય છે, જ્યારે બાહ્ય બળ F વડે થયેલું કાર્ય +\(\frac{k x_{\mathrm{c}}^2}{2}\) જેટલું ધન હોય છે.
• વ્યાપકરૂપે જો બ્લૉકને પ્રારંભિક સ્થાન x_i થી અંતિમ સ્થાન x_f સુધી ગતિ કરાવવામાં આવે, તો સ્પ્રિંગ બળ વડે થયેલું કાર્ય W_Sનીચે મુજબ મળે :
  W_S = \(-\int_{x_{\mathrm{i}}}^{x_{\mathrm{f}}} k x d x=\frac{k x_{\mathrm{i}}^2}{2}-\frac{k x_{\mathrm{f}}^2}{2}\) ………………. (6.53)
• સમીકરણ (6.53) પરથી કહી શકાય કે, સ્પ્રિંગ બળ વડે થયેલું કાર્ય માત્ર અંત્યબિંદુઓ (પ્રારંભિક x_i અને અંતિમ x_f) પર જ આધાર રાખે છે.
• હવે, જો બ્લૉકને x_i પરથી ખેંચવામાં આવે અને પછી તેને x_i સુધી પાછો આવવા દેવામાં આવે, તો સ્પ્રિંગ બળ વડે થતું કાર્ય
  W_S = \(-\int_{x_i}^{x_i} k x d x=\frac{k x_1^2}{2}-\frac{k x_1^2}{2}\) = 0
  આમ, આ ચક્રીય પ્રક્રિયામાં સ્પ્રિંગ બળ વડે થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે. ટૂંકમાં, હવે સ્પષ્ટપણે દર્શાવાયું છે કે,
  1. હૂકના નિયમ મુજબ સ્પ્રિંગ બળ F_S, ફક્ત બ્લૉકના સ્થાનાંતર x પર આધાર રાખે છે. એટલે કે, F_S = – kx છે.
  2. સ્પ્રિંગ બળ વડે થયેલ કાર્ય ફક્ત બ્લૉકના પ્રારંભિક સ્થાન x_i અને અંતિમ સ્થાન x_f પર જ આધાર રાખે છે.
  3. સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલ બ્લૉકની એક ચક્રીય પ્રક્રિયામાં સ્પ્રિંગ બળ વડે થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે.
     આમ સાબિત થાય છે કે, સ્પ્રિંગ બળ એ સંરક્ષી બળ છે.

પ્રશ્ન 29.
આદર્શ સ્પ્રિંગ પર લગાડેલા બાહ્ય બળ F વિરુદ્ધ તેની લંબાઈમાં થતા ફેરફાર ૪નો આલેખ દોરો અને સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપકીય
સ્થિતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર મેળવો તથા દર્શાવો કે સ્પ્રિંગ બળ F_S = – \(\frac{d V(x)}{d x}\) જ્યાં, V(x) = સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતા ફેરફાર x ને અનુરૂપ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ-ઊર્જા.
ઉત્તર:

• એક આદર્શ સ્પ્રિંગ માટે તેના પર લગાડેલ બળ F વિરુદ્ધ તેની લંબાઈમાં થતા ફેરફાર ૪નો આલેખ દર્શાવ્યો છે.
• હવે, લગાડેલ બળ F = kx હોય છે. તેથી અહીં F વિરુદ્ધ x નો આલેખ સુરેખા મળે છે.
• હવે, સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં x જેટલો વધારો કરવા માટે કરવું પડતું જરૂરી કાર્ય,
  W = F વિરુદ્ધ x ના આલેખ દ્વારા ઘેરાતા બંધગાળાનું ક્ષેત્રફળ
  = OABO બંધગાળાનું ક્ષેત્રફળ
  = Δ OBA નું ક્ષેત્રફળ
  = \(\frac{1}{2}\)(OB) (AB)
  = \(\frac{1}{2}\)(x) (kx)
  = \(\frac{1}{2}\)kx² ……………. (6.54)
• સ્પ્રિંગ પર થતું આ કાર્ય સ્વિંગમાં સ્થિતિ-ઊર્જાના રૂપમાં સંગ્રહ પામે છે. તેને સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ-ઊર્જા કહે છે.
• તેથી સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
  V(x) = \(\frac{1}{2}\)kx² …………….. (6.55)
  = બાહ્ય બળ F વિરુદ્ધ સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતા ફેરફાર (અહીં વધારા) x ના આલેખ દ્વારા ઘેરાતા બંધગાળાનું ક્ષેત્રફળ
  નોંધ : સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં જો ઘટાડો કરવામાં આવે એટલે કે સ્પ્રિંગનું સંકોચન થાય ત્યારે પણ બાહ્ય બળ વડે થતું કાર્ય W = \(\frac{1}{2}\)kx² જેટલું હોય છે અને આટલું કાર્ય સ્પ્રિંગની સંકોચનની સ્થિતિમાં તેની અંદર સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ- ઊર્જારૂપે સંગ્રહ પામેલું હોય છે.
• હવે, સમીકરણ (6.55)નું x ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
  \(\frac{d V(x)}{d x}=\frac{d}{d x}\)(\(\frac{1}{2}\) kx²)
  = \(\frac{1}{2}\)k (2x)
  = kx
  ∴ – \(\frac{d V(x)}{d x}\) = – kx થાય.
  પણ F_S = – kx છે.
  ∴ F_S = – \(\frac{d V(x)}{d x}\) સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 30.
આદર્શ સ્પ્રિંગ-બ્લૉકના ઉદાહરણમાં બ્લૉકના ધન અને ઋણ સ્થાનાંતર દરમિયાન બ્લૉકની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે તેમ દર્શાવો તથા બ્લૉકની સ્થિતિ-ઊર્જા, ગતિ-ઊર્જા અને યાંત્રિક ઊર્જાના સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ આલેખો એક જ આલેખપત્ર પર દોરો.
ઉત્તર:
આદર્શ સ્પ્રિંગ-બ્લૉકના ઉદાહરણમાં m દળના બ્લૉકને તેની સંતુલિત સ્થિતિ(x = 0)માંથી મહત્તમ x_m સુધી ખેંચીને છોડવામાં આવે, તો કોઈ પણ બિંદુ x જે -x_m અને +x_m ની વચ્ચે હશે, તે -x_m અને +x_mની વચ્ચે તેના પર લાગતાં સ્પ્રિંગ બળ F_S ની હાજરીમાં સાદાં દોલનો કરશે.
અહીં, બ્લૉકને મહત્તમ સ્થાનાંતર x_m સુધી ખેંચીને પછી છોડવામાં આવેલ છે. તેથી x_m સ્થાને બ્લૉકનો વેગ શૂન્ય હશે અને તેથી ગતિ-ઊર્જા K પણ શૂન્ય હશે.

• અહીં, બ્લૉકના તંત્રનાં દોલનો સ્પ્રિંગ બળ F_S ની અસર હેઠળ થાય છે તથા સ્પ્રિંગ બળ એ તો સંરક્ષી બળ છે અને સંરક્ષી બળના કિસ્સામાં જ યાંત્રિક ઊર્જા-સંરક્ષણનો નિયમ પળાય છે, તેથી બ્લૉકની -x_m અને +x_m વચ્ચેની સમગ્ર દોલનગતિ દરમિયાન તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા તો અચળ જ રહેશે.
• અહીં, બ્લૉકનું મહત્તમ સ્થાનાંતર x_m લીધું છે, તેથી આ સ્થાને સ્પ્રિંગની સ્થિતિ-ઊર્જા \(\frac{1}{2}\)kx²_m થશે જે મહત્તમ હશે, પણ બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય હશે.
• આમ, જ્યારે બ્લૉક કોઈ બિંદુ x પાસે હશે ત્યાં તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા = K + V(x) = \(\frac{1}{2}\)mυ² + \(\frac{1}{2}\)kx² હશે, જે મહત્તમ સ્થિતિ-ઊર્જા \(\frac{1}{2}\)kx²_m જેટલી હશે.
  ∴ \(\frac{1}{2}\)kx²_m = \(\frac{1}{2}\)kx² + \(\frac{1}{2}\)mυ² …………… (6.56)
  જ્યાં, υ = x સ્થાન પાસે બ્લૉકનો વેગ
• હવે, સમીકરણ (6.56)માં બ્લૉકની સંતુલિત સ્થિતિ x = 0 પાસે બ્લૉકની ગતિ ઊર્જા (\(\frac{1}{2}\)mυ²), મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા જેટલી અર્થાત્ મહત્તમ હોય છે. તેથી બ્લૉકની ઝડપ પણ મહત્તમ (υ_m જેટલી) હશે. તેથી ઉપરના સમીકરણ (6.56)નું સ્વરૂપ નીચે મુજબ થશે :
  \(\frac{1}{2}\)kx²_m = \(\frac{1}{2}\)mυ²_m ………… (6.57)
  જ્યાં, υ_m = બ્લૉકની મહત્તમ ઝડપ
  ∴ υ_m = (\(\sqrt{\frac{k}{m}}\))x_m …………. (6.58)
• સમીકરણ (6.58)માં \(\sqrt{\frac{k}{m}}\)નું પારિમાણિક સૂત્ર M⁰L⁰T^-2 છે.
  તેથી υ_m નું પારિમાણિક સૂત્ર M⁰L¹T^-1 થાય. આમ, સમીકરણ (6.58) પારિમાણિક દૃષ્ટિએ સાચું છે.
  ટૂંકમાં ઉપરની ચર્ચાનો સારાંશ એ છે કે,
  1. બ્લૉકની મહત્તમ સ્થાનાંતરિત સ્થિતિમાં x_m પાસે બ્લૉકની સ્થિતિ-ઊર્જા મહત્તમ છે, જે કુલ યાંત્રિક ઊર્જા જેટલી છે તથા ગતિ- ઊર્જા શૂન્ય છે.
     x = 0 પાસે બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જા મહત્તમ છે, જે કુલ યાંત્રિક ઊર્જા જેટલી છે અને સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય છે.
  2. બ્લૉકની -x_m અને +x_m વચ્ચેની સમગ્ર દોલનગતિ દરમિયાન તેની ગતિ-ઊર્જાનું સ્થિતિ-ઊર્જામાં તથા સ્થિતિ-ઊર્જાનું ગતિ-ઊર્જામાં રૂપાંતરણ થયા કરે છે. પરંતુ બ્લૉકની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા તો અચળ જ રહે છે.

ઉપરોક્ત હકીકત નીચેની આકૃતિ 6.15માં આલેખ દ્વારા દર્શાવેલ છે :

નોંધ : સ્થિતિ-ઊર્જાનું શૂન્ય મૂલ્ય યાદચ્છિક છે. તે અનુકૂળતા મુજબ નક્કી કરી શકાય છે :

1. સ્પ્રિંગ બળ F_S માટે x = 0 પાસે સ્થિતિ-ઊર્જા V(0) = 0 લીધેલ છે, એટલે કે તણાવ રહિત સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ- ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.
2. પૃથ્વીની સપાટી (જમીન) પર અચળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ mg એટલે કે ઊંચાઈ h << R_e માટે જમીન પર m દળના પદાર્થની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા V(0) = 0 લઈએ છીએ.
3. ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ પરથી મળતા બળ માટે પૃથ્વીની સપાટીથી ઊંચાઈ h ના કોઈ પણ મૂલ્ય માટે ગુરુત્વીય સ્થિતિ- ઊર્જા શોધતી વખતે ગુરુત્વાકર્ષણ ઉત્પન્ન કરનાર ઉદ્ગમથી અનંત અંતરે સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય લેવી શ્રેષ્ઠ છે.

પ્રશ્ન 31.
ઉષ્મા-ઊર્જા, ઉષ્મા અને આંતરિક ઊર્જા વિશે ટૂંકમાં સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
ઉષ્મા-ઊર્જા અને ઉષ્મા : પદાર્થના ઘટક કણોની અસ્તવ્યસ્ત ગતિ સાથે સંકળાયેલ કુલ ગતિ-ઊર્જા K_internal ને પદાર્થમાં રહેલી ઉષ્મા-ઊર્જા કહે છે.

ઉષ્મા અને ઉષ્મા-ઊર્જા બંને દેખીતી રીતે એક જ શબ્દ હોય તેમ લાગે છે છતાં બંને એક રાશિ નથી.
પદાર્થ(દા. ત., પદાર્થનું વાયુ સ્વરૂપ)ના અણુઓ અથવા પરમાણુઓની વાયુપાત્રની અંદર વાયુના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM)ને અનુલક્ષીને અસ્તવ્યસ્ત ગતિના લીધે તેઓ વેગમાન અને ગતિ-ઊર્જા ધરાવતાં હોય છે. અણુઓ / પરમાણુઓની આ અસ્તવ્યસ્તતા તથા બધી જ દિશાઓમાં તેમની ગતિની સમાન સંભાવના હોવાના કારણે વાયુના અણુઓનું/પરમાણુઓનું આ અસ્તવ્યસ્ત ગતિ સાથે સંકળાયેલ કુલ વેગમાન \(\vec{P}\)_internal = 0 પરંતુ અણુઓની / પરમાણુઓની આ અસ્તવ્યસ્ત ગતિની કુલ ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય હશે નહીં. K_internal ≠ 0.

જ્યારે બે અસમાન તાપમાનવાળા પદાર્થોને એકબીજાના ઉષ્મીય સંપર્કમાં લાવવામાં આવે ત્યારે વધુ તાપમાનવાળા પદાર્થના તાપમાનમાં ઘટાડો અને ઓછા તાપમાનવાળા પદાર્થના તાપમાનમાં વધારો નોંધાય છે. આનો અર્થ એ થયો કે બંને પદાર્થો વચ્ચે ઉષ્મા-ઊર્જાનો વિનિમય થયો હશે. આ વિનિમય પામતી ઉષ્મા-ઊર્જા એટલે જ ઉષ્મા. (Heat energy in transit is called heat.)

આમ, અસમાન તાપમાન ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચે માત્ર તાપમાનના તફાવતને કારણે થતા ઊર્જાના વિનિમયને ઉષ્મા કહે છે. તેથી સ્પષ્ટ છે કે, કોઈ પણ પદાર્થ ઉષ્મા-ઊર્જા ધરાવી શકે પણ ઉષ્મા નહીં. કારણ કે, ઉષ્મા એ પ્રક્રિયા છે.

ઉષ્મા-ઊર્જાને ઘર્ષણ સાથે પણ સંબંધ છે.
દા. ત., એક ટેબલની સમક્ષિતિજ ખરબચડી સપાટી પર υ₀ જેટલી ઝડપથી સરકતો m દળનો બ્લૉક ધારો કે x₀ અંતર કાપીને સ્થિર થાય છે, તો અહીં ગતિક ઘર્ષણબળ f_k ના કારણે x₀ અંતર સુધીમાં થતું કાર્ય -f_kx₀ છે. તેથી કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય (W = K_f – K_i) ૫૨થી -f_kx₀ = 0 – K_i ⇒ f_kx₀ = \(\frac{1}{2}\)mυ₀²_m. આમ, ઘર્ષણબળને કારણે બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જા વેડફાઈ જાય છે. બ્લૉક અને ટેબલની સપાટી બંનેનું ઝીણવટથી અવલોકન કરીએ તો બંનેના તાપમાનમાં અલ્પ (નજીવો) વધારો જોવા મળે છે. ઘર્ષણ વડે થયેલું કાર્ય નકામું જતું નથી પણ તે ઉષ્મા-ઊર્જામાં ફેરવાય છે, પરિણામે ટેબલ અને બ્લૉક બંનેની આંતરિક ઊર્જામાં પણ નજીવો વધારો થાય છે.

આંતરિક ઊર્જા : પદાર્થ તેના ઘટક કણોની વિવિધ આંતરિક ગતિઓ અને આંતરક્રિયાઓને કારણે ઊર્જા ધરાવતો હોય છે.

દા. ત., પદાર્થના ઘટક કણો તેમનાં દોલનોના કારણે દોલનોની ગતિ-ઊર્જા જે આંતરિક ગતિ-ઊર્જા K_int કહેવાય છે, તે અને તેમની વચ્ચેના પારસ્પરિક આકર્ષણ અને અપાકર્ષણને લીધે આંતરિક સ્થિતિ- ઊર્જા V_internal ધરાવતાં હોય છે. ઘટક કણોની આવી બધી જ ઊર્જાઓનો સરવાળો K_internal+ V_internal ને પદાર્થની આંતરિક ઊર્જા કહેવામાં આવે છે. ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થતાં કાર્યને પરિણામે આંતરિક ઊર્જા વધતાં પદાર્થનું તાપમાન વધે છે. (જુઓ ઉપરોક્ત ટેબલ-બ્લૉકનું ઉદાહરણ)

શિયાળામાં ગરમાવો મેળવવા માટે આપણે આપણી બંને હથેળીઓ જોરથી ઘસીને ઉષ્મા ઉત્પન્ન કરીએ છીએ ત્યારે શરીરની આંતરિક ઊર્જા ઉષ્મા-ઊર્જામાં રૂપાંતિરત થાય છે, તેથી ગરમી ઉત્પન્ન થાય છે. 6.10.2 રાસાયણિક ઊર્જા અને

પ્રશ્ન 32.
રાસાયણિક ઊર્જા અને વિદ્યુત-ઊર્જા વિશે નોંધ લખો.
ઉત્તર:
રાસાયણિક ઊર્જા : રાસાયણિક પ્રક્રિયામાં ભાગ લેતાં અણુઓની (કે પરમાણુઓની) જુદી જુદી બંધન-ઊર્જાઓના કારણે રાસાયણિક ઊર્જા ઉત્પન્ન થાય છે.

કોઈ સ્થિર (સ્થાયી) રાસાયણિક સંયોજનની ઊર્જા તેના ઘટક કણોની મુક્ત અવસ્થામાંની કુલ ઊર્જા કરતાં હંમેશાં ઓછી હોય છે. ઊર્જાના આ તફાવતને રાસાયણિક ઊર્જા અથવા રાસાયણિક બંધન-ઊર્જા કહે છે.

રાસાયણિક પ્રક્રિયા મુખ્યત્વે ઘટક કણોની પુનઃગોઠવણી છે. રાસાયણિક પ્રક્રિયાઓ ઉષ્માશોષક (Endothermic) કે જેમાં ઉષ્માનું શોષણ થતી હોય તેવી અથવા ઉષ્માક્ષેપક (Exothermic) કે જેમાં ઉષ્મા મુક્ત થતી હોય તેવી હોઈ શકે છે. જેનો આધાર પ્રક્રિયામાં ભાગ લેતાં પ્રક્રિયકોની કુલ ઊર્જા, નીપજોની કુલ ઊર્જા કરતાં ઓછી છે કે વધુ તેના પર છે.

વિદ્યુત-ઊર્જા : વિદ્યુતપ્રવાહ સાથે સંકળાયેલી ઊર્જાને વિદ્યુત- ઊર્જા કહે છે.

વિદ્યુતપ્રવાહથી કેટલાક વિવિધ પ્રકારનાં યાંત્રિક કાર્યો તથા બીજા પ્રકારની ઊર્જા મેળવી શકાય છે. દા. ત., વિદ્યુતપ્રવાહના વહનથી બલ્બ પ્રકાશ આપે છે, પંખો ફરે છે અને ઘંટડી રણકે છે વગેરે.

પ્રશ્ન 33.
દળ અને ઊર્જાની સમતુલ્યતા ચર્ચો.
ઉત્તર:
દ્રવ્ય પોતાની અવસ્થા બદલી શકે છે. દા. ત., હિમનદીનો બરફ ઓગળીને પાણીનો ધસમસતો પ્રવાહ બની શકે છે. પરંતુ દ્રવ્ય ઉત્પન્ન કરી શકાતું નથી અને નષ્ટ પણ કરી શકાતું નથી.
આલ્બર્ટ આઇન્સ્ટાઇને દર્શાવ્યું કે દળ અને ઊર્જા સમતુલ્ય છે. દ્રવ્યનું ઊર્જામાં અને ઊર્જાનું દ્રવ્યમાં રૂપાંતરણ નીચેના સમીકરણ અનુસાર થાય છે :
E = mc²
જ્યાં, c = શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ
= 3 × 10⁸ m s^-1
સમીકરણ (6.59) પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે, દ્રવ્યના સૂક્ષ્મ જથ્થાનું ઊર્જામાં રૂપાંતર થતાં પુષ્કળ પ્રમાણમાં ઊર્જા ઉદ્ભવે છે.

પ્રશ્ન 34.
ટૂંક નોંધ લખો : ન્યુક્લિયર ઊર્જા
ઉત્તર:
ન્યૂટ્રૉન, પ્રોટોન જેવા સૂક્ષ્મ કણો 10^-15m ના ક્રમના અંતરે એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા કરે છે અને ન્યુક્લિયસની રચના કરે છે.

• ન્યુક્લિયસનું દળ તેમાં રહેલા ન્યૂટ્રૉન અને પ્રોટોનના મુક્ત અવસ્થામાંના કુલ દળ કરતાં ઓછું હોય છે. દળના આ તફાવતને દળક્ષતિ Δ m કહે છે. દળક્ષતિ Δ mને સમતુલ્ય ઊર્જા (Δ m) c²ને ન્યુક્લિયર ઊર્જા અથવા ન્યુક્લિયસની બંધન-ઊર્જા કહે છે.
• ન્યુક્લિયર ઊર્જા એ ન્યુક્લિયર ફિશન (વિખંડન) અને ન્યુક્લિયર ફ્યૂઝન (સંલયન) પ્રકિયામાં મળે છે.
• સૂર્યમાં ઉદ્ભવતી ઊર્જા એ ન્યુક્લિયર ફ્યૂઝન પ્રક્રિયાને લીધે છે. આ પ્રક્રિયામાં ચાર હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ ભેગા મળીને હિલિયમ ન્યુક્લિયસ બનાવે છે. જેનું દળ આ ચારેય પ્રક્રિયકોના કુલ દળ કરતાં ઓછું હોય છે. દળના આ તફાવત Δ mને દળક્ષતિ કહેવામાં આવે છે. Δm એ (Δm) c² જેટલી ઊર્જાનો સ્રોત છે.
• ન્યુક્લિયર ફિશન પ્રક્રિયામાં ₉₂U²³⁵ જેવા ભારે ન્યુક્લિયસ પર ન્યૂટ્રૉનનું પ્રતાડન કરવામાં આવે ત્યારે તે બે હલકા ન્યુક્લિયસમાં વહેંચાય છે. (વિખંડન પામે છે) આ કિસ્સામાં પણ અંતિમ દળ એ પ્રારંભિક દળ કરતાં ઓછું હોય છે અને આ દ્રવ્યમાનના તફાવત જેટલી ઊર્જા ઉદ્ભવે છે. જેનો ઉપયોગ ન્યુક્લિયર પાવર પ્લાન્ટમાં અને ન્યુક્લિયર શસ્ત્રો (પરમાણુ બૉમ્બ) બનાવવા માટે કરી શકાય છે. 6.10.6 ઊર્જા-સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત

પ્રશ્ન 35.
ઊર્જા-સંરક્ષણનો સિદ્ધાંત સમજાવો.
ઉત્તર:
જો તંત્ર પર કાર્ય કરતાં બળો માત્ર સંરક્ષી હોય, તો તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
પરંતુ જો કેટલાંક અસંરક્ષી બળો પણ લાગતાં હોય, તો યાંત્રિક ઊર્જાનો અમુક ભાગ (હિસ્સો) બીજા પ્રકારની ઊર્જામાં રૂપાંતર પામે છે. જેમ કે ઉષ્મા, પ્રકાશ અને અવાજ.

• આમ છતાં, બધા પ્રકારની ઊર્જાઓને ધ્યાનમાં લઈએ તો અલગ કરેલાં તંત્રની કુલ ઊર્જા બદલાતી નથી. ઊર્જાનું એક પ્રકારમાંથી બીજા પ્રકારમાં રૂપાંતરણ થાય છે. પણ અલગ કરેલા તંત્રની કુલ ઊર્જા તો અચળ જ રહે છે. ઊર્જા ક્યારેય ઉત્પન્ન કરી શકાતી નથી કે તેનો નાશ કરી શકાતો નથી.
• સમગ્ર વિશ્વને અલગ કરેલું તંત્ર ગણી શકાય અને તેથી સમગ્ર વિશ્વની કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે. જો વિશ્વના કોઈ ભાગમાં ઊર્જાનો વ્યય થાય (અદશ્ય થાય), તો વિશ્વના બીજા કોઈ ભાગમાં તેટલી જ ઊર્જા ઉદ્ભવે છે.

પ્રશ્ન 36.
ટૂંક નોંધ લખો : પાવર અથવા પાવર વિશે સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
કાર્ય કરવાના કે ઊર્જાના રૂપાંતરણના સમય-દરને પાવર અથવા કાર્યત્વરા કહે છે.

• બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય W અને તે માટે લીધેલા કુલ સમય tના ગુણોત્તરને t સમયગાળા દરમિયાનનો તે બળનો સરેરાશ પાવર કહે છે.
  P_av = \(\frac{W}{t}\) ……………… (6.60)
• જ્યા૨ે સમયગાળો t શૂન્યની નજીક પહોંચે છે તે લક્ષમાં સરેરાશ પાવરનું મૂલ્ય તાત્ક્ષણિક પાવર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
  P = \(\frac{d W}{d t}\) ………….. (6.61)
• પદાર્થ પર \(\vec{F}\) બળ લાગતાં, પદાર્થનું થતું સ્થાનાંતર \(\overrightarrow{d r}\) હોય, તો આ બળ વડે થયેલ કાર્ય dW = \(\vec{F}\) · \(\overrightarrow{d r}\).
  ∴ તાત્ક્ષણિક પાવર P = \(\frac{\vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}}{d t}\) લખાય.
  ∴ P = \(\vec{F} \cdot \frac{\overrightarrow{d r}}{d t}\)
  = \(\vec{F} \cdot \vec{v}\) ……………… (6.62)
  જ્યાં, વેગ \(\vec{υ}\) એ પદાર્થ પર લાગતું બળ \(\vec{F}\) હોય ત્યારે પદાર્થનો તાત્ક્ષણિક વેગ છે.
  P = Fυ cos θ પણ લખાય છે. જ્યાં, θ = \(\vec{F}\) અને \(\vec{υ}\) વચ્ચેનો ખૂણો.
• કાર્ય અને ઊર્જાની જેમ પાવર પણ અદિશ રાશિ છે.
• પાવરનું પારિમાણિક સૂત્ર M¹L²T^-3 છે.
• પાવરનો SI એકમ watt (W) એ વરાળયંત્રના શોધક જેમ્સ વૉટના નામ પરથી પાડવામાં આવ્યો છે.
• 1 watt = lJS^-1
• પાવરનો બીજો એકમ હૉર્સપાવર (hp) પણ છે.
  1 hp = 746 W
• પાવરને સમય સાથે ગુણવાથી કાર્યનું મૂલ્ય પ્રાપ્ત થાય છે. આ હકીકતના આધારે કાર્યનો બીજો એકમ કિલોવૉટ અવર (kWh) વ્યાખ્યાયિત થયો છે.
  “1 કિલોવૉટ જેટલા અચળ દરે 1 કલાકમાં થયેલા કુલ કાર્યને 1 કિલોવૉટ અવર કહે છે.”
• રોજબરોજના વપરાશમાં વપરાતી વિદ્યુત-ઊર્જાને કિલોવૉટ અવરના એકમમાં મપાય છે, તેને ‘યુનિટ’ કહે છે.
  1 યુનિટ = 1 kWh = (10³ W) (1 hour)
  = (10³ J s^-1) (3600 s)
  = 3.6 × 10⁶ J
• 100Wનો એક બલ્બ 10 કલાક માટે ચાલુ (ON) રહે, તો 1 kWh જેટલી વિદ્યુત-ઊર્જા વપરાય છે.

પ્રશ્ન 37.
સંઘાત (અથડામણ) એટલે શું? ટૂંકમાં સમજાવો.
ઉત્તર:
સંઘાત અથવા અથડામણ એ પદાર્થો વચ્ચેની બહુ જ ઓછા સમયગાળા (Δt → 0) માટેની આંતરક્રિયા (Interaction) છે, જેમાં બંને પદાર્થો એકબીજા ૫૨ બહુ મોટા મૂલ્યનું બળ લગાડે છે.

• આંતરક્રિયા કરતાં બળોનો સમયગાળો એટલો ટૂંકો હોય છે કે જેથી અથડામણના just પહેલાં અને just પછીની ગતિને આપણે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ. પણ અથડામણ દરમિયાનની ગતિ ધ્યાનમાં લઈ શકાતી નથી.
• બે પદાર્થોનો ભૌતિક સંપર્ક થાય જેમ કે બિલિયર્ડ, લખોટીઓ, કૅરમની કૂકરીઓ વચ્ચેની અથડામણોમાં ત્યારે જ અથડામણ થાય છે તેવું નથી.
  દા. ત.,
  1. ઘણા લાંબા અંતરથી સૂર્ય તરફ આવતા ધૂમકેતુની ગતિ
  2. ભા૨ે ન્યુક્લિયસ તરફ ગતિ કરીને આવતા અને પછી બીજી કોઈ દિશામાં ફંટાતા (દૂર જતાં) -કણની ગતિ
     જેને પ્રકિર્ણન(Scattering)ની ઘટના કહે છે. વગેરે આમ, સંઘાતમાં બે પદાર્થોનો ભૌતિક સંપર્ક થવો આવશ્યક નથી.
• બે પદાર્થો વચ્ચેની અથડામણમાં ભાગ લેતાં બળો ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયા પ્રકારનાં બળો છે. અર્થાત્ બે પદાર્થોથી બનેલા તંત્રની અંદર પ્રવર્તતાં આંતરિક બળો છે.
• અથડામણ કરતા પદાર્થોની, અથડામણના પરિણામ સ્વરૂપે કુલ ગતિ-ઊર્જા બદલાઈ શકે છે પણ દરેક અથડામણમાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.

પ્રશ્ન 38.
દરેક અથડામણોમાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે, તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તર:
ધારો કે બે પદાર્થો 1 અને 2 એકબીજા સાથે અથડાય છે, પરિણામે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ (\(\vec{F}=\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\)) અનુસાર તેઓ અથડામણના Δt સમયગાળા દરમિયાન એકબીજા પર પરસ્પર આઘાતી (Impulsive) બળો લગાડે છે. તેથી તેમના અનુરૂપ વેગમાનમાં ફેરફાર થાય છે.

• પદાર્થ 1ના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર Δ\(\vec{P}\)₁ = \(\vec{F}\)₁₂Δt અને પદાર્થ 2ના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર Δ\(\vec{P}\)₂ = Δ\(\vec{F}\)₂₁Δt
  જ્યાં, \(\vec{F}\)₁₂ = પદાર્થ 1 પર પદાર્થ 2 વડે લાગતું બળ
  \(\vec{F}\)₂₁ = પદાર્થ 2 પર પદાર્થ 1 વડે લાગતું બળ
• હવે, ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ અનુસાર,
  \(\vec{F}\)₁₂ = – \(\vec{F}\)₂₁
  બંને બાજુ Δt વડે ગુણતાં,
  ∴ \(\vec{F}\)₁₂Δt = – \(\vec{F}\)₂₁Δt = 0
  ∴ Δ\(\vec{P}\)₁ + Δ\(\vec{P}\)₂ = 0
  ∴ Δ(\(\vec{P}\)₁ + \(\vec{P}\)₂) = 0
  ∴ \(\vec{P}\)₁ + \(\vec{P}\)₂ = અચળ ………… (6.63)
• અહીં, અથડામણ વખતે Δt સમયગાળા દરમિયાન બળો જટિલ રીતે બદલાતાં હોઈ શકે, પરંતુ તે વખતે પણ \(\vec{P}\)₁ + \(\vec{P}\)₂ = અચળ જ હોય છે.

આમ, દરેક અથડામણ પહેલાં, દરમિયાન અને અંતે હંમેશાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.

પ્રશ્ન 39.
અથડામણોના વિવિધ પ્રકારો વિશે ટૂંકમાં સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
દરેક પ્રકારની અથડામણોમાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. પણ દરેક અથડામણો દરમિયાન તંત્રની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય તે જરૂરી નથી.

• બે પદાર્થોની અથડામણ દરમિયાન તેમની વચ્ચે લાગતાં પરસ્પર આઘાત અને પદાર્થોના આકારના વિકાર (વિરુપણ) દરમિયાન, ઉષ્મા અને અવાજ (ધ્વનિ) પણ ઉત્પન્ન થઈ શકે છે. પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જાનો કેટલોક ભાગ ઊર્જાનાં બીજાં સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
• અથડામણ દરમિયાન આકારના વિકારને સંકોચાયેલી સ્પ્રિંગ દ્વારા તાદશ્ય કરી શકાય છે.
• જો બે દળોને જોડતી ‘સ્પ્રિંગ’ ઊર્જાનો વ્યય કર્યા વગર તેનો આકાર પાછો મેળવી લે તો પ્રારંભિક કુલ ગતિ-ઊર્જા એ અંતિમ કુલ ગતિ- ઊર્જા જેટલી હોય, પરંતુ અથડામણના સમયગાળા Δt દરમિયાન ગતિ-ઊર્જા અચળ ન હોય. આવી અથડામણને સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કહે છે. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કિસ્સામાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ તો થતું જ હોય છે.
• આકારના વિકાર(વિરુપણ)માંથી પદાર્થો પોતાની મૂળ સ્થિતિ (આકાર) પુનઃપ્રાપ્ત ન કરી શકે અને બંને પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે ચોંટી જઈને એકસાથે ગતિ કરે, તો આવી અથડામણને સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કહે છે. આ કિસ્સામાં ગતિ-ઊર્જાનો મોટા પ્રમાણમાં વ્યય થાય છે. સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કિસ્સામાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ તો થતું જ હોય છે.
• સામાન્ય કિસ્સામાં જ્યારે પદાર્થોના આકારનો વિકાર કેટલેક અંશે પાછો મેળવી શકાય અને થોડીક જ ગતિ-ઊર્જાનો વ્યય થતો હોય, તો તેવી અથડામણને અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કહે છે. અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કિસ્સામાં કુલ રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ તો થતું જ હોય છે.

પ્રશ્ન 40.
સંઘાત(અથડામણ)ના વિવિધ પ્રકારો જણાવો.
ઉત્તર:
સંઘાતના પ્રકારો મુખ્યત્વે
(i) સંઘાત પામતા કણોની ગતિની દિશાના આધારે તથા
(ii) સંઘાત પામતા કણોની કુલ ગતિ-ઊર્જાના મૂલ્યના આધારે પાડવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 41.
નોંધ લખો : રેસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક
ઉત્તર :
રેસ્ટિટ્યુશન ગુણાંક e ને નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે :

= \(\frac{v_{2 \mathrm{f}}-v_{1 \mathrm{f}}}{v_{11}-v_{2 \mathrm{i}}}\) ……………… 6.64
જ્યાં, υ_1f અને υ_2f એ અનુક્રમે m₁
અને ₂ દળના કણોના સંઘાત પછીના વેગ છે તથા υ_1i અને υ_2i એ અનુક્રમે m₁ અને
m₂ દળના કણોના સંઘાત પહેલાંના વેગ છે.

• સ્થિતિસ્થાપક સંઘાતના કિસ્સામાં e = 1 હોય છે.
• અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતના કિસ્સામાં 0 < e < 1 હોય છે.
• સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક સંઘાતના કિસ્સામાં e = 0 હોય છે.
  eનું મૂલ્ય મહદંશે સંઘાત પામતા કણોના દ્રવ્યના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.

(A) સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ :
પ્રશ્ન 42.
ધન X-અક્ષ પર m₂ દળ ધરાવતો એક પદાર્થ પ્રારંભમાં સ્થિર છે (\(\vec{υ}\)_2i = 0) અને તેની પાછળથી ધન x-દિશામાં \(\vec{υ}\)_1i જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરીને આવતો m₁ દળનો પદાર્થ, તેની સાથે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે, તો અથડામણ બાદ આ બે પદાર્થોના સંયુક્ત વેગનું સૂત્ર મેળવો તથા અથડામણ દરમિયાન વ્યય પામતી ગતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર પણ મેળવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 6.16માં દર્શાવ્યા મુજબ પ્રારંભમાં m₂ દળનો પદાર્થ ધન X-અક્ષ પર સ્થિર છે. તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ \(\vec{υ}\)_2i = 0.
  હવે m₁ દળનો પદાર્થ ધન X-અક્ષ પર \(\vec{υ}\)_1i જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરતો કરતો m₂ દળના સ્થિર પદાર્થ સાથે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે.
• અહીં, અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી બંને પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે ચોંટી જશે અને બંને એકસાથે υ_f જેટલા અંતિમ વેગથી ધન X-દિશામાં ગતિ કરવા લાગશે.
• રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
  m₁\(\vec{υ}\)_1i + 0 = (m₁ + m₂)\(\vec{υ}\)_f
  પરંતુ \(\vec{υ}\)_1i અને \(\vec{υ}\)_f બંને સદિશો એક જ દિશામાં હોવાથી,
  m₁\(\vec{υ}\)_1i = (m₁ + m₂)υ_f લખી શકાય.
  ∴ υ_f = \(\frac{m_1 v_{1i}}{m_1+m_2}\) ……………. (6.65)
  આમ, બંને પદાર્થો એકસાથે ચોંટેલી અવસ્થામાં υ_f જેટલા અંતિમ વેગથી ધન X-દિશામાં ગતિ કરશે.
• હવે, સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કિસ્સામાં ગતિ-ઊર્જાનો મોટા પ્રમાણમાં વ્યય થાય છે, તેથી
  કુલ KE_{સંઘાત પહેલાં} > કુલ KE_{સંઘાત પછી}
  ∴ અથડામણ દરમિયાન ગતિ-ઊર્જાનો વ્યય નીચે મુજબ શોધી શકાય :
  ΔK = (કુલ KE_{સંઘાત પહેલાં}) – (કુલ KE_{સંઘાત પછી})
  = (\(\frac{1}{2}\)m₁υ_1i² + 0) – \(\frac{1}{2}\)(m₁ + m₂)υ_f² ………….. (6.66)
• સમીકરણ (6.65)ની કિંમત, સમીકરણ (6.66)માં મૂકતાં,

આ ધન સંખ્યા છે.
આમ, અહીં ઉપરોક્ત ગતિ-ઊર્જા મુખ્યત્વે ઉષ્મા અને ધ્વનિ સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.

પ્રશ્ન 43.
ધન X-અક્ષ પર m₂ દળનો એક પદાર્થ શરૂઆતથી જ \(\vec{υ}\)_2i જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે અને તેની પાછળથી ધન X-દિશામાં \(\vec{υ}\)_1i જેટલા પ્રારંભિક વેગથી (υ_1i > υ_2i) ગતિ કરીને આવતો m₁ દળનો પદાર્થ, તેની સાથે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે, તો અથડામણ બાદ આ બે પદાર્થોના સંયુક્ત વેગનું સૂત્ર મેળવો તથા અથડામણ દરમિયાન વ્યય પામતી ગતિ-ઊર્જાનું સૂત્ર પણ મેળવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 6.17માં દર્શાવ્યા મુજબ શરૂઆતથી m₂ દળનો પદાર્થ ધન X-અક્ષ પર \(\vec{υ}\)_2i જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરે છે.
• હવે, m₁ દળનો પદાર્થ ધન X-અક્ષ પર \(\vec{υ}\)_1i જેટલા (υ_1i > υ_2i) પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરતો કરતો m₂ દળના ગતિમાન પદાર્થ સાથે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે.
• અહીં, અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી બંને પદાર્થો અથડામણ પછી એકબીજા સાથે ચોંટી જશે અને બંને એકસાથે υ_f જેટલા અંતિમ વેગથી ધન X-દિશામાં ગતિ કરવા લાગશે.
• રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
  m₁\(\vec{υ}\)_1i + m₂\(\vec{υ}\)_2i = (m₁ + m₂)\(\vec{υ}\)_f
  પરંતુ \(\vec{υ}\)_1i, \(\vec{υ}\)_2i, અને \(\vec{υ}\)_f ત્રણેય સદિશો એક જ દિશામાં હોવાથી,
  m₁υ_1i + m₂υ_2i = (m₁ + m₂)υ_f લખી શકાય.
  ∴ υ_f = \(\frac{m_1 v_{11}+m_2 v_{21}}{m_1+m_2}\) …………. (6.68)
  આમ, બંને પદાર્થો એકસાથે ચોંટેલી અવસ્થામાં υ_f જેટલા અંતિમ વેગથી ધન X-દિશામાં ગતિ કરશે.
• હવે, સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણના કિસ્સામાં ગતિ-ઊર્જાનો મોટા પ્રમાણમાં વ્યય થાય છે, તેથી કુલ KE_{સંઘાત પહેલાં} > કુલ KE_{સંઘાત પછી}
  ∴ અથડામણ દરમિયાન ગતિ-ઊર્જાનો વ્યય નીચે મુજબ શોધી શકાય :
  ΔK = (કુલ KE_{સંઘાત પહેલાં}) – (કુલ KE_{સંઘાત પછી}) ………….. (6.69)
• સમીકરણ (6.68)ની કિંમત સમીકરણ (6.69)માં મૂકતાં,

આ ધન સંખ્યા છે.
આમ, અહીં ઉપરોક્ત ગતિ-ઊર્જા મુખ્યત્વે ઉષ્મા અને ધ્વનિ સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.

(B) સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ :
પ્રશ્ન 44.
ધન X-અક્ષ પર m₂ દળ ધરાવતો એક પદાર્થ પ્રારંભમાં સ્થિર છે (\(\vec{υ}\)_2i = 0) અને તેની પાછળથી ધન X-દિશામાં \(\vec{υ}\)_1i જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરીને આવતો m₁ દળનો પદાર્થ, તેની સાથે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે, તો અથડામણ બાદ બંને પદાર્થોના અંતિમ વેગનાં સૂત્રો મેળવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 6.18માં દર્શાવ્યા મુજબ પ્રારંભમાં m₂ દળનો પદાર્થ ધન X-અક્ષ પર સ્થિર છે. તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ \(\vec{υ}\)_2i = 0.
• હવે, m₁ દળનો પદાર્થ ધન X-અક્ષ પર \(\vec{υ}\)_1i જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરતો m₂ દળના સ્થિર પદાર્થ સાથે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે.
• અહીં, અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થશે તથા m₁ અને m₂ દળના પદાર્થો અથડામણ બાદ
  ધન X-દિશામાં અનુક્રમે \(\vec{υ}\)_1f અને \(\vec{υ}\)_2f જેટલા અંતિમ વેગથી ગતિ કરશે.
• રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
  m₁\(\vec{υ}\)_1i + 0 = m₁\(\vec{υ}\)_1f + m₂\(\vec{υ}\)_2f
  પરંતુ, \(\vec{υ}\)_1i, \(\vec{υ}\)_1f અને \(\vec{υ}\)_2f ત્રણેય સદિશો એક જ દિશામાં હોવાથી,
  m₁υ_1i = m₁υ_1ff + m₂υ_2f લખી શકાય. …………. (6.71)
  ∴ m₁(υ_1i – υ_1f) = m₂υ_2f ………… (6.72)
• હવે, કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ લેતાં,
  (કુલ KE_{સંઘાત પહેલાં}) = (કુલ KE_{સંઘાત પછી})
  ∴ \(\frac{1}{2}\)m₁(υ_1i² + 0 = \(\frac{1}{2}\)m₁(υ_1f² + \(\frac{1}{2}\)m₂(υ_2f²
  ∴ m₁υ_1i² = m₁υ_1f² + m₂υ_2f² …………….. (6.73)
  ∴ m₁υ_1i² – m₁υ_1f² = m₂υ_2f²
  ∴ m₁(υ_1i – _1f) (υ_1i + _1f) = m₂υ_2f² ……………… (6.74)
• સમીકરણ (6.74)ને સમીકરણ (6.72) વડે ભાગતાં,
  υ_2f = υ_1i + υ_1f ……………….. (6.75)
• સમીકરણ (6.75)ની કિંમત સમીકરણ (6.71)માં મૂકતાં,
  m₁υ_1i = m₁υ_1f + m₂(υ_1i + υ_1f)
  ∴ m₁υ_1i = m₁υ_1f + m₂υ_1i = m₂υ_1f
  ∴ m₁υ_1i – m₂υ_1i = υ_1f(m₁ + m₂)
  ∴ υ_1f = \(\frac{\left(m_1-m_2\right)}{\left(m_1+m_2\right)}\)υ_1i ………… (6.76)
• સમીકરણ (6.76)ની કિંમત સમીકરણ (6.75)માં મૂકતાં,

• સમીકરણ (6.76) અને (6.77)માં m₁, m₂ અને υ_1i નાં જ્ઞાત (જાણીતાં) મૂલ્યો મૂકીને અજ્ઞાત υ_1f અને υ_2f રાશિઓ મૂલ્યો શોધી શકાય છે.
• સમીકરણ (6.77) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, υ_2f હંમેશાં ધન હશે. (સ્થિર ટાર્ગેટ દળ m₂ હંમેશાં આગળની દિશામાં ગતિ કરશે)
• સમીકરણ (6.76) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, υ_1fના ચિહ્ન ધન અને ઋણ કોઈ પણ હોઈ શકે છે.
  જો m₁ > m₂ હોય, તો પ્રક્ષેપી દળ m₁ આગળની દિશા તરફ ગતિ કરે છે અને જો m₁ < m₂ હોય, તો m₁ પોતાની ગતિની મૂળ દિશાથી પાછો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરવા લાગે છે અર્થાત્ રિબાઉન્ડ થાય છે.

કિસ્સો I : જો બંને પદાર્થોના દળ સમાન (m₁ = m₂) હોય, તો υ_1f = 0 અને υ_2f = υ_1i
એટલે કે સમાન દળવાળા પદાર્થોના સન્મુખ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં m₁ દળવાળો પદાર્થ જે પ્રારંભમાં ગતિમાન છે, તે સ્થિર થાય છે અને બીજો m₂ દળવાળો પદાર્થ જે સ્થિર હતો તે m₁ની પ્રારંભિક ઝડપ જેટલી ઝડપ મેળવીને ધન X-દિશામાં ગતિ કરવા લાગે છે.

કિસ્સો II : જો m₂ >> m₁ હોય,
અર્થાત્ ટાર્ગેટ દળ m₂ એ પ્રક્ષેપી દળ m₁ કરતાં ખૂબ વધારે
હોય, તો υ_1f = – υ_1i અને υ_2f ≈ (\(\frac{2 m_1}{m_2}\))υ_1i ≈ 0 (∵ અહીં, \(\frac{2 m_1}{m_2}\) → 0)
એટલે કે પ્રક્ષેપી દળ m₁ ના વેગની માત્ર દિશા ઊલટાય છે, મૂલ્ય બદલાતું નથી અને ભારેખમ એવું ટાર્ગેટ દળ m₂ લગભગ સ્થિર સ્થિતિમાં રહે છે.

કિસ્સો III : જો m₁ >> m₂ હોય, તો
અર્થાત્ પ્રક્ષેપી દળ m₁ એ ટાર્ગેટ દળ m₂ કરતાં ખૂબ વધારે હોય, તો υ_1f ≈ υ_1i અને υ_2f ≈ 2υ_1i.
એટલે કે પ્રક્ષેપી દળ m₁ પોતાના મૂળ વેગથી, ગતિની મૂળ દિશામાં ગતિ ચાલુ રાખશે અને ટાર્ગેટ દળ m₂, m₁‚ના પ્રારંભિક વેગના મૂલ્ય કરતાં બમણાં વેગથી આગળની દિશા તરફ ગતિ કરવા લાગે છે.

પ્રશ્ન 45.
ધન X-અક્ષ પર m₂ દળનો એક પદાર્થ શરૂઆતથી \(\vec{υ}\)_2i જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે અને તેની પાછળથી ધન X-દિશામાં \(\vec{υ}\)_1i જેટલા પ્રારંભિક વેગથી (\(\vec{υ}\)_1i > \(\vec{υ}\)_2i) ગતિ કરીને આવતો m₁ દળનો પદાર્થ, તેની સાથે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે, તો અથડામણ બાદ બંને પદાર્થોના અંતિમ વેગનાં સૂત્રો મેળવો.
ઉત્તર:

• આકૃતિ 6.19માં દર્શાવ્યા મુજબ શરૂઆતથી m₂ દળનો પદાર્થ ધન X-અક્ષ પર \(\vec{υ}\)_2i જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરે છે.
• હવે, m₁ દળનો પદાર્થ ધન X-અક્ષ પર \(\vec{υ}\)_1i જેટલા (\(\vec{υ}\)_1i > \(\vec{υ}\)_2i) પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરતો કરતો m₂ દળના ગતિમાન પદાર્થ સાથે સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે.
• અહીં, અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થશે તથા m₁ અને m₂ દળના પદાર્થો અથડામણ બાદ ધન X-
  દિશામાં અનુક્રમે \(\vec{υ}\)_1f અને \(\vec{υ}\)_2f જેટલા અંતિમ વેગથી ગતિ કરશે.
• રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
  m₁\(\vec{υ}\)_1i + m₂\(\vec{υ}\)_2i =
  m₁\(\vec{υ}\)_1f + m₂\(\vec{υ}\)_2f
  પરંતુ છ, \(\vec{υ}\)_1i, \(\vec{υ}\)_2i \(\vec{υ}\)_1f અને \(\vec{υ}\)_2f ચારેય સદિશો એક જ દિશામાં હોવાથી,
  ∴ m₁\(\vec{υ}\)_1i + m₂\(\vec{υ}\)_2i = m₁\(\vec{υ}\)_1f + m₂\(\vec{υ}\)_2f લખી શકાય. …………….. (6.78)
  ∴ m₁(\(\vec{υ}\)_1i – \(\vec{υ}\)_1f) = m₂(\(\vec{υ}\)_2f – \(\vec{υ}\)_2i) …………. (6.79)
• હવે, કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ લેતાં,
  (કુલ KE_{સંઘાત પહેલા}) = (કુલ KE_{સંઘાત પછી})

• સમીકરણ (6.81)ને સમીકરણ (6.79) વડે ભાગતાં,
  υ_1i + υ_1f = υ_2f + υ_2i ………… (6.82)
  ∴ υ_1i – υ_2i = υ_2f – υ_1f …………… (6.83)

• સમીકરણ (6.82)ને m₂ વડે ગુણીને સમીકરણ (6.78)માંથી બાદ કરતાં,
  m₁υ_1i + m₂υ_2i – m₂υ_1i – m₂υ_1f = m₁υ_1f + m₂υ_2f – m₂υ_2f – m₂υ_2i
  ∴ (m₁ – m₂)υ_1i + 2m₂υ_2i = (m₁ + m₂)υ_1f
  ∴ υ_1f = (\(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\))υ_1i + (\(\frac{2 m_2}{m_1+m_2}\))υ_2i ………… (6.84)
• સમીકરણ (6.82)ને m₁ વડે ગુણીને સમીકરણ (6.78)માં ઉમેરતાં,
  m₁υ_1i + m₂υ_2i + m₁υ_1i + m₁υ_1f = m₁υ_1f + m₂υ_2f + m₁υ_2f + m₁υ_2i
  ∴ 2m₁υ_1i + (m₂ – m₁)υ_2i = (m₁ – m₂)υ_2f
  ∴ υ_2f = (\(\frac{2 m_1}{m_1+m_2}\))υ_1i + (\(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\))υ_2i …………… (6.85)
  અગત્યની નોંધ : સમીકરણ (6.84)માં m₁ના સ્થાને m₂ અને m₂ ના સ્થાને m₁ તથા υ_1iના સ્થાને υ_2i અને υ_2i ને સ્થાને υ_1i મૂકવામાં આવે, તો υ_2fનું સમીકરણ સીધે-સીધું મળી જશે.
  (i) m₁ >> m₂ હોય ત્યારે : આ કિસ્સામાં એક જ દિશામાં ગતિ કરતા બે પદાર્થોમાં ભારે પદાર્થ (m₁), હલકા પદાર્થ (m₂) સાથે અથડાય છે.
• સમીકરણ (6.84) અને (6.85)માં m₁ ની સરખામણીમાં m₂ ને અવગણતાં,
  \(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\) ≈ 1, \(\frac{2 m_2}{m_1+m_2}\) ≈ 0 તથા \(\frac{2 m_1}{m_1+m_2}\) ≈ 2
• આ મૂલ્યો સમીકરણ (6.84) અને (6.85)માં મૂકતાં,
  υ_1f = (1)υ_1i + (O)υ_2i
  ∴ υ_1f = υ_1i ……… (6.86)
  અને υ_2f = (2)υ_1i+ (-1)υ_2i
  = 2υ_1i – υ_2i …………….. (6.87)
• સમીકરણ (6.86) અને (6.87) દર્શાવે છે કે સંઘાત બાદ ભારે પદાર્થ લગભગ તેટલા જ વેગથી ગતિમાં ચાલુ રહે છે. જ્યારે હલકા પદાર્થના વેગમાં ફેરફાર થાય છે.
• જો હલકો પદાર્થ (m₂) શરૂઆતમાં સ્થિર હોય, તો υ_2i = 0 આથી υ_1f = υ_1i
  અને υ_2f = 2υ_1i થાય.

અર્થાત્ સંઘાત બાદ હલકો પદાર્થ, ભારે પદાર્થના પ્રારંભિક વેગના બમણા મૂલ્યથી દૂર ભાગે છે. (જુઓ આકૃતિ 6.20)

(ii) m₂ >> m₁ હોય ત્યારે : આ કિસ્સામાં એક જ દિશામાં ગતિ કરતા બે પદાર્થોમાં હલકો પદાર્થ (m₁) ભારે પદાર્થ (m₂) સાથે અથડાય છે.

• સમીકરણ (6.84) અને (6.85)માં m₂ની સરખામણીમાં m₁ને અવગણતાં,
  \(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\) ≈ -1, \(\frac{2 m_2}{m_1+m_2}\) ≈ 2 તથા \(\frac{2 m_1}{m_1+m_2}\) ≈ 0
• આ મૂલ્યો સમીકરણ (6.84) અને (6.85)માં મૂકતાં,
  υ_1f = (- 1)υ_1i + (2)υ_2i = -υ_1i + 2υ_2i ………….. (6.88)
  υ_2f = (0)υ_1i + (+1)υ_2i = υ_2i ………….. (6.89)
• આ સંજોગોમાં ભારે પદાર્થ સંઘાત પછી લગભગ તેટલા જ વેગથી પોતાની ગતિ ચાલુ રાખે છે. જ્યારે હલકા પદાર્થના વેગમાં ફેરફાર થાય છે.
• જો સંઘાત પહેલાં ભારે પદાર્થ (m₂) સ્થિર હોય, તો υ_2i = 0 થાય. આથી υ_1f = – υ_1i અને υ_2f = 0 થશે.

આમ, ગતિ કરતો હલકો પદાર્થ ભારે પદાર્થ સાથે અથડાય ત્યારે ભારે પદાર્થ મચક આપતો નથી. પરિણામે હલકો પદાર્થ તેટલા જ વેગથી પાછો ફેંકાય છે. (જુઓ આકૃતિ 6.21)
[દા. ત., દડો (હલકો પદાર્થ) જમીન (ભારે પદાર્થ) સાથે અથડાય છે. ત્યારે અથડામણ બાદ દડો તેટલા જ વેગથી ઊછળીને પાછો આવે છે.]

(iii) m₁ = m₂ હોય ત્યારે : υ_1f અને υ_2f નાં સમીકરણો અનુક્રમે (6.84) અને (6.85)માં m₁ = m₂ મૂકતાં,
υ_1f = (0)υ_1i + (1)υ_2i = υ_2i
υ_1f = υ_2i …………. (6.90)
υ_2f = (1)υ_1i + (0)υ_2i = υ_1i
∴ υ_2f = υ_1i …………… (6.91)

• આ દર્શાવે છે કે સમાન દળ ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચે સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત થતા તેમના વેગનો પરસ્પર વિનિમય થાય છે.
• જો સંઘાત પહેલાં બીજો પદાર્થ (m₂) સ્થિર હોય, તો υ_2i = 0 થાય. આથી υ_1f = 0 થશે અને υ_2f = υ_1i થશે.

આમ, સંઘાત બાદ પહેલો પદાર્થ ગતિ કરતો અટકી જાય છે અને બીજો પદાર્થ પહેલા પદાર્થના વેગથી ગતિ કરવા લાગે છે. (જુઓ આકૃતિ 6.22)

• આ કિસ્સામાં પહેલા પદાર્થની 100% ગતિ-ઊર્જા બીજા પદાર્થને મળે છે.

(iv) υ_2i = 0 હોય ત્યારે : સમીકરણ (6.84) અને (6.85) પરથી,
υ_1f = \(\frac{\left(m_1-m_2\right)}{\left(m_1+m_2\right)}\)υ_1i + 0 …………… (6.92)
અને
υ_2f = \(\frac{2 m_1}{\left(m_1+m_2\right)}\)υ_1i + 0 થાય. ……………… (6.93)

• હવે, જો m₁ = m₂ લેવામાં આવે, તો
  υ_1f = 0 અને υ_2f = \(\frac{2 m_1}{2 m_1}\)υ_1i = υ_1i થાય.
  આમ, પ્રથમ પદાર્થ સ્થિર થશે અને બીજો પદાર્થ પહેલા પદાર્થના પ્રારંભિક વેગ જેટલા અંતિમ વેગથી ગતિ કરશે.
• હવે, જો m₁ >> m₂ લેવામાં આવે, તો
  \(\frac{\left(m_1-m_2\right)}{\left(m_1+m_2\right)}\) ≈ 1 અને \(\frac{2 m_1}{\left(m_1+m_2\right)}\)] ≈ 2 થાય.
  તેથી υ_1f = υ_1i અને υ_2f = 2υ_1i થશે.
  આમ, પ્રથમ પદાર્થ પોતાના પ્રારંભિક વેગ જેટલા વેગથી અને બીજો પદાર્થ, પ્રથમ પદાર્થના પ્રારંભિક વેગ કરતાં બમણા વેગથી ગતિ કરશે.
• હવે જો m₂ >> m₁ લેવામાં આવે, તો
  \(\frac{\left(m_1-m_2\right)}{\left(m_1+m_2\right)}\) ≈ – 1 અને \(\frac{2 m_1}{\left(m_1+m_2\right)}\) ≈ 0 થાય.
  તેથી υ_1f = -υ_1i અને υ_2f = 0 થશે.
  આમ, પ્રથમ પદાર્થ પોતાના પ્રારંભિક વેગ જેટલા વેગથી વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરશે, એટલે કે તે પાછો પડશે (Rebound થશે) અને બીજો પદાર્થ બિલકુલ ગતિ કરશે નહીં.

પ્રશ્ન 46.
દ્વિ-પરિમાણમાં સ્થિતિસ્થાપક અથડામણની ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 6.23માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે, ધારો કે \(\vec{υ}\)_1i જેટલા વેગથી ધન X-દિશામાં ગતિ કરતો m₁ દળનો પદાર્થ, સ્થિર પડેલા (\(\vec{υ}\)_2i = 0) m₂ દળના બીજા પદાર્થ સાથે સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત અનુભવે છે.

• સંઘાત બાદ બંને પદાર્થો X-અક્ષ સાથે અનુક્રમે θ₁ અને θ₂ કોણ બનાવતી દિશામાં \(\vec{υ}\)_1f અને \(\vec{υ}\)_2f વેગથી ગતિ કરે છે.

• રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,
  m₁\(\vec{υ}\)_1i + 0 = m₁\(\vec{υ}\)_1f +
  m₂\(\vec{υ}\)_2f ………….. (6.94)
  અહીં, m₁ અને m₂ દળના અંતિમ વેગો \(\vec{υ}\)_1f અને \(\vec{υ}\)_2f વડે રચાતું સમતલ, X-Y સમતલ છે. તેથી રેખીય વેગમાનનું X-દિશામાં તેમજ Y-દિશામાં સંરક્ષણ થવું જોઈએ.
• વેગમાનના X-દિશામાંના ઘટકો લેતાં,
  m₁υ_1i = m₁υ_1f cos θ₁ + m₂υ_2f Cos θ₂ ………….. (6.95)
• વેગમાનના Y-દિશામાંના ઘટકો લેતાં, (\(\vec{υ}\)_1iનો Y-દિશામાં ઘટક શૂન્ય હોવાથી)
  0 = m₁υ_1fsin θ₁ – m₂υ_2fsin θ₂ ……………….. (6.96)
• સંઘાત સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,
  \(\frac { 1 }{ 2 }\)m₁υ_1i ² = \(\frac { 1 }{ 2 }\)m₁υ_1f ² + \(\frac { 1 }{ 2 }\)m₂υ_2f² ………….. (6.97)
• સામાન્ય રીતે m₁, m₂ ma અને υ_1i જ્ઞાત હોય છે. સંઘાત બાદની ગતિમાં અજ્ઞાત રાશિઓ ચાર (\(\vec{υ}\)_1f, \(\vec{υ}\)_2f, θ₁ અને θ₂ ) છે.
  પણ સમીકરણો (6.95), (6.96) અને (6.97) ત્રણ છે. ત્રણ સમીકરણોની મદદથી ત્રણ અજ્ઞાત રાશિ શોધી શકાય છે. આથી આ ચાર અજ્ઞાત રાશિઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એકનું મૂલ્ય જાણવું જરૂરી છે.
  હવે, ડિટેક્ટરને કોણીય રીતે X થી Y અક્ષની દિશામાં ફેરવીને θ₁ શોધી શકાય છે.
  આમ, હવે આપેલ (m₁, m₂, υ_1i, θ₁) માટે સમીકરણો (6.95), (6.96) અને (6.97)નો ઉપયોગ કરીને આપણે υ_1f , υ_2f અને θ₂ નાં મૂલ્યો ગણતરી કરીને શોધી શકીએ છીએ.

હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
નીચેના પ્રશ્નોના ટૂંકમાં ઉત્તર આપો :

પ્રશ્ન 1.
બે સદિશો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\)નો અદિશ ગુણાકાર મહત્તમ અને ન્યૂનતમ ક્યારે થાય?
ઉકેલ:
\(\vec{A}\) · \(\vec{B\) = AB cos θ સૂત્ર પરથી જ્યારે
(1) \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = 0° હોય ત્યારે
\(\vec{A}\) · \(\vec{B\) મહત્તમ થાય.
(2) \(\vec{A}\) અને \(\vec{A}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = 90° હોય ત્યારે \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = 0 ન્યૂનતમ થાય.

પ્રશ્ન 2.
જો સંદેશ 2î + 3ĵ + 8k̂ એ સદિશ 4ĵ – 4î + αk̂ ને લંબ હોય, તો α નું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ:
\(\vec{A}\) · \(\vec{B\) = (2î + 3ĵ + 8k̂) · (- 4î – 4ĵ + αk̂)
= (2) (-4) + (3) (4) + (8) (α)
= 8 + 12 + 8α = 8α + 4
પણ, અહીં \(\vec{A}\) ⊥ \(\vec{B\) હોવાથી \(\vec{A}\) · \(\vec{B\) = 0
∴ 8α + 4 = 0 ∴ α = – \(\frac{1}{2}\)

પ્રશ્ન 3.
\(\vec{A}\) = -2î + 2ĵ – 4k̂અને \(\vec{B}\) = 2î + 4ĵ – 2k̂ હોય, તો આ બે દિશો વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
ઉકેલ:
\(\vec{A}\) · \(\vec{B\) = AB cos θ પરથી,

પ્રશ્ન 4.
જો |\(\vec{A}\) + \(\vec{B}\)| = |\(\vec{A}\) – \(\vec{B}\)| હોય, તો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો હશે?
ઉકેલ:
અહીં |\(\vec{A}\) + \(\vec{B}\)| = |\(\vec{A}\) – \(\vec{B}\)|
∴ |\(\vec{A}\) + \(\vec{B}\)|² = |\(\vec{A}\) – \(\vec{B}\)|²
∴ A² + B² + 2AB cos θ = A² + B² – 2AB cos θ
∴ 4AB cos θ = 0
∴ cos θ = 0
∴ θ = 90° (∵ A ≠ 0 અન B ≠ 0)

પ્રશ્ન 5.
ત્રણ અશૂન્ય સદિશો \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) અને \(\vec{C}\) સમીકરણ
\(\vec{A}\) + \(\vec{B}\) = \(\vec{C}\) અને તેમનાં મૂલ્યો સમીકરણ A² + B² = C²ને સંતોષે છે, તો \(\vec{A}\) એ \(\vec{B}\) ની સાપેક્ષે કઈ રીતે ગોઠવાયેલો હશે? તમારા જવાબનું કારણ આપો.
ઉકેલ:
\(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) એકબીજાને પરસ્પર લંબ હશે.
કારણ : અહીં, \(\vec{A}\) + \(\vec{B}\) = \(\vec{C}\)
∴ |\(\vec{A}\) + \(\vec{B}\)|² = |\(\vec{C}\)|²
∴ A² + B² + 2AB cos θ = C²
જ્યાં, θ = \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો
પણ, અહીં C² = A² + B² આપેલ છે.
∴ 2AB cos θ = 0
∴ cos θ = 0
∴ θ = 90°

પ્રશ્ન 6.
ત્રણ અશૂન્ય સદિશો \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) અને \(\vec{C}\) સમીકરણ \(\vec{A}\) + \(\vec{B}\) = \(\vec{C}\) અને તેમનાં મૂલ્યો સમીકરણ A + B = Cને સંતોષે છે, તો \(\vec{A}\) એ \(\vec{B}\)ની સાપેક્ષે કઈ રીતે ગોઠવાયેલો હશે? તમારા જવાબનું કારણ આપો.
ઉકેલ:
\(\vec{A}\) એ\(\vec{B}\)ની દિશામાં ગોઠવાયેલો હશે.
કારણ : અહીં, \(\vec{C}\) = \(\vec{A}\) + \(\vec{B}\)
∴ C² = A² + B² + 2AB cos θ
જ્યાં, θ = \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો
પણ, અહીં C = A + Bહોવાથી
C² = A² + B² + 2AB
∴ A² + B² + 2AB = A² + B² + 2AB cos θ
∴ 2AB = 2AB cos θ
∴ cos θ = 1
∴ θ = 0°

પ્રશ્ન 7.
બે અશૂન્ય સદિશો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) માટે \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = – AB હોય, તો \(\vec{A}\) એ \(\vec{B}\)ની સાપેક્ષે કઈ રીતે ગોઠવાયેલો હશે? તમારા જવાબનું કારણ આપો.
ઉકેલ:
\(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
કારણ : અહીં, \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = – AB
પણ, \(\vec{A}\) · \(\vec{B}\) = AB cos θ
જ્યાં, θ = \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો
∴ AB cos θ = – AB
∴ cos θ = – 1 ∴ θ = 180°

પ્રશ્ન 8.
જો \(\vec{A}\) + \(\vec{B}\) = \(\vec{C}\) અને \(\vec{C}\) ⊥ \(\vec{A}\) તથા A = C હોય, તો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો કોણ શોધો.
ઉકેલ:
અહીં, \(\vec{A}\) + \(\vec{B}\) = \(\vec{C}\)
: \(\vec{B}\) = \(\vec{C}\) – \(\vec{A}\)પણ \(\vec{C}\) ⊥ \(\vec{A}\) છે.
∴ B² = C² + A² પણ C = A છે.
∴ B² = 2A²
∴ B = √2 A (∵ સદિશનું મૂલ્ય હંમેશાં ધન હોય છે. સિંદેશનું મૂલ્ય એટલે તેની લંબાઈ. લંબાઈ ઋણ હોઈ શકે નહીં.)
હવે, ફરીથી \(\vec{C}\) = \(\vec{A}\) + \(\vec{B}\) હોવાથી
C² = A² + B² + 2AB cos θ
જ્યાં, θ = \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો
∴ A² = A² + (√2 A)² + 2A (√2 A) cos θ
∴ 2 √2 A² cos θ = – 2A²
∴ cos θ = – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ θ = \(\frac{3 \pi}{4}\) rad અથવા 135°

\(\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{O R}\)
\(\vec{A}+\vec{B}=\vec{C}\)
\(\vec{C}\) ⊥ \(\vec{A}\) અને C = A

પ્રશ્ન 9.
બે સમાન મૂલ્યના સદિશોના પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય તે બેમાંથી કોઈ એક સદિશના મૂલ્ય જેટલું છે, તો આ બે દેિશોની દિશાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
ઉકેલઃ
ધારો કે, બે સદિશો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) આપેલ છે, તેમના માત્ર મૂલ્ય સમાન છે. તેથી A = x અને B = x લઈ શકાય.

• બંને સદિશો \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\)ના પરિણામી સદિશ (\(\vec{A}\) + \(\vec{B}\))નું મૂલ્ય પણ આપેલ કોઈ એક સદિશના મૂલ્ય જેટલું જ છે. તેથી |\(\vec{A}\) + \(\vec{B}\)| = x થાય.
• હવે, |\(\vec{A}\) + \(\vec{B}\)| = \(\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos \theta}\)
  જ્યાં, θ = \(\vec{A}\) અને \(\vec{B}\) વચ્ચેનો ખૂણો
  ∴ x = \(\sqrt{x^2+x^2+2 x^2 \cos \theta}\)
  ∴ x² = 2x² (1 + cos θ)
  ∴ 1 + cos θ= \(\frac{1}{2}\)
  ∴ cos θ = – \(\frac{1}{2}\)
  ∴ θ cos^-1(- \(\frac{1}{2}\))
  = π – cos^-1(\(\frac{1}{2}\))
  = π – \(\frac{\pi}{3}\)
  = \(\frac{2 \pi}{3}\) rad
  = 120°

પ્રશ્ન 10.
î + Ĵ + k̂ અને î + Ĵ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો θ = sin^-1(\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)) છે, તેમ સાબિત કરો.
ઉકેલઃ

પ્રશ્ન 11.
સદિશ \(\vec{A}\) = 2î + 3ĵનો સદિશ î + ĵની દિશામાંનો ઘટક કેટલો હશે?
ઉકેલઃ
અહીં, \(\vec{A}\) = 2î + 3ĵ ∴ A_x = 2 અને A_y = 3
\(\vec{B}\) = î + ĵ ∴ B_x = 1 અને B_y = 1
= \(\vec{A}\) · \(\vec{A}\) cos θ = BA cos θ
∴ \(\vec{A}\)નો \(\vec{A}\)ની દિશામાંનો ઘટક,
A cos θ = \(\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{B}=\frac{A_{\mathrm{x}} B_{\mathrm{x}}+A_{\mathrm{y}} B_{\mathrm{y}}}{\sqrt{B_{\mathrm{x}}{ }^2+B_{\mathrm{y}}{ }^2}}\)
∴ A cos θ = \(\frac{(2 \times 1)+(3 \times 1)}{\sqrt{1+1}}\)
= \(\frac{5}{\sqrt{2}}\)

પ્રશ્ન 12.
જો a = 3, b = 1, c = 4 અને \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) = 0 હોય, તો \(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\) નું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ:
(\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\))² = (\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)) · (\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\))
∴ 0 = a² + b² + c² + 2 (\(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\)) (∵ \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) = 0 આપેલ છે.)
∴ 0 = (3)² + (1)² + (4)² + 2\(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\)
∴ \(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\) = – \(\frac{26}{2}\) = – 13

પ્રશ્ન 13.
પદાર્થ પર બળ લાગતું હોય ત્યારે કાર્ય થવા માટે શું જરૂરી છે?
ઉત્તર :
પદાર્થનું સ્થાનાંતર થવું જરૂરી છે તથા સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) અને બળ \(\vec{F}\) વચ્ચેનો ખૂણો 90° હોવો જોઈએ નહીં.

પ્રશ્ન 14.
નીચે આપેલ આકૃતિઓ પૈકી કઈ આકૃતિ માટે ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર ધન X-દિશામાં બ્લૉકના સમાન સ્થાનાંતર માટે કાર્ય મહત્તમ થાય?

ઉત્તર:
આકૃતિ (a)માં દર્શાવેલ બ્લૉક પર લાગતાં બળ \(\vec{F}\)ને કારણે કાર્ય મહત્તમ મળે.
કારણ કે કાર્ય W = Fd cos θ હોવાથી \(\vec{F}\) અને \(\vec{d}\) એક જ દિશામાં હોય ત્યારે અર્થાત્ θ = 0° હોય ત્યારે cos θ = 1 થતા W = Fd મહત્તમ મળે.

પ્રશ્ન 15.
\(\vec{F}\) = (4î + 5ĵ + 3k̂)N અચળ બળની અસર હેઠળ એક કણ \(\overrightarrow{r_1}\) = (3î + 2ĵ – 6k̂)m સ્થાનેથી \(\overrightarrow{r_2}\) = (14î + 13ĵ + 9k̂) m સ્થાને ગતિ કરે છે, તો થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
કણનું સ્થાનાંતર \(\overrightarrow{r_2}\) – \(\overrightarrow{r_1}\)
= (14î + 13ĵ + 9k̂) – (3î + 2ĵ – 6k̂)
= 11î + 11ĵ + 15k̂
કાર્ય \(W=\int d W=\int_{\overrightarrow{r_1}}^{\overrightarrow{r_2}} \vec{F} \cdot \overrightarrow{d r}\)
પણ, અહીં બળ \(\vec{F}\) અચળ છે.
∴ W = \(\vec{F} \cdot \int_{\overrightarrow{r_1}}^{\overrightarrow{r_2}} \overrightarrow{d r}\)
= \(\vec{F} \cdot(\vec{r})_{\overrightarrow{r_1}}^{\overrightarrow{r_2}}\)
= \(\vec{F} \cdot\left(\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}\right)\)
= (4î + ĵ + 3k̂) · (11î + 11ĵ + 15k̂)
= (4) (11) + (1) (11) + (3) (15)
= 44 +11 + 45
= 100 J
નોંધ : જ્યારે કણ પર લાગતું બળ \(\vec{F}\) અચળ હોય ત્યારે થતું કાર્ય શોધવા માટે W = \(\vec{F}\) . \(\vec{d}\) સૂત્ર વાપરવું. જ્યાં \(\vec{d}\) = \(\overrightarrow{r_2}\) – \(\overrightarrow{r_1}\) = કણનું સ્થાનાંતર.

પ્રશ્ન 16.
5N અને 3N મૂલ્ય ધરાવતાં બે બળો \(\overrightarrow{F_1}\) અને \(\overrightarrow{F_2}\) એક કણ પર એકસાથે અનુક્રમે 6î + 2ĵ + 3k̂ અને 3î – 2ĵ + 6k̂ દિશાઓમાં લાગે છે. પરિણામે તે કણ બિંદુ A (2, 2, – 1) mથી બિંદુ B (4, 3, 1) m સુધી સ્થાનાંતરિત થાય છે, તો લાગતાં બળો દ્વારા થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
ધારો કે, \(\vec{F}\) એ પરિણામી બળ છે અને \(\vec{d}\) એ કણનું સ્થાનાંતર છે.

= \(\frac{1}{7}\)(39î + 4ĵ + 33k̂)N
અને \(\vec{d}\) = (4î + 3ĵ + k̂) – (2î + 2ĵ – k̂)
= (2î + ĵ + 2k̂) m
∴ થતું કાર્ય W = \(\vec{F}\) · \(\vec{d}\)
\(\frac{1}{7}\)(39î + 4ĵ + 33k̂) · (2î + ĵ + 2k̂)
= \(\frac{148}{7}\) J

પ્રશ્ન 17.
એક કણ પર \(\vec{F}\) = (3x²î + 2yĵ) N બળ લાગે છે, પરિણામે તે કણ \(\overrightarrow{r_1}\) = (2î + 3ĵ) m સ્થાનેથી \(\overrightarrow{r_2}\) = (4î + 6ĵ) 1 સ્થાન પર જાય છે, તો આ બળ દ્વારા થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
અહીં કણ પર લાગતું બળ \(\vec{F}\) = (3x²î + 2yĵ) N એ ચલિત બળ છે, અચળ નથી.

= (4³ – 2³) + (6² – 3²)
= (64 – 8) + (36 – 9)
= 56 + 27 = 83 J

પ્રશ્ન 18.
એક કણ પર \(\vec{F}\) = (2î + 3ĵ)N જેટલું બળ લાગે છે તેથી તે A (1, 2) m બિંદુ પરથી બિંદુ B (3, 4) m પર જાય છે, તો આ બળ વડે થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:

અહીં, કણનું સ્થાનાંતર,
Δ\(\vec{r}=\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_1}\) = (3, 4) – (1, 2)
= ( 3 – 1, 4 – 2)
= (2, 2)
= (2î + 2ĵ)m
કાર્ય W = \(\vec{F}\) · Δ\(\vec{r}\) (∵ અહીં, આપેલ બળ \(\vec{F}\)= (2î + 3ĵ)N અચળ છે..)
= (2î + 3ĵ) · (2î + 2ĵ)
= (2 × 2) + (3 × 2) = 10 J

પ્રશ્ન 19.
એક કણ પર \(\vec{F}\) = (xî + 2yĵ) N જેટલું બળ લાગે છે. તેથી તે A (1, 2) m બિંદુ પરથી બિંદુ B (0, 1) m પર જાય છે, તો આ બળ વડે થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:

અહીં કણ પર લાગતું બળ v = (xî + 2yĵ) N ચલિત બળ છે, અચળ નથી.
તેથી dW = \(\vec{F} \cdot d \vec{r}\)
= (xî + 2yĵ))·(dxî + dyĵ)
= xdx + 2ydy
∴ કાર્ય W = \(\int d W\)
= \(\int_{(1,2)}^{(0,1)} x d x+2 y d y\)

પ્રશ્ન 20.
એક કણ પર \(\vec{F}\) = (x)î + (xy)ĵ બળ લાગે છે. તેથી તે કણ ઉગમબિંદુ O (0, 0) પરથી બિંદુ C (2, 2) પર જાય છે,
તો આ બળ વડે કણ પર થતું કુલ કાર્ય શોધી શકાય? ‘હા’ કે ‘ના’ લખો અને તમારા જવાબનું કારણ સમજાવો.
ઉકેલ:
ના.
કારણ ; કુલ કાર્ય W = \(\int d W\)
અહીં, dW = \(\vec{F} \cdot d \vec{r}\)
= ((x)î + (xy)ĵ) . (dxî + dyĵ + dzk̂)
= xdx + (xy) dy

ઉપરોક્ત કાર્ય Wના સમીકરણનું જમણી બાજુનું બીજું પદ શોધી શકાય નહીં. જો x =f (u) આપેલ હોય, અર્થાત્ નું સૂત્ર પુના પદમાં આપેલ હોય (જાણીતું હોય) તો જ બીજા પદનો ઉકેલ મળે; તેના માટે કણના ગતિમાર્ગનું સમીકરણ જ્ઞાત હોવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 21.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમય આધારિત બળ F = 10t, એક સ્થિર બ્લૉક પર લાગુ પાડવામાં આવે છે, તો આ બળ દ્વારા 2 સેકન્ડના સમયગાળા દરમિયાન થતું કાર્ય શોધો.

ઉકેલ:
અહીં બ્લૉક પર લાગતું બળ F = 10t એ ચલિત છે, અચળ નથી.
તેથી dW = \(\vec{F} \cdot d \vec{r}\)
= (10t) dx (∵ આકૃતિ પરથી \(\vec{F} \| \overrightarrow{d r}\) છે.)
પણ,\(\frac{d x}{d t}\) = υ
∴ dW = (10t) υdt …………… (1)
તદ્ઉપરાંત, F = ma પરથી,
10t = (10)\(\frac{d υ}{d t}\)
∴ dυ = t dt
∴ \(\int_0^v d v=\int_0^t t d t\)
∴ υ = \(\frac{t^2}{2}\) ………….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
dW = (10t) \(\frac{t^2}{2}\) dt
= (5t³) dt
∴ કાર્ય W = \(\int d W=\int_0^2 5 t^3 d t\)
= 5 \(\left(\frac{t^4}{4}\right)_0^2\)
= \(\frac{5}{4}\) (2⁴ – 0)
= \(\frac{5}{4}\) × 16
= 20 J
સમીકરણ (2) મેળવ્યા બાદ, સંકલનની રીત વગર નીચે મુજબ કાર્ય W શોધી શકાય છે :
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય પરથી, W = ΔK છે. અહીં બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર,
ΔK = K_f – K_i = \(\frac{1}{2}\) mυ_f² – \(\frac{1}{2}\) mυ_i²
\(\frac{1}{2}\) m(υ_f² – υ_i²)
પણ, અહીં υ_i = 0 છે અને υ_f = \(\frac{2^2}{2}\) = 2 m s^-1 છે.
∴ ΔK = \(\frac{1}{2}\) × 10 × (2² – 0)
= 20 J
આમ, W = 20 J થાય.

પ્રશ્ન 22.
એક કણ પર F = 0.5 x + 10 જેટલું બળ લાગે છે. અહીં F ન્યૂટનમાં અને ૪ મીટરમાં છે. આ કણના x = 0 mથી × = 2 m સુધીના સ્થાનાંતર દરમિયાન બળ F વડે થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
કણના સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર \(\vec{d x}\)x દરમિયાન થતું સૂક્ષ્મ કાર્ય dW હોય, તો
dW = \(\vec{F} \cdot d \vec{x}\)
∴ dW = F dx cos 0° = Fdx

= \(\frac{0.5}{2}\) (2² – 0²) + 10(2 – 0)
= (1 + 20) = 21J
બીજી રીત : બળ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરના આલેખ પરથી પણ કાર્ય શોધી શકાય છે :
W = \(\frac{1}{2}\) (10 + 11) × 2 = 21 J

પ્રશ્ન 23.
5 kg દળ ધરાવતાં એક કણનું સ્થાન સમય સાથે x = 4t + 5t² સૂત્ર અનુસાર બદલાય છે. અહીં x મીટરમાં અને t સેકન્ડમાં છે, તો આ કણ પર t = 0 sથી માંડીને t = 5s જેટલા સમયગાળા દરમિયાન તેના પર X-દિશામાં લાગતા બળ વડે થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
અહીં, x = (4t + 5t²) m
∴ વેગ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = (4 + 10 t) m s^-1
∴ પ્રવેગ a = \(\frac{d υ}{d t}\) = 10 m s^-2
હવે, t = 0 s સમયે કણનું સ્થાન x₀ = 0 m અને વેગ υ₀ = 4 m s^-1
t = 5 s સમયે કણનું સ્થાન x₅ = 4 × 5 + 5 × 5²
= 20 + 125 = 145 m
અને વેગ υ₅ = 4 + 10 × 5 = 54 m s^-1

રીત 1 :
કાર્ય W = F Δ x
= ma (x₅ – x₀)
= 5 × 10 × (145 – 0) = 7250 J

રીત 2 :
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય પરથી,
W = Δ K
= \(\frac{1}{2}\) mυ₅² – \(\frac{1}{2}\) mυ₀²
= \(\frac{1}{2}\) m(υ₅² – υ₀²) = \(\frac{1}{2}\) × 5 × (54² – 4²)
= \(\frac{5}{2}\) × (2916 – 16) = 7250 J

રીત 3 :

= 50 [20 + 125] 7250 J

પ્રશ્ન 24.
2 kg દળવાળા એક કણને ચાર જુદી જુદી રીતે, 10 m s^-1 જેટલી સમાન ઝડપે A બિંદુ આગળથી ફેંકવામાં (પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં) આવે છે. જ્યારે આ કણ જમીન પર આવીને પડે તે દરમિયાન નેના પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય ચારેય કિસ્સામાં શોધો.

ઉકેલ:
આપેલ ચારેય કિસ્સામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય,
W_g = F d cos θ
= (mg) d cos 0°
= 2 × 10 × 100 × 1 = 2000 J

પ્રશ્ન 25.

આપેલ આકૃતિના સંદર્ભમાં નીચેની બાબતો (રાશિઓ) શોધો :
(i) બ્લૉક Aનું 100m સ્થાનાંતર થતા તેના પર બળ F વડે થતું કાર્ય શોધો.
(ii) બ્લૉક Bનું 100m સ્થાનાંતર થતા તેના પર બળ F વડે થતું કાર્ય શોધો.
(iii) બ્લૉક B અને A પર પરસ્પર લાગતા લંબપ્રતિક્રિયા બળના કારણે તેમના પર થતાં કાર્યોનાં મૂલ્યો શોધો.
(iv) અંતિમ સ્થિતિમાં A અને B બંને બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જા શોધો.
ઉકેલ:
(i) (W_F)_{A પર} = F d cos θ
= 120 × 100 × cos 0°
= 12000 J

(ii) (W_F)_{B પર} = 0
કારણ કે બ્લૉક B પર બળ F લાગતું નથી.

(iii) F = (m_A + m_B) a

(W_N)_{B પર} = 40 × 100 × cos 0° = 4000 J
(W_N)_{B પર} = 40 × 100 × cos 180° = – 4000 J આમ, A અને B વડે બનતાં તંત્ર પર લંબપ્રતિક્રિયા બળ વડે
થતું કાર્ય શૂન્ય છે. તેનો અર્થ આંતરિક પ્રતિક્રિયા બળ વડે દૃઢ પદાર્થ (તંત્ર) પર થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(iv) υ² – u² = 2ad પરથી,
υ² = 2 × 4 × 100 (∵ u = 0)
∴ υ = 20√2 m s^-1
∴ K_A = \(\frac{1}{2}\)m_A υ²
= \(\frac{1}{2}\) × 20 × (20√2)² = 8000 J
K_B = \(\frac{1}{2}\)m_B υ²
= \(\frac{1}{2}\) × 10 × (20√2)² = 4000 J

પ્રશ્ન 26.
આદર્શ સ્પ્રિંગની લંબાઈ x થી વધારીને 2x જેટલી કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય ગણો.
ઉકેલ:
શરૂઆતમાં સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થયેલો વધારો x છે. તેથી ×થી 2x જેટલી લંબાઈ વધારવા માટે કરવું પડતું કાર્ય,
W = \(\int_x^{2 x}(k x) d x\)
= \(\left(\frac{k x^2}{2}\right)_x^{2 x}\)
= \(\frac{3}{2}\)kx²
બીજી રીત :
પ્રારંભમાં સ્પ્રિંગમાં સંગૃહીત થયેલી સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ-ઊર્જા
V_i = \(\frac{1}{2}\)kx²
અંતિમ સ્થિતિમાં V_f = \(\frac{1}{2}\)k(2x)² = 2 kx²
∴ સ્થિતિ-ઊર્જામાં થતો ફેરફાર AV = V_f – V_i = \(\frac{3}{2}\)kx²
આમ, W_{બાહ્ય બળ} = ΔV = \(\frac{3}{2}\)kx²
નોંધ : W_{સ્પ્રિંગ બળ} = ΔV હોય છે.

પ્રશ્ન 27.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે 10 kg દળવાળા સ્થિર બ્લૉક પર F = 10 N બળ 2 સેકન્ડ સુધી લાગે છે. આ બળ F વડે બ્લૉક પર 2 s સમયગાળા દરમિયાન થતું કાર્ય શોધો. 2 sના અંતે બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જા શોધો.

ઉકેલ:
W = \(\vec{F}\) . \(\vec{d}\)
W = Fd cos 0° = Fd
પણ F = ma પરથી 10 = 10a
∴ a = 1 m s^-2
d = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at² પરથી,
d = 0 + \(\frac{1}{2}\)at² = \(\frac{1}{2}\) × 1 × 2² = 2m
∴ W = 10 × 2 = 20 J
υ = υ₀ + at પરથી υ = 0 + 1 × 2 = 2 m s^-1
∴ K = \(\frac{1}{2}\)mυ² = \(\frac{1}{2}\) × 10 × 2² = 20 J

પ્રશ્ન 28.
θ કોણવાળા ઘર્ષણ રહિત ઢાળની ટોચ પરથી એક m દળના બ્લૉકને મુક્ત કરવામાં આવે, તો બ્લૉકની ઢાળની ટોચથી તળિયા સુધીની ગતિ દરમિયાન
(i) બ્લૉક પર લંબપ્રતિક્રિયા બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય શોધો.
(ii) ઢાળના તળિયે બ્લૉકની ઝડપ અને ગતિ-ઊર્જા શોધો.

ઉકેલ:
(i) W_N = 0 કારણ કે \(\vec{N}\) ⊥ Δ\(\vec{S}\)
W_g = \(\vec{F}\). Δ\(\vec{S}\) = mg Δs cos (90 – θ)
= mg Δ S sin θ
= mgh. (∵ Δ S sin θ = h)

(ii) υ² = u² + 2as પરથી,
υ² = 0 + 2 (g sin θ) \(\frac{h}{\sin \theta}\) (∵ Δ S = S લેતાં)
υ² = 2gh
∴ υ = \(\sqrt{2 g h}\)
K = \(\frac{1}{2}\)mυ² = mgh

પ્રશ્ન 29.
θ કોણવાળા અને μ ઘર્ષણાંક ધરાવતા ઢાળની ટોચ પરથી એક m દળના બ્લૉકને મુક્ત કરવામાં આવે છે, તો બ્લૉકની ઢાળની ટોચથી તળિયા સુધીની ગતિ દરમિયાન
(i) બ્લૉક પર લંબપ્રતિક્રિયા બળ, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને ઘર્ષણબળ દ્વારા થતું કાર્ય શોધો.
(ii) ઢાળના તળિયે બ્લૉકની ઝડપ અને ગતિ-ઊર્જા શોધો.

ઉકેલઃ
(i) W_N = 0 કારણ કે \(\vec{N}\) ⊥ Δ\(\vec{s}\)
W_g = \(\vec{F}\). Δ\(\vec{S}\) = mg Δs cos (90 – θ)
= mg l sin θ (∵ Δ S = ઢાળની લંબાઈ l)
W_f = \(\vec{f}\). Δ\(\vec{S}\) = f Δ S cos (180°)
= – (μN) l = – μ (mg cos θ ) l (∵ N = mg cos θ)

(ii) υ² = u² + 2as પરથી,
υ² = 0 + 2 (g sin θ – μg cos θ) (l) ( ∵ u = 0 અને F = ma પરથી,
ma = mg sin θ – μ mg cos θ
⇒ a = g sin θ – μ g cos θ)
∴ υ = \([2(g \sin \theta-\mu g \cos \theta)(l)]^{\frac{1}{2}}\)
K = \(\frac{1}{2}\) mυ²
= \(\frac{1}{2}\) m × 2 (g sin θ – μ g cos θ ) (l)
= mgl (sin θ – μ cos θ)

પ્રશ્ન 30.
એક સાદા લોલકના ગોળાને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ કોઈ એક અંત્યબિંદુ A અથવા C આગળથી મુક્ત કરવામાં આવે છે, તો
(i) ગોળાની A થી B, B થી C અને C થી A સુધીની ગતિ વખતે દોરીમાંના તણાવ બળ વડે થતાં કાર્યોનાં મૂલ્યો શોધો.
(ii) ગોળાની A થી B સુધીની અને B થી C સુધીની ગતિ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતાં કાર્યોનાં મૂલ્યો શોધો.

ઉકેલઃ
(i) બધા કિસ્સાઓમાં W_T = 0 કારણ કે દરેક સમયે
\(\vec{F}_{\mathrm{T}} \perp d \vec{S}\)

(ii) W_g = \(\vec{F}\). Δ\(\vec{S}\)
= (mg) (Δ S) cos θ
હવે, ગોળાની Aથી B સુધીની ગતિ દરમિયાન
W_g = (mg) (l – l cos θ)
(∵ m\(\vec{g}\) અને \((\overrightarrow{l-l \cos \theta})\) બંને શિરોલંબ અધો-દિશામાં છે.)
ગોળાની Bથી C સુધીની ગતિ દરમિયાન
W_g = – (mg) (l – l cos θ)
(∵ m\(\vec{g}\) અધોદિશામાં છે અને \((\overrightarrow{l-l \cos \theta})\) ઊર્ધ્વ- દિશામાં છે.)

પ્રશ્ન 31.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ તંત્રને સ્થિર અવસ્થામાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. જ્યારે 10kg દળનો બ્લૉક જમીન પર આવે છે, ત્યારે
(i) 10kg દળ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય શોધો.
(ii) 5 kg દળ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થતું કાર્ય શોધો.
(iii) 10 kg દળ પર તણાવ (બળ) વડે થતું કાર્ય શોધો.
(iv) 5 kg દળ પર તણાવ (બળ) વડે થતું કાર્ય શોધો.

ઉકેલ:
(i) (W_g)_10kg = 10 g × 2 × cos 0°
= (10 × 10) × 2 × 1 = 200 J

(ii) (W_g)_5kg = 5 g × 2 × cos 180°
= (5 × 10) × 2 × (- 1) = – 100 J

(iii) (W_T)_10kg = T × 2 × cos 180°
પણ આકૃતિ પરથી,
T- 5g = 5a …………… (1)
અને 10g – T = 10a ………….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) ઉકેલતાં,
a = \(\frac{g}{3}\)
સમીકરણ (1) પરથી, T = 5g + 5a
= 5g + 5 × \(\frac{g}{3}\)
= \(\frac{20 g}{3}\) = \(\frac{200}{3}\)N
∴ (W_T)_10kg = \(\frac{200}{3}\) × 2 × (- 1)
= – \(\frac{400}{3}\) J

(iv) (W_T)_5kg = T × 2 × cos 0°
= \(\frac{200}{3}\) × 2 × 1
= \(\frac{400}{3}\) J
આમ, તણાવ (બળ) દ્વારા થતું ચોખ્ખુ કાર્ય (W_T)_10kg + (W_T)_5kg = 0 મળે છે. જે દર્શાવે છે કે, આંતરિક તણાવ (બળ) દ્વારા (તંત્રની અંદર પ્રવર્તતા તણાવ (બળ) દ્વારા) તંત્ર પર થતું કાર્ય હંમેશાં શૂન્ય હોય છે. (જો દોરીની લંબાઈ અચળ રહેતી હોય, તો)

પ્રશ્ન 32.

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ 10 kg દળને F = 100 N બળ લગાડીને ખેંચવામાં આવે છે. આ દળ પ્રારંભિક સ્થાનેથી 500 m અંતર 10 sમાં કાપે છે. દળની આ ગતિ ત્રણ અવલોકનકર્તા A, B અને C જુએ છે, તો ત્રણેય અવલોકનકર્તા આ દળ પર થતા કાર્યનાં મૂલ્યો કેટલાં નોંધશે?
ઉકેલ :
(W_F)_{A દ્વારા} = F × d = 100 × 500 = 50,000 J દ્વારા
(W_F)_{B દ્વારા} = F × (બ્લૉકનું અવલોકનકર્તા B ની સાપેક્ષે સ્થાનાંતર)
= 100 × (500 – 10 × 10)
= 100 × (400 (→))
= 40,000 J
(W_F)_{C દ્વારા} F × (બ્લૉકનું અવલોકનકર્તા C ની સાપેક્ષે સ્થાનાંતર)
= 100 × (500 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 10²)
= 100 × (500 – 500)
= 0
આમ, સાબિત થાય છે કે દળનું (પદાર્થનું) સ્થાનાંતર નિર્દેશ-ફ્રેમ પર આધારિત હોય છે અને અલગ અલગ નિર્દેશ-ફ્રેમમાં તે અલગ અલગ મૂલ્યો ધરાવે છે. આથી બળ વડે થતું કાર્ય એ નિર્દેશ-ફ્રેમની પસંદગી પર આધારિત છે.
નોંધ : બળ F એ નિર્દેશ-ફ્રેમ પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 33.
જમીનથી h ઊંચાઈએ રહેલા એક m દળના પદાર્થને ત્યાંથી મુક્ત કરતાં તે જમીન પર \(\sqrt{g h}\) જેટલી ઝડપથી અથડાય છે, તો પદાર્થ પર હવાના અવરોધક બળ દ્વારા થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર,
W_{બધાં બળો} = ΔK = K_f – K_i

∴ W_g + W_{હવાનો અવરોધ} = \(\frac{1}{2}\)m (\(\sqrt{g h}\))² – 0
(∵ u = 0 છે.)
પણ, W_g = mgh
∴ W_{હવાનો અવરોધ} = – \(\frac{m g h}{2}\)

પ્રશ્ન 34.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ m દળના એક બ્લૉકને 8 ઢોળાવવાળા અને μ ઘર્ષણાંકવાળા ઢાળ પર, ઉપર તરફ u જેટલી ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે. આ બ્લૉક જ્યારે પહેલી વાર સ્થિર થાય ત્યાં સુધી તેણે કાપેલ અંતર શોધો.

ઉકેલ:
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર,
W_{બધાં બળો} = ΔK = K_f – K_i
∴ W_g + W_f + W_N = K_f – K_i
∴ – mg sin θ × x – μ mg cos θ × x + 0 = 0 –\(\frac {1}{2}\) mu²
∴ x = \(\frac{u^2}{2 g(\sin \theta+\mu \cos \theta)}\)

પ્રશ્ન 35.
M₁ અને M₂ (M₂ > M₁) દ્રવ્યમાનવાળા બે બ્લૉક્સને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, સ્થિર અવસ્થામાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. જ્યારે બંને બ્લૉક્સ x જેટલું અંતર કાપે ત્યારે તેમનો સામાન્ય વેગ શોધો.

ઉકેલ:
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર,
(W_{બધાં બળો})_{તંત્ર} = (ΔK)_{તંત્ર}
∴ (W_g)_{તંત્ર} + (W_T)_{તંત્ર} = (ΔK)તંત્ર
પણ (W_T)_{તંત્ર} = 0
∴ M₂g × x – M₁g × x = – \(\frac {1}{2}\)(M₁ + M₂) υ² – 0
∴ υ = \(\sqrt{\frac{2\left(M_2-M_1\right) g x}{M_1+M_2}}\)

પ્રશ્ન 36.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ m દળના એક બ્લૉકને h ઊંચાઈવાળા મકાનની છત પરથી u જેટલી પ્રારંભિક ઝડપે ફેંકવામાં આવે છે. થોડીક વાર પછી તે જમીન પર આવીને પડે છે, તો જમીન પર તે કેટલી ઝડપે અથડાશે?

ઉકેલ:
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર,
W_{બધાં બળો} = ΔK = K_f – K_i
∴ W_g = ΔK = K_f – K_i
∴ mgh = \(\frac {1}{2}\)mυ² – \(\frac {1}{2}\)mu²
∴ υ = \(\sqrt{u^2+2 g h}\)

પ્રશ્ન 37.
એક બ્લૉક આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર 1 m s^-1 જેટલા અચળવેગથી સમક્ષિતિજ સપાટી પર, 50 N જેટલા સમક્ષિતિજ બાહ્ય બળની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે. બાહ્ય બળ અને ઘર્ષણબળના પાવર શોધો.

ઉકેલઃ

→ અહીં, બ્લૉકનો પ્રવેગ a = 0 ∴ બ્લૉકની ગતિને અવરોધતું ઘર્ષણ- બળ એ ગતિક ઘર્ષણબળ f_k હશે અને બાહ્ય બળ 50 N છે, તેથી f_k = 50 N થાય.
→ P_{બાહ્ય બળ} = F × υ = 50 × 1 = 50 W
P_{ઘર્ષણબળ} = – f_k × υ = – 50 × – 50 W

પ્રશ્ન 38.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ M દળ અને l લંબાઈવાળા શિરોલંબ નિયમિત સળિયાની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શોધો.

ઉકેલ:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નિયમિત સળિયાના dm દળના સૂક્ષ્મ ખંડની જમીનથી x જેટલી ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા :
dV = (dm) gx
પણ સૂક્ષ્મ ખંડનું દળ dm = (\(\frac{M}{l}\))dx
જ્યાં, dx = સૂક્ષ્મ ખંડની લંબાઈ

પ્રશ્ન 39.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે M દળ અને l લંબાઈનો એક નિયમિત સળિયો, સમક્ષિતિજ (સંદર્ભ) સપાટીથી θ ખૂણે હોય, તો તેની આ સ્થિતિમાં ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શોધો.

ઉકેલઃ

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ નિયમિત સળિયાના dm દળના સૂક્ષ્મ ખંડની જમીનથી એટલે કે સમક્ષિતિજ સંદર્ભ સપાટીથી h જેટલી ઊંચાઈએ ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા :
dV = (dm) gh

મહત્ત્વની નોંધ : જમીનથી (સમક્ષિતિજ સંદર્ભ સપાટીથી) નિયમિત સળિયાના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM)ની ઊંચાઈ \(\frac{l \sin \theta}{2}\) છે.

પ્રશ્ન 40.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે M દળ અને R ત્રિજ્યાવાળા એક નિયમિત નક્કર ગોળાને સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂકેલ છે.

આ નક્કર ગોળાની ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા શોધો.
ઉકેલ:
V= Mgh_cm
પણ સંમિત પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM) એ તેનું ભૌમિતિક કેન્દ્ર હોય છે.
∴ h_cm = R
તેથી V = MgR

પ્રશ્ન 41.
આકૃતિમાં
દર્શાવ્યા મુજબ M દળ અને l લંબાઈના એક નિયમિત સળિયાને દૃઢ આધારથી શિરોલંબ લટકાવેલ છે. સળિયા પર બાહ્ય બળ લગાડીને ખૂબ ધીમેથી તેને શિરોલંબ સાથે 8 જેટલા ખૂણે લઈ જતાં આ બાહ્ય બળ વડે થતું કાર્ય શોધો.

ઉકેલ:

આકૃતિ પરથી x = \(\frac{l}{2}-\frac{l}{2}\) cos 60°
= \(\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\) m = 0.25 m
હવે, કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય અનુસાર,
W_{બધાં બળો} = Δ K
∴ W_NX + W_NY + W_g + W_{બાહ્ય બળ} = Δ K
પણ સળિયાને ખૂબ ધીમેથી ગતિ કરાવવામાં આવે છે. તેથી Δ K = 0 તથા W_NX = W_NY = ૦ છે.
∴ 0 + 0 – mg (0.25) + W_{બાહ્ય બળ}
∴ W_{બાહ્ય બળ} 5 × 9.8 × 0.25 = 12.25 J

પ્રશ્ન 42.
એક પદાર્થને સ્થાન A પરથી સ્થાન B પર ખસેડવામાં આવે છે. પદાર્થના સ્થાન A અને સ્થાન B આગળ ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જાનાં મૂલ્યો નીચે મુજબ છે ઃ
K_A = 50 J, V_A = – 30 J, K_B = 10 J અને V_B = 20 J
(i) સંરક્ષી બળો વડે થતું કાર્ય શોધો.
(ii) બધાં બળો વડે થતું કાર્ય શોધો.
(iii) સંરક્ષી બળો સિવાયનાં બળો વડે થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ :
(i) W_{સંરક્ષી બળો} = – ΔV
= – (V_f – V_i )
= V_i – V_f = V_A -V_B
= – 30 – 20 = – 50 J

(ii) W_{બધાં બળો} = ΔΚ
= K_f – K_i
= K_B – K_A
= 10 – 50 = − 40 J

(iii) સંરક્ષી બળો સિવાયનાં બળો વડે થતું કાર્ય
= ΔE = E_f – E_i
= (K_f + V_f) – (K_i + V_i) .
= (K_B + V_B ) – (K_A + V_A)
= (10 + 20) – (50 – 30) = 10 J

પ્રશ્ન 43.
એક પદાર્થ પર \(\vec{F}\) = (2yî + 3x²ĵ) N જેટલું બળ લાગે છે, તેથી તે ઉગમબિંદુ (0, 0) mથી બિંદુ (1, 1) m પર બે માર્ગે ગતિ કરીને જાય છે : (a) x = y અને (b) y = x².
બંને માર્ગો પર બળ \(\vec{F}\) દ્વારા થતાં કાર્યોનાં મૂલ્યો શોધો.
ઉકેલ:
અહીં dW = \(\vec{F} \cdot d \vec{s}\)
= (2yî + 3x²ĵ) · (dxî + dyĵ)
= 2ydx + 3x²dy

(a) માર્ગ x = y પરની પદાર્થની ગતિ દરમિયાન બળ \(\vec{F}\) વડે થતું કાર્ય :

= (1² – 0) + (1³ – 0)
= 1 + 1
= 2 J

(b) y = x² પરની પદાર્થની ગતિ દરમિયાન બળ \(\vec{F}\) વડે થતું કાર્ય :

નોંધ : અહીં W₁ ≠ W₂ તેનો અર્થ પદાર્થ પર થતું કાર્ય પદાર્થના ગતિમાર્ગ પર આધારિત છે, એનો અર્થ અહીં પ્રવર્તતું બળ \(\vec{F}\) એ અસંરક્ષી બળ છે.

પ્રશ્ન 44.
એક કણ પર બળ \(\vec{F}\) = (3xy – 5z)ĵ + 4zk̂ લાગુ પાડવામાં આવે છે, તો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જ્યારે કણ બિંદુ (0, 0, 0)થી (2, 4, 00 પર જાય છે ત્યારે બળ \(\vec{F}\) વડે થતું કાર્ય શોધો.

ઉકેલ :
અહીં, આપેલ બળ \(\vec{F}\) = (3xy – 5z)ĵ + 4zk̂ ને બળના મૂળ સમીકરણ \(\vec{F}\) = F_xî + F_yĵ + F_zk̂ સાથે સરખાવતાં,
F_x = 0, F_y = 3xy – 5z, F_z = 4z
પણ, અહીં કણ સમીકરણ y = x² વડે રજૂ થતા માર્ગ પર ગતિ કરે છે, એટલે કે માત્ર X – Y સમતલમાં ગતિ કરે છે. તેથી z = 0.
∴ F_y = 3xy અને F_z = 0
તેથી હવે, dW = \(\vec{F} \cdot d \vec{s}\) સૂત્ર પરથી,
dW = F_y dy (∵ F_x = 0 અને F_z = 0 છે.)
પણ y = x² ∴ dy = 2xdx
∴ dW = (3xy)dy = 3x × x² × 2xdx = 6x⁴ dx

પ્રશ્ન 45.
શું ઘર્ષણબળ વડે થતું કાર્ય ધન હોઈ શકે? ‘હા’ કે ‘ના’ લખો અને તમારા જવાબનું કારણ સમજાવો.
ઉત્તર:
હા.

આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બ્લૉક Aને બ્લૉક B પર મૂકેલ છે.
જ્યારે બ્લૉક A પર બાહ્ય બળ, મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ (f_S)_max કરતાં વધુ લાગુ પાડતાં આકૃતિ (b)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ઘર્ષણબળ બ્લૉક B પર ધન કાર્ય કરે છે અને બ્લૉક A પર ઋણ કાર્ય કરે છે.
અગત્યની નોંધ :
(1) ઘર્ષણબળ વડે થતું શૂન્ય કાર્ય :

આકૃતિ (c)માં દર્શાવ્યા મુજબ બ્લૉકને F_ext વડે ખેંચવામાં આવે છે, પણ તે (f_S)_max કરતાં ઓછું છે. તેથી બ્લૉક સ્થિર રહે છે, ગતિ કરતો નથી. આ પરિસ્થિતિમાં ઘર્ષણબળ f_S વડે થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(2) ઘર્ષણબળ વડે થતું ધન કાર્ય :

આકૃતિ (d)માં દર્શાવ્યા મુજબ બ્લૉકને F_ext વડે ખેંચવામાં આવે છે, જે (f_S)_max કરતાં વધુ છે. તેથી બ્લૉક \(\vec{F}\)_extની દિશામાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
થોડા સમય પછી એક પરિસ્થિતિ એવી આવે છે કે બ્લૉકનો પ્રવેગ a = \(\frac{F_{\mathrm{ext}}-f_{\mathrm{k}}}{m}\) = 0 થાય છે. થાય છે. તેથી બ્લૉકનો વેગ અચળ આ પરિસ્થિતિમાં બાહ્ય બળ F_ext = = ઘર્ષણબળ f_k વડે થતું કાર્ય ધન હોય છે.

પ્રશ્ન 46.
આકૃતિમાં a અને b બિંદુઓને જોડતા ત્રણ માર્ગ દર્શાવેલ છે. દરેક માર્ગ પર દર્શાવેલ તીરની દિશામાં એક કણ પર એક બળ F, દર્શાવેલ કાર્ય કરે છે. આપેલ માહિતી મુજબ શું બળ F એ સંરક્ષી બળ છે?

ઉત્તર:
ના.
કારણ કે સંરક્ષી બળના કિસ્સામાં કણ પર બંધમાર્ગ પ૨ની પૂર્ણ ગતિ (Round trip) દરમિયાન થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે, જે અહીં આપેલ આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ થતું નથી.

પ્રશ્ન 47.
10 kg દળના બ્લૉકને θ = 30° ઢોળાવવાળા લીસા સમતલ પર અચળ વેગથી ઉપર તરફ 10m જેટલું અંતર ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
અહીં, બ્લૉકની ગતિ પ્રવેગી ગતિ નથી. (∵ a = 0) તેથી ઢોળાવવાળા સમતલને સમાંતર તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
∴ F – mg sin θ = 0
∴ F = mg sin θ
કાર્ય W = Fd cos θ = (mg sin θ) d cos θ
પણ θ = ૦° ∴ cos θ = 1
∴ W = (mg sin θ) d
= (10 × 10 × sin 30°) × 10
= 500 J ( ∵ sin 30° = \(\frac{1}{2}\))

પ્રશ્ન 48.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે 10 kg નો એક બ્લૉક ખરબચડા સમક્ષિતિજ સમતલ પર રાખેલ છે. તેને અચળ બળ 50 N વડે ખેંચવામાં આવે છે. બ્લૉક અને ખરબચડી સપાટી વચ્ચેનો ગતિક ઘર્ષણાંક 0.4 છે, તો 5mના સ્થાનાંતર માટે તેના પર
(a) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ
(b) લંબપ્રતિક્રિયા બળ
(c) બાહ્ય બળ
(d) ગતિક ઘર્ષણબળ વડે થયેલ કાર્ય શોધો.

ઉત્તર:

બ્લૉક પર લાગતાં બળો
(i) બ્લૉકનું વજન W_g = mg = 10 × 10 = 100 N
(ii) લંબપ્રતિક્રિયા બળ N = 100 N (સમક્ષિતિજ સમતલ વડે)
(iii) ગતિક ઘર્ષણબળ f_k = ^μ_kN = 0.4 × 100 = 40 N
(iv) બાહ્ય બળ F = 50 N
ઉપરોક્ત બધાં બળો અને બ્લૉકનું સ્થાનાંતર આકૃતિમાં બતાવ્યું છે. અહીં બધાં બળો અચળ છે, તેથી અહીં W_{i → f} = \(\vec{F}\) · Δ\(\vec{r}\) સૂત્ર વાપરવું પડે.
પણ Δ\(\vec{r}\) = Δ\(\vec{x}\), માટે …
(a) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અર્થાત્ બ્લૉકના વજન દ્વારા થયેલ કાર્ય,
W_g = 0 (∵ m\(\vec{g}\) ⊥ Δ\(\vec{x}\))·

(b) લંબપ્રતિક્રિયા બળ વડે થયેલ કાર્ય,
W_N = (∵ \(\vec{N}\) ⊥ Δ\(\vec{x}\))

(c) બાહ્ય બળ વડે થયેલ કાર્ય,
W_F = 50 × 5 = 250 J (∵ \(\vec{F}\) || Δ\(\vec{x}\))

(d) ગતિક ઘર્ષણબળ વડે થયેલ કાર્ય,
W_fk = – 40 × 5 = – 200 J (∵ \(\vec{f}_{\mathrm{k}} \downarrow \uparrow \Delta \vec{x}\))

પ્રશ્ન 49.
એક કણને બિંદુ (0, 0, 1 m)થી (1 m, 1 m, 2 m) સુધી અમુક બળોની સંયુક્ત અસર હેઠળ ખસેડવામાં આવે છે. તેમાંનાં બે બળો \(\vec{F}\)₁ = (2î + 3ĵ – k̂)N અને \(\vec{F}\)₂ = (î – 2ĵ + 2k̂) N છે. આ બંને બળોના પરિણામી બળ વડે થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
કાર્ય W = \(\vec{F}\) · Δ\(\vec{r}\)
= \(\left(\vec{F}_1+{\overrightarrow{F_2}}\right) \cdot \overrightarrow{\Delta r}\)
= (3î + ĵ + k̂) · [(1 – 0)î + (1 – 0)ĵ + (2 – 1)k̂]
= (3î + ĵ + k̂) · (î + ĵ + k̂)
= 3 + 1 + 1 = 5 J

પ્રશ્ન 50.
m દળનો એક કણ વેગના સૂત્ર υ = a√x અનુસાર ગતિ કરે છે, જ્યાં a = અચળ છે; તો તેના પર લાગતાં બધાં બળો વડે x = 0થી x = d સુધીના સ્થાનાંતર દરમિયાન કુલ કાર્ય કેટલું થાય?
ઉકેલ:
બધાં બળો વડે થતું કાર્ય,
W = ΔK = K_f – K_i = \(\frac{1}{2}\)mυ_f² – \(\frac{1}{2}\)mυ_i²
અહીં, υ_i0 = a√0, υ_f = a√d
∴ W = \(\frac{1}{2}\) m(a√d)² – 0
= \(\frac{1}{2}\) ma²d

પ્રશ્ન 51.
એક સંરક્ષી બળક્ષેત્રમાં તંત્રની સ્થિતિ-ઊર્જા V = ax² – bx સૂત્ર વડે ૨જૂ કરવામાં આવેલ છે. જ્યાં a અને b અચળાંકો છે, તો
( i ) બળનું સમીકરણ મેળવો.
(ii) તંત્રની સંતુલિત સ્થિતિ શોધો.
(iii) સંતુલન સ્થિતિ વખતે તંત્રની સ્થિતિ-ઊર્જા શોધો.
ઉકેલઃ
(i) સંરક્ષી બળ F = \(-\frac{d V}{d x}=-\frac{d}{d x}\)(ax² – bx)
= – (2ax – b)
= – 2ax + b

(ii) સંતુલિત સ્થિતિ વખતે બળ F = 0 હોય છે.
∴ – 2ax + b = 0 ∴ x = \(\frac{b}{2 a}\)

(iii) સંતુલિત સ્થિતિમાં સ્થિતિ-ઊર્જા,

પ્રશ્ન 52.
એક પદાર્થને 8mની ઊંચાઈએથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. સમક્ષિતિજ સપાટીને અથડાયા બાદ તે 6m જેટલો ઊંચો ઊછળે છે, તો અથડામણ દરમિયાન તેની ગતિ-ઊર્જાનો કેટલામો ભાગ વ્યય પામ્યો હશે? હવાનો ઘર્ષણ અવરોધ અવગણ્ય છે.
ઉકેલઃ

પ્રશ્ન 53.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ m દળ અને L લંબાઈની એક સાંકળ ઘર્ષણ રહિત ટેબલ પર એવી રીતે મૂકેલ છે કે જેથી તેની લંબાઈનો \(\frac{1}{n}\) મો ભાગ ટેબલની ધારથી નીચે તરફ લટકી રહે, તો સાંકળના લટકતા ભાગને ટેબલ પર ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય શોધો.

ઉકેલ:
જરૂરી કાર્ય = સાંકળની સ્થિતિ-ઊર્જામાં ફેરફાર. ટેબલની સપાટીને સંદર્ભ-સપાટી લેતાં અને ટેબલ પર સાંકળની સ્થિતિ- ઊર્જા શૂન્ય લેતાં,
સાંકળની પ્રારંભિક સ્થિતિ-ઊર્જા,

પ્રશ્ન 54.
100 N m^-1 જેટલો બળ-અચળાંક ધરાવતી એક આદર્શ સ્પ્રિંગને જો 5 cm જેટલી ખેંચવામાં આવે, તો લગાડેલ બળ વડે થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
અહીં 100 Nm^-1,
સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં કુલ વધારો l = 5 cm = 0.05 m
સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં સૂક્ષ્મ ફેરફાર (વધારા કે ઘટાડા) માટે બાહ્ય
બળ દ્વારા થતું સૂક્ષ્મ કાર્ય dW = Fdx = (kx) dx
∴ થયેલ કુલ કાર્ય W = \(\int_0^l F d x=\int_0^l(k x) d x\)
= \(\frac{1}{2}\) k l²
\(\frac{1}{2}\) × 100 × (0.05)²
= 0.125 J

પ્રશ્ન 55.
એક સ્પ્રિંગ પ્રારંભમાં x₁ જેટલી સંકોચાયેલી છે. તેને વધુ x₂ જેટલી સંકોચવામાં આવે, તો છેલ્લા x₂ જેટલા સંકોચન
દરમિયાન થતું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
પ્રારંભમાં સ્પ્રિંગ x₁ જેટલી સંકોચાયેલી છે, તેથી તેની સ્થિતિ-ઊર્જા V₁ = \(\frac{1}{2}\)kx₁² (જે બાહ્ય બળ વડે થતું કાર્ય W₁ છે).

• હવે, સ્પ્રિંગને વધુ x₂ જેટલી સંકોચવામાં આવે છે એટલે કે સ્પ્રિંગનું કુલ સંકોચન (x₁ + x₂) થાય. આ વખતે સ્પ્રિંગમાં સંગૃહીત સ્થિતિ-ઊર્જા V₂ = \(\frac{1}{2}\)k(x₁ + x₂)² (જે બાહ્ય બળ વડે થતું કાર્ય W₂ છે).
• છેલ્લા x₂ જેટલા સ્પ્રિંગના સંકોચન દરમિયાન થતું કાર્ય,
  = V₂ – V₁
  = W₂ – W₁
  = \(\frac{1}{2}\)k (x₁ + x₂)² – \(\frac{1}{2}\)kx₁²
  = \(\frac{1}{2}\)k (x₁² + x₂² + 2x₁x₂) – \(\frac{1}{2}\)kx₁²
  = \(\frac{1}{2}\)k (x₂² + 2x₁x₂)
  = \(\frac{1}{2}\) kx₂ (x₂ + 2x₁)

પ્રશ્ન 56.
એક આદર્શ સ્પ્રિંગના એક છેડાને દૃઢ આધાર સાથે જિડત કરેલ છે અને સ્પ્રિંગ લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂળ સ્થિતિમાં મૂકેલી છે. m દળનો એક બ્લૉક υ વેગથી સ્પ્રિંગના મુક્ત છેડા સાથે અથડાય છે. પરિણામે સ્પ્રિંગ x જેટલી સંકોચાય છે અને બ્લૉકનો વેગ અડધો થાય છે, તો સ્પ્રિંગનું મહત્તમ સંકોચન કેટલું થશે?
ઉકેલ:
સ્પ્રિંગના x જેટલા સંકોચન માટે,
\(\frac{1}{2}\)mυ² – \(\frac{1}{2}\)m(\(\frac{υ}{2}\))² = \(\frac{1}{2}\) kx₂ (યાંત્રિક ઊર્જાનું સંરક્ષણ લેતાં) ……………. (1)
સ્પ્રિંગના x_m જેટલા મહત્તમ સંકોચન માટે,
\(\frac{1}{2}\)mυ² – 0 = \(\frac{1}{2}\)kx_m² …………… (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો ગુણોત્તર લેતાં,

પ્રશ્ન 57.
એક આદર્શ સ્પ્રિંગના એક છેડાને દૃઢ આધાર સાથે જિડત કરેલ છે અને સ્પ્રિંગ લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર મૂળ સ્થિતિમાં મૂકેલી છે. m દળનો એક બ્લૉક \(\frac{1}{2}\)mυ² જેટલી ગતિ-ઊર્જાથી સ્પ્રિંગના મુક્ત છેડા સાથે અથડાય છે, પરિણામે સ્પ્રિંગ x જેટલી સંકોચાય છે અને બ્લૉકની ગતિ-ઊર્જા અડધી થાય છે, તો સ્પ્રિંગનું મહત્તમ સંકોચન કેટલું થશે?
ઉકેલ:
સ્પ્રિંગના x જેટલા સંકોચન માટે,

પ્રશ્ન 58.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક દળ રહિત પ્લૅટફૉર્મને એક હલકી આદર્શ સ્પ્રિંગ પર મૂકેલ છે. જ્યારે પ્લૅટફૉર્મની સપાટી પર 0.1 kg દળનો એક કણ 0.24 mની ઊંચાઈએથી પડવા દેવામાં આવે છે ત્યારે સ્પ્રિંગ 0.01 m જેટલી દબાય છે, તો કણને કેટલી ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવો જોઈએ કે જેથી સ્પ્રિંગનું 0.04 m જેટલું સંકોચન થાય? (કણની પ્લૅટફૉર્મ સાથેની અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક છે.)

ઉકેલ:
પહેલા કિસ્સામાં mg (h + x) = \(\frac{1}{2}\) kx₂ …………… (1)
બીજા કિસ્સામાં mg (h’ + x’) = \(\frac{1}{2}\) kx’₂ ……………. (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો ગુણોત્તર લેતાં,
\(\frac{h+x}{h^{\prime}+x^{\prime}}=\frac{x^2}{x^{\prime 2}}\)
∴ \(\frac{0.24+0.01}{h^{\prime}+0.04}=\frac{(0.01)^2}{(0.04)^2}\)
\(\frac{0.25}{h^{\prime}+0.04}=\frac{1}{16}\)
∴ h’ + 0.04 = 4
∴ h’ = 4 – 0.04 = 3.96 m

પ્રશ્ન 59.
એક દળ રહિત આદર્શ સ્પ્રિંગને દૃઢ આધાર પરથી શિરોલંબ લટકાવેલ છે. હવે m દળના એક બ્લૉકને તેના મુક્ત છેડે લટકાવી, સ્પ્રિંગને તેની મૂળ સ્થિતિમાંથી નીચે તરફ ધીરે ધીરે વિસ્તરણ કરાવી, સંતુલિત સ્થિતિમાં લાવવામાં આવે છે. સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થયેલા વધારા x અંગે બે વિદ્યાર્થીઓ X અને Yને પ્રશ્ન પૂછવામાં આવે છે.
વિદ્યાર્થી Xનો જવાબઃ \(\frac{1}{2}\) kx₂ = mgx પરથી x = \(\frac{2 m g}{k}\)
વિદ્યાર્થી Yનો જવાબ : mg = kx પરથી x = \(\frac{m g}{k}\)
શું બંને વિદ્યાર્થી સાચાં છે કે કોઈ એક વિદ્યાર્થી સાચો છે?
કારણ સહિત જણાવો.
ઉત્તર:
માત્ર Y વિદ્યાર્થી સાચો છે.
કારણ : સ્પ્રિંગની અંતિમ સંતુલિત સ્થિતિમાં mg = kx હોય છે.
∴ x = \(\frac{m g}{k}\)

પ્રશ્ન 60.

આકૃતિમાં દર્શાવેલ બે દ્રવ્યમાન m અને m’ પૈકી m’ની કઈ ન્યૂનતમ કિંમત માટે m દળનો બ્લૉક સમક્ષિતિજ સપાટીને છોડવાની just શરૂઆત કરશે?
ઉકેલ:
m’ને લીધે સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં થતો વધારો ધારો કે x’ છે.
∴ m’gx’ = \(\frac{1}{2}\) kx’₂.
∴ kx’ = 2m’g
પણ kx’ ≥ mg હોય તો m દળનો બ્લૉક સમક્ષિતિજ સપાટીનો સંપર્ક છોડી દેશે.
∴2m’g ≥ mg
∴ m’ ≥ \(\frac{m}{2}\)
∴ m’ની ન્યૂનતમ કિંમત = \(\frac{m}{2}\)

પ્રશ્ન 61.
એક પમ્પ 100m ઊંડા કૂવામાંથી 7200 kg દળનું પાણી પ્રતિકલાક બહાર લાવી શકે છે, તો પમ્પનો પાવર ગણો. પમ્પની કાર્યક્ષમતા 50 % છે. g = 10 m s^-2 લો.
ઉકેલ:

= 4000 W
= 4 kW

પ્રશ્ન 62.
એક એન્જિન પાઇપ મારફતે ρ ઘનતાવાળા પાણીને ખેંચે છે અને પછી છોડે છે. પાઇપમાંથી પાણી υ વેગથી બહાર ફેંકાય છે, તો
(a) એન્જિને પાણીને આપેલ ગતિ-ઊર્જાના ફેરફારનો દર અને
(b) એન્જિનનો પાવર શોધો.
ઉકેલઃ
(a) એન્જિને પાણીને આપેલ ગતિ-ઊર્જાના ફેરફારનો દર

(b) એન્જિનનો તાત્ક્ષણિક પાવર P = Fυ
(જ્યાં, પરિણામી બળ F = અચળ)
પણ, અહીં F = ma નહીં, પરંતુ બળ F = υ\(\frac{d m}{d t}\) છે.
કારણ કે, અહીં υ અચળ નિશ્ચિત છે, m નહીં.
∴ P = (υ\(\frac{d m}{d t}\))υ
= υ²\(\frac{d m}{d t}\)
= υ²\(\frac{d}{d t}\)(ρ × Ax)
= ρAυ² × \(\frac{d x}{d t}\)
= ρAυ² × υ
= ρAυ³
નોંધ : ઉપરોક્ત દાખલામાં પાણીની ગતિ-ઊર્જામાં થતા ફેરફારનો દર \(\frac{d K}{d t}\) ≠ એન્જિનનો તાત્ક્ષણિક પાવર P
યંત્રશાસ્ત્રમાં તાત્ક્ષણિક પાવર Pનું વ્યાપક સૂત્રઃ
પદાર્થનો પ્રારંભિક υ_i = 0 હોય અને અંતિમ વેગ υ_f = υ
હોય, તો કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય પરથી,
W = Δ K = \(\frac{1}{2}\)mυ² – 0
∴ તાત્ક્ષણિક પાવર P = \(\frac{d W}{d t}\)

પ્રશ્ન 63.
એક m દળ ધરાવતો કણ લીસી સપાટીવાળા સમક્ષિતિજ ટેબલ પર સ્થિર પડેલ છે. તેના પર ટેબલની સપાટીને સ્પર્શકરૂપે અચળ સ્પર્શીય બળ F લાગુ પાડવામાં આવે છે.
(a) t = 0થી t = t સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ પાવર શોધો.
(b) સમયt ના વિધેય સ્વરૂપે તાત્ક્ષણિક પાવર શોધો.
ઉકેલઃ
(a) અહીં કણનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{m}\) = અચળ
∴ અંતિમ વેગ υ = at = (\(\frac{F}{m}\))t t (∵ υ₀ = 0 છે.)
હવે, સરેરાશ પાવર P_av = \(\frac{W}{t}\)
= \(\frac{\frac{1}{2} m v^2-0}{t}\)
= \(\frac{\frac{1}{2}(m)\left(\frac{F t}{m}\right)^2}{t}\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{F^2 t}{m}\right)\)

(b) તાત્ક્ષણિક પાવર P_i = Fυ cos 0°
= Fυ
= F (\(\frac{F t}{m}\) )
= \(\frac{F^2 t}{m}\)
નોંધ : ઉપરોક્ત દાખલામાં P_av ≠ P_i છે.
∴ પાવર P અચળ નથી.

પ્રશ્ન 64.
m દળનો એક પદાર્થ અચળ પાવરના ઉદ્ગમની અસર હેઠળ X-અક્ષ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિની શરૂઆત કરે છે, તો
(a) પદાર્થના વેગ અને સમય વચ્ચે કયો સંબંધ હશે?
(b) પદાર્થે કાપેલ અંતર અને સમય વચ્ચેનો સંબંધ શોધો.
(c) પદાર્થના વેગ અને તેણે કાપેલ અંતર વચ્ચેનો સંબંધ શોધો. ઉકેલઃ
(a) અહીં, પાવર P = અચળ છે.
P = Fυ cos 0° = (ma)υ = m(\(\frac{d v}{d t}\))υ

(b) હવે, υ = \(\frac{d x}{d t}\)

(c) સમીકરણ (2) પરથી,
x ∝ (\(t^{\frac{1}{2}}\))³
પણ, સમીકરણ (1) પરથી υ ∝ \(t^{\frac{1}{2}}\) છે.
∴ x ∝ υ³ થાય.

પ્રશ્ન 65.
એક કણ r ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર આકર્ષી સ્થિતિ- ઊર્જા V = – \(\frac{k}{2 r^2}\) અનુસાર ભ્રમણ ગતિ કરે છે, તો આ કણની કુલ ઊર્જા શોધો.
ઉકેલ:
કણની સ્થિતિ-ઊર્જા V = – \(\frac{k}{2 r^2}\)
∴ કણ પર લાગતું બળ F = – \(\frac{d V}{d r}\)
= \(\frac{-d}{d r}\left(\frac{k}{2} r^{-2}\right)\)
= \(\frac{k}{r^3}\)
તેથી કણની વર્તુળાકાર પથ પરની ભ્રમણ ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ \(\frac{m v^2}{r}=\frac{k}{r^3}\) થાય.
∴ mυ² = \(\frac{k}{r^2}\)
∴ કણની ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\)mυ² = \(\frac{k}{2 r^2}\)
તેથી કણની કુલ ઊર્જા E = K + V
= \(\frac{k}{2 r^2}+\left(-\frac{k}{2 r^2}\right)\)
= 0

પ્રશ્ન 66.
એક સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં x જેટલો વધારો કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય 10J છે. આ જ સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં વધારાનો x જેટલો વધારો કરવા માટે કેટલું કાર્ય કરવું પડે?
ઉકેલ:
x₁ = x માટે W₁ = 10 J, તો x₂ = x + x = 2x માટે W₂ = ?
W_ext = \(\frac{1}{2}\) kx² પરથી,
\(\frac{W_2}{W_1}=\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2=\left(\frac{2 x}{x}\right)^2\) = 4
∴ W₂ = 4 W₁ = 4 × 10 = 40 J
∴ x જેટલો વધારાનો વધારો કરવા માટે કરવું પડતું W₂ – W₁ = 40 – 10 = 30 J

પ્રશ્ન 67.
K₁ અને K₂ સ્પ્રિંગ-અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગોમાં સમાન સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ-ઊર્જા સંગૃહીત થાય તે રીતે ખેંચવામાં આવે છે, તો આ સ્થિતિમાં બંને સ્પ્રિંગોમાં ઉદ્ભવતા પુનઃસ્થાપક બળોનો ગુણોત્તર \(\frac{F_1}{F_2}\) શોધો.
ઉકેલ:

પ્રશ્ન 68.
2 kg દળનો ગોળો 8m s^-1 વેગથી અને 1 kg દળનો ગોળો 4 m s^-1ના વેગથી પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરીને એકબીજા સાથે સન્મુખ સંઘાત કરે છે અને એકબીજાને ચોંટી જાય છે, તો અથડામણ બાદનો તેમનો સામાન્ય વેગ શોધો.
ઉકેલઃ
અહીં, બંને ગોળા અથડામણ બાદ એકબીજા સાથે ચોંટી જાય છે. તેથી તેમની વચ્ચે થતી અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક છે. સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે સામાન્ય વેગ,

પ્રશ્ન 69.
એક કણ પર \(\vec{F}\) = (2î – 3ĵ) એકમ બળ લાગતાં કણનું સ્થાનાંતર \(\vec{d}\) = 6î + cĵ એકમ થાય છે. જો આ પ્રક્રિયામાં થતું કાર્ય શૂન્ય હોય, તો નું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલઃ
કાર્ય W = \(\vec{F}\) . \(\vec{d}\)
= F_xd_x + F_yd_y + F_zd_z
= (2) (6) + (-3) c + (0) (0)
= 12 – 3c
પણ W = 0 આપેલ છે.
∴ c = 4

પ્રશ્ન 70.
5 m લંબાઈના અને 3m ઊંચાઈના ઘર્ષણ રહિત ઢાળ પર તળિયેથી ટોચ સુધી 10 kg દળવાળા પદાર્થને સરકાવીને લઈ જવા માટે કરવું પડતું જરૂરી કાર્ય શોધો. g = 10 m s^-2 લો.
ઉકેલ:
W = F × d
= (mg sin θ) × d
= (mg) × \(\frac{h}{d}\) × d
= mgh
= 10 × 10 × 3
= 300 J

પ્રશ્ન 71.
એક પદાર્થના વેગમાનનું મૂલ્ય તેની ગતિ-ઊર્જાના મૂલ્ય જેટલું છે, તો પદાર્થના વેગનું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ:
અહીં, \(\frac {1}{2}\)mυ² = mυ આપેલ છે.
∴ υ = 2 m s^-1

પ્રશ્ન 72.
એક ટ્રકની ઝડપ 2 minuteમાં 36 km h^-1થી વધીને 72 km h^-1 થાય છે, તો 1000 kg દળવાળા ટ્રક પર તેના એન્જિન વડે થયેલું કાર્ય શોધો.
ઉકેલ:
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય પરથી,
W = AK
= \(\frac {1}{2}\)mυ_f² – \(\frac{1}{2}\)mυ_i²
= \(\frac {1}{2}\)m(υ_f² – υ_i²)
= \(\frac{1}{2}\) × 1000 (20² – 10²)
= 1.5 × 10⁵ J

પ્રશ્ન 73.
100 Wના બલ્બને 20 કલાક સુધી ચાલુ રાખવામાં આવે, તો કેટલા યુનિટ વિદ્યુત-ઊર્જા ખર્ચાય?
ઉકેલ:
વપરાતી વિદ્યુત-ઊર્જા = 100 × (20 × 3600) J
= 2 × 3.6 × 10⁶ J
= 2 યુનિટ
(∵ 1 યુનિટ = 3.6 × 10⁶ J)

પ્રશ્ન 74.
5 kg દળના પદાર્થને જમીન પરથી 100 J ઊર્જા સાથે ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે, તો તે વધુમાં વધુ કેટલી ઊંચાઈ સુધી જઈ શકે? g = 10 m s^-2 લો.
ઉકેલ:
અહીં, mgh = 100
∴ h = \(\frac{100}{m g}=\frac{100}{5 \times 10}\) = 2 m

નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :

(1) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણ પર લાગતા કેન્દ્રગામી બળનો પાવર શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(2) અમુક બળોની અસર હેઠળ એક પદાર્થ ગતિ કરે છે. તેમાંના એક બળ દ્વારા થતું કાર્ય ઋણ છે, પણ પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા વધે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(3) પદાર્થ પર લાગતા પરિણામી બળ દ્વારા થતું કાર્ય શૂન્ય છે, પણ તેનો વેગ \(\vec{υ}\) બદલાય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(4) તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જા ઋણ હોઈ શકે નહીં.
ઉત્તર:
ખોટું

(5) તંત્રનું કુલ વેગમાન શૂન્ય છે, તેથી તેની કુલ ગતિ-ઊર્જા પણ શૂન્ય જ હશે.
ઉત્તર:
ખોટું

(6) સંરક્ષી બળના કિસ્સામાં એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધીની જુદા જુદા માર્ગો પર થતી પદાર્થની ગતિ દરમિયાન થતાં કાર્યો જુદાં જુદાં હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(7) અસંરક્ષી બળના કિસ્સામાં જુદા જુદા માર્ગો પરની પદાર્થની ગતિ દરમિયાન થતું કાર્ય જુદું જુદું હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(8) કણની ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય હોય તો તેનું રેખીય વેગમાન પણ શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(9) બધાં બાહ્ય બળો વડે પદાર્થ પર થતું કાર્ય એટલે બધાં અસંરક્ષી બળો વડે પદાર્થ પર થતું કાર્ય.
ઉત્તર:
ખરું

(10) ગતિ કરતા ણનું વેગમાન બદલાય તોપણ તેની ગતિ-ઊર્જા અચળ રહી શકે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(11) એક કણનો વેગ – 5tîસૂત્ર મુજબ સમય સાથે બદલાય છે, તો કણની ગતિ-ઊર્જા સમય સાથે ઘટતી હશે.
ઉત્તર:
ખોટું

(12) પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા હંમેશાં ધન હોય છે, પણ તેની ગતિ- ઊર્જામાં થતો ફેરફાર ઋણ હોઈ શકે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(13) પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ઋણ હોઈ શકે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(14) E – V< 0 શક્ય છે. ઉત્તર: ખોટું (15) \(\frac{k}{m}\) નો SI એકમ એટલે આવૃત્તિના વર્ગનો SI એકમ. ઉત્તર: ખરું (16) સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં વધારો કરવામાં આવે તો તેની સ્થિતિ-ઊર્જા વધે છે, પણ જો ઘટાડો કરવામાં આવે, તો તેની સ્થિતિ-ઊર્જા ઘટે છે. ઉત્તર: ખોટું (17) √K વિરુદ્ધ pનો આલેખ એક સુરેખા છે. ઉત્તર: ખરું (18) એક કણનું સ્થાન સમય સાથે x = (- 2t + 12) એકમ સૂત્ર મુજબ બદલાય છે, તો સમયના કોઈ પણ મૂલ્ય t > 0 માટે તેની ગતિ-ઊર્જા અચળ રહેશે.
ઉત્તર:
ખરું

ખાલી જગ્યા પૂરો :

(1) પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા વિરુદ્ધ વેગનો આલેખ ………………….. હોય છે.
ઉત્તર:
પરવલયાકાર

(2) સમક્ષિતિજ સપાટી પર પડેલા 10 kg દળના બ્લૉકને સમક્ષિતિજ સાથે 60ના ખૂણે 100 N બળ લગાડતાં બ્લૉકનું સમક્ષિતિજ દિશામાં 10m જેટલું સ્થાનાંતર થાય તો બળ વડે બ્લૉક પર થતું કાર્ય ………………. J હશે.
ઉત્તર:
500

(3) બળF = cx (જ્યાં, c = અચળ)ની અસર હેઠળ એક પદાર્થ x = 0થી x = x₁, સુધી ગતિ કરે, તો આ ક્રિયામાં થતું કાર્ય
……………………… હશે.
ઉત્તર:
\(\frac{1}{2}\)cx₁²

(4) સમક્ષિતિજ દિશા સાથે θ કોણે એક પદાર્થ પર 5 N બળ લાગવાના કારણે તે સમક્ષિતિજ દિશામાં 0.4m સ્થાનાંતર અનુભવે છે. જો પદાર્થ પર થતું કાર્ય 1 J હોય, તો આ બળનો સમક્ષિતિજ દિશામાંનો ઘટક ………………….. N હશે.
ઉત્તર:
2.5

(5) 50 kg દળવાળા વિદ્યાર્થીએ ……………. ms^-1 જેટલા વેગથી દોડવું જોઈએ કે જેથી કરીને તેની ગતિ-ઊર્જા 100 J થાય.
ઉત્તર:
2

(6) 0.8 kg દળના પદાર્થનો વેગ (3î + 4ĵ) m s^-1 1 છે, તો તેની ગતિ-ઊર્જા ……………………. J હશે.
ઉત્તર:
10

(7) 3 kg દળના પદાર્થનું વેગમાન 2 Ns છે, તો તેની ગતિ-ઊર્જા ………………. J હશે.
ઉત્તર:
\(\frac{2}{3}\)

(8) એક હલકા અને બીજા ભારે પદાર્થનાં વેગમાન સમાન છે, તો ………………….. પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા વધારે હશે.
ઉત્તર:
હલકા

(9) એક પદાર્થના રેખીય વેગમાનમાં 1 %નો વધારો કરવામાં આવે, તો તેની ગતિ-ઊર્જામાં થતો વધારો ……………………. % હશે.
ઉત્તર:
2

(10) એક પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં 1 %નો વધારો કરવામાં આવે, તો તેના વેગમાનમાં થતો વધારો …………………… % હશે.
ઉત્તર:
0.5

(11) એક પદાર્થનું વેગમાન બમણું થાય, તો તેની ગતિ-ઊર્જામાં ………………… %નો વધારો થાય.
ઉત્તર:
300

(12) એક પદાર્થની ગતિ-ઊર્જામાં 300 %નો વધારો થાય તો તેના વેગમાનમાં થતો વધારો ……………………… % હશે.
ઉત્તર:
100

(13) નિયમિત વર્તુળગતિ કરતા પદાર્થ પર કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા થતું કાર્ય ………………… હોય છે.
ઉત્તર:
શૂન્ય

(14) બળ F વિરુદ્ધ સ્થાનાંતર x ના આલેખ વડે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ ………………… દર્શાવે છે.
ઉત્તર:
પ્રક્રિયા દરમિયાન થતું કાર્ય

(15) 1 eV = ………………. J
ઉત્તર:
1.6 × 10^-19

(16) 1 W = …………………. hp
ઉત્તર:
\(\frac{1}{746}\)

(17) સ્પ્રિંગના સ્પ્રિંગ-અચળાંકનું પારિમાણિક સૂત્ર ……………………. છે.
ઉત્તર:
M¹ L⁰T^-2

(18) 10 mઊંચાઈ પરથી એક પદાર્થ જમીન પર આવીને પડે છે પરિણામે તે પોતાની 20% ઊર્જા ગુમાવે છે, તો તે ……………………….. m ઊંચાઈ સુધી rebound થઈ શકે છે.
ઉત્તર:
8 m

(19) એક સંરક્ષી બળક્ષેત્રમાં એક પદાર્થની કોઈ એક સ્થાને ગતિ-ઊર્જા P અને સ્થિતિ-ઊર્જા Q છે, તો બીજા કોઈ સ્થાન આગળ તે જ પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા જો R હોય તો આ બીજા સ્થાને પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ……………………. હોય.
ઉત્તર:
P + Q – R

(20) વીજળીના ગોળા પર 230V – 40 W” લખાણ છે. આવા 10 વિદ્યુતગોળા રોજના 2 કલાક મુજબ ચાલુ રાખતાં નવેમ્બર 2020ના મહિનામાં વીજળીનો વપરાશ ……………………… kW થશે.
ઉત્તર:
86,400

(21) એક આદર્શ સ્પ્રિંગનો એક છેડો જડિત છે અને તેના બીજા છેડે 1N બળ લગાડીને તેની લંબાઈમાં 1 cm જેટલો વધારો કરતાં તે સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહ પામતી સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ-ઊર્જા …………………. J હશે.
ઉત્તર:
5 × 10^-3

જોડકાં જોડો : (Matrix Match)

પ્રશ્ન 1.
પદાર્થ પર અમુક બળ લગાડીને, તેને X-અક્ષની દિશામાં x = 4 mથી x = 2 m સુધી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે. પદાર્થ પર થતા કાર્ય માટે કૉલમ Aના વિકલ્પોનું કૉલમ Bના વિકલ્પો સાથે યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
1. \(\vec{F}\) = 4î	P. ધન
2. \(\vec{F}\) = (4î – 4ĵ)	q. ઋણ
3. \(\vec{F}\) = – 4î	r. શૂન્ય
4. \(\vec{F}\) = (-4î – 4ĵ)	s. |W| = 8 એકમ
	t. |W| = 24 એકમ

ઉત્તર :
(1 – q, s), (2 – q, s), (3 – p, s), (4 – p, s).

પ્રશ્ન 2.
નીચેના \(\vec{F}\) – \(\vec{F}\) વક્ર માટે થયેલ કાર્ય શોધો :

ઉત્તર:
(1 – p), (2 – 1), (3 – r), (4 – q).

પ્રશ્ન 3.
કૉલમ Aમાં બે પદાવલિ (Expression) આપેલ છે, તેમના માટે કૉલમ Bના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
1. \((\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}\)	p. uυω
2. \((\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}\)	q. અર્થપૂર્ણ છે
	r. અર્થપૂર્ણ નથી

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – q).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. \((\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}\)	r. અર્થપૂર્ણ નથી
2. \((\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}\)	q. અર્થપૂર્ણ છે

પ્રશ્ન 4.
નીચે આપેલ કૉલમ Aના વિકલ્પોનું કૉલમ Bના વિકલ્પો સાથે યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
1. સંરક્ષી બળ	p. યાંત્રિક ઊર્જા = અચળ
2. અસંરક્ષી બળ	q. ગતિ-ઊર્જા = અચળ
	r. બંધમાર્ગ પર થયેલ કાર્ય = 0
	S. F (x) = – \(\frac{d V}{d x}\)
	t. સ્થિતિ-ઊર્જા વ્યાખ્યાયિત થતી નથી.

ઉત્તર:
(1 – p, r, s), (2 – t).

પ્રશ્ન 5.
આપેલ આકૃતિ માટે Aથી B અને Bથી A સુધીની m દળના બ્લૉકની ગતિ માટે, કૉલમ Aના વિકલ્પોનું કૉલમ Bના વિકલ્પો સાથે યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
1. Aથી B સુધીની બ્લૉકની ગતિ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય	p. -mgh
2. Bથી A સુધીની બ્લૉકની ગતિ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય	q. mgh
3. VA -VB	r. 0
4. VB -VA

ઉત્તર:
(1 – p), (2 – q), (3 – p), (4 – q).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. Aથી B સુધીની બ્લૉકની ગતિ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય	p. -mgh
2. Bથી A સુધીની બ્લૉકની ગતિ દરમિયાન ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થતું કાર્ય	q. mgh
3. VA -VB	p. -mgh
4. VB -VA	q. mgh

પ્રશ્ન 6.
આપેલ આકૃતિમાં બ્લૉકની Aથી B તથા Bથી C સુધીની ગતિ દરમિયાન સ્પ્રિંગ બળ વડે થતાં કાર્ય માટે કૉલમ Aના વિકલ્પોનું કૉલમ Bના વિકલ્પો સાથે યથાર્થ જોડાણ કરો :
(x = 0 એ સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ સૂચવે છે.)

કૉલમ A	કૉલમ B
1. (Wસ્ટિંગ બળ)A → B	p. \(\frac{3}{2}\) J
2. (Wસ્પ્રિંગ બળ)B → C	q. 1 J
	r. \(\frac{1}{2}\) J

ઉત્તર:
(1 – p), (2 – r).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. (Wસ્ટિંગ બળ)A → B	p. \(\frac{1}{2}\)
2. (Wસ્પ્રિંગ બળ)B → C	r. \(\frac{1}{2}\) J

પ્રશ્ન 7.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઊર્ધ્વશિરોલંબ સમતલમાં m દળના બ્લૉકને Aથી C સુધી ત્રણ જુદા જુદા માર્ગો ABC, ADC અને AC પર ગતિ કરાવીને લઈ જવામાં આવે છે. આ ત્રણેય કિસ્સામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે થયેલા કાર્ય માટે કૉલમ A અને કૉલમ Bના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
1. (Wg)ABC	p. – mgh
2. (Wg)ADC	q. mgh
3. (Wg)AC

ઉત્તર:
(1 – p), (2 – p), (3 – p).

પ્રશ્ન 8.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક ખરબચડા સમક્ષિતિજ સમતલમાં mદળના બ્લૉક પર સમક્ષિતિજ દિશામાં બળ લગાડીને Aથી C સુધી ત્રણ જુદા જુદા માર્ગો ABC, ADC અને AC પર ગતિ કરાવીને લઈ જવામાં આવે છે. આ ત્રણેય કિસ્સામાં ઘર્ષણબળ દ્વારા થયેલા કાર્ય માટે કૉલમ A અને કૉલમ Bના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
1. (Wf)ABC	p. – μ mg (a + b)
2. (Wf)ADC	q. – μ mg (\(\sqrt{a^2+b^2}\))
3. (Wf)AC

ઉત્તર :
(1 – p), (2 – p), (3 – q).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. (Wf)ABC	p. – μ mg (a + b)
2. (Wf)ADC	p. – μ mg (a + b)
3. (Wf)AC	q. – μ mg (\(\sqrt{a^2+b^2}\))

પ્રશ્ન 9.
જડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમમાં કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનાં વિવિધ સ્વરૂપો માટે કૉલમ A અને કૉલમ Bના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો ઃ

કૉલમ A	કૉલમ B
1. Wબધાં બળો	p. 0
2. Wબધાં સંરક્ષી બળો	q. Δ E
3. Wબધાં અસંરક્ષી બળો	r. ΔK
	s. – ΔV

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – s), (3 – q).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. Wબધાં બળો	r. ΔK
2. Wબધાં સંરક્ષી બળો	s. – ΔV
3. Wબધાં અસંરક્ષી બળો	q. Δ E