GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 4 સમતલમાં ગતિ

Gujarat Board GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 4 સમતલમાં ગતિ Important Questions and Answers.

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 4 સમતલમાં ગતિ

પ્રશ્નોત્તર
પ્રશ્ન 1.
અદિશ રાશિઓ અને સદિશ રાશિઓ સમજાવો. સદિશ રાશિનું નિદર્શન કેવી રીતે થાય છે?
ઉત્તર:
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં બે પ્રકારની રાશિઓ છે :
1. અદિશ રાશિઓ અને
2. સદિશ રાશિઓ.

1. અદિશ રાશિઓ : જે રાશિઓના ફક્ત મૂલ્ય જાણવાથી તેમના વિશેની સંપૂર્ણ માહિતી મળી શકતી હોય, તેવી રાશિઓને અદિશ રાશિઓ કહે છે.
દા. ત., દળ, ઘનતા, કદ, તાપમાન, કાર્ય, વિદ્યુતભાર, ગણિતની સંખ્યાઓ વગેરે અદિશ રાશિઓ છે.

1. અદિશ રાશિને દર્શાવવા માટે તેનું મૂલ્ય યોગ્ય એકમ સાથે દર્શાવવામાં આવે છે.
2. અદિશ રાશિનું સંયોજન સામાન્ય બીજગણિતના નિયમોને અનુસરે છે. અદિશ રાશિઓના સરવાળા અને બાદબાકી ફક્ત સમાન એકમો ધરાવતી રાશિઓ માટે શક્ય છે. જ્યારે ગુણાકાર અને ભાગાકાર જુદા જુદા એકમો ધરાવતી અદિશ ભૌતિક રાશિ માટે કરી શકાય. દા. ત., એક લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે 1.0m અને 2.0m હોય, તો તેની પરિમિતિ 1.0m + 2.0 m + 1.0 m + 2.0 m = 6.0 m થાય. અહીં, લંબાઈ અને પિરિમિત એ અદિશ રાશિ છે અને તેમના એકમો સમાન છે.
   ધારો કે, એક સમઘનનું કદ 10^-3m³ અને દળ 2.0 kg હોય તો તેની ઘનતા = 2 × 10³ kg m^-3 થશે. અહીં કદ, દળ અને ઘનતા ત્રણેય અદિશ રાશિઓ છે અને તેમના એકમો પણ જુદા જુદા છે.

2. સદિશ રાશિઓ : જે રાશિઓ વિશેની સંપૂર્ણ માહિતી મેળવવા માટે તેમના મૂલ્ય ઉપરાંત દિશાની પણ જરૂર પડતી હોય અને તે સરવાળા માટેના ત્રિકોણનો નિયમ અથવા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમનું પાલન કરતી હોય તેને સદિશ રાશિઓ કહે છે. દા. ત., વેગ, પ્રવેગ, બળ, ક્ષેત્રફળ વગેરે સદિશ રાશિઓ છે.

• સદિશ રાશિને દર્શાવવા માટે સદિશના માનને સંખ્યા આપીને તથા દિશા આપીને સદિશ સ્વરૂપે રજૂ કરી શકાય છે.
• સદિશ રાશિને દર્શાવવા માટે તે રાશિની સંજ્ઞાને ઘાટા અક્ષર (Bold letter) અથવા તેની સંજ્ઞા પર તીર મૂકવામાં આવે છે.
  દા. ત., બળના સિંદેશને F અથવા $\vec{F}$ વડે દર્શાવાય છે. સદિશના માનને આછા અક્ષરો વડે દર્શાવી શકાય છે. દા. ત., બળના સદિશનું મૂલ્ય |$\vec{F}$| = F વડે દર્શાવાય.

પ્રશ્ન 2.
સદિશ રાશિઓને આકૃતિ સ્વરૂપે (ભૌમિતિક સ્વરૂપે) કેવી રીતે દર્શાવવામાં આવે છે?
ઉત્તર:
સદિશ રાશિને આકૃતિ સ્વરૂપે રજૂ કરવા માટે યોગ્ય લંબાઈનું તીર દોરવામાં આવે છે. યોગ્ય સ્કેલ લઈ આ તીરની લંબાઈ સદિશ રાશિના મૂલ્ય જેટલી લેવામાં આવે છે.

• સદિશ રાશિની અસર જે દિશામાં પ્રવર્તતી હોય, તે દિશામાં તીર મૂકવામાં આવે છે. તેને સદિશનું શીર્ષ (Head) કહે છે. તેના બીજા છેડાને સદિશની પુચ્છ (Tail) કહે છે.
• આ તીર ગમે તે બિંદુએથી દોરી શકાય છે. આવા સદિશોને મુક્ત સદિશો (Free vectors) કહે છે.
• દા. ત., એક ટ્રેન દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ 40 km/h ના વેગથી ગતિ કરે છે. આ વેગના સદિશને દર્શાવવા આકૃતિ 4.1માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે દક્ષિણથી ઉત્તર દિશામાં તીર દોરો. તીરની લંબાઈ વેગના મૂલ્યને સમપ્રમાણમાં લો. 10 km/h = 1 cm લેતાં, તીર 4 cm લંબાઈનું થશે.
• આકૃતિ 4.1માં Pને સદિશનું શીર્ષ અને Oને પુચ્છ કહે છે. વેગનો સિદેશ $\vec{v}=\overrightarrow{O P}$ વડે દર્શાવાય છે.

પ્રશ્ન 3.
સ્થાનસદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ભેદ સમજાવો.
ઉત્તર:
કોઈ સમતલમાં ગતિમાન પદાર્થનું સ્થાન સ્થાનસદિશ વડે દર્શાવી શકાય છે.

• કોઈ પણ સંદર્ભબિંદુથી વસ્તુના સ્થાન(કે બિંદુ)ને જોડતા સદિશને તે સંદર્ભબિંદુની સાપેક્ષે તે વસ્તુનો સ્થાનસદિશ કહે છે. તેને $\vec{r}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે યામાક્ષોના ઉગમબિંદુ (O)ને સંદર્ભબિંદુ તરીકે લેવામાં આવે છે.

• આકૃતિ 4.2માં દર્શાવ્યા મુજબ કોઈ ગ઼ PQP’S માર્ગે ગતિ કરે છે. t સમયે તે P બિંદુએ અને t’ સમયે તે P′ બિંદુએ છે. ઊગમબિંદુ O અને P ને સુરેખા વડે જોડતાં બનતો સિંદેશ
  $\overrightarrow{O P}=\vec{r}$ એ t સમયે સ્થાનસદિશ કહેવાય. તે જ રીતે $\overrightarrow{O P^{\prime}}=\overrightarrow{r^{\prime}}$ એ t’ સમયે કણનો સ્થાનસદિશ છે.
• સદિશ $\vec{r}$ ની લંબાઈ સદિશનું માન દર્શાવે છે અને તેની દિશા, બિંદુ O થી P તરફની છે.
• કણ t’ – t સમયગાળામાં બિંદુ Pથી બિંદુ P’ પર પહોંચે છે. આ ગતિને અનુલક્ષીને સદિશ $\overrightarrow{P P^{\prime}}$ને સ્થાનાંતર સદિશ
  (Displacement vector) કહે છે.
  સ્થાનાંતર = અંતિમ સ્થાન – પ્રારંભિક સ્થાન
  $\overrightarrow{P P^{\prime}}=\overrightarrow{r^{\prime}}-\vec{r}$
  સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{P P^{\prime}}$માં સદિશની પુચ્છ P પર અને શીર્ષ P’ પર હોય છે.
• ‘સ્થાનાંતર સદિશ’ એક સુરેખા વડે દર્શાવાય છે. તે કણની અંતિમ સ્થિતિ અને પ્રારંભિક સ્થિતિને જોડે છે. તે વાસ્તવિક પથ પર આધાર રાખતું નથી.

પ્રશ્ન 4.
નીચેનાં પદો સમજાવો :
1. સમાન દેિશો
2. ઋણ સદિશ
3. મુક્ત સદિશ
ઉત્તર:
1. સમાન સદિશો : જે બે સદિશોના માન અને દિશા સમાન હોય, તેવા સિંદેશો સમાન સિદશો કહેવાય છે.

આકૃતિ 4.3 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાન મૂલ્યોના અને એક જ દિશામાં હોવાથી, $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાન સદિશો છે. તેને $\vec{A}$ = $\vec{B}$ વડે દર્શાવાય છે.

• સદિશ $\vec{B}$ ને પોતાને સમાંતર એવી રીતે ખસેડવામાં આવે, જેથી તેની પુચ્છ Q એ સદિશ $\vec{A}$ ની પુચ્છ O પર સંપાત થાય. તેમજ તેમના શીર્ષ S અને P પણ સંપાત થાય તો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાન દિશો કહેવાય છે.
• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દિશો $\vec{A}$ અને $\vec{C}$ ના માન સમાન હોવા છતાં તેઓ સમાન દિશ નથી, કારણ કે તેમની દિશાઓ જુદી જુદી છે.

2. ઋણ સદિશ (Negative of a vector) : જે બે દિશોનું માન સમાન હોય, પરંતુ તેઓ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો બીજા દિશને પહેલા સિંદેશનો ઋણ સદિશ કહે છે. આકૃતિ 4.3 (b)માં સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ ના માન સમાન છે, પરંતુ તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં છે. આથી $\vec{P}$ = –$\vec{Q}$ અથવા $\vec{Q}$ = –$\vec{P}$.

૩. મુક્ત સદિશ (Free vector) : સદિશોને અવકાશમાં ચોક્કસ સ્થાન હોતું નથી. આવા સંદેશને પોતાને સમાંતર સ્થાનાંતરિત કરાવતા તે દિશ બદલાતો નથી. આવા સદિશોને મુક્ત સદિશ કહે છે. દા. ત., સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણના વેગનો સિદિશ એ મુક્ત સદિશ છે.

પ્રશ્ન 5.
વાસ્તવિક સંખ્યા વડે સદિશોના ગુણાકારની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
સદિશને વાસ્તવિક સંખ્યા વડે ગુણતાં મળતું પરિણામ સિદેશ રાશિ હોય છે.

• ધન સંખ્યા λ ને સદિશ $\vec{A}$ સાથે ગુણતાં મળતાં સદિશ λ$\vec{A}$ નું મૂલ્ય $\vec{A}$ ના મૂલ્ય કરતાં λ ગણું થાય છે.
  |λ$\vec{A}$| = λ |$\vec{A}$| (જો λ > 0 હોય તો)
• સદિશ $\vec{A}$ ને ઋણ સંખ્યા – λ વડે ગુણતાં પરિણામી દિશ – λ $\vec{A}$ની દિશા $\vec{A}$ ની દિશા કરતાં વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે અને તેનું મૂલ્ય |λ$\vec{A}$ | હોય છે. દા. ત., આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સિદેશ $\vec{A}$ ને 2 વડે ગુણવાથી પરિણામી સદિશ 2$\vec{A}$ મળશે. જેની દિશા $\vec{A}$ ની દિશામાં જ હશે તથા માન |$\vec{A}$| કરતાં બમણું હશે.
• સદિશ $\vec{B}$ ને – 1 વડે ગુણતાં તેનું પરિણામી સદિશ – $\vec{B}$ મળે છે, જેની દિશા $\vec{B}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં અને માન |$\vec{B}$| જેટલું હશે.
• λ એ ભૌતિક પરિમાણ ધરાવતો અદિશ પણ હોઈ શકે છે. આ કિસ્સામાં λ$\vec{A}$ ના પરિમાણλ અને $\vec{A}$નાં પરિમાણોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે.
  ઉદાહરણ તરીકે, સદિશ રાશિ વેગનો અદિશ રાશિ સમય સાથેનો ગુણાકાર સ્થાનાંતર સદિશ આપે છે.

સદિશોના સરવાળા બે અદિશ રાશિઓનો સરવાળો સામાન્ય બીજગણિતના સિદ્ધાંતથી થઈ શકે છે. દા. ત., 8 kg દળમાં 4 kg દળ ઉમેરવામાં આવે, તો કુલ 12 kg દળ થાય.

• પણ બે દિશોનો સરવાળો આ રીતે થાય નહિ, કારણ કે તેમને મૂલ્ય ઉપરાંત દિશા પણ હોય છે. એક જ ફૂટબૉલ ઉપર એક જ સમયે બે પ્લેયરો જુદી જુદી દિશામાં કિક લગાવવાનો પ્રયત્ન કરે અને કિકનાં બળો 8N અને 4N હોય, તો તેમની કુલ અસર શું 12N થશે? આપણો સામાન્ય અનુભવ કહે છે કે કુલ બળ 12N થાય નહિ.
• અહીં ફૂટબૉલ બે જુદી જુદી દિશામાં જઈ શકે નહિ. આથી આ બે દિશોનો પરિણામી સિંદેશ શોધવો પડે, જે ફૂટબૉલ પર લાગતા અસરકારક બળનું મૂલ્ય અને દિશા આપશે.
• પરિણામી સદિશ બે રીતે શોધી શકાય : (1) ત્રિકોણની રીત અને (2) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની રીત. આ બંને રીતોનો અભ્યાસ આપણે હવે પછીના પ્રશ્નોમાં કરીશું.

પ્રશ્ન 6.
સદિશોના સરવાળા માટેની આલેખની રીત (ત્રિકોણની રીત) જરૂરી આકૃતિ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
બે દિશોના ભૌમિતિક રીતે સરવાળા કરવા માટેની રીતને ત્રિકોણની રીત કહે છે.

• ધારો કે, આકૃતિ 4.5 (a) માં દર્શાવેલ એક જ સમતલમાં બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સરવાળો કરવો છે. આ સિંદેશોને દર્શાવતા રેખાખંડોની લંબાઈ દિશોના માનના સમપ્રમાણમાં છે.
• આકૃતિ 4.5 (b)માં દર્શાવ્યા મુજબ Oને સંદર્ભબિંદુ તરીકે લઈ, તેમાંથી $\vec{A}$ ના મૂલ્ય જેટલો અને $\vec{A}$ ની જ દિશામાં હોય તેવો એક સદિશ $\overrightarrow{O P}$ દોરો. આથી $\overrightarrow{O P}$ = $\vec{A}$ થશે.
• હવે, સદિશ $\overrightarrow{O P}$ ના શીર્ષ પર સદિશ $\vec{B}$ નું પુચ્છ મૂકીને $\overrightarrow{P Q}=\vec{B}$ દોરો.
• પ્રથમ સદિશ $\vec{A}$ ની પુચ્છ O અને દ્વિતીય સદિશ $\vec{B}$ ના શીર્ષ Q ને જોડતો સિદિશ $\overrightarrow{O Q}$ દોરતાં, $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો પરિણામી
  સદિશ $\vec{R}$ મળશે. અર્થાત્ $\vec{A}+\vec{B}=\overrightarrow{O Q}=\vec{R}$
  $\vec{R}$ એ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો દેિશ સરવાળો છે.
• આ રીતમાં કોઈ એક સદિશના શીર્ષ પર બીજા સદિશના પુચ્છને ગોઠવતા હોવાથી આ આલેખીય રીતને શીર્ષથી પુચ્છ રીત પણ કહે છે. સિંદેશોના સરવાળાની આ રીતમાં બે સદિશો અને તેમનો પરિણામી સદિશ ત્રિકોણની ત્રણ બાજુની રચના કરતી હોવાથી સદિશ સરવાળાની ત્રિકોણની રીત પણ કહે છે.

પ્રશ્ન 7.
સંદેશોના સરવાળાના ગુણધર્મો જણાવો અને તેની સાબિતી આપો.
ઉત્તર:
દેિશોના સરવાળાના ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:
(1) સદિશોના સરવાળા સમક્રમી (Commutative) છે. અર્થાત્
$\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}$
સાબિતી : આકૃતિમાં એક જ સમતલમાં આવેલા બે સિંદશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ધ્યાનમાં લો. આ બે દિશોનો સદિશ સરવાળો કરવો છે. આ દિશોને દર્શાવતા રેખાખંડો તેના માનના સમપ્રમાણમાં છે.

સદિશ $\vec{B}$ ને સદિશ $\vec{A}$ માં ઉમેરવા માટે સદિશ $\vec{B}$ ને એવી રીતે ગોઠવો, જેથી તેની પુચ્છ સદિશ $\vec{A}$ના શીર્ષ પર હોય. ત્યારબાદ $\vec{A}$ ની પુચ્છ અને $\vec{B}$ના શીર્ષ સાથે રેખા OQ જોડો. જે પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R_1}$ દર્શાવે છે. જે $\vec{A}$ અને $\vec{B}$નો સરવાળો છે. $\overrightarrow{R_1}=\vec{A}+\vec{B}$ (જુઓ આકૃતિ 4.6 (b)).

હવે, સિદેશ $\vec{B}$ ને દેિશ $\vec{A}$માં ઉમેરવા માટે સંદેશ $\vec{A}$ ને એવી રીતે ગોઠવો, જેથી તેની પુચ્છ સદિશ $\vec{B}$ના શીર્ષ પર હોય. ત્યારબાદ $\vec{B}$ની પુચ્છ અને $\vec{A}$ના શીર્ષ સાથે રેખા OP જોડો. જે $\vec{B}$ અને $\vec{A}$નો પરિણામી સદિશ $\overrightarrow{R_2}$ દર્શાવે છે.
$\overrightarrow{R_2}=\vec{B}+\vec{A}$ (જુઓ આકૃતિ 4.6 (c)).
આકૃતિ 4.6 (b) અને 4.6 (c) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, $\overrightarrow{R_1}$ અને $\overrightarrow{R_2}$ ના માન સમાન છે તેમજ તેમની દિશાઓ પણ સમાન છે.
∴ $\overrightarrow{R_1}$ = $\overrightarrow{R_2}$
∴ $\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}$

(2) સદિશોનો સરવાળો જૂથના નિયમ(Associative law)ને અનુસરે છે.
અર્થાત્ $(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})$.
આકૃતિમાં દર્શાવેલા ત્રણ સદિશો $\overrightarrow{O P}=\vec{A}$, $\overrightarrow{P Q}=\vec{B}$ અને $\overrightarrow{Q S}=\vec{C}$ ધ્યાનમાં લો. સદિશ $\vec{B}$ ને સદિશ $\vec{A}$ના શીર્ષ પર અને દિશ $\vec{C}$ને સંદેશ $\vec{B}$ના શીર્ષ પર ગોઠવેલ છે.

સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ અનુસાર,

સમીકરણ (4.1) અને (4.2) પરથી,
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})$
આમ, સિદેશોના સરવાળા જૂથના નિયમને અનુસરે છે.

પ્રશ્ન 8.
બે સદિશોની બાદબાકી કેવી રીતે થાય છે, તે સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 4.8(a)માં દર્શાવેલ બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ની બાદબાકી કરવી છે. $\vec{A}$ માંથી $\vec{B}$ બાદ કરવો છે, એટલે કે $\vec{A}$ માં – $\vec{B}$ દિશ ઉમેરવો. અર્થાત્ $\vec{B}$ના મૂલ્ય જેટલો જ, પરંતુ તેનાથી વિરુદ્ધ દિશામાંનો સદિશ ઉમેરવો.

આકૃતિ 4.8(b)માં $\vec{A}$ને $\overrightarrow{O P}$ વડે તથા – $\vec{B}$ને $\overrightarrow{P Q}$ વડે દર્શાવ્યા છે.
Δ OPQ માટે, $\overrightarrow{O P}$ + $\overrightarrow{P Q}$ = $\overrightarrow{O Q}$
$\vec{A}+(-\vec{B})=\vec{R}_1$
∴ $\vec{A}-\vec{B}=\vec{R}_1$
આમ, $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ની બાદબાકીનો દિશ $\vec{R}_1$ છે. આકૃતિમાં
$\vec{R}_2$ એ $\vec{A}$અને $\vec{B}$ નો સરવાળાનો સદિશ છે.
યાદ રાખો : $\vec{A}-\vec{B} \neq \vec{B}-\vec{A}$

પ્રશ્ન 9.
શૂન્ય સદિશ સમજાવો અને તેની લાક્ષણિકતાઓ જણાવો.
ઉત્તર:
શૂન્ય સદિશ : બે સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાંના સદિશોનો સરવાળો કરતાં મળતા દિશને શૂન્ય સદિશ કહે છે. તેને $\vec{0}$ વડે દર્શાવાય છે.
આમ, $\vec{A}-\vec{A}=\overrightarrow{0},|\overrightarrow{0}|$ = 0.
શૂન્ય સદિશનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાથી તેની નિશ્ચિત દિશા દર્શાવી શકાય નહિ.
લાક્ષણિકતાઓ : (1) કોઈ પણ સદિશમાં શૂન્ય સદિશ ઉમેરતાં કે બાદ કરતાં તે જ સદિશ મળે છે.
$\vec{A}+\overrightarrow{0}=\vec{A}, \vec{A}-\overrightarrow{0}=\vec{A}$

(2) કોઈ સદિશ $\vec{A}$ ને શૂન્ય વડે ગુણતાં આપણને શૂન્ય સદિશ મળે છે.
0$\vec{A}$ = $\vec{0}$

(3) શૂન્ય સદિશનો વાસ્તવિક સંખ્યા સાથેનો ગુણાકાર શૂન્ય સિંદેશ મળે છે.
λ$\vec{0}$ = $\vec{0}$
ઉદાહરણ : સ્થિર કાર માટે તેના વેગનો સંદેશ એ શૂન્ય સદિશ કહેવાય. અચળવેગથી ગતિ કરતી કાર માટે તેના પ્રવેગનો સદિશ શૂન્ય સદિશ છે.

પ્રશ્ન 10.
સદેિશોના સરવાળા માટેની સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની રીત યોગ્ય આકૃતિ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 4.9 માં દર્શાવ્યા મુજબ દિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સરવાળો કરવો છે.

સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સરવાળો કરવા માટે બંને સિદશોના પુચ્છ આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ સંદર્ભબિંદુ O પર લાવો. હવે, $\vec{A}$ ના શીર્ષથી $\vec{B}$ ને સમાંતર રેખા દોરો અને $\vec{B}$ ના શીર્ષથી $\vec{A}$ ને સમાંતર રેખા દોરી સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ OQSP પૂર્ણ કરો.

• જે બિંદુએ આ બે રેખાઓ છેદે છે ત્યાંથી તેને ઉગમબિંદુ O સાથે જોડી દો. ઉગમબિંદુ O માંથી દોરેલ વિકર્ણ $\overrightarrow{O S}$ એ પરિણામી સદિશ $\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}$ દર્શાવે છે. અર્થાત્ $\overrightarrow{O S}=\vec{A}+\vec{B}$.
• આ રીતને સંદેશોના સરવાળાની સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની રીત કહે છે.
• આકૃતિ 4.9 (c)માં $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો પરિણામી દિશ મેળવવા માટે ત્રિકોણની રીતનો ઉપયોગ કરેલ છે. અહીં, O$\overrightarrow{O S}$ એ પરિણામી સદિશ $\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}$ દર્શાવે છે.
• આ બંને આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, બંને રીતોમાં પરિણામી સદિશનું માન અને દિશા એક જ મળે છે, એટલે કે બંને રીતો એકબીજાને સમતુલ્ય છે.

વિશેષ સમજૂતી
સદિશ સંયોજનનાં વ્યવહારિક ઉદાહરણો :
(1) પક્ષી હવામાં ઊડીને જ્યારે ઉપરની દિશામાં જવા માગે, ત્યારે તે પોતાની બે પાંખો વડે હવાને $\overrightarrow{F_1}$ અને $\overrightarrow{F_2}$ જેટલા બળથી નીચે તરફ દબાવે (ખસેડે) છે. (જુઓ આકૃતિ 4.10)

આ બંને બળોની કાર્યરેખા બિંદુ O આગળ મળે છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર તે બિંદુએ હવામાં આ બળોના મૂલ્ય જેટલાં અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રત્યાઘાતી બળો $\overrightarrow{R_1}$ અને $\overrightarrow{R_2}$ મળે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ અનુસાર, આ પ્રત્યાઘાતી બળો $\overrightarrow{R_1}$ અને $\overrightarrow{R_2}$ નું પરિણામી બળ $\vec{R}$ પક્ષી પર ઉપરની દિશામાં લાગે છે, જે પક્ષીને ઉપરની દિશામાં જવા મદદ કરે છે.

(2)

આકૃતિ 4.11માં દર્શાવ્યા અનુસાર, ગોણ Y-આકારની ડાળીનું (લાકડાનું) બનેલ હોય છે. તેનાં બે પાંખિયાંના છેડે એક રબર બૅન્ડ બાંધેલી હોય છે. જ્યારે તેમાં પથ્થર ભરાવી રબર ખેંચવામાં આવે, ત્યારે રબરમાં તણાવ બળ T₁ અને T₂ અનુક્રમે $\overrightarrow{O A}$ અને $\overrightarrow{O B}$ દિશામાં ઉત્પન્ન થાય છે.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ અનુસાર, પરિણામી તણાવ બળ T, OC દિશામાં મળે છે. આથી પથ્થરને જ્યારે છોડવામાં આવે ત્યારે તે પરિણામી બળ Tની દિશામાં ઝડપથી આગળ ફેંકાય છે.

પ્રશ્ન 11.
બે સદિશોના સરવાળા માટેનો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ લખો અને સમજાવો.
ઉત્તર:
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ : આપેલ બે સદિશોને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ તરીકે લઈ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ પૂરો કરવામાં આવે, તો જે સામાન્ય બિંદુમાંથી બે સદિશો દોરેલા હોય, તેમાંથી દોરેલો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ આ બે સદિશોનો સરવાળો દર્શાવતો સદિશ બને છે.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો બીજો વિકર્ણ બે દિશોની બાદબાકી દર્શાવે છે.

આકૃતિ 4.12માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે, $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ને પાસપાસેની બાજુઓ તરીકે લઈ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ OQRP પૂરો કરો. અહીં, વિકર્ણ $\overrightarrow{O R}$ એ પરિણામી સદિશ $\vec{A}$ + $\vec{B}$ દર્શાવે છે
અને બીજો વિકર્ણ $\overrightarrow{Q P}$ એ $\vec{A}$ – $\vec{B}$ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 12.
સમતલમાં દિશોનું વિભાજન સમજાવો.
ઉત્તર:
દેિશને પરસ્પર લંબ ન હોય તેવી દિશાઓમાં વિભાજન કરી શકાય છે.

• આકૃતિ 4.13માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે એક સમતલમાં આવેલ દિશ $\vec{A}$ ને એવી રીતે વિભાજિત કરવો છે, જેનો એક ઘટક $\vec{a}$ ની દિશામાં અને બીજો ઘટક $\vec{b}$ ની દિશામાં હોય. અહીં, $\vec{A}$, $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ત્રણેય સમતલમાં આવેલ અશૂન્ય સદિશો છે.
• સદિશ $\vec{A}$ ને બે સદિશોના સરવાળારૂપે દર્શાવી શકાય. જેમાંનો એક સદિશ $\vec{a}$ ને વાસ્તવિક સંખ્યા λ વડે ગુણીને મેળવેલ હોય અને બીજો દિશ $\vec{b}$ ને વાસ્તવિક સંખ્યા μ વડે ગુણીને મેળવેલો હોય.

• આકૃતિ 4.13માં દર્શાવ્યા મુજબ $\vec{A}$ ની પુચ્છ Oમાંથી પસાર થતી અને $\vec{a}$ ને સમાંતર સુરેખા દોરો. તેવી જ રીતે $\vec{A}$ના શીર્ષ P માંથી પસાર થતી તથા $\vec{b}$ ને સમાંતર સુરેખા દોરો.
• આ બંને સુરેખાઓ બિંદુ Q આગળ છેદશે. આકૃતિ પરથી,
  $\vec{A}=\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O Q}+\overrightarrow{Q P}$ ……………. (4.3)
  જ્યાં, $\overrightarrow{O Q}$ એ $\vec{a}$ ને સમાંતર અને $\overrightarrow{Q P}$ એ $\vec{b}$ને સમાંતર સિદેશ છે.
  આથી $\overrightarrow{O Q}$ = λ $\vec{a}$ અને $\overrightarrow{Q P}$ = μ$\vec{b}$ ……………. (4.4)
  જ્યાં, λ અને μ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
  સમીકરણ (4.3) અને (4.4) પરથી,
  $\vec{A}$ = λ $\vec{a}$ + μ $\vec{b}$
• અહીં, સદિશ $\vec{A}$ નું λ $\vec{a}$ અને μ $\vec{b}$ સદિશોમાં વિભાજન કર્યું તેમ કહેવાય.

પ્રશ્ન 13.
એકમ સદિશ એટલે શું? તે કેવી રીતે મેળવાય છે? કાર્રેઝીય યામ-પદ્ધતિમાં એકમ સદિશનું નિરૂપણ કરો.
ઉત્તર:

એકમ દિશ એવો સંદેશ છે જેનું માન એક એકમ છે અને તે ચોક્કસ દિશાનું નિદર્શન કરે છે. તેને કોઈ એકમ કે પરિમાણ હોતા નથી. તે ફક્ત દિશા દર્શાવવા ઉપયોગી છે.

• એકમ સદિશને n̂(n કૅરેટ અથવા n હેટ અથવા n કૅપ એમ વંચાય) વડે દર્શાવાય છે.
• કોઈ પણ સદિશને તેના મૂલ્ય વડે ભાગતાં, તે સદિશની દિશામાંનો એકમ સદિશ મળે છે.
  $\hat{n}_{\mathrm{A}}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}=\frac{\vec{A}}{A}$
• આકૃતિ 4.14માં સદિશ $\vec{A}$ દર્શાવ્યો છે. ધારો કે, તેનું મૂલ્ય 5 છે. |$\vec{A}$| = 5 એકમ. આ $\vec{A}$ની દિશામાંના એકમ સંદેશને n̂_A વડે દર્શાવીએ, તો
  $\hat{n}_{\mathrm{A}}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}=\frac{\vec{A}}{5}$
  આ અર્થમાં, $\vec{A}$ = 5n̂_A
• આમ, કોઈ પણ સદિશને તેના મૂલ્ય અને સદિશની દિશામાંના એકમ દેિશના ગુણાકારના સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય.
• કાર્રેઝીય યામ-પદ્ધતિમાં એકમ સંદેશનું નિરૂપણ : કાર્સેઝીય યામ-પદ્ધતિમાં X-અક્ષની દિશામાંના એકમ સદિશને, î Y-અક્ષની દિશામાંના એકમ સદિશને ĵ અને Z-અક્ષની દિશામાંના એકમ સદિશને k̂વડે દર્શાવાય છે. |î| = [ĵ] = |k̂| = 1
  આકૃતિ 4.15માં $\vec{B}$ = 2î અને $\vec{C}$ = 3ĵ તેથી દિશ $\vec{A}$ ને નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય :
  $\overrightarrow{O P}=\vec{A}=\vec{B}+\vec{C}, \vec{A}$ = 2î + 3ĵ

પ્રશ્ન 14.
દ્વિ-પરિમાણમાં સદિશને પરસ્પર બે લંબઘટકોમાં કેવી રીતે વિભાજિત કરી શકાય? આ પરથી સિંદેશનું માન અને દિશા કેવી રીતે મળી શકે? સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 4.16 માં દર્શાવ્યા મુજબ XY સમતલમાં આવેલ દિશ $\vec{A}$ ને એકમ દિશો î અને ĵ ના ઘટક સદિશોમાં વિભાજિત કરવો છે.

ધારો કે, દેિશ $\vec{A}$ એ યામાક્ષોના ઊગમબિંદુ O પર છે. $\overrightarrow{O P}$ = $\vec{A}$ છે. સદિશ $\vec{A}$ના શીર્ષ પરથી X-અક્ષને લંબ એવી રેખા PM અને Y-અક્ષને લંબ એવી રેખા PN દોરો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ અનુસાર,
$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}$ ………… (4.5)
$\vec{A}=\vec{A}_x+\vec{A}_y$
અહીં, $\vec{A}_{\mathrm{x}}$ ને $\vec{A}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક અથવા X-દિશામાંનો સદિશ ઘટક કહે છે. $\vec{A}_{\mathrm{y}}$ ને $\vec{A}$નો ઊર્ધ્વદિશાનો ઘટક અથવા Y-દિશામાંનો દિશ ઘટક કહે છે.

$\vec{A}_{\mathrm{x}}$ એ એકમ સંદેશ î અને $\vec{A}_{\mathrm{y}}$ એ એકમ સંદેશ ĵ ને સમાંતર
હોવાથી,
$\vec{A}_{\mathrm{x}}$ = A_xî અને $\vec{A}_{\mathrm{y}}$ = A_y ĵ ……………. (4.6)

સમીકરણ (4.5) અને (4.6) પરથી,
$\vec{A}$ = A_xî + A_y ĵ ……………. (4.7)
જ્યાં, A_x અને A_y એ અનુક્રમે $\vec{A}_{\mathrm{x}}$ અને $\vec{A}_{\mathrm{y}}$ ના માન છે.
સદિશ $\vec{A}_{\mathrm{x}}$ અને $\vec{A}_{\mathrm{y}}$ ને સદિશ $\vec{A}$ના X અને Y ઘટકો કહે છે.

કોઈ ભૌતિક રાશિને રજૂ કરતા સંદેશનો કોઈ પણ દિશામાંનો ઘટક તે ભૌતિક રાશિની તે દિશામાંની અસરકારકતા સૂચવે છે.

આકૃતિમાં દર્શાવેલ Δ OMP કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
∴ cos θ = $\frac{O M}{O P}=\frac{A_{\mathrm{x}}}{A}$
∴ A_x = A cos θ …………… (4.8)
sin θ = $\frac{P M}{O P}=\frac{A_{\mathrm{y}}}{A}$
∴ A_y = A sin θ ………….. (4.9)
સમીકરણ (4.7), (4.8) અને (4.9) પરથી,
$\vec{A}$ = A cos θî + A sin θĵ ………………. (4.10)

સમીકરણ (4.7) અને (4.8) પરથી સ્પષ્ટ છે કે કોઈ સદિશના ઘટકો ધન, ઋણ કે શૂન્ય હોઈ શકે છે. જે ખૂણા θ ના મૂલ્ય પર આધારિત છે.
આમ, કોઈ પણ દિશનું બે પરસ્પર લંબઘટકોમાં વિભાજન કરી શકાય છે. સિંદેશને તેના ઘટકોના સ્વરૂપે નીચે મુજબ લખી શકાય :
$\vec{A}$ = A_xî + A_yĵ
$\vec{A}$ = A cos θ î + A sin θ ĵ
જ્યાં, θ એ X-અક્ષ સાથે બનાવેલ કોણ છે.
સદિશનું માન : સમીકરણ (4.8) અને (4.9) પરથી,
A_x² + A_y² = A² cos² θ + A² sin² θ
= A² (cos² θ + sin² θ)
∴ A_x² + A_y² = A²
∴ A = $\sqrt{A_{\mathrm{x}}^2+A_{\mathrm{y}}^2}$ …………… (4.11)
આમ, કોઈ સિંદેશનું મૂલ્ય તેના ઘટકોના વર્ગના સરવાળાના વર્ગમૂળ જેટલું હોય છે.
સદિશની દિશા : આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
tan θ = $\frac{P M}{O M}=\frac{A_{\mathrm{y}}}{A_{\mathrm{x}}}$
∴ θ = tan^-1($\frac{A_{\mathrm{y}}}{A_{\mathrm{x}}}$)
જ્યાં, θ એ સદિશ $\vec{A}$ વડે X-અક્ષની ધન દિશા સાથે રચાતો કોણ છે.

પ્રશ્ન 15.
ત્રિ-પરિમાણમાં આવેલ સદિશનું ત્રણ પરસ્પર લંબઘટકોમાં કેવી રીતે વિભાજન કરી શકાય? સમજાવો.
ઉત્તર:

આકૃતિ 4.17માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ત્રિ-પરિમાણમાં સદિશ $\vec{A}=\overrightarrow{O P}$ ધ્યાનમાં લો. બિંદુ Oને ઉગમબિંદુ તરીકે લઈ એક લંબઘન રચો જેની ત્રણ બાજુઓ X, Y અને Z અક્ષ પર સંપાત થાય અને તેનો એક વિકર્ણ $\overrightarrow{O P}=\vec{A}$ હોય. આ લંબઘનની બાજુઓ X, Y અને Z અક્ષોને છેદે છે તે રેખાખંડો એ સદિશ $\vec{A}$ ના ઘટકો અનુક્રમે $\overrightarrow{A_{\mathrm{x}}}, \overrightarrow{A_{\mathrm{y}}}$ અને $\overrightarrow{A_z}$ દર્શાવે છે.

$\overrightarrow{O Q}=\overrightarrow{A_{\mathrm{x}}}, \overrightarrow{T P}=\overrightarrow{O S}=\overrightarrow{A_{\mathrm{y}}}$ અને $\overrightarrow{O R}=\overrightarrow{A_z}$

• Δ OPTમાં સિંદેશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ અનુસાર,
  $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O T}+\overrightarrow{T P}$ ……………. (4.12)
  સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ORTQમાં સદિશ સરવાળાના નિયમ અનુસાર,
  $\overrightarrow{O T}=\overrightarrow{O R}+\overrightarrow{O B}$ ………….. (4.13)
  સમીકરણ (4.12) અને (4.13) પરથી,
  $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O R}+\overrightarrow{O Q}+\overrightarrow{T P}$
  $\overrightarrow{O R}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O S}$ (∵ $\overrightarrow{T P}=\overrightarrow{O S}$ છે.)
  ∴ $\vec{A}=\overrightarrow{A_{\mathrm{x}}}+\overrightarrow{A_{\mathrm{y}}}+\overrightarrow{A_{\mathrm{z}}}$ ………….. (4.14)
• X, Y અને Z અક્ષો પરના એકમ સદિશો î, ĵ અને k̂ હોય, તો ત્રિ-પરિમાણમાં સદિશ $\vec{A}$ને તેના ઘટકોના સ્વરૂપમાં નીચે
  મુજબ લખી શકાય :
  $\vec{A}$ = A_xî + A_yĵ + A_zk̂ …………. (4.15)
  અથવા $\vec{A}$ = (A_x, A_y, A_z)
  સદિશ $\vec{A}$ નું મૂલ્ય :
  Δ OTP કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,
  Op² = OT² + TP²
  Δ OTQ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,
  OT² = OQ² + QT²
  ∴ OP² = OQ² + OT² + TP²
  A² = A_x² + A_y² + A_z²
  ∴ A = $\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$
• જો સદિશ $\vec{A}$ ના X, Y અને Z અક્ષો સાથેના ખૂણાઓ અનુક્રમે α, β અને γ હોય, તો
  cos α = $\frac{A_{\mathrm{x}}}{A}$ અથવા A_x = A cos α
  cos β = $\frac{A_{\mathrm{y}}}{A}$ અથવા A_y = A cos β
  cos γ = $\frac{A_{\mathrm{z}}}{A}$ અથવા A_z = A cos γ
  cos α, cos β અને cos γ ને સંદેશ $\vec{A}$ ને direction of cosines કહે છે.
• A² = A_x² + A_y² + A_z²
  A² = A² cos² α + A² cos² β + A² cos² γ)
  = A² (cos² α + cos² β + cos² γ)
  ∴ cos² α + cos² β + cos² γ = 1.
  આમ, સદિશના direction of cosinesના વર્ગનો સરવાળો હંમેશાં એક હોય છે.

પ્રશ્ન 16.
સદિશોના સરવાળા-બાદબાકીની બૈજિક રીતનું વર્ણન કરો.
ઉત્તર:
સદિશોના સરવાળા : ધારો કે, $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ એ XY સમતલમાં આવેલ સિંદેશો છે.

• સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ના X-દિશાના ઘટકો અનુક્રમે A_x અને B_x છે તથા Y-દિશાના ઘટકો A_y અને B_y છે.
• સદિશોને તેના ઘટકોના સ્વરૂપે લખતાં,
  $\vec{A}$ = A_xî + A_yĵ
  $\vec{B}$ + B_xî + B_yĵ
  $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નો સરવાળો કરતાં મળતો પરિણામી સદિશ,
  $\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}$
  = (A_xî + A_yĵ) + (B_xî + B_yĵ)
  દિશોના સરવાળા સમક્રમી અને જૂથના નિયમને અનુસરે છે. તેથી,
  ∴ $\vec{R}$ = (A_x + B_x)î + (A_y + B_yĵ)
  $\vec{R}$ = R_xî + R_yĵ
  જ્યાં, R_x = A_x + B_x અને R_y = A_y + B_y છે.
• આમ, પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ નો દરેક ઘટક એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ના
  અનુરૂપ ઘટકોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
  પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય,
  $|\vec{R}|=\sqrt{R_{\mathrm{x}}^2+R_{\mathrm{y}}^2}$ અથવા
  $|\vec{R}|=\sqrt{\left(A_{\mathrm{x}}+B_{\mathrm{x}}\right)^2+\left(A_{\mathrm{y}}+B_{\mathrm{y}}\right)^2}$
  સદિશોની બાદબાકી :
  $\vec{R}=\vec{A}-\vec{B}$
  = (A_xî + A_yĵ) – (B_xî + B_xĵ)
  = (A_x – B_x)î + (A_y – B_y)ĵ
  = R_xî + R_yĵ
  જ્યાં, R_x = A_x – B_x અને R_y = A_y – B_y
  પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય,
  $|\vec{R}|=\sqrt{R_{\mathrm{x}}^2+R_{\mathrm{y}}^2}$ અથવા
  $|\vec{R}|=\sqrt{\left(A_{\mathrm{x}}-B_{\mathrm{x}}\right)^2+\left(A_{\mathrm{y}}-B_{\mathrm{y}}\right)^2}$
• આ રીતે ત્રિ-પરિમાણમાં,
  $\vec{A}$ = A_xî + A_yĵ + A_zk̂
  $\vec{B}$ = B_xî + B_yĵ + B_zk̂ હોય, તો પરિણામી સદેશ
  $\vec{R}=\vec{A}+\vec{B}$
  = (A_x + B_x) î + (A_y + B_y)ĵ + (A_z + B_z) k̂
  ∴ $\vec{R}$ = R_xî + R_yĵ + R_zk̂
  જ્યાં, R_x = A_x + B_x, R_y = A_y + B_y અને R_z = A_z + B_z

પ્રશ્ન 17.
આપેલ સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ના પરિણામી સદેશનું માન અને દિશા, તેમના માન અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા θના પદમાં મેળવો.
ઉત્તર:

આકૃતિ 4.18માં દર્શાવ્યા અનુસાર $\overrightarrow{O P}$ અને $\overrightarrow{O Q}$ બે સંદેશો
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ને રજૂ કરે છે. જેમની વચ્ચેનો ખૂણો ૭ છે. $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ને પાસપાસેની બાજુઓ તરીકે લઈને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ OQSP પૂરો કરો. વિકર્ણ $\overrightarrow{O S}$ એ પરિણામી દિશ $\vec{R}$ દર્શાવે છે.
$\vec{R}$ = $\vec{A}$ + $\vec{B}$

$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ના X અને Y ઘટકો નીચે મુજબ મળશે :
A_x = A, B_x = B cos θ
A_y = 0, B_y = B sin θ
R_x = A_x + B_x = A + B cos θ
R_y = A_y + B_y = 0 + B sin θ
$|\vec{R}|=\sqrt{R_{\mathrm{x}}^2+R_{\mathrm{y}}^2}$
= $\sqrt{(A+B \cos \theta)^2+B^2 \sin ^2 \theta}$
∴ $\vec{R}$ = $\begin{aligned} & \left(A^2+2 A B \cos \theta\right. \\ & \left.\quad+B^2 \cos ^2 \theta+B^2 \sin ^2 \theta\right)^{\frac{1}{2}} \end{aligned}$
પરંતુ B²cos² θ + B²sin² θ = B²
∴ $|\vec{R}|=\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos \theta}$ …………… (4.16)

સમીકરણ (4.16) એ પરિણામી સદેશનું માન આપે છે, તેને કોસાઇનનો નિયમ (Law of cosines) કહે છે.
હવે, Δ SONમાં tan α = $\frac{\mathrm{SN}}{\mathrm{ON}}$
∴ tan α = $\frac{S N}{O P+P N}$
∴ tan α = $\frac{B \sin \theta}{A+B \cos \theta}$ ……………. (4.17)
સમીકરણ (4.17) એ પરિણામી સદિશની દિશા, X-અક્ષની સાપેક્ષે આપે છે.

હવે, OS રેખાખંડ પ૨ PM લંબ દોરો. ધારો કે, ∠ OSP = β અને ∠ SOP = α છે.
Δ OSN માં sin α = $\frac{S N}{R}=\frac{B \sin \theta}{R}$
∴ R sin α = B sin θ
અથવા $\frac{R}{\sin \theta}=\frac{B}{\sin \alpha}$ …………….. (4.18)
Δ PMSમાં sin β = $\frac{P M}{S P}=\frac{P M}{B}$
∴ PM = B sin β …………… (4.19)
Δ OMPમાં sin α = $\frac{P M}{O P}=\frac{P M}{A}$
∴ PM = A sin α ………… (4.20)
સમીકરણ (4.19) અને (4.20) પરથી,
B sin β= A sin α
∴ = $\frac{B}{\sin \alpha}=\frac{A}{\sin \beta}$ ……………. (4.21)
સમીકરણ (4.18) અને (4.21) પરથી,
$\frac{R}{\sin \theta}=\frac{A}{\sin \beta}=\frac{B}{\sin \alpha}$ ……………. (4.22)

સમીકરણ (4.22)નો સાઇનનો નિયમ (Law of sines) કહે છે.
સમીકરણ (4.22) પરથી,
sin α = $\frac{B}{R}$sin θ
sin α = $\frac{B \sin \theta}{\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos \theta}}$ ………….. (4.23)
સમીકરણ (4.23) પરથી પરિણામી દિશની દિશા મેળવી શકાય છે.

પ્રશ્ન 18.
સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ના પરિણામી દિશનું માન અને દિશા તેમના માન અને તેમની વચ્ચેના ખૂણા ના પદમાં લખો અને નીચેના કિસ્સાઓ માટે પરિણામી સદિશ અને તેની દિશા મેળવો :
(a) સદિશ $\vec{A}$ અને સદિશ $\vec{B}$ એક જ દિશામાં હોય.
(b) સદિશ $\vec{A}$ અને સદિશ $\vec{B}$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોય.
(c) સદિશ $\vec{A}$ અને સદિશ $\vec{B}$ પરસ્પર લંબદિશામાં હોય.
ઉત્તર:
સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કોણ θ હોય, તો તેમના પરિણામી સિંદેશનું માન અને દિશા, θના સ્વરૂપે નીચેના સૂત્રથી અપાય છે :
પરિણામી સિંદેશનું માન
$|\vec{R}|=|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos \theta}$
પરિણામી સદિશની દિશા (X-અક્ષની સાપેક્ષે)
tan α = $\frac{B \sin \theta}{A+B \cos \theta}$

(a) $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ એક જ દિશામાં હશે, તો θ = 0°
∴ $|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos 0^{\circ}}$
= $\sqrt{A^2+B^2+2 A B}$ (∵ cos 0° = 1)
= $\sqrt{(A+B)^2}$
∴ |$\vec{A}+\vec{B}$| = A + B
$\vec{A}+\vec{B}$ ની દિશા, tan α = $\frac{B \sin 0^{\circ}}{A+B \cos 0^{\circ}}$ = 0
∴ α = tan^-1 (0) = 0°
આમ, જો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ એક જ દિશામાં હશે તો તેમના પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ નાં મૂલ્યોના સરવાળા જેટલું થશે અને તેની દિશા એ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ની દિશામાં હશે.

(b) જો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે, તો θ = 180°.
∴ $|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos 180^{\circ}}$
= $\sqrt{A^2+B^2-2 A B}$
= $\sqrt{(A-B)^2}$
∴ |$\vec{A}$ + $\vec{B}$ = A – B અથવા B – A
$\vec{A}$ + $\vec{B}$ ની દિશા, tan α = $\frac{B \sin 180^{\circ}}{A+B \cos 180^{\circ}}$ = 0°
∴ α = tan^-1 (0) = 0° અથવા 180°.
આમ, જો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે, તો પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય એ બે સદિશોના મૂલ્યના તફાવત બરાબર હશે અને તેની દિશા જે સદિશનું મૂલ્ય વધારે હશે તે દિશામાં હશે.

(c) જો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ પરસ્પર લંબદિશામાં હોય, તો θ = 90°
∴ $|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{A^2+B^2+2 A B \cos 90^{\circ}}$
= $\sqrt{A^2+B^2}$
tan α = $\frac{B \sin 90^{\circ}}{A+B \cos 90^{\circ}}=\frac{B}{A+0}=\frac{B}{A}$
∴ α = tan^-1($\frac{B}{A}$)

પ્રશ્ન 19.
દ્વિ-પરિમાણમાં ગતિ માટે સ્થાનસદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ સમજાવો.
ઉત્તર:
સ્થાનસદિશ : આકૃતિ 4.19 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ સમતલમાં ગતિ કરતો કણ t સમયે બિંદુ P સ્થાને છે. P બિંદુના યામ (x, y) છે. ઉગમબિંદુ Oની સાપેક્ષે તેનો સ્થાનસદિશ $\overrightarrow{O P}$ નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય :
$\overrightarrow{O P}$ = $\vec{r}$ = xî + yĵ = (x, y) ……………. (4.24)

જ્યાં, x અને y અનુક્રમે $\vec{r}$ના X-અક્ષ તથા Y-અક્ષ પરના ઘટકો છે.
આ સ્થાનસદિશનું મૂલ્ય |$\vec{r}$| = $\sqrt{x^2+y^2}$
સ્થાનાંતર સદિશ : આકૃતિ 4.19 (b)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે, ધારો કે કણ સમતલમાં વક્ર માર્ગે ગતિ કરે છે. t સમયે તે સ્થાન P પાસે છે અને t’ સમયે તે સ્થાન P′ પાસે છે. Pના યામ (x, y) અને Pના યામ (x’, y’) છે.
બિંદુ Pનો સ્થાનસદિશ, $\vec{r}$ = xî + yĵ
બિંદુ Pનો સ્થાનસદિશ, $\vec{r}$ = x’î + y’ĵ

• આથી Δ t = t’ – t સમયગાળામાં કણનું સ્થાનાંતર,
  Δ$\vec{r}$ = અંતિમ સ્થાન (P’) – પ્રારંભિક સ્થાન (P)
  (x’î + yĵ) – (xî + yĵ) = (x’ – x) î + (y’ – y)ĵ
  Δ$\vec{r}$ = Δxî + Δyĵ ………………. (4.25)
  જ્યાં, Δx =x’ – x અને Δy = y’ – y
  સમીકરણ (4.25)ને કણનો સ્થાનાંતર સદિશ કહે છે અને તેની દિશા Pથી P’ તરફની છે.
• આ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય,
  $|\Delta \vec{r}|=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}=\sqrt{\left(x^{\prime}-x\right)^2+\left(y^{\prime}-y\right)^2}$

પ્રશ્ન 20.
સમતલમાં ગતિ કરતા કણ માટે સરેરાશ વેગ અને તાત્ક્ષણિક વેગ સમજાવો. કણનો તાત્ક્ષણિક વેગ કઈ દિશામાં હશે?
ઉત્તર:
સરેરાશ વેગ :
[નોંધ : વિદ્યાર્થીએ આકૃતિ 4.19 (b) દોરવી.]
આકૃતિ 4.19 (b)માં દર્શાવ્યા મુજબ સમતલમાં ગતિ કરતો કણ t સમયે P સ્થાને અને t’ સમયે P’ સ્થાન પર છે.
Δ t = t’ – t સમયમાં તેનો સ્થાનાંતરનો સદિશ,
Δ$\vec{r}$ = Δxî + Δyĵ.

• પદાર્થના સ્થાનાંતર તથા તેને અનુરૂપ સમયગાળાના ગુણોત્તરને સરેરાશ વેગ $\bar{v}$ (અથવા <$\bar{v}$>) કહે છે.

$\overline{\boldsymbol{v}}=\frac{\Delta x \hat{i}+\Delta y \hat{j}}{\Delta t}=\frac{\Delta x}{\Delta t} \hat{i}+\frac{\Delta y}{\Delta t} \hat{j}$
∴ $\overline{\boldsymbol{v}}=\bar{v}_x \hat{i}+\bar{v}_y \hat{j}$ ……………… (4.26)
સમીકરણ (4.26) એ કણનો સરેરાશ વેગ દર્શાવે છે. જેની દિશા સ્થાનાંતરની દિશા Δ$\vec{r}$ની દિશામાં છે.
તાત્ક્ષણિક વેગ : ગતિમાન ણના સરેરાશ વેગમાં સમયગાળો શૂન્ય તરફ જાય ($\lim _{\Delta t \rightarrow 0}$) ત્યારે મળતા સરેરાશ વેગના સીમાંત મૂલ્યને કણનો તાત્ક્ષણિક વેગ કહે છે. એટલે કે,
$\vec{v}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$
∴ $\vec{v}=\frac{\overrightarrow{d r}}{d t}$ ……………. (4.27)

• તાત્ક્ષણિક વેગની દિશા સમજવા માટે આકૃતિ 4.20 (a)થી (d)ને ધ્યાનમાં લો.

આકૃતિમાં વક્રરેખા એ કણનો ગતિપથ દર્શાવે છે. t સમયે કણ સ્થાન P પર છે. P₁, P₂ અને P₃ અનુક્રમે Δ t₁, Δ t₂ અને Δ t₃ સમયગાળા બાદ કણનું સ્થાન દર્શાવે છે.

• Δ t₁, Δ t₂ અને Δ t₃ સમયગાળા દરમિયાન કણનું સ્થાનાંતર અનુક્રમે Δ $\overrightarrow{r_1}$, Δ $\overrightarrow{r_2}$ અને Δ $\overrightarrow{r_3}$ છે. આકૃતિ 4.20 (a)થી (c)માં Δ tના ક્રમશઃ ઘટતાં જતાં મૂલ્યો એટલે કે Δ t₁, Δ t₂ અને Δ t₃ (Δ t₁ > Δ t₂ > Δ t₃) માટે કણના સરેરાશ વેગ $\bar{v}$ની દિશા દર્શાવી છે જે અનુક્રમે સ્થાનાંતર Δ $\overrightarrow{r_1}$, Δ $\overrightarrow{r_2}$ અને Δ $\overrightarrow{r_3}$ની દિશામાં છે.
• જ્યારે Δ t → 0 થાય છે ત્યારે $\bar{v}$ની દિશા તે ગતિપથના બિંદુએ સ્પર્શકની દિશામાં મળે છે. આમ, Δ t
• 0 લેતાં, $\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ એક
  ચોક્કસ મૂલ્ય અને દિશા ધારણ કરે છે. જેને t સમયે કણનો બિંદુ P પાસેનો તાત્ક્ષણિક અથવા તત્કાલીન વેગ કહે છે.
  $\vec{v}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\overrightarrow{d r}}{d t}=\overrightarrow{\vec{r}}$
  અહીં, $\frac{\overrightarrow{d r}}{d t}$ ને $\vec{r}$નું t પ્રત્યે વિકલિત કહે છે. તેને $\vec{r}$ વડે પણ દર્શાવાય છે.
• આમ, કણના ગતિપથના કોઈ પણ બિંદુ પાસે તેનો વેગ તે બિંદુ પાસે ગતિપથને દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે અને તે કણની ગતિની દિશામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 21.
દ્વિ-પરિમાણમાં વેગના ઘટકો સમજાવો. આ ઘટકોના મૂલ્ય પરથી વેગનું મૂલ્ય અને દિશા કેવી રીતે મેળવી શકાય?
ઉત્તર:
આકૃતિ 4.21માં દર્શાવ્યા મુજબ એક કણ XY સમતલમાં ગતિ કરી, Δ t સમયગાળામાં બિંદુ Aથી બિંદુ B પર જાય છે. આ સમયગાળામાં તેનો સ્થાનાંતર સદિશ,

Δ$\vec{r}$ = Δxî + Δyĵ
તાત્ક્ષણિક વેગની વ્યાખ્યા અનુસાર, બિંદુ A આગળ કણનો વેગ,

• આકૃતિ 4.21માં બિંદુ A આગળ t સમયે વેગ $\vec{v}$ના ઘટકો દર્શાવ્યા છે.
• વેગનું મૂલ્ય, $|\vec{v}|=\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}$
• વેગની દિશા tanθ = $\frac{v_{\mathrm{y}}}{v_{\mathrm{x}}}$
  ∴ θ = tan^-1($\frac{v_{\mathrm{y}}}{v_{\mathrm{x}}}$)
  અહીં, θ એ વેગની દિશા અને X-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો છે.

પ્રશ્ન 22.
સમતલમાં ગતિ કરતા કણ માટે સરેરાશ પ્રવેગ અને તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ સમજાવો. તાત્ક્ષણિક પ્રવેગની દિશા વિશે સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
સરેરાશ પ્રવેગ : જો કણનો વેગ સમય સાથે બદલાતો હોય, તો કણની તેવી ગતિને પ્રવેગી ગતિ કહે છે. વેગમાં થતાં ફેરફારના સમયદરને પ્રવેગ કહે છે.

• ધારો કે, આકૃતિ 4.22 (a)માં દર્શાવ્યા અનુસાર t સમયે કણ XY સમતલમાં તેના ગતિપથના બિંદુ P પાસે છે. ત્યાં તેનો વેગ $\vec{v}$ છે. t’ સમયે કણ ગતિ કરીને બિંદુ P₁ પર જાય છે. જ્યાં તેનો વેગ $\vec{v}$‘ છે.
  આમ, Δ t = t’ – t સમયગાળામાં કણના વેગમાં થતો ફેરફાર,
  Δ$\vec{v}$ = $\vec{v}$‘ – $\vec{v}$ = Δυ_xî + Δυ_yĵ

• XY સમતલમાં ગતિમાન કણનો સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}$ તેના વેગમાં થતાં ફેરફાર તથા તેને અનુરૂપ સમયગાળાના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
  $\overline{\boldsymbol{a}}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\left(\Delta v_{\mathrm{x}} \hat{i}+\Delta v_{\mathrm{y}} \hat{j}\right)}{\Delta t}=\frac{\Delta v_{\mathrm{x}}}{\Delta t} \hat{i}+\frac{\Delta v_{\mathrm{y}}}{\Delta t} \hat{j}$
  ∴ $\overline{\boldsymbol{a}}=\bar{a}_{\mathrm{x}} \hat{i}+\bar{a}_{\mathrm{y}} \hat{j}$ ……………….. (4.28)
• સમીકરણ (4.28), કણનો સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}$ તેના ઘટકોના સ્વરૂપે દર્શાવે છે. તેની દિશાએ વેગનો ફેરફાર દર્શાવતા સદિશ Δ$\vec{v}$ ની દિશામાં હોય છે.
  તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ : ગતિમાન કણના સરેરાશ પ્રવેગમાં સમયગાળો શૂન્ય તરફ જાય ($\lim _{\Delta t \rightarrow 0}$) ત્યારે મળતા સરેરાશ પ્રવેગના સીમાંત મૂલ્યને તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ અથવા પ્રવેગ કહે છે.

• તાત્ક્ષણિક પ્રવેગની દિશા જાણવા માટે આકૃતિ 4.22 (a)થી (d) ધ્યાનમાં લો. t સમયે કણ P સ્થાને છે. Δ tના ક્રમશઃ ઘટતાં જતાં મૂલ્યો એટલે કે Δt₁, Δt₂, Δt₃ (Δt₁ > Δ t₂ > Δ t₃) સમયગાળા બાદ કણના સ્થાનને અનુક્રમે P₁, P₂, P₃ દ્વારા દર્શાવેલ છે. P, P₁, P₂ અને P₃ બિંદુઓએ વેગની દિશા પણ દર્શાવેલ છે.
• Δtના દરેક કિસ્સામાં Δ$\vec{v}$ સદિશ સરવાળાના નિયમ પરથી મેળવેલ છે. Δ$\vec{v}$ ની દિશા એ સરેરાશ પ્રવેગની દિશા દર્શાવે છે.
• જેમ જેમ Δ tનું મૂલ્ય ઘટતું જાય છે, તેમ Δ$\vec{v}$ નું માન અને દિશા એટલે કે પ્રવેગની દિશા પણ બદલાય છે. અંતમાં, Δt → 0 લક્ષમાં સરેરાશ પ્રવેગ એ તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ જેટલો થાય છે અને તેની દિશા આકૃતિ 4.22 (d)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે મળે છે.
  [એક પરિમાણમાં પદાર્થનો વેગ અને પ્રવેગ હંમેશાં સુરેખ પથ પર હોય છે. જ્યારે દ્વિ-પરિમાણમાં કે ત્રિ-પરિમાણમાં પદાર્થની ગતિ માટે વેગ અને પ્રવેગ સદિશો વચ્ચે 0° થી 180° વચ્ચેનો કોઈ પણ ખૂણો હોઈ શકે છે.]

પ્રશ્ન 23.
દ્વિ-પરિમાણમાં તાત્ક્ષણિક પ્રવેગને કાર્તેઝિયન ઘટકોના સ્વરૂપમાં દર્શાવો અને તે પરથી પ્રવેગનું મૂલ્ય કેવી રીતે મેળવી શકાય?
ઉત્તર:
તાત્ક્ષણિક પ્રવેગની વ્યાખ્યા અનુસાર,

જ્યાં, a_x = કણના પ્રવેગ $\vec{a}$ નો X-ઘટક
a_y = કણના પ્રવેગ $\vec{a}$ નો Y-ઘટક
a_x અને a_y ઘટકોને x અને y ના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય :

પ્રશ્ન 24.
એક-પરિમાણ અને દ્વિ-પરિમાણમાં વેગ અને પ્રવેગની અલગ અલગ દિશાઓની વેગ પર શું અસર થાય છે? સમજાવો.
ઉત્તર:

પ્રવેગ એટલે સમયને અનુલક્ષીને વેગના ફેરફારનો દર. વેગનો ફેરફાર ત્રણ રીતે સંભવી શકે છે :
(1) માત્ર વેગના મૂલ્યમાં ફેરફાર થવાથી.
(2) માત્ર વેગની દિશામાં ફેરફાર થવાથી.
(3) વેગની દિશા અને મૂલ્ય બંનેમાં ફેરફાર થવાથી.

(1) આકૃતિ 4.24માં દર્શાવ્યા મુજબ એક-પરિમાણમાં કણના પ્રવેગ
($\vec{a}$)ની દિશા વેગ ($\vec{υ}$)ની દિશામાં હોય, તો માત્ર વેગના મૂલ્યમાં વધારો થાય છે.

• જો કણનો પ્રવેગ ($\vec{a}$), વેગ ($\vec{υ}$)ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો વેગના મૂલ્યમાં માત્ર ઘટાડો થાય છે.
• દા. ત., કોઈ બૉલને સીધી રેખામાં ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે, તો બૉલ જેમ ઉપર જાય છે તેમ તેના વેગમાં ઘટાડો થાય છે.
  આ કિસ્સામાં વેગ $\vec{υ}$ અને $\vec{g}$ પ્રવેગ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. પરંતુ બૉલ જો ઉપરથી નીચે પડતો હોય, તો વેગ અને પ્રવેગ એક જ દિશામાં હોવાથી તેના વેગમાં સતત વધારો થયા કરે છે.

(2) દ્વિ-પરિમાણ(સમતલ)માં ગતિ કરતા કણ માટે વેગ ($\vec{υ}$) અને પ્રવેગ ($\vec{a}$) સદિશો વચ્ચે કોઈ પણ ખૂણો હોઈ શકે.

• આકૃતિ 4.25માં દર્શાવ્યા મુજબ જો પ્રવેગ $\vec{a}$ની દિશા વેગ ($\vec{υ}$)ની દિશાને લંબ હોય, તો માત્ર વેગની દિશામાં જ ફેરફાર થાય છે.

• દા. ત., સૂર્યને અનુલક્ષીને પૃથ્વીની ગતિ લગભગ વર્તુળાકાર માનીએ તો તેના વેગનું મૂલ્ય બદલાતું નથી પણ તેની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. આ કિસ્સામાં $\vec{a}$ ⊥ $\vec{υ}$ હોય છે.
• વક્ર પથ પર ગતિ કરતા ણનો પ્રવેગ, તેના વેગનું મૂલ્ય અને દિશા બંને બદલવાથી થાય છે.

(3) આકૃતિ 4.26 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ જો પ્રવેગ $\vec{a}$ ની દિશા અને વેગ $\vec{υ}$ ની દિશા વચ્ચે અમુક ખૂણો (0°, 90° અથવા 180° સિવાયનો) બનતો હોય, તો પ્રવેગના બે ઘટકો લઈ શકાય.

(i) પ્રવેગ $\vec{a}$ નો વેગને સમાંતર ઘટક $\vec{a}$_|| આ ઘટકને કારણે માત્ર વેગના મૂલ્યમાં ફેરફાર થાય છે.
(ii) પ્રવેગ $\vec{a}$ નો વેગને લંબઘટક $\vec{a}$_⊥ આ ઘટકને કારણે માત્ર વેગની દિશામાં ફેરફાર થાય છે.
$\vec{a}$ = $\vec{a}$_|| + $\vec{a}$_⊥

પ્રશ્ન 25.
સમતલમાં (દ્વિ-પરિમાણમાં) થતી અચળ પ્રવેગી ગતિનાં સમીકરણો મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, કોઈ કણ XY સમતલમાં અચળ પ્રવેગ $\vec{a}$ થી ગતિ કરે છે.
t = ૦ સમયે તેનો વેગ $\vec{υ}$₀ છે.
t = t સમયે તેનો વેગ $\vec{υ}$ છે.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી, કોઈ પણ સમયગાળામાં કણનો સરેરાશ પ્રવેગ અને તત્કાલીન પ્રવેગ સમાન હશે.
∴ પ્રવેગ $\vec{a}=\frac{\vec{v}-\vec{v}_0}{t-0}$ …………. (4.30)
∴ $\vec{v}=\vec{v}_0+\overrightarrow{a t}$ …………….. (4.31)
$\vec{υ}$ ને તેના X અને Y ઘટકોના સ્વરૂપમાં લખતાં,
υ_x = υ_0x + a_xt ……….. . (4.32)
υ_y = υ_0y + a_yt …………. (4.33)

ધારો કે, t = 0 સમયે કણનું સ્થાન $\vec{r}_0$ અને t = t સમયે $\vec{r}$ છે.
આ સમયગાળામાં કણનો સરેરાશ વેગ
= $\frac{\vec{v}_0+\vec{v}}{2}$ ……………. (4.34)
∴ t સમયમાં થતું સ્થાનાંતર = સરેરાશ વેગ × સમય

આ સમીકરણને X અને Y ઘટકોના રૂપમાં લખતાં,
x = x₀ + υ_0xt + $\frac{1}{2}$a_xt² ……….. (4.38)
y = y₀ + υ_0yt + $\frac{1}{2}$a_yt² ……………. (4.39)

સમીકરણ (4.38) અને (4.39)થી કણની X અને Y દિશામાંની ગતિઓને એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે વર્ણવી શકાય છે.

સમીકરણ (4.30) અને (4.35)નો ડોટ ગુણાકાર લેતાં,

પ્રશ્ન 26.
કોઈ નિર્દેશ-ફ્રેમની સાપેક્ષે બે પદાર્થોના સાપેક્ષ વેગની આ સાપેક્ષ વેગ કયા સંજોગોમાં સાચો ઠરે છે? ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:

ધારો કે, કોઈ નિર્દેશ-ફ્રેમ(દા. ત., પૃથ્વી)ને સાપેક્ષે કણ A નો વેગ $\vec{v}_{\mathrm{A}}$ અને કણ Bનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{\mathrm{B}}$ છે.
∴ કણ Bની સાપેક્ષે કણ Aનો વેગ,
$\vec{v}_{\mathrm{A}, \mathrm{B}}=\vec{v}_{\mathrm{A}}-\vec{v}_{\mathrm{B}}$ ………….. (4.41)
કણ Aની સાપેક્ષે Bનો વેગ,
$\vec{v}_{\mathrm{B}, \mathrm{A}}=\vec{v}_{\mathrm{B}}-\vec{v}_{\mathrm{A}}$ …………….. (4.42)
સમીકરણ (4.41) અને (4.42) પરથી,
= \(\vec{v}_{\mathrm{A}, \mathrm{B}}=-\vec{v}_{\mathrm{B}, \mathrm{A}}[latex] અને [latex]\left|\vec{v}_{\mathrm{A}, \mathrm{B}}\right|=\left|\vec{v}_{\mathrm{B}, \mathrm{A}}\right|[latex]
એટલે કે Aની સાપેક્ષે Bનો વેગ અને Bની સાપેક્ષે A ના વેગનું મૂલ્ય સમાન હોય છે.

વ્યાપક રીતે લખતાં, જો કોઈ પણ પદાર્થો P અને Qના કોઈ ત્રીજા પદાર્થ X ની સાપેક્ષે વેગ જાણતા હોઈએ, તો
Pનો Qની સાપેક્ષે વેગ
= (Xની સાપેક્ષે Pનો વેગ) – (Xની સાપેક્ષે છુનો વેગ)

સમીકરણ (4.43) અને (4.44) સાપેક્ષ વેગનાં સૂત્રો નીચેના સંજોગોમાં જ વાપરી શકાય :

1. ગતિ કરતા પદાર્થના વેગ કે નિર્દેશ-ફ્રેમોના વેગ બહુ મોટા ના હોવા જોઈએ.
2. ગતિ કરતા પદાર્થો ચાકગતિ (ભ્રમણ) કરતા ના હોવા જોઈએ.
3. આ પદાર્થોના વેગ, પ્રકાશના વેગ (3 × 10⁸ms^-1)ની નજીક ના હોવા જોઈએ.
4. દરેક નિર્દેશ-ફ્રેમમાં માપેલ વેગ માટેના સમયગાળા સમાન હોવા જોઈએ.

વધારાની માહિતી
બે પદાર્થો એકબીજા સાથે કોઈ ખૂણો રચી ગતિ કરે ત્યારે સાપેક્ષ વેગ અને તેની દિશાઃ

• આકૃતિ 4.28માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બે પદાર્થો A અને Bના વેગો અનુક્રમે [latex]\vec{v}_{\mathrm{A}}\) અને $\vec{v}_{\mathrm{B}}$ વચ્ચે છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો θ છે. Bની સાપેક્ષે Aનો વેગ શોધવા બંનેના વેગોમાં –$\vec{v}_{\mathrm{B}}$ ઉમેરતાં પદાર્થ B સ્થિર થશે અને પદાર્થ Aનો વેગ $\vec{v}_{\mathrm{A}}$ – $\vec{v}_{\mathrm{B}}$ થશે.
• આકૃતિ 4.28માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સદિશ સરવાળા માટે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો નિયમ વાપરતાં,
  $\overrightarrow{O R}=\overrightarrow{O P^{\prime}}+\overrightarrow{O Q}$
  ∴ $\overrightarrow{O R}=\vec{v}_{\mathrm{AB}}=\vec{v}_{\mathrm{A}}-\vec{v}_{\mathrm{B}}$
  અહીં, $\overrightarrow{O R}$ એBની સાપેક્ષે Aનો વેગ દર્શાવે છે.
  આ સાપેક્ષ વેગ (υ_AB)નું મૂલ્ય,
  υ_AB = $\sqrt{v_{\mathrm{A}}^2+v_{\mathrm{B}}^2+2 v_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{B}} \cos (180-\theta)}$
  = $\sqrt{v_{\mathrm{A}}^2+v_{\mathrm{B}}^2-2 v_{\mathrm{A}} v_{\mathrm{B}} \cos \theta}$ …………. (4.45)
• જો $\vec{v}_{\mathrm{AB}}$ એ $\vec{v}_{\mathrm{A}}$ સાથે β કોણ બનાવતો હોય, તો
  tan β = $\frac{v_{\mathrm{B}} \sin (180-\theta)}{v_{\mathrm{A}}+v_{\mathrm{B}} \cos (180-\theta)}$
  = $\frac{v_{\mathrm{B}} \sin \theta}{v_{\mathrm{A}}-v_{\mathrm{B}} \cos \theta}$ …………… (4.46)

પ્રશ્ન 27.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ (Projectile motion) કોને કહેવાય? ઉદાહરણ આપી સમજાવો.
ઉત્તર:
જ્યા૨ે કોઈ પદાર્થને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રમાં ફેંકવામાં આવે ત્યારે તે નિયમિત સમક્ષિતિજ વેગ અને નિયમિત
ઊર્ધ્વપ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. પદાર્થની આવી દ્વિ-પારિમાણિક ગતિને પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કહે છે અને આવા પદાર્થને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ (Projectile) કહે છે.
દા. ત., (1) કિક મારી ઉછાળેલા ફૂટબૉલની ગતિ (2) બૅટ્સમૅને ફટકારેલા બૉલની હવામાં ગતિ (3) વિમાનમાંથી નીચે ફેંકેલા બૉમ્બની ગતિ (4) ગતિશીલ ટ્રેનની બારીમાંથી બહાર ફેંકેલા પદાર્થની ગતિ (5) બંદૂકમાંથી છૂટેલી ગોળીની ગતિ

• ઉપરના દરેક ઉદાહરણમાં હવાના અવરોધને અવગણેલ છે.
• પ્રક્ષિપ્ત ગતિ એ એકસાથે પરસ્પર લંબદિશામાં થતી બે જુદી જુદી સ્વતંત્ર ઘટક ગતિઓની પરિણામી ગતિ છે.
  (1) એક ઘટક ગતિ, જે સમક્ષિતિજ દિશામાં અચળ વેગથી થાય છે.
  (2) બીજી ઘટક ગતિ, જે શિરોલંબ દિશામાં અચળ પ્રવેગ- (ગુરુત્વાકર્ષી પ્રવેગ g)થી થાય છે.
  અહીં, બંને ઘટક ગતિઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે.
• પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ જે માર્ગે ગતિ કરે છે, તેને ગતિપથ (Trajectory) કહે છે. સામાન્ય રીતે આ ગતિપથ પરવલયાકારનો હોય છે.

પ્રશ્ન 28.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરતા પદાર્થનું t સમયે સ્થાનાંતર અને વેગના X અને Y ઘટકોનાં સૂત્રો મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 4.29માં દર્શાવ્યા અનુસાર, ધારો કે કોઈ પદાર્થને X-અક્ષ સાથે θ₀ જેટલો ખૂણો બનાવતી દિશામાં $\vec{v}_0$ જેટલા વેગથી ફેંકવામાં આવે છે.

• પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર લાગતો પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ g છે.
  અહીં, તે ઋણ Y-અક્ષની દિશામાં છે.
  ∴ $\vec{a}$ = – gĵ
  આ પ્રવેગના X અને Y ઘટકો નીચે મુજબ થશે :
  a_x = 0 અને a_y = -g …………….. (4.47)
• પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_0$ ના X અને Y ઘટકો નીચે મુજબ થશે :
  υ_0x = υ₀ cos θ₀ ………….. (4.48)
  υ_0y = υ₀ sin θ₀ ………….. (4.49)
• જે બિંદુએથી પદાર્થને પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, તે બિંદુને ઉદ્ગમબિંદુ આગળ લેતાં પ્રક્ષિપ્ત બિંદુના યામ નીચે મુજબ મળશે :
  x₀ = 0 અને y₀ = 0 …………….. (4.50)
• t સમયમાં પદાર્થે X-દિશામાં કરેલ સ્થાનાંતર,
  x = x₀ + υ_0xt + = $\frac{1}{2}$a_xt²
  = υ_0xt (∵ x₀ = 0 અને a_x = 0 છે.)
  ∴ x = (υ₀ cos θ₀) t [સમીકરણ (4.48) અનુસાર] ………….. (4.51)
• t સમયમાં પદાર્થે Y-દિશામાં કરેલ સ્થાનાંતર,
  y = y₀ + υ_0yt + = $\frac{1}{2}$a_yt²
  = υ_0yt + $\frac{1}{2}$ (- g) t² (∵ y₀ = 0 અને a_y = -g છે.)
  ∴ y = (υ₀ sin θ₀) t – $\frac{1}{2}$ gt² [સમીકરણ (4.49) અનુસાર] ………….. (4.52)
• t સમયે પદાર્થના વેગનો X-ઘટક (સમક્ષિતિજ ઘટક) :
  υ_x = υ_0x + aυ_xt
  = υ_0x (∵ aυ_x = 0)
  ∴ υ_x = υ₀ cos θ₀ [સમીકરણ (4.48) પરથી] ………….. (4.53)
• t સમયે પદાર્થના વેગનો Y-ઘટક (શિરોલંબ ઘટક) :
  υ_y = υ_0y + aυ_yt
  ∴ υ_y = υ₀ sin θ₀ – gt
  [સમીકરણ (4.47) અને (4.49) પરથી] ……………… (4.54)
• સમીકરણ (4.53) દર્શાવે છે કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક છ× સમય સાથે બદલાતો નથી, એટલે કે અચળ રહે છે. સમીકરણ (4.54) દર્શાવે છે કે વેગનો શિરોલંબ ઘટક સમય સાથે બદલાય છે.

પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના વેગના ઘટકો υ_x અને υ_y સમય સાથે કેવી રીતે બદલાય છે તે આકૃતિ 4.30માં દર્શાવેલ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક : υ_x = υ₀ cos θ₀
ઊર્ધ્વઘટક : υ_y = υ₀ sin θ₀ – gt
આ સમીકરણોમાં t નાં જુદાં જુદાં મૂલ્યો મૂકી υ_x અને υ_y ની ગણતરી થઈ શકે.

• આકૃતિ 4.30 પરથી સ્પષ્ટ છે કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે તે પહેલાં તેના ઊર્ધ્વઘટક υ_yનું મૂલ્ય સમય સાથે ઘટતું જાય છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગનો ઊર્ધ્વ- ઘટક શૂન્ય (υ_y = 0) થાય છે. ત્યારબાદ υ_y નું મૂલ્ય ઋણ દિશામાં સમય સાથે વધતું જાય છે.
• પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન સમક્ષિતિજ ઘટક υ_x નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
• t સમયે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના વેગનું મૂલ્ય, ડોય છે.
  $|\vec{v}|=\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}$
  = $\sqrt{\left(v_0 \cos \theta_0\right)^2+\left(v_0 \sin \theta_0-g t\right)^2}$
• જો t સમયે $\vec{v}$ અને X-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો θ હોય, તો
  tan θ = $\frac{v_{\mathrm{y}}}{v_{\mathrm{x}}}$ અથવા θ = tan-1 ($\frac{v_{\mathrm{y}}}{v_{\mathrm{x}}}$).
  મહત્તમ ઊંચાઈએ υ_y = 0 હોવાથી,
  θ = tan^-1($\frac{0}{v_{\mathrm{x}}}$)

પ્રશ્ન 29.
સાબિત કરો કે, પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ પરવલયાકાર હોય છે.
અથવા
પ્રક્ષિપ્ત ગતિની વ્યાખ્યા આપી, ગતિપથનું સમીકરણ y = (tan θ₀) x – $\frac{g}{2\left(v_0 \cos \theta_0\right)^2}$ x² મેળવો.
ઉત્તર:

– ધારો કે, એક પદાર્થને ઉગમબિંદુ O આગળથી સમક્ષિતિજ સાથે θ₀ કોણ રાખીને $\vec{v}_0$ વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. આથી પ્રક્ષિપ્ત બિંદુના યામ,
x₀ = 0 અને y₀ = 0

• પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_0$ ના ઘટકો,
  υ_0x = υ₀ cos θ₀ …………. (4.55)
  υ_0y = υ₀ sin θ₀ ……………… (4.56)
• પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર લાગતો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ g છે. તે અધોદિશામાં લાગે છે.
  ∴ $\vec{a}$ = – gĵ અને તેના ઘટકો,
  a_x = 0 અને
  a_y = -g ……….. (4.57)
• સમક્ષિતિજ ગતિઃ t સમયમાં પદાર્થે સમક્ષિતિજ દિશામાં કાપેલ અંતર,
  x = x₀ + υ_0xt + $\frac{1}{2}$ a_xt²
  સમીકરણ (4.55) અને (4.57) પરથી,
  x = (υ₀ cos θ₀) t ………….. (4.58)
  ઊર્ધ્વગતિ : t સમયમાં ઊર્ધ્વદિશામાં કાપેલ અંતર,
  y = y₀ + υ_0yt + $\frac{1}{2}$ a_yt²
  સમીકરણ (4.56) અને (4.57) પરથી,
  y = 0 + (υ₀ sin θ₀) t + $\frac{1}{2}$(-g) t²
  = (υ₀ sin θ₀) t – $\frac{1}{2}$gt² ………… (4.59)
• સમીકરણ (4.58) પરથી,
  t = $\frac{x}{v_0 \cos \theta_0}$ …………. (4.60)
  સમીકરણ (4.59) માં t નું મૂલ્ય મૂકતાં,
  y = (υ₀ sin θ₀) ($\frac{x}{v_0 \cos \theta_0}$) – $\frac{1}{2}$g ($\frac{x}{v_0 \cos \theta_0}$)²
  ∴ y = x tan θ₀ – $\frac{g}{2\left(v_0 \cos \theta_0\right)^2}$ · x² …………. (4.61)
• સમીકરણ (4.61)માં υ₀, θ₀ અને g અચળ છે. તેથી આ સમીકરણને y = ax + bx² સ્વરૂપનું ગણી શકાય, જે પરવલયનું સમીકરણ હોવાથી સાબિત થાય છે કે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથ પરવલય આકારનો હોય છે. અહીં, a અને b અચળાંકો છે.

પ્રશ્ન 30.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા લાગતા સમય t_mનું સૂત્ર મેળવો તથા કુલ ઉડ્ડયન સમય T_fનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:

જે ઊંચાઈએ પદાર્થના વેગનો y-ઘટક υ_y (ઊર્ધ્વદિશાનો વેગ) શૂન્ય બને છે અને પદાર્થ નીચે તરફ ગતિની શરૂઆત કરે તે ઊંચાઈને પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ કહે છે.

મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે લાગતો સમય (Time taken to reach to maximum height) : ધારો કે, મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરતા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને t_m સમય લાગે છે.

પ્રક્ષિપ્ત ગતિના વેગનો Y-ઘટક υ_y = υ_0y + a _yt
આ સમીકરણમાં υ_0y = υ₀ sin θ₀ અને a_y = -g મૂકતાં,
υ_y = υ₀ sin θ₀ – gt
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગનો y દિશામાંનો ઘટક υ_y શૂન્ય થાય છે.
∴ 0 = υ₀ sin θ₀ – gt_m
∴ t_m = $\frac{v_0 \sin \theta_0}{g}$ …………. (4.62)
કુલ ઉડ્ડયન સમય T_f (Time of flight) : પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થે t સમયમાં ઊર્ધ્વદિશામાં કાપેલ અંતર,
y = (υ₀ sin θ₀) t – $\frac{1}{2}$gt² ………… (4.63)
કુલ ઉડ્ડયન સમયને અંતે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થે ઊદિશામાં કાપેલ અંતર શૂન્ય હોય છે. તેથી સમીકરણ (4.63)માં y = 0 મૂકવાથી કુલ ઉડ્ડયન સમય T_f માટેનું સૂત્ર મળશે.
0 = (υ₀ sin θ₀) T_f – $\frac{1}{2}$gT_f²
∴ 0 = (υ₀ sin θ₀) – $\frac{1}{2}$gT_f
∴ $\frac{1}{2}$gT_f = υ₀ sin θ₀
∴ T_f = = 2t_m ………… (4.64)

પ્રશ્ન 31.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થે પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ h_mનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
મહત્તમ ઊંચાઈ (Maximum height-h_m) : પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થે t સમયમાં ઊર્ધ્વદિશા(Y-અક્ષની દિશા)માં કાપેલું અંતર,
y = y₀ + υ_oyt + $\frac{1}{2}$ a_yt²
સમીકરણમાં y₀ = 0 υ_oy = υ_oy = υ₀ sin θ₀, a_y = -g મૂકતાં,
y = (υ₀ sin θ₀) t – $\frac{1}{2}$ gt² ……………. (4.65)
મહત્તમ ઊંચાઈ (h_m) પ્રાપ્ત કરવા માટે લાગતો સમય t_m હોવાથી,

પ્રશ્ન 32.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવિધ R માટેનું સૂત્ર મેળવો તથા તેના પરથી મહત્તમ અવધિનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (Range of projectile) : પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થે પોતાની પ્રારંભિક સ્થિતિ(x₀ = 0, y₀ = 0) માંથી અંતિમ સ્થિતિ (કે જ્યાં ફરીથી y = 0 થાય છે) સુધી પહોંચતા, સમક્ષિતિજ દિશામાં કાપેલ કુલ અંતરને તેની અવિધ (R) કહે છે. આ અંતર કાપતા તેને T_f જેટલો સમય લાગે છે.
t સમયમાં પદાર્થે સમક્ષિતિજ દિશામાં કાપેલ અંતર,
x = (υ₀ cos θ₀) t
આ સૂત્રમાં x = R અને t = T_f મૂકતાં અવિધ માટેનું સૂત્ર મળે.
R = (υ₀ cos θ₀) T_f
પરંતુ T_f = $\frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g}$ છે.
∴ R = (υ₀ cos θ₀) ($\frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g}$)
= $\frac{v_0^2\left(2 \sin \theta_0 \cos \theta_0\right)}{g}$
R = $\frac{v_0^2 \sin 2 \theta_0}{g}$ ………. (4.67)
મહત્તમ અવિધ : મહત્તમ અવિધ મેળવવા માટે sin 2θ₀ = 1
∴ 2θ = $\frac{\pi}{2}$ rad
∴ θ₀ = $\frac{\pi}{4}$ rad અથવા θ₀ = 45°
∴ R_max = $\frac{v_0^2}{g}$ ……… (4.68)
આથી સ્પષ્ટ છે કે, જો પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે θ = $\frac{\pi}{4}$ rad કોણે ફેંકવામાં આવે, તો તે આપેલ વેગ υ₀ માટે મહત્તમ અવિધ પ્રાપ્ત કરશે.

વધારાની માહિતી
સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત ગતિઃ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ h ઊંચાઈએથી એક પદાર્થને સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રારંભિક વેગ υ₀થી પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. આ પદાર્થ બે સ્વતંત્ર ગતિઓની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે.
(1) સમક્ષિતિજ દિશામાં અચળ વેગ υ₀થી ગતિ કરે છે. (υ_0x) = υ₀), υ_0y = 0)
(2) શિરોલંબ અધોદિશામાં અચળ પ્રવેગ gથી ગતિ કરે છે.
આ બે ગતિઓના પરિણામે પદાર્થ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ OPA માર્ગે ગતિ કરે છે.

પદાર્થનો ગતિપથ : t = 0 સમયે પદાર્થ બિંદુ O સ્થાને છે. t સમયે તે બિંદુ P (x, y) સ્થાને પહોંચે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં કાપેલું અંતર x = υ₀t ∴ t = $\frac{x}{v_0}$
ઊર્ધ્વદિશામાં કાપેલું અંતર y = υ₀t + $\frac{1}{2}$at²
પરંતુ ઊર્ધ્વદિશામાં υ₀ = 0 છે.
∴ y = $\frac{1}{2}$ gt²
y = $\frac{1}{2}$ g ($\frac{x}{v_0}$)² = kx². જ્યાં, k = $\frac{g}{2 v_0^2}$ = અચળાંક
આ દર્શાવે છે કે પદાર્થનો ગતિપથ પરવલયાકાર છે.

ઉડ્ડયન સમય : પદાર્થને બિંદુ Oથી બિંદુ A (જમીન પર) આવતા લાગતા સમયને ઉડ્ડયન સમય T_f કહે છે.
y = υ₀t + $\frac{1}{2}$ gt²
∴ h = 0 × T_f + $\frac{1}{2}$ gT_f²
∴ T_f = $\sqrt{\frac{2 h}{g}}$
સમક્ષિતિજ અવધિ (R) : ઉડ્ડયન સમય દરમિયાન પદાર્થે સમક્ષિતિજ દિશામાં કાપેલ અંતરને અવિધ (OA = R) કહે છે.
R = સમક્ષિતિજ વેગ × ઉડ્ડયન સમય
υ₀T_fυ₀$\sqrt{\frac{2 h}{g}}$
∴ R = υ₀$\sqrt{\frac{2 h}{g}}$
t સમયે વેગ : વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક υ_x = υ₀.
વેગનો ઊર્ધ્વદિશામાં ઘટક υ_y = 0 + gt = gt
બિંદુ P આગળ પરિણામી વેગ, υ = $\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}$
= $\sqrt{v_0^2+(g t)^2}$
જો વેગ υ એ સમક્ષિતિજ સાથે θ કોણ બનાવતાં હોય, તો
θ = tan^-1($\frac{v_y}{v_x}$) = tan^-1($\frac{g t}{v_0}$)

શિરોલંબ ઊર્ધ્વદિશામાં પ્રક્ષિપ્ત કરેલા પદાર્થની ગતિનાં સૂત્રો

પદાર્થને શિરોલંબ ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે ત્યારે તે સમક્ષિતિજ દિશા સાથે θ₀ = $\frac{\pi}{2}$ rad જેટલો કોણ બનાવે છે અને પદાર્થ માત્ર એક-પારિમાણિક ગતિ કરે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ એક-પારિમાણિક ગતિ એ પ્રક્ષિપ્ત ગતિનો ખાસ કિસ્સો છે.
(1) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ
h_m = $\frac{v_0^2 \sin ^2 \theta_0}{2 g}$ માં θ₀ = $\frac{\pi}{2}$ rad મૂકતાં શિરોલંબ ફેંકેલા
h_m = $\frac{v_0^2 \sin ^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2 g}=\frac{v_0^2}{2 g}$
પદાર્થ પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ મળે.
h_m = $\frac{v_0^2 \sin ^2\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2 g}=\frac{v_0^2}{2 g}$

(2) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા લાગેલ સમય,
t_m = $\frac{v_0 \sin \theta_0}{g}$
આ સૂત્રમાં θ₀ = $\frac{\pi}{2}$ rad મૂકતાં શિરોલંબ ફેંકેલા પદાર્થો,
મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા લાગેલ સમય શોધી શકાય.
t_m = $\frac{v_0 \sin \frac{\pi}{2}}{g}=\frac{v_0}{g}$

(3) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયનનો કુલ સમય,
T_f = $\frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g}$
θ₀ = $\frac{\pi}{2}$ rad મૂકતાં શિરોલંબ ફેંકેલા પદાર્થ માટે કુલ ઉડ્ડયન સમય મળે.
T_f = $\frac{2 v_0 \sin \frac{\pi}{2}}{g}=\frac{2 v_0}{g}$

પ્રશ્ન 33.
‘નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણની ગતિ પ્રવેગી ગતિ હોય છે. આ પ્રવેગની દિશા કેન્દ્ર તરફ હોય છે.’ સવિસ્તાર સમજાવો.
ઉત્તર:
અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતાં પદાર્થની ગતિને નિયમિત વર્તુળગતિ કહે છે.

• આકૃતિ 4.34 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ ધારો કે કોઈ પદાર્થ
  R ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર અચળ ઝડપ થી ગતિ કરે છે.
  આ પથ પર કોઈ બિંદુ પાસેનો વેગ તે બિંદુ પાસે વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
• વર્તુળના દરેક બિંદુ પાસે પદાર્થના વેગની દિશા સતત બદલાતી હોવાથી પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે. આમ, નિયમિત વર્તુળગતિ કરતો પદાર્થ પ્રવેગી ગતિ કરે છે.
  પ્રવેગની દિશા : ધારો કે, t સમયે પદાર્થ બિંદુ P પર છે. તેનો સ્થાનસદિશ અને વેગ અનુક્રમે $\vec{r}$ અને $\vec{υ}$ છે. Δt સમયમાં પદાર્થ ગતિ કરીને બિંદુ P′ પ૨ જાય છે. તેનો સ્થાનસદિશ અને વેગ અનુક્રમે $\vec{r}$‘ અને $\vec{υ}$‘ છે.
• અહીં, $\vec{υ}$ અને $\vec{υ}$‘ એ બિંદુઓ Pઅને P’ આગળ દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. ગતિપથ વર્તુળાકાર હોવાથી $\vec{υ}$ અને $\vec{υ}$‘ એ $\vec{r}$ અને $\vec{υ}$‘ ને લંબરૂપે છે.
• સદિશ સરવાળાના નિયમથી Δ$\vec{υ}$ મેળવવામાં આવે, તો તે Δ$\vec{r}$ ને લંબ મળશે. આકૃતિ (a) પરથી સ્પષ્ટ છે કે Δ$\vec{υ}$ ની દિશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ છે.
  પદાર્થનો સરેરાશ પ્રવેગ ($\vec{a}$) એ Δ$\vec{υ}$ ની દિશામાં હોય છે. આથી આપણે કહી શકીએ કે, સરેરાશ પ્રવેગની દિશા એ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ છે.
• હવે, જો Δt → 0 લેવામાં આવે તો સરેરાશ પ્રવેગ, તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ જેટલો થશે અને તેની દિશા કેન્દ્ર તરફની હોય છે.
• આમ, નિયમિત વર્તુળગતિ માટે પદાર્થના પ્રવેગની દિશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. આવા પ્રવેગને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ અથવા કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કહે છે. તેને $\overrightarrow{a_c}$ વડે દર્શાવાય છે.
• કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $\frac{v^2}{r}$ જેટલું અચળ હોય છે. પણ તેની દિશા સતત બદલાતી હોવાથી કેન્દ્રગામી પ્રવેગ દર્શાવતો દિશ અચળ નથી.

પ્રશ્ન 34.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણ માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગના મૂલ્યનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા પદાર્થની ગતિને નિયમિત વર્તુળગતિ કહે છે.

• આકૃતિ 4.35માં એક કણ અચળ ઝડપ થી વર્તુળગતિ કરે છે. વર્તુળની ત્રિજ્યા R છે.
• ધારો કે, કણ t સમયે બિંદુ P આગળ છે. તેનો સ્થાનસદિશ $\vec{r}$ છે. t + Δt સમયે કણ બિંદુ Q આગળ છે અને તેનો સ્થાનસદિશ $\vec{r}$‘ છે.
• t સમયે બિંદુ P આગળ વેગ = $\vec{υ}$
  t + Δt સમયે બિંદુ Q આગળ વેગ = $\vec{υ}$‘
  Δt સમયમાં વેગનો ફેરફાર Δ $\vec{υ}$ = $\vec{υ}$‘ – $\vec{υ}$
  Δ t સમયમાં કણનું સ્થાનાંતર A $\vec{r}$ = $\vec{υ}$‘ – $\vec{r}$
• ધારો કે, સ્થાનસદિશો $\vec{r}$ અને $\vec{r}$‘ વચ્ચેનો ખૂણો Δ θ છે. વેગ
  $\vec{υ}$ અને $\vec{υ}$‘ હંમેશાં સ્થાનસદિશને લંબ હોવાથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો પણ A θ થશે.
• $\vec{r}$ , $\vec{r}$‘ અને Δ$\vec{r}$ થી બનતો ΔOPQ અને $\vec{υ}$, $\vec{υ}$‘ અને
  Δ $\vec{υ}$ થી બનતો Δ O’P’Q’ સમરૂપ ત્રિકોણો છે.

• Δ t સમયગાળામાં સરેરાશ પ્રવેગનું મૂલ્ય,
  $|\bar{a}|=\frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t}=\frac{v}{R} \frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t}$
  હવે, $\lim _{\Delta t \rightarrow 0}$ લેતાં, t સમયે તત્કાલીન પ્રવેગ અથવા કેન્દ્રગામી પ્રવેગ,

∴ કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય a_c = $\frac{v^2}{R}$

• આમ, R ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર υ જેટલી ઝડપથી ગતિ કરતા પદાર્થના પ્રવેગનું મૂલ્ય υ² / R હોય છે, જેની દિશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફની હોય છે. આથી ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ પ્રવેગ ને a_c કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અથવા કહે છે.

પ્રશ્ન 35.
વર્તુળાકાર ગતિના સંદર્ભમાં નીચેનાં પદો સમજાવો:
(a) કોણીય સ્થાનાંતર (Angular displacement)
(b) કોણીય વેગ (Angular velocity)
(c) આવર્તકાળ (Periodic time)
(d) આવૃત્તિ (Frequency)
ઉત્તર:

(a) કોણીય સ્થાનાંતર (Δ θ) : વર્તુળગતિ કરતા કણનું કોણીય સ્થાનાંતર એટલે નિયત સમયગાળામાં વર્તુળના ત્રિજ્યાના સદિશે ભ્રમણ (કાપેલો) કરેલો ખૂણો.

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ r ત્રિજ્યાના વર્તુળમય માર્ગ પર ગતિ કરતો કણ t સમયે બિંદુ P સ્થાને છે અને t′ સમયે તે બિંદુ p′ સ્થાને છે. Δ t = t’- t સમયગાળામાં તેનો ત્રિજ્યાનો સદિશ Δ θ જેટલો ખૂણો કાપીને OP પરથી OP’ પર જાય છે.
  આમ, કણનું કોણીય સ્થાનાંતર Δ θ છે તેમ કહેવાય.
  ખૂણાની વ્યાખ્યા પરથી,

• કોણીય સ્થાનાંતરનો એકમ radian છે અને તે પરિમાણ રહિત છે.

(b) કોણીય વેગ (ω) : કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારના સમયદરને કણનો કોણીય વેગ કહે છે. તેને ω વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જો કણ Δ t – સમયમાં Δ θ જેટલું કોણીય સ્થાનાંતર કરતો હોય, તો કણનો સરેરાશ કોણીય વેગ.

• ω નો એકમ radian/second છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર [M⁰L⁰T^-1] છે.

(c) આવર્તકાળ (T) : વર્તુળગતિ કરતા કણને વર્તુળપથ પર એક ભ્રમણ પૂરું કરતાં લાગતા સમયને કણનો આવર્તકાળ (T) કહે છે. તેનો એકમ second છે.

(d) આવૃત્તિ (V) : વર્તુળગતિ કરતા કણે, એક સેકન્ડમાં પૂર્ણ કરેલાં પરિભ્રમણોની સંખ્યાને કણની આવૃત્તિ કહે છે. તેને ‘V’ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
જો કણ 1 સેકન્ડમાં v પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતો હોય, તો એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતાં લાગતો સમય,
T = $\frac{1}{V}$ અથવા V = $\frac{1}{T}$
આવૃત્તિનો એકમ second^-1 અને પારિમાણિક સૂત્ર M⁰L⁰T^-1 છે.

પ્રશ્ન 36.
વર્તુળપથ પર ગતિ કરતાં કણની ઝડપ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ એ કોણીય વેગના પદમાં દર્શાવો.
ઉત્તર:
વર્તુળપથ પર કણ જો Δ t સમયગાળામાં Δ s જેટલું અંતર કાપતો હોય, તો કણની ઝડપ,
υ = $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ …………… (4.69)
જો વર્તુળની ત્રિજ્યા R હોય અને Δ t સમયમાં તેનું કોણીય સ્થાનાંતર Δ θ હોય, તો ખૂણાની વ્યાખ્યા અનુસાર,
Δ θ = $\frac{\Delta s}{R}$
∴ Δ s = R · Δ θ ………….. (4.70)
સમીકરણ (4.69) અને (4.70) પરથી,
υ = R · $\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ = R · ω [∵ કોણીય વેગ ω = $\frac{\Delta \theta}{\Delta t}$
∴ υ = R ω ………….. (4.71)
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ,
a_c = $\frac{v^2}{R}=\frac{(\omega R)^2}{R}$ (સમીકરણ (4.71) પરથી)
∴ a_c = ω² R

પ્રશ્ન 37.
વર્તુળગતિ કરતા કણની આવૃત્તિ (v)ના પદમાં તેના કોણીય વેગ, ઝડપ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગનાં સૂત્રો મેળવો.
ઉત્તર:
R ત્રિજ્યાના વર્તુળમાર્ગ પર કણ એક પરિભ્રમણ પૂરું કરે ત્યારે તે 2π જેટલું કોણીય સ્થાનાંતર કરે છે. આ સ્થાનાંતર માટે લાગતો સમય T હોય, તો
કોણીય વેગ ω = $\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{2 \pi}{T}$ (જ્યાં, T એ આવર્તકાળ છે.)
પરંતુ આવૃત્તિની વ્યાખ્યા અનુસાર v = $\frac{1}{T}$ છે.
∴ ω = 2π v
→ હવે, વર્તુળમાર્ગ પર T સમયમાં 2πR જેટલું અંતર કાપે છે.
કણની ઝડપ,

∴ υ = 2πRv
→ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ, a_c = \(\frac{v^2}{R}=\frac{(2 \pi i R)^2}{R}[latex]
∴ a_c = 4π²v²R

હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
નીચેના પ્રશ્નોના ટૂંકમાં ઉત્તર આપો :

પ્રશ્ન 1.
સદિશ અને અદિશ રાશિઓ વચ્ચેનો મૂળભૂત ફરક શું છે?
ઉત્તર:
સદિશ રાશિની સંપૂર્ણ માહિતી મેળવવા માટે તેમના મૂલ્ય ઉપરાંત દિશાની પણ જરૂર પડે છે. જ્યારે અદિશ રાશિનું ફક્ત મૂલ્ય જાણવાથી તેના વિશે સંપૂર્ણ માહિતી મળે છે.

પ્રશ્ન 2.
કોઈ પણ બે અદિશ રાશિઓ અને બે સદિશ રાશિઓ જણાવો.
ઉત્તર:
અદિશ રાશિઓ : અંતર, ઝડપ, તાપમાન, દળ
સદિશ રાશિઓ : સ્થાનાંતર, વેગ, પ્રવેગ, બળ

પ્રશ્ન 3.
પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવવા માટે શાનો ઉલ્લેખ જરૂરી છે?
ઉત્તર:
પદાર્થનું સ્થાન દર્શાવવા માટે સંદર્ભબિંદુનો ઉલ્લેખ જરૂરી છે.

પ્રશ્ન 4.
સમાન સદિશો કોને કહેવાય?
ઉત્તર:
જે બે સિદેશોના મૂલ્ય અને દિશા સમાન હોય, તેવા સદિશોને સમાન દિશો કહે છે.

પ્રશ્ન 5.
શૂન્ય – સદિશ કોને કહેવાય? એક ઉદાહરણ આપો.
ઉત્તર:
બે સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાંના સદિશોનો સરવાળો કરતાં મળતાં સદિશને શૂન્ય સદિશ કહે છે.
ઉદાહરણ : અચળવેગથી ગતિ કરતી કાર માટે તેના પ્રવેગનો સદિશ શૂન્ય સદિશ છે.

પ્રશ્ન 6.
સ્થાનસદિશની વ્યાખ્યા આપો.
ઉત્તર:
કોઈ પણ સંદર્ભબિંદુથી કોઈ કણ(કે બિંદુ)ને જોડતા દેશને તે સંદર્ભબિંદુની સાપેક્ષે તે કણ(કે બિંદુ)નો સ્થાનસદિશ કહે છે.

પ્રશ્ન 7.
એકમ દેિશ એટલે શું? તે કેવી રીતે મેળવાય છે?
ઉત્તર:
એકમ મૂલ્ય ધરાવતા સિંદેશને એકમ સદિશ કહે છે. કોઈ પણ સંદેશને તેના મૂલ્ય વડે ભાગતા તે સદેિશની દિશામાંનો એકમ સદિશ મળે છે.
દા. ત., આપેલ સિંદેશ [latex]\vec{A}\) ની દિશામાંનો એકમ સંદેશ,
$\hat{n}_{\mathrm{A}}=\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|}$

પ્રશ્ન 8.
આપેલા બે સદિશો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે તેવું ક્યારે કહેવાય?
ઉત્તર:
જો બે દિશો પરસ્પર લંબ હોય તો તેમાંના કોઈનો, બીજા સદિશની દિશામાંનો ઘટક શૂન્ય થાય. આમ, પરસ્પર લંબ સદિશો માટે એક સદિશની બીજા સદિશની દિશામાં અસરકારકતા શૂન્ય હોય. માટે આવા સિંદેશો એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે તેમ કહેવાય.

પ્રશ્ન 9.
શું બે સમાન મૂલ્યના સદિશોના પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય બેમાંથી એક સદિશના મૂલ્ય જેટલું હોઈ શકે?
ઉત્તર:
હા, જ્યા૨ે બે સદિશો વચ્ચેનો કોણ 120° હોય ત્યારે તે શક્ય છે.

પ્રશ્ન 10.
શું કોઈ પણ પ્રકારના બે સદિશોનો સરવાળો કરી શકાય?
ઉત્તર:
ના, બંને સદિશો એક જ ભૌતિક રાશિના અથવા સમાન પરિમાણના હોય તો જ તેમનો સદિશ સરવાળો થઈ શકે. દા. ત., બળ ($\vec{F}$)ના સિંદેશનો વેગ ($\vec{υ}$) સદિશ સાથે સરવાળો ના થઈ શકે.

પ્રશ્ન 11.
કોઈ પણ બે સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{S}$ માટે હંમેશાં $|\vec{P}+\vec{S}|<|\vec{P}|+|\vec{S}|$ સંબંધ પળાય છે. સંમત કે અસંમત? કારણ આપો.
ઉત્તર :
અસંમત. કારણ કે, જો આપેલ સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{S}$ સમાંતર હોય, તો $|\vec{P}+\vec{S}|=|\vec{P}|+|\vec{S}|$ થાય. અન્યથા $|\vec{P}+\overrightarrow{\mathrm{S}}|<|\vec{P}|+|\overrightarrow{\mathrm{S}}|$.
તેથી વ્યાપકરૂપે કહી શકાય કે, કોઈ પણ બે દિશો માટે હંમેશાં $|\vec{P}+\overrightarrow{\mathrm{S}}|$ ≤ $|\vec{P}|+|\vec{S}|$

પ્રશ્ન 12.
$\vec{A}-\vec{B}=-\vec{A}$ હોય, તો $\vec{B}$ = …………… .
ઉત્તર:
$\vec{A}-\vec{B}=-\vec{A}$
∴ $-\vec{B}=-\vec{A}-\vec{A}=-2 \vec{A}$
∴ $\vec{B}=2 \vec{A}$

પ્રશ્ન 13.
દિશોના સરવાળા માટેનો જૂથનો નિયમ લખો.
ઉત્તર:
$(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})$

પ્રશ્ન 14.
સંદેશોના બાદબાકી માટે ક્રમનો નિયમ અને જૂથનો નિયમ લાગુ પાડી શકાય?
ઉત્તર:
ના. કારણ કે, $\vec{A}-\vec{B} \neq \vec{B}-\vec{A}$ અને
$(\vec{A}-\vec{B})-\vec{C} \neq \vec{A}-(\vec{B}-\vec{C})$

પ્રશ્ન 15.
જો $\vec{A}+\vec{B}=\vec{C}$ અને A + B = C હોય, તો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ કેવા પ્રકારના સદિશો હશે?
ઉત્તર:
$\vec{A}$ અને $\vec{B}$ સમાંતર સદિશો હશે. (θ = 0°)

પ્રશ્ન 16.
એકમ દિશનો એકમ શું છે?
ઉત્તર:
એકમ દિશ એ એકમ રહિત છે.

પ્રશ્ન 17.
$\vec{F}$ = 10î – 5ĵ સદિશને લંબદિશાનો એકમ સંદેશ કઈ દિશામાં હશે?
ઉત્તર:
આપેલ સિંદેશને ફક્ત X-ઘટક અને Y-ઘટક છે, એટલે કે તે XY સમતલમાં આવેલ છે. XY સમતલને લંબિંદશા Z-અક્ષ હોવાથી, આ દિશાનો એકમ સદિશ k̂ થશે.

પ્રશ્ન 18.
એક બિંદુ પર લાગતાં બે બળો (A + B ) અને (A – B) વચ્ચેનો કોણ કેટલો હોવો જોઈએ, જેથી તેમનું પરિણામી બળ $\sqrt{3 A^2+B^2}$ મળે?
ઉત્તર:
P = A + B, Q = A – B, R = $\sqrt{3 A^2+B^2}$
હવે, R² = P² + Q² + 2PQ cos θ
∴ (3A² + B²)
= (A + B)² + (A – B)²+ 2 (A + B) (A – B) cos θ
∴ (3A² + B²)
= (A² + B² + 2AB) + (A² + B² – 2AB) + 2 (A² – B²) cos θ
= 2 (A² + B²) + 2 (A² – B²) cos 6
∴ cos θ = $\frac{1}{2}$
∴ θ = 60°

પ્રશ્ન 19.
સદિશ $\vec{A}$ એ યામાક્ષોના ઊગમબિંદુ પર છે અને તે + X-દિશામાં છે. આ સદિશને વિષમ ઘડી દિશામાં 270° ના કોણે ભ્રમણ આપતાં, આ સદિશના X અને Y ઘટકો જણાવો.
ઉત્તર:
સદિશ $\vec{A}$, + X-દિશામાં છે.
આથી $\vec{A}$ = A_xî + A_yĵ = Aî + 0ĵ = (A, 0).
સદિશ $\vec{A}$ ને 270°નું ભ્રમણ આપતાં તે – Y-અક્ષની દિશામાં ગોઠવાશે. આથી નવો સંદેશ,
$\vec{A}$ = A_xî + A_yĵ = 0î + A (- ĵ ) = (0, – A).

પ્રશ્ન 20.
યામાક્ષોના ઊગમબિંદુ પર રહેલો સદિશ $\vec{A}$ એ -X-અક્ષની દિશામાં છે. તેને સમઘડી દિશામાં 135ના કોણે ભ્રમણ કરાવતાં બનતા નવા દિશના X અને Y ઘટકો જણાવો.
ઉત્તર:

સદિશ $\vec{A}$ એ -X દિશામાં છે.
∴ $\vec{A}$ = A (- î) + 0 (ĵ) = (-A, 0)
સદિશ $\vec{A}$ને સમઘડી દિશામાં 135° ભ્રમણ કરાવતાં તે + X સાથે 45નો કોણ બનાવશે.
∴ $\vec{A}$‘ = A’ cos 45° î + A sin 45° ĵ
= A cos 45° î + A sin 45°ĵ
= $\frac{A}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{A}{\sqrt{2}} \hat{j}=\left(\frac{A}{\sqrt{2}}, \frac{A}{\sqrt{2}}\right)$

પ્રશ્ન 21.
કોઈ સદિશની દિશા તે જ રાખીને તેનું મૂલ્ય બમણું કરવામાં આવે, તો શું તેના દરેક ઘટકનું મૂલ્ય બમણું થશે?
ઉત્તર:
ના, ધારો કે સદિશ X-અક્ષ પર આવેલો છે, તો તેનો Y-ઘટક શૂન્ય થશે. હવે સદિશનું મૂલ્ય બમણું કરતાં તેના X-ઘટકનું મૂલ્ય બમણું થશે, પરંતુ Y-ઘટક શૂન્ય જ રહેશે જે પહેલાં પણ શૂન્ય હતો.

પ્રશ્ન 22.
એક સ્થિર પદાર્થ પર ચાર બળો નીચે મુજબ લાગે છે;
$\vec{F}_1$ = 3 î – ĵ + 9 k̂,
$\vec{F}_2$ = 2 î – 2 ĵ + 16 k̂,
$\vec{F}_3$ = 9 î + ĵ + 18 k̂ અને $\vec{F}_4$ = î + 2ĵ -18 k̂.
પદાર્થ કયા સમતલમાં ગતિ કરશે?
ઉત્તર:
પરિણામી બળ,
$\vec{F}$ = $\vec{F}_1$ + $\vec{F}_2$ + $\vec{F}_3$ + $\vec{F}_4$
= (3 î – ĵ + 9k̂) + (2 î – 2 ĵ + 16 k̂)
+ (9î + ĵ + 18 k̂) + (î + 2 ĵ – 18 k̂)
= 15î + 0 ĵ + 25 k̂
આ દર્શાવે છે કે પદાર્થ X – sZ સમતલમાં ગતિ કરશે.

પ્રશ્ન 23.
શું બે સદિશોનો ભાગાકાર થઈ શકે?
ઉત્તર:
ના.

પ્રશ્ન 24.
કયા સંજોગોમાં બે સદિશોનો સરવાળો
(i) મહત્તમ
(ii) લઘુતમ થાય?
ઉત્તર:
(i) જ્યારે બંને સદિશો એક જ દિશામાં હશે ત્યારે તેમનો સરવાળો મહત્તમ થશે.
(ii) જ્યારે બંને સદિશો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હશે ત્યારે તેમનો સરવાળો લઘુતમ થશે.

પ્રશ્ન 25.
નીચેનામાંથી કઈ રાશિ(ઓ) અક્ષોની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે?
(i) $\vec{A}$ – $\vec{B}$
(ii) $\vec{A}$ + $\vec{B}$
(iii) A_x + B_y·
ઉત્તર:
અક્ષોની સ્થિતિ બદલવાથી સદિશનું મૂલ્ય અને દિશા તેના તે જ રહે છે, પરંતુ અક્ષોની દિશાના ઘટકો બદલાય છે.
આથી $\vec{A}$ – $\vec{B}$ અને $\vec{A}$ + $\vec{B}$ એ અક્ષોની પસંદગીથી સ્વતંત્ર છે, જ્યારે A_x + B_y અક્ષોની પસંદગી પર આધાર રાખે છે.

પ્રશ્ન 26.
કોઈ સદિશનું મૂલ્ય અશૂન્ય હોય, તો તેના કોઈ એક ઘટકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોઈ શકે ખરું? કોઈ એક સદિશનો એક ઘટક અશૂન્ય હોય, તો શું સદિશનું મૂલ્ય શૂન્ય હોઈ શકે?
ઉત્તર:
કોઈ પણ અશૂન્ય સદિશનો તેને લંબદિશાનો ઘટક શૂન્ય હોય છે. દા. ત., X-અક્ષની દિશામાં આવેલા સદિશનો Y-ઘટક હંમેશાં શૂન્ય હોય છે. આમ, અશૂન્ય સદિશનો ઘટક શૂન્ય હોઈ શકે.

સિંદેશનો એક ઘટક અશૂન્ય છે. તેનો અર્થ એ થાય કે દિશ કંઈક મૂલ્ય ધરાવે છે. સદિશનું મૂલ્ય ઘટકના મૂલ્ય કરતાં ઓછું ન હોઈ શકે. આમ, કોઈ સદિશનો એક ઘટક શૂન્ય હોય, તો તે સદિશનું મૂલ્ય શૂન્ય ના હોઈ શકે.

પ્રશ્ન 27.
$\vec{A}$ = 3 î + 7 ĵ + 4 k̂ નો એકમ સદિશ શોધો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 28.
$\vec{A}[/latex = a î + b ĵ + c k̂ એ એકમ સંદેશ છે. જો a અને b નાં મૂલ્યો અનુક્રમે 0.6 અને 0.8 હોય, તો cનું મૂલ્ય શોધો. ઉત્તર: [latex]\vec{A}$ = a î + b ĵ + c k̂
∴ $\vec{A}$ = 0.6 î + 0.8 ĵ + c k̂
∴ $|\vec{A}|=\sqrt{(0.6)^2+(0.8)^2+c^2}$
∴ 1² = 0.36 + 0.64 + c²
∴ c² = 1 – 1 = 0 ∴ c = 0

પ્રશ્ન 29.
$\vec{A}$ = 2 î + 2 ĵ સદિશ X-અક્ષ સાથે કેટલા ખૂણે હશે?
ઉત્તર:
$\vec{A}$ = 2 î + 2 ĵ
∴ A_x = 2, A_y = 2
∴ θ = tan^-1($\frac{A_y}{A_x}$) = tan^-1($\frac{2}{2}$) = tan^-1(1)
∴ θ = 45°

પ્રશ્ન 30.
એક બોટનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ 6 î + 8 ĵ ms^-1 છે. પાણીનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ – 6 î – 8 ĵ ms ^-1 છે, તો બોટનો પાણીની સાપેક્ષે વેગ કેટલો થશે?
ઉત્તર:
બોટનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ $\overrightarrow{v_{\mathrm{B}}}$ = 6 î + 8 ĵ ms^-1
પાણીનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ $\overrightarrow{v_{\mathrm{w}}}$ = = – 6 î – 8 ĵ
∴ બોટનો પાણીની સાપેક્ષે વેગ,
$\vec{v}_{\mathrm{BW}}=\overrightarrow{v_{\mathrm{B}}}-\overrightarrow{v_{\mathrm{W}}}$
= (6 î + 8 ĵ) – (- 6 î – 8 ĵ)
= 12 î + 16 ĵ ms^-1

પ્રશ્ન 31.
દ્વિ-પરિમાણમાં નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરતા પદાર્થનું ઉદાહરણ આપો.
ઉત્તર:
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરતા કોઈ પણ પદાર્થ માટે પ્રવેગનું મૂલ્ય અને દિશા બંને અચળ હોય છે.
દા. ત., કીક મારીને ઊછાળેલા ફૂટબૉલની ગતિ

પ્રશ્ન 32.
નિયમિત વર્તુળમય ગતિમાં વેગ અને પ્રવેગના સદિશ વચ્ચેનો કોણ કેટલો હોય છે?
ઉત્તર:
$\frac{\pi}{2}$ rad

પ્રશ્ન 33.
શું નિયમિત પ્રવેગી ગતિનાં સમીકરણો એ નિયમિત વર્તુળમય ગતિને લાગુ પાડી શકાય? શા માટે?
ઉત્તર:
ના, કારણ કે નિયમિત વર્તુળમય ગતિમાં પ્રવેગની દિશા દરેક ક્ષણે બદલાતી હોય છે. આથી તે નિયમિત પ્રવેગી ગતિ નથી. પરિણામે નિયમિત પ્રવેગી ગતિનાં સમીકરણો લાગુ ના પાડી શકાય.

પ્રશ્ન 34.
વેગ સદિશ રાશિ છે. તેનામાં ફેરફાર કઈ કઈ રીતે થઈ શકે?
ઉત્તર :
પદાર્થના વેગનો ફેરફાર ત્રણ રીતે સંભવી શકે છે.

1. માત્ર વેગના મૂલ્યમાં ફેરફાર થવાથી
2. માત્ર વેગની દિશામાં ફેરફાર થવાથી
3. વેગની દિશા અને મૂલ્ય બંનેમાં ફેરફાર થવાથી.

પ્રશ્ન 35.
પ્રવેગના વેગને સમાંતર (a_||) ઘટકને લીધે વેગના ………………….. માં ફેરફાર અને લંબ (a_⊥) ઘટકને લીધે ……………… માં ફેરફાર થાય છે.
ઉત્તર:
મૂલ્ય, દિશા

પ્રશ્ન 36.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં પ્રવેગ …………………… હોય છે.
ઉત્તર:
શૂન્ય

પ્રશ્ન 37.
એક ફ્લાયવ્હીલ 300 rpmથી ભ્રમણ કરે છે, તો તેનો કોણીય વેગ rad/secondમાં કેટલો હશે?
ઉત્તર:
1 મિનિટમાં ભ્રમણની સંખ્યા = 300 rpm
∴ 1 secondમાં ભ્રમણની સંખ્યા v = $\frac{300}{60}$ = 5 sec^-1
કોણીય વેગ = 2 π v = 2π × 5 = 10 rad s^-1

પ્રશ્ન 38.
એક પદાર્થ 100 cm ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાર્ગ પર 2 secondમાં એક ભ્રમણ પૂરું કરે છે. આ પદાર્થનો પ્રવેગ કેટલો હશે?
ઉત્તર:
R = 100 cm, T = 2 s
પ્રવેગ : = ω² R = ($\frac{2 \pi}{T}$)² · R
= ($\frac{2 \pi}{T}$)² · R
= 100 π² cm s^-2

પ્રશ્ન 39.
નિયમિત વર્તુળમય ગતિ કરતા પદાર્થની ઝડપ અને વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે તો તેનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કેટલો થશે?
ઉત્તર:
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ = $\frac{v^2}{r}$ = a_c
બીજા કિસ્સામાં a’_c = $\frac{(2 v)^2}{(2 r)}=\frac{4 v^2}{2 r}$
= 2$\frac{v^2}{r}$ = 2 a_c
એટલે કે, કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય બમણું હશે.

પ્રશ્ન 40.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કોને કહેવાય?
ઉત્તર:
જ્યારે કોઈ પદાર્થને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રમાં ફેંકવામાં આવે ત્યારે તે નિયમિત સમક્ષિતિજ વેગ અને નિયમિત ઊર્ધ્વપ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. પદાર્થની આવી દ્વિ-પારિમાણિક ગતિને પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કહે છે.

પ્રશ્ન 41.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથની ટોચે (મહત્તમ ઊંચાઈએ) તેનો વેગ ……………… હોય છે.
ઉત્તર:
υ₀ cos θ₀ જેટલો અચળ. જ્યાં, θ₀ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.

પ્રશ્ન 42.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથની ટોચે (મહત્તમ ઊંચાઈએ) તેનો પ્રવેગ ……………….. હોય છે.
ઉત્તર:
ગુરુત્વપ્રવેગ g જેટલો અચળ

પ્રશ્ન 43.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ મહત્તમ મેળવવા માટે તેને આપેલા વેગ માટે સમક્ષિતિજ દિશા સાથે ……………………… કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવો જોઈએ.
ઉત્તર :
45°

પ્રશ્ન 44.
એક પદાર્થને 45° ના કોણે, 12ms^-1ની ઝડપે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. તેની અવિધ કેટલી હશે?
ઉત્તર:
પ્રક્ષિપ્ત કોણ 45° હોવાથી તેની અવિધ મહત્તમ હશે.
મહત્તમ અવિધ R_max = $\frac{v_0^2}{g}=\frac{(12)^2}{9.8}$ = 14.7m

પ્રશ્ન 45.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ અવધિ શેના પર આધાર રાખે છે?
ઉત્તર :
પ્રારંભિક વેગ પર

પ્રશ્ન 46.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં પદાર્થે પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ અને અવિધ સમાન હોય, તો પ્રક્ષિપ્ત કોણ કેટલો હોય?
ઉત્તર:
θ = tan^-1 (4)

પ્રશ્ન 47.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે $\frac{\boldsymbol{h}_{\max }}{\boldsymbol{R}_{\max }}$ નું મૂલ્ય કેટલું? અથવા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ અને મહત્તમ અવધિનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 48.
પૃથ્વીની સપાટી પરથી શિરોલંબ દિશામાં ફેંકેલા પદાર્થે પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ કેટલી હશે?
ઉત્તર:
મહત્તમ ઊંચાઈ h_m = $\frac{v_0^2 \sin ^2 \theta_0}{2 g}$
= $\frac{v_0^2 \sin ^2 90^{\circ}}{2 g}$
= $\frac{v_0^2}{2 g}$

પ્રશ્ન 49.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ એટલે શું?
ઉત્તર:
સમક્ષિતિજ દિશામાં પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થે કાપેલ કુલ અંતરને અવિધ R કહે છે.

પ્રશ્ન 50.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેનો પ્રવેગ કેટલો હોય છે?
ઉત્તર:
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેનો પ્રવેગ $\vec{a}$ = – gĵ હોય છે.

પ્રશ્ન 51.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ અવિધ 500m મળે છે, તો પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના પ્રારંભિક વેગનું મૂલ્ય …………………. ms^-1 હશે.
ઉત્તર:
મહત્તમ અવિધ : 500 = $\frac{v_0^2}{g}$
∴ υ₀² = 500 × g
= 500 × 9.8
= 4900
∴ υ₀ = 70 m s^-1

પ્રશ્ન 52.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને મહત્તમ ગતિ-ઊર્જા અને લઘુતમ ગતિ- ઊર્જા ક્યારે હોય છે?
ઉત્તર:
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થને જ્યાંથી ફેંકવામાં આવ્યો હોય તે સ્થળે ગતિ-ઊર્જા મહત્તમ અને મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિ-ઊર્જા લઘુતમ હોય છે.

પ્રશ્ન 53.
એક પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ અવિધ તેની સાચી અવિધ કરતાં $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ગણી છે, તો તેની સાચી અવિધ માટેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ કેટલો હશે?
ઉત્તર:
R_max = $\frac{2}{\sqrt{3}}$ R
∴ $\frac{v_0^2}{g}=\frac{2}{\sqrt{3}} \frac{v_0^2 \sin 2 \theta_0}{g}$
∴ sin 2θ₀ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = sin 60°
∴ 2θ₀ = 60°
∴ પ્રક્ષિપ્ત કોણ θ₀ = 30°

પ્રશ્ન 54.
એક દડાને θ કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરતાં તેનો કુલ ઉડ્ડયન સમય 2 s અને સમક્ષિતિજ અવિધ 100 m છે. આ દડાના વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકનું મૂલ્ય કેટલું થશે? (g = 10 m s^-2 લો.)
ઉત્તર:
સમક્ષિતિજ અવિધ R = $\frac{2 v_0^2 \sin \theta_0 \cos \theta_0}{g}$
= (υ₀ cos θ₀) ($\frac{2 v_0 \sin \theta_0}{g}$)
(υ₀ cos θ₀) (T_f)
∴ વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક υ₀ cos θ₀ = $\frac{R}{T_{\mathrm{f}}}=\frac{100 \mathrm{~m}}{2 \mathrm{~s}}s$
= 50 m s^-1

પ્રશ્ન 55.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ અચળ રાખી તેનો પ્રારંભિક વેગ બમણો કરવામાં આવે તો તેની નવી સમક્ષિતિજ અવિધ કેટલી થશે?
ઉત્તર:
સમક્ષિતિજ અવિધ R = $\frac{v_0^2 \sin 2 \theta_0}{g}$
નવી સમક્ષિતિજ અવિધ R’= $\frac{\left(2 v_0\right)^2 \sin 2 \theta_0}{g}$ (θ₀ અચળ છે.)
∴ $\frac{R^{\prime}}{R}=\frac{\left(2 v_0\right)^2}{v_0}$ = 4 ∴ R’ = 4R

નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :

(1) અંતર, સ્થાનાંતર, ઝડપ, વેગ વગેરે સદિશ રાશિઓનાં ઉદાહરણ છે.ઉત્તર:
ઉત્તર:
ખોટું

(2) કોઈ પણ સદિશને તેના મૂલ્ય વડે ભાગતાં, તે સદેિશની દિશામાંનો એકમ સદિશ મળે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(3) $\vec{A}-\vec{B}=\vec{B}-\vec{A}$
ઉત્તર:
ખોટું

(4) $|\vec{a}-\vec{b}|$ ≥ $|\vec{a}|-|\vec{b}|$
ઉત્તર:
ખરું

(5) જો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો કોણ θ = 90° હોય, તો $|\vec{A}+\vec{B}|=|\vec{A}-\vec{B}|$.
ઉત્તર:
ખરું

(6) સદિશ $\vec{A}$ એ X, Y અને Z અક્ષો સાથે અનુક્રમે α , β અને γ ખૂણો બનાવતા હોય, તો
A_x = A sin α, A_y = = A sin β અને A_Z = A sin γ.
ઉત્તર:
ખોટું

(7) ગતિમાન પદાર્થ માટે $\vec{a}$ ⊥ $\vec{υ}$ હોય, તો તે માત્ર વેગની દિશા બદલે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(8) જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર પથ પર અચળ વેગ $\vec{υ}$ થી તિ કરતો હોય તેની ગતિને નિયમિત વર્તુળગતિ કહે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(9) વર્તુળાકાર ગતિમાં પદાર્થનો પરિણામી પ્રવેગ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય, તો જ તેની ઝડપ અચળ હોય.
ઉત્તર:
ખરું

(10) અચળ પ્રવેગી ગતિનાં સમીકરણો નિયમિત વર્તુળગતિ માટે પણ સત્ય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(11) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ સમક્ષિતિજ દિશામાં અચળ પ્રવેગ અને શિરોલંબ દિશામાં અચળ વેગથી ગતિ કરે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(12) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગનો ઊર્ધ્વઘટક શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(13) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે પ્રક્ષિપ્ત કોણ θ₀ = $\frac{\pi}{4}$ rad હોય ત્યારે અવિધ મહત્તમ મળે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(14) θ = 90° એ પ્રક્ષિપ્ત કરેલ પદાર્થનો ગતિપથ પરવલયાકાર હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(15) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ તેના પ્રારંભિક વેગ અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ પર આધાર રાખે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(16) બે દિશોનો ભાગાકાર એ અદિશ હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

ખાલી જગ્યાઓ પૂરો :

(1) સમાન દિશામાં આવેલા બે સિદેશોનું પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય …………………….. થાય અને વિરુદ્ધ દિશામાં આવેલા સદિશોનું પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય …………………. થાય.
ઉત્તર:
મહત્તમ, લઘુતમ

(2) જો $\vec{A}$ + $\vec{B}$ = $\vec{A}$ – $\vec{B}$ હોય, તો $\vec{B}$ એ ………………………. સિદેશ કહેવાય.
ઉત્તર:
શૂન્ય

(3) î + Ĵ + K̂ સદિશ એ X-અક્ષ સાથે ………………… કોણે હશે.
ઉત્તર:
54.74°

(4) î – 2Ĵ + K̂નો Y-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ ………………… થશે.
ઉત્તર:
-2

(5) $\vec{A}$ + $\vec{B}$ અને $\vec{A}$ – $\vec{B}$નો પરિણામી સદિશ અને $\vec{A}$ વચ્ચેનો કોણ ……………….. હશે.
ઉત્તર:
શૂન્ય

(6) $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ ના પરિણામી સદિશનું મહત્તમ મૂલ્ય અને ન્યૂનતમ મૂલ્યનો ગુણોત્તર 3: 1 હોય, તો P = ………………. .
ઉત્તર:
2Q

(7) |$\vec{A}$| = |$\vec{B}$|, $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો 180° હોય, તો |$\vec{A}$ – $\vec{B}$| = ……………… .
ઉત્તર:
2B

(8) બે સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાંના સદિશોનો સરવાળો …………………….. કરતાં મળતો દિશ સદિશ કહેવાય.
ઉત્તર:
શૂન્ય

(9) cos θî + sin θĵને મળતો લંબ દિશ ……………….. .
ઉત્તર:
– sin θî + cos θĵ

(10) કણનું પ્રારંભિક સ્થાન (î – 2Ĵ + k̂)m અને તેનો સ્થાનાંતર સદિશ (2Î + Ĵ – 3k̂) m છે, તો તેના અંતિમ સ્થાનનો સદિશ …………………. થશે.
ઉત્તર:
(3î – ĵ – 2k̂)m

(11) ગતિશીલ કણનો સ્થાનસદિશ $\vec{r}$ = (3t³ î + 4t² ĵ – 9 k̂)m છે, તો t = 1 s સમયે તેનો વેગ દિશ $\vec{υ}$ = ………………….. થાય.
ઉત્તર:
(9î + 8ĵ) m s ^-1

(12) $\vec{A}$ = î + Ĵ + k̂નો એકમ સદિશ …………………………. થાય.
ઉત્તર:
$î + Ĵ + k̂$ (î + Ĵ + k̂)

(13) એક કણનો વેગ $\vec{υ}$ = (2t î + 5 Ĵ) m s^-1 છે. t = 2 s સમયે કણના વેગનું મૂલ્ય …………………. હશે.
ઉત્તર:
$\sqrt{41}$ m s ^-1

(14) પદાર્થના વેગનો Y-ઘટક 20 m s^-1 અને X-ઘટક 10 m s^-1 છે. પદાર્થનો વેગ સમક્ષિતિજ સાથે
…………………… કોણે હશે.
ઉત્તર:
tan^-1(2)

(15) મહત્તમ ઊંચાઈએ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કોણ ………………………. હોય છે.
ઉત્તર:
90°

(16) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ જ્યારે મહત્તમ ઊંચાઈએ હોય ત્યારે તેનો પ્રવેગ ……………………. ms^-2 હોય છે.
ઉત્તર:
9.8

(17) …………………… કોણે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવિધ મહત્તમ હોય છે.
ઉત્તર:
45°

(18) K જેટલી ગતિ-ઊર્જા સાથે એક પદાર્થને 45°ના કોણે પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે, તો મહત્તમ ઊંચાઈએ તેની ગતિ-ઊર્જા ………………….. હશે.
ઉત્તર:
K / 2

(19) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિનું સમીકરણ y = √3x – $\frac{9 x^2}{2}$ છે, તો તેનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ θ = ……………….. .
ઉત્તર:
tan^-1√3

(20) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ (3î + 2 ĵ) ms^-1 છે. તેના ગતિપથની મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ …………………..
ms^-1 હશે.
ઉત્તર:
3

(21) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં …………………… પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
સમક્ષિતિજ

(22) અચળ ઝડપથી વર્તુળગતિ કરતા પદાર્થ માટે …………………….. ઊર્જા અચળ હોય છે.
ઉત્તર:
ગતિ-ઊર્જા

(23) નિયમિત વર્તુળગતિ કરતા કણની એક આવર્તકાળ પરની ગતિ માટે સરેરાશ પ્રવેગ …………………. હોય છે.
ઉત્તર:
શૂન્ય

(24) υ ઝડપથી વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણની ત્રિજ્યામાં ફેરફાર કર્યા સિવાય જો તેની ઝડપ બમણી થાય તો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ………………….. ગણો થાય.
ઉત્તર:
ચાર

(25) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં પ્રક્ષિપ્ત કોણ α અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ β માટે અવિધ સમાન મળે છે (α ≠ β),
તો α + β = ……………….. rad.
ઉત્તર:
$\frac{\pi}{2}$

યોગ્ય જોડકાં જોડો :

પ્રશ્ન 1.
વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કોણ નીચેના કિસ્સામાં જણાવો :

કૉલમ I	કૉલમ II
1. ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકેલો પદાર્થ	p. 90°
2. મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે	q. દરેક બિંદુએ બદલાય છે.
3. પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરતા પદાર્થ માટે	r. શૂન્ય
4. નિયમિત વર્તુળગતિ માટે	s. 180°

ઉત્તર:
(1 – s), (2 – r), (3 – q), (4 – p).

કૉલમ I	કૉલમ II
1. ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકેલો પદાર્થ	s. 180°
2. મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે	r. શૂન્ય
3. પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરતા પદાર્થ માટે	q. દરેક બિંદુએ બદલાય છે.
4. નિયમિત વર્તુળગતિ માટે	p. 90°

પ્રશ્ન 2.

કૉલમ I	કૉલમ II
1. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ	p. શૂન્ય
2. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો મહત્તમ ઊંચાઈએ ઊર્ધ્વવેગ	q. $\frac{v_0^2}{2 g}$
3. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ	r. લઘુતમ
4. 27° અને 63॰ના પ્રક્ષિપ્ત કોણે કાપેલ સમક્ષિતિજ અંતર	s. સમાન

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – p), (3 – q), (4 – s).

કૉલમ I	કૉલમ II
1. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ	r. લઘુતમ
2. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો મહત્તમ ઊંચાઈએ ઊર્ધ્વવેગ	p. શૂન્ય
3. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ ઊંચાઈ	q. $\frac{v_0^2}{2 g}$
4. 27° અને 63॰ના પ્રક્ષિપ્ત કોણે કાપેલ સમક્ષિતિજ અંતર	s. સમાન

પ્રશ્ન 3.


ઉત્તર:
(1 – 1), (2 – s), (3 – p), (4 – q).

પ્રશ્ન 4.
કૉલમ Iમાં વેગ અને પ્રવેગના સદિશો દર્શાવેલ છે. કૉલમ IIમાં પદાર્થના વેગ પર થતી અસર દર્શાવેલ છે. યોગ્ય જોડકાં જોડો :

ઉત્તર:
(1 – s), (2 – r), (3 – q), (4 – p).