GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.2

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 10 રેખાઓ 10.2

પ્રશ્નો 1થી 8માં આપેલી શરતોનું સમાધાન કરે તેવી રેખાનું સમીકરણ મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
X-અક્ષ અને Y-અક્ષનાં સમીકરણો મેળવો.
ઉત્તરઃ
X-અક્ષ પર આવેલાં તમામ બિંદુઓના પુ યામ શૂન્ય છે.
∴ X-અક્ષનું સમીકરણ y = 0
Y-અક્ષ ૫૨ આવેલાં તમામ બિંદુઓના × યામ શૂન્ય છે.
∴ Y-અક્ષનું સમીકરણ x = 0

પ્રશ્ન 2.
(−4, 3) બિંદુમાંથી પસાર થતી અને જેનો ઢાળ \(\frac{1}{2}\) હોય.
ઉત્તરઃ
બિંદુ (x₁, y₁)માંથી પસાર થતી અને m ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ y − y₁ = m (x – x₁) છે.
અહીં, (x₁, y₁) = (– 4, 3) અને m = \(\frac{1}{2}\)
માગેલ રેખાનું સમીકરણ y − 3 = \(\frac{1}{2}\) (x + 4)
∴ 2y – 6 = x + 4
∴ x – 2y + 10 = 0

પ્રશ્ન 3.
(0, 0)માંથી પસાર થતી અને m ઢાળવાળી.
ઉત્તરઃ
બિંદુ (x₁, y₁) માંથી પસાર થતી અને m ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ y − y₁ = m (x – x₁) છે.
અહીં, (x₁, y₁) = (0, 0) અને ઢાળ = m છે.
∴ y − 0 = m (x – 0)
∴ y = x

પ્રશ્ન 4.
(2, 2√3)માંથી પસાર થતી અને જેનો x-અક્ષ સાથે ઝોક 75° હોય.
ઉત્તરઃ
અહીં રેખાનો ઝોક = 75°
∴ રેખાનો ઢાળ = tan 75°
= tan (45° + 30°)

હવે, બિંદુ (x₁, y₁)માંથી પસાર થતી અને m ઢાળવાળી રેખાનું
સમીકરણ y − y₁ = m (x – x₁) છે.
અહીં, (x₁, y₁) = (2, 2√3 ) અને m = \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\)
∴ માગેલ રેખાનું સમીકરણ y – 2√3 = \(\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right)\)(x – 2)
∴ (√3 – 1) g – 2√3(√3 – 1) = (√3 + 1) x – 2 (√3 + 1)
∴ (√3 + 1) x – (√3 – 1)y = 2 ( 3 + 1) – 2 |3||3 – 1)
∴ (√3 + 1)x – (3 – 1)y = 2√3 + 2 – 6 + 2√3
∴ (√3 + 1) x – (√3 – 1)y = 4(√3 – 1)

પ્રશ્ન 5.
X-અક્ષને ઊગમબિંદુથી ૩ એકમના અંતરે ડાબી બાજુએ છેદતી અને જેનો ઢાળ – 2 હોય.
ઉત્તરઃ
અહીં, રેખા X-અક્ષને ઊગમબિંદુથી 3 એકમના અંતરે ડાબી બાજુએ છેદે છે.
∴ રેખા, બિંદુ (– 3, 0)માંથી પસાર થાય છે.
હવે, બિંદુ (x₁, y₁)માંથી પસાર થતી અને m ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ y − y₁ = m (x – x₁) છે.
અહીં, (x₁, y₁) = (– 3, 0) અને m = – 2
∴ માગેલ રેખાનું સમીકરણ y – 0 = – 2 (x + 3)
∴ y = – 2x – 6
∴ 2x + y + 6 = 0

પ્રશ્ન 6.
Y-અક્ષને ઊગમબિંદુની ઉપર 2 એકમ અંતરે છેદતી અને X-અક્ષની ધન દિશા સાથે 30ના માપનો ખૂણો બનાવતી.
ઉત્તરઃ
અહીં, રેખા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે 30°ના માપનો ખૂણો બનાવે છે.
∴ રેખાનો ઢાળ = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
હવે, m ઢાળવાળી અને Y-અક્ષ ૫૨ ૮ અંતઃખંડ કાપતી રેખાનું સમીકરણ y = mx + c છે.
અહીં, y અંતઃખંડ c = 2 આપેલ છે અને m = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
· માગેલ રેખાનું સમીકરણ y = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)x + 2
∴ √3y = x + 2√3
∴ x – √3y + 2√3 = 0

પ્રશ્ન 7.
(– 1, 1) અને (2, – 4) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી.
ઉત્તરઃ
બિંદુઓ (x₁, y₁) અને (x₂, y₂)માંથી પસાર થતી રેખાનું
સમીકરણ \(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
અહીં, (x₁, y₁) = (– 1, 1) અને (x₂, y₂) = (2, – 4)
∴ માગેલ રેખાનું સમીકરણ \(\frac{y-1}{x+1}=\frac{-4-1}{2-(-1)}=-\frac{5}{3}\)
∴ 3y – 3 = − 5x – 5
∴ 5x + 3y + 2 = 0

પ્રશ્ન 8.
ઊગમબિંદુમાંથી રેખા પર દોરેલા લંબનું માપ 5 હોય તથા લંબરેખાખંડ X-અક્ષની ધન દિશા સાથે 30° માપનો ખૂણો બનાવે.
ઉત્તરઃ
ઊગમબિંદુમાંથી રેખા પર દોરેલા લંબનું માપ p હોય તથા લંબરેખાખંડ X-અક્ષની ધન દિશા સાથે ω માપનો ખૂણો બનાવે તેવી રેખાનું સમીકરણ x cos ω + y sin ω =
અહીં, p = 5 અને ω = 30°
∴ માગેલ રેખાનું સમીકરણ x cos 30° + y sin 30° = 5
∴ x. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + y· \(\frac{1}{2}\) = 5
∴ √3x + y = 10

પ્રશ્ન 9.
ΔPQRનાં શિરોબિંદુઓ P (2, 1), Q(– 2, 3) અને R (4, 5) હોય, તો શિરોબિંદુ Rમાંથી દોરેલ મધ્યગાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, P (2, 1), (– 2, 3) અને R (4, 5) ΔPORનાં શિરોબિંદુઓ છે.
ધારો કે, શિરોબિંદુ માંથી દોરેલ મધ્યગા RM છે.
∴ બિંદુ M બાજુ PQનું મધ્યબિંદુ થશે.
∴ Mના યામ = \(\left(\frac{2-2}{2}, \frac{1+3}{2}\right)\) = (0, 2)
આમ, મધ્યગા RM બિંદુઓ R (4, 5) અને M (0, 2)માંથી પસાર થાય છે.

પ્રશ્ન 10.
(2, 5) અને (−3, 6) બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાને લંબ અને (–3, 5) બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (2, 5) અને B (– 3, 6)
∴ ABનો ઢાળ = \(\frac{6-5}{-3-2}=-\frac{1}{5}\)
હવે, માગેલી રેખા એ રેખા ABને લંબ છે.
∴ તેનો ઢાળ = 5 થશે અને તે (– 3, 5)માંથી પસાર થાય છે.
∴ માગેલ રેખાનું સમીકરણ ! – 5 = 5 (x + 3)
(∵ સૂત્ર y – y₁ = m(x – x₁)
∴ y – 5 = 5x + 15
∴ 5x − y + 20 = 0

પ્રશ્ન 11.
(1, 0) અને (2, 3)ને જોડતા રેખાખંડને લંબ અને તેનું 1: n ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (1, 0) અને B (2, 3) છે.
∴ ABનો ઢાળ = \(\frac{3-0}{2-1}=\frac{3}{1}\) = 3
હવે, માગેલ રેખા એ ABને લંબ છે.
∴ તેનો ઢાળ –\(\frac{1}{3}\) થશે.
ધારો કે, બિંદુ P (x, પુ), રેખાખંડ ABનું 1 : n ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

∴ 3(n + 1)y – 9 = – (n + 1) x + (n + 2)
(n + 1) x + 3(n + 1)y = n + 11

પ્રશ્ન 12.
(2, 3) બિંદુમાંથી પસાર થતી અને યામાક્ષો પર સમાન અંતઃખંડો કાપતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, માગેલી રેખા X-અક્ષ અને Y-અક્ષ પર અનુક્રમે a અને b અંતઃખંડ કાપે છે.
∴ અહીં, બંને અંતઃખંડ સમાન આપેલા છે.
∴ a = b ……….(1)
વળી માગેલી રેખા બિંદુ (2, 3)માંથી પસાર થાય છે.
હવે, અક્ષો પર a અને b અંતઃખંડો કાપતી રેખાનું સમીકરણ
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 છે.
અહીં, a = b અને (x, g) = (2, 3) મૂકતાં,
\(\frac{2}{b}+\frac{3}{b}\) = 1
∴ 2 + 3 = b ∴ b = 5
આથી a = 5 [∵ પરિણામ (1)]
∴ માગેલ રેખાનું સમીકરણ હૈં + !=1
∴ x + y = 5

પ્રશ્ન 13.
જેના અક્ષો પરના અંતઃખંડોનો સરવાળો 9 હોય અને જે બિંદુ (2, 2)માંથી પસાર થતી હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, રેખા અક્ષો પર a અને b અંતઃખંડો કાપે છે.
∴ a + b = 9 ……..(1)
હવે, માગેલી રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 સ્વરૂપનું થાય અને તે બિંદુ (2, 2)માંથી પસાર થાય છે.
∴ \(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\) = 1
∴ 2b + 2a = ab
(1) પરથી a = 9−b પરિણામ (2)માં મૂકતાં,
∴ 2b + 2 (9 – b) = (9 – b) b
∴ 2b + 18 – 2b = 9b – 2
∴ b² – 9b + 18 = 0
∴ (b – 6) (b – 3) = 0
∴ b = 6 અથવા b = 3
હવે, a + b = 9 છે.
આથી b = 6 ત્યારે a = 3 અને b = 3 ત્યારે a = 6
∴ માગેલી રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}\) = 1 અને \(\frac{x}{6}+\frac{y}{3}\) = 1
∴ 2x + y = 6 અને x + 2y = 6
∴ 2x + y – 6 = 0 અને x + 2y – 6 = 0

પ્રશ્ન 14.
(0, 2)માંથી પસાર થતી અને X-અક્ષની ધન દિશા સાથે \(\frac{2 \pi}{3}\) માપનો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ મેળવો તથા તે રેખાને સમાંતર હોય અને Y-અક્ષને ઊગમબિંદુથી નીચે 2 એકમ અંતરે છેદતી હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ પણ મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, રેખા X-અક્ષની ધન દિશા સાથે \(\frac{2 \pi}{3}\) માપનો ખૂણો બનાવે છે.
∴ રેખાનો ઢાળ = m = tan\(\frac{2 \pi}{3}\)
∴ m = tan (π – \(\frac{\pi}{3}\)) = -tan\(\frac{\pi}{3}\)
∴ m = -√3

અને રેખા (0, 2)માંથી પસાર થાય છે.
∴ રેખાનું સમીકરણ y – 2 = -√3(x – 0)
(∵ સૂત્ર y – y₁ = m(x – x₁)
∴ y – 2 = -√3 x
∴ √3x + y – 2 = 0 ……….(1)
હવે, આ રેખાને સમાંતર રેખાનો ઢાળ પણ -√3 થાય.
∴ m =√3, તથા તે Y-અક્ષને ઊગમબિંદુથી નીચે 2 એકમ અંતરે છેદે છે.
∴ તેનો y અંતઃખંડ C = – 2
∴ રેખા √3x + y – 2 = 0ને સમાંતર માગેલી રેખાનું સમીકરણ
y = mx + c પ્રમાણે,
y = – √3 x – 2
∴ √3 x + y + 2 = 0
આમ, માગેલી રેખાઓનાં સમીકરણ
√3x + y – 2 = 0 અને √3x + y + 2 = 0

પ્રશ્ન 15.
ઊગમબિંદુમાંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ (– 2, 9) હોય, તો તે રેખાનું સમીકરણ મેળવો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, P (– 2, 9) ∴ OPનો ઢાળ = \(\frac{9-0}{-2-0}=\frac{-9}{2}\)
અહીં, રેખા OP એ માગેલી રેખાને લંબ છે. આથી માગેલી
રેખાનો ઢાળ થશે અને તે બિંદુ P (– 2, 9)માંથી પસાર થાય છે.
. માગેલી રેખાનું સમીકરણ y – 9 = \(\frac{2}{9}\)(x + 2)
(∵ સૂત્ર y – y₁ = m(x – x₁)
∴ 9y – 81 = 2x + 4
∴ 2x – 9y + 85 = 0

પ્રશ્ન 16.
તાંબાના તારની લંબાઈ L (સેમીમાં) અને તેના સેલ્સિયસ તાપમાન C વચ્ચે સુરેખ સંબંધ છે. એક પ્રયોગમાં જ્યારે L = 124.942 હોય ત્યારે C = 20 અને જ્યારે L = 125.184 હોય ત્યારે C = 110 છે, તો L અને C વચ્ચેનો સુરેખ સંબંધ મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, L (સેમીમાં) અને સેલ્સિયસ તાપમાન C વચ્ચે સુરેખ સંબંધ છે. આથી રેખાનું સમીકરણ y = mx + c પ્રમાણે
L = mC + b લઈ શકાય. (જ્યાં, m અને b અચળ છે.)
હવે, L = 124,942 ત્યારે C = 20
∴ 124.942 = 20m + b ……..(1)
અને L = 125.134 ત્યારે C = 110
∴ 125.134 = 110m + b …….(2)
(2)માંથી (1) બાદ કરતાં, 0.192 = 90 m
∴ m = \(\frac{0.192}{90}\); જેને પરિણામ (1)માં મૂકતાં,
124.942 = 20\(\left(\frac{0.192}{90}\right)\) + b
∴ b = 124.942 – \(\frac{0.384}{90}\)
હવે, L = mC + bમાં m અને bની કિંમતો મૂકતાં,
L = \(\frac{0.192}{90}\)C + 124.942 – \(\frac{0.384}{90}\)
∴ L = \(\frac{0.192}{90}\)(C – 20) + 124.942 જે માગેલ સુરેખ સંબંધ છે.

પ્રશ્ન 17.
એક દૂધના વેચાણકેન્દ્રનો માલિક પ્રત્યેક અઠવાડિયે 980 લિટર દૂધ ₹ 14 પ્રતિલિટર અને 1220 લિટર દૂધ ₹ 16 પ્રતિલિટર વેચે છે. હવે દૂધની વેચાણકિંમત અને માંગ વચ્ચે સુરેખ સંબંધ છે તેમ માની લઈએ, તો તે પ્રત્યેક અઠવાડિયે ₹ 17 પ્રતિલિટરના ભાવે કેટલા લિટર દૂધ વેચી શકે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, દૂધના વેચાણકેન્દ્રનો માલિક l લિટર દૂધ x રૂપિયા પ્રતિલિટરના ભાવે વેચે છે અને દૂધની વેચાણકંમત અને માંગ, x અને l વચ્ચેનો સુરેખ સંબંધ l = mx + b છે. જ્યાં, m અને b અચળ છે.
જ્યારે, x = 14 ત્યારે l = 980
∴ 980 = 14m + b …….(1)
જ્યારે x = 16 ત્યારે l = 1220
∴ 1220 = 16m + b ……(2)
સમીકરણ (2)માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં,
240 = 2 m
∴ m = 120; જેને પરિણામ (1)માં મૂકતાં,
980 = 14 (120) + b
∴ b = 980 – 1680
∴ b = − 700
હવે, l = mx + bમાં m અને bની કિંમતો મુકતાં,
l = 120x – 700
હવે, x = 17 લેતાં,
l = 120 × 17 – 700
= 2040 – 700
= 1340
આમ, તે પ્રત્યેક અઠવાડિયે હૈં 17 પ્રતિલિટરના ભાવે 1340 લિટર દૂધ વેચી શકે.

પ્રશ્ન 18.
અક્ષો વચ્ચે બનતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ P (a, b) હોય, તો તે રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2 છે તેમ બતાવો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, રેખાના X-અક્ષ અને Y-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે p અને q છે.
અહીં, રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\) = 1 …..(1)
ધારો કે, રેખા X-અક્ષ અને Y-અક્ષને અનુક્રમે A અને B બિંદુઓમાં છેદે છે.
∴ A (p, O) અને B (0, q) થાય.
હવે, રેખાખંડ ABનું મધ્યબિંદુ P (a, b) છે.
∴ a = \(\frac{p+0}{2}\) અને b = \(\frac{0+q}{2}\)
∴ p = 2a અને q = 2b મળે; જેને પરિણામ (1)માં મૂકતાં,
માગેલી રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{2 a}+\frac{y}{2 b}\) = 1
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 2

પ્રશ્ન 19.
બિંદુ R (h, k) જે રેખાના અક્ષો વચ્ચે બનતા રેખાખંડનું બિંદુ 1 : 2ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે તે રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, રેખાનાં X-અક્ષ અને Y-અક્ષ પરનાં અંતઃખંડો અનુક્રમે a અને b છે.
∴ રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 ………(1)
ધારો કે, રેખા X-અક્ષને A અને Y-અક્ષને B બિંદુમાં છેદે છે. . A (a, (0) અને B (0, b) થશે.
હવે, બિંદુ R (h, k) રેખાખંડ ABનું 1 : 2 ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
∴ h = \(\frac{1(0)+2 a}{1+2}\) અને k = \(\frac{1(b)+2(0)}{1+2}\)
∴ h = \(\frac{2 a}{3}\) અને k = \(\frac{b}{3}\)
∴ a = \(\frac{3 h}{2}\) અને b = 3k મળે; જેને પરિણામ (1)માં મૂકતાં,
માગેલી રેખાનું સમીકરણ \(\frac{x}{\left(\frac{3 h}{2}\right)}+\frac{y}{3 k}\) = 1
∴ \(\frac{2 x}{3 h}+\frac{y}{3 k}\) = 1
∴ 2kx + hy = 3kh

પ્રશ્ન 20.
રેખાના સમીકરણની સંકલ્પનાનો ઉપયોગ કરી સાબિત કરો કે (3, 0), (–2, -2) અને (8, 2) સમરેખ છે.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A (3, 0), B (– 2, − 2) અને C (8, 2) આપેલાં બિંદુઓ છે. પહેલાં બિંદુઓ A (3, 0) અને B (– 2, – 2)માંથી પસાર થતી રેખા ABનું સમીકરણ મેળવીએ.
હવે, બિંદુઓ (x₁, y₁) અને (x₂, y₂) માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ \(\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) છે.
અહીં, (x₁, y₁) = (3, 0) અને (x₂, y₂) = (−2, −2) લેતાં,
રેખા ABનું સમીકરણ \(\frac{y-0}{x-3}=\frac{-2-0}{-2-3}\)
∴ \(\frac{y}{x-3}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}\)
∴ 5g = 2x – 6
∴ 2x – 5y – 6 = 0
હવે, x = 8 અને y = 2 રેખા ABના સમીકરણમાં મૂકતાં,
ડા.બા. = 2 (8) – 5 (2) – 6
= 16 – 10 – 6 = 0 = જ.બા.
આથી બિંદુ C (8, 2) રેખા AB ઉપર આવેલું છે.
આમ, બિંદુઓ A, B, C સમરેખ છે.