Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 15 આંકડાશાસ્ત્ર Ex 15.1 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 15 આંકડાશાસ્ત્ર Ex 15.1
પ્રશ્ન 1 અને 2માં આપેલી માહિતી માટે મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :
પ્રશ્ન 1.
4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17
ઉત્તરઃ
આપેલી માહિતી માટે મધ્યક,
x̄ = \(\frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8}\)
= \(\frac{80}{8}\)
= 10
હવે, આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશુંઃ
| xi | |xi – x̄|, x̄ = 10 |
| 4 | 6 |
| 7 | 3 |
| 8 | 2 |
| 9 | 1 |
| 10 | 0 |
| 12 | 2 |
| 13 | 3 |
| 17 | 7 |
| કુલ | \( \sum_{i=1}^8 \) |xi – x̄| = 24 |
∴ મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D. (x̄) = \(\frac{\sum_{t=1}^8\left|x_i-\bar{x}\right|}{8}\)
= \(\frac{24}{8}\) = 3
પ્રશ્ન 2.
38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44
ઉત્તરઃ
આપેલી માહિતી માટે મધ્યક,
x̄ = \(\frac{38+70+48+40+42+55+63+46+54+44}{10}\)
= \(\frac{500}{10}\) = 50
હવે, આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયા૨ કરીશું :
| xi | |xi – x̄|, x̄ = 50 |
| 38 | 12 |
| 70 | 20 |
| 48 | 2 |
| 40 | 10 |
| 42 | 8 |
| 55 | 5 |
| 63 | 13 |
| 46 | 4 |
| 54 | 4 |
| 44 | 6 |
| કુલ | \( \sum_{i=1}^10 \) |xi – x̄| = 84 |
∴ મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D. (x̄) = \(\frac{\sum_{i=1}^{10}\left|x_i-\bar{x}\right|}{10}\)
= \(\frac{84}{10}\) = 8.4
પ્રશ્ન 3 અને 4માં આપેલી માહિતી માટે મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :
પ્રશ્ન 3.
13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17
ઉત્તરઃ
આપેલાં અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતાં,
10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 18 તથા n = 12, જે યુગ્મ સંખ્યા છે.
∴ મધ્યસ્થ (M) = (\(\frac{n}{2}\))મા અને (\(\frac{n}{2}\)+1)મા અવલોકનોની સરેરાશ
= છઠ્ઠા અને સાતમા અવલોકનોની સરેરાશ
= \(\frac{13+14}{2}\)
= 13.5
હવે, આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું :
| xi | |xi – M|, M = 13.5 |
| 13 | 0.5 |
| 17 | 3.5 |
| 16 | 2.5 |
| 14 | 0.5 |
| 11 | 2.5 |
| 13 | 0.5 |
| 10 | 3.5 |
| 16 | 2.5 |
| 11 | 2.5 |
| 18 | 4.5 |
| 12 | 1.5 |
| 17 | 3.5 |
| કુલ | \( \sum_{i=1}^{12} \)| xi – M| = 28.0 |
∴ મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D. (M) = \(\frac{\sum_{i=1}^{12}\left|x_i-M\right|}{n}=\frac{28}{12}\) = 2.33
પ્રશ્ન 4.
36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49
ઉત્તરઃ
આપેલાં અવલોકનોને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતાં,
36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72 d n = 10, જે યુગ્મ છે.
∴ મધ્યસ્થ (M) = (\(\frac{n}{2}\))મા અને (\(\frac{n}{2}\)+1)મા અવલોકનોની સરેરાશ
= પાંચમા અને છઠ્ઠા અવલોકનોની સરેરાશ
= \(\frac{46+49}{2}=\frac{95}{2}\) = 47.5
હવે, આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશુંઃ
| xi | |xi – M|, M = 47.5 |
| 36 | 11.5 |
| 72 | 24.5 |
| 46 | 1.5 |
| 42 | 5.5 |
| 60 | 12.5 |
| 45 | 2.5 |
| 53 | 5.5 |
| 46 | 1.5 |
| 51 | 3.5 |
| 49 | 1.5 |
| કુલ | \( \sum_{i=1}^{10} \) |xi – M| = 70.0 |
∴ મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D. (M) = \(\frac{\sum_{i=1}^{10}\left|x_i-M\right|}{n}=\frac{70}{10}\) = 7
પ્રશ્ન 5 અને 6માં આપેલી માહિતી માટે મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :
પ્રશ્ન 5.
ઉત્તરઃ
આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું :
મધ્યકઃ
x̄ = \(\frac{\sum_{i=1}^5 f_i x_i}{\sum_{i=1}^5 f_i}=\frac{350}{25}\) = 14
મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D. (x̄) = \(\frac{\sum_{i=1}^5 f_i\left|x_i-\bar{x}\right|}{\sum_{i=1}^5 f_i}\)
= \(\frac{158}{25}\) = 6.32
પ્રશ્ન 6.
ઉત્તરઃ
આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું :
મધ્યક :
x̄ = \(\frac{\sum_{i=1}^5 f_i x_i}{\sum_{i=1}^5 f_i}=\frac{4000}{80}\)
= 50
મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D. (x̄) = \(\frac{\sum_{i=1}^5 f_i\left|x_i-\bar{x}\right|}{\sum_{i=1}^5 f_i}=\frac{1280}{80}\)
= 16
પ્રશ્ન 7 અને 8માં આપેલી માહિતી માટે મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :
પ્રશ્ન 7.
ઉત્તરઃ
આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું :
મધ્યસ્થ : N = 26, જે યુગ્મ છે.
∴ M = (\(\frac{n}{2}\))મા અને (\(\frac{n}{2}\) + 1)મા અવલોકનોની સરેરાશ
= 13મા અને 14મા અવલોકનોની સરેરાશ
આ બંને અવલોકનો સંચયી આવૃત્તિ 14ને સંગત છે. તેને અનુરૂપ અવલોકન 13 છે.
પ્રશ્ન 8.
ઉત્તરઃ
આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું :
મધ્યસ્થ : N = 29, જે યુગ્મ છે.
∴ M = \(\left(\frac{\mathrm{N}+1}{2}\right)\)મું અવલોકન = 15મું અવલોકન
આ અવલોકનો સંચયી આવૃત્તિ 21ને સંગત છે. તેને અનુરૂપ અવલોકન 30 છે.
∴ M = 30
મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D (M) = \(\frac{\sum_{i=1}^5 f_i\left|x_i-\mathrm{M}\right|}{\mathrm{N}}\)
= \(\frac{148}{29}\) = 5.1
પ્રશ્ન 9 અને 10માં આપેલી માહિતી માટે મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :
પ્રશ્ન 9.
ઉત્તરઃ
અહીં, નવો ચલ di = \(\frac{x_i-350}{100}\) લઈ નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયા૨ કરીશું :
ઉપરના કોષ્ટક પરથી,
\(\sum_{i=1}^8\) fidi = 4 અને \(\sum_{i=1}^8\) fi = 50
∴ d = \(\frac{\sum_{i=1}^8 f_t d_t}{\sum_{i=1}^8 f_i}=\frac{4}{50}\)
∴ x = a + hd̄ જ્યાં, a = 350 અને h = 100
= 350 + 100 × \(\frac{4}{50}\)
= 358
હવે, કોષ્ટક પરથી,
\(\sum_{t=1}^8\)fi|xi – x̄| = 7896
∴ મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D. (x) = \(\frac{\sum_{t=1}^8 f_i\left|x_t-\bar{x}\right|}{\sum_{t=1}^8 f_t}\)
= \(\frac{7896}{50}\)
= 157.92
પ્રશ્ન 10.
ઉત્તરઃ
અહીં, નવો ચલ di = \(\frac{x_i-120}{10}\) લઈ નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયા૨ કરીશું :
હવે, કોષ્ટક પરથી,
હવે, કોષ્ટક પરથી,
\(\sum_{i=1}^6\)fi|xi – x| = 1128.8
∴ મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D (x) = \(\frac{\sum_{t=1}^6 f_t\left|x_t-\bar{x}\right|}{\sum_{t=1}^6 f_i}\)
= \(\frac{1128.8}{100}\) = 11.28
પ્રશ્ન 11.
આપેલી માહિતી માટે મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો :
ઉત્તરઃ
આપેલી માહિતી પરથી નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયા૨ કરીશું:
અહીં, N = 50
∴ મધ્યસ્થ વર્ગ = (\(\frac{n}{2}\))મું અવલોકન અર્થાત્ 25મું અવલોકન જે વર્ગમાં હોય તે વર્ગ
∴ ઉપરના કોષ્ટકમાં સંચયી આવૃત્તિ પરથી,
મધ્યસ્થ વર્ગ = 20 – 30
હવે, મધ્યસ્થ (M) = l + \(\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-\mathrm{C}}{f}\) × h
અહીં, l = 20, C = 14, f = 14, h = 10 અને N = 50
∴ M = 20 + \(\frac{25-14}{14}\) × 10
= 20 + \(\frac{110}{14}\)
= 20 + 7.86 = 27.86
હવે, કોષ્ટક પરથી, \(\sum_{i=1}^6\)fi|xi – M| = 517.16
∴ મધ્યસ્થને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D. (M) = \(\frac{1}{\mathrm{~N}} \sum_{i=1}^6\)fi|xi – M|
= \(\frac{1}{50}\) x 517.16
= 10.34
પ્રશ્ન 12.
100 વ્યક્તિઓનું વય વિતરણ નીચે આપેલ છે, મધ્યસ્થ વયની સાપેક્ષે સરેરાશ વિચલનની ગણતરી કરોઃ
[સૂચન : પ્રત્યેક વર્ગની અધઃસીમામાંથી 0.5 ઘટાડીને તેની ઊર્ધ્વસીમામાં 0.5 ઉમેરો અને આપેલ માહિતીને સતત આવૃત્તિ-વિતરણમાં ફેરવો.]
ઉત્તરઃ
અહીં, પ્રત્યેક વર્ગની અધઃસીમામાંથી 0.5 ઘટાડીને તેની ઊર્ધ્વસીમામાં 0.5 ઉમેરીને આપેલ માહિતીને સતત આવૃત્તિ-વિતરણમાં ફેરવીને નીચે મુજબ કોષ્ટક તૈયાર કરીશું :
અહીં, N = 100
∴ મધ્યસ્થ વર્ગ = (\(\frac{n}{2}\))નું અવલોકન અર્થાત્ 50મું અવલોકન જે વર્ગમાં હોય તે વર્ગ
∴ ઉપરના કોષ્ટકમાં સંચયી આવૃત્તિ પરથી,
મધ્યસ્થ વર્ગ = 35.5 – 45.5
હવે, મધ્યસ્થ (M) = l + \(\frac{\frac{N}{2}-C}{f}\) × h
અહીં, 1 = 35.5, C = 37, f = 26, h = 5 અને N = 100
∴ M = 35.5 + \(\frac{50-37}{26}\) × 5 = 35.5 + 2.5 = 28
કોષ્ટક પરથી, \(\sum_{i=1}^8\)fi|xi – M| = 735
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન,
M.D. (M) = \(\frac{1}{\mathrm{~N}} \sum_{i=1}^8\)fi|xi – M|
= \(\frac{1}{100}\) × 735
= 7.35