GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 8 સંકલનનો ઉપયોગ Ex 8.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 8 સંકલનનો ઉપયોગ Ex 8.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 8 સંકલનનો ઉપયોગ Ex 8.1

પ્રશ્ન 1.
વક્ર y² = x, X-અક્ષ અને રેખાઓ x = 1 અને x = 4 વડે પ્રથમ ચરણમાં આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
y² = x એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય દર્શાવે છે. જેનું શીર્ષ
O(0, 0) તથા અક્ષ X-અક્ષ છે.

x = 1 તથા x = 4, એ બે સમાંતર શિરોલંબ રેખાઓ છે.
વક્રy = x, X-અક્ષ અને રેખાઓ x = 1 તથા x = 4 વડે પ્રથમ ચરણમાં આવૃત્ત પ્રદેશ ABCDA નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
∴ માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = |I|

∴ માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = |I| = \(\frac{14}{3}\) ચો. એકમ

પ્રશ્ન 2.
વક્ર y² = 9x, X-અક્ષ અને રેખાઓ x = 2 અને x = 4 દ્વારા = આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
y² = 9x એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય દર્શાવે છે, જેનું શીર્ષ O(0, 0) છે તથા અક્ષ X-અક્ષ છે. રેખાઓ x = 2 અને x = 4 એ બે સમાંતર શિરોલંબ રેખાઓ છે.
વક્ર y² = 9x, X-અક્ષ અને રેખાઓ x = 2 અને x = 4 દ્વારા આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશ ABCDA નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
∴ માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = |I|

∴ માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = |1| = (16 – 4√2) ચો. એકમ

પ્રશ્ન 3.
વક્ર x = 4y, Y-અક્ષ અને રેખાઓ y = 2 અને y = 4 દ્વારા આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્ર x = 4y એ Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય દર્શાવે છે, શીર્ષ O(0, 0) છે.

y = 2 તથા y = 4 એ બે સમાંતર સમક્ષિતિજ રેખાઓ દર્શાવે છે. વક્રx2 4y, Y-અક્ષ અને રેખા y = 2 અને y = 4 દ્વારા આવૃત્ત પ્રદેશ ABCDA નું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = |Z|

∴ માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = \(\left(\frac{32-8 \sqrt{2}}{3}\right)\) ચો. એકમ

પ્રશ્ન 4.
ઉપવલય \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1 થી આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
ઉપવલય \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}\) = 1 છે.

a² = 16, b² = 9 = a > 0 ઉપવલયનું કેન્દ્ર (0, 0) છે.
a = 4 તથા b = 3. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ 2a = 8 તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ 2b = 6 થાય.
ઉપવલય બંને અક્ષો પ્રત્યે સંમિત હોય છે.
∴ ઉપવલયનું કોઈ એક ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધી તેને ચાર વડે ગુણવામાં આવે છે.

આપણે ઉપવલયનું પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધીશું. પ્રથમ ચરણમાં આવૃત્ત પ્રદેશ OACO નું ક્ષેત્રફળ A હોય તો A = |I|

ક્ષેત્રફળ = 4A = 4(3π) = 12π ચો. એકમ

પ્રશ્ન 5.
ઉપવલય \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\) = 1 થી આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
ઉપવલય \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}\) = 1 છે.
∴ a² = 4, b² = 9 ⇒ a < b
a = 2, b = 3

ઉપવલયનું કેન્દ્ર O(0, 0) છે. પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2b = 6
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2a = 4
ઉપવલય બંને અક્ષો પ્રત્યે સંમિત હોય છે.
∴ ઉપવલય દ્વારા આવૃત્ત પ્રદેશનું કોઈ એક ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધી તેને ચાર વડે ગુણવામાં આવે છે.

આપણે આપેલ ઉપવલયનું પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ શોધીશું. પ્રથમ ચરણમાં આવૃત્ત પ્રદેશ OABO નું ક્ષેત્રફળ A હોય તો A = |I|

પ્રશ્ન 6.
વર્તુળ x² + y² = 4, રેખા x = √3y અને X – અક્ષ દ્વારા આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ

વર્તુળ x + y = 4 નું કેન્દ્ર O(0, 0) તથા ત્રિજ્યા 2 છે.
રેખા x = √3y એ ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે જે વર્તુળને B તથા B’ બિંદુએ છેદે છે.
x² + y² = 4 તથા x = √3y
∴ (√3y)² + y² = 4
∴ 3y² + y² = 4

y² = 1 ⇒ y = ±1
y = ± 1 અને x = √3y ⇒ x = ±√3
∴ B નાં યામ = (√3, 1) તથા B’ નાં યામ (-√3, −1) થાય.
વર્તુળ x² + y² = 4 રેખા x = √3y અને X-અક્ષ દ્વારા આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશ OABO છે. OABO પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = OLBO પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ + LABL પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ.

નોંધ : મિત્રો આ દાખલો નીચે પ્રમાણે પણ ગણી શકાય.
ક્ષેત્રફળ A = \(\int_0^1\left(\sqrt{4-y^2}-\sqrt{3} y\right)\)dy

પ્રશ્ન 7.
રેખા x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) દ્વારા વર્તુળાકાર પ્રદેશ x² + y² = 2 માંથી કપાતા નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
x² + y² = 2 એ O(0, 0) કેન્દ્ર તથા ઢ ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) એ શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે.
x² + y² = a² તથા x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) ને ઉકેલતાં,

વર્તુળ x² + y² = a² બંને અક્ષ પ્રત્યે સંમિત છે. રેખા x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) નાનો પ્રદેશ BCB’AB છે.
માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = 2 (પ્રદેશ ABCA નું ક્ષેત્રફળ)

પ્રશ્ન 8.
રેખા x = a એ x = y² અને x = 4 વડે આવૃત્ત પ્રદેશના ક્ષેત્રફળનું બે સમાન ભાગમાં વિભાજન કરે તો a શોધો.
ઉત્તરઃ

x = y² એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય દર્શાવે છે. x = a તથા x = 4 એ શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે.
હવે x = a રેખા એ x = y² અને x = 4 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનાં ક્ષેત્રફળનાં બે સમાન ભાગમાં વિભાજન કરે છે.
∴ પ્રદેશ OA’CAO નું ક્ષેત્રફળ = પ્રદેશ A’B’C’BAA’ નું ક્ષેત્રફળ .
∴ 2 × પ્રદેશ OCAO નું ક્ષેત્રફળ = 2 × પ્રદેશ CC’BA નું ક્ષેત્રફળ
∴ પ્રદેશ OCA નું ક્ષેત્રફળ = પ્રદેશ CC’BA નું ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્ન 9.
પરવલય y = x અને y = |x|વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ

પરવલય y = x² એ Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત છે.
y = |x |
∴ y = x, x ≥ 0
= -x, x < 0
y = x² તથા y = x ને ઉકેલતાં છેદબિંદુનાં યામ O(0, 0) તથા A(1, 1) મળશે. તેવી જ રીતે y = x² અને y = − x ને ઉકેલતાં છેદબિંદુનાં યામ O(0, 0) તથા B(−1, 1) મળશે.
∴ પરવલય y = x² અને y = |x| વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
A = છાયાંકિત ભાગનું ક્ષેત્રફળ
= 2 (પ્રથમ ચરણમાં આવેલ છાયાંક્તિ ભાગનું ક્ષેત્રફળ)

પ્રશ્ન 10.
વક્ર x² = 4y અને રેખા x = 4y – 2 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્ર x² = 4y એ Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત ઉપરની તરફ ખૂલતો પરવલય છે. રેખાનું સમીકરણ x = 4y – 2 છે. પ્રથમ વક્ર x² = 4y તથા રેખા x = 4y – 2 ને ઉકેલીને છેદબિંદુનાં યામ મેળવીએ.
x = 4y – 2 ⇒ (4y – 2)² = 4y
∴ 16y² – 16y + 4 = 4y
∴ 16y2 – 20y + 4 = 0
∴ 4y² − 5y + 1 = 0
∴ (4y – 1) · (y – 1) = 0
∴ y = \(\frac{1}{4}\) તથા y = 1
x = 4y – 2 ⇒ y = \(\frac{1}{4}\) હોય ત્યારે x = 4 (\(\frac{1}{4}\)) – 2 = -1
y = 1 હોય ત્યારે x = 4(1) -2 = 2
∴ વક્ર અને રેખાનાં છેદબિંદુ A(−1, \(\frac{1}{4}\)) તથા B(2, 1) છે.

માંગેલ ક્ષેત્રફળ એ છાયાંકિત પ્રદેશ OBDAO નું ક્ષેત્રફળ છે. .. ક્ષેત્રફળ A = LOMBDA પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ – LMBOAL પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્ન 11.
વક્ર y² = 4x અને રેખા x = ૩ વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ

y² = 4x એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય છે. રેખા x = 3 એ શિરોલંબ રેખા છે.
જે પરવલયને A (3, \(\sqrt{12}\) ) તથા B(−3, –\(\sqrt{12}\) )માં છેદે છે.

વક્ર y² = 4x અને રેખા ઝ = 3 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ OBCAO પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે.
∴ માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = 2 × (OCAO પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ)

પ્રશ્નો 12 તથા 13 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 12.
વર્તુળ x + y અને રેખા x = 0 અને x = 2 વડે આવૃત્ત પ્રથમ ચરણમાં આવેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
(A) π
(B) \(\frac{\pi}{2}\)
(C) \(\frac{\pi}{3}\)
(D) \(\frac{\pi}{4}\)
ઉત્તરઃ

x² + y² = 4 એ O(0, 0) કેન્દ્ર તથા 2 ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ છે. x = 0 એ Y-અક્ષ છે તથા x = 2 એ શિરોલંબ રેખા છે. માંગેલ ક્ષેત્રફળ,

∴ વિકલ્પ (A) આવે.

પ્રશ્ન 13.
વક્ર y² = 4x, Y-અક્ષ અને રેખા y = 3 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
(A) 2
(B) \(\frac{9}{4}\)
(C) \(\frac{9}{3}\)
(D) \(\frac{9}{2}\)
ઉત્તરઃ
y² = 4x એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય છે. y = 3 એ સમક્ષિતિજ રેખા છે. વક્ર y = 4x, Y-અક્ષ અને રેખા y = ૩ વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ OABO પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે. જે આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.

∴ વિકલ્પ (B) આવે.