GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 8 સંકલનનો ઉપયોગ Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 8 સંકલનનો ઉપયોગ Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 8 સંકલનનો ઉપયોગ Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
આપેલ વક્ર અને રેખા વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો :
(i) y = x²; x = 1, x = 2 અને X-અક્ષ
(ii) y = x²; x = 1, x = 5 અને X-અક્ષ
ઉત્તરઃ
(i) y = x²; x = 1, x = 2 અને X-અક્ષ

y = x² એ Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય છે.
y = x², x = 1, x = 2 અને
X-અક્ષ વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ પ્રદેશ ABCDA નું ક્ષેત્રફળ છે.

(ii) y = x⁴; x = 1, x = 5 અને X-અક્ષ
ઉત્તરઃ
y = x⁴ એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત વક્ર છે.
y = x⁴, x = 1, x = 5 અને X-અક્ષ વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ પ્રદેશ ABCDA નું ક્ષેત્રફળ છે.

પ્રશ્ન 2.
વક્રો y = x અને y = x² વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
y = x² એ Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય દર્શાવે છે.

x = x²
∴ x² − x = 0
∴ x(x – 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1
⇒ y = 0, y = 1
∴ y = x² અને y = x નું છેદબિંદુ O(0, 0) તથા A(1, 1) છે. y = x² અને y = x વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ આકૃતિમાં છાયાંકિત રેખાઓ વડે દર્શાવેલ છે.

પ્રશ્ન 3.
y = 4x², x = 0, y = 1 અને y = 4 વડે પ્રથમ થરણાં આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
y = 4x² એ Y-અક્ષ વડે સંમિત પરવલય દર્શાવે છે.
x = 0 એ Y-અક્ષ દર્શાવે છે.
y = 1 અને y = 4 એ સમક્ષિતિજ સમાંતર રેખાઓ છે.

માંગેલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રદેશ ABCD વડે આવૃત્તપ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે,

પ્રશ્ન 4.
y = |x + 3| નું આલેખન કરો અને \(\int_{-6}^0\)|x + 3| ની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ
y = |x + 3|
= x + 3, x ≥ -3
= (x + 3), x < −3

માંગેલ ક્ષેત્રફળ એ આકૃતિમાં છાયાંકિત રેખાઓ વડે દર્શાવેલ છે.

પ્રશ્ન 5.
વક્ર y = sin x, x = 0 અને x = 2π દ્વારા આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
y = sin x, x = 0 અને x = 2π

y = sin x, x = 0 અને x = 2π વડે આવૃત્ત પ્રદેશ આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.

∴ માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = |I₁| + |I₂|
= |2 + |2|
= 2 + 2
= 4 ચો. એકમ
નોંધ : અહીં I₂ ક્ષેત્રફળમાં f(x) < 0 હોવાથી I‚ નું મૂલ્ય ઋણ આવે છે, પરંતુ ક્ષેત્રફળ ઋણ હોઈ શકે નહીં તેથી |I₂| લેવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 6.
વક્રો y² = 4ax અને y = mx વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
y² = 4ax એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય દર્શાવે છે.
y = mx એ ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા દર્શાવે છે.
સમીકરણો y = 4ax અને y = mx ઉકેલતાં,
∴ m²x² = 4ax
∴ x = 0, x = \(\frac{4 a}{m^2}\)
y = mx ⇒ y = 0, y = \(\frac{4 a}{m}\)
∴ પરવલય તથા રેખાનાં છેદબિંદુઓ O(0, 0) તથા A\(\left(\frac{4 a}{m^2}, \frac{4 a}{m}\right)\) છે.

y² = mx વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્ન 7.
પરવલય 4y = 3x અને રેખા 2y = 3x + 12 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
4y = 3x² ⇒ y = \(\frac{3}{4}\)x² એ Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય છે.
2y = 3x + 12 એ રેખાનું સમીકરણ છે.
y = \(\frac{3}{4}\) x² અને y = \(\frac{3 x+12}{2}\) ને ઉકેલતાં છેદબિંદુનાં યામ મળશે.

∴ રેખા તથા પરવલયનું છેદબિંદુ A(4, 12) અને B(−2, 3) છે.
4y = 3x²
2y = 3x + 12 વડે આવૃત્ત પ્રદેશ ABOA છે. જે આકૃતિમાં રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.

પ્રશ્ન 8.
ઉપવલય \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\) = 1 અને રેખા \(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}\) = 1 वडे आवृत्त નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
ઉપવલય \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\) = 1 નું કેન્દ્ર (0, 0) છે.
a² = 9 ⇒ a = 3, b² = 4 ⇒ b = 2 ∴ a > b
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\) = 1
\(\frac{y^2}{4}\) = 1 – \(\frac{x^2}{9}\)
y = ±\(\frac{2}{3} \sqrt{9-x^2}\)

\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}\) = 1 એ X-અક્ષ પર 3 તથા Y-અક્ષ પર 2 અંતઃખંડ કાપતી રેખાનું સમીકરણ છે.

∴ \(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}\) = 1
∴ \(\frac{y}{2}\) = 1 – \(\frac{x}{3}\)
∴ y = \(\frac{2}{3}\)(3 – x)

માંગેલ ક્ષેત્રફળ એ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે છાયાંકિત પ્રદેશ ACBA નું ક્ષેત્રફળ છે.
∴ માંગેલ ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્ન 9.
ઉપવલય \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 અને રેખા \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 વડે આવૃત્ત નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) ઉપવલયનું કેન્દ્ર (0, 0) છે. a > 0
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ = 2a
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ = 2b

રેખા \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1 એ X-અક્ષ પર ૮ અંતઃખંડ તથા Y-અક્ષ પર b અંતઃખંડ કાપે છે.

પ્રશ્ન 10.
પરવલય x² = y, રેખા y = x + 2 અને X-અક્ષ વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
x² = y એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય છે.
y = x + 2 એ રેખાનું સમીકરણ છે.
x² = y તથા y = x + 2 સમીકરણોને ઉકેલતાં છેદબિંદુનાં યામ મળશે.
∴ x² = x + 2
x² – x – 2 = 0
(x – 2)(x + 1) = 0
∴ x = 2, -1

y = x + 2
x = 2 ⇒ y = 2 + 2 = 4
x = −1 ⇒ y = −1 + 2 = 1

∴ પરવલય x² = y તથા રેખા y = x + 2 નું છેદબિંદુ A(2, 4) તથા B(-1, 1) .

પરવલય x² = y તથા રેખા y = x + 2 અને X-અક્ષ વડે આવૃત્ત પ્રદેશ આકૃતિમાં રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. માંગેલ ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્ન 11.
સંકલનના ઉપયોગથી |x| + |y| = 1 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો. (સૂચન : માંગેલ પ્રદેશ રેખાઓ x + y = 1, x − y = 1, −x + y = 1 અને −x − y = 1 વડે આવृत्त છે.)
ઉત્તરઃ
|x| + |y| = 1
⇒ ±x ± y = 1
∴ x + y = 1 ……..(i)
-x + y = 1 ………(ii)
x – y = 1 ….(iii)
– x – y = 1 … (iv)
સમીકરણ (i) અને (ii) ને ઉકેલતાં A(0, 1) મળશે.
સમીકરણ (i) અને (iii) ને ઉકેલતાં B(1, 0) મળશે.
સમીકરણ (ii) અને (iv) ને ઉકેલતાં C(−1, 0) મળશે.
સમીકરણ (iii) અને (iv) ને ઉકેલતાં D(−1, 0) મળશે.
સ્પષ્ટ છે કે રેખાઓ x + y = 1 તથા –x – y = 1
સમાંતર રેખાઓ છે તેવી જ રીતે રેખાઓ -x + y = 1 તથા x – y = 1 સમાંતર રેખાઓ છે.

x + y = 1 રેખા અક્ષોને (1, 0) તથા (0, 1) માં છેદશે.
−x + y = 1 રેખા અક્ષોને (−1, 0) તથા (0, 1) માં છેદશે.
x – y = 1 રેખા અક્ષોને (1, 0) તથા (0, −1) માં છેદશે.
–x – y = 1 રેખા અક્ષોને (−1, 0) તથા (0, −1) માં છેદશે.
આ ચારેય રેખાઓને આકૃતિમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય.
|x| + |y| = 1 વર્ડ આવૃત્ત પ્રદેશ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ABCDA છે.
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે આ પ્રદેશ બંને અક્ષો પ્રત્યે સંમિત છે.
∴ પ્રથમ ચરણમાં આવૃત્ત પ્રદેશ AOB નું ક્ષેત્રફળ શોધી તેને ચાર વડે ગુણવાથી માંગેલ ક્ષેત્રફળ મળશે.

પ્રશ્ન 12.
{(x, y)|y ≥ x² અને y=|x]} થી રચાતા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
y ≥ x²
પ્રથમ સમીકરણ y = x² નો વિચાર કરો.
y = x² એ Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય દર્શાવે છે. પરવલયની

અક્ષ Y-અક્ષ છે તથા તેનું શીર્ષ (0, 0) છે. હવે બિંદુ (1, 0) લો. y ≥ x² માં x = 1 તથા y = 0, 0 ≥ 1 જે સત્ય નથી.
∴ બિંદુ (1, 0) ન હોય તેવો પરવલયની બહારનો પ્રદેશ y ≥ x² દર્શાવે છે.
હવે y = |x|
∴ y = x, x ≥ 0
= – x, x < 0

y ≥ x² અને y = |x| થી રચાતો પ્રદેશ AEODA + BFOCB થશે. આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે બંને પ્રદેશો Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત છે.
y = x² તથા y = | x | નું છેદબિંદુ A(1, 1) તથા B(−1, 1) છે. માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = પ્રદેશ AEODA નું ક્ષેત્રફળ + પ્રદેશ BFOCB નું ક્ષેત્રફળ.

પ્રશ્ન 13.
સંકલનની મદદથી શિરોબિંદુઓ A(2, 0), B(4, 5) અને C(6, 3) થી રચાતા ત્રિકોણ ABC નું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ

A(2, 0), B(4, 5) તથા C(6, 3) એ A ABC નાં શિરોબિંદુઓ છે.
રેખા \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}\) નું સમીકરણ : \(\left|\begin{array}{lll}
x & y & 1 \\
2 & 0 & 1 \\
4 & 5 & 1
\end{array}\right|\) = 0
∴ x(0 – 5) – Y (2 − 4) + 1 (10 – 0) = 0
∴ -5x + 2y + 10 = 0
∴ y = \(\frac{5 x-10}{2}\)
y = \(\frac{5}{2}\)(x – 2) ………..(i)

રેખા \(\stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{BC}}\) નું સમીકરણ : \(\left|\begin{array}{lll}
x & y & 1 \\
4 & 5 & 1 \\
6 & 3 & 1
\end{array}\right|\)
x (5 – 3) – y (4 – 6) + 1 (12 – 30) = 0
2x + 2y – 18 = 0
x + y – 9 = 0
y = 9 – x ….(ii)

રેખા \(\overleftrightarrow{\mathrm{AC}}\) નું સમીકરણ : \(\left|\begin{array}{lll}
x & y & 1 \\
2 & 0 & 1 \\
6 & 3 & 1
\end{array}\right|\) = 0
x(0 – 3) – y (2 – 6) + 1 (6 – 0) = 0
-3x + 4y + 6 = 0
∴ y = \(\frac{3 x-6}{4}\)
y = \(\frac{3}{4}\) (x − 2) ….(iii)
માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = ΔABC નાં પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
= ΔAMB નાં પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ + પ્રદેશ
MBCN નું ક્ષેત્રફળ – ΔACN નું ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્ન 14.
સંકલનના ઉપયોગથી રેખાઓ 2x + y = 4, 3x – 2y = 6 અને x – 3y + 5 = 0 થી રચાતા ત્રિકોણીય પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
2x + y = 4 …(i)
3x – 2y = 6 ….(ii)
x – 3y+ 5 = 0….(iii)

સમીકરણ (i) અને (ii) ને ઉકેલતાં,

x = 2
(i) ⇒ 2x + y = 4
∴ y = 4 – 2x
= 4 – 2(2)
= 0

∴ સમીકરણ (i) અને (ii) નો ઉકેલ A(2, 0) છે.
સમીકરણ (i) અને (iii) ઉકેલતાં,

x = 1
(iii) x – 3y = -5
∴ y = \(\frac{x+5}{3}\)
∴ y = \(\frac{1+5}{3}\) = 2

સમીકરણ (i) અને (ii) નો ઉકેલ B(1, 2) છે.
સમીકરણ (ii) અને (iii) ઉકેલતાં,

(iii) ⇒ 3x – 2y = 6
y = \(\frac{3 x-6}{2}\)
3x – 2(3) = 6
∴ x = 4
∴ સમીકરણ (ii) અને (iii) નો ઉકેલ C(4, 3) છે.
સમીકરણ (i), (ii) તથા (iii) વડે ત્રિકોણીય પ્રદેશ ABC બને છે. જ્યાં A(2, 0) છે, B(1, 2) તથા C(4, 3) છે.

ત્રિકોણીય પ્રદેશ ABC નું ક્ષેત્રફળ
= પ્રદેશ BLMCB નું ક્ષેત્રફળ – પ્રદેશ BLA નું ક્ષેત્રફળ – પ્રદેશ AMC નું ક્ષેત્રફળ

માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = \(\frac{7}{2}\) ચો. એકમ

પ્રશ્ન 15.
{(x, y)| y² ≤ 4x, 4x² + 4y² ≤9} થી રચાતા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
y² ≤ 4x
y² = 4x એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલયનું સમીકરણ છે. જેની અક્ષ X-અક્ષ તથા શીર્ષ (0, 0) છે.
ધારો કે (2, 0) બિંદુ લો. y² ≤ 4x માં x = 2, y = 0 લઈએ તો 0 ≤ 8 જે સત્ય છે.
∴ y² ≤ 4x એ પરવલય તથા તેની અંદરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે. sa 4x² + 4y² ≤ 9
∴ x² + y² = \(\frac{9}{4}\) જે (0, 0) કેન્દ્ર અને \(\frac{3}{2}\) ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
4x² + 4y² ≤ 9 માં x = y = 0 મૂકતાં,
0 ≤ 9 જે સત્ય છે.
4x² + 4y² ≤ 9 એ વર્તુળ તથા તેની અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.
સમીકરણ y² = 4x અને 4x² + 4y² = 9 ને ઉકેલતાં,
∴ 4x² + 16x − 9 = 0
∴ 4x² + 18x – 2x-9= 0
∴ 2x (2x+9) − 1 (2x + 9) = 0
∴ (2x+9) (2x − 1) = 0
x = – \(\frac{9}{2}, \frac{1}{2}\)

⇒ y² = 4x
∴ x = –\(\frac{9}{2}\) ⇒ y² = -18
જે સત્ય નથી.
x = \(\frac{1}{2}\) = y² = 2
⇒ y = ± √√2
∴ પરવલય તથા વર્તુળનાં છેદબિંદુઓ A (\(\frac{1}{2}\), √2) તથા B(\(\frac{1}{2}\), -√2) છે
વર્તુળ x² + y² = \(\frac{9}{4}\) એ બંને અક્ષો પ્રત્યે સંમિત છે, માંગેલ
ક્ષેત્રફળ A = પ્રદેશ AOBCA પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
= 2 [પ્રદેશ AOCA નું ક્ષેત્રફળ]
= 2 [પ્રદેશ AODA નું ક્ષેત્રફળ + પ્રદેશ ADCA નું ક્ષેત્રફળ]
2 × પ્રદેશ AODA નું ક્ષેત્રફળ + 2 × પ્રદેશ ADCA નું ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્નો 16 થી 19 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 16.
વક્ર y = x³, X-અક્ષ અને રેખાઓ x = —2 તથા x = 1 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ ………….
(A) -9
(B) \(-\frac{15}{4}\)
(C) \(\frac{15}{4}\)
(D) \(\frac{17}{4}\)
ઉત્તરઃ
y = x³, X-અક્ષ તથા રેખાઓ x = -2 અને x = 1 વડે આવૃત્ત પ્રદેશ આકૃતિમાં રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.

∴ વિકલ્પ (D) આવે.

પ્રશ્ન 17.
વક્ર y = x |x|, X-અક્ષ અને x = −1 d x = 1 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ ……
(A) 0
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{2}{3}\)
(D) \(\frac{4}{3}\)
[સૂચન : જો x > 0 તો, y = x² જો x < 0 તો, y = −x²]
ઉત્તરઃ
y = x|x|
∴ y = x², x ≥ 0
= -x², x < 0
y = x |x|, X-અક્ષ અને રેખાઓ x = -1 અને x = 1 વડે આવૃત્ત પ્રદેશ રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.


∴ વિકલ્પ (C) આવે.

પ્રશ્ન 18.
વર્તુળ x² + y² = 16 અને પરવલય y² = 6x ના બહારના ભાગથી આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ ………..
(A) \(\frac{4}{3}\) (4π – √3)
(B) \(\frac{4}{3}\) (4π + √3)
(C) \(\frac{4}{3}\) (8π – √3)
(D) \(\frac{4}{3}\)(8π + √3)
નોંધ : ખરેખર તો પરવલય બંધ વક્ર નથી. તેને બહારનો ભાગ હોય નહિ. અહીં કહેવાનો અર્થ એ છે કે, વર્તુળની અંદરના અને પરવલયના અંતર્ગોળ પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ ન હોય તેવા પ્રદેશથી બનતા ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનો છે.
ઉત્તરઃ
વર્તુળ x² + y² = 16 એ (0, 0) કેન્દ્ર અને 4 ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
y² = 6x એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય દર્શાવે છે.
x² + y² = 16 અને y = 6x ને ઉકેલતાં,
x² + 6x – 16 = 0
∴ (x + 8) (x – 2) = 0
∴ x = -8, 2
y² = 6x જો x = -8 હોય તો y² = 6x (–8) જે શક્ય નથી. x = 2 હોય તો y² = 6(2) = 12 ⇒ y = ± 2/3
∴ વર્તુળ તથા પરવલયનાં છેદબિંદુઓ A(2, 2/3) તથા B(2, −2√3).

પ્રદેશ OACBO નું ક્ષેત્રફળ A = 2 × પ્રદેશ OACO નું ક્ષેત્રફળ
∴ A = 2 × પ્રદેશ OALO નું ક્ષેત્રફળ + 2 × પ્રદેશ ALCA નું ક્ષેત્રફળ

હવે 4 ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = π(4)² = 16 છે.
∴ વર્તુળ x² + y² = 16 અને પરવલય y² = 6x નાં બહારના
ભાગથી આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = 16π\(\left(\frac{4 \sqrt{3}}{3}+\frac{16 \pi}{3}\right)\)
= \(\frac{32 \pi}{3}-\frac{4 \sqrt{3}}{3}\)
= \(\frac{4}{3}\)(8π – √3)
∴ વિકલ્પ (C) આવે.

પ્રશ્ન 19.
વક્રો y = sin x, y = cos x અને Y-અક્ષ વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ …… . જ્યાં, 0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
(A) 2(√2 −1)
(B) √2 – 1
(C) √2 + 1
(D) √2
ઉત્તરઃ
y = sinx, y = cosx અને Y-અક્ષ વડે આવૃત્ત પ્રદેશ આકૃતિમાં રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.

(√2 – 1) ચો. એકમ
∴ વિકલ્પ (B) આવે.