GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.1

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ સંબંધો પૈકી પ્રત્યેક માટે તે સ્વવાચક, સંમિત અથવા પરંપરિત સંબંધ છે કે નહિ તે નક્કી કરો :
(i) ગણ A = {1, 2, 3, ….., 13, 14} પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ
R = {{x, y) : 3x – y = 0}
ઉત્તરઃ
R = {(x, y) : 3x – y = 0}
x, y ∈ A તથા 3x – y = 0 ⇒ y = 3x
x = 1 હોય તો y = 3, x = 2 હોય તો y = 6, x = 3 હોય
તો Y = 9, x = 4 હોય તો y = 12.
x = 5 હોય તો y = 15 પરંતુ 15 ∉ A
∴ x = 5 શક્ય નથી.
∴ R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)} .
(x, x) ∈ R માટે x = 3x જે શક્ય નથી.
∴ (x, x) ∈ R ⇒ R સ્વવાચક નથી.
(x, y) ∈ R ⇒ y = 3x અને
(y, x) ∈ R ⇒ x = 3y જે શક્ય નથી.
(x, y) ∈ R પરંતુ (y, x) ∉ R
∴ સંબંધ R સંમિત નથી.
સ્પષ્ટ છે કે (1, 3) ∈ R અને (3, 9) ∈ R પરંતુ (1, 9) ∉ R.
∴ સંબંધ R પરંપરિત નથી.
આમ, સંબંધ R એ સ્થવાચક, સંમિત કે પરંપરિત સંબંધ નથી.

(ii) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ N પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ
R = {(x, y) : y = x + 5 અને x < 4}
ઉત્તરઃ
સંબંધ R = {(x, y) : y = x + 5 અને x < 4}
x, y ∈ N તથા x < 4, y = x + 5
x = 1 ⇒ y = 1 + 5 = 6
x = 2 ⇒ y = 2 + 5 = 7
x = 3 ⇒ y = 3 + 5 = 8
સંબંધ R = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)} થાય.
સ્પષ્ટ છે કે, (x, x) ∉ R
∴ સંબંધ R સ્વવાચક નથી.
હવે (x, y) ∈ R ⇒ y = x + 5 તથા (y, x) ∈ R ⇒
x = y + 5 શક્ય નથી.
આમ, (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∉ R
∴ સંબંધ R સંમિત નથી.
(x, y) ∈ R ⇒ y = x + 5 તથા (y, z) ∈ R ⇒ z = y + 5
સ્પષ્ટ છે કે, (x, z) ∉ R કારણ કે, z ≠ x + 5
∴ સંબંધ R પરંપરિત નથી.
આમ, સંબંધ R સ્વવાચક, સંમિત કે પરંપરિત સંબંધ નથી.

(iii) ગૠ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ
R = {(x, y) : y એ x વડે વિભાજ્ય છે.}
ઉત્તરઃ
સંબંધ R = {(x, y) : y એ x વડે વિભાજ્ય છે.} x, y ∈ A ધારો કે, x, y, z ∈ A
સ્પષ્ટ છે કે, R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
હવે (x, x) ∈ R કારણ કે (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) ∈ R
∴ સંબંધ R સ્વવાચક સંબંધ છે.
હવે (1, 2) ∈ પરંતુ (2, 1) ∉ R. (3, 6) ∈ R પરંતુ (6, 3) ∉ R
∴ સંબંધ R સંમિત્ત સંબંધ નથી.
(x, y) ∈ R ⇒ y એ x વડે વિભાજ્ય છે.
⇒ y = mx (m ∈ N}
(y, z) ∈ R ⇒ z એ y વડે વિભાજ્ય છે.
⇒ z = ny (n ∈ N)
∴ z = n(mx)(∵ y = mx)
= (mm) x (mn ∈ N)
∴ z એ x વડે વિભાજ્ય થશે.
∴ (x, z) ∈ R
આમ, (x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
∴ સંબંધ R પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, સંબંધ R એ સ્વવાચક અને પરંપરિત સંબંધ છે. પરંતુ સંમિત સંબંધ નથી.

(iv) પૂર્ણાંકોના ગણ Z પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ
R = {(x, y) : x – y એ પૂર્ણાંક છે.}
ઉત્તરઃ
સંબંધ R = {(x, y) : x – y પૂર્ણાંક છે.} જ્યાં x, y ∈ Z
ધારો કે, x, y, z ∈ 2
(x, x) ∈ R ⇒ x – x = 0 જે પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. તથા 0 ∈ Z
∴ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
(x, y) ∈ R ⇒ x – y ∈ Z
⇒ y – x ∈ Z
∴ (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
∴ R એ કિંમત સંબંધ છે.
(x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R
⇒ x – y ∈ Z તથા y – z ∈ Z
⇒ (x – y) + (y – z) ∈ Z
⇒ x – z ∈ Z
⇒ (x, z) ∈ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, સંબંધ હૈ એ સ્વવાચક, સંમિત તથા પરંપરિત સંબંધ છે.

(v) કોઈ ચોક્કસ સમયે કોઈ એક નગરમાં વસતા મનુષ્યોના ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R
(a) R = {(x, y) : x અને y એક જ સ્થળે કામ કરે છે.}
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x, y, z ∈ A
(x, x) ∈ R કારણ કે x અને x વ્યક્તિઓ એક જ જગ્યાએ કામ કર્યું.
∴ સંબંધ R વાચક છે.
(x, y) ∈ R ⇒ x અને y વ્યક્તિઓ એક જ જગ્યાઓ કામ કરે છે.
⇒ y અને x વ્યક્તિઓ એક જ જગ્યાએ કામ કરે છે.
⇒ (y, x) ∈ R
∴ સંબંધ R એ સંમિત છે.
(x, y) ∈ R અને (y, z) ∈ R
⇒ x અને y વ્યક્તિઓ એક જ જગ્યાએ કામ કરે છે અને y અને z વ્યક્તિઓ એક જ જગ્યાએ કામ કરે છે.
⇒ x અને z વ્યક્તિઓ એક જ જગ્યાએ કામ કરે છે.
⇒ (x, z) ∈ R
∴ સંબંધ R પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, સંબંધ મૈં સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ છે.

(b) B = {(x, y) : x અને y એક જ વિસ્તારમાં રહે છે.}
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x, y, z ∈ A
(x, x) ∈ R કારણ કે x અને x વ્યક્તિ સમાન વિસ્તારમાં રહે જ.
∴ સંબંધ R સ્વવાચક છે.
(x, y) ∈ R ⇒ x અને y વ્યક્તિઓ સમાન વિસ્તારમાં એ છે.
⇒ y અને x વ્યક્તિઓ સમાન વિસ્તારમાં રહે છે.
⇒ (y, x) ∈ R
∴ સંબંધ R એ સંમિત સંબંધ છે.
(x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R
⇒ x અને y વ્યક્તિઓ સમાન વિસ્તારમાં રહે છે તથા y અને z વ્યક્તિઓ સમાન વિસ્તારમાં એ છે.
⇒ x અને z વ્યક્તિઓ સમાન વિસ્તારમાં રહે છે.
⇒ (x, z) ∈ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, સંબંધ R એ સ્વયાપક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ છે.

(c) R = {(x, y) : x ની ઊંચાઈ y ની ઊંચાઈ કરતાં બરાબર 7 સેમી વધારે છે.}
ઉત્તરઃ
ધારી કે, x, y, z ∈ A
સ્પષ્ટ છે કે, x એ x કરતાં બાબર 7 સેમી. ઊંચો હોઈ શકે નહીં.
∴ (x, x) ∉ R
∴ R એ સ્વવાચક સંબંધ નથી.
(x, y) ∈ R ⇒ x એ y કરતાં બરાબર 7 સેમી. ઉંચો છે.
⇒ y એ x કરતાં બરાબર 7 સેમી. ઊંચો હોઈ શકે નહીં.
⇒ (y, x) ∉ R
∴ R એ સંમિત સંબંધ નથી.
હવે (x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R
⇒ x એ y કરતાં ભરાભર 7 સેમી. ઊંચો છે. તથા પુ એ z કરતાં બરાબર 7 સેમી. ઊંચો છે.
⇒ x એ z કરતાં બરાબર 7 સેમી. ઊંચો હોઈ શકે નહીં.
⇒ (x, z) ∉ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ નથી.
આમ, સંબંધ હૈ એ સ્વયાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ નથી.

(d) R = {(x, y) : x એ y ની પત્ની છે.}
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x, y, z ∈ A
સ્પષ્ટ છે કે, x એ x ની પત્ની હોઈ શકે નહીં.
∴ (x, x) ∉ R
∴ R એ સ્વવાચક સંબંધ નથી.
(x, y) ∈ R ⇒ x એ y ની પત્ની છે.
⇒ y એ x નો પતિ થાય, પણ y એ x ની પત્ની ન હોઈ શકે.
⇒ (y, x) ∉ R
∴ R એ સંનિત સંબંધ નથી.
હવે (x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R
⇒ x એ y ની પત્ની છે તથા y એ z ની પત્ની છે,
⇒ x એ z ની પત્ની શક્ય નથી.
⇒ (x, z) ∉ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ નથી.
આમ, R એ સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ નથી.

(e) R = {(x, y) : x એ y નો પિતા છે.}
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x, y, z ∈ A
સ્પષ્ટ છે કે, x એ x નો પિતા હોઈ શકે નહીં.
∴ (x, x) ∉ R
∴ R એ સ્વવાચક સંબંધ નથી.
(x, y) ∈ R ⇒ x એ y નો પિતા છે.
⇒ y ઐ x નો પિતા હોઈ શકે નહીં.
⇒ (y, x) ∉ R
∴ R એ સેમિન સંબંધ નથી.
હવે (x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R
⇒ x એ y નો પિતા છે તથા y એ z નો પિતા છે.
⇒ x એ z નો પિતા શક્ય નથી.
⇒ (x, z) ∉ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ નથી.
આમ, R એ વાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ નથી.

પ્રશ્ન 2.
સાબિત કરો કે, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ R પર S = {(a, b) : a ≤ b²} વડે વ્યાખ્યાયિત સંબંધ S સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ પૈકી એકપણ નથી.
ઉત્તરઃ
R = {(a, b) : a ≤ b²} જયાં a, b ∈ R (∵ વાસ્તવિક સંખ્યા ગન્ન)
સ્પષ્ટ છે કે, a ≤ a² સત્ય નથી. ∀ a ∈ R
∴ (a, a) ∉ R ⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ નથી.
ધારો કે a, b ∈ R (∵ વાસ્તવિક સંખ્યા ગણ)
(a, b) ∈ R ⇒ a < b². પરંતુ b ≤ a² શક્ય નથી.
∴ (b, a) ∉ R
∴ R એ સંમિત સંબંધ નથી.
હવે a, b, c ∈ R (∵ વાસ્તવિક સંખ્યા ગણ)
(a, b) ∈ R તથા (b, c) ∈ R
⇒ a ≤ b² તથા b ≤ c²
⇒ a ≤ c⁴
⇒ (a, c) ∉ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ નથી.
આમ, R એ સ્વવાચક, સંમિત કે પરંપરિત સંબંધ નથી.

પ્રશ્ન 3.
ગા {1, 2, 3, 4, 5, 6} પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ
R = {(a, b) ; b = a + 1} એ સ્વવાચક, સૈમિત કે પરંપરિત સંબંધ છે કે નિહ તે ચકાસો.
ઉત્તરઃ
R = {(a, b) : b = a + 1}, a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a = 1 ⇒ 1 + 1 = 2
a = 2 ⇒ 2 + 1 = 3
a = 3 ⇒ 3 + 1 = 4
a = 4 ⇒ 4 + 1 = 5
a = 5 ⇒ 5 + 1 = 6
a = 6 ⇒ 6 + 1 = 7 જે વાક્ય નથી.
કારણ કે 7 ∉ {1, 2, 3, 4, 5, 6}
R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}
સ્પષ્ટ છે કે a ≠ a + 1 ⇒ (a, a) ∉ R
⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ નથી.
(a, b) ∉ R ⇒ a = b + 1
પરંતુ (b, a) ∉ R કારણ કે b = a + 1 સત્ય નથી.
∴ R એ સંમિત સંબંધ નથી.
હવે (a, b) ∈ R તથા (b, c) ∈ R
⇒ a = b + 1 તથા b = c + 1
⇒ a = c + 2
(a, c) ∉ 2
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ નથી.
આમ, R એ સ્વવાચક, સંમિત કે પરંપરિત સંબંધ નથી.

પ્રશ્ન 4.
સાબિત કરો કે R પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ S = {(a, b) : a ≤ b} સ્ત્રવાચક અને પરંપરિત છે, પરંતુ સંમિત સંબંધ નથી.
ઉત્તરઃ
R = {(a, b) : a ≤ b}, a, b ∈ R (∵ વાસ્તવિક સંખ્યાગળ)
a, b, c ∈ R, જ્યાં R એ વાસ્તવિક સંખ્યાગલ છે.
a = a સત્ય છે. ⇒ (a, a) ∈ R
⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
(a, b) ∈ R ⇒ a ≤ b
⇒ b ≤ a સત્ય નથી.
⇒ (b, a) ∉ R
∴ R એ સંમિત સંબંધ નથી.
હવે (a, b) ∈ R નથા (b, c) ∈ R
⇒ a ≤ b તથા b ≤ c
⇒ a ≤ c
⇒ (a, c) ∈ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, R એ સ્વવાચક અને પરંપરિત સંબંધ છે. પરંતુ સંમિત સંબંધ નથી.

પ્રશ્ન 5.
R પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ S = {(a, b) : a ≤ b³) એ સ્વવાચક, સંમિત અથવા પરંપરિત સંબંધ છે કે નહિ તે ચકાસો.
ઉત્તરઃ
R = {(a, b) : a ≤ b³}, a, b ∈ R (∵ વાસ્તવિક સંખ્યાગણ)
ધારો કે, a, b, c વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
સ્પષ્ટ છે કે ∀a ∈ R માટે a ≤ b³ સત્ય નથી.
∴ R એ સ્વવાચક સંબંધ નથી.
(∵ (-2) ≤ (-8) સત્ય નથી.)
(a, b) ∈ R ⇒ a < b³
⇒ b < a³ સત્ય નથી.
∴ R એ સંમિત સંબંધ નથી.
(a, b) ∈ R તથા (b, c) ∈ R
⇒ a ≤ b³ તથા b ≤ c³ ⇒ b³ ≤ c³
⇒ a < c⁹
⇒ (a, c) ∉ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ નથી.
આમ, મૈં એ સ્ત્રવાચક, સંમિત કે પરંપરિત સંબંધ નથી.

પ્રશ્ન 6.
સાબિત કરી કે ગણ {1, 2, 3} પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(1, 2), (2, 1}} એ સંમિત છે પરંતુ, સ્વવાચક કે પરંપરિત સંબંધ નથી.
ઉત્તરઃ
ધારો કે A = {1, 2, 3}
A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(1, 2), (2, 1)}
a ∈ A માટે (a, a) ∉ R, જેમ કે (1, 1) ∉ R
∴ R એ સ્વવાચક સંબંધ નથી.
સ્પષ્ટ છે કે, (1, 2) ∈ R ⇒ (2, 1) ∈ R
અર્થાત્ (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R
∴ R એ સંમિત સંબંધ છે.
(a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∉ R
જેમ કે, (1, 2) ∈ R, (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∉ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ નથી.
આમ, R એ સંમિત સંબંધ છે, પરંતુ સ્વચક્ર કે પરંપરિત સંબંધ નથી.

પ્રશ્ન 7.
સાબિત કરો કે કૉલેજના ગ્રંથાલયનાં બધાં જ પુસ્તકોના ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(x, y) : x અને y નાં પૃષ્ઠોની સંખ્યા સમાન છે.} એ સામ્ય સંબંધ છે.
ઉત્તરઃ
ગણ A = કોલેજનાં પુસ્તકાલયમાં આવેલ પુસ્તકોનો ગણ
R = {(x, y) : x અને y પુસ્તકોનાં પૃષ્ઠોની સંખ્યા સમાન છે.}
સ્પષ્ટ છે કે x અને x પુસ્તકોનાં પૃષ્ઠોની સંખ્યા સરખી હોય
જ્યાં, x ∈ A = (x, x) ∈ R
⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
ધારો કે, x, y, z ∈ A
(x, y) ∈ R ⇒ x અને y પુસ્તકોનાં પૃષ્ઠોની સંખ્યા સરખી છે.
⇒ y અને x પુસ્તકોનાં પૃષ્ઠોની સંખ્યા સરખી છે.
⇒ (y, x) ∈ R
∴ R એ સંમિત સંબંધ છે.
(x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R
⇒ x અને y પુસ્તકોનાં પૃષ્ઠોની સંખ્યા સરખી છે. તથા y અને z પુસ્તકોનાં પૃષ્ઠોની સંખ્યા સરખી છે,
⇒ x અને z પુસ્તકોનાં પૃષ્ઠોની સંખ્યા સરખી છે.
⇒ (x, z) ∈ a
⇒ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, R એ સ્વવાચક, સંમિત કે પરંપરિત સંબંધ છે.
⇒ R એ સામ્ય સંબંધ છે.

પ્રશ્ન 8.
સાબિત કરો કે ગણ A = {1, 2, 3, 4, 5} પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(a, b) : |a – b| યુગ્મ છે} સામ્ય સંબંધ છે. સાબિત કરો કે {1, 3, 5} ના બધા જ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધ R ધરાવે છે અને {2, 4} ના બધા જ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધ R ધરાવે છે. પરંતુ {1, 3, 5} નો એક પણ ઘટક {2, 4} ના કોઈપણ ઘટક સાથે સંબંધ R ધરાવતો નથી.
ઉત્તરઃ
A = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {(a, b) : |a – b| યુગ્મ છે.}, a, b ∈ R
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (3, 1), (1, 3), (4, 2), (2, 4), (5, 1), (1, 5), (5, 3), (3, 5)}
x ∈ A હોય તો |x – x| = 0 જે યુગ્મ છે.
∴ (x, x) ∈ R ⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
x, y, z ∈ A
(x, y) ∈ R ⇒ |x – y| યુગ્મ છે.
⇒ |y – x| યુગ્મ છે.
⇒ (y, x) ∈ R
(જેમ કે (2, 4) ∈ R ⇒ (4, 2) ∈ R)
∴ R એ સંમિત સંબંધ છે.
(x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R
⇒ |x – y| યુગ્મ છે. તથા |y – z| યુગ્મ છે.
⇒ |x – z| યુગ્મ થાય.
જેમ કે, (5, 3) ∈ R તથા (3, 1) ∈ R ⇒ (5, 1) ∈ R.
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, R એ સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ છે.
∴ R એ સામ્ય સંબંધ છે,
ગણ {1, 3, 5} નાં દરેક ઘટકો માટે સ્પષ્ટ છે કે, (1, 1), (3, 3), (5, 5), (1, 3), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (1, 5), (5, 1) ∈ R.
∴ ગત {1, 3, 5} નાં પ્રત્યેક ઘટકો સંબંધ ધરાવે છે.
ગણ {2, 4} નાં ઘટકો માટે,
(2, 2), (4, 4), (2, 4), (4, 2) ∈ R
∴ ગણ {2, 4} નો પ્રત્યેક ઘટકો સંબંધ ધરાવે છે.
ગણ {1, 3, 5} નાં ઘટકો {2, 4} નાં ઘટકો સાથે સંબંધ ધરાવતાં નથી. કારણ કે, |1 – 2|, |1 – 4|, |3 – 2|, |3 – 4|, [5 – 2|, |5 – 4| એ યુગ્મ સંખ્યાઓ નથી.
અર્થાત્ a ∈ {1, 3, 5} તથા b ∈ {2, 4} માટે |a – b| યુગ્મ નથી.
∴ {1, 3, 5} નાં ઘટકી {2, 4} નાં ઘટકો સાથે સંબંધ ધરાવતાં નથી.

પ્રશ્ન 9.
સાબિત કરો કે, ગા A = {x ∈ Z : 0 ≤ x < 12} પર વ્યાખ્યાયિત નીચે દર્શાવેલ પ્રત્યેક સંબંધ K એ સામ્ય સંબંધ છે. પ્રત્યેક વિકલ્પમાં 1 સાથે સંબંધ R ધરાવતા ઘટકોનો ગણ શોધો.
(i) R = {(a, b) : |a – b| એ 4 નો ગુષ્ઠિત છે.}
(ii) R = {(a, b) : a = b}
ઉત્તરઃ
ગણ A = {x ∈ Z : 0 ≤ x < 12}
(i) R = {(a, b) : |a – b| એ 4નો ગુણિત છે.
ધારો કે, a, b, c ∈ A
સ્પષ્ટ છે કે, |4 – 4| = |8 – 8| = 0 એ 4 નો ગુષ્ઠિત છે.
a ∈ A માટે |a – a| એ 4 નો ગુલિત છે.
(a, a) ∈ R ⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
(a, b) ∈ R ⇒ R એ સંમિત સંબંધ છે.
(a, b) ∈ R ⇒ |a – b| એ 4 નો ગુણિત છે.
⇒ |b – a| એ 4 નો ગુષ્ઠિત છે.
⇒ (b, a) ∈ R
∴ R એ સામ્ય સંબંધ છે.
(a, b) ∈ R તથા (b, c) ∈ R
⇒ |a – b| એ 4 નો ગુણિત છે તથા |b – c| એ 4 નો ગુલિત છે.
⇒ |a – c| પણ 4 નો ગુલિત થાય.
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, R એ સ્વવાચક્ર, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ છે.
∴ R એ સામ્ય સંબંધ છે.
1 ને સંબંધિત ઘટકોનો ગણ = {1, 5, 9}

(ii) R = {(a, b) : a = b}
A = {x ∈ Z : 0 ≤ x < 12} = {0, 1, 2, 3 ……… 12}
સ્પષ્ટ છે કે, a ∈ A માટે a = a જેમ કે, 2 = 2, 5 = 5
∴ (a, a) ∈ R ⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
ધારો કે, a, b, c ∈ A
(a, b) ∈ R ⇒ a = b
⇒ b = a
⇒ (b, a) ∈ R
⇒ R એ સંમિત સંબંધ છે.
(a, b) ∈ R તથા (b, c) ∈ R
∴ a = b યા b = c
∴ a = c
∴ (a, c) ∈ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, R એ સ્ત્રવાચક્ર, સંમિત નથા પરંપરિત સંબંધ છે.
∴ R એ સામ્ય સંબંધ છે.
1 ને સંબંધિત ઘટકોનાં ગા = {1}

પ્રશ્ન 10.
નીચેનાં સંબંધોનાં ઉદાહરણ આપો.
(i) સંમિત હોય પરંતુ સ્વવાચક કે પરંપરિત ના હોય.
ઉત્તરઃ
L એ xy- સમતલમાં આવેલી રેખાઓનો ગણ છે.
ગણ L ઉપર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ,
R = {(x, y) : x ⊥ y} છે.
(x, x) ∉ R કારણ કે x ⊥ x નથી. જ્યાં x ∈ L
∴ R એ સ્વવાચક સંબંધ નથી.
ધારો કે x, y, z ∈ L
(x, y) ∈ R ⇒ x ⊥ y
⇒ x ⊥ y
⇒ (y, x) ∈ R
R એ સંમિત સંબંધ છે.
(x, y) ∈ R નધા (y, z) ∈ R
⇒ x ⊥ y તથા y ⊥ z
⇒ x || z
⇒ (x, z) ∉ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ નથી.
આમ, R એ સંમિત સંબંધ છે. પરંતુ સ્વવાચક કે પરંપરિત સંબંધ નથી.

(ii) પરંપરિત હોય પરંતુ સ્વવાચક કે સંમિત ના હોય.
સંબંધ R = {(x, y) : x > y}, x, y ∈ R વાસ્તવિક સંખ્યા ગા ધારો કે, x, y, z ∈ R (વાસ્તવિક સંખ્યા ગન્ન)
(x, x) ∉ R, કારણ કે x > x સત્ય નથી.
(x, y) ∈ R
⇒ x > y
⇒ y > x સત્ય નથી.
⇒ (y, x) ∉ R
(x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R
⇒ x > y તથા y > z
⇒ x > z
⇒ (x, z) ∈ R
આમ, સંબંધ R એ પરંપરિત સંબંધ છે. પરંતુ સ્વવાચક કે સંમિત સંબંધ નથી.

(iii) સ્વવાચક અને સંમિત હોય પરંતુ પરંપરિત ના હોય.
સંબંધ R = {(x, y) : x એ y નો મિત્ર છે.}
(x, x) ∈ R કારણ કે x એ x નો મિત્ર છે.
(x, y) ∈ R ⇒ x એ y નો મિત્ર છે.
⇒ y એ x નો મિત્ર છે.
⇒ (y, x) ∈ R
(x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R
⇒ x એ y નો મિત્ર છે. તથા y એ z નો મિત્ર છે.
⇒ x એ z નો મિત્ર હોય જ તેવું શક્ય ન પણ બને.
⇒ (x, z) ∉ R
આમ, R એ સ્વવાચક અને સંમિત સંબંધ છે. પરંતુ પરંપરિત સંબધ નથી.

(iv) સ્વવાચક અને પરંપરિત હોય પરંતુ સંમિત ના હોય.
સંબંધ R = {(x, y) : x ≥ y)}
જ્યાં x અને y વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,
સ્પષ્ટ છે કે x ≥ x ⇒ (x, x) ∈ R
(x, y) ∈ R ⇒ x ≥ y
⇒ y ≥ x શક્ય નથી.
⇒ (y, x) ∉ R
આવે (x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈ R
⇒ x ≥ y તથા y ≥ x
⇒ x ≥ z
⇒ (x, z) ∈ R
આમ, સંબંધ R એ સ્વવાચક અને પરંપરિત સંબંધ છે. પરંતુ સંમિત સંબંધ નથી.

(v) સંમિત અને પરંપરિત હોય પરંતુ સ્વવાચક ના હોય, તેવા સંબંધોનાં ઉદાહરણો આપો.
સંબંધ R = {(x, y) : x એ yનો ભાઈ છે.}
જ્યાં x અને ૪ છોકરાઓનાં ગણ A નાં સભ્ય છે.
સ્પષ્ટ છે કે x એ xનો ભાઈ નથી. ⇒ (x, x) ∉ R
(x, y) ∈ R ⇒ x એ y નો ભાઈ છે.
⇒ y એ x નો ભાઈ છે.
⇒ (y, x) ∈ R
(x, y) ∈ R તથા (y, z) ∈R
⇒ x એ y નો ભાઈ છે. તથા y એ z નો ભાઈ છે.
⇒ x એ z નો ભાઈ છે.
⇒ (x, z) ∈ R
આમ, R એ સ્વવાચક સંબંધ નથી, પરંતુ સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ છે.

પ્રશ્ન 11.
સાબિત કરી કે, સમતલમાં આવેલાં બિંદુઓના ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(P, Q) : ઊગમબિંદુથી બિંદુ P નું અંતર એ ઊગમબિંદુથી બિંદુ Q ના અંતર જેટલું જ છે! હોય, તો R એ સામ્ય સંબંધ છે. સાબિત કરો કે, ઊગમબિંદુ સિવાયના બિંદુ P સાથે સંબંધ R ધરાવતા બધાં જ બિંદુઓનો ગણ એ Pમાંથી પસાર થતું અને ઊગમબિંદુ કેન્દ્રવાળું વર્તુળ છે.
ઉત્તરઃ
ગણ A = સમતલનાં બધાં જ બિંદુઓનો ગણ
ગા A ઉપર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ
R = {(P, Q) : બિંદુ P અને બિંદુ Q નું ઊગમબિંદુથી અંતર સમાન છે.}
સમતલમાં આવેલ બિંદુ P છે. તથા ૦ ઊગમબિંદુ છે.
સ્પષ્ટ છે કે, OP = OP
∴ (P, P) ∈ R ⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
બિંદુઓ P, Q, R ∈ A તથા O ઊગમબિંદુ છે.
(P, Q) ∈ R ⇒ OP = OQ
⇒ OQ = OP
⇒ (Q, P) ∈ R
∴ R એ સંમિત સંબંધ છે.
(P, Q) ∈ R તથા (Q, R) ∈ R
⇒ OP = OQ તથા OQ = OR
⇒ OP = OR
⇒ (P, R) ∈ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, સંબંધ R એ સ્વવાચક, સંમિત તથા પરંપરિત સંબંધ હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.
ધારો કે, P, Q ∈ A
P = (x₁, y₁), Q = (x₂, y₂) તથા O = (0, 0)
∴ OP = OQ = r (∵ R એ સામ્ય સંબંધ છે.)
∴ OP² = OQ² = r²
∴ x₁² + y₁² = x₂² + y₂² = r² જે વર્તુળ દર્શાવે છે.
∴ Pને સાપેક્ષ મળતાં હિંદુઓનો ગા વર્તુળ દર્શાવે છે. જેનું કેન્દ્ર O(0, 0) છે. તથા તે P(x₁, y₁) માંથી પસાર થાય છે.

પ્રશ્ન 12.
સાબિત કરો કે બધા જ ત્રિકોણોના ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(T₁, T₂) : ત્રિકોણ T₁ એ ત્રિકોણ T₂ ને સમરૂપ છે), એ સામ્ય સંબંધ છે. ત્રણ કાટકોણ ત્રિકોણો, T₁, ની બાજુઓ 3, 4, 5; T₂ ની બાજુઓ 5, 12, 13 અને T₃ ની બાજુઓ 6, 8, 10 છે. તો T₁, T₂, અને T₃ માંથી કયા ત્રિકોણો સંબંધ R દ્વારા સંબંધિત છે ?
ઉત્તરઃ
ગણ A = સમતલમાં આવેલ બધાં ત્રિકોણોનો ગણ
ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ,
R = {(T₁, T₂) : T₁ અને T₂ સમરૂપ ત્રિકોણો છે.}
સ્પષ્ટ છે કે, T₁ ≅ T₁ ⇒ (T₁, T₂) ∈ R
⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
T₁, T₂, T₃ ∈ A
(T₁, T₂) ∈ R ⇒ T₁ ≅ T₂
⇒ T₂ ≅ T₁
⇒ (T₂, T₁) ∈ R
⇒ R એ સંમિત સંબંધ છે.
(T₁, T₂) ∈ R તથા (T₂, T₃) ∈ R
⇒ T₁ ≅ T₂ તથા T₂ ≅ T₃
⇒ T₁ ≅ T₃
⇒ (T₁, T₃) ∈ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, R એ સ્વવાચક, સંમિત અને પરંપરિત સંબંધ હોવાથી તે સામ્ય સંબંધ છે.
હવે ત્રિકોણ T₁ ની બાજુઓ 3, 4, 5 છે.
ત્રિકો T₂ ની બાજુઓ 5, 12, 13 છે.
ત્રિકોણ T₃ ની બાજુઓ 6, 8, 10 છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો બે ત્રિકોણોની અનુરૂપ બાજુઓ પ્રમાણમાં હોય તો તે બે ત્રિકોણો સમરૂપ છે. સ્પષ્ટ છે કે,
\(\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
∴ T₁ અને T₃ ત્રિકોણો સમરૂપ ત્રિકોણો છે.
∴ T₁ એ T₃ સાથે સંબંધમાં છે.

પ્રશ્ન 13.
સાબિત કરી કે તમામ બહુકોણના ગણ A પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ R = {(P₁, P₂) : P₁ અને P₂ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે.} એ સામ્ય સંબંધ છે. 3, 4 અને 5 લંબાઈની બાજુઓવાળા કાટકોણ ત્રિકોણ સાથે સંબંધ R ધરાવતા ગણA ના તમામ ઘટકોનો ગણ શું મળશે ?
ઉત્તરઃ
ગણ A = બધાં જ બીબોનો ગા
ગણ ઉપર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ,
R = {(P₁, P₂) : P₁ અને P₂ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે.}
(P, P) ∈ R કારણ કે P બહુકોશની બાજુઓ તથા P બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે.
∴ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
ધારો કે P₁, P₂, P₃ ∈ A
(P₁, P₂) ∈ R ⇒ બહુકોણ P અને, ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે.
⇒ બહુકોશ P₂ અને P₁ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે.
⇒ (P₂, P₁) ∈ R
∴ R એ સંમિત સંબંધ છે.
(P₁, P₂) ∈ R તથા (P₂, P₃) ∈ R
⇒ બહુકોણ P₁ અને P₂ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે તથા બહુકોશ P₂ અને P₃ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે.
⇒ બહુકોશ P₁ અને P₃ ની બાજુઓની સંખ્યા સમાન છે.
⇒ (P₁, P₃) ∈ R
⇒ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, R એ સવાચક, સંમિત તથા પરંપરિત સંબંધ હોવાથી તે સભ્ય સંબંધ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જે ત્રિકોણની બાજુઓ 3, 4 અને 5 હોય ને ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
∴ ગણ A એ બધાં જ કાટકોણ ત્રિકોણોનો ગમ વાય.

પ્રશ્ન 14.
XY સમતલની બધી જ રેખાઓનો ગણ L લો અને L પર સંબંધ R = {(L₁, L₂) : રેખા L₁ એ રેખા L₂ ને સમાંતર છે} વડે R વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરી કે R સામ્ય સંબંધ છે, જે રેખાઓ y = 2x + 4 સાથે સંબંધ R દ્વારા સંબંધિત હોય તેવી તમામ રેખાઓનો ગણ શોધો.
નોંધ : સ્વીકારી લો કે, પ્રત્યેક રેખા પોતાને સમાંતર છે.
ઉત્તરઃ
ગણ L = xy- સમતલમાં આવેલ બધી જ રેખાઓનો ગણ ગણ L ઉપર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ,
R = {(L₁, L₂) : L₁ અને L₂ સમાંતર છે.}
ધારો કે L₁, L₂, L₃ ∈ L
સ્પષ્ટ છે કે L₁ એ L₁ ને સમાંતર છે.
⇒ (L₁, L₁) ∈ R
⇒ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
(L₁, L₂) ∈ R ⇒ L₁ || L₂
⇒ L₂ || L₁
⇒ (L₂, L₁) ∈ R
∴ R એ સંમિત સંબંધ છે.
(L₁, L₂) ∈ R તથા (L₂, L₃) ∈ R
⇒ L₁ || L₂ તથા L₂ || L₃
⇒ L₁ || L₃
⇒ (L₁, L₃) ∈ R
⇒ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, મૈં એ સ્થવાચક, સંમિત તથા પરંપરિત સંબંધ હોવાથી તે સાચ્ચે સંબંધ છે.
રેખા y = 2x + 4 ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ
y = 2x + k છે. જયાં k ∈ R
∴ રેખા y = 2x + 4 ને સંબંધિત રેખાઓનો ગણ
{(x, y) : y = 2x + k, k ∈ R} છે.

પ્રશ્નો 15 તથા 16 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 15.
ગુણ {1, 2, 3, 4} પર સંબંધ R એ R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} દ્વારા આપેલ છે.
(A) R એ સ્વવાચક અને સંમિત છે, પરંતુ પરંપરિત નથી.
(B) R એ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે, પરંતુ સંમિત નથી.
(C) R એ સંમિત અને પરંપરિત છે, પરંતુ સ્વવાચક નથી.
(D) R એ સામ્ય સંબંધ છે.
ઉત્તરઃ
A = {1, 2, 3, 4}
A ઉપર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ,
R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)}
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R
∴ R એ સ્વવાચક સંબંધ છે.
(1, 2) ∈ R પરંતુ, (2, 1) ∉ R
∴ R એ સંમિત સંબંધ નથી.
(1, 2) ∈ R તથા (2, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R
(1, 3) ∈ R તથા (3, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R
(1, 1) ∈ R તથા (1, 3) ∈ R ⇒ (1, 3) ∈ R
∴ R એ પરંપરિત સંબંધ છે.
આમ, R એ સ્વવાચક અને પરંપરિત સંબંધ છે. પરંતુ સંમિત સંબંધ નથી.
∴ વિકલ્પ (B) અન્ય થાય.

પ્રશ્ન 16.
સંબંધ R એ ગલ N પર R = {(a, b) : a = b – 2, b > 6} દ્વારા આપેલ છે.
(A) (2, 4) ∈ R
(B) (3, 8) ∈ R
(C) (6, 8) ∈ R
(D) (8, 7) ∈ R
ઉત્તરઃ
સંબંધ R = {(a, b) : a = b – 2, b > 6}, a, b ∈ N
(2, 4) ∈ R ⇒ 2 = 4 – 2 જે સત્ય છે. પરંતુ 4 < 6 છે.
(3, 8) ∈ R ⇒ 3 = 8 – 2 જે સત્ય નથી.
(6, 8) ∈ 6 ⇒ 6 = 8 – 2 જે સત્ય છે તથા 8 > 6
(8, 7) ∈ R ⇒ 8 = 7 – 2 જે સત્ય નથી.
∴ વિકલ્પ (C) સત્ય થાય.